com base em informaçoes sobre equaçoes diferenciais julgue os itens que seguem.

Olá, sou o Gabriel e vou tentar to ajudar.

1 - Isso é verdade, as equações diferenciais ordinárias são classificadas em dois grupos, separando-as em LINEARES e NÃO-LINEARES.

Alguns exemplos de EDO's lineares:

\(y''+y'-y=2x\), \(y'+y=sen(x^2)\), \(y''-2x=y\)

Alguns exemplos de EDO's não lineares:

\(y^2-2y'=sin(y)\), \(y^2-y'=2\).

O que dá esta característica, de não linearidade à estas EDO's é o fato de haver composições da função y.

2. \(y'+3y=0\) possui como solução particular a função: \(y=c_1x+c_2x^2\), para verificar isto basta substituir a função solução na função original. Para isso precisamos, antes, fazer a primeira derivada da função y.

\(y'=c_1+2c_2x\), com a derivada, substituímo-na, junto à função y na equação diferencial orginal:

\(c_1+2c_2x + 3 \times (c_1x+c_2x^2)=0 \\ c_1+2c_2x+3c_1x+3c_2x^2=0 \\ 3c_2x^2+(3c_1+2c_2)x+c_1=0\), veja que a função não zera, portanto a função dada não é solução da EDO.

Na verdade....
Esta é uma EDO de primeira ordem, linear homogênea e separável.
1 - Primeira ordem por possui apenas a derivada primeira

2 - Linear por não possui nenhuma composição com a função y.

3 - Homogênea por ser igual à zero

4 Separável pois:

\(y'+3y=0 \\ \frac{dy}{dx}+3y=0 \\ \frac{dy}{dx}=-3y \\ \frac{1}{y} \times \frac{dy}{dx} = -3 \\ \frac{1}{y} dy = -3 dx, \ integra \ de \ ambos \ os \ lados \\ ln(y)=-3x+c \\ y = e^{-3x+c} \\ y = e^{-3x} \times e^c, \ mas \ e^c \ é \ uma \ constante \\ y=c_1e^{-3x}\)

Que é a solução da EDO dada, pois:

\(\frac{d\times(c_1e^{-3x})}{dx}+3\times(c_1e^{-3x})=0 \\ -3c_1e^{-3x}+3c_1e^{-3x}=0\).