Determine a série de Taylor da função \( f(x) = \cos(x) \) centrada em \( x = 0 \). a) A série de Taylor é \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{...

Para determinar a série de Taylor da função \( f(x) = \cos(x) \) centrada em \( x = 0 \), podemos usar a fórmula geral da série de Taylor para a função cosseno: \[ \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \] Onde \( f^{(n)}(0) \) representa a n-ésima derivada de \( f(x) \) avaliada em \( x = 0 \). Para a função cosseno, as derivadas são periódicas, então \( f^{(n)}(0) \) será \( \cos(0) = 1 \) se \( n \) for par e \( \sin(0) = 0 \) se \( n \) for ímpar. Analisando as opções: a) A série de Taylor é \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \) - Esta opção está correta, pois representa a expansão da função cosseno em termos de potências pares de \( x \). b) A série de Taylor é \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \) - Esta opção representa a expansão da função seno, não do cosseno. c) A série de Taylor é \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \) - Esta opção está correta, pois também representa a expansão da função cosseno em termos de potências pares de \( x \). Portanto, as opções corretas são a) e c).