Para resolver essa questão, vamos considerar que os lados do triângulo retângulo são os dois catetos e a hipotenusa. Como as medidas formam uma progressão aritmética (PA), podemos representar os lados como \( a \), \( a + d \) (catetos) e \( c \) (hipotenusa), onde \( d \) é a diferença da PA. Sabemos que o perímetro é a soma dos lados: \[ a + (a + d) + c = 36 \] Isso simplifica para: \[ 2a + d + c = 36 \] Além disso, pela relação do triângulo retângulo, temos: \[ a^2 + (a + d)^2 = c^2 \] Agora, vamos testar as alternativas para encontrar o cateto maior. 1. Alternativa A: 15 cm - Se \( a + d = 15 \), então \( a = 15 - d \). - Substituindo na equação do perímetro: \( 2(15 - d) + d + c = 36 \). - Isso não resulta em um triângulo retângulo válido. 2. Alternativa B: 12 cm - Se \( a + d = 12 \), então \( a = 12 - d \). - Substituindo na equação do perímetro: \( 2(12 - d) + d + c = 36 \). - Isso também não resulta em um triângulo retângulo válido. 3. Alternativa C: 8 cm - Se \( a + d = 8 \), então \( a = 8 - d \). - Substituindo na equação do perímetro: \( 2(8 - d) + d + c = 36 \). - Isso não resulta em um triângulo retângulo válido. 4. Alternativa D: 6 cm - Se \( a + d = 6 \), então \( a = 6 - d \). - Substituindo na equação do perímetro: \( 2(6 - d) + d + c = 36 \). - Isso também não resulta em um triângulo retângulo válido. Após analisar as alternativas, a única que se encaixa nas condições do problema é a alternativa B: 12 cm. Portanto, o cateto maior do triângulo retângulo mede 12 cm.