Seja r a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 1) e B = (3,−2, 0). a) Determine o ponto R da reta r que esteja mais próximo do ponto C = (3, 2, 1...

Para determinar o ponto R da reta r que está mais próximo do ponto C = (3, 2, 10), podemos usar o conceito de projeção ortogonal. Passo 1: Encontre o vetor diretor da reta r. Para isso, subtraia as coordenadas de A de B: Vetor diretor da reta r = B - A = (3, -2, 0) - (1, 0, 1) = (2, -2, -1). Passo 2: Encontre o vetor que vai de A até C: Vetor AC = C - A = (3, 2, 10) - (1, 0, 1) = (2, 2, 9). Passo 3: Calcule a projeção ortogonal do vetor AC no vetor diretor da reta r. Projeção ortogonal de AC em r = (AC · r̂) * r̂, onde r̂ é o vetor diretor unitário de r. Primeiro, normalize o vetor diretor da reta r dividindo-o pelo seu módulo: r̂ = (2, -2, -1) / √(2^2 + (-2)^2 + (-1)^2) = (2, -2, -1) / √9 = (2/3, -2/3, -1/3). Em seguida, calcule o produto escalar entre AC e r̂: AC · r̂ = (2, 2, 9) · (2/3, -2/3, -1/3) = (4/3 - 4/3 - 9/3) = -9/3 = -3. Agora, multiplique o produto escalar pelo vetor diretor unitário r̂: Projeção ortogonal de AC em r = (-3) * (2/3, -2/3, -1/3) = (-2, 2, 1). Passo 4: Some o vetor projeção ortogonal ao ponto A para obter o ponto R: R = A + Projeção ortogonal de AC em r = (1, 0, 1) + (-2, 2, 1) = (1 - 2, 0 + 2, 1 + 1) = (-1, 2, 2). Portanto, o ponto R da reta r que está mais próximo do ponto C = (3, 2, 10) é R = (-1, 2, 2). Para calcular a distância entre C e r, podemos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta: Distância entre C e r = |AC x r̂| / |r̂|, onde x representa o produto vetorial. Primeiro, calcule o produto vetorial entre AC e r̂: AC x r̂ = (2, 2, 9) x (2/3, -2/3, -1/3). O resultado do produto vetorial é um vetor perpendicular tanto a AC quanto a r̂. Em seguida, calcule o módulo desse vetor: |AC x r̂| = √((-2/3)^2 + (-2/3)^2 + (2/3)^2) = √(4/9 + 4/9 + 4/9) = √(12/9) = √(4/3) = 2/√3. Agora, calcule o módulo do vetor diretor unitário r̂: |r̂| = √((2/3)^2 + (-2/3)^2 + (-1/3)^2) = √(4/9 + 4/9 + 1/9) = √(9/9) = 1. Por fim, calcule a distância entre C e r: Distância entre C e r = |AC x r̂| / |r̂| = (2/√3) / 1 = 2/√3. Portanto, a distância entre C e r é igual a 2/√3.