11. (Fuvest 2012) No plano cartesiano Oxy , a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas cond...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a equação da circunferência: (x - a)² + (y - b)² = r² Onde (a, b) é o centro da circunferência e r é o raio. Sabemos que a circunferência é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5, então o centro da circunferência está sobre a reta x = 5. Além disso, a circunferência contém o ponto (1, 2), então podemos substituir esses valores na equação da circunferência: (1 - 5)² + (2 - b)² = r² 16 + (2 - b)² = r² Também sabemos que a circunferência é tangente ao eixo Ox, então o ponto de tangência está sobre a reta x = 5. Como o centro da circunferência também está sobre essa reta, temos que a distância entre o ponto de tangência e o centro é igual ao raio. Assim, podemos escrever: r = 5 - a Substituindo essa expressão em nossa equação, temos: 16 + (2 - b)² = (5 - a)² Desenvolvendo o quadrado e substituindo a expressão r = 5 - a, temos: 16 + 4 - 4b + b² = 25 - 10a + a² Simplificando, temos: a² - 10a + b² - 9 = 0 Agora, precisamos encontrar os valores de a e b que satisfazem essa equação. Sabemos que o ponto (5, 0) está sobre a reta x = 5, então podemos substituir x = 5 na equação da circunferência para obter: (5 - a)² + b² = r² Substituindo r = 5 - a, temos: b² = 25 - 10a + a² - (5 - a)² b² = 25 - 10a + a² - 25 + 10a - a² b² = 0 Portanto, b = 0 e a pode ser encontrado substituindo b = 0 na equação a² - 10a + b² - 9 = 0: a² - 10a - 9 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos: a = 5 + 2√14 ou a = 5 - 2√14 Como a circunferência está no primeiro quadrante, temos que a > 0. Portanto, a = 5 + 2√14. Finalmente, podemos encontrar o raio substituindo a em r = 5 - a: r = 5 - (5 + 2√14) r = -2√14 + 5 Como o raio deve ser positivo, temos que r = 2√14 - 5. Portanto, a alternativa correta é a letra B) 2√14 - 5.