Encontre a solução geral da equação diferencial \( y' + 2xy = e^{-x^2} \). a) A solução geral é \( y(x) = e^{-x^2} \left( C + \int e^{x^2} e^{x^2}...

Para resolver essa equação diferencial, é necessário utilizar o método de fator integrante. Primeiramente, identificamos a equação na forma padrão \(y' + P(x)y = Q(x)\), onde \(P(x) = 2x\) e \(Q(x) = e^{-x^2}\). O fator integrante é dado por \(e^{\int P(x) \, dx}\). Assim, o fator integrante é \(e^{\int 2x \, dx} = e^{x^2}\). Multiplicando toda a equação diferencial por esse fator integrante, obtemos: \[e^{x^2}y' + 2xye^{x^2} = e^{x^2}e^{-x^2}\] \[e^{x^2}y' + 2xye^{x^2} = 1\] Agora, podemos reescrever a equação como a derivada do produto \(y(x)e^{x^2}\): \[\frac{d}{dx} (y(x)e^{x^2}) = 1\] Integrando ambos os lados em relação a \(x\), obtemos: \[y(x)e^{x^2} = \int 1 \, dx = x + C\] Portanto, a solução geral da equação diferencial \(y' + 2xy = e^{-x^2}\) é dada por: \[y(x) = e^{-x^2}(x + C)\] Assim, a alternativa correta é: b) A solução geral é \(y(x) = e^{-x^2} \left( C + \int e^{-x^2} \, dx \right)\), onde \(C\) é uma constante.