Dada base C =｛(2, 0, 3, 0, 1 ),(-1, 2, -2, 1, 4),(1, 1, -1, 2, -1)de um subespaço E ∈ R5​​​​​​​, determine uma base para o complemento ortogonal de E?

Para encontrar uma base para o complemento ortogonal de E, precisamos primeiro encontrar a base para E. Para isso, podemos colocar a matriz formada pelas coordenadas dos vetores da base de E em forma escalonada reduzida. Após realizar as operações necessárias, obtemos a matriz: C = ｛(1, 0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2, 0), (0, 0, 1, -1, 0)｝ Portanto, uma base para E é dada pelos vetores: {(1, 0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 2, 0), (0, 0, 1, -1, 0)} Agora, para encontrar uma base para o complemento ortogonal de E, podemos utilizar o método de Gram-Schmidt. Esse método consiste em ortogonalizar uma base qualquer para o espaço complementar. Podemos escolher a base B = {(1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1)} para o espaço R5. Aplicando o método de Gram-Schmidt, obtemos a seguinte base para o complemento ortogonal de E: {(1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (-1, -2, 1, 1, 0), (-1, -4, 0, 0, 1)} Portanto, uma base para o complemento ortogonal de E é dada pelos vetores: {(1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (-1, -2, 1, 1, 0), (-1, -4, 0, 0, 1)}