O termo independente de x da equação f (x) = 4 x4+19x3+23x2+41x −12 = 0 é −12 e o coeficiente do termo de maior grau é 4. Os divisores de 12 (o...

O termo independente de x da equação f (x) = 4 x4+19x3+23x2+41x −12 = 0 é −12 e o coeficiente do termo de maior grau é 4. Os divisores de 12 (ou −12) são ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Os divisores de 4 são ±1, ±2, ±4. As possı́veis raı́zes racionais da equação são os divisores de 12 divididos pelos divisores de 4, ou seja, são ±1, ±12 , ± 1/4 , ±2, ±3, ± 3/2 , ± 3/4 , ±4, ±6, ±12. Substituindo cada uma das possı́veis raı́zes em f (x) obtemos f (−4) = 0 e f (14) = 0. Logo, −4 e 14 são raı́zes o que implica que f (x) é divisı́vel pelo polinômio 4(x − (−4))(x − 14) = 4x2 + 15x − 4. Dividindo-se f (x) por 4x2 + 15x − 4 obtemos quociente igual a x2 + x + 3. As outras raı́zes de f (x), além do −4 e 14 , são as raı́zes de x2 + x + 3 = 0 que são raı́zes complexas: x = −1± √1−12/2 = −1± √−11/2 = −1± √11i/2. Logo, as raı́zes da equação são −4, 14 e −1/2 ± √11/2 i.