Seja f uma função diferenciável e suponha que, para todo x ∈ Df, 3x2 + x sen f (x) = 2. Mostre que para todo x ∈ Df, com x cos f (x) ≠ 0.

Para demonstrar que para todo x ∈ Df, com x cos f(x) ≠ 0, podemos começar derivando a equação dada em relação a x. Assim, temos: d/dx [3x^2 + x sen f(x)] = d/dx [2] 6x + sen f(x) + x cos f(x) f'(x) = 0 Agora, vamos analisar a expressão x cos f(x). Se x cos f(x) = 0 para algum x ∈ Df, então a derivada em relação a x seria 0, o que contradiz a equação acima. Portanto, podemos concluir que para todo x ∈ Df, x cos f(x) ≠ 0.