Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{3x} \)? a) \( e^6 \) b) \( e^3 \) c) \( e^2 \)

Para resolver essa questão, podemos utilizar a propriedade do limite exponencial. Vamos analisar a expressão dada: \[ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{3x} \] Podemos reescrever a expressão como: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{x} \right)^3 \] Sabemos que o limite \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \) é igual a \( e \). Portanto, podemos substituir \( \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{x} \) por \( e^2 \) na expressão: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \left( 1 + \frac{2}{x} \right)^{x} \right)^3 = (e^2)^3 = e^6 \] Portanto, o valor do limite é \( e^6 \), que corresponde à alternativa a).