Calcule a integral de linha de F (x, y, z) = (senx, cos y, xz) ao longo da curva r(t) = (t3,−t2, t), 0 ≤ t ≤ 1.

Para calcular a integral de linha de F (x, y, z) = (senx, cos y, xz) ao longo da curva r(t) = (t3,−t2, t), 0 ≤ t ≤ 1, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a derivada da curva r(t): r'(t) = (3t², -2t, 1) 2. Calcular o comprimento da curva r(t): | r'(t) | = √(9t^4 + 4t^2 + 1) 3. Normalizar o vetor tangente T(t): T(t) = r'(t) / | r'(t) | 4. Calcular a integral de linha: ∫[0,1] F(r(t)) . T(t) | r'(t) | dt Substituindo os valores, temos: ∫[0,1] (sen(t^3), cos(-t^2), t^4) . (3t², -2t, 1) / √(9t^4 + 4t^2 + 1) dt Integrando cada componente do vetor, temos: ∫[0,1] 3t^4 sen(t^3) / √(9t^4 + 4t^2 + 1) dt - ∫[0,1] 2t^3 cos(t^2) / √(9t^4 + 4t^2 + 1) dt + ∫[0,1] t^4 / √(9t^4 + 4t^2 + 1) dt Essas integrais são difíceis de calcular analiticamente, então é necessário usar técnicas de integração numérica ou aproximações.