Escreva v​​​​​​​ ​​​​​​​ = (0, 3, - 5) na base ortogonal B = ｛(-1, 4, 1), (1, 1, -3), (13, 2, 5)｝​​​​​​​, usando a decomposição ortogonal.​​​​​​​​​​?

Para escrever o vetor v = (0, 3, -5) na base ortogonal B = {(-1, 4, 1), (1, 1, -3), (13, 2, 5)} usando a decomposição ortogonal, precisamos projetar o vetor v em cada vetor da base e somar as projeções. A projeção de um vetor em relação a outro vetor é dada pelo produto escalar dividido pelo quadrado do comprimento do vetor base.

Vamos calcular as projeções do vetor v em relação a cada vetor da base B:

1. Projeção de v no vetor (-1, 4, 1):

  projeção1 = ((0, 3, -5) . (-1, 4, 1)) / ((-1, 4, 1) . (-1, 4, 1))

            = (0 * -1) + (3 * 4) + (-5 * 1) / ((-1 * -1) + (4 * 4) + (1 * 1))

            = 12 / 18

            = 2/3

  A projeção do vetor v no vetor (-1, 4, 1) é (2/3)(-1, 4, 1) = (-2/3, 8/3, 2/3).

2. Projeção de v no vetor (1, 1, -3):

  projeção2 = ((0, 3, -5) . (1, 1, -3)) / ((1, 1, -3) . (1, 1, -3))

            = (0 * 1) + (3 * 1) + (-5 * -3) / ((1 * 1) + (1 * 1) + (-3 * -3))

            = 12 / 11

  A projeção do vetor v no vetor (1, 1, -3) é (12/11)(1, 1, -3) = (12/11, 12/11, -36/11).

3. Projeção de v no vetor (13, 2, 5):

  projeção3 = ((0, 3, -5) . (13, 2, 5)) / ((13, 2, 5) . (13, 2, 5))

            = (0 * 13) + (3 * 2) + (-5 * 5) / ((13 * 13) + (2 * 2) + (5 * 5))

            = -23 / 198

  A projeção do vetor v no vetor (13, 2, 5) é (-23/198)(13, 2, 5) = (-299/198, -46/198, -115/198).

Agora, podemos escrever o vetor v na base B somando as projeções:

v = projeção1 + projeção2 + projeção3

 = (-2/3, 8/3, 2/3) + (12/11, 12/11, -36/11) + (-299/198, -46/198, -115/198)

 = (-2/3 + 12/11 - 299/198, 8/3 + 12/11 - 46/198, 2/3 - 36/11 - 115/198)

 = (-218/198,

 784/198, -791/198)

Portanto, o vetor v = (0, 3, -5) na base ortogonal B = {(-1, 4, 1), (1, 1, -3), (13, 2, 5)} usando a decomposição ortogonal é (-218/198, 784/198, -791/198).