2a Questão Seja 2 2 ,44 , )( 2 > ≤    − + = x x se se x bax xf . Determine a e b de modo que a função seja contínua e tenha derivada no ponto x...

Para determinar os valores de a e b de modo que a função seja contínua e tenha derivada no ponto x = 2, precisamos analisar as condições de continuidade e diferenciabilidade. Primeiro, vamos analisar a continuidade da função. Para que a função seja contínua em x = 2, os limites laterais devem ser iguais ao valor da função nesse ponto. Portanto, temos: lim(x → 2-) f(x) = lim(x → 2-) (ax^2 + bx) = a(2^2) + b(2) = 4a + 2b lim(x → 2+) f(x) = lim(x → 2+) (x^2 - 4) = (2^2) - 4 = 0 Assim, temos a primeira equação: 4a + 2b = 0. Agora, vamos analisar a diferenciabilidade da função. Para que a função tenha derivada no ponto x = 2, a derivada à esquerda deve ser igual à derivada à direita. Portanto, temos: f'(2-) = lim(x → 2-) f'(x) = lim(x → 2-) (2ax + b) = 4a + b f'(2+) = lim(x → 2+) f'(x) = lim(x → 2+) (2x) = 4 Assim, temos a segunda equação: 4a + b = 4. Agora, podemos resolver o sistema de equações formado pelas duas equações: 4a + 2b = 0 4a + b = 4 Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos: (4a + b) - (4a + 2b) = 4 - 0 b = 4 Substituindo o valor de b na primeira equação, temos: 4a + 2(4) = 0 4a + 8 = 0 4a = -8 a = -2 Portanto, os valores de a e b que tornam a função contínua e diferenciável no ponto x = 2 são a = -2 e b = 4.