Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que A 2,−2,3 , B 1,0,1 e C 3,0,−1 .

Para calcular a área do triângulo ABC, podemos utilizar a fórmula da área: Área = (base x altura) / 2 Onde a base é o lado BC e a altura é a altura relativa a esse lado. Para encontrar a altura, podemos utilizar a fórmula: h = |(AB x AC) . BC| / |BC|^2 Onde AB e AC são vetores que partem do vértice A e apontam para os vértices B e C, respectivamente. O vetor BC é o vetor que parte do vértice B e aponta para o vértice C. Para calcular a área e a altura, podemos seguir os seguintes passos: 1. Calcular os vetores AB e AC: AB = B - A = (1, 0, 1) - (2, -2, 3) = (-1, 2, -2) AC = C - A = (3, 0, -1) - (2, -2, 3) = (1, 2, -4) 2. Calcular o vetor BC: BC = C - B = (3, 0, -1) - (1, 0, 1) = (2, 0, -2) 3. Calcular o módulo do vetor BC: |BC| = sqrt(2^2 + 0^2 + (-2)^2) = sqrt(8) = 2sqrt(2) 4. Calcular o produto vetorial AB x AC: AB x AC = (-2, 4, 4) 5. Calcular o módulo do produto vetorial: |AB x AC| = sqrt((-2)^2 + 4^2 + 4^2) = sqrt(24) = 2sqrt(6) 6. Calcular a altura h: h = |(AB x AC) . BC| / |BC|^2 h = |(-2, 4, 4) . (2, 0, -2)| / (2sqrt(2))^2 h = |-8| / 8 h = 1 7. Calcular a área: Área = (base x altura) / 2 Área = (|BC| x h) / 2 Área = (2sqrt(2) x 1) / 2 Área = sqrt(2) Portanto, a área do triângulo ABC é sqrt(2) e a altura relativa ao lado BC é 1.