Determine a série de Taylor para a função f(x) = √(1 + x) centrada em x = 0. a) f(x) = 1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16 - ... b) f(x) = 1 + x/2 + x^2/8 + ...

Para determinar a série de Taylor para a função \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) centrada em \( x = 0 \), podemos usar a fórmula da série de Taylor, que envolve as derivadas da função em torno do ponto de centro. Calculando as derivadas de \( f(x) = \sqrt{1 + x} \), temos: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{1 + x}} \) e \( f''(x) = -\frac{1}{4(1 + x)^{3/2}} \). Substituindo na fórmula da série de Taylor, obtemos: \( f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + ... \). Calculando os valores das derivadas em \( x = 0 \), temos: \( f(0) = \sqrt{1} = 1 \), \( f'(0) = \frac{1}{2} \) e \( f''(0) = -\frac{1}{4} \). Portanto, a série de Taylor para \( f(x) = \sqrt{1 + x} \) centrada em \( x = 0 \) é: \( f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + ... \). Assim, a alternativa correta é: a) \( f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - ... \).