Calcule o comprimento de arco da curva dada.
(a) γ(t) = (tcost, tsent) com t ∈ [0, 2π].
(b) γ(t) = (2t− 1, t+ 1) com t ∈ [1, 9].
(c) γ(t) = (cost, sent, e−t) com t ∈ [0, π].
(d) γ(t) = (e−tcost, e−tsent, e−t) com t ∈ [0, 1].
(e) γ(t) = (t, lnt) com t ∈ [0, e].

Question

Calcule o comprimento de arco da curva dada.
(a) γ(t) = (tcost, tsent) com t ∈ [0, 2π].
(b) γ(t) = (2t− 1, t+ 1) com t ∈ [1, 9].
(c) γ(t) = (cost, ...

Ed · Answer

Para calcular o comprimento de arco de uma curva, podemos utilizar a fórmula:

L = ∫[a,b] √(dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)² dt

Vamos calcular o comprimento de arco para cada uma das curvas dadas:

(a) γ(t) = (tcos(t), tsen(t)) com t ∈ [0, 2π]

Para calcular o comprimento de arco, precisamos encontrar as derivadas dx/dt e dy/dt:

dx/dt = cos(t) - tsen(t)
dy/dt = sen(t) + tcos(t)

Agora, podemos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:

L = ∫[0,2π] √(cos(t) - tsen(t))² + (sen(t) + tcos(t))² dt

(b) γ(t) = (2t - 1, t + 1) com t ∈ [1, 9]

Nesse caso, temos:

dx/dt = 2
dy/dt = 1

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:

L = ∫[1,9] √2² + 1² dt

(c) γ(t) = (cos(t), sen(t), e^(-t)) com t ∈ [0, π]

Nesse caso, temos:

dx/dt = -sen(t)
dy/dt = cos(t)
dz/dt = -e^(-t)

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:

L = ∫[0,π] √(-sen(t))² + cos(t)² + (-e^(-t))² dt

(d) γ(t) = (e^(-t)cos(t), e^(-t)sen(t), e^(-t)) com t ∈ [0, 1]

Nesse caso, temos:

dx/dt = -e^(-t)sen(t) - e^(-t)cos(t)
dy/dt = e^(-t)cos(t) - e^(-t)sen(t)
dz/dt = -e^(-t)

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:

L = ∫[0,1] √((-e^(-t)sen(t) - e^(-t)cos(t))² + (e^(-t)cos(t) - e^(-t)sen(t))² + (-e^(-t))² dt

(e) γ(t) = (t, ln(t)) com t ∈ [0, e]

Nesse caso, temos:

dx/dt = 1
dy/dt = 1/t

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:

L = ∫[0,e] √1² + (1/t)² dt

Essas são as fórmulas para calcular o comprimento de arco de cada uma das curvas dadas. Basta substituir os valores e realizar as integrações para obter as respostas.

Cálculo

Lista I

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Lista I

Calcule a área delimitada pela curva r2 = 9 sin(2θ).

Calcule a área delimitada pela curva r = cos(3θ).

Encontrar a área de interseção entre r = 4 cos θ e r = 4 sin θ.

Calcule a área do laço interno da limaçon r = 1− 2 sin θ.

Calcule a área total englobada pela lemniscata r = 8 cos θ.

Calcule a área no interior do ćırculo r = 6 cos θ e exterior à cardióide r = 2 + 2 cos θ.

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