Dados os pontos A = (1, −1), B = (−2, 4), C = (−2, 1) e a reta r : x − 2y = 4, determine D ∈ r tal que, o vetor −−→CD seja a projeção ortogonal d...

Para encontrar o ponto D, precisamos primeiro encontrar a equação da reta perpendicular a r que passa pelo ponto C. A equação da reta r é x - 2y = 4, então a equação da reta perpendicular é 2x + y = k, onde k é uma constante a ser determinada. Como a reta perpendicular passa pelo ponto C (-2, 1), temos: 2(-2) + 1 = k k = -3 Portanto, a equação da reta perpendicular é 2x + y = -3. Agora, precisamos encontrar o ponto de interseção entre essa reta e a reta r. Podemos fazer isso resolvendo o sistema formado pelas duas equações: 2x + y = -3 x - 2y = 4 Multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda, obtemos: 5y = -10 y = -2 Substituindo y na segunda equação, temos: x - 2(-2) = 4 x = 0 Portanto, o ponto de interseção entre as duas retas é D = (0, -2). Agora, precisamos verificar se o vetor CD é a projeção ortogonal do vetor AB sobre a reta r. Para isso, podemos calcular o vetor AB e projetá-lo sobre a reta r: AB = B - A = (-2, 4) - (1, -1) = (-3, 5) Agora, precisamos decompor o vetor AB em duas componentes: uma paralela à reta r e outra perpendicular a ela. A componente paralela é dada por: projr(AB) = ((AB . u)r / ||u||^2) * u onde u é o vetor diretor da reta r e . representa o produto escalar. Temos: u = (1, 1/2) ||u||^2 = 5/4 AB . u = (-3)(1) + 5(1/2) = -1/2 ((AB . u)r / ||u||^2) = (-1/2) / (5/4) = -2/5 projr(AB) = (-2/5)(1, 1/2) = (-2/5, -1/5) A componente perpendicular é dada por: perpr(AB) = AB - projr(AB) = (-3, 5) - (-2/5, -1/5) = (-13/5, 26/5) Portanto, o vetor CD deve ser igual à componente paralela de AB, ou seja: CD = (-2/5, -1/5) Verificando se CD é perpendicular à reta r: CD . u = (-2/5)(1) + (-1/5)(1/2) = -4/5 Como CD . u = 0, concluímos que CD é perpendicular à reta r. Portanto, a alternativa correta é a letra d) Todas as afirmações estão corretas.