432. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^2} \). Resolução: \( f'(x) = -\frac{\cos(x)(2x + \sin(x))}{x^3} \).

Para determinar a derivada da função \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^2} \), podemos utilizar a regra do quociente. Primeiramente, derivamos o numerador e o denominador separadamente. A derivada de \(\cos(x)\) é \(-\sin(x)\) e a derivada de \(x^2\) é \(2x\). Em seguida, aplicamos a regra do quociente para obter a derivada da função \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{-\sin(x) \cdot x^2 - \cos(x) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{-x^2\sin(x) - 2x\cos(x)}{x^4} = -\frac{x^2\sin(x) + 2x\cos(x)}{x^4} = -\frac{\cos(x)(2x + \sin(x))}{x^3} \] Portanto, a derivada da função \( f(x) = \frac{\cos(x)}{x^2} \) é \( f'(x) = -\frac{\cos(x)(2x + \sin(x))}{x^3} \).