4) Para que valores de k a equação a^(kx) - a^(-x) + 1 = 0, com a > 0 e a ≠ 1, admite raiz real?

Para que a equação a^(kx) - a^(-x) + 1 = 0 admita raiz real, é necessário que o discriminante da equação seja maior ou igual a zero. O discriminante é dado por: Δ = b^2 - 4ac Onde: a = a^(kx) b = -1 c = 1 Substituindo os valores na fórmula do discriminante, temos: Δ = (-1)^2 - 4 * a^(kx) * 1 Δ = 1 - 4a^(kx) Para que a equação admita raiz real, Δ ≥ 0. Portanto: 1 - 4a^(kx) ≥ 0 4a^(kx) ≤ 1 a^(kx) ≤ 1/4 kx ≤ log_a(1/4) kx ≤ -2log_a(2) x ≤ -2klog_a(2) Portanto, a equação admite raiz real para todo x ≤ -2klog_a(2).