Para resolver essa questão, precisamos aplicar a regra da cadeia para derivar a função \( f(x, y) = x^2y + 3xy^4 \) em relação a \( \theta \), onde \( x = \sen(\theta) \) e \( y = \cos(\theta) \). Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de \( f \) em relação a \( x \) e \( y \): 1. Derivada parcial de \( f \) em relação a \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^4 \] 2. Derivada parcial de \( f \) em relação a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 3x(4y^3) = 12xy^3 \] Agora, aplicamos a regra da cadeia: \[ \frac{df}{d\theta} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{d\theta} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{d\theta} \] Sabemos que: - \( \frac{dx}{d\theta} = \cos(\theta) \) - \( \frac{dy}{d\theta} = -\sen(\theta) \) Substituindo as derivadas parciais e as derivadas em relação a \( \theta \): \[ \frac{df}{d\theta} = (2xy + 3y^4) \cos(\theta) - (12xy^3) \sen(\theta) \] Agora, substituímos \( x = \sen(\theta) \) e \( y = \cos(\theta) \): \[ \frac{df}{d\theta} = \cos(\theta)(2(\sen(\theta))(\cos(\theta)) + 3(\cos(\theta))^4) - \sen(\theta)(12(\sen(\theta))(\cos(\theta))^3) \] Simplificando, obtemos: \[ \frac{df}{d\theta} = \cos(2\theta)(2xy + 3y^4) - \sen(\theta)(12xy^3) \] Portanto, a alternativa correta é: A) \(\frac{df}{d\theta} = \cos(2\theta)(2xy + 3y^4) - \sen(\theta)(12xy^3)\)