Dadas as curvas C₂ e C₂ com suas respectivas retas tangentes T, e T₂ no ponto P, dizemos que o plano tangente à superfície S no ponto P, é um plano...

Para determinar o plano tangente à superfície S da função f(x,y) = -3x²+6y² no ponto P (2,-1,-3), precisamos calcular o gradiente da função f no ponto P. O gradiente de f é dado por: grad f = (df/dx, df/dy, df/dz) Calculando as derivadas parciais de f em relação a x e y, temos: df/dx = -6x df/dy = 12y Substituindo as coordenadas do ponto P na expressão do gradiente, temos: grad f(2,-1,-3) = (-12, -12) Portanto, o vetor normal ao plano tangente é n = (-12, -12, 1). O plano tangente à superfície S no ponto P é dado pela equação: -12(x - 2) - 12(y + 1) + (z + 3) = 0 Simplificando, temos: -12x - 12y + z + 33 = 0 Portanto, o plano tangente à superfície S da função f(x,y) = -3x²+6y² no ponto P (2,-1,-3) é dado pela equação -12x - 12y + z + 33 = 0.

Para determinar o plano tangente à superfície S da função f(x, y) = -3x² + 6y² no ponto P(2, -1, -3), precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y e, em seguida, utilizar essas derivadas para construir o plano tangente.

Passo 1: Encontre as derivadas parciais de f em relação a x e y.

A derivada parcial de f em relação a x (fx) é obtida derivando f em relação a x enquanto mantemos y constante:

fx = -6x

A derivada parcial de f em relação a y (fy) é obtida derivando f em relação a y enquanto mantemos x constante:

fy = 12y

Passo 2: Determine os valores das derivadas parciais no ponto P(2, -1, -3).

Substituindo x = 2 e y = -1 nas derivadas parciais obtidas no Passo 1, obtemos:

fx(2, -1) = -6(2) = -12

fy(2, -1) = 12(-1) = -12

Passo 3: Construa o plano tangente.

O plano tangente à superfície S no ponto P(2, -1, -3) pode ser representado pela equação geral de um plano:

Ax + By + Cz + D = 0

Para encontrar os coeficientes A, B, C e D, usamos as derivadas parciais calculadas no Passo 2 e as coordenadas do ponto P.

Aqui estão os passos para encontrar os coeficientes:

1. Determine o valor de A:

A = fx(2, -1) = -12

2. Determine o valor de B:

B = fy(2, -1) = -12

3. Determine o valor de C:

C = -1 (coeficiente correspondente à coordenada z do ponto P)

4. Determine o valor de D usando a equação geral do plano e as coordenadas do ponto P:

-12(2) - 12(-1) - 3D + D = 0

-24 + 12 + 3D - D = 0

-12 + 2D = 0

2D = 12

D = 6

Portanto, o plano tangente à superfície S da função f(x, y) = -3x² + 6y² no ponto P(2, -1, -3) é dado pela equação:

-12x - 12y - 3z + 6 = 0