apostrila-estatistica-ana-neri_compress

Prévia do material em texto

Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
1. Introdução à Estatística
1.1. Entendendo a importância da Estatística
Jornais, televisão, rádio, revistas e outros meios de comunicação nos bombardeiam, diariamente, com notícias, 
baseadas em estatísticas, como se fossem verdades absolutas. Nessa hora, provavelmente, você sente a importância de 
ser capaz de avaliar corretamente o que lhe dizem. Todavia, será que os números apresentados resultam de uma 
análise estatística cuidadosa? O perigo está no fato de que, se não consegue distinguir as afirmações falsas das 
verdadeiras, então você está vulnerável à manipulação por outras pessoas, cujas conclusões podem conduzir você para 
decidir contra os interesses seus e, depois, arrepender-se. Por estas razões, conhecer Estatística é um grande passo no 
sentido de você tomar controle da sua vida (embora não seja, obviamente, a única maneira necessária para esta 
finalidade). 
Observe os seguintes exemplos de afirmações recentemente publicadas em dez meios de comunicação (não 
estou dizendo que cada uma delas seja verdadeira).
 Sua expectativa é de que a inflação feche o ano entre 6% e 7%. (Folha de São Paulo, Dinheiro, 16 de maio de 
2005)
 Atualmente, a taxa de pacientes com câncer de pulmão que não apresentam reincidência depois de cinco anos 
de tratamento é de 17% – um avanço de 70% em relação à década de 70. (Revista Veja, edição 1905, 18 de 
maio de 2005)
 As projeções de mercado para o IPCA de 2005 subiram de 6,30% para 6,39% em pesquisa semanal feita pelo 
Banco Central e divulgada hoje. (O Estado de São Paulo, 16 de maio de 2005)
 Um estudo da Corporate Executive Board mostrou que a produtividade de um funcionário brilhante chega a 
ser até 12 vezes superior à do colega mediano. (Revista Exame, edição 841, 27 de abril de 2005)
 De acordo com a Embratur (Empresa Brasileira de Turismo), a companhia aérea trouxe 1.473.183 dos 
6.138.000 passageiros que entraram no país no ano passado, o equivalente a 24% desses passageiros. (Revista 
Aeromagazine, Notícias, 16 de maio de 2005)
 IBGE: Emprego industrial cai 0,2% em março. (JB Online, 16 de maio de 2005)
 Os investidores que colocam todo seu dinheiro em uma única ação estão elevando em mais de 50% a chance 
de queda do poder de compra de seu investimento em um período de 20 anos, aponta o estudo. (JB Online, 17 
de abril de 2005)
 Nordestinos já são 52,6% dos migrantes. (Jornal O Globo, 16 de maio de 2005)
 Comércio varejista cresce 1,75% em volume de vendas e 2,44% em receita nominal. (IBGE, 12 de maio de 
2005)
 Se a vítima não fosse o prefeito de Santo André, o impacto não seria o mesmo e o caso teria sido tratado como 
mera estatística. (Márcio Coimbra em http://www.ambito-juridico.com.br/aj/cron0237.htm)
Todas essas notícias são, na sua essência, Estatística. Elas parecem familiares, embora os exemplos sejam de 
áreas bastante distintas: economia, medicina, gestão, turismo, social, investimentos, comércio e até política. Em 
resumo, os números (também expressos por meio de tabelas e gráficos) e a interpretação deles surgem nos discursos 
de praticamente todo aspecto da vida contemporânea.
Desse modo, as estatísticas são, freqüentemente, apresentadas como um testemunho de credibilidade a um 
argumento ou a uma recomendação, fato que você pode comprovar ouvindo o veiculado nos meios de comunicação: o 
primeiro pensamento é acreditar na notícia como se fosse verdade absoluta. Recorde-se, então, do ex-primeiro-
ministro britânico Benjamin Disraeli (1804-1881), quando afirmou que “Há três espécies de mentiras: mentiras, 
mentiras deslavadas e estatísticas”.
No entanto, Estatística é método, ciência e arte. É método quando, na Física, na Biologia, na Medicina ou na 
Pedagogia, aplica-se a populações específicas, isto é, serve a uma ciência particular, da qual se torna instrumento. É 
ciência quando, graças às suas teorias, estuda grandes conjuntos, independentemente da natureza destes, sendo 
autônoma e universal. Finalmente, é arte na construção de modelos para representar a realidade.
Assim sendo, nem tudo está perdido, porque a Estatística pode ajudar você a reagir de modo inteligente às 
informações que lê ou escuta e, neste sentido, torna-se um dos mais importantes assuntos que provavelmente estudou.
O presente artigo tem o objetivo de motivar você a ser mais um dos consumidores inteligentes de estatísticas e, para 
ser um deles, o primeiro passo é refletir e começar a questionar aquelas que encontrar. Por esta razão, convido você a 
reformar os seus hábitos estatísticos a partir de agora. Simplesmente, não mais aceite números, tabelas, gráficos e 
conclusões. Ao invés disso, comece a pensar nas fontes de informação e, mais importante, nos procedimentos usados 
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 3
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
para gerar essa informação. Defenda-se contra afirmações falsas, embrulhadas como se fossem estatísticas. Aprenda a 
reconhecer se uma evidência estatística apóia, realmente, uma conclusão apresentada.
A Estatística está toda ela em volta de você, algumas vezes usada de modo adequado, outras vezes não. Como 
o objetivo da Estatística é auxiliar a sua tomada de decisões em situações de incerteza, distinguir as boas das más 
estatísticas é mais do que nunca, um dever, uma obrigação.
1.2. Objeto da Estatística
Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar 
e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio padrão.
A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, 
na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística extrair 
informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam.
Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes 
de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, 
posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja para a 
população de onde os dados provêm.
Quando de posse dos dados, procura-se agrupá-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a 
aleatoriedade presente. 
Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma hipótese, 
utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a potencialidade da Estatística, na medida em 
que vão permitir tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma 
medida do erro cometido.
Exemplo:
Ao chegarmos a uma churrascaria, não precisamos comer todos os tipos de saladas, de sobremesas e de carnes 
disponíveis, para conseguirmos chegar a conclusão de que a comida é de boa qualidade. Basta que seja provado um 
tipo de cada opção para concluirmos que estamos sendo bem servidos e que a comida está dentro dos padrões.
1.2. Método Estatístico
1.2.1. O Método Científico
Muitos dos conhecimentos que temos foram obtidos na antiguidade por acaso e, outros, por necessidades 
práticas, sem aplicação de um método.
Atualmente, quase todo acréscimo de conhecimento resulta da observação e do estudo.
Podemos dizer, então, que:
Método é um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim que se deseja.
Dos métodos científicos, vamos destacar o método experimental e o estatístico.
1.2.2. O Método Experimental
O método experimental consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e variar esta 
causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam.
É o método preferido no estudo da Física, da Química, etc.
1.2.3. O Método Estatístico
Muitas vezes temos a necessidade de descobrirfatos em um campo em que o método experimental não se 
aplica (nas ciências sociais), já que os vários fatores que afetam o fenômeno em estudo não podem permanecer 
constantes enquanto fazemos variar a causa que, naquele momento, nos interessa.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 4
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
Como exemplo, podemos citar a determinação das causas que definem o preço de uma mercadoria. Para 
aplicarmos o método experimental, teríamos que fazer variar a quantidade da mercadoria e verificar se tal fato iria 
influenciar seu preço.
Porém, seria necessário que não houvesse alteração nos outros fatores. Assim, deveria existir, no momento da 
pesquisa, uma uniformidade dos salários, o gosto dos consumidores deveria permanecer constante, seria necessária a 
fixação do nível geral dos preços das outras necessidades etc. Mas isso tudo é impossível.
Nesses casos, lançamos mão de outro método, embora mais difícil e menos preciso, denominado método 
estatístico.
O método estatístico, diante da impossibilidade de manter as causas constantes, adimite todas essas causas 
presentes variando-as, registrando esses variações e procurando determinar, no resultado final, que influências cabem 
a cada uma delas.
1.3. A Estatística
Exprimindo por meio de números as observações que se fazem de elementos com, pelo menos, uma 
característica comum (por exemplo: os alunos do sexo masculino de uma comunidade), obtemos os chamados dados 
referentes a esses elementos.
Podemos dizer, então, que:
A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, 
descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.
A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística Descritiva, enquanto a análise 
e a interpretação desses dados ficam a cargo da Estatística Indutiva ou Inferencial.
Em geral, as pessoas, quando se referem ao termo estatística, o fazem no sentido da organização e descrição 
dos dados (estatística do Ministério da Educação, estatística dos acidentes de tráfego, etc.), desconhecendo que o 
aspecto essencial da Estatística é o de proporcionar métodos inferenciais, que permitam conclusões que 
transcedam os dados obtidos inicialmente.
Assim, a análise e interpretação dos dados estatísticos tornam possível o diagnóstico de uma empresa (por 
exemplo, de uma escola), o conhecimento de seus problemas (condições de funcionamento, produtividade), a 
formulação de soluções apropriadas e um planejamento objetivo de ação.
1.4. Fases do Método Estatístico
Podemos distinguir no método estatístico as seguintes fases:
1.4.1. Coleta de Dados
A coleta de dados pode ser direta e indireta.
A coleta é direta quando feita sobre elementos informativos de registro obrigatório (nascimentos, casamentos 
e óbitos, importação e exportação de mercadorias), elementos pertinentes aos prontuários dos alunos de uma escola 
ou, ainda, quando os dados são coletados pelo prórpio pesquisador através de inquéritos e questionários, como é o 
caso das notas de verificação e de exames, do censo demográfico, etc.
A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao fator tempo em:
a) contínua (registro) – quando feita continuamente, tal como a de nescimentos e óbitos e a de frequencia 
dos alunos às aulas;
b) periódica – quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos (de 10 em 10 anos) e as 
avaliações mensais dos alunos;
c) ocasional – quando feita exporadicamente, a fim de atender a uma conjuntura ou a uma emergência, como 
no caso de epidemias que assolam ou dizimam rebanhos inteiros.
A coleta se diz indireta quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou do conhecimento de 
outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. Como exemplo, podemos citar a pesquisa sobre a 
mortalidade infantil, que é feita através de dados colhidos por uma coleta direta.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 5
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
1.4.2. Apuração dos Dados
Após a coleta dos dados, torna-se necessária sua apuração, ou contagem, denominando-a Tabulação. Para 
tanto, de posse dos dados, devemos ordená-los mediante critérios de classificação. Pode ser manual, eletromecânica ou 
eletrônica.
1.4.3. Apresentação dos Dados
Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem ser apresentados sob forma 
adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo que está sendo estudado.
1.4.4. Análise dos Resultados
O objetivo último da estatística é tirar conlusões sobre o todo (população) a partir de informações fornecidas 
por parte representativa do todo (amostra). Assim, realizadas as fases anteriores (Estatística Descritiva), fazemos 
uma análise dos resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial, que tem por base a 
indução ou inferência, e tiramos desses resultados conclusões e previsões.
1.5. Abusos da Estatística
1.5.1. Más Amostras
Outra fonte de estatística enganosa são os métodos inadequados de coleta de dados. É comum um pesquisador 
analisar dados e formular conclusões errôneas porque o método de coleta de dados foi deficiente. Considere o seguinte 
exemplo:
Um jornal fez a seguinte pergunta: “Se você tivesse que começar novamente, você teria filhos? Escreva-nos.
Algumas semanas depois o jornal informava que 70% dos pais dizem que não vale a pena ter filhos. Será que 
está amostra não era tendenciosa constituída dos pais que queriam desabafar.
Como os próprios pais é que decidiram se seriam incluídos na pesquisa, temos um exemplo de pesquisa auto-
selecionada, ou seja, uma pesquisa em que os próprios entrevistados decidem se serão incluídos.
1.5.2. Pequenas Amostras
Os resultados obtidos com pequenas amostras não são necessariamente más, entretanto, os resultados obtidos 
com pequenas podem por vezes ser usados como uma forma de “mentira” estatística. As preferências de apenas 10 
dentistas por determinado creme dental não devem servir de base para uma afirmação generalizada como “A pasta 
WW é recomendada por 8 em cada 10 dentistas.” Mesmo que a amostra seja grande, ela deve ser não tendenciosa e 
representativa da população de onde provém.
1.5.3. Estimativas por Suposição
Outra fonte de engano estatístico envolve estimativas que são, na verdade, suposições (palpites), podendo 
apresentar erros substanciais. É preciso considerar a fonte da estimativa e a maneira como foi estabelecida.
1.5.4. Porcentagens Distorcidas:
Por vezes utilizam-se porcentagens confusas ou distorcidas. Em um anúncio de página inteira, a Continental 
Airlines anuncia melhores serviços. No tocante ao caso de bagagem extraviada, o anúncio afirmava que se trata de 
uma área em que já melhoramos 100% nos últimos seis meses”. Em um editorial criticando essa estatística, o New 
York Times interpretou corretamente a melhora de 100% como significando que agora não se extravia mais qualquer 
bagagem – o que ainda não foi conseguido pela Continental Airlines.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 6
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
1.5.5. Perguntas Tendenciosas
As perguntas em uma pesquisa podem ser formuladas de modo a “sugerirem” uma resposta. Por exemplo, 
Considere estas duas perguntas:
Que rádio você prefere? A pergunta não sugere a resposta enquanto que a pergunta:
A rádio Transamérica é a sua rádio preferida? Bom claro que é. Esta pergunta força a resposta.
1.5.6. Pressão do Pesquisador
Quando se formulam perguntas a indivíduos pesquisados, esses freqüentemente dão respostas favoráveis à sua 
auto-imagem. Em uma pesquisa telefônica, 94% dos que responderam disseram que lavam suas mãos após usar um 
banheiro, mas a observação em lugares mostrou que o percentual efetivo é de apenas 68%.
Outros exemplos:
1. Para determinar a reação do público à continuação de certo programa governamental,o pesquisador pergunta: 
“Acha que este programa dispendioso deve ser interrompido?” Explique por que esta pergunta provavelmente não 
proporcionará a informação desejada.
Resposta: Ao formular a questão, o entrevistador está de fato, sugerindo que o programa é dispendioso.
2. Para estudar a reação do consumidor a um novo tipo de alimento enlatado, faz-se uma pesquisa de casa em casa 
durante as manhãs dos dias úteis, sem plano de voltar no caso de não ser encontrado ninguém em casa. Explique por 
que esta abordagem pode conduzir a uma informação enganadora.
Resposta: Esta pesquisa não atinge os que têm maior probabilidade de usar o produto, pessoas solteiras ou casais em 
que ambos trabalham fora.
3. Uma estatística enganosa pode resultar, também da formulação de perguntas no lugar errado ou no momento errado. 
Explique por que, no caso seguinte, poderemos obter dados inúteis. Para predizer uma eleição, um pesquisar entrevista 
pessoas que saem do edifício onde está a sede nacional de um partido político.
Resposta: As pessoas que saem de um edifício onde está a sede de um partido político provavelmente são filiadas ao 
partido.
4. Uma pessoa foi encarregada de pesquisar o reconhecimento da marca Nike, devendo contactar por telefone 1500 
consumidores. Por que razão é incorreta a utilização de listas telefônicas como população para fornecer a amostra?
Resposta: Excluem-se as pessoas com números não listados e pessoas sem telefone.
5. A revista Glamour publicou o seguinte resultado de uma pesquisa: “79% dos que responderam à nossa pesquisa de 
agosto afirmaram crer que os americanos se tornaram demasiadamente propensos a apelar para a justiça em casos 
corriqueiros”. A questão foi publicada na revista e os leitores podiam responder por correio, fax ou e-mail 
(tellus@galamour.com). Até que ponto é válido o resultado de 79%.
Resposta: Como os pesquisados são auto-selecionados, os resultados da pesquisa não são válidos.
6. “De acordo com uma pesquisa de âmbito nacional feita por 250 agências de empregos, os sapatos gastos constituem 
o motivo mais comum para que um homem que procura emprego não cause boa impressão à primeira vista.” Os 
jornais apresentaram essa alegação com base em uma pesquisa encomendada pela Kiwi Brands, produtores de graxa 
para sapatos. Faça um comentário sobre a razão por que os resultados de tal pesquisa podem ser questionados.
Resposta: Um fabricante de graxa para sapatos obviamente tem interesse na importância do seu produto, e há muitas 
maneiras de este fato afetar os resultados da pesquisa.
7. O jornal Newport Chronicle afirma que as mães grávidas podem aumentar suas chances de ter uma criança sadia 
comendo lagostas. A alegação se baseia em um estudo mostrando que as crianças nascidas de mães que comem 
lagostas têm menos problemas de saúde do que as nascidas de mães que não comem lagostas.
Resposta: Mães que comem lagostas tendem a ser mais ricas e portanto podem pagar por melhor atendimento médico.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 7
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
2. População e Amostra
2.1. Variáveis
A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Assim, por exemplo:
 para o fenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: sexo masculino e sexo feminino;
 para o fenômeno “número de filhos” há um número de resultados possíveis expresso através dos números 
naturais: 0, 1, 2, 3, ..., n;
 para o fenômeno “estatura” temos uma situação diferente, pois os resultados podem tomar um número infinito 
de valores numéricos dentro de um determinado intervalo.
Variável é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.
Os exemplos acima nos dizem que uma variável pode ser:
a) qualitativa – quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino ou feminino), cor 
da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda), etc.;
b) quantitativa – quando seus valores são expressos em números (salários dos operários, idade dos 
alunos de uma escola, etc.). Uma variável quantitativa que pode assumir, teoricamente, qualquer valor 
entre dois limites recebe o nome de variável contínua; uma variável que só pode assumir valores 
pertencentes a um conjunto enumerável recebe o nome de variável discreta.
Assim, o número de alunos de uma escola pode assumir qualquer um dos valores do conjunto N = {1, 2, 3, ..., 
58, ...}, mas nunca valores como 2,5 ou 3,78 ou 4,325, etc. Logo, é uma variável discreta. Já o peso desses alunos é 
uma variável contínua, pois um dos alunos pode pesar 72 kg, como 72,5 kg, como 72,54 kg, etc., dependendo esse 
valor da precisão da medida.
2.2. População e Amostra
A Estatística é uma ciência baseada na teoria das probabilidades, cujo principal objetivo é nos auxiliar a tirar 
conclusões, em situações de incerteza, a partir de informações numéricas de uma amostra. É comum, por exemplo, às 
vésperas de uma eleição, um jornal afirmar que um candidato A vencerá com uma certa margem de votos. Em geral, 
esse tipo de afirmação está baseado numa pesquisa feita entre alguns eleitores, que constituem a amostra da pesquisa, 
uma vez que é impossível fazer a pesquisa com todos os eleitores (população envolvida).
A primeira tarefa de um estatístico é definir clara e precisamente o problema a ser estudado, qual a população 
envolvida e que amostra irá utilizar.
Exemplo 1: Queremos obter informações sobre a audiência de certo programa de TV, na Grande Vitória.
- População: conjunto de todos os domicílios da região da Grande Vitória que possuem TV.
- Amostra: conjunto de domicílios que serão visitados.
Exemplo 2: Estudar a procedência dos candidatos a uma certa universidade.
- População: conjunto de todos os candidatos à referida universidade.
- Amostra: conjunto dos candidatos que serão entrevistados.
Todos os elementos do grupo a ser estudado constituem a população. A parte da população efetivamente 
examinada é a amostra.
Suponhamos uma pesquisa sobre o nível de escolaridade de um grupo de 800 (oitocentas) pessoas. Nesse 
caso, a população é o conjunto das oitocentas pessoas. Se sentirmos desnecessário ou impossível examinar os 
oitocentos elementos, podemos recorrer a amostragem, ou seja, podemos examinar alguns desses elementos.
É claro que se escolhermos apenas dois desses oitocentos elementos, corremos o risco de selecionar 
exatamente dois elementos com as mesmas características. Se os dois forem analfabetos, por exemplo, podemos 
concluir que todos elementos da população também o são.
Observe que, qualquer que seja a amostra, sempre corremos o risco de chegar a conclusões erradas, mas este 
risco diminui à medida qua aumenta a quantidade de elementos a serem examinados.
Devemos estabelecer um número mínimo de elementos para compor a amostra. Essa quantidade não deve ser 
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 8
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
menor que 10% do total de elementos da população. Assim, estaremos minimizando as chances das informações da 
amostra se afastarem demasiadamente daquelas que obteríamos se examinássemos toda a população.
No exemplo citado anteriormente, como a população tem 800 elementos, devemos escolher uma amostra com, 
no mínimo, 80 pessoas (10% de 800).
Podemos recorrer a diferentes formas de amostragem: amostragem aleatória simples, amostragem sistemática 
e amostragem estratificada proporcional.
2.2.1. Amostragem Aleatória Simples
Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico.
Na prática, a amostragem aleatória simples pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-
se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, k números dessa sequência, os quais corresponderão aos 
elementos pertencentes à amostra.
Exemplo: Vamos obter uma amostra representativa para uma pesquisa da estatura de 90 (noventa) alunos de uma 
escola:
a) Numeramos os alunos de 01 a 90.
b) Escrevemos os números, de 01 a 90, em pedaços iguais de ummesmo papel, colocando-os dentro de uma 
caixa. Agitamos sempre a caixa para misturar bem os pedaços de papel e retiramos, um a um, 9 (nove) 
números que formarão a amostra. Neste caso, 10% da população.
Quando o número de elementos da população é grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso.
2.2.2. Amostragem Sistemática
Continuemos a considerar a população de 90 elementos de nossa lista numerada. Para organizar uma 
amostragem sistemática, sorteamos um número de 1 a 10, ao acaso. Suponhamos que tenha sido obtido o número 6. 
Ele será o primeiro elemento da amostra, e os demais serão determinados em intervalos de dez unidades. Assim, nossa 
amostra será:
6 16 26 36 46 56 66 76 86
A amostragem sistemática é simples de ser realizada e, no caso de amostras muito grandes, acarreta economia 
de tempo e dinheiro.
2.2.3. Amostragem Estratificada Proporcional
Muitas vezes a população se divide em subpopulações – estratos.
Como é provável que a variável em estudo apresente, de estrato em estrato, um comportamento heterogêneo e, 
dentro de cada estrato, um comportamento homogêneo, convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em 
consideração tais estratos.
É exatamente isso que fazemos quando empregamos a amostragem estratificada proporcional, que, além de 
considerar a existência dos estratos, obtém os elementos da amostra proporcional ao número de elementos dos 
mesmos.
Exemplo: Supondo, no exemplo anterior, que, dos 90 alunos, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas, vamos obter a 
amostra estratificada proporcional.
São, portanto, dois estratos (sexo masculino e sexo feminino) e queremos uma amostra de 10% da população. 
Logo, temos:
Sexo População 10% Amostra
M 54 4,554
100
10 =× 5
F 36 6,336
100
10 =× 4
Total 90 0,990
100
10
=× 9
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 9
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
EXERCÍCIOS:
Série Aula:
1) Classifique as variáveis em qualitativas ou quantitativas (discretas ou contínuas):
a) Universo: alunos de uma escola.
Variável: cor dos cabelos – ....................................
b) Universo: casais residentes em uma cidade.
Variável: número de filhos – ....................................
c) Universo: as jogadas de um dado.
Variável: o ponto obtido em cada jogada – ....................................
d) Universo: peças produzidas por certa máquina.
Variável: nº de peças produzidas por hora – ....................................
e) Universo: peças produzidas por certa máquina.
Variável: diâmetro externo – ....................................
f) População: alunos de uma escola.
Variável: cor dos olhos – ....................................
g) P.: casais residentes em uma cidade.
V.: sexo dos filhos – ....................................
2) Diga quais variáveis abaixo são discretas e quais são contínuas:
a) P.: estação meteorológica de uma cidade.
V.: precipitação pluviométrica, durante um ano – ....................................
b) P.: Bolsa de Valores de São Paulo.
V.: nº de ações negociadas – ....................................
c) P.: funcionários de uma empresa.
V.: salários – ....................................
d) P.: pregos produzidos por uma máquina.
V.: comprimento – ....................................
e) P.: propriedades agrícolas do Brasil.
V.: produção de algodão – ....................................
f) P.: segmentos de reta.
V.: comprimento – ....................................
g) P.: bibliotecas da cidade de São Paulo.
V.: número de volumes – ....................................
h) P.: aparelhos produzidos em uma linha de montagem.
V.: nº de defeitos por unidade – ....................................
i) P.: indústrias de uma cidade.
V.: índice de liquidez – ....................................
3) Na Escola São Leopoldo, para estudar a preferência em relação a refrigerantes, sortearam-se 150 estudantes, entre 
os 1.000 matriculados. Responda:
a) Qual é a população envolvida na pesquisa?
b) Que tipo de amostragem foi utilizada e qual é a amostra considerada?
4) A população envolvida em uma pesquisa sobre a incidência de cárie dentária em escolares da cidade de Morro 
Grande é apresentada abaixo. Baseando-se nesses dados, estratifique uma amostra com 200 elementos.
Escola População
A 500
B 250
C 440
D 360
Total 1.550
5) Em uma escola existem 250 alunos, sendo 35 na 1ª série, 32 na 2ª série, 30 na 3ª série, 28 na 4ª série, 35 na 5ª série, 
32 na 6ª série, 31 na 7ª série e 27 na 8ª série. Obtenha uma amostra de 40 alunos preenchendo a tabela abaixo.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 10
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
Séries População Cálculo Proporcional Amostra
1ª 35 6,5
250
4035 =⋅ 6
2ª __ = __
3ª __ = __
4ª 28 = __
5ª __ = 6
6ª __ = __
7ª __ = __
8ª __ = __
Total 250 40
6) Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo às escolas de Ensino Fundamental. Obtenha uma amostra 
estratificada proporcional de 120 estudantes.
Escolas
Nº de Estudantes
Masculino Feminino
A 80 95
B 102 120
C 110 92
D 134 228
E 150 130
F 300 290
Total 876 955
Série Casa:
1) População ou universo é:
a) Um conjunto de pessoas;
b) Um conjunto de elementos quaisquer;
c) Um conjunto de pessoas com uma característica comum;
d) Um conjunto de elementos com pelo menos uma característica em comum;
e) Um conjunto de indivíduo de mesmo município, estado ou país.
2) Uma parte da população retirada para analisá-la denomina-se:
a) Universo;
b) Parte;
c) Pedaço;
d) Dados brutos;
e) Amostra.
3) A parte da estatística que se preocupa somente com a descrição de determinadas características de um grupo, sem 
tirar conclusões sobre um grupo maior denomina-se:
a) Estatística de População;
b) Estatística de Amostra;
c) Estatística Inferencial;
d) Estatística Descritiva;
e) Estatística Grupal.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 11
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
4) Diga qual tipo de variável estamos trabalhando nos casos abaixo:
a) Número de inscrições no Seguro Social;
b) Número de passageiros no ônibus da linha Rio/São Paulo;
c) Escolaridade
d) Peso médio dos recém nascidos;
e) Altitude acima do nível do mar;
f) Uma pesquisa efetuada em 1.015 pessoas indica que 40 delas são assinantes de um serviço de computador on-line;
g) Cada cigarro Camel tem 16,13 mg de alcatrão;
h) O radar indica que Nolan Ryan rebateu a última bola a 82,3 km/h
5) Classifique as seguintes variáveis:
a) Cor dos olhos:
i) Qualitativa;
ii) Qualitativa discreta;
iii) Quantitativa contínua;
iv) Quantitativa discreta;
v) Qualitativa contínua.
b) Número de filhos de um casal:
i) Qualitativa;
ii) Qualitativa discreta;
iii) Quantitativa contínua;
iv) Quantitativa discreta;
v) Qualitativa contínua.
c) Peso de um indivíduo:
i) Qualitativa;
ii) Qualitativa discreta;
iii) Quantitativa contínua;
iv) Quantitativa discreta;
v) Qualitativa contínua.
d) Altura de um indivíduo:
i) Qualitativa;
ii) Qualitativa discreta;
iii) Quantitativa contínua;
iv) Quantitativa discreta;
v) Qualitativa contínua.
e) Número de alunos de uma escola:
i) Qualitativa;
ii) Qualitativa discreta;
iii) Quantitativa contínua;
iv) Quantitativa discreta;
v) Qualitativa contínua.
f) Tipo sanguíneo:
i) Qualitativa;
ii) Qualitativa discreta;
iii) Quantitativa contínua;
iv) Quantitativa discreta;
v) Qualitativa contínua.
6) Na Escola São Miguel, as classes têm 20, 40, 25 e 15 alunos. Determine uma amostra estratificada com 20 
elementos.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 12
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
7) Em uma cidade com 30.000 habitantes, deseja-se fazer uma pesquisa sobre a preferência por tipo de lazer entre 
pessoas de 20 anos de idade, levando em conta o sexo a que pertencem.
a) Qual a população envolvida na pesquisa?
b) Supondo que na cidade haja 5.500 mulheres e 6.000 homens com 20 anos, determine uma amostra com 1.200 
pessoas.
8) Quer fazer-se um estudo que estabeleça a relação entre faixa salarial e interesse por teatro, tomando-se um grupo de 
1.550 pessoas.A tabela abaixo indica o número de pessoas de determinadas faixas salariais. Determine uma amostra 
com 200 elementos.
Faixa salarial Nº de pessoas
Até 3 salários mínimos 776
De 3 a 6 salários mínimos 387
De 6 a 9 salários mínimos 232
Acima de 9 salários mínimos 155
Total 1.550
3. Séries Estatísticas
3.1. Tabelas
Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir, para que 
tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas variáveis. E isso ela consegue, inicialmente, apresentando 
esses valores em tabelas e gráficos, que irão nos fornecer rápidas e seguras informações a respeito das variáveis em 
estudo, permitindo-nos determinações administrativas e pedagógicas mais coerentes e científicas.
Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações. 
3.2. Séries Estatísticas
Denominamos série estatística toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos 
em função da época, do local ou da espécie.
Daí, podemos inferir que numa série estatística observamos a existência de três elementos ou fatores: o 
tempo, o espaço e a espécie.
Conforme varie um dos elementos da série, podemos classificá-la em histórica, geográfica e específica.
3.2.1. Séries Históricas, Cronológicas ou Temporais
Descrevem os valores da variável, em determinado local, discriminados segundo intervalos de tempo 
variáveis.
Exemplo:
PREÇO DO ACÉM NO VAREJO
SÃO PAULO – 1989-94
Anos Preço Médio (US$)
1989 2,24
1990 2,73
1991 2,12
1992 1,89
1993 2,04
1994 2,62
FONTE: APA.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 13
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
3.2.2. Séries Geográficas, Especiais, Territoriais ou de Localização
Descrevem os valores da variável, em determinado instante, discriminados segundo regiões.
Exemplo:
DURAÇÃO MÉDIA DOS ESTUDOS
SUPERIORES – 1994
Países
Número
de Anos
Itália 7,5
Alemanha 7,0
França 7,0
Holanda 5,9
Inglaterra Menos de 4
FONTE: Revista Veja.
3.2.3. Séries Específicas ou Categórica
Descrevem os valores da variável, em determinado tempo e local, discriminados segundo especificações ou 
categorias.
Exemplo:
REBANHOS BRASILEIROS – 1992
Espécies
Quantidade
(1.000 cabeças)
Bovinos 154.440,8
Bubalinos 1.423,3
Eqüinos 549,5
Asininos 47,1
Muares 208,5
Suínos 34.532,2
Ovinos 19.955,9
Caprinos 12.159,6
Coelhos 6,1
FONTE: IBGE.
3.2.4. Séries Conjugadas – Tabela de Dupla Entrada
Muitas vezes temos necessidade de apresentar, em uma única tabela, a variação de valores de mais de uma 
variável, isto é, fazer uma conjugação de duas ou mais séries.
Conjugando duas séries em uma única tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. Em uma tabela desse tipo 
ficam criadas duas ordens de classificação: uma horizontal (linha) e uma vertical (coluna).
Exemplo:
TERMINAIS TELEFÔNICOS EM SERVIÇO – 1991-93
Regiões 1991 1992 1993
Norte 342.938 375.658 403.494
Nordeste 1.287.813 1.379.101 1.486.649
Sudeste 6.234.501 6.729.467 7.231.634
Sul 1.497.315 1.608.989 1.746.232
Centro-Oeste 713.357 778.925 884.822
FONTE: Ministério das Comunicações.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 14
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
A conjugação, no exemplo dado, foi série geográfica-série histórica, que dá origem à série geográfico-
histórica ou geográfico-temporal.
Podem existir, se bem que mais raramente, pela dificuldade de representação, séries compostas de três ou mais 
entradas.
3.3. Dados Absolutos e Dados Relativos
Os dados estatísticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipulação senão a contagem ou 
medida, são chamados dados absolutos.
Dados relativos são o resultado de comparações por quociente (razões) que se estabelecem entre dados 
absolutos e têm por finalidade realçar ou facilitar as comparações entre quantidades.
Traduzem-se os dados relativos, em geral, por meio de porcentagens, índices, coeficientes e taxas.
3.3.1. As Porcentagens
Considere a série:
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE A – 1995
Categorias Número de Alunos
1º grau 19.286
2º grau 1.681
3º grau 234
Total 21.201
Dados fictícios.
Calculemos as porcentagens dos alunos de cada grau:
1º grau: 0,9196,90100
201.21
286.19 ==⋅
2º grau: 9,792,7100
201.21
681.1 ==⋅
3º grau: 1,110,1100
201.21
234 ==⋅
Com esses dados, podemos formar uma nova coluna na série em estudo:
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE A – 1995
Categorias Número de Alunos %
1º grau 19.286 91,0
2º grau 1.681 7,9
3º grau 234 1,1
Total 21.201 100,0
Dados fictícios.
Os valores dessa nova coluna nos diz que, de cada 100 alunos da cidade A, 91 estão matriculados no 1º grau, 
8, aproximadamente, no 2º grau e 1 no 3º grau.
O emprego da porcentagem é de grande valia quando é nosso intuito destacar a participação da parte no todo.
Considere, agora, a série:
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 15
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS
DAS CIDADES A E B – 1995
Categorias
Nº de Alunos
Cidade A Cidade B
1º grau 19.286 38.660
2º grau 1.681 3.399
3º grau 234 424
Total 21.201 42.483
Dados fictícios.
Qual das cidades tem, comparativamente, maior número de alunos em cada grau?
Como o número total de alunos é diferente nas duas cidades, não é fácil concluir a respeito usando os dados 
absolutos. Porém, usando as porcentagens, tal tarefa fica bastante facilitada. Assim, acrescentando na tabela anterior 
as colunas correspondentes às poscentagens, obtemos:
MATRÍCULAS NAS ESCOLAS
DAS CIDADES A E B – 1995
Categorias
Cidade A Cidade B
Nº de Alunos % Nº de Alunos %
1º grau 19.286 91,0 38.660 91,0
2º grau 1.681 7,9 3.399 8,0
3º grau 234 1,1 424 1,0
Total 21.201 100,0 42.483 100,0
Dados fictícios.
o que nos permite dizer que, comparativamente, contam, praticamente, com o mesmo número de alunos em cada grau.
3.3.2. Os Índices
Os índices são razões entre duas grandezas tais que uma não inclui a outra.
São exemplos de índices:
Índice cefálico = 100 
crânio do allongitudin diâmetro
crânio do transverso diâmetro ×
Quociente intelectual = 100 
crônica idade
mental idade ×
Densidade demográfica = 
superfície
população
Índices econômicos:
Produção per capita = 
população
produção da total valor
Consumo per capita = 
população
bem do consumo
Renda per capita = 
população
renda
Receita per capita = 
população
receita
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 16
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
3.3.3. Os Coeficientes
Os coeficientes são razões entre o número de ocorrências e o número total (número de ocorrências e número 
de não-ocorrências).
São exemplos de coeficientes:
Coeficiente de natalidade = 
total população
snascimento de número
Coeficiente de mortalidade = 
total população
óbitos de número
Coeficiente educacionais:
Coeficiente de evasão escolar = 
matrículas de inicial número
evadidos alunos de número
Coeficiente de aproveitamento escolar = 
matrículas de final número
aprovados alunos de número
Coeficiente de recuperação escolar = 
orecuparaçã em alunos de número
srecuperado alunos de número
3.3.4. As Taxas
As taxas são os coeficientes multiplicados por uma potência de 10 (10, 100, 1.000, etc.) para tornar o 
resultado mais inteligível.
São exemplos de taxas:
Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1.000
Taxa de mortalidade = coeficiente de maortalidade x 1.000
Taxa de evasão escolar = coeficiente de evasão escolar x 100
EXERCÍCIOS:
Série Aula:
1) Clasifique as séries:
a) 
PRODUÇÃO DE BORRACHA NATURAL – 1991-93
Anos Toneladas
1991 29.543
1992 30.712
1993 40.663
FONTE: IBGE.
b)
AVICULTURA BRASILEIRA – 1992
Espécies
Número
(1.000 cabeças)
Galinhas 204.160
Galos, frangos, frangas e 
pintos
435.465
Codornas 2.488
FONTE: IBGE.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 17
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
c)
VACINAÇÃO CONTRA A POLIOMIELITE – 1993
Regiões Quantidade
Norte 211.209
Nordeste 631.040
Sudeste 1.119.708
Sul 418.785
Centro-Oeste 185.823
FONTE: Ministério da Saúde.
d)
AQUECIMENTO DE UM MOTOR DEAVIÃO DE MARCA X
Minutos Temperatura (ºC)
0 20
1 27
2 34
3 41
4 49
5 56
6 63
Dados fictícios.
2) A tabela seguinte foi elaborada a partir da leitura do texto de Philip M. Fearnsinde, do Instituto Nacional da 
Amazônia.
DESMATAMENTO EM RONDÔNIA
Regiões 1975 1978 1980 1983
Área (km2) 1.216,5 4.184,5 7.579,3 13.955,2
% 0,5 1,72 3,12 5,74
FONTE: Revista Ciência Hoje, nº 19.
a) Que tipo de fonte (primária ou secundária) foi consultada para a elaboração da tabela?
b) Que tipo de série está representada na tabela?
3) Uma série estatística é denominada espacial quando?
a) O elemento variável é o tempo;
b) O elemento variável é o local;
c) O elemento variável é a espécie;
d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes;
e) Os resultados são agrupados em subintervalos do intervalo observado.
4) Uma série estatística é denominada cronológica quando?
a) O elemento variável é o tempo;
b) O elemento variável é o local;
c) O elemento variável é a espécie;
d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes;
e) Os resultados são agrupados em subintervalos do intervalo observado.
5) Uma série estatística é denominada composta quando?
a) O elemento variável é o tempo;
b) O elemento variável é o local;
c) O elemento variável é a espécie;
d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes;
e) Os resultados são agrupados em subintervalos do intervalo observado.
6) Construa a tabela e especifique o tipo de série em cada caso:
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 18
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
a) As capacidades dos estádios do Maracanã (Rio de Janeiro), do Morumbi (São Paulo) e do Mineirão (Belo 
Horizonte) são, respectivamente: 220.000, 150.000, 110.000 pessoas. (Fonte: Brasil em dados)
b) A população do Brasil em 1962 era de 74.100.000 habitantes; em 1964, de 78.800.000; em 1966, de 83.900.000 e 
em 1969, de 92.300.000. (Fonte: IBGE)
7) Uma escola registrou em março, na 1ª série, a matrícula de 40 alunos e a matrícula efetiva, em dezembro, de 35 
alunos. A taxa de evasão foi de:
%5,12100100
40
35 - 40
100
inicial matrícula nº
evadidos de nº =×=×=×=TEE
8) Complete a tabela abaixo:
Escolas Nº de Alunos
Dados Relativos
Por 1 Por 100
A 175 0,098 9,8
B 222 _____ _____
C 202 _____ _____
D 362 _____ _____
E 280 _____ _____
F 540 _____ _____
Total 1.781 1,000 100,0
9) São Paulo tinha, em 1992, uma população de 32.182,7 mil habitantes. Sabendo que sua área terrestre é de 
248.256 km2, calcule a sua densidade demográfica.
10) Um professor preencheu um quadro, enviado pela D.E., com os seguintes dados:
Série
Nº de 
Alunos 
30/03
Nº de 
Alunos 
30/11
Promovidos 
sem 
recuperaçã
o
Retidos sem 
recuperaçã
o
Em 
recuperaçã
o
Recuperados
Não-
recuperado
s
Total Geral
Promovido
s
Retidos
1º A 49 44 35 03 06 05 01 40 04
1º B 49 42 42 00 00 00 00 42 00
1º C 47 35 27 00 08 03 05 30 05
1º D 47 40 33 06 01 00 01 33 07
Total 192 161 137 09 15 08 07 145 16
Calcule:
a) a taxa de evasão, por classe.
b) a taxa de evasão total.
c) a taxa de aprovação, por classe.
d) a taxa de aprovação geral.
e) a taxa de recuperação, por classe.
f) a taxa de recuperação geral.
g) a taxa de reprovação na recuperação geral.
h) a taxa de aprovação, sem a recuperação.
i) a taxa de retidos, sem a recuperação.
Série Casa:
1) Calcule a taxa de aprovação de um professor de uma classe de 45 alunos, sabendo que obtiveram aprovação de 36 
alunos.
2) Considerando que Minas Gerais, em 1992, apresentou (dados fornecidos pelo IBGE):
 população: 15.957,6 mil habitantes;
 superfície: 586.624 km2;
 nascimentos: 292.036;
 óbitos: 99.281.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 19
Cálculos:
A → 098,01
781.1
175 =×
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
Calcule:
a) o índice de densidade demográfica;
b) a taxa de natalidade;
c) a taxa de mortalidade.
3) Uma série estatística é denominada categórica quando?
a) O elemento variável é o tempo;
b) O elemento variável é o local;
c) O elemento variável é a espécie;
d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes;
e) Os resultados são agrupados em subintervalos do intervalo observado.
4) Uma série estatística é denominada geográfica quando?
a) O elemento variável é o tempo;
b) O elemento variável é o local;
c) O elemento variável é a espécie;
d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes;
e) Os resultados são agrupados em subintervalos do intervalo observado.
5) Uma série estatística é denominada específica quando?
a) O elemento variável é o tempo;
b) O elemento variável é o local;
c) O elemento variável é a espécie;
d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes;
e) Os resultados são agrupados em subintervalos do intervalo observado.
6) Uma série estatística é denominada mista quando?
a) O elemento variável é o tempo;
b) O elemento variável é o local;
c) O elemento variável é a espécie;
d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes;
e) Os resultados são agrupados em subintervalos do intervalo observado.
7) Uma série estatística é denominada temporal quando?
a) O elemento variável é o tempo;
b) O elemento variável é o local;
c) O elemento variável é a espécie;
d) É o resultado da combinação de séries estatísticas de tipos diferentes;
e) Os resultados são agrupados em subintervalos do intervalo observado.
8) Uma escola apresentava, no final do ano, o seguinte quadro:
Séries
Matrículas
Março Novembro
1ª 480 475
2ª 458 456
3ª 436 430
4ª 420 420
Total 1.794 1.781
a) Calcule a taxa de evasão por série.
b) Calcule a taxa de evasão da escola.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 20
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
4. Distribuição de Frequência
Praticamente se resume na maneira de ordenar os dados estatísticos em linhas ou colunas, tornando possível 
sua leitura, tanto no sentido horizontal quanto no vertical.
4.1. Tabela Primitiva / Rol
Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às estaturas de 40 (quarenta) alunos, que compõem 
uma amostra dos alunos de um colégio A, resultando a seguinte tabela de valores:
ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A
166 160 161 150 162 160 165 167 164 160
162 161 168 163 156 173 160 155 164 168
155 152 163 160 155 155 169 151 170 164
154 161 156 172 153 157 156 158 158 161
A esse tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados, denominamos tabela 
primitiva.
A maneira mais simples de organizar os dados é através de uma certa ordenação (crescente ou decrescente). A 
tabela obtida após a ordenação dos dados recebe o nome de rol.
ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
Agora, podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor estatura (150 cm) e qual a maior (173 cm); que a 
amplitude de variação foi de 173 – 150 = 23 cm; e, ainda, a ordem que um valor particular da variável ocupa no 
conjunto. Com um exame mais acurado, vemos qua há uma concentração das estaturas em algum valor entre 160 cm e 
165 cm e, mais ainda, que há poucos valores abaixo de 155 cm e acima de 170 cm.
4.2. Distribuição de Freqüência
Denominamos frequência o número de alunos que fica relacionado a um determinado valor da variável. 
Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de distribuição de frequência:
ESTAT.
(cm)
FREQ.
ESTAT.
(cm)
FREQ.
ESTAT.
(cm)
FREQ.
150 1 158 2 167 1
151 1 160 5 168 2
152 1 161 4 169 1
153 1 162 2 170 1
154 1 163 2 172 1
155 4 164 3 173 1
156 3 165 1
Total 40
157 1 166 1
Este tipo de tabela não é aconselhavel quando estamos trabalhando com amostragens grandes, sendo que 
poderá ficar muito extensa, dificultando, além de sua elaboração, as análises e conclusões dos dados pesquisados.
Sendo possível, a solução mais aceitável é o agrupamento dos valores em vários intervalos.
Chamando de frequênciade uma classe o número de valores da variável pertencentes à classe, os dados da 
tabela acima, podem ser dispostos como na tabela abaixo, denominada distribuição de frequência com intervalo de 
classe:
ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 21
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
Estaturas
(cm)
Frequência
150 |–– 154 4
154 |–– 158 9
158 |–– 162 11
162 |–– 166 8
166 |–– 170 5
170 |–– 174 3
Total 40
4.3. Elementos de uma Distribuição de Freqüência
4.3.1. Classe
Classes são intervalos de variação da variável.
4.3.2. Limites de Classe
Denominamos limites de classe os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior da classe (Li) 
e o maior número, o limite superior da classe (Lf).
4.3.3. Amplitude de um Intervalo de Classe
Amplitude de um intervalo de classe ou, simplesmente, intervalo de classe é a medida do intervalo que define 
a classe.
Ela é obtida pela diferença entre os limites superior e inferior dessa classe e indicada por h. Assim:
h = Lf – Li
4.3.4. Amplitude Total da Distribuição
Amplitude total da distribuição (At) é a diferença entre o limite superior da última classe (limite superior 
máximo) e o limite inferior da primenra classe (limite inferior mínimo):
At = Lf (máx.) – Li (mín.)
4.3.5. Ponto Médio de uma Classe
É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.
2
LL
Pm fi
+
=
4.4. Determinação do número de Classes
Não existe regra fixa para se determinar o número de classes. Sturges sugere uma regra para a determinação 
do número de classes (desde que se conheça o número de observações ou informações), que é a seguinte:
n = 1 + 3,3 . log N
onde,
n = número de classes
N = número de dados (observações) a distribuir
Outra maneira de estipular o número de classes é empregando a seguinte relação (conhecendo a amplitude):
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 22
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
n = 
h
At
4.5. Tipos de Freqüências
Freqüências simples ou absoluta (Fi) são os valores que realmente representam o número de dados de cada 
classe. Assim, a soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados:
∑ = NFi
Freqüências simples relativas (fi) são os valores das razões entre freqüências simples e a freqüência total:
∑
=
i
i
i F
F
f
Freqüência acumulada (Fa) é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do 
intervalo de uma dada classe:
)k...,,2,1i(FFa i == ∑
Freqüência acumulada relativa (fa) são os valores das razões entre freqüências simples e a freqüência total:
∑
=
iF
Fa
fa
Considerando a tabela do exemplo anterior (item 4.2), podemos montar a seguinte tabela com as frequências 
estudadas:
ESTATURA DE 40 ALUNOS DO COLÉGIO A
i
Estaturas
(cm)
Fi Pm fi Fa fa
1 150 |–– 154 4 152 0,100 4 0,100
2 154 |–– 158 9 156 0,225 13 0,325
3 158 |–– 162 11 160 0,275 24 0,600
4 162 |–– 166 8 164 0,200 32 0,800
5 166 |–– 170 5 168 0,125 37 0,925
6 170 |–– 174 3 172 0,075 40 1,000
Total ∑ = 40 ∑ = 1,000
4.6. Distribuição de Freqüência sem Intervalos de Classe
Quando se trata de variável discreta de variação relativamente pequena, cada valor pode ser tomado com um 
intervalo de classe (intervalo degenerado) e, nesse caso, a distribuição é chamada distribuição sem intervalo de 
classe, tomando a seguinte forma:
xi Fi
x1 F1
x2 F2
x3 F3
… F4
xN F5
Σ Fi = N
Exemplo:
Seja x a variável “número de cômodos das casas ocupadas por vinte famílias entrevistadas”:
i xi Fi
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 23
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
1 2 4
2 3 7
3 4 5
4 5 2
5 6 1
6 7 1
Σ = 20
Completada com os vários tipos de freqüências, temos:
i xi Fi Fa fi fa
1 2 4 4 0,20 0,20
2 3 7 11 0,35 0,55
3 4 5 16 0,25 0,80
4 5 2 18 0,10 0,90
5 6 1 19 0,05 0,95
6 7 1 20 0,05 1,00
∑ = 20 ∑ = 1,00
EXERCÍCIOS:
Série Aula:
1) As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:
1 2 3 4 5 6 6 7 7 8
2 3 3 4 5 6 6 7 8 8
2 3 4 4 5 6 6 7 8 9
2 3 4 5 5 6 6 7 8 9
2 3 4 5 5 6 7 7 8 9
 Complete a distribuição de freqüência abaixo:
i Notas Pm Fi
1 0 |–– 2 1 1
2 2 |–– 4 ___ ___
3 4 |–– 6 ___ ___
4 6 |–– 8 ___ ___
5 8 |–– 10 ___ ___
∑ = 50
2) Complete a tabela abaixo:
i Classes Fi Fa fi (%) fa (%)
1 0 |–– 8 4 ___ ___ ___
2 8 |–– 16 10 ___ ___ ___
3 16 |–– 24 14 ___ ___ ___
4 24 |–– 32 9 ___ ___ ___
5 32 |–– 40 3 ___ ___ ___
∑ = 40 ∑ = 100 %
3) Complete os dados que faltam na distribuição de freqüência:
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 24
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
i xi Fi Fa fi (%) fa (%)
1 0 1 ___ 5,0 ___
2 1 ___ 4 15,0 ___
3 2 4 ___ ___ ___
4 3 ___ 13 25,0 ___
5 4 3 ___ 15,0 ___
6 5 2 18 ___ ___
7 6 ___ 19 ___ ___
8 7 ___ ___ ___ ___
∑ = 20 ∑ = 100 %
4) A tabela abaixo apresenta uma distribuição de freqüência das áreas de 400 lotes:
Áreas
(m2)
300 |–– 400 |–– 500 |–– 600 |–– 700 |–– 800 |–– 900 |–– 1.000 |–– 1.100 |–– 
1.200
Nº de
Lotes
 14 46 58
 7
6
 68
 6
2
 48 22 6
Com referência a essa tabela, determine:
a) a amplitude total;
b) o limite superior da quinta classe;
c) o limite inferior da oitava classe;
d) o ponto médio da sétima classe;
e) a amplitude do intervalo da segunda classe;
f) a freqüência da quarta classe;
g) a freqüência relativa absoluta da sexta classe;
h) a freqüência acumulada da quinta classe;
i) o número de lotes cuja área não atinge 700 m2;
j) o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m2;
k) a porcentagem de lotes cuja área não atinge 600 m2;
l) a porcentagem de lotes cuja área seja maior ou igual a 900 m2;
m) a porcentagem de lotes cuja área é de 500 m2, no mínimo, mas inferior a 1.000 m2;
n) a classe do 72º lote;
o) até que classe estão incluídos 60% dos lotes.
Série Casa:
1) Complete a distribuição abaixo, determinando as frequências absolutas:
i xi Fi Fa
1 2 ___ 2
2 3 ___ 9
3 4 ___ 21
4 5 ___ 29
5 6 ___ 34
∑ = 34
2) A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus:
Nº de acidentes 0 1 2 3 4 5 6 7
Nº de 
motoristas
20 10 16 9 6 5 3 1
Determine:
a) o número de motoristas que não sofreram nenhum acidente;
b) o número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes;
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 25
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
c) o número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes;
d) o número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes;
e) a porcentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes.
3) Complete os dados que faltam na distribuição de freqüência:
i Classes Pm Fi Fa fi (%) fa (%)
1 0 |–– 2 1 4 ___ 4,0 ___
2 2 |–– 4 ___ 8 ___ ___ ___
3 4 |–– 6 5 ___ 30 18,0 ___
4 __ |–– __ 7 27 ___ 27,0 ___
5 8 |–– 10 ___ 15 72 ___ ___
6 10 |–– 12 ___ ___ 83 ___ ___
7 __ |–– __ 13 10 93 10,0 ___
8 14 |–– 16 ___ ___ ___ 7,0 ___
∑ = ___ ∑ = ___
4) Conhecidas as notas de 50 alunos:
84 68 33 52 47 73 68 61 73 77
74 71 81 91 65 55 57 35 85 88
59 80 41 50 53 65 76 85 73 60
67 41 78 56 94 35 45 55 64 74
65 94 66 48 39 69 89 98 42 54
obtenha a distribuição de freqüência, tendo 30 para limite inferior da primeira classe e 10 para intervalo de classe.
5) As notas obtidas em Matemática por 80 estudantes de uma escola X estão relacionadas abaixo:
68 84 75 82 68 90 62 88 76 93
73 79 88 73 60 93 71 59 85 75
61 65 75 87 74 62 95 78 63 72
66 78 82 75 94 77 69 74 68 60
96 78 89 61 75 95 60 79 83 71
79 62 67 97 78 85 76 65 71 75
65 80 73 57 88 78 62 76 53 74
86 67 73 81 72 63 76 75 85 77
a) Organize o rol colocando os dados em ordem crescente.
b) Qual é a menor nota? Qual é a maior nota?
c) Qual é a amplitude total?
d) Qual é a nota do estudante classificado em 10º lugar?
e) Organize os dados em classes considerando 5 como amplitude.
f) Faça a distribuição de freqüências.
g) Quantos estudantes receberam nota superior ou igual a 85? Qual a porcentagem?
6) Observando a tabela abaixo, responda:
Faixa de renda Habitações
Até 1 salário mínimo 224.740
De 1 a 3 salários mínimos 363.860
De 4 a 8 salários mínimos 155.700
Acima de 8 saláriosmínimos 47.500
Total 791.800
a) Qual é a porcentagem de domicílios onde a renda é superior a 8 salários mínimos?
b) Quantos são os domicílios onde a renda está entre 1 e 3 salários?
c) Quantos são os domicílios onde a renda está abaixo de 3 salários?
7) Em uma fábrica foram testadas 400 lâmpadas; a duração delas aparece na distribuição de freqüência abaixo:
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 26
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
Duração
(em horas)
Nº de 
lâmpadas
300 |–– 400 14
400 |–– 500 46
500 |–– 600 58
600 |–– 700 76
700 |–– 800 68
800 |–– 900 62
900 |–– 1.000 48
1.000 |–– 1.100 22
1.100 |–– 1.200 6
Total ∑ = 400
Observando a tabela, responda:
a) Qual a amplitude de cada classe?
b) Qual a amplitude total da distribuição?
c) Qual o ponto médio da quinta classe?
d) Qual a freqüência relativa absoluta da sexta classe?
e) Qual a porcentagem de lâmpadas com durabilidade máxima de 500 horas?
f) Qual a porcentagem de lâmpadas com durabilidade de 900 horas ou mais?
g) Construir uma tabela de distribuição de freqüência, em que apareçam Pm, Fi, Fa, fi e fa.
5. Gráficos Estatísticos
5.1. Representação Gráfica
Os gráficos constituem um poderoso instrumento de análise e interpretação de um conjunto de dados. Eles 
aparecem nos mais variados veículos de comunicação. Pesquisas de opinião pública, pesquisas eleitorais, economia, 
agricultura, saúde são apenas alguns exemplos de assuntos em que as representações gráficas assumem um papel 
fundamental para explicar o comportamento do objeto de estudo. Os mais importantes recursos fornecidos pelos 
gráficos são a facilidade e a rapidez na absorção e interpretação dos resultados, por parte do leitor.
5.1.1. Gráfico de Linha
Os gráficos de linhas são bastante utilizados na identificação de tendências de aumento ou diminuição dos 
valores numéricos de uma dada informação. Assim, vamos encontrar com frequência esse tipo de representação em 
análises tais como lucros de empresas, incidência de moléstias, índices de crescimento populacional ou de mortalidade 
infantil, índices de custo de vida, etc. Seu traço é feito no plano cartesiano.
Exemplo:
Na cidade de São Joaquim (SC), foi anotada a temperatura registrada às 8 horas, durante sete dias 
consecutivos, conforme a seguinte tabela:
TEMPERATURA NA CIDADE
DE SÃO JOAQUIM – SC
Dia Temperatura (ºC)
1º 1
2º –2
3º –3
4º 4
5º 5
6º 6
7º 7
Com base na tabela, façamos a representação gráfica da variação de temperatura.
Solução:
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 27
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º
Dia
Te
m
pe
ra
tu
ra
 (º
C
)
5.1.2. Gráfico de Colunas ou de Barras
É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou 
horizontalmente (em barras).
Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.
Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são proporcionais aos respectivos 
dados.
Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos retângulos e os dados estatísticos.
Exemplo:
a) Gráfico em colunas
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE
CARVÃO MINERAL BRUTO
1989-92
Anos
Quant. Produzida
(1.000 t)
1989 18.196
1990 11.168
1991 10.468
1992 9.241
Fonte: Ministério da Agricultura
0
5.000
10.000
15.000
20.000
1989 1990 1991 1992
Anos
M
il 
to
ne
la
da
s
b) Gráfico em barras
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 28
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS
MARÇO – 1995
Estados
Valor
(US$ milhões)
São Paulo 1.344
Minas Gerais 542
Rio Grande do Sul 332
Espírito Santo 285
Paraná 250
Santa Catarina 202
Fonte: SECEX
0 500 1.000 1.500
Santa Catarina
Paraná
Espírito Santo
Rio Grande do Sul
Minas Gerais
São Paulo
Milhões de dólares
5.1.3. Gráfico de Colunas ou de Barras Múltiplas
Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos representar, simultaneamente, dois ou mais 
fenômenos estudados com o propósito de comparação.
Exemplo:
BALANÇA COMERCIAL DO BRASIL – 1989-93
Especificações
Valor (US$ 1.000.000)
1989 1990 1991 1992 1993
Exportação (FOB) 34.383 31.414 31.620 35.793 38.783
Importação 18.263 20.661 21.041 20.554 25.711
Fonte: Ministério da Fazenda
0
10.000
20.000
30.000
40.000
1989 1990 1991 1992 1993
U
S$
 m
ilh
ão
Exportação (FOB) Importação
5.1.4. Gráfico de Setores
A estatística recorre com frequência a esse tipo de gráfico, que consiste em distribuir num círculo setores 
proporcionais aos dados do problema. O gráfico de setores, ou setograma, é utilizado principalmente quando as 
quantidades a serem comparadas são muito diferentes umas das outras, caso em que uma ou mais delas se salientam 
em relação ao conjunto.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 29
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
Exemplo:
DISTRIBUIÇÃO DE REMUNERAÇÕES MENSAIS NO BRASIL – 1983
Faixa Salarial
(em salários mínimos)
Nº de empregados %
Até 3 salários 11.770.000 67,1
De 3 a 7 salários 3.931.000 22,4
De 7 a 15 salários 1.355.000 7,7
Mais de 15 salários 483.000 2,8
Total 17.539.000 100,0
Mais de 15 
salários
De 7 a 15 
salários
De 3 a 7 
salários
Até 3 salários
5.2. Representação Gráfica de Distribuição de Frequência
Uma distribuição de frequência pode ser representada graficamente pelo histograma, pelo polígono de 
frequência e pelo polígono de frequência acumulada.
5.2.1. Histograma
O histograma é um gráfico constituído no plano cartesiano por retângulos em número igual ao número de 
classes da distribuição. Cada classe é representada por uma coluna de altura correspondente a sua frequência.
Trata-se também de um gráfico de área. É utilizado para variáveis contínuas; por isso, o gráfico também é 
contínuo: as colunas são justapostas. A área de cada coluna é proporcional à frequência da classe representada. Logo, 
a área de todo o histograma é proporcional à soma total das frequências.
Exemplo:
i Classes Pm Fi Fa fi (%) fa (%)
1 150 |--- 155 152,5 6 6 15,0 15,0
2 155 |--- 160 157,5 10 16 25,0 40,0
3 160 |--- 165 162,5 15 31 38,0 78,0
4 165 |--- 170 167,5 5 36 12,0 90,0
5 170 |--- 175 172,5 3 39 8,0 98,0
6 175 |--- 180 177,5 1 40 2,0 100,0
Total 40 100,0
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 30
% Grau
s
67,1 241,
6
22,4 80,6
7,7 27,7
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
0
5
10
15
F
i
5.2.2. Polígono de Frequência
Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, tomamos sobre o eixo das abscissas segmentos 
proporcionais aos valores dos pontos médios das classes, e sobre o eixo das ordenadas segmentos proporcionais às 
frequências, determinando pontos no plano.
Unindo os pontos obtidos, determinamos um diagrama poligonal, que convencionalmente é fechado no eixo 
das abscissas pelo ponto médio da classe imediatamente inferior à inicial e pelo ponto médio da classse imediatamente 
superior à final. Desta forma, obtemos um polígono de frequência.
Vejamos agora como, a partir da tabela do item anterior, podemos construir um polígono de frequência.
0
3
6
9
12
15
F
i
5.2.3. Ogiva
A ogiva é um gráfico de frequências acumuladas, o que justifica ser também denominada curva de 
caumulação de frequências.
Retomando o exemplo do item 5.2.1., podemos construir um gráfico de ogiva com os valores de frequência 
acumulada (Fa).
0
10
20
30
40
150 155 160 165 170 175 180
Fa
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 31
150 155 160 165 170 
175 180
150 155 160 165 170 
175 180
Vestuário (5,08)
Educação, leitura e 
recreação (9,23)
Saúde e cuidados 
pessoais (12,01)
Transportes (13,95)
Alimentação 
(25,12)Despesas diversas 
(inclui bebidas, 
cigarros e jogos 
eletrônicos) (3,46) Habitação (31,15)
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
EXERCÍCIOS:
Série Aula:
1)
Retrato do Orçamento Familiar
Itens que maispesam (%)
 
Capital
Renda média familiar
(em salários mínimos)
Renda per capita
(em salários mínimos)
Belém 7,52 1,95
Belo Horizonte 10,76 2,69
Brasília 23,83 6,40
Curitiba 12,59 3,57
Florianópolis 12,06 3,34
Fortaleza 9,34 2,24
Goiânia 7,42 1,86
Porto Alegre 12,73 3,88
Recife 9,08 2,26
Salvador 6,06 1,43
Rio de Janeiro* 17,20 5,60
São Paulo* 15,62 4,27
* Para o Rio e São Paulo, os dados são referentes à Pesquisa do Orçamento Familiar de 1997/98.
Fonte: O Estado de São Paulo, 15/03/2001.
Considerando que, nos primeiros meses de 2002, o salário mínimo era de R$ 200,00, aproximadamente, analise as 
informações seguintes, classificando-as em V ou F, justificando:
I. Em Belém, uma família gastava, em média, R$ 468,00 por mês em moradia.
II. No Recife, um indivíduo gastava menos de R$ 65,00 por mês em transporte.
III. Os gastos com saúde de uma família em Fortaleza superavam os gastos com transportes de uma 
família em Goiânia.
IV. Descontados os gastos com habitação e alimentação, sobravam a uma família paulista menos de 
R$ 1.300,00 por mês.
2) Analisando o gráfico de colunas ao lado, 
classifique em V ou F cada sentença seguinte, 
justificando:
a) Se esse conjunto de dados fosse representado em um 
gráfico de setores (pizza), o ângulo correspondente à 
região Sul seria menor que 90º.
b) O número de emissoras da região Sudeste supera a 
soma do número de emissoras das regiões Nordeste, 
Centro-Oeste e Norte.
c) Supondo que Goiás concentre 60% das emissoras de sua 
região, o percentual de emissoras do país 
representado por este Estado é menor que 5%.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 32
Rádio
Emissoras - 2000
1064
762
664
227
165
Sudeste Sul Nordeste Centro-Oeste Norte
O pesadelo vai continuar
Não
96%
Sim
4%
Total de 
participantes: 1.061
VEJA on-line 
perguntou aos 
internautas: 
“Capturando Bin 
Laden, os EUA 
estarão livres de 
novos atentados?”
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
3) 
a) Quais as medidas dos ângulos apresentados no 
gráfico ao lado?
b) Quantos internautas responderam “sim”?
4) O histograma abaixo representa o tempo de espera (em minutos) na fila de um banco, em certa manhã, no centro de 
Belo Horizonte. Que porcentagem do total de pessoas esperou até 20 minutos na fila?
16
12
6
4
2
5) Considere os resultados abaixo de medição de temperatura, obtidos durante 10 dias, no mesmo horário, e construa 
um gráfico de linha.
Dia 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º
Temperatura (ºC) 32 35 34 30 28 31 32 33 30 29
6) A tabela abaixo representa, em termos percentuais, a distribuição da população brasileira por cor. Construa:
a) um gráfico de setores;
b) um gráfico de colunas.
Cor %
Branca 54,23
Preta 5,92
Amarela 0,56
Parda 38,85
Sem declaração 0,44
Total 100,00
Fonte: IBGE.
7) Examinando o histograma abaixo, que corresponde às notas relativas à aplicação de um teste de inteligência a um 
grupo de alunos, responda?
a) Qual é o intervalo de classe que tem maior freqüência?
b) Qual a amplitude total da distribuição?
c) Qual o número total de alunos?
d) Qual é a freqüência do intervalo de classe 110 |–– 120?
e) Quantos alunos receberam notas de teste entre 90 (inclusive) e 110?
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 33
Fi
Tempo
8 12 16 20 24 
28
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
f) Quantos alunos receberam notas de teste não inferiores a 100?
Série Casa:
1) Construa um gráfico de linha a partir da seguinte tabela:
COMÉRCIO EXTERIOR
BRASIL – 1984-93
Anos
Quantidade (1.000 t)
Exportação Importação
1984 141.737 53.988
1985 146.351 48.870
1986 133.832 60.597
1987 142.378 61.975
1988 169.666 58.085
1989 177.033 57.293
1990 168.095 57.184
1991 165.974 63.278
1992 167.295 68.059
1993 182.561 77.813
2) Represente as tabelas usando o gráfico de colunas:
a)
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE
PETRÓLEO BRUTO
1991-93
Anos
Quantidade
(1.000 m3)
1991 36.180,4
1992 36.410,5
1993 37.164,3
Fonte: Petrobrás
b)
ENTREGA DE GASOLINA
PARA CONSUMO
BRASIL – 1988-91
Anos
Volume
(1.000 m3)
1988 9.267,7
1989 9.723,1
1990 10.121,3
1991 12.345,4
Fonte: IBGE
3) Represente as tabelas usando o gráfico de barras:
a)
PRODUÇÃO DE OVOS
DE GALINHA
BRASIL – 1992
Regiões
Quantidade
(1.000 dúzias)
Norte 57.297
Nordeste 414.804
Sudeste 984.659
Sul 615.978
Centro-Oeste 126.345
Fonte: IBGE
b)
PRODUÇÃO DE VEÍCULOS
DE AUTOPROPULSÃO
BRASIL – 1993
Tipos Quantidade
Automóveis 1.100.278
Comerciais leves 224.387
Comerciais pesados 66.771
Fonte: ANFAVEA
4) Construa um gráfico de colunas múltiplas a partir da seguinte tabela:
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 34
0
5
10
15
20
25
30
20 40 60 80 100 120 
 140 160 
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
PROPORÇÃO DOS DOMICÍLIOS POR CONDIÇÃO DE OCUPAÇÃO
BRASIL – 1990-91
Anos
NATUREZA
Próprios (%) Alugados (%) Cedidos (%)
1990 62,7 22,9 14,4
1991 70,3 16,5 13,2
5) Represente as tabelas por meio de gráficos de setores:
a)
ÁREA TERRESTRE
BRASIL
Regiões Relativa (%)
Norte 45,25
Nordeste 18,28
Sudeste 10,85
Sul 6,76
Centro-Oeste 18,86
Total 100,0
Fonte: IBGE
b)
PRODUÇÃO DE FERRO-GUSA
BRASIL – 1993
Estados
Produção
(1.000 t)
Minas Gerais 12.888
Espírito Santo 3.174
Rio de Janeiro 5.008
São Paulo 2.912
Fonte: Instituto Brasileiro de Siderurgia
6) A tabela a seguir mostra as áreas, em milhões de km2, dos oceanos. Representar graficamente os dados, 
usando: a) um gráfico de colunas; b) um gráfico de setores.
Oceano Antártico Ártico Atlântico Índico Pacífico
Área
(milhões de km2)
36,8 23,2 199,4 137,9 342,7
7) Construa um gráfico de setores a partir da seguinte tabela:
Espécie Quantidade
Auxílio-natalidade 901.000
Auxílio-doença 467.000
Auxílio-funeral 88.000
Aposentadoria por Invalidez 40.000
Aposentadoria por Tempo de Serviço 39.000
Abono Permanente em Serviço 30.000
Pensão por Morte 73.000
Outras Espécies 44.000
8) Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se:
a) construir a distribuição das freqüências absolutas;
b) determinar as freqüências acumuladas, relativas absolutas e relativas acumuladas.
c) construir o gráfico das freqüências absolutas (faça o gráfico que preferir).
9) De um exame final de Estatística, aplicado em 54 alunos da Faculdade FESAV, resultaram as seguintes 
notas:
7,0 6,7 3,5 4,2 5,0 6,2 7,2 8,9 9,0
7,1 6,9 6,7 7,4 6,2 5,1 4,3 6,9 7,0
2,1 4,2 6,4 7,1 8,3 9,2 6,6 7,1 1,7
2,8 4,5 5,7 6,1 6,8 7,5 6,4 6,5 8,3
8,6 7,0 9,8 10,0 7,5 7,8 6,9 6,1 5,0
8,0 7,8 7,0 8,0 7,2 7,0 7,4 6,9 5,0
Pede-se:
a) Construir uma tabela de distribuição de freqüência, iniciando com 1,6 e adotando amplitude do 
intervalo de classe igual a 1,4, fechado à esquerda.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 35
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
b) Os pontos médios.
c) Elaborar uma distribuição de freqüência acumulada e percentual (absoluta e acumulada).
d) Quantos alunos obtiveram notas inferiores a 5,0?
e) Quantos alunos obtiveram notas entre 5,0 e 8,0?
f) Que porcentagem de alunos obteve notas acima ou igual a 7,0?
g) Construa o gráfico de setores para as classes.
10) Construa um gráfico de colunas considerando a tabela abaixo:
DISTRIBUIÇÃO DE RENDA NO BRASIL – 1971
Faixa de renda Habitações
Até 1 salário mínimo 224.740
De 1 a 3 salários mínimos 363.860
De 4 a 8 salários mínimos 155.700
Acima de 8 salários mínimos 47.500
Total 791.800
11) Represente num gráfico de setores as faixas de renda observadas no Brasil, em 1971, de acordo com a 
tabela observada no exercício 14 acima. Para isso, utilize as freqüências relativas absolutas.
12) A tabela abaixo no fornece as principais altas de preço verificadas no Brasil, no período de setembro a 11 
de novembro de 1984. Construa um gráfico de colunas, com estes dados.
ELEVAÇÃO ACUMULADA DE SETEMBRO A
11 DE NOVEMBRO DE 1984
Produto % de alta
Carne 2,5
Leite 10,7
Frutas 18,7
Vestuário 14,5
Fonte: IBGE.
13) Considerando as distribuições de freqüência seguintes, confeccione,para cada uma:
a) o histograma;
b) o polígono de freqüência;
c) a ogiva.
I. 
i Pesos (kg) Fi
1 40 |–– 44 2
2 44 |–– 48 5
3 48 |–– 52 9
4 52 |–– 46 6
5 56 |–– 60 4
Σ = 26
II.
i Estaturas (cm) Fi
1 150 |–– 156 1
2 156 |–– 162 5
3 162 |–– 168 8
4 168 |–– 174 13
5 174 |–– 180 3
Σ = 30
III. 
i Salários (R$) Fi
1 500 |–– 700 8
2 700 |–– 900 20
3 900 |–– 1.100 7
4 1.100 |–– 1.300 5
5 1.300 |–– 1.500 2
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 36
Es ta t í s t i ca Ap l i cad a
6 1.500 |–– 1.700 1
7 1.700 |–– 1.900 1
Σ = 44
14) Conhecidas as notas de 50 alunos:
68 85 33 52 65 77 84 65 74 57
71 35 81 50 35 64 74 47 54 68
80 61 41 91 55 73 59 53 77 45
41 55 78 48 69 85 67 39 60 76
94 98 66 66 73 42 65 94 88 89
Determine:
a) a distribuição de freqüência começando por 30 e adotando o intervalo de classe de amplitude igual a 10;
b) as freqüências acumuladas;
c) as freqüências relativas;
d) o histograma, o polígono de freqüência e a ogiva.
15) Um grau de nebulosidade, registrado em décimos, ocorre de acordo com a distribuição abaixo:
Nebulosidade
0 |–– 0,5 |–– 1,5 |–– 2,5 |–– 3,5 |–– 4,5 |–– 5,5 |–– 6,5 |–– 7,5 |–– 8,5 |–– 9,5 
|–– 10,0
Fi 320 125 75 65 45 45 55 65 90 145 676 
Construa o histograma correspondente.
Prof. Rosiel Sousa blog: rosielsousa.blogspot.com 37
E s t a t í s t i c a A p l i c a d a
6. Medidas de Posição: Medidas de Tendência Central
As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central, que 
recebem tal denominação pelo fato dos dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em 
torno de valores centrais. Dentre as medidas de tendência central, destacamos:
- A média aritmética
- A mediana
- A moda
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam:
- A própria média aritmética
- Os quartis
- Os percentis
6.1. Média Aritmética ( x)
Em um conjunto de dados, podemos definir vários tipos de médias. Porém, em nossos 
estudos iremos nos limitar à mais importante: a média aritmética.
Média aritmética é o quociente da soma dos valores da variável pelo número deles:
n
x
x i
Σ
=
sendo:
x é a média aritmética;
ix os valores da variável;
n o número de valores.
6.1.1. Dados não-agupados
Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em tabelas de freqüências, 
determinamos a média aritmética simples. 
Exemplo:
Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 
16, 18 e 12 kg, temos, para venda média diária na semana de:
14
7
12181615131410
n
x
x i =++++++=
Σ
=
Logo: x = 14 kg
6.1.2. Desvio em relação à média
É a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética, ou seja:.
xxd ii −= .
No exemplo anterior temos sete desvios:.
d1 = 10 – 14 = –4 d5 = 16 – 14 = 2
d2 = 14 – 14 = 0 d6 = 18 – 14 = 4
d3 = 13 – 14 = –1 d7 = 12 – 14 = –2
d4 = 15 – 14 = 1
E s t a t í s t i c a A p l i c a d a
6.1.3. Propriedades da média
1ª propriedade:
A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula:
0d
k
1i
i =∑
=
No exemplo anterior:
0d07)7()2(421)1(0)4(d
7
1i
i
7
1i
i =⇒=+−=−++++−++−= ∑∑
==
2ª propriedade:
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores de uma variável, a 
média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante:
cxycxy ii ±=⇒±=
Somando 2 a cada um dos valores da variável do exemplo dado, temos:
y1 = 12, y2 = 16, y3 = 15, y4 = 17, y5 = 18, y6 = 20 e y7 = 14, 
Daí:
11214201817151612y
k
1i
i =++++++=∑
=
Logo:
2xy21416y16
7
112
y +=⇒+==⇒==
3ª propriedade:
Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (c), 
a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante:
cxycxy ii ×=⇒×= ou 
c
x
y
c
x
y ii =⇒=
Multiplicando por 3 cada um dos valores da variável do exemplo dado, temos:
y1 = 30, y2 = 42, y3 = 39, y4 = 45, y5 = 48, y6 = 54 e y7 = 36, 
Daí:
29436544845394230y
k
1i
i =++++++=∑
=
Logo:
3xy31442y42
7
294
y ×=⇒×==⇒==
6.1.4. Dados agrupados
6.1.4.1. Sem intervalos de classe
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o 
número de filhos do sexo masculino:
E s t a t í s t i c a A p l i c a d a
Nº de meninos Fi
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
Σ = 34
Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, 
elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética 
ponderada, dada pela fórmula:
i
ii
F
Fx
x
Σ
⋅Σ
=
O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma coluna 
correspondente aos produtos ii Fx ⋅ :
Nº de 
meninos
Fi ii Fx ⋅
0 2 0
1 6 6
2 10 20
3 12 36
4 4 16
Σ = 34 Σ = 78
Temos, então:
3,2x29,2
34
78
F
Fx
x
i
ii =⇒==
Σ
⋅Σ=
Logo: x = 2,3 meninos.
6.1.4.2. Com intervalos de classe
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo 
de classe coincidem com o seu ponto médio (Pm), e determinamos a média aritmética ponderada 
por meio da fórmula:
i
ii
F
Fx
x
Σ
⋅Σ
=
onde xi é o ponto médio (Pm) da classe.
Exemplo: Calcular a estatura média dos alunos de uma escola conforme a tabela abaixo.
i
Estaturas 
(cm)
Fi
1 150 |–– 154 4
2 154 |–– 158 9
3 158 |–– 162 11
4 162 |–– 166 8
5 166 |–– 170 5
6 170 |–– 174 3
Σ = 40
E s t a t í s t i c a A p l i c a d a
Vamos abrir uma coluna para os pontos médios e outra para os produtos ii Fx ⋅ :
i
Estaturas 
(cm)
Fi xi ii Fx ⋅
1 150 |–– 154 4 152 608
2 154 |–– 158 9 156 1.404
3 158 |–– 162 11 160 1.760
4 162 |–– 166 8 164 1.312
5 166 |–– 170 5 168 840
6 170 |–– 174 3 172 516
Σ = 40 Σ = 6.440
Temos, então:
161x161
40
440.6
F
Fx
x
i
ii =⇒==
Σ
⋅Σ
=
Logo: x = 161 cm.
6.1.5. Emprego da média
A média é utilizada quando:
a) desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade;
b) houver necessidade de um tratamento algebrico posterior.
EXERCÍCIOS:
Série Aula:
1) Calcule a média aritmética da série:
a) X: 1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30.
b) Y: 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20.
c) Z: 3,4; 7,8; 9,23; 12,15.
2) Um produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. O lote só é aprovado 
se apresentar um peso superior a 40 quilos. Se as unidades que compõem determinado lote pesam: 
3; 4; 3,5; 5; 3,5; 4; 5; 5,5; 4; 5, este lote será aprovado? Qual o peso médio do produto?
3) Um produto é vendido em três supermecados por R$ 13,00/kg, R$ 13,20/kg e R$ 13,50/kg. 
Determine quantos R$/kg se paga em média pelo produto.
4) Calcule a média aritmética da série:
xi Fi
2 1
3 4
4 3
5 2
5) Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro abaixo:
E s t a t í s t i c a A p l i c a d a
i
Aluguel
(R$)
Nº de casas
Fi
1 0 |––– 200,00 30
2 200,00 |––– 400,00 52
3 400,00 |––– 600,00 28
4 600,00 |––– 800,00 7
5
800,00 |––– 
1.000,00
3
6.2. Mediana (Md)
A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de 
uma série de números, estando dispostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a mediana de 
um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem (crescente ou decrescente), é o valor situado 
de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
6.2.1. Dados não-agrupados
Dada uma série de valores como, por exemplo: 
5, 2, 6, 13, 9, 15, 10
de acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou 
decrescente) dos valores:
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9.
Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será a média aritmética 
dos valores centrais da série.
Assim, a série de valores:
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21
tem para a mediana a média aritmética entre 10 e 12.
Logo:
Md = 11
2
22
2
1210 ==+ ⇒ Md = 11
Verificamos que, estando ordenados os valores de uma série e sendo n o número de 
elementos da série, o valor mediano (P) será:
2
1n
P+=
Para comprovar tal fato nas séries dadas:
- Para n = 7, temos 4
2
17
P =+= . Logo, a mediana é o 4º termo da série, isto é: Md = 9.
- Para n = 8, temos 5,4
2
18
P =+= . Logo, a mediana é a média aritmética do 4º e 5º 
termos da série, isto é: 11
2
1210
Md =+= ⇒ Md = 11.
Notas:
E s t a t í s t i c a A p l i c a d a
• Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da 
mediana com um dos elementos da série. 
• Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da 
mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 
elementos centrais da série. 
• Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor. 
• A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é 
uma das diferenças marcantes entre mediana e média (que se deixa influenciar, e muito, 
pelos valores extremos). Vejamos: 
5, 7, 10, 13, 15 ⇒ x = 10 e Md = 10
5, 7, 10, 13, 65 ⇒ x = 20 e Md = 10
isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência 
dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.
6.2.2. Dados agrupados
Se os dados se agrupam em uma distribuição de freqüência, o cálculo da mediana se 
processa de modo muito semelhante àquele dos dados não-agrupados, implicando, porém, a 
determinação prévia das freqüências acumuladas.
Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, é 
dada por:
2
1n
P
+=
6.2.2.1. Sem intervalos de classe
Neste caso, é o bastante identificar a freqüência acumulada imediatamente superior ao valor 
de P. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada.
Tomemos a tabela do item 6.1.4.1., completando-a com a coluna correspondente à 
freqüência acumulada:
Nº de 
meninos
Fi Fa
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
Σ = 34
Sendo: 5,17
2
134
P =+=
a menor freqüência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor 2 da variável, 
sendo esse o valor mediano. Logo, Md = 2.
Nota:
No caso de existir uma freqüência acumulada (Fa), tal que: P – Fa = 0,5, a mediana será 
dada pela média aritmética dos valores das variáveis correspondentes às freqüências acumuladas 
imediatamente inferior e superior a P.
Exemplo:
E s t a t í s t i c a A p l i c a d a
xi Fi Fa
12 1 1
14 2 3
15 1 4
16 2 6
17 1 7
20 1 8
Σ = 8
Temos: 5,4
2
18
P =+= Logo: 5,15
2
31
2
1615
Md ==+=
6.2.2.2. Com intervalos de classe
Devemos seguir os seguintes passos:
1º) Determinamos as freqüências acumuladas;
2º) Calculamos 
2
1n
P
+= ;
3º) Marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior à P. Tal 
classe será a classe mediana;
4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula:
Fi
h)FaP(
LiMd
* ⋅−
+=
Li = é o limite inferior da classe mediana.
Fa* = é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana.
Fi = é a freqüência simples da classe mediana.
h = é a amplitude do intervalo da classe mediana.
Exemplo:
i
Estaturas 
(cm)
Fi
Fa
1 50 |–– 54 4 4
2 54 |–– 58 9 13
3 58 |–– 62 11 24
4 62 |–– 66 8 32
5 66 |–– 70 5 37
6 70 |–– 74 3 40
Σ = 40
Temos: 5,20
2
140
P =+= Logo,.a classe mediana será a terceira (i = 3).
Li = 58 Fa* = 13 Fi = 11 h = 4
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
73,60
11
4)135,20(
58Md
Fi
h)FaP(
LiMd
*
=⋅−+=⇒⋅−+=
Isto é: Md = 60,73.
OBS: Esta mediana é estimada, pois não temos os 40 valores da distribuição.
E s t a t í s t i c a A p l i c a d a
6.2.3. Emprego da Mediana
• Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais. 
• Quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média aritmética. 
• Quando a variável em estudo é salário. 
EXERCÍCIOS:
Série Aula:
1) Calcule a mediana da sequência:
a) X: 2, 5, 8, 10, 12, 15, 8, 5, 12.
b) Y: 3,4; 5,2; 4,7; 6; 8,4; 9,3; 2,1; 4,8.
2) Calcule a mediana da distribuição:
xi Fi
2 5
4 20
5 32
6 40
8 2
3) Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 54 notas fiscais, durante um dia, e obteve o 
quadro abaixo. Determine o valor mediano da série.
i
Consumo por nota
(R$)
Nº de notas
1 0 |––– 50,00 10
2 50,00 |––– 100,00 28
3 100,00 |––– 150,00 12
4 150,00 |––– 200,00 2
5 200,00 |––– 250,00 1
6 250,00 |––– 300,00 1
6.3. Moda (Mo)
É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.
Desse modo, o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais comum, isto 
é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica.
6.3.1. Dados não-agrupados
A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que 
mais se repete. 
Exemplo: Na série {7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12} a moda é igual a 10.
Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais 
vezes que outros. 
Exemplo: {3, 5, 8, 10, 12} não apresenta moda. A série é amodal.
Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a 
série tem dois ou mais valores modais. 
Exemplo: {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9} apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal.
E s t a t í s t i c a A p l i c a d a
6.3.2. Dados agrupados
6.3.2.1. Sem intervalos de classe
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o 
valor da variável de maior freqüência.
Exemplo: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo:
Temperatura
(ºC)
Fi
0 3
1 9
2 12
3 6
Σ = 30
Na distribuição acima a freqüência máxima é 12, correspondente ao valor 2 da variável. 
Logo, a temperatura mais comum é 2 ºC.
6.3.2.2. Com intervalos de classe
A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição, 
podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os 
limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto 
médio da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta.
2
LiLs
Mo
+=
onde:
Li = é o limite inferior da classe modal.
Ls = é o limite superior da classe modal.
Exemplo: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo.
i
Estaturas 
(cm)
Fi
1 50 |–– 54 4
2 54 |–– 58 9
3 58 |–– 62 11
4 62 |–– 66 8
5 66 |–– 70 5
6 70 |–– 74 3
Σ = 40
Temos que a classe modal é i = 3.
Como: 60
2
5862
2
LiLs
Mo =+=+=
Logo: Mo = 60 cm
Para determinar a moda de uma variável contínua (com intervalos de classe), podemos 
optar por vários processos. Daremos destaque para a moda de Pearson, a moda de King e a moda de 
Czuber.
1º Processo: Moda de Pearson
Segundo Pearson, a moda de uma variável contínua pode ser obtida através do valor da 
média e da mediana:
E s t a t í s t i c a A p l i c a d a
x2Md3Mo −=
2º Processo: Moda de King
King levou em consideração, em sua fórmula, a freqüência absoluta da classe anterior e a 
freqüência absoluta da classe posterior à classe modal.
h
FF
F
LMo
postant
post
i ⋅+
+=
onde:
Li = limite inferior da classe modal.
Fpost = freqüência absoluta da classe posterior à classe modal.
Fant = freqüência absoluta da classe anterior à classe modal.
h = amplitude do intervalo de classe.
3º Processo: Moda de Czuber
Czuber levou em consideração, em sua fórmula, a freqüência absoluta da classe anterior e a 
freqüência absoluta da classe posterior, além da freqüência absoluta da classe modal.
h
)FF(F2
FF
LMo
postanti
anti
i ⋅+−
−
+=
onde:
Li = limite inferior da classe modal.
Fi = freqüência absoluta da classe modal.
Fpost = freqüência absoluta da classe posterior à classe modal.
Fant = freqüência absoluta da classe anterior à classe modal.
h = amplitude do intervalo de classe.
Comentários:
A fórmula de Pearson tem normalmente interesse teórico. Se não dispusermos da média e 
da mediana da distribuição, a fórmula de Pearson é a mais trabalhosa.
A fórmula de King é a mais simples delas, mas não é a mais precisa.
A fórmula de Czuberé mais precisa que a fórmula de King, pois leva também em 
consideração a freqüência da classe modal.
Normalmente o processo mais confiável é o valor de Czuber.
EXERCÍCIOS:
Série Aula:
1) Calcule a moda das séries abaixo:
a) X: 2, 3, 5, 4, 5, 2, 5, 7
b) Y: 4, 12, 5, 9, 12, 4, 3
c) Z: 7, 7, 7, 7 7
d) J: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11
e) T: 2, 5, 9, 8, 10, 12
2) Calcule a moda da distribuição:
xi Fi
2 1
3 7
4 2
E s t a t í s t i c a A p l i c a d a
5 2
3) Calcule a moda de Czuber para a distribuição representativa dos salários de 25 funcionários de 
uma empresa.
i
Salários
(R$)
Nº de 
funcionários
1
1.000,00 |––– 
1.200,00
2
2
1.200,00 |––– 
1.400,00
6
3
1.400,00 |––– 
1.600,00
10
4
1.600,00 |––– 
1.800,00
5
5
1.800,00 |––– 
2.000,00
2
6.4. Utilização das Medidas de Tendência Central
Na maioria das situações, não necessitamos calcular as três medidas de tendência central. 
Normalmente precisamos de apenas uma das medidas para caracterizar o centro da série.
Surge, então, a questão: qual medida deve ser utilizada?
A medida ideal em cada caso é aquela que melhor representa a maioria dos dados da série.
Quando todos os dados de uma série são iguais, a média, a mediana e a moda coincidirão 
com este valor e, portanto qualquer uma delas representará bem a série. No entanto, este caso 
dificilmente ocorrerá na prática.
Na maioria das vezes, teremos valores diferenciados para a série e conseqüentemente a 
medida irá representar bem, apenas os dados da série que se situam próximos a este valor. Os dados 
muito afastados em relação ao valor da medida não serão bem representados por ela. Assim:
- Devemos optar pela média, quando houver forte concentração de dados na área central da 
série;
- Devemos optar pela mediana, quando houver forte concentração de dados no início ou no 
final da série; e
- Devemos optar pela moda apenas em séries que apresentam um elemento típico, isto é, um 
valor cuja freqüência é muito superior à freqüência dos outros elementos da série.
EXERCÍCIOS:
Série Aula:
1) Uma loja vende cinco produtos básicos, A, B, C, D e E. O lucro por unidade cormecializada 
destes produtos vale respectivamente R$ 200,00; R$ 300,00; R$ 500,00; R$ 1.000,00 e R$ 
5.000,00. A loja vendeu em determinado mês 20, 30, 20, 10 e 5 unidades respectivamente. Qual foi 
o lucro médio por unidade comercializada por esta loja?
2) Um caminhão cujo peso vazio é 3.000 kg será carregado com 480 caixas de 10 kg cada, 350 
caixas de 8 kg cada, 500 caixa de 4 kg cada e 800 caixas de 5 kg cada. O motorista do caminhão 
pesa 80 kg e a lona de cobertura da carga pesa 50 kg. (a) Se este caminhão tem que passar por uma 
balança que sá permite passagens a caminhões com peso máximo de 15 toneladas, este caminhão 
passará pela balança? (b) Qual o peso médio das caixas carregadas no caminhão?
E s t a t í s t i c a A p l i c a d a
3) Num quartel, constatou-se que o peso médio de 40 soldados era de 69 quilos. Posteriormente, 
verificou-se que a balança estava desregulada, ocasionando um peso indicado superior em 15 
gramas ao peso verdadeiro. Qual era a média verdadeira dos pesos dos soldados?
4) Calcule o número médio de acidentes por dia em uma determinada esquina.
Nº de acidentes 
por dia: xi
Nº de dias
Fi
0 30
1 5
2 3
3 1
4 1
Série Casa:
1) Considerando os conjuntos de dados:
I. 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6
II. 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7
III. 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9
IV. 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14
Calcule:
a) a média aritmética
b) a mediana
c) a moda
2) Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são:
R$ 75,00; R$ 90,00; R$ 83,00; R$ 142,00; R$ 88,00
Determine:
a) a média dos salários-hora
b) o salário-hora mediano
3) As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2. 
Determine:
a) a nota média
b) a nota mediana
c) a nota modal
4) Considerando a distribuição abaixo:
xi 3 4 5 6 7 8
Fi 4 8 11 10 8 3
Calcule:
a) a média
b) a mediana
c) a moda
5) Em uma das classes de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:
Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nº de Alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1
Calcule:
E s t a t í s t i c a A p l i c a d a
a) a nota média
b) a nota mediana
c) a nota modal
6) Calcule a média, a mediana e a moda das distribuições de freqüência abaixo:
I. 
i Notas Fi
1 0 |–– 2 5
2 2 |–– 4 8
3 4 |–– 6 14
4 6 |–– 8 10
5 8 |–– 10 7
Σ = 44
II.
i Estaturas 
(cm)
Fi
1 150 |–– 158 5
2 158 |–– 166 12
3 166 |–– 174 18
4 174 |–– 182 27
5 182 |–– 190 8
Σ = 70
III. 
i Salários (R$) Fi
1 500 |–– 700 18
2 700 |–– 900 31
3 900 |–– 1.100 15
4 1.100 |–– 1.300 3
5 1.300 |–– 1.500 1
6 1.500 |–– 1.700 1
7 1.700 |–– 1.900 1
Σ = 70
IV.
i Pesos (kg) Fi
1 145 |–– 151 10
2 151 |–– 157 9
3 157 |–– 163 8
4 163 |–– 169 6
5 169 |–– 175 3
6 175 |–– 181 3
7 181 |–– 187 1
Σ = 40
7) Calcule a idade média e a idade mediana dos alunos de uma classe de primeiro ano de determinada 
Faculdade, em anos.
Idade (anos)
xi
Nº de alunos
Fi
17 3
18 18
19 17
20 8
21 4
8) O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo. Calcule a salário 
médio destes funcionários.
i
Salário
(R$)
Nº de 
funcionários
Fi
1 400,00 |––– 500,00 12
2 500,00 |––– 600,00 15
3 600,00 |––– 700,00 8
4 700,00 |––– 800,00 3
5 800,00 |––– 900,00 1
6
900,00 |––– 
1.000,00
1
9) Determine o valor mediano da distribuição a seguir que representa os salários de 25 funcionários 
selecionados de uma empresa.
i
Salário
(R$)
Nº de 
funcionários
Fi
1 1.000,00 |––– 1.200,00 2
2 1.200,00 |––– 1.400,00 6
3 1.400,00 |––– 1.600,00 10
4 1.600,00 |––– 1.800,00 5
5 1.800,00 |––– 2.000,00 2
10) Calcule a moda de Czuber para a distribuição de valores de 54 notas fiscais, emitidas na mesma dada, 
selecionadas em uma loja de departamentos:
i
Consumo por nota
(R$)
Nº de notas
1 0 |––– 50,00 10
2 50,00 |––– 100,00 28
3 100,00 |––– 150,00 12
4 150,00 |––– 200,00 2
5 200,00 |––– 250,00 1
6 250,00 |––– 300,00 1
11) Calcule a moda de Czuber para a distribuição abaixo que representa a nota de 60 alunos em uma prova 
de matemática:
i Notas
Nº de 
alunos
1 0 |––– 2 5
2 2 |––– 4 20
3 4 |––– 6 12
4 6 |––– 8 20
5 8 |––– 10 3
REFERÊNCIAS
- BUSSAB, W. O., MORETTIN, P. A. Estatística Básica. Ed. Saraiva. 5ª edição. 2004.
- CRESPO, A. A. Estatística Fácil. Ed. Saraiva. 16ª edição. 1998.
- DOWNING, D., CLARK, J. Estatística Aplicada. Ed. Saraiva. 2ª edição. 2005.
- FONSECA, J. S., MARTINS, G. A. Curso de Estatística. Ed. Atlas. 6ª edição. 1996.
- LAPPONI, J. C. Estatírtico Usando Excel. Ed. Lapponi. 2000.
- MARTINS, G. A. Estatística Geral e Aplicada. Ed. Atlas. 2ª edição. 2002.
- MARTINS, G. A., DONAIRE, D. Princípios de Estatística. Ed. Atlas. 4ª edição. 1995.
- NAZARETH, H. Curso Básico de Estatística. Ed. Ática. 7ª edição. 1995.
- PEREIRA, W., TANAKA, O. K. Estatística – Conceitos Básicos. Ed. Makron Books.
- SILVA, E. M., GONÇALVES, V., MUROLO, A. C. Estatística para os cursos de: Economia, 
Administração e Ciências Contábeis. Ed. Atlas. 3ª edição. 1999.
- TOLEDO, G. L., OVALLE, I. I. Estatística Básica. Ed. Atlas. 2ª edição. 1995.
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA.....................................................................................................................................3
1.1. ENTENDENDO A IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA..................................................................................................................3
1.2. OBJETO DA ESTATÍSTICA................................................................................................................................................4
1.2. MÉTODO ESTATÍSTICO...................................................................................................................................................4
1.2.1. O Método Científico..........................................................................................................................................41.2.2. O Método Experimental.....................................................................................................................................4
1.2.3. O Método Estatístico.........................................................................................................................................4
1.3. A ESTATÍSTICA.............................................................................................................................................................5
1.4. FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO.....................................................................................................................................5
1.4.1. Coleta de Dados................................................................................................................................................5
1.4.2. Apuração dos Dados.........................................................................................................................................6
1.4.3. Apresentação dos Dados...................................................................................................................................6
1.4.4. Análise dos Resultados......................................................................................................................................6
1.5. ABUSOS DA ESTATÍSTICA................................................................................................................................................6
1.5.1. Más Amostras....................................................................................................................................................6
1.5.2. Pequenas Amostras...........................................................................................................................................6
1.5.3. Estimativas por Suposição.................................................................................................................................6
1.5.4. Porcentagens Distorcidas:................................................................................................................................6
1.5.5. Perguntas Tendenciosas....................................................................................................................................7
1.5.6. Pressão do Pesquisador....................................................................................................................................7
2. POPULAÇÃO E AMOSTRA...............................................................................................................................................8
2.1. VARIÁVEIS...................................................................................................................................................................8
2.2. POPULAÇÃO E AMOSTRA................................................................................................................................................8
2.2.1. Amostragem Aleatória Simples..........................................................................................................................9
2.2.2. Amostragem Sistemática....................................................................................................................................9
2.2.3. Amostragem Estratificada Proporcional...........................................................................................................9
3. SÉRIES ESTATÍSTICAS...................................................................................................................................................13
3.1. TABELAS....................................................................................................................................................................13
3.2. SÉRIES ESTATÍSTICAS...................................................................................................................................................13
3.2.1. Séries Históricas, Cronológicas ou Temporais................................................................................................13
3.2.2. Séries Geográficas, Especiais, Territoriais ou de Localização........................................................................14
3.2.3. Séries Específicas ou Categórica.....................................................................................................................14
3.2.4. Séries Conjugadas – Tabela de Dupla Entrada...............................................................................................14
3.3. DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS.......................................................................................................................15
3.3.1. As Porcentagens..............................................................................................................................................15
3.3.2. Os Índices........................................................................................................................................................16
3.3.3. Os Coeficientes................................................................................................................................................17
3.3.4. As Taxas..........................................................................................................................................................17
4. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA...............................................................................................................................21
4.1. TABELA PRIMITIVA / ROL.............................................................................................................................................21
4.2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA......................................................................................................................................21
4.3. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA.........................................................................................................22
4.3.1. Classe..............................................................................................................................................................22
4.3.2. Limites de Classe.............................................................................................................................................22
4.3.3. Amplitude de um Intervalo de Classe...............................................................................................................22
4.3.4. Amplitude Total da Distribuição.....................................................................................................................22
4.3.5. Ponto Médio de uma Classe............................................................................................................................22
4.4. DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE CLASSES.......................................................................................................................22
4.5. TIPOS DE FREQÜÊNCIAS................................................................................................................................................23
4.6. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA SEM INTERVALOS DE CLASSE.............................................................................................23
5. GRÁFICOS ESTATÍSTICOS............................................................................................................................................27
5.1. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA............................................................................................................................................27
5.1.1. Gráfico de Linha..............................................................................................................................................27
5.1.2. Gráfico de Colunas ou de Barras....................................................................................................................285.1.3. Gráfico de Colunas ou de Barras Múltiplas....................................................................................................29
5.1.4. Gráfico de Setores...........................................................................................................................................29
5.2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA............................................................................................30
5.2.1. Histograma......................................................................................................................................................30
5.2.2. Polígono de Frequência..................................................................................................................................31
5.2.3. Ogiva...............................................................................................................................................................31
6. MEDIDAS DE POSIÇÃO: MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL........................................................................40
6.1. MÉDIA ARITMÉTICA ().................................................................................................................................................40
6.1.1. Dados não-agupados.......................................................................................................................................40
6.1.2. Desvio em relação à média..............................................................................................................................40
6.1.3. Propriedades da média....................................................................................................................................41
6.1.4. Dados agrupados.............................................................................................................................................41
6.1.4.1. Sem intervalos de classe..................................................................................................................................................41
6.1.4.2. Com intervalos de classe.................................................................................................................................................42
6.1.5. Emprego da média...........................................................................................................................................43
6.2. MEDIANA (MD)..........................................................................................................................................................44
6.2.1. Dados não-agrupados.....................................................................................................................................44
6.2.2. Dados agrupados.............................................................................................................................................45
6.2.2.1. Sem intervalos de classe..................................................................................................................................................45
6.2.2.2. Com intervalos de classe.................................................................................................................................................46
6.2.3. Emprego da Mediana......................................................................................................................................47
6.3. MODA (MO)..............................................................................................................................................................47
6.3.1. Dados não-agrupados.....................................................................................................................................47
6.3.2. Dados agrupados.............................................................................................................................................48
6.3.2.1. Sem intervalos de classe..................................................................................................................................................48
6.3.2.2. Com intervalos de classe.................................................................................................................................................48
6.4. UTILIZAÇÃO DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL.......................................................................................................50
REFERÊNCIAS.......................................................................................................................................................................54
 
ESTATÍSTICA APLICADAESTATÍSTICA APLICADA
Tecnico em Segurança do Trabalho
Prof. Rosiel Sousa do Nascimento
Bacabal (MA)
 agosto 2012
	1. Introdução à Estatística
	1.1. Entendendo a importância da Estatística
	1.2. Objeto da Estatística
	1.2. Método Estatístico
	1.2.1. O Método Científico
	1.2.2. O Método Experimental
	1.2.3. O Método Estatístico
	1.3. A Estatística
	1.4. Fases do Método Estatístico
	1.4.1. Coleta de Dados
	1.4.2. Apuração dos Dados
	1.4.3. Apresentação dos Dados
	1.4.4. Análise dos Resultados
	1.5. Abusos da Estatística
	1.5.1. Más Amostras
	1.5.2. Pequenas Amostras
	1.5.3. Estimativas por Suposição
	1.5.4. Porcentagens Distorcidas:
	1.5.5. Perguntas Tendenciosas
	1.5.6. Pressão do Pesquisador
	2. População e Amostra
	2.1. Variáveis
	2.2. População e Amostra
	2.2.1. Amostragem Aleatória Simples
	2.2.2. Amostragem Sistemática
	2.2.3. Amostragem Estratificada Proporcional
	3. Séries Estatísticas
	3.1. Tabelas
	3.2. Séries Estatísticas
	3.2.1. Séries Históricas, Cronológicas ou Temporais
	3.2.2. Séries Geográficas, Especiais, Territoriais ou de Localização
	3.2.3. Séries Específicas ou Categórica
	3.2.4. Séries Conjugadas – Tabela de Dupla Entrada
	3.3. Dados Absolutos e Dados Relativos
	3.3.1. As Porcentagens
	3.3.2. Os Índices
	3.3.3. Os Coeficientes
	3.3.4. As Taxas
	4. Distribuição de Frequência
	4.1. Tabela Primitiva / Rol
	4.2. Distribuição de Freqüência
	4.3. Elementos de uma Distribuição de Freqüência
	4.3.1. Classe
	4.3.2. Limites de Classe
	4.3.3. Amplitude de um Intervalo de Classe
	4.3.4. Amplitude Total da Distribuição
	4.3.5. Ponto Médio de uma Classe
	4.4. Determinação do número de Classes
	4.5. Tipos de Freqüências
	4.6. Distribuição de Freqüência sem Intervalos de Classe
	5. Gráficos Estatísticos
	5.1. Representação Gráfica
	5.1.1. Gráfico de Linha
	5.1.2. Gráfico de Colunas ou de Barras
	5.1.3. Gráfico de Colunas ou de Barras Múltiplas
	5.1.4. Gráfico de Setores
	5.2. Representação Gráfica de Distribuição de Frequência
	5.2.1. Histograma
	5.2.2. Polígono de Frequência
	5.2.3. Ogiva
	6. Medidas de Posição: Medidas de Tendência Central
	6.1. Média Aritmética ()
	6.1.1. Dados não-agupados
	6.1.2. Desvio em relação à média
	6.1.3. Propriedades da média
	6.1.4. Dados agrupados
	6.1.4.1. Sem intervalos de classe
	6.1.4.2. Com intervalos de classe
	6.1.5. Emprego da média
	6.2. Mediana (Md)
	6.2.1. Dados não-agrupados
	6.2.2. Dados agrupados
	6.2.2.1. Sem intervalos de classe
	6.2.2.2. Com intervalos de classe
	6.2.3. Emprego da Mediana
	6.3. Moda (Mo)
	6.3.1. Dados não-agrupados
	6.3.2. Dados agrupados
	6.3.2.1. Sem intervalos de classe
	6.3.2.2. Com intervalos de classe
	6.4. Utilização das Medidas de Tendência Central
	REFERÊNCIAS