5. Considere a função quadrática f : R→ R, f(x) = a x2 + b x+ c, com a > 0. Use a forma canônica do trinômio de segundo grau a) Determine a forma c...

a) A forma canônica do trinômio de segundo grau é dada por f(x) = a(x - x_v)² + y_v, onde (x_v, y_v) é o vértice da parábola. Para obter a forma canônica, basta completar o quadrado: f(x) = a x² + b x + c f(x) = a (x² + (b/a) x) + c f(x) = a (x² + (b/a) x + (b/2a)² - (b/2a)²) + c f(x) = a (x + (b/2a))² - (b²/4a) + c Portanto, a forma canônica de f é f(x) = a (x + (b/2a))² - (b²/4a) + c. b) O vértice da parábola é dado por (-b/2a, f(-b/2a)). Substituindo x = -b/2a na forma canônica, temos: f(-b/2a) = a ((-b/2a) + (b/2a))² - (b²/4a) + c f(-b/2a) = a (0)² - (b²/4a) + c f(-b/2a) = c - (b²/4a) Portanto, o vértice da parábola é V = (-b/2a, c - (b²/4a)). c) O conjunto imagem de f depende do valor de a. Se a > 0, então a parábola tem concavidade para cima e o valor mínimo de f é y_v = c - (b²/4a). Nesse caso, o conjunto imagem de f é [y_v, +∞). Se a < 0, então a parábola tem concavidade para baixo e o valor máximo de f é y_v = c - (b²/4a). Nesse caso, o conjunto imagem de f é (-∞, y_v].