6.9) Mostre que, para todo ???? ∈ ℕ0, 30 a) 10|(11???? − 1); b) 8|(32???? − 1); c) 57|(74???? − 24????); d) 3|(10???? − 7????); e) 13|(92???? − 24????); f) 6|(52????+1...

Para resolver essas questões, podemos usar a propriedade dos números congruentes. Vou analisar cada alternativa: a) Para mostrar que 10 divide (11^n - 1), podemos usar a propriedade de que se a ≡ b (mod m), então a^n ≡ b^n (mod m). Assim, 11 ≡ 1 (mod 10), então 11^n ≡ 1^n ≡ 1 (mod 10), o que implica que 10 divide (11^n - 1). b) Para mostrar que 8 divide (32^n - 1), podemos usar a mesma propriedade. Temos que 32 ≡ 0 (mod 8), então 32^n ≡ 0^n ≡ 0 (mod 8), o que implica que 8 divide (32^n - 1). c) Para mostrar que 57 divide (74^n - 24^n), podemos fatorar a expressão como (74^n - 24^n) = (74^n - 57^n) + (57^n - 24^n). Como 57 divide (57^n - 24^n) e 57 divide (74^n - 57^n), então 57 divide a expressão toda. d) Para mostrar que 3 divide (10^n - 7^n), podemos observar que 10 ≡ 1 (mod 3) e 7 ≡ 1 (mod 3), então 10^n ≡ 1^n ≡ 1 (mod 3) e 7^n ≡ 1^n ≡ 1 (mod 3), o que implica que 3 divide (10^n - 7^n). e) Para mostrar que 13 divide (92^n - 24^n), podemos observar que 92 ≡ 3 (mod 13) e 24 ≡ 11 (mod 13), então 92^n ≡ 3^n (mod 13) e 24^n ≡ 11^n (mod 13). Podemos verificar que 3^3 ≡ 1 (mod 13) e 11^3 ≡ 1 (mod 13), então 92^n ≡ 1 (mod 13) e 24^n ≡ 1 (mod 13), o que implica que 13 divide (92^n - 24^n). f) Para mostrar que 6 divide (52^n + 1), podemos observar que 52 ≡ 4 (mod 6) e 1 ≡ 1 (mod 6), então 52^n ≡ 4^n (mod 6) e 1^n ≡ 1 (mod 6). Como 4^n + 1 ≡ 0 + 1 ≡ 1 (mod 6), então 6 não divide (52^n + 1). Portanto, as respostas corretas são: a) 10|(11^n - 1) b) 8|(32^n - 1) c) 57|(74^n - 24^n) d) 3|(10^n - 7^n) e) 13|(92^n - 24^n) f) 6 não divide (52^n + 1)