12. Problema: Se A e B são matrizes quadradas tais que AB = BA e A^2 = B^2 = I, mostre que det(A+B) = 0. det(A+B) = 0. Explicação: Utilize propried...

Para resolver esse problema, podemos utilizar as propriedades das matrizes e determinantes. Vamos analisar as informações fornecidas: Sabemos que AB = BA e A^2 = B^2 = I. Além disso, queremos mostrar que det(A+B) = 0. Vamos expandir det(A+B) utilizando a propriedade do determinante da soma de matrizes: det(A+B) = det(A) + det(B) + 2*det(C), onde C é a matriz resultante da interseção de A e B. Como AB = BA, podemos multiplicar a equação AB = BA por A pela direita e por B pela esquerda, resultando em: A^2B = BA^2 Multiplicando por B pela direita em ambos os lados, temos: A^2B^2 = BA^2B Como A^2 = B^2 = I, temos: IB^2 = BA B = BA Agora, substituímos B por BA na equação det(A+B): det(A+B) = det(A) + det(B) + 2*det(C) det(A+B) = det(A) + det(B) + 2*det(A) det(A+B) = det(A) + det(A) + 2*det(A) det(A+B) = 4*det(A) Como det(A) = det(B) = 1 (pois A^2 = B^2 = I), temos: det(A+B) = 4*1 = 4 Portanto, det(A+B) não é igual a 0. Assim, a afirmação inicial está incorreta.