Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = x \), e \( x = 4 \). a) A área é \( \frac{32}{3} \). b) A área é \( 8 ...

Para determinar a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = x \) e \( x = 4 \), é necessário encontrar os pontos de interseção entre as curvas e então calcular a integral da diferença entre as funções para obter a área desejada. Os pontos de interseção são encontrados igualando as funções duas a duas. Assim, temos: 1. \( \sqrt{x} = x \) 2. \( x = 4 \) Resolvendo a equação \( \sqrt{x} = x \), encontramos que \( x = 1 \) é o ponto de interseção. Agora, para calcular a área, podemos integrar a função \( \sqrt{x} - x \) no intervalo de \( x = 1 \) a \( x = 4 \). A integral que representa a área é dada por: \[ \int_{1}^{4} (\sqrt{x} - x) \, dx \] Calculando essa integral, obtemos: \[ \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \left( \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{4^2}{2} \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{1^2}{2} \right) \] \[ = \left( \frac{2}{3} \cdot 8 - 8 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{16}{3} - 8 \right) - \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \right) \] \[ = \left( \frac{16}{3} - \frac{24}{3} \right) - \left( \frac{2}{3} - \frac{3}{6} \right) = \left( \frac{-8}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} \right) = -\frac{9}{3} = -3 \] Portanto, a área da região é \( 3 \). Dessa forma, a alternativa correta é: c) A área é \( 16 \).