Encontre a matriz inversa de A = \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \). a) A inversa de A é \( \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\...

Para encontrar a matriz inversa de uma matriz \( A \), é necessário utilizar a fórmula da matriz inversa: \( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \times \text{adj}(A) \), onde \( \text{det}(A) \) é o determinante de \( A \) e \( \text{adj}(A) \) é a matriz adjunta de \( A \). Dada a matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \), podemos calcular sua inversa da seguinte forma: 1. Calcular o determinante de \( A \): \( \text{det}(A) = 2 \times 2 - (-1) \times (-1) = 4 - 1 = 3 \) 2. Calcular a matriz adjunta de \( A \): A matriz adjunta de \( A \) é obtida trocando os elementos da diagonal principal, mudando o sinal dos elementos da diagonal secundária e depois transpondo a matriz. Portanto, a matriz adjunta de \( A \) é: \( \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \) 3. Calcular a matriz inversa de \( A \): \( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \times \text{adj}(A) = \frac{1}{3} \times \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \) Portanto, a alternativa correta é: a) A inversa de A é \( \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)