Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = x \), e \( x = 4 \). a) A área é \( \frac{32}{3} \). b) A área é \( 8 ...

Para determinar a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = x \) e \( x = 4 \), é necessário encontrar os pontos de interseção entre essas curvas e então calcular a integral da diferença entre as funções para obter a área desejada. Os pontos de interseção são encontrados igualando as funções duas a duas: 1. \( \sqrt{x} = x \) para encontrar o ponto de interseção entre \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x \): \[ x = \sqrt{x} \] \[ x^2 = x \] \[ x^2 - x = 0 \] \[ x(x - 1) = 0 \] Assim, \( x = 0 \) e \( x = 1 \). Portanto, a área da região é dada pela integral de \( (\sqrt{x} - x) \) de 0 a 1, somada à integral de \( (4 - x) \) de 1 a 4. Realizando os cálculos, a área é \( \frac{32}{3} \). Portanto, a alternativa correta é: a) A área é \( \frac{32}{3} \).