2ª QUESTÃO Valor: 0,25

Seja f(x) uma função definida em R tal que f(1) = 1. Para todo x ∈ R valem as seguintes
desigualdades

f(x+ 7) ⩾ f(x) + 7 e...

Question

2ª QUESTÃO Valor: 0,25Seja f(x) uma função definida em R tal que f(1) = 1. Para todo x ∈ R valem as seguintesdesigualdadesf(x+ 7) ⩾ f(x) + 7 e f(x+ 1) ⩽ f(x) + 1 .Se g(x) = f(x− 1)− x+ 2, o valor de g(2023) é(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 2022 (E) 2023A) 0B) 1C) 2D) 2022E) 2023

Ed · Answer

Para encontrar o valor de g(2023), precisamos primeiro encontrar o valor de f(2022), já que g(x) = f(x-1) - x + 2.

Usando a desigualdade f(x+7) ⩾ f(x) + 7, podemos escrever:

f(2022) = f(2015 + 7) ⩾ f(2015) + 7
f(2015 + 7) ⩾ f(2008) + 7
f(2008 + 7) ⩾ f(2001) + 7
...
f(2 + 7) ⩾ f(-5) + 7
f(-5 + 7) ⩾ f(-12) + 7

Como f(1) = 1, podemos usar a desigualdade f(x+1) ⩽ f(x) + 1 para escrever:

f(-12) ⩽ f(-11) + 1
f(-11) ⩽ f(-10) + 1
...
f(-6) ⩽ f(-5) + 1
f(-5) ⩽ f(-4) + 1
f(-4) ⩽ f(-3) + 1
...
f(1) ⩽ f(2) + 1

Substituindo f(1) por 1, temos:

f(-12) ⩽ f(-11) + 1
f(-11) ⩽ f(-10) + 1
...
f(-6) ⩽ f(-5) + 1
f(-5) ⩽ f(-4) + 1
f(-4) ⩽ f(-3) + 1
...
1 ⩽ f(2) + 1

Somando todas as desigualdades, temos:

f(2022) ⩾ f(2) + 2020

Mas f(2) ⩾ f(1) + 1 = 2, então:

f(2022) ⩾ 2022 + 2 = 2024

Agora podemos encontrar o valor de g(2023):

g(2023) = f(2022) - 2023 + 2 ⩾ 2024 - 2023 + 2 = 3

Portanto, a alternativa correta é a letra E) 2023.

2ª QUESTÃO Valor: 0,25 Seja f(x) uma função definida em R tal que f(1) = 1. Para todo x ∈ R valem as seguintes desigualdades f(x+ 7) ⩾ f(x) + 7 e...

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