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Circunferência é lugar geométrico dos pontos de um plano que distam igualmente, ou seja, de uma mesma medida, chamada raio, de um ponto fixo denominado centro.Sobre a equação da circunferência que tangencia as retas x + 2y = 0 e x + 2y = 10 e que passa pelo ponto (0; 0), assinale a alternativa CORRETA:

A) x2 + y2 + 2x + 4y = 0.

B) x2 + y2 + 4x + 2y = 0.

C) x2 + y2 - 4x - 2y = 0.

D) x2 + y2 - 2x - 4y = 0.


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Enviado por Ronaldo Vieira ano passado

Respostas

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há 5 meses

Para resolver a questão, precisamos encontrar a equação da circunferência que tangencia as retas \(x + 2y = 0\) e \(x + 2y = 10\) e que passa pelo ponto \((0, 0)\). Primeiro, vamos determinar a distância entre as duas retas. A distância entre as retas paralelas \(Ax + By + C_1 = 0\) e \(Ax + By + C_2 = 0\) é dada pela fórmula: \[ d = \frac{|C_2 - C_1|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] No nosso caso, temos: - \(C_1 = 0\) (da reta \(x + 2y = 0\)) - \(C_2 = 10\) (da reta \(x + 2y = 10\)) - \(A = 1\) e \(B = 2\) Calculando a distância: \[ d = \frac{|10 - 0|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \] Como a circunferência tangencia as duas retas, o raio \(r\) da circunferência será metade dessa distância: \[ r = \frac{d}{2} = \sqrt{5} \] Agora, precisamos encontrar o centro da circunferência. O centro deve estar na linha média entre as duas retas. A equação da linha média pode ser encontrada substituindo \(y\) na equação da reta: A equação da reta média é: \[ x + 2y = 5 \] Agora, precisamos encontrar o centro da circunferência que também passa pelo ponto \((0, 0)\). A equação da circunferência é dada por: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] Substituindo \(r = \sqrt{5}\): \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = 5 \] Agora, vamos verificar as alternativas dadas para ver qual delas representa essa circunferência. Analisando as alternativas: A) \(x^2 + y^2 + 2x + 4y = 0\) B) \(x^2 + y^2 + 4x + 2y = 0\) C) \(x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0\) D) \(x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0\) Para encontrar a alternativa correta, podemos completar o quadrado em cada uma das equações e verificar se a circunferência passa pelo ponto \((0, 0)\) e se o raio é \(\sqrt{5}\). Após a análise, a alternativa correta que representa a circunferência que tangencia as retas e passa pelo ponto \((0, 0)\) é: A) \(x^2 + y^2 + 2x + 4y = 0\).

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ano passado

Para encontrar a equação da circunferência que tangencia as retas x + 2y = 0 e x + 2y = 10 e que passa pelo ponto (0,0), podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o ponto médio entre as duas retas, que será o centro da circunferência. 2. Encontrar a distância entre o centro e o ponto (0,0), que será o raio da circunferência. 3. Escrever a equação da circunferência na forma padrão, substituindo o centro e o raio na equação geral. Após realizar esses passos, a alternativa correta é a letra C) x² + y² - 4x - 2y = 0.

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