Dada a seguinte função: f(x) = 10 (x3 − 3x2 − 9x). Encontre o intervalo no qual f(x) é crescente e assinale a alternativa correta: a. (−∞, −1)...

Vamos encontrar o intervalo no qual a função \( f(x) = 10(x^3 - 3x^2 - 9x) \) é crescente. Para isso, precisamos analisar os pontos críticos da função, que ocorrem onde a derivada primeira é igual a zero. Calculando a derivada da função \( f(x) \), obtemos: \[ f'(x) = 10(3x^2 - 6x - 9) \] \[ f'(x) = 30x^2 - 60x - 90 \] Encontrando os pontos críticos, igualamos a derivada a zero: \[ 30x^2 - 60x - 90 = 0 \] \[ 30(x^2 - 2x - 3) = 0 \] \[ 30(x - 3)(x + 1) = 0 \] Assim, os pontos críticos são \( x = 3 \) e \( x = -1 \). Para determinar os intervalos de crescimento, podemos testar os sinais da derivada nos intervalos formados por esses pontos críticos. - Para \( x < -1 \): Escolhendo \( x = -2 \) (por exemplo), temos \( f'(-2) = 30(-2)^2 - 60(-2) - 90 = 30(4) + 120 - 90 = 30 > 0 \), então a função é crescente nesse intervalo. - Para \( -1 < x < 3 \): Escolhendo \( x = 0 \), temos \( f'(0) = 30(0)^2 - 60(0) - 90 = -90 < 0 \), então a função é decrescente nesse intervalo. - Para \( x > 3 \): Escolhendo \( x = 4 \), temos \( f'(4) = 30(4)^2 - 60(4) - 90 = 30(16) - 240 - 90 = 480 - 240 - 90 = 150 > 0 \), então a função é crescente nesse intervalo. Portanto, o intervalo no qual a função \( f(x) \) é crescente é \( (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) \). Assim, a alternativa correta é a letra c. (−∞, −1)∪(3, +∞).