14. **Problema:** Determine o valor de \( \int \frac{1}{x(x^2 + 1)} \, dx \). - **Resposta:** \( \frac{1}{2} \ln |x| - \frac{1}{2} \arctan(x) + C ...

Para resolver essa integral, é necessário decompor a fração em frações parciais. A integral dada é do tipo \( \int \frac{1}{x(x^2 + 1)} \, dx \). A decomposição em frações parciais dessa expressão resulta em: \( \frac{1}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} \). Resolvendo essa equação, encontramos que \( A = 0 \), \( B = \frac{1}{2} \) e \( C = -\frac{1}{2} \). Portanto, a integral \( \int \frac{1}{x(x^2 + 1)} \, dx \) se torna: \( \int \frac{1}{x(x^2 + 1)} \, dx = \int \left( \frac{0}{x} + \frac{\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}}{x^2 + 1} \right) \, dx \). Integrando termo a termo, obtemos: \( \int \frac{1}{x(x^2 + 1)} \, dx = \int \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x^2 + 1} \right) \, dx \). Finalmente, a integral resulta em: \( \frac{1}{2} \ln |x| - \frac{1}{2} \arctan(x) + C \). Portanto, a resposta correta é: \( \frac{1}{2} \ln |x| - \frac{1}{2} \arctan(x) + C \).