Aceleradores_de_particulas_compactos_ace

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TRABAJO DE FIN DE GRADO 
 
 Grado en Física 
 2021/22 
 
Aceleradores de partículas compactos: aceleración de 
electrones por ondas de plasma y por pulsos láser 
 
 
 
 
 
Alumno: Diego Sánchez Méndez 
Tutor: Enrique Conejero Jarque 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D. Enrique Conejero Jarque, profesor del Departamento de Física Aplicada de la 
Universidad de Salamanca, autoriza la presentación del Trabajo de Fin de Grado 
titulado “Aceleradores de partículas compactos: aceleración de electrones por 
ondas de plasma y por pulsos láser”, realizado por el alumno D. Diego Sánchez 
Méndez. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Firmado por CONEJERO JARQUE ENRIQUE -
***7731** el día 28/06/2022 con un
certificado emitido por AC FNMT Usuarios
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
Resumen .......................................................................................................................... 1 
Palabras clave ............................................................................................................... 3 
Abstract ........................................................................................................................... 4 
Keywords ...................................................................................................................... 5 
 
Capítulo 1. Introducción ................................................................................................ 7 
Objetivos ..................................................................................................................... 10 
 
Capítulo 2. Dinámica de electrones en ondas planas ................................................. 11 
2.1 Movimiento no relativista en una onda plana ....................................................... 11 
2.2 Movimiento relativista en una onda plana ............................................................ 15 
2.3 Fuerza ponderomotriz ........................................................................................... 20 
2.4 Movimiento macroscópico: ecuación cinética. .................................................... 22 
 
Capítulo 3. Ondas en el plasma ................................................................................... 25 
3.1 Oscilaciones del plasma........................................................................................ 25 
3.2 Ondas de plasma ................................................................................................... 27 
3.3 Ondas de estela o Wake ........................................................................................ 29 
3.4 Aceleración de electrones y desintonía ................................................................ 30 
3.5 Aceleración alternativa de electrones ................................................................... 32 
 
Capítulo 4. Aceleración por pulsos láser (Laser Wakefield Accelerator, LWFA) ... 35 
4.1 Régimen lineal ...................................................................................................... 35 
4.2 Régimen no lineal. Ondas de plasma no lineales ................................................. 36 
4.3 Régimen de auto-modulación (self-modulated LWFA) ........................................ 38 
4.4 Modelos de inyección de electrones ..................................................................... 41 
4.4.1 Inyección por ionización ............................................................................ 42 
4.4.2 Inyección por colisión de pulsos ................................................................ 43 
4.4.3 Inyección en gradientes de densidad ......................................................... 44 
4.5 Actualidad del LWFA .......................................................................................... 45 
 
Capítulo 5. Aceleración por haces de partículas (Plasma Wakefield Accelerator, 
PWFA) ........................................................................................................................... 49 
5.1 Régimen lineal ...................................................................................................... 49 
5.2 Régimen no lineal. Régimen de ‘‘estallido’’ (blowout) ....................................... 50 
5.3 Inestabilidades ...................................................................................................... 51 
5.3.1 Auto-enfoque ............................................................................................. 52 
5.3.2 Inestabilidad Weibel (filamentación) ........................................................ 53 
5.3.3 Inestabilidad de manguera (electron hose instability) ............................... 54 
5.4 Actualidad del PWFA ........................................................................................... 55 
 
Capítulo 6. Aceleradores híbridos LWFA/PWFA ..................................................... 59 
6.1 Primeros pasos en el LPWFA ............................................................................... 59 
6.2 Prototipo de un LPWFA con inyección por ionización ........................................ 60 
6.3 Propuestas, experimentos y resultados ................................................................. 61 
 
Conclusiones .................................................................................................................. 65 
Conclusions ................................................................................................................... 66 
 
Apéndice ........................................................................................................................ 69 
A. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional (SI) y el Sistema Cegesimal 
(CGS) .......................................................................................................................... 69 
 
Referencias .................................................................................................................... 71 
Referencias en páginas web ................................................................................ 75 
 
 
 
 
1 
 
Resumen 
 
En las últimas décadas se han producido numerosos avances orientados a la consecución 
de nuevos esquemas de aceleración que permitan obtener energías superiores a las que se 
consiguen en los aceleradores de partículas convencionales, así como conseguir que los 
nuevos esquemas tengan unas dimensiones más compactas y un coste de producción 
menor que dichos montajes clásicos. 
Entre todos los esquemas propuestos, el más prometedor fue aquel en el que se proponía 
utilizar pulsos láser para excitar ondas en un plasma, las cuales darían lugar a campos 
electromagnéticos capaces de acelerar partículas hasta energías del orden de GeV (Tajima 
and Dawson 1979). Esta idea dio lugar al desarrollo del LWFA (Laser Wakefield 
Accelerator) en el cual un pulso láser ultra intenso interacciona con un plasma 
desplazando las partículas libres de dicho plasma, las cuales al intentar restituir el 
equilibrio darán lugar a oscilaciones, dichas oscilaciones, al ser de carácter 
electromagnético por involucrar partículas cargadas, avanzan a través del plasma 
generando el llamado campo de ‘‘estela’’ (wakefield en inglés), siendo dicho campo el 
que atrapa y acelera a las partículas inyectadas en el acelerador. 
La idea de emplear un plasma como medio acelerador dio lugar a otros esquemas, entre 
los cuales destaca la utilización de haces de partículas, en vez de pulsos láser, para excitar 
el campo acelerador en el plasma (Chen, Dawson, Huff and Katsouleas 1985). Este 
método dio lugar al llamado PWFA (Plasma Wakefield Accelerator), el cual requeriría 
de aceleradores lineales convencionales como fuente de los haces de partículas que 
excitanel plasma. Aunque en un principio este esquema pueda parecer un paso atrás 
comparado con el LWFA, ya que un sistema láser es mucho más compacto que un 
acelerador lineal, tiene varias ventajas y es que con él se pueden conseguir haces de 
partículas más estables y de mayor calidad que los del LWFA, y estas dos características 
son fundamentales para las distintas aplicaciones de los haces de partículas acelerados. 
El interés en el desarrollo de estos dos aceleradores radica en que con ellos se pueden 
conseguir gradientes de aceleración tres órdenes de magnitud mayores a los que se 
consiguen en aceleradores convencionales, lo que implica una reducción en su tamaño y 
por tanto más facilidades técnicas y menor desembolso económico. 
A lo largo de los sucesivos capítulos que conforman este Trabajo de Fin de Grado se 
explicarán las características de funcionamiento del LWFA y PWFA, así como de los 
nuevos aceleradores híbridos formados por ambos esquemas. En el capítulo 1 se explican 
las motivaciones principales para el estudio y desarrollo de estos aceleradores, 
comparándolos con los convencionales (lineales y circulares) y remarcando las ventajas 
de la utilización de plasma como medio para la generación de campos electromagnéticos 
aceleradores. A su vez, los esquemas de aceleración basados en plasma también se 
confrontan con las novedosas técnicas que han surgido en los últimos años (aceleradores 
basados en láseres de THz, dieléctricos y láseres de fibra óptica) mostrando de nuevo que 
los esquemas LWFA y PWFA son los mejores situados para sustituir a los convencionales 
aceleradores lineales y circulares. 
2 
 
El funcionamiento de estos aceleradores basados en plasma no se podría entender sin 
antes haber comprendido la dinámica de los electrones en ondas planas, ya que el estudio 
de estos movimientos conforma la base para, posteriormente, poder analizar las ondas 
generadas en el plasma y cómo estas son capaces de acelerar electrones. Por ello, en el 
capítulo 2, se realiza un estudio de los movimientos relativistas de los electrones en ondas 
planas, introduciendo así mismo el concepto importante de fuerza ponderomotriz, 
necesario para entender cómo un láser es capaz de excitar una oscilación en un plasma y 
así poder comprender el funcionamiento del LWFA. Además, también se dan las claves 
para entender el movimiento colectivo de los electrones en sistemas macroscópicos 
introduciendo para ello la llamada ecuación cinética. 
Tras analizar la dinámica de electrones en ondas planas, se procede en el capítulo 3 a 
explicar cómo son las oscilaciones de un plasma derivando su parámetro fundamental, la 
frecuencia de plasma. Dicho parámetro es de vital importancia, ya que es el que determina 
las condiciones principales para la aceleración de electrones en ondas de plasma. Se 
introduce también el, ya mencionado, concepto de estela (wake) como mecanismo 
responsable de la ganancia de energía de los electrones en el plasma. Así mismo, se dan 
las claves para entender cómo y dónde se produce dicha ganancia de energía y qué 
fenómeno físico puede limitar la aceleración de una forma significativa. El capítulo 
concluye con la explicación base de la excitación de ondas de plasma a partir de haces de 
partículas, fundamental para entender el funcionamiento del PWFA. 
Una vez sentadas las bases teóricas de la dinámica de electrones en ondas planas y de la 
comprensión de las oscilaciones en un plasma, se pasa a estudiar los aceleradores objeto 
de este trabajo. Para ello, en el capítulo 4, se hace un estudio de los diferentes regímenes 
de funcionamiento del LWFA mostrando las características que deben tener los pulsos 
láser en cada régimen para poder excitar de forma eficiente una onda de plasma. Se 
explican también los principales métodos de inyección de electrones, mostrando que la 
auto-inyección de los electrones del plasma en su propia onda excitada es la mejor vía, 
ya que la inyección externa requiere de aceleradores lineales de grandes dimensiones. 
Finalmente, se concluye el capítulo con una puesta al día de algunos de los últimos 
avances, propuestas y resultados experimentales conseguidos con el esquema LWFA. 
En el capítulo 5, se realiza un análisis de la otra técnica de aceleración objeto de este 
trabajo, la aceleración mediante haces de partículas. Al igual que en el capítulo 4, se 
explican los diferentes regímenes de funcionamiento del PWFA introduciendo uno de sus 
parámetros fundamentales, el cociente de transformación, el cual muestra la relación entre 
la energía del haz acelerado y del haz acelerador. A su vez, se estudian las inestabilidades 
más importantes que sufre este esquema de aceleración y que representan una limitación 
en la ganancia de energía. Por último, se realiza una puesta al día de la situación del 
PWFA, comentando nuevas propuestas para la mejora del proceso de aceleración, 
algunos de los últimos avances, resultados experimentales y las nuevas líneas de 
investigación relacionadas con esta técnica. 
Finalmente, en el capítulo 6, se introducen los esquemas híbridos LWFA/PWFA 
(LPWFA), los cuales aprovechan las ventajas de ambos aceleradores para proporcionar 
haces de partículas más estables, de mayor calidad y más energéticos que los que se 
obtienen con ambos esquemas por separado. Se explican los principales inconvenientes 
que uno se encuentra a la hora de diseñar uno de estos esquemas híbridos y se presenta 
3 
 
un prototipo de LPWFA. Además, se aportan resultados experimentales corroborando 
que estos esquemas híbridos son funcionales y que por tanto se pueden emplear para 
distintas aplicaciones como por ejemplo la generación de láseres de electrones libres. 
 
Palabras clave 
Plasma; pulsos láser; aceleradores de electrones; haces de partículas; wakefield 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Abstract 
 
In recent decades, there have been numerous advances aimed at achieving new 
acceleration schemes that allow to obtain higher energies than those achieved in 
conventional particle accelerators, as well as making the new schemes more compact in 
size and much cheaper than the classical set-ups. 
Among all the proposed schemes, the most promising was the one that proposed to use 
laser pulses to excite waves in a plasma, which would generate electromagnetic fields 
capable of accelerating particles up to energies of the order of GeV (Tajima and Dawson 
1979). This idea gave rise to the development of the LWFA (Laser Wakefield 
Accelerator) in which an ultra-intense laser pulse interacts with a plasma, displacing the 
free particles in the plasma, which, when trying to restore equilibrium, will give rise to 
oscillations. These oscillations, being electromagnetic in nature because they involve 
charged particles, advance through the plasma, generating the so-called wakefield, which 
traps and accelerates the particles injected into the accelerator. 
The idea of using a plasma as the accelerator medium gave rise to other schemes, among 
them it stands out the use of particle beams, instead of laser pulses, to excite the 
accelerator field in the plasma (Chen, Dawson, Huff and Katsouleas 1985). This method 
gave rise to the so-called PWFA (Plasma Wakefield Accelerator), which would require 
conventional linear accelerators as the source of the particle beams that excite the plasma. 
Although at first this scheme may seem a step backwards compared to the LWFA, since 
a laser system is much more compact than a linear accelerator, it has several advantages, 
namely that it can achieve more stable and higher quality particle beams than the LWFA, 
and these two characteristics are fundamental for the different applications of accelerated 
particle beams. 
The interest in the development of these two accelerators lies in the fact that they can 
achieve acceleration gradients three orders of magnitudehigher than those obtained with 
conventional accelerators, which implies a reduction in their size and therefore easier 
setups and lower investment. 
Throughout the successive chapters that make up this work, the operating characteristics 
of the LWFA and PWFA, as well as the new hybrid accelerators formed by both schemes, 
will be explained. Chapter 1 explains the main motivations for the study and development 
of these accelerators, comparing them with conventional accelerators (linear and circular) 
and highlighting the advantages of using plasma as the medium of generating accelerating 
electromagnetic fields. At the same time, the plasma-based acceleration schemes are also 
confronted with the novel techniques that have emerged in recent years (accelerators 
based on THz lasers, dielectric, and fibre optic lasers) showing again that the LWFA and 
PWFA schemes are the best placed to replace the conventional linear and circular 
accelerators. 
The operation of these plasma-based accelerators cannot be understood without first 
understanding the dynamics of electrons submitted to electromagnetic plane waves, since 
the study of these motions forms the basis for subsequently being able to analyse the 
waves generated in the plasma and how these are able to accelerate electrons. Therefore, 
in chapter 2, a study is made of the relativistic motions of electrons in plane waves, 
5 
 
introducing the important concept of ponderomotive force, which is necessary to 
understand how a laser can excite an oscillation in a plasma and thus be able to understand 
the operation of the LWFA. In addition, the keys to understanding the collective motion 
of electrons in macroscopic systems are also given by introducing the so-called kinetic 
equation. 
After analysing the dynamics of electrons in plane waves, we proceed in chapter 3 to 
explain the oscillations of a plasma by deriving its fundamental parameter, the plasma 
frequency. This parameter is of vital importance since it determines the main conditions 
for the acceleration of electrons in plasma waves. The wake concept is also introduced as 
the mechanism responsible for the energy gain of electrons in the plasma. It also gives 
the keys to understand how and where this energy gain occurs, and which physical 
phenomenon can significantly limit the acceleration. The chapter concludes with a basic 
explanation of the excitation of plasma waves from particle beams, which is fundamental 
for understanding the PWFA. 
Once the theoretical foundations of plane-wave electron dynamics and the understanding 
of the oscillations in a plasma have been established, we move on to study the accelerators 
that are the subject of this work. For this purpose, in chapter 4, a study of the different 
operating regimes of the LWFA is made, showing the characteristics that the laser pulses 
must have in each regime to efficiently excite a plasma wave. The main electron injection 
methods are also explained, showing that the self-injection of the plasma electrons into 
its own excited wave is the best way, since external injection requires large linear 
accelerators. Finally, the chapter concludes with an update on some of the latest advances, 
proposals and experimental results achieved with the LWFA scheme. 
In chapter 5, an analysis is made of the other acceleration technique that is the subject of 
this work, particle beams acceleration. As in chapter 4, the different operating regimes of 
the PWFA are explained, introducing one of its fundamental parameters, the transformer 
ratio, which shows the relationship between the energy of the accelerated beam and the 
accelerating beam. At the same time, the most important instabilities suffered by this 
acceleration scheme, which represent a limitation in the energy gain are studied. Finally, 
an update on the PWFA situation is given, commenting on new proposals for the 
improvement of the acceleration process, some of the latest advances, experimental 
results and new lines of research related to this technique. 
Finally, in chapter 6, the hybrid LWFA/PWFA (LPWFA) schemes are introduced, which 
take advantage of both accelerators to provide more stable, higher quality and more 
energetic particle beams than those obtained with both schemes separately. The main 
drawbacks that one encounters when designing one of these hybrid schemes are explained 
and a prototype LPWFA is presented. Furthermore, experimental results are provided to 
corroborate that these hybrid schemes are functional and can therefore be used for 
different applications such as the generation of free-electron lasers. 
 
Keywords 
Plasma; laser pulses; electron accelerators; particle beams; wakefield 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Capítulo 1. Introducción 
 
Los aceleradores de electrones basados en las ondas de plasma y en los pulsos láser fueron 
propuestos por Tajima y Dawson en el año 1979 (Tajima and Dawson 1979). Ambos 
propusieron utilizar haces láser para excitar ondas de plasma a partir de las cuales se 
podrían acelerar los electrones. En las últimas décadas se han producido numerosos 
avances en el campo de los aceleradores basados en ondas de plasma. Principalmente, el 
desarrollo de la tecnología para la amplificación de pulsos gorjeados (o su nombre más 
común en inglés: chirped pulse amplification, CPA, Strickland and Mourou 1985) ha sido 
clave en todo este proceso. Dicha tecnología ha permitido obtener pulsos láser ultracortos 
de alta potencia e intensidad. Este tipo de aceleradores son de interés debido a la 
obtención de gradientes de aceleración elevados, del orden de 100 GV/m y energías de 
múltiples GeV. 
 
Para comprender este tipo de dispositivos es necesario saber qué es el plasma. El plasma 
es un estado de la materia en el que las partículas se encuentran ionizadas, de manera que 
es un buen conductor. Su dinámica está dominada por el comportamiento colectivo de las 
partículas y por los efectos de las interacciones electromagnéticas de largo alcance entre 
ellas. Los plasmas más comunes son los neutros o casi-neutros, son plasmas en los que 
existe un equilibrio entre cargas negativas y positivas. 
 
Las interacciones de tipo láser-plasma se basan en conceptos teóricos fundamentales en 
Física como la fuerza de Lorentz, las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo y las 
ecuaciones hidrodinámicas de los electrones e iones, caracterizadas en muchos casos por 
el carácter no lineal de las mismas. Dicha no linealidad está presente en cualquier sistema 
que se considere colectivo ya que la fuerza que actúa sobre cada partícula depende del 
movimiento del resto de partículas. Incluso aunque se considere un sistema de una sola 
partícula, la no linealidad está presente, por ejemplo: si un electrón oscila en un campo 
electromagnético monocromático y de alta intensidad aparecerán altos armónicos de la 
frecuencia fundamental de oscilación, cuya amplitud es en sí una función no lineal del 
campo. Entonces la no linealidad será un elemento clave a tener en cuenta a la hora de 
estudiar la física en las interacciones láser-plasma de los aceleradores de electrones. 
Pero las principales preguntas que el lector se puede estar haciendo en este momento son: 
¿por qué se estudian los aceleradores basados en ondas de plasma y pulsos láser? ¿Qué 
ventajas presentan frente a los aceleradores convencionales? ¿Y frente a otras técnicas 
novedosas? 
Para responder a estas preguntas es necesario tener una visión general de los aceleradores 
convencionales de partículas cargadas, los cuales se clasifican principalmente en 
aceleradores lineales o linac y aceleradores circulares (ciclotrón, sincrotrón, betatrón). La 
principal diferencia entre ellos es que en un acelerador lineal las partículas viajan en línea 
recta y solamente pasan una vez por la cavidad del aceleradormientras que en los 
circulares las partículas recorren, de forma periódica, orbitas cerradas acumulando 
8 
 
energía en cada vuelta a la cavidad (Wiedemann 2015). La elección de un acelerador u 
otro se basa fundamentalmente en el tipo de aplicaciones y en la tecnología accesible (en 
ocasiones los linac necesitan de varios kilómetros de longitud, algo costoso a nivel técnico 
y económico). Entre los tipos de aplicaciones destacan fundamentalmente la medicina y 
la investigación en la física de altas energías utilizando estos aceleradores como 
colisionadores. 
En los aceleradores lineales las partículas son aceleradas en cavidades resonantes 
mediante campos electromagnéticos, los cuales pueden ser de tipo electrostático, pulsado, 
variante en el tiempo, de microondas o de radiofrecuencia (RF), siendo estos últimos los 
más utilizados en la actualidad debido a que con ellos se obtienen gradientes de 
aceleración mayores que con otros tipos de campos. Entre los linac más importantes 
actualmente destacan el del Laboratorio Nacional de Aceleradores SLAC (Stanford 
Linear Accelerator Center) en California (Estados Unidos) y el del DESY (Deutsches 
Elektronen-Synchrotron) en Hamburgo (Alemania). Además, se ha propuesto la 
construcción de una nueva generación de linacs como el ILC (International Linear 
Collider) de 35 km de longitud y el CLIC (Compact Linear Collider). 
Por su parte, los aceleradores circulares surgieron debido a las limitaciones técnicas de 
los linac. Su principio de funcionamiento es el mismo: utilizar campos electromagnéticos 
para guiar partículas cargadas a lo largo de una cavidad circular en la que irán ganando 
energía en cada vuelta. De nuevo, en la actualidad los campos electromagnéticos más 
utilizados son los de radiofrecuencia. El acelerador circular, utilizado como colisionador, 
más conocido es el LHC (Large Hadron Collider) del CERN en Ginebra (Suiza). 
Una vez que ya se tiene una visión general, muy básica, de los tipos de aceleradores se 
puede responder a las dos primeras preguntas: los aceleradores basados en ondas de 
plasma y pulsos láser se estudian debido a que gracias a las características del plasma (se 
verán en los siguientes capítulos) se pueden conseguir gradientes de aceleración y 
energías muy elevadas de las partículas aceleradas en pocos centímetros de longitud, lo 
que implica montajes mucho más reducidos que los aceleradores tradicionales, algo 
ventajoso tanto a nivel económico como para las distintas aplicaciones de estas técnicas. 
Por ejemplo, los gradientes de aceleración típicos de los linac están entre 10 y 20 MV/m, 
en concreto, el acelerador SLAC (3.2 km de longitud) opera a 17 MV/m, luego si se 
quisieran conseguir haces de partículas con una energía de 1 GeV se necesitarían 
aceleradores de entre 50 y 100 m, y estas longitudes irían aumentando cuanta más energía 
se quisiera conseguir. Volviendo al caso del SLAC, este acelerador puede proporcionar 
electrones con energías de hasta 50 GeV, por ello su longitud es de 3.2 km. Tomando el 
LHC como representante de los aceleradores circulares, este colisionador es capaz de 
conseguir energías de 6.5 TeV y teniendo en cuenta que su longitud es de 27 km, su 
gradiente de aceleración sería de unos 240 MV/m. Sin embargo, los gradientes de los 
aceleradores basados en plasma son del orden de 100 GV/m, luego para conseguir 50 
GeV de energía, como en el SLAC, se requerirían unos 50 cm de longitud. La diferencia 
es abismal y ahí es donde reside el interés principal de estos esquemas de aceleración, en 
que gracias a sus gradientes tan elevados las dimensiones de los montajes quedan muy 
reducidas, por lo que son más fáciles de construir ya que no se necesita un amplia 
extensión de terreno para ponerlos en marcha. Además, otra de las ventajas, en este caso 
frente a los aceleradores circulares, es que no se sufre el efecto de la radiación sincrotrón, 
9 
 
la cual provoca perdida de energía cuando las partículas describen trayectorias circulares 
(Holzer 2016), por lo que en los aceleradores basados en plasma no es necesario añadir 
medios técnicos adicionales para compensar esas pérdidas. 
Falta responder a la tercera pregunta, y para ello hay que conocer las técnicas de 
aceleración novedosas entre las que destacan los aceleradores basados en láseres de THz 
y en dieléctricos y los aceleradores basados en láseres de fibra óptica. Los aceleradores 
basados en dieléctricos consisten, básicamente, en excitar el medio dieléctrico mediante 
pulsos láser, esa excitación da lugar a campos eléctricos los cuales se pueden utilizar para 
el proceso de aceleración de partículas (England et al. 2014). Si el láser utilizado es capaz 
de proporcionar pulsos con una frecuencia del orden de THz se pueden conseguir 
paquetes de partículas acelerados con una duración de picosegundos o incluso inferior y 
de gran calidad (Hibberd et al. 2020). Además, también se está trabajando en técnicas de 
aceleración basadas en láseres de fibra óptica (Mourou, Brocklesby, Tajima and Limpert 
2013) en los que el medio activo está confinado en el núcleo o core de la fibra; estos 
láseres aprovechan todas las ventajas de las fibras ópticas, dando lugar a eficiencias del 
90%, proporcionando radiación de muy buena calidad y generando la intensidad 
suficiente para producir partículas relativistas en pocos milímetros. 
Estas nuevas técnicas son muy prometedoras, pero todavía tienen que seguir 
desarrollándose ya que de momento las energías obtenidas para las partículas aceleradas 
no han llegado a los 100 MeV en el caso de los aceleradores de THz y dieléctricos, y los 
láseres de fibra solo son capaces de proporcionar potencias del orden de kW. Por ello, los 
aceleradores basados en pulsos láser y ondas de plasma son los mejores situados, 
actualmente, para ser la base de numerosas aplicaciones como tratamiento del cáncer 
mediante radioterapia, fabricación de láseres de electrones libres, investigación en física 
de altas energías o estudios más profundos de la física del plasma. 
 
Existen numerosos aceleradores basados en las interacciones láser-plasma, pero los más 
estudiados hasta la fecha son los siguientes: acelerador de plasma por Wakefield o 
``campo de estela`` (PWFA), acelerador por ondas de plasma (PBWA), acelerador láser 
por Wakefield (LWFA), este último tiene una configuración llamada régimen de auto 
modulación también muy estudiada, y los aceleradores de Wakefield guiados por 
múltiples pulsos láser (RLPA). En la Figura 1 se puede ver una representación 
esquemática de los potenciales excitados en estos aceleradores. Sus características 
fundamentales de funcionamiento se explicarán de forma detallada en los capítulos 
posteriores de este trabajo. 
10 
 
 
 
Figura 1: Representacion esquematica de: (a) LWFA, (b) PBWA, (c) régimen de auto-
modulacion del LWFA y (d) tren de pulsos del RLPA. Se muestran en línea continua los 
potenciales excitados de la onda de plasma y en línea discontinua la envolvente del láser. 
Esarey, Schroeder and Leemans 2009 
 
Objetivos 
El objetivo principal de este Trabajo de Fin de Grado es analizar las características de 
funcionamiento de los aceleradores LWFA (Laser Wakefield Accelerator) y PWFA 
(Plasma Wakefield Accelerator) a partir de la comprensión del movimiento de los 
electrones en las ondas de plasma. Además, se realizará una puesta al día de algunos de 
los últimos avances tanto en ambos aceleradores como en los esquemas híbridos LPWFA 
(Laser Plasma Wakefield Accelerator). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Capítulo 2. Dinámica de electrones en ondas 
planas 
 
Como se dijo en el Capítulo 1, la dinámica del plasma está dominada por el 
comportamiento colectivo de las partículas que lo componen y por los efectos de las 
interacciones electromagnéticas de largo alcance entre ellas. Para poder dar una 
descripción de esta dinámicaes necesario comenzar describiendo la dinámica de una sola 
partícula, en concreto de un electrón moviéndose en una onda plana. Posteriormente dicha 
descripción será útil para comprender la aceleración de los electrones por ondas de 
plasma. En todo el desarrollo matemático se utilizará el sistema de unidades gaussianas 
(ver apéndice A), ya que es el más utilizado en la física del plasma y en él se simplifican 
ciertas expresiones, algo que es de gran utilidad para los cálculos. 
 
2.1 Movimiento no relativista en una onda plana 
La no linealidad es una de las características fundamentales en las interacciones de tipo 
láser-plasma, es decir, en aquellas en las que un plasma interacciona con un haz de luz 
láser. Para introducirla se puede recurrir a un cálculo sencillo (Macchi 2013, sección 
2.1.1): el movimiento de un electrón en una onda plana electromagnética propagándose 
en la dirección del eje X. Los campos eléctrico E y la inducción magnética B se pueden 
escribir en forma compleja como: 𝐄 = 𝐄(𝑥, 𝑡) = 𝐸0�̂� 𝑒𝑖𝑘𝑥−𝑖𝜔𝑡, 𝐁 = 𝐁(𝑥, 𝑡) = �̂� × 𝐄, (2.1) 
se escriben de esta manera porque es un tipo de notación muy utilizada que permite 
simplificar y facilitar los cálculos, aunque hay que recordar que los campos son 
magnitudes reales que vienen dados por la parte real de la exponencial compleja. En (2.1) 𝑘 es el número de ondas definido como 𝑘 = 𝜔/𝑐, siendo 𝜔 = 2𝜋/𝑇 la frecuencia de la 
onda plana, 𝑇 su período, 𝑐 = 2.9979 · 1010 cm/s la velocidad de la luz en el vacío y �̂� 
es el vector de polarización complejo. En el caso de polarización lineal a lo largo de las 
direcciones y (z), �̂� = �̂� (�̂�) y para polarización circular �̂� = (�̂� ± 𝑖�̂�)/√2, donde el 
signo ± hace referencia a sentido de giro antihorario y horario respectivamente. 
La ecuación de movimiento para un electrón en un campo electromagnético viene dada 
por la fuerza de Lorentz, la cual en unidades gaussianas se escribe como: 𝑚𝑒 𝑑𝐯𝑑𝑡 = −𝑒 [𝐄(𝒓, 𝑡) + 𝐯𝑐 × 𝐁(𝒓, 𝑡)], 𝑑𝐫𝑑𝑡 = 𝐯, (2.2) 
donde los campos dependen de la posición genérica 𝒓 = 𝒓(𝑡) del electrón; por su parte 𝑚𝑒 = 9.109 · 10−31 kg es la masa del electrón y 𝑒 = 1.602 · 10−19 C es su carga. 
Para campos débiles y en la aproximación lineal se puede despreciar el termino 𝐯𝑐 × 𝐁(𝒓, 𝑡) ya que |𝐯| ≪ 𝑐. Así, sustituyendo la expresión para el campo eléctrico dada 
por (2.1) en la ecuación (2.2) se obtiene: 
12 
 
𝑚𝑒 𝑑𝐯𝑑𝑡 = −𝑒𝐸0𝜺 ̂ 𝑒𝑖𝑘𝑥−𝑖𝜔𝑡. 
 
(2.3) 
Ahora se pueden integrar ambos lados: 
∫ 𝑑𝐯 = − 𝑒𝑚𝑒 𝐸0�̂� ∫ 𝑒𝑖𝑘𝑥−𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑒(−𝑖𝜔)𝑚𝑒 𝐸0�̂� 𝑒𝑖𝑘𝑥−𝑖𝜔𝑡 
 
(2.4) 
De manera que las soluciones lineales para v y r son: 𝐯 = − 𝑖𝑒𝑚𝑒𝜔 𝐄, 𝒓 = 𝑒𝑚𝑒𝜔2 𝐄. (2.5) 
El campo físico E viene dado por la parte real de la expresión (2.1) por lo que el valor 
máximo de v será v0 = 𝑒𝐸0/𝑚𝑒𝜔, y entonces la solución lineal (2.5) será válida siempre 
que el parámetro adimensional 𝑎0 = v0/c = 𝑒𝐸0/𝑚𝑒𝜔𝑐 cumpla que 𝑎0 ≪ 1. 
Una vez analizado el caso lineal se puede estudiar qué ocurre cuando 𝑎0 ≪ 1 ya no es 
válido y por tanto se debe incluir la fuerza magnética. Para poder calcular las nuevas 
soluciones de v y r se puede utilizar un método iterativo siendo 𝑎0 el parámetro de 
expansión. A primer orden en 𝑎0 la solución de v está dada por (2.5); a segundo orden en 𝑎0 la velocidad será una combinación de la solución lineal más un término desconocido, 
es decir, 𝐯 = 𝐯(1) + 𝐯(2), siendo 𝐯(1) y 𝐯(2) las dos primeras soluciones de la expansión 
de 𝐯, es decir, 𝐯(1) es la solución del orden de 𝑎0 y 𝐯(2) es la solución del orden de 𝑎02. 
De manera que la nueva ecuación de movimiento, incluyendo la fuerza magnética, será: 
𝑚𝑒 𝑑(𝐯(1) + 𝐯(2))𝑑𝑡 = −𝑒 [𝐄(𝒓, 𝑡) + 𝐯(1) + 𝐯(2)𝑐 × 𝐁(𝒓, 𝑡)]. (2.6) 
Igualando ahora los términos del orden de 𝑎0 y 𝑎02 se obtiene: 𝑚𝑒 𝑑𝐯(1)𝑑𝑡 = −𝑒𝐄, 𝑚𝑒 𝑑𝐯(2)𝑑𝑡 = −𝑒 𝐯(1)𝑐 × 𝐁. (2.7) 
Ambas expresiones se deben al hecho de que 𝐯(1) es del orden de 𝑎0, por lo que su 
derivada temporal no tendrá ningún orden en v0, igualándose así al término del campo E; 
por su parte la expresión en 𝐯(2) se justifica ya que 𝐯(2) es del orden de 𝑎02 por lo que su 
derivada temporal será del orden de 𝑎0 y el único termino en el lado derecho de (2.6) de 
ese orden es 𝐯(1) × 𝐁. Se observa de la primera ecuación de (2.7) que 𝐯(1) es la solución 
lineal obtenida en (2.5), como debe ser. 
Los campos físicos E y B y las velocidades se corresponden siempre con las partes reales 
de las expresiones. Sustituyendo el campo E dado por (2.1), tomando la posición 𝑥 = 0 
y suponiendo polarización lineal en el eje Y se obtiene: 𝐯(1)(𝑡) = 𝑒𝐸0𝑚𝑒𝜔 �̂� sin 𝜔𝑡 = 𝑎0𝑐 �̂� sin 𝜔𝑡 , 𝒚(1)(𝑡) = −𝑎0 𝑐𝜔 �̂� cos 𝜔𝑡. (2.8) 
13 
 
Dado que 𝐁(𝑥, 𝑡) = �̂� × 𝐄 entonces 𝐁(𝑥 = 0, 𝑡) = �̂� × E0�̂� 𝑒−𝑖𝜔𝑡, y tomando la parte 
real se tiene que 𝐁(𝑥 = 0, 𝑡) = E0�̂� cos 𝜔𝑡. Así la ecuación para 𝐯(2) queda como: 𝑑𝐯(2)𝑑𝑡 = − 𝑒𝑚𝑒𝑐 (𝑎0𝑐 sin 𝜔𝑡)(𝐸0 cos 𝜔𝑡) (�̂� × �̂�) = − 𝑎022 𝑐𝜔 sin 2𝜔𝑡 �̂�, (2.9) 
donde se ha usado que sin 2𝜔𝑡 = 2 sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 y la definición de 𝑎0. Entonces 
integrando esta última expresión se llega a: 𝐯(2)(𝑡) = 𝑎02𝑐4 cos 2𝜔𝑡 �̂�, 𝒙(2)(𝑡) = 𝑎02𝑐8𝜔 sin 2𝜔𝑡 𝒙. (2.10) 
Si ahora se definen las coordenadas normalizadas 𝑋 = (𝜔𝑥/𝑐)/𝑎02 e 𝑌 = (𝜔𝑦/𝑐)/𝑎0, y 
se sustituye en ellas 𝒚(1)(𝑡) y 𝒙(2)(𝑡) se obtiene: 
𝑋 = 𝜔𝑥(2)𝑎02𝑐 = 𝜔𝑎02𝑐 (𝑎02𝑐8𝜔 sin 2𝜔) = 18 sin 2𝜔𝑡, 
𝑌 = 𝜔𝑦(1)𝑎0𝑐 = 𝜔𝑎0𝑐 (− 𝑎0𝑐𝜔 cos 𝜔) = − cos 𝜔𝑡. 
 
(2.11) 
Calculando ahora 𝑌2(1 − 𝑌2) y 16𝑋2 se tiene que: 
𝑌2(1 − 𝑌2) = cos2 𝜔𝑡 (1 − cos2 𝜔𝑡) = sin2 𝜔𝑡 cos2 𝜔𝑡, 
16𝑋2 = 1664 sin2 2𝜔𝑡 = 1664 (4 sin2 𝜔𝑡 cos2 𝜔𝑡) = sin2 𝜔𝑡 cos2 𝜔𝑡. 
 
(2.12) 
De manera que se verifica: 16𝑋2 = 𝑌2(1 − 𝑌2), (2.13) 
siendo esta la ecuación de la trayectoria del electrón en la onda plana electromagnética 
en el sistema de referencia en el que está en promedio en reposo ya que se ha eliminado 
el término lineal de deriva de 𝐯(1)(𝑡) e 𝒚(1)(𝑡), es decir, se ha eliminado v0. La ecuación 
(2.13) describe la famosa ``figura del ocho`` tal y como se muestra en la Figura 2.1 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1: Curva figura del ocho. Describe la trayectoria de un electrón en una 
onda electromagnética plana y monocromática en el sistema de referencia en el 
que está en promedio en reposo. 
Sin en vez de polarización lineal se toma el caso de polarización circular del campo E en 𝑥 = 0, se tiene que: 
𝐄 = 𝐸0√2 𝑒−𝑖𝜔𝑡(�̂� ± 𝑖�̂�) → 𝐄(0, 𝑡) = 𝐸0√2 (�̂� cos 𝜔𝑡 ± �̂� sin 𝜔𝑡), 
𝐯(1)(𝑡) = − 𝑖𝑒𝑚𝑒𝜔 𝐄 = 𝑒𝐸0√2𝑚𝑒𝜔 (−�̂� sin 𝜔𝑡 ± �̂� cos 𝜔𝑡). 
 
(2.14) 
De manera que: 
𝐁(0, 𝑡) = �̂� × 𝐸0√2 (�̂� cos 𝜔𝑡 ± �̂� sin 𝜔𝑡) = 𝐸0√2 (�̂� cos 𝜔𝑡 ∓ �̂� sin 𝜔𝑡). 
 
(2.15) 
Y, por tanto: 𝐯(1) × 𝐁 = 𝑒𝐸022𝑚𝑒𝜔 (−�̂� sin 𝜔𝑡 ± �̂� cos 𝜔𝑡) × (�̂� cos 𝜔𝑡 ∓ �̂� sin 𝜔𝑡)= 𝑒𝐸022𝑚𝑒𝜔 𝒙(− sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡 + sin 𝜔𝑡 cos 𝜔𝑡) = 0, (2.16) 
esto implica que la trayectoria no se ve afectada por la fuerza magnética a primer orden 
de la aproximación y el electrón describe una circunferencia de radio 𝑎0𝑐/(𝜔√2) ya que: 
-1/8 0 1/8 
 𝑋 
 1 
 0 
 - 1 
 𝑌 
15 
 
𝒚(1)(𝑡) = 𝑒𝐸0√2𝑚𝑒𝜔2 (�̂� cos 𝜔𝑡 ± �̂� sin 𝜔𝑡) = 𝑎0𝑐√2𝜔 (�̂� cos 𝜔𝑡 ± �̂� sin 𝜔𝑡). (2.17) 
 
2.2 Movimiento relativista en una onda plana 
Una vez estudiado el movimiento no relativista de un electrón en una onda 
electromagnética plana, se puede analizar el caso relativista buscando una solución exacta 
al problema. La ecuación del movimiento seguirá siendo la expresión (2.2) pero con una 
modificación: al ser el movimientorelativista, el momento lineal cambia y se define como 𝐩 = 𝑚𝑒𝛾𝐯, donde 𝛾 es el factor relativista: 𝛾 = (1 − 𝑣2/𝑐2)−1/2. De manera que, 
añadiendo la ecuación para la energía del electrón se tiene: 
𝑚𝑒𝛾 𝑑𝐯𝑑𝑡 = d𝐩dt = −𝑒 [𝐄 + 𝐯𝑐 × 𝐁], 𝑑𝑑𝑡 (𝑚𝑒𝛾𝑐2) = −𝑒 𝐯 · 𝐄. (2.18) 
La onda plana se propaga en la dirección del eje X, según lo definido en la ecuación (2.1). 
Dicha onda se puede expresar en función de un potencial vector 𝐀 = 𝐀(𝑥, 𝑡). Tomando 
el potencial escalar como 𝜙(𝑥, 𝑡) = 0, los campos eléctrico y magnético se pueden 
escribir como: 𝐄 = − 1𝑐 𝜕𝐀𝜕𝑡 , 𝐁 = 𝛁 × 𝐀 = �̂� × 𝜕𝐀𝜕𝑥 , (2.19) 
El potencial vector A se toma de forma que cumpla 𝐀 · �̂� = 0, es decir, no tiene 
componente en la dirección de propagación. Si se denota con el símbolo ``⊥´´ a las 
componentes transversales en los planos Y-Z, entonces 𝐀 = 𝐀⊥ ya que 𝐴𝑥 = 0 según la 
elección tomada. Además, según la expresión (2.19), el campo magnético tiene la forma 𝐁 = (0, − 𝜕𝐴𝑧𝜕𝑥 , 𝜕𝐴𝑦𝜕𝑥 ), de manera que: 
𝐯 × 𝐁 = �̂� (vy 𝜕𝐴𝑦𝜕𝑥 + vz 𝜕𝐴𝑧𝜕𝑥 ) − vx (�̂� 𝜕𝐴𝑦𝜕𝑥 + �̂� 𝜕𝐴𝑧𝜕𝑥 ), (2.20) 
de donde se ve claramente que (𝐯 × 𝐁)⊥ = −vx 𝜕𝐀/ ∂x . Así pues, la ecuación de 
movimiento en el plano transversal es: 
𝑑𝐩⊥𝑑𝑡 = 𝑒𝑐 (𝜕𝐀𝜕𝑡 + vx 𝜕𝐀𝜕𝑥 ) = 𝑒𝑐 𝑑𝐀dt , (2.21) 
donde se ha usado que 𝑑/𝑑𝑡 = 𝜕/𝜕𝑡 + (𝐯 · 𝛁). De esta última ecuación se sigue que: 
𝑑𝑑𝑡 (𝐩⊥ − 𝑒𝑐 𝐀) = 0, (2.22) 
la cual establece una ley de conservación para la cantidad 𝐩⊥ − (𝑒/𝑐)𝐀. En el caso de la 
componente longitudinal se tiene: 
16 
 
𝑑𝑝𝑥𝑑𝑡 = − 𝑒𝑐 (vy 𝜕𝐴𝑦𝜕𝑥 + vz 𝜕𝐴𝑧𝜕𝑥 ), 𝑑𝑑𝑡 (𝑚𝑒𝛾𝑐) = 𝑒𝑐2 (vy 𝜕𝐴𝑦𝜕𝑡 + vz 𝜕𝐴𝑧𝜕𝑡 ). (2.23) 
Sumando y restando se llega a: 
𝑑𝑑𝑡 (𝑝𝑥 ∓ 𝑚𝑒𝛾𝑐) = − 𝑒𝑐 [vy ( 𝜕𝜕𝑥 ± 1𝑐 𝜕𝜕𝑡 ) 𝐴𝑦 + v𝑧 ( 𝜕𝜕𝑥 ± 1𝑐 𝜕𝜕𝑡) 𝐴𝑧]. (2.24) 
Ahora se puede tomar el potencial vector A como una onda plana propagándose en la 
dirección del eje X, es decir, 𝐀 = 𝐀(𝑥 ∓ 𝑐𝑡). Dicho potencial será entonces solución de 
la ecuación de ondas: 
( 𝜕2𝜕𝑡2 − 𝑐2 𝜕2𝜕𝑥2) 𝐀(𝑥 ∓ 𝑐𝑡) = 0. (2.25) 
Dicha ecuación se puede reescribir como (Landau and Lifshitz 1975): ( 𝜕𝜕𝑡 + 𝑐 𝜕𝜕𝑥) ( 𝜕𝜕𝑡 − 𝑐 𝜕𝜕𝑥) 𝐀(𝑥 ∓ 𝑐𝑡) = 0. (2.26) 
Esta expresión está formada por las llamadas ecuaciones de ondas unidireccionales, cuyas 
soluciones son ondas que se propagan hacia la derecha o izquierda, respectivamente. 
Tomando el caso de propagación hacia la derecha 𝐀 = 𝐀(𝑥 − 𝑐𝑡), se cumplirá que: ( 𝜕𝜕𝑡 + 𝑐 𝜕𝜕𝑥) 𝐀(𝑥 − 𝑐𝑡) = 0. (2.26) 
Así, sustituyendo en la ecuación (2.24) se obtiene: 𝑑𝑑𝑡 (𝑝𝑥 − 𝑚𝑒𝛾𝑐) = 0. (2.27) 
De manera que existen dos cantidades conservadas que determinan la trayectoria del 
electrón, las cuales son: 𝐩⊥ − (𝑒/𝑐)𝐀 = 𝐩⊥0 y 𝑚𝑒𝛾𝑐 − 𝑝𝑥 = −𝛼. Tanto 𝐩⊥0 como 𝛼 
estarán determinadas por las condiciones iniciales del movimiento. 
Se puede suponer que inicialmente el electrón está en reposo, es decir, (𝑝𝑥, 𝐩⊥) = 0 y 
que en ese momento 𝐀 = 0. Así 𝐩⊥0 = 0 y 𝛼 = −𝑚𝑒𝑐. El factor relativista 𝛾 ha 
desaparecido porque al tener momento inicial nulo, entonces la velocidad también es nula. 
El significado físico de esta elección es el siguiente: en un tiempo pasado el campo EM 
fue ``activado`` de manera que dicho campo alcanzó al electrón inicialmente en reposo. 
A partir de estas condiciones iniciales es fácil ver que 𝐩⊥ = (𝑒/𝑐)𝐀 y 𝑝𝑥 = 𝑚𝑒𝑐(𝛾 − 1). 
Teniendo en cuenta que 𝐩2 = 𝑝𝑥2 + 𝐩⊥2 y que 𝐩2 + 𝑚𝑒2𝑐2 = (𝑚𝑒𝑐𝛾)2 se obtiene: (𝑚𝑒𝑐𝛾)2 = (𝑝𝑥 + 𝑚𝑒𝑐)2 = 𝑝𝑥2 + 𝑚𝑒2𝑐2 + 2𝑝𝑥𝑚𝑒𝑐 = 𝑝𝑥2 + (𝑒𝐀𝑐 )2 + 𝑚𝑒2𝑐2. (2.28) 
 
17 
 
De manera que: 𝑝𝑥 = 12𝑚𝑒𝑐 (𝑒𝐀𝑐 )2. (2.30) 
Se observa que la componente longitudinal y las transversales de p dependen del potencial 
vector A y que dichas componentes se anulan cuando también se anula A. 
A pesar de que el campo EM de una onda plana monocromática nunca puede anularse, el 
hecho de que 𝐀 = 0 se justifica suponiendo una ``activación`` adiabática, es decir, dicha 
activación implica un tiempo lo suficientemente largo como para considerar que la 
amplitud del campo es constante. 
Una vez establecidas todas las ecuaciones y condiciones para el caso relativista y teniendo 
en cuenta que dichas ecuaciones son no lineales, como por ejemplo la (2.30), se puede 
dar una representación del potencial vector A. Una elección adecuada es: 
𝐀 = A0[�̂�𝛿 cos 𝜙 + �̂�(1 − 𝛿2)1/2 sin 𝜙], (2.31) 
donde 𝜙 = 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 es la fase del campo y 𝛿 es un parámetro que define la polarización: 
si 𝛿 = 1 o 𝛿 = 0 se tiene polarizacion lineal en �̂� o �̂� respectivamente y si 𝛿 = ±1/√2 
se tiene polarización circular, y cualquier otro valor sería polarización elíptica. De la 
definición de 𝜙 se sigue que 𝜙 = 𝜙[𝑥(𝑡), 𝑡], de manera que su derivada temporal será: 
 𝑑𝜙𝑑𝑡 = 𝜕𝜙𝜕𝑡 + vx 𝜕𝜙𝜕𝑥 = −𝜔 + 𝑘 𝑝𝑥𝑚𝑒𝛾 = −𝜔 + 𝑘 𝑚𝑒𝑐(𝛾 − 1)𝑚𝑒𝛾 = − 𝜔𝛾 , (2.32) 
donde se ha usado que 𝑘 = 𝜔/𝑐. Además, también se puede obtener p en términos de 𝜙: 
𝐩 = 𝑚𝑒𝛾 𝑑𝐫𝑑𝑡 = 𝑚𝑒𝛾 𝑑𝜙𝑑𝑡 𝑑𝐫𝑑𝜙 = −𝑚𝑒𝜔 𝑑𝐫𝑑𝜙. (2.33) 
Así pues, a partir de las ecuaciones (2.22) y (2.30) se obtiene: 
𝐩⊥ = (𝑒𝐀𝑐 ) = 𝑒𝑐 𝐴0[�̂�𝛿 cos 𝜙 + �̂�(1 − 𝛿2)1/2 sin 𝜙], (2.34) 
𝑝𝑥 = 12𝑚𝑒𝑐 (𝑒𝐴0𝑐 )2 [𝛿2 cos2 𝜙 + (1 − 𝛿2) sin2 𝜙] 
= 12𝑚𝑒𝑐 (𝑒𝐴0𝑐 )2 [𝛿2 cos 2𝜙 + sin2 𝜙] 
= 14𝑚𝑒𝑐 (𝑒𝐴0𝑐 )2 [1 + (2𝛿2 − 1) cos 2𝜙], 
 
(2.35) 
18 
 
donde se ha usado que cos2 𝜙 − sin2 𝜙 = cos 2𝜙 y que sin 𝜙 = ±√1−cos 2𝜙2 . Ahora es 
posible obtener las ecuaciones de las trayectorias (2.34) y (2.35) en función de 𝜙 
utilizando la expresión (2.33). Así: 𝑥(𝜙) = 𝑐𝜔 ( 𝑒𝐴02𝑚𝑒𝑐2)2 [−𝜙 − (𝛿2 − 12) sin 2𝜙] 
 𝑦(𝜙) = − 𝑐𝜔 𝑒𝐴0𝑚𝑒𝑐2 𝛿 sin 𝜙 (2.36) 
 
 
𝑧(𝜙) = 𝑐𝜔 𝑒𝐴0𝑚𝑒𝑐2 (1 − 𝛿2)1/2 cos 𝜙. 
Dado que la propagación tiene lugar a lo largo del eje X es sencillo obtener la velocidad 
de desplazamiento. Para ello se puede promediar 𝑥(𝜙) en un ciclo y tener en cuenta que 
el termino en sin 2𝜙 está oscilando rápidamente a la frecuencia 2𝜔, por lo que su 
promedio en un ciclo es cero. Así se obtiene: 〈𝑥〉 = 𝑐𝜔 𝑎024 〈−𝜙〉 = − 𝑐𝜔 𝑎024 𝜔𝑐 (〈𝑥〉 − 𝑐𝑡) = − 𝑎024 (〈𝑥〉 − 𝑐𝑡). (2.37) 
donde 𝑎0 = 𝑒𝐴0/𝑚𝑒𝑐2. Simplemente despejando 〈𝑥〉 se llega a: 〈𝑥〉 = 𝑎02𝑎02 + 4 𝑐𝑡 = 𝑣𝑑𝑡, (2.38) 
de donde se obtiene la velocidad de deriva o ``drift´´ como 𝑣𝑑 = 𝑎02𝑐/(𝑎02 + 4). La 
expresión (2.38) indica que el movimiento longitudinal será de tipo lineal. 
El conjunto de ecuaciones (2.36) se puede escribir de una forma más sencilla en términos 
de una nuevas coordenadas adimensionales: se define �̂� = 𝑘𝐫 entonces: �̂� = 𝑘𝑥, �̂� = 𝑘𝑦 
y �̂� = 𝑘𝑧. Así, el conjunto de ecuaciones (2.36) queda reescrito como: �̂�𝑎02 = 14 [−𝜙 − (𝛿2 − 12) sin 2𝜙] 
 �̂�𝑎0 = −𝛿 sin 𝜙 (2.39) 
 
 
�̂�𝑎0 = (1 − 𝛿2)1/2 cos 𝜙. 
Para polarización circular con 𝛿 = −1/√2 se tendría �̂�/𝑎02 = −𝜙/4, �̂�√2/𝑎0 = sin 𝜙 y �̂�√2/𝑎0 = − cos 𝜙. De manera que �̂�2 + �̂�2 = 𝑎02/2. Se observa que en el plano 
transversal la trayectoria es una circunferencia de radio 𝑅 = 𝑎0/𝑘√2 mientras que en el 
plano longitudinal la trayectoria es de tipo lineal, como ya se había anticipado en la 
ecuación (2.38). Por tanto, el movimiento global es helicoidal como se muestra en la 
Figura 2.2. 
19 
 
 
Figura 2.2: Trayectoria del electrón en una onda plana monocromática 
circularmente polarizada en el régimen relativista. Macchi 2013 
 
En el caso no relativista se analizó el movimiento en el sistema de referencia en el que en 
promedio el electrón estaba en reposo. Aquí se puede hacer el mismo análisis, es decir, 
se estudiará el sistema en el que 〈𝑝𝑥〉 = 0. Ahora la constante 𝛼, definida anteriormente 
como 𝛼 = 𝑝𝑥 − 𝑚𝑒𝛾𝑐 tomará un valor diferente. Se puede escribir el factor relativista 𝛾 
de la siguiente forma: 𝛾 = √𝐩2/𝑚𝑒𝑐2+ 1, ya que 𝐩2 + 𝑚𝑒2𝑐2 = (𝑚𝑒𝑐𝛾)2. Entonces a 
partir de la definición de 𝛼 y de 𝛾 se obtiene: 
𝛼 = 𝑝𝑥 − 𝑚𝑒 𝑐√𝑝𝑥2 + 𝐩⊥2𝑚𝑒𝑐2 + 1. (2.40) 
Despejando 𝑝𝑥 de esta expresión se llega a: 𝑝𝑥 = 𝛼2 − 𝐩⊥2 − 𝑚𝑒2𝑐22𝛼 (2.41) 
Como 〈𝑝𝑥〉 = 0 entonces: 𝛼2 = 𝐩⊥2 + 𝑚𝑒2𝑐2 = 𝑚𝑒2𝑐2 + (𝑒𝑐)2 〈𝐀2〉 (2.42) 
Imponiendo polarización lineal con 𝛿 = 1 se tiene 𝐀 = A0�̂� cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡), entonces: 
〈𝐀2〉 = A02𝑇 ∫ cos2(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)𝑑𝑡 = A022 .𝑇
0 (2.43) 
Así se obtiene: 𝛼2 = 𝑚𝑒2𝑐2 + (𝑒𝑐)2 A02 = 𝑚𝑒2𝑐2𝛾02, (2.44) 
20 
 
donde se ha usado que 𝑎0 = 𝑒𝐴0/𝑚𝑒𝑐2 y se ha definido 𝛾0 como 𝛾0 = √1 + 𝑎02/2. A 
partir de (2.34) se obtiene: 𝐩⊥ = 𝐩y = 𝑒𝑐 𝐴0�̂� cos 𝜙 = 𝑚𝑒𝑐𝑎0�̂� cos 𝜙. (2.45) 
Sustituyendo esta expresión en (2.41) y teniendo en cuenta que 𝛼 = 𝑚𝑒𝑐𝛾0 se llega a: 𝑝𝑥 = 𝑚𝑒2𝑐2𝛾02 − 𝑚𝑒2𝑐2𝑎02 cos2 𝜙 − 𝑚𝑒2𝑐22𝑚𝑒𝑐𝛾0 = −𝑚𝑒𝑐 𝑎024𝛾0 cos 2𝜙, (2.46) 
donde se ha usado la definición de 𝛾0 y que cos2 𝜙 = (1 + cos 2𝜙)/2. Así pues: 𝑝𝑥𝑚𝑒𝑐 = − 𝑎024𝛾0 cos 2𝜙 , 𝑝𝑦𝑚𝑒𝑐 = 𝑎0 cos 𝜙. (2.47) 
Según (2.32) 𝑑𝜙/𝑑𝑡 = −𝜔 + 𝑘𝑝𝑥/𝑚𝑒𝛾, como ahora 𝑝𝑥 = 𝛼 + 𝑚𝑒𝛾𝑐 = 𝑚𝑒𝑐(𝛾 + 𝛾0), 
se tiene que 𝑑𝜙/𝑑𝑡 = (𝛾0/𝛾)𝜔 y, por tanto: 𝐩 = 𝑚𝑒𝛾 𝑑𝐫𝑑𝑡 = 𝑚𝑒𝛾 𝑑𝜙𝑑𝑡 𝑑𝐫𝑑𝜙 = 𝑚𝑒𝜔𝛾0 𝑑𝐫𝑑𝜙. (2.48) 
Así, integrando en 𝜙 los momentos 𝑝𝑥 y 𝑝𝑦 dados por (2.47) se obtiene: 
𝑥(𝜙) = 𝑎028𝑘𝛾02 sin 2𝜙 , 𝑦(𝜙) = 𝑎0𝑘𝛾0 sin 𝜙. (2.49) 
Estas dos últimas expresiones son similares a (2.8) y (2.10), así que redefiniendo las 
coordenadas normalizadas como 𝑋 = (𝜔𝑥/𝑐)𝛾𝑜2/𝑎02 e 𝑌 = (𝜔𝑦/𝑐)𝛾0/𝑎0 se obtiene de 
nuevo el ``ocho´´ de la Figura 2.1. 
 
2.3 Fuerza ponderomotriz 
En las secciones anteriores se ha realizado el estudio del movimiento de un electrón en 
una onda plana monocromática, tanto en el régimen no relativista como relativista. Este 
problema sirve como introducción a problemas más realistas, es decir, a problemas que 
involucran ondas planas que no son exactamente monocromáticas, como por ejemplo los 
pulsos láser. 
Un pulso láser se puede describir, en su forma más general, como el producto de una 
función envolvente y una oscilante. De manera que los campos eléctrico y magnético 
serían: 𝐄(𝐫, 𝑡) = Re (�̃�(𝐫, 𝑡)e−iωt) 𝐁(𝐫, 𝑡) = Re (�̃�(𝐫, 𝑡)e−iωt). 
 
(2.50) 
Las funciones envolventes �̃� y �̃� varían de una forma más lenta que el periodo propio de 
la oscilación 𝑇 = 2𝜋/𝜔. Al asumir que existen dos escalas de tiempo, una lenta y otra 
21 
 
rápida, se puede describir el movimiento del electrón como la suma de un término lento, 
asociado a la envolvente, y uno rápido, asociado a la oscilación. El movimiento lento se 
puede describir a partir del efecto de una fuerza, también lentamente variable, llamada 
fuerza ponderomotriz. 
Una forma sencilla para derivar la forma de esta fuerza consiste en partir de la ecuación 
de movimiento dada por la fuerza de Lorentz: d𝐩dt = −𝑒 [𝐄 + 𝐯𝑐 × 𝐁], (2.51) 
donde los campos eléctrico y magnético se pueden escribir en la forma de (2.19). 
Tomando 𝛿 = 1 en (2.31) se tiene 𝐀 = A0�̂� cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡), se realiza esta elección porque 
en general el potencial vector de un láser está linealmente polarizado en uno de los planos 
transversales al movimiento de los electrones. Ahora se puede definir el potencial vector 
normalizado 𝒂 = 𝑒𝐀/𝑚𝑒𝑐2 cuyo módulo es |𝒂| = 𝑎 = 𝑒 |𝐀|/𝑚𝑒𝑐2. En el régimen lineal 
o no relativista se cumple 𝑎 ≪ 1 y, además, el movimiento está dominado por la 
oscilación, siguiendo la forma de la primera de las ecuaciones de (2.7). Suponiendo que 
el momento se puede expresar como 𝐩 = 𝐩(1) + 𝛿𝐩, siendo 𝐩(1) el orden dominante 
(oscilante) y 𝛿𝐩 el término de segundo orden, y diferenciando respecto a t se obtiene: 
𝑑𝛿𝐩dt = 𝑑𝐩𝑑𝑡 − 𝑑𝐩(1)𝑑𝑡 = 𝑑𝐩𝑑𝑡 − 𝜕𝐩(1)𝜕𝑡 − (𝐯(1) · 𝛁)𝐩(1), (2.52) 
donde se ha usado que 𝑑/𝑑𝑡 = 𝜕/𝜕𝑡 + (𝐯 · 𝛁). Según (2.7) se cumple 𝜕𝐩(1)/𝜕𝑡 = −𝑒𝐄, 
así sustituyendo (2.51) en (2.52) y teniendo en cuenta que 𝐯(1) = 𝐩(1)/𝑚𝑒 se obtiene: 
𝑑𝛿𝐩dt = − (𝐩(1)𝑚𝑒 · 𝛁) 𝐩(1) − 𝑒 𝐯(1)𝑐 × 𝐁. (2.53) 
Multiplicando y dividiendo por 𝑐 y 𝑚𝑒 el segundo término de la parte derecha de (2.53) 
y recordando que 𝐁 = 𝛁 × 𝐀 se llega a: 
𝑑𝛿𝐩dt = − (𝐩(1)𝑚𝑒 · 𝛁) 𝐩(1) − 𝐩(1) × (𝑐 𝛁 × 𝒂) (2.54) 
Como 𝐯(1) = 𝑒𝐄/𝑚𝑒𝜔 entonces 𝐩(1) = 𝑚𝑒𝐯(1) = 𝑚𝑒𝑐2(𝑒𝐄/𝑚𝑒𝜔𝑐2) = 𝑚𝑒𝑐𝒂. 
Sustituyendo en (2.54) se tiene: 
𝑑𝛿𝐩dt = −(𝑐𝒂 · ∇)𝑚𝑒𝑐𝒂 − 𝑚𝑒𝑐𝒂 × (𝑐 𝛁 × 𝒂) = −𝑚𝑒𝑐2𝛁 (𝑎22 ), (2.55) 
 
donde se ha usado la relación: ∇(𝑪2/2) = 𝑪 × (𝛁 × 𝑪) + (𝑪 · 𝛁)𝑪. Así pues, la fuerza 
ponderomotriz es: 
22 
 
𝐅p = −𝑚𝑒𝑐2𝛁 (𝑎22 ). (2.56) 
En general, una fuerza se define como el gradiente negativo de un potencial, 𝐅 = −𝛁𝜙, 
así se puede definir el potencial ponderomotriz como: 
𝜙p = 𝑚𝑒𝑐2 (𝑎22 ). (2.57) 
Las expresiones (2.56) y (2.57) muestran que los electrones serán expulsados de aquellas 
regiones donde el campo eléctrico sea más elevado que en el resto del espacio. Además, 
este hecho también es cierto para partículas de carga positiva ya que la carga está incluida 
en a, el cual va elevado al cuadrado. Por otro lado, como a es inversamente proporcional 
a la masa de la partícula, entonces la fuerza ponderomotriz también lo será, lo que implica 
que el efecto de esta fuerza sobre iones es mucho menor que el que sufren los electrones, 
por lo que suele despreciarse. 
 
2.4 Movimiento macroscópico: ecuación cinética. 
En las secciones anteriores se ha estudiado el movimiento de un solo electrón en una onda 
electromagnética plana y monocromática, pero, como se dijo en la introducción de este 
trabajo, la dinámica del plasma está dominada por el comportamiento colectivo de las 
partículas que lo componen, fundamentalmente electrones. Por esta razón es 
imprescindible realizar un estudio del comportamiento de un gran número de electrones, 
es decir, del comportamiento macroscópico. 
Para realizar el estudio es necesario definir la función de distribución de las partículas. 
Esta función se define considerando un elemento de volumen que contenga un gran 
número de partículas individuales. Cada partícula, en cada instante de tiempo, ocupará 
una posición, dada por el vector 𝐫 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), y tendrá una determinada velocidad, dada 
por 𝐯 = (𝑣𝑥, 𝑣𝑦, 𝑣𝑧). Así se puede denotar la función de distribución como 𝑓 = 𝑓(𝐫, 𝐯, 𝑡), 
esta distribución proporciona la densidad de partículas en el punto (𝐫, 𝐯) en el espacio de 
fases de seis dimensiones. 
Una vez definida la dependencia de la distribución se puede obtener la llamada ecuación 
cinética de la distribución. Como se ha dicho, una partícula tiene coordenadas (𝐫, 𝐯) en el 
espacio de fase 6-D en un tiempo 𝑡, si la particula se mueve bajo la acción de una fuerza 
externa 𝐅(𝐫, t), entonces sufrirá un desplazamiento. Si este desplazamiento es 
infinitesimal, entonces las coordenadas de la partícula en el instante 𝑡∗ = 𝑡 + 𝑑𝑡 serán: 𝐫∗ = 𝐫 + 𝐯𝑑𝑡, 𝐯∗ = 𝐯 + (𝐅/𝑚)𝑑𝑡. (2.58) 
En el espacio de fases se define el elemento de volumen como 𝑑𝐫 𝑑𝐯, el cual tendrá 𝑓(𝐫, 𝐯, 𝑡) 𝑑𝐫 𝑑𝐯 partículas en el instante 𝑡, mientras que el instante 𝑡∗ el número de 
partículas en el nuevo elemento de volumen será 𝑓(𝐫∗, 𝐯∗, 𝑡∗) 𝑑𝐫∗𝑑𝐯∗. Pueden existir dos 
situaciones: aquella en la que las partículas no colisionen entre sí y aquella en la que sí lo 
23 
 
hagan. Estudiemos la primera: al no existir colisión entonces el cambio en el número de 
partículas es nulo, es decir 𝑓(𝐫 + 𝐯𝑑𝑡, 𝐯 + (𝐅/𝑚)𝑑𝑡, 𝑡 + 𝑑𝑡) 𝑑𝐫∗𝑑𝐯∗ − 𝑓(𝐫, 𝐯, 𝑡) 𝑑𝐫 𝑑𝐯 = 0. (2.59) 
Dado que la fuerza externa depende de (𝐫, 𝑡), se tiene que los elementos de volumen son 
iguales: 𝑑𝐫 𝑑𝐯 = 𝑑𝐫∗𝑑𝐯∗. Así, expandiendo en serie de Taylor la ecuación (2.59) y 
dividiendo por 𝑑𝐫 𝑑𝐯 𝑑𝑡 se llegaa la ecuación cinética (Baranov 2006): 𝜕𝑓𝜕𝑡 + 𝐯 · 𝜕𝑓𝜕𝐫 + 𝐅𝑚 · 𝜕𝑓𝜕𝐯 = 0. (2.60) 
Al estar tratando con campos electromagnéticos, se puede sustituir la fuerza 𝐅 por la 
fuerza de Lorentz, dando lugar a la ecuación de Vlasov-Maxwell: 
𝜕𝑓𝜕𝑡 + 𝐯 · 𝜕𝑓𝜕𝐫 + 𝑞𝑚 (𝐄 + 𝐯𝑐 × 𝐁) · 𝜕𝑓𝜕𝐯 = 0, (2.61) 
donde 𝑞 = −𝑒 para el caso de que las partículas sean electrones. La ecuación (2.61) tiene 
soluciones analíticas muy difíciles de encontrar y que solo describen fenómenos físicos 
muy concretos. Además, tampoco es sencillo encontrar soluciones de tipo numérico para 
(2.60) y (2.61) debido a que son ecuaciones en un espacio de seis dimensiones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Capítulo 3. Ondas en el plasma 
 
Una vez explicados los conceptos fundamentales sobre la dinámica de los electrones en 
ondas planas se tienen ya los conocimientos necesarios para estudiar ondas de plasma en 
diferentes regímenes. También se puede introducir el concepto de estela (Wake en inglés) 
el cual es fundamental para entender los llamados Wakefields, utilizados para acelerar los 
electrones como se dijo en la introducción de este trabajo. 
 
3.1 Oscilaciones del plasma 
En el Capítulo 2 se trabajó con ondas electromagnéticas, pero en ningún momento se hizo 
referencia a las ondas electrostáticas, a pesar de que son también de gran interés ya que 
en el plasma los dos tipos de ondas son capaces de propagarse provocando el movimiento 
de las partículas que lo componen. 
El caso más general es tener un plasma de electrones con un fondo uniforme de iones. Si 
estos electrones son desplazados con respecto al fondo, es decir, si se rompe el equilibrio 
o neutralidad local del plasma, entonces aparecerán campos eléctricos que intentarán 
restablecer la neutralidad llevando a los electrones de nuevo a sus posiciones de 
equilibrio. Este restablecimiento se llevará a cabo a la frecuencia característica del plasma 𝜔𝑝. Debido a que esta oscilación es muy rápida, los iones del fondo, los cuales son mucho 
más pesados que los electrones, no tendrán el tiempo suficiente para responder a esta 
oscilación, por lo que no se moverán y se pueden considerar como fijos. 
La frecuencia de plasma 𝜔𝑝 se puede obtener de una forma sencilla teniendo en cuenta 
las siguientes consideraciones (Chen 1984): 
- No hay campo magnético. 
- No hay movimientos originados por fenómenos térmicos. 
- Los iones están fijos en el espacio. 
- El plasma tiene una extensión infinita. 
- El movimiento de los electrones solo se produce en la dirección del eje X. 
Debido a la primera y última consideración, el campo eléctrico cumplirá las siguientes 
condiciones: 𝐄 = 𝐸�̂�, 𝛁 × 𝐄 = 0, 𝐄 = −𝛁𝜙 (3.1) 
Al no existir un campo magnético, se trata de una oscilación electrostática. Entonces, la 
ecuación de movimiento para los electrones es: 𝑚𝑒𝐚e = −𝑒𝐄 → 𝑚𝑒𝑛𝑒 [𝜕𝐯e𝜕𝑡 + (𝐯e · 𝛁)𝐯𝐞] = −𝑒𝑛𝑒𝐄, (3.2) 
donde 𝐚e, 𝐯e y 𝑛𝑒 son la aceleración, velocidad y densidad de electrones en el plasma. 
También se ha utilizado que 𝐚e = 𝑑𝐯e/𝑑𝑡 y que 𝑑/𝑑𝑡 = 𝜕/𝜕𝑡 + (𝐯 · 𝛁). A la ecuación 
(3.2) se puede añadir la llamada ecuación de continuidad, utilizada por ejemplo en la 
Física de Fluidos, y que sirve para representar la conservación de la masa en forma 
diferencial: 
26 
 
𝜕𝑛𝑒𝜕𝑡 + 𝛁 · (𝑛𝑒𝐯𝐞) = 0. (3.3) 
Como no existe presencia de un campo magnético entonces la única ecuación de Maxwell 
que se necesita para poder realizar los cálculos es la Ley de Gauss. Al tener solo 
dependencia en 𝑥 del campo eléctrico entonces se cumple que: 𝛁 · 𝐄 = 4𝜋𝜌 → 𝜕𝐄𝜕𝑥 = 4𝜋𝑒(𝑛𝑖 − 𝑛𝑒), (3.4) 
donde 𝜌 es la densidad de carga total en el plasma, es decir, 𝜌 = 𝑒(𝑛𝑖 − 𝑛𝑒) siendo 𝑛𝑖 la 
densidad de iones. El signo del miembro derecho se debe a que, al ser un plasma neutro, 
los iones deben tener carga positiva para equilibrar la de los electrones, por ello aparece 
la resta de las densidades. 
Una vez definidas las condiciones del plasma, se pueden resolver las ecuaciones (3.2) y 
(3.4): para ello se hará uso del proceso llamado linealización. Dado que las variables 
dependientes son la densidad de electrones, la velocidad de los electrones y el campo 
eléctrico, entonces se pueden separar en dos términos: un término de equilibrio (llevará 
el subíndice 0) y un término oscilante (llevará el subíndice 1): 𝑛𝑒 = 𝑛0 + 𝑛1, 𝐯e = 𝐯0 + 𝐯1, 𝐄 = 𝐄0 + 𝐄1. (3.5) 
Como las cantidades de equilibrio caracterizan al plasma antes de la oscilación y dado 
que se ha asumido un plasma neutro en reposo antes del desplazamiento de los electrones, 
se cumple que: 
𝛁𝑛0 = 𝐯0 = 𝐄0 = 0, 𝜕𝑛0𝜕𝑡 = 𝜕𝐯0𝜕𝑡 = 𝜕𝐄0𝜕𝑡 = 0. (3.6) 
Entonces la ecuación (3.2) queda: 𝑚𝑒 [𝜕𝐯1𝜕𝑡 + (𝐯1 · 𝛁)𝐯1] = −𝑒𝐄1 → 𝑚𝑒 𝜕𝐯1𝜕𝑡 = −𝑒𝐄1, (3.7) 
el segundo término del corchete se ha eliminado porque sería cuadrático en amplitud ya 
que en él aparece 𝐯1 dos veces. Por otra parte, para la ecuación (3.3) se tiene: 𝜕𝑛1𝜕𝑡 + 𝛁 · (𝑛0𝐯1 + 𝑛1𝐯1) = 0 → 𝜕𝑛1𝜕𝑡 + 𝑛0𝛁 · 𝐯1 = 0, (3.8) 
donde de nuevo se ha despreciado el termino 𝑛1𝐯1 por ser cuadrático en amplitud y se ha 
utilizado la condición 𝛁𝑛0 = 0 dada por (3.6). Si ahora se sustituye 𝐄 = 𝐄0 + 𝐄1 en (3.4), 
se tiene en cuenta que 𝐄0 = 0, se observa que en equilibrio 𝑛𝑖0 = 𝑛𝑒0 y que 𝑛𝑖1 = 0 
debido a la consideración de iones fijos (la densidad de iones no cambia con la oscilación 
por ello no puede tener un término oscilante) se obtiene: 𝛁 · 𝐄1 = −4𝜋𝑒𝑛𝑒1 = −4𝜋𝑒𝑛1. (3.9) 
27 
 
Ahora se asume que las cantidades oscilantes lo hacen de forma sinusoidal, entonces se 
pueden expresar en forma compleja como se hizo en el Capítulo 2: 𝐯1 = 𝑣1�̂� 𝑒𝑖𝑘𝑥−𝑖𝜔𝑡 𝐄1 = 𝐸1�̂� 𝑒𝑖𝑘𝑥−𝑖𝜔𝑡 (3.10) 
𝑛1 = 𝑛1 𝑒𝑖𝑘𝑥−𝑖𝜔𝑡. 
Sustituyendo estas expresiones en (3.7), (3.8) y (3.9) se obtienen las siguientes 
igualdades: −𝑖𝑚𝑒𝜔𝑣1 = −𝑒𝐸1 −𝑖𝜔𝑛1 = −𝑛0𝑖𝑘𝑣1 
 
(3.11) 𝑖𝑘𝐸1 = −4𝜋𝑒𝑛1. 
Despejando 𝑛1 de la segunda igualdad y sustituyendo en la tercera se obtiene que la 
amplitud del campo oscilante es 𝐸1 = 𝑖4𝜋𝑒𝑛0𝑣1/𝜔. Sustituyendo esta relación en la 
primera igualdad se llega a que la frecuencia del plasma es: 
𝜔 = 𝜔𝑝 = √4𝜋𝑒2 𝑛0𝑚𝑒 . (3.12) 
Se observa que dicha frecuencia depende de la densidad de electrones en equilibrio en el 
plasma y de la masa de estos. Dado que la masa de los electrones es del orden de 10−31 kg, 
la frecuencia del plasma será elevada, por ejemplo: para una densidad de electrones del 
orden de 1018 cm−3, la frecuencia sería: 𝑓𝑝 = (4𝜋𝑒2𝑛0/𝑚𝑒)1/2/2𝜋 = 95 MHz. 
 
3.2 Ondas de plasma 
Una vez derivado el parámetro fundamental que caracteriza a un plasma, su frecuencia 𝜔𝑝, se pueden estudiar las ondas generadas en el plasma provocadas por la oscilaciones 
de los electrones. En la sección anterior se hicieron una serie de consideraciones para la 
derivación de 𝜔𝑝, una de ellas era la no existencia de movimientos originados por 
fenómenos térmicos. Sin embargo, los efectos térmicos no pueden ser obviados a no ser 
que se trabaje a temperaturas muy bajas, cercanas al cero absoluto, pero esto no ocurre 
así en la mayoría de los trabajos y experimentos. Por ello es necesario incluir estos 
movimientos térmicos, ya que estos movimientos implican un transporte de información 
por parte de los electrones, la cual sirve para saber qué está sucediendo en la región de 
oscilación del plasma. Al incluir este efecto ya se puede hablar propiamente de las ondas 
de plasma o plasmones. 
El efecto térmico puede ser añadido a la ecuación (3.2) con un término de la forma −𝛁𝑝𝑒, 
siendo 𝑝𝑒 la presión de los electrones. Para un proceso de tipo isotérmico, este gradiente 
adquiere la siguiente definición(Chen 1984): 
28 
 
𝛁𝑝 = 𝛾𝐾𝑇𝛁𝑛, (3.13) 
donde 𝛾 es el cociente entre los calores específicos de la muestra (𝛾 = 𝐶𝑝/𝐶𝑣), 𝐾 es la 
constante de Boltzmann (𝐾 = 1.3807 · 10−23 J/K) y 𝑇 es la temperatura de la muestra. 
Existe otra forma de definir 𝛾: si 𝑁 es el número de grados de libertad del movimiento 
entonces 𝛾 = (2 + 𝑁)/𝑁. Particularizando para el plasma considerado en esta sección se 
tiene que 𝛾 = 3, ya que solo hay movimiento en el eje X. Así pues, la expresión (3.13) 
para los electrones queda: 𝛁𝑝𝑒 = 3𝐾𝑇𝑒𝛁𝑛𝑒 = 3𝐾𝑇𝑒 𝜕𝑛1𝜕𝑥 �̂�, (3.14) 
donde se ha usado que 𝑛𝑒 = 𝑛0 + 𝑛1 y 𝛁𝑛0 = 0. Así pues, añadiendo este gradiente a la 
ecuación de movimiento linealizada (3.7) se obtiene: 𝑚𝑒𝑛0 𝜕𝐯1𝜕𝑡 = −𝑒𝑛0𝐄1 − 3𝐾𝑇𝑒 𝜕𝑛1𝜕𝑥 �̂�. (3.15) 
Utilizando ahora el conjunto de ecuaciones (3.10) se llega, a partir de (3.15), a la siguiente 
igualdad: −𝑖𝑚𝑒𝜔𝑛0𝑣1 = −𝑒𝑛0𝐸1 − 3𝐾𝑇𝑒𝑖𝑘𝑛1. (3.16) 
Además, 𝐸1 y 𝑛1 seguirán cumpliendo la segunda y tercera ecuación de (3.11), es decir, 
se sigue verificando que 𝐸1 = 𝑖4𝜋𝑒𝑛0𝑣1/𝜔 y 𝑛1 = 𝑛0𝑘𝑣1/𝜔. Sustituyendo en (3.16) se 
tiene: 
𝑖𝑚𝑒𝜔𝑛0𝑣1 = 𝑒𝑛0𝑖4𝜋𝑒𝑛0𝑣1𝜔 + 3𝐾𝑇𝑒𝑖𝑘𝑛0𝑘𝑣1𝜔 
𝜔2 = 4𝜋𝑒2𝑛0𝑚𝑒 + 3𝐾𝑇𝑒𝑚𝑒 𝑘2 
𝜔2 = 𝜔𝑝2 + 32 𝑘2𝑣𝑡ℎ2 , (3.17) 
donde se ha definido la velocidad térmica de los electrones como: 𝑣𝑡ℎ2 = 2𝐾𝑇𝑒/𝑚𝑒. Se 
observa claramente que ahora la frecuencia de las oscilaciones depende de la frecuencia 
del plasma, del número de onda 𝑘 y de la temperatura 𝑇𝑒. 
Existen varias técnicas para conseguir ondas de plasma, una de las más estudiadas 
consiste en utilizar un haz de electrones para excitar el plasma. Si los electrones del haz 
están agrupados de tal modo que al pasar por un punto del plasma lo hacen a la frecuencia 
propia 𝑓𝑝, entonces generarán un campo eléctrico con esa misma frecuencia dando lugar 
a oscilaciones en el plasma. Sin embargo, no es necesario agrupar los electrones ya que 
una vez que se generen las oscilaciones del plasma, estas harán que los electrones se 
agrupen y las oscilaciones crecerán por un mecanismo de retroalimentación. 
29 
 
3.3 Ondas de estela o Wake 
En la sección 3.1 se derivó la frecuencia del plasma a partir de ondas electrostáticas y se 
llegó a que la relación de dispersión era 𝜔 = 𝜔𝑝. Sin embargo, está relación no determina 
el vector de onda 𝑘. Entonces tanto la longitud de onda como la velocidad de fase de la 
onda de plasma vendrán determinadas por la forma en la que se excita la onda. 
En la sección anterior se explicó uno de los mecanismos para excitar las oscilaciones de 
los electrones en el plasma; otra forma de conseguir estas oscilaciones es que exista una 
fuerza que viaje por el plasma a una velocidad 𝑣𝑓. Esta fuerza generará una oscilación en 
su frente de propagación, luego la velocidad de fase de la onda (𝜔𝑝/𝑘) será igual a 𝑣𝑓. El 
Principio de Causalidad establece que un efecto tiene que venir precedido por una causa, 
entonces las oscilaciones del plasma se irán excitando detrás del frente de la fuerza, 
apareciendo así la llamada estela o wake (en inglés) de oscilaciones del plasma que, como 
se ha dicho, tendrá una velocidad de fase 𝑣𝑝 = 𝜔𝑝/𝑘 = 𝑣𝑓. 
Otra forma de generar oscilaciones en el plasma consiste en inyectar radiación 
electromagnética (fotones) en un plasma de baja densidad de electrones. La relación de 
dispersión para ondas electromagnéticas en plasma es 𝜔2 = 𝑘2𝑐2 + 𝜔𝑝2 (Tajima and 
Dawson 1979). El índice de refracción del plasma viene dado por 𝑛 = 𝑘𝑐/𝜔 =(1 − 𝜔𝑝2/𝜔2)1/2 y la velocidad de grupo de la onda electromagnética se define como 𝑣𝑔𝐸𝑀 = 𝑑𝜔/𝑑𝑘. Derivando la relación de dispersión respecto de 𝑘 se obtiene: 
2𝜔 𝑑𝜔𝑑𝑘 = 2𝑘𝑐2 → 𝑣𝑔𝐸𝑀 = 𝑑𝜔𝑑𝑘 = 𝑘𝑐2𝜔 = 𝑛𝑐 = 𝑐 (1 − 𝜔𝑝2𝜔2)1/2. (3.18) 
Una vez que la radiación electromagnética incide en el plasma, la onda wake se generará 
debido a la fuerza ponderomotriz creada por el movimiento de los fotones dentro del 
plasma; la velocidad de esta fuerza será la misma que la velocidad de grupo de la radiación 
electromagnética, entonces la velocidad de fase de la onda wake será 𝑣𝑝 = 𝑣𝑔𝐸𝑀. Este 
wake se puede generar de una forma más eficiente si la longitud de onda de los fotones 
es exactamente la mitad de la longitud de onda de las ondas de plasma generadas, ya que 
esto implica que la fuerza ponderomotriz asociada al paquete de fotones realizaría una 
oscilación completa en el mismo tiempo que la onda de plasma realiza media y esto 
provoca que la oscilación de plasma se vea reforzada, ya que, como se dijo en la sección 
2.3, la fuerza ponderomotriz es la responsable del movimiento oscilante, 𝜆𝐸𝑀 = 𝜆𝑝2 = 2𝜋2𝑘 = 𝜋𝑐𝜔𝑝. (3.19) 
Otra forma de generar una onda wake sería utilizando dos pulsos láser de frecuencias 𝜔1 
y 𝜔2 y cuya diferencia fuese la frecuencia del plasma 𝜔𝑝, es decir Δ𝜔 = 𝜔1 − 𝜔2 ≈ 𝜔𝑝, 
consiguiendo así generar una onda de longitud de onda 2𝜋𝑐/𝜔𝑝. Una vez que los pulsos 
láser inciden en el plasma tendrá lugar un proceso que dará lugar a las ondas wake. Este 
proceso se puede entender de la siguiente manera: supongamos que el pulso láser se 
propaga en la dirección del eje Z y su campo eléctrico está dirigido en la dirección del eje 
Y, por lo que este campo provocará un movimiento de los electrones del plasma en la 
dirección transversal a la propagación. Para más simplicidad, se considera que el pulso 
30 
 
láser tiene una intensidad que no es suficiente para generar un movimiento de tipo 
relativista, por lo que se puede expresar la energía promedio de la oscilación como el 
promedio de la energía cinética de los electrones: 〈𝑊〉 ≅ 𝑚𝑒〈𝑣𝑦2〉/2. Como se vio en la 
sección 2.1, el máximo valor de la velocidad de los electrones es 𝑣𝑦 = 𝑒𝐸𝑦/𝑚𝑒𝜔, 
entonces 〈𝑊〉 ≅ 𝑒2〈𝐸𝑦2〉/2𝑚𝑒𝜔2, donde 𝜔 hace referencia a la frecuencia del pulso láser, 
no a la del plasma. Este pulso láser pasa durante un tiempo 𝜏 por cada electrón, de manera 
que el electrón se desplazará, en promedio, una distancia Δ𝑧 = 〈Δ𝑣𝑧 𝜏〉, siendo Δ𝑣𝑧 el 
incremento de velocidad del electrón provocado por el pulso incidente. Dado que electrón 
se ha desplazado se genera un desequilibrio de carga, por lo que aparecerá un campo 
eléctrico que obligará a los electrones a volver hacia atrás para restituir la neutralidad. 
Dado que este proceso tiene lugar en todos los electrones sometidos al pulso láser, 
entonces tendrá lugar un movimiento conjunto de los electrones para reestablecer la 
neutralidad, generándose así la oscilación del plasma o wake. La onda wake generada se 
propaga con la velocidad de fase 𝑣𝑝 = 𝑐(1 − 𝜔𝑝2/𝜔2)1/2 y es capaz de atrapar a los 
electrones, los cuales oscilarán ganando energía a la vez que el wake se desplaza, y esta 
ganancia de energía es la que da lugar a la aceleración de los electrones. 
Por tanto, el mecanismo de generación de la onda wake es la clave para la aceleración de 
los electrones. 
 
3.4 Aceleración de electrones y desintonía 
Una vez que han sido introducidos los aspectos fundamentales de la dinámica de 
electrones en ondas planas y de la generación de ondas de plasma y ondas wake, se pueden 
comenzar a explicar las diferentes técnicas de aceleración de electrones. En esta sección 
se hablará de la aceleración de electrones en ondas de plasma. 
Como se vio en el final de la sección anterior, la generación de una onda de plasma es 
capaz de atrapar electrones y acelerarlos. Supongamos que la aceleración tiene lugar a lo 
largo del eje Z y que el campo electrostático de esa onda de plasma viene dado por una 
expresión sinusoidal de la forma 𝐄 = 𝐸𝑚𝑎𝑥 sin[𝜔𝑝(𝑧/𝑣𝑝 − 𝑡)] �̂�. La velocidad de fase 
de la onda 𝑣𝑝 siempre será menor que 𝑐 según la relación de dispersión vista en la sección 
anterior, pero el hecho de que el campo eléctrico esté acelerando al electrón hace que este 
puedallegar a viajar a velocidades cercanas a la de la luz, es decir, su velocidad 𝑣𝑧 
cumplirá 𝑣𝑧 → 𝑐 y 𝑣𝑝 < 𝑐. Si 𝑣𝑝 es constante entonces llegará un momento en el que el 
electrón viajará más rápido que la propia onda de plasma y saldrá de ella dejando de 
acelerarse. Este hecho se denomina desintonía o detuning (en inglés) y supone una 
limitación a la ganancia de energía del electrón. La desintonía se puede caracterizar a 
través de un parámetro llamado longitud de desintonía, 𝐿𝑑, definida como la longitud que 
una partícula, moviéndose a velocidad 𝑣𝑧, debe recorrer para superar a la onda por 1/2 de 
la longitud de onda de plasma 𝜆𝑝. Esta longitud, en el sistema del laboratorio, viene dada 
por la expresión (Esarey and Pilloff 1995) (𝑐 − 𝑣𝑝)𝐿𝑑/𝑐 = 𝜆𝑝/2, es decir, 𝐿𝑑 = 𝛾𝑝2𝜆𝑝 
siendo 𝛾𝑝 = (1 − 𝑣𝑝2/𝑐2)−1/2 el factor relativista asociado a la velocidad de fase de la 
onda de plasma. 
En la sección anterior se dijo que la onda de plasma es capaz de atrapar a los electrones, 
siendo este hecho crucial para la aceleración. Tanto el atrapamiento como la aceleración 
31 
 
y la desintonía se pueden estudiar en una onda de plasma analizando las orbitas del 
electrón en el espacio de fases (�̅�, 𝜓), donde �̅� es el momento normalizado, �̅� = 𝑝/𝑚𝑒𝑐 
y 𝜓 es la fase, 𝜓 = 𝑘𝑝(𝑧 − 𝑣𝑝𝑡) = 𝑘𝑝𝜉. El campo eléctrico se puede expresar en términos 
de un potencial escalar según la expresión 𝐄 = −𝛁𝜙. Tomando la definición de 𝐄 
utilizada en esta sección se puede ver fácilmente que el potencial escalar es 𝜙 = 𝜙0 cos 𝜓, 
siendo la amplitud del potencial 𝜙0 = 𝐸𝑚𝑎𝑥/𝑘𝑝. La región del espacio de fases en la que 
se producirá aceleración será −𝜋 < 𝜓 < 0 ya que en esta región el potencial escalar 
queda acotado: −𝜙0 < 𝜙 < 𝜙0, lo que significa que el electrón no viajará más rápido que 
la onda de plasma y no habrá desintonía. 
Para entender mejor cómo la onda de plasma atrapa a los electrones se puede considerar 
el caso de un electrón que incida en la onda de plasma moviéndose a una velocidad menor 
que la de fase 𝑣𝑧 < 𝑣𝑝 en el punto 𝜓 = 0. Inicialmente, el electrón se mueve en dirección 
opuesta a la de la onda, ya que el campo creado por la onda está dirigido en el sentido 
positivo del eje Z, lo que implica que el electrón se moverá en el sentido negativo según 
la fuerza de Lorentz. Para conseguir que el electrón quede atrapado en la onda debe tener 
una velocidad inicial 𝑣𝑧 lo suficientemente alta para así ganar la energía necesaria para 
que su movimiento quede determinado por la onda de plasma. Para ello es necesario que 
la velocidad del electrón cumpla que 𝑣𝑧 > 𝑣𝑝 cuando dicho electrón se acerca a 𝜓 = −𝜋 
para que quede atrapado en la onda y empiece a realizar oscilaciones. Por simetría en 
torno a 𝜓 = 0 la zona en la que electrón realizará las oscilaciones es −𝜋 < 𝜓 < 𝜋. 
El espacio de fases viene caracterizado por la llamada separatriz, que es la curva que 
limita las regiones del espacio en las que los electrones quedan atrapados o no. Para una 
onda de plasma sinusoidal, la figura 3.1 muestra de forma esquemática la separatriz: 
 
Figura 3.1: Órbita de un electrón en el espacio de fases (�̅�, 𝑘𝑝𝜉) en una onda de 
plasma sinusoidal. La separatriz es la línea continua. La línea discontinua 
representa las oscilaciones del electrón al ser atrapado. Esarey, Schroeder, and 
Leemans 2009 
 
32 
 
Las ecuaciones unidimensionales que describen el movimiento de un electrón y el cambio 
en su energía en terminos del factor relativista 𝛾 y de la fase 𝜓 = 𝑘𝑝𝜉 son (Esarey and 
Pilloff 1995): 𝑑𝛾𝑑�̂� = 𝜕𝜙𝜕𝜓, 𝑑𝜓𝑑�̂� = 1 − 𝛽𝑝𝛽 , (3.20) 
donde 𝛾 = (1 − 𝛽2)−1/2, 𝛽 = 𝑣𝑧/𝑐, 𝛽𝑝 = 𝑣𝑝/𝑐 y se ha definido �̂� = 𝑘𝑝𝑧. A partir de 
estás ecuaciones se puede construir el Hamiltoniano del movimiento del electrón, el cual 
está dado por: 𝐻(𝛾, 𝜓) = 𝛾(1 − 𝛽𝛽𝑝) − 𝜙(𝜓). (3.21) 
Es fácil ver que las dos ecuaciones de la expresión (3.20) se recuperan diferenciando el 
Hamiltoniano respecto a 𝛾 y 𝜓, teniendo en cuenta que al derivar respecto a 𝛾 hay que 
tener presente que 𝛽 depende de 𝛾. Además, al no depender explícitamente del tiempo, 𝐻(𝛾, 𝜓) es constante en las trayectorias descritas por el electrón. La ganancia máxima de 
energía de los electrones tendrá lugar en las orbitas cerradas dentro de la separatriz. 
 
3.5 Aceleración alternativa de electrones 
Hasta ahora el único mecanismo de aceleración expuesto consiste en utilizar pulsos láser 
para excitar una onda de plasma o wake y posteriormente conseguir que los electrones 
queden atrapados en la onda de plasma en el interior de la zona limitada por la separatriz. 
Sin embargo, Chen, Dawson, Huff y Katsouleas (1985) propusieron un método alternativo 
para la aceleración de electrones que no requería de la utilización de láseres y que 
conseguía gradientes de aceleración elevados. 
Este método consiste en la inyección de una secuencia de paquetes de electrones de alta 
energía en un plasma frío (frío para evitar movimientos asociados a fenómenos térmicos). 
Este paquete de electrones tenderá a ceder su energía al plasma generando así una onda 
wake. Esta cesión de energía se justifica porque el paquete de electrones tiene mayor 
velocidad que los propios electrones del plasma, por lo tanto, al colisionar el paquete con 
los electrones del plasma les cederá su energía y se generará la onda wake. Posteriormente 
solo es necesario inyectar un paquete de electrones con la fase adecuada y 
automáticamente serán acelerados a altas energías debido al wakefield generado. 
Para estudiar este esquema de aceleración se considera una cadena de paquetes de 
electrones relativistas con velocidad inicial 𝑣𝑏 < 𝑐, los paquetes están separados una 
distancia 𝑑 y son inyectados en un plasma frío y uniforme en la dirección del eje Z. 
También se asume que el conjunto total de electrones inyectados se comporta como una 
sola partícula de carga 𝑄 = 𝑞𝑒, con 𝑞 el número de electrones totales inyectados. Una 
vez resueltas las ecuaciones para el campo eléctrico de la onda de plasma se obtiene que 
el gradiente de energía, es decir, la energía ganada por unidad de longitud por una 
partícula, para un paquete de electrones es (Chen, Dawson, Huff and Katsouleas 1985): 𝜖 ≃ 8𝜋2𝑒𝑄𝜆𝑝2 (3.22) 
33 
 
Esta técnica es capaz de generar gradientes de energía de aproximadamente 3 GeV/m, por 
lo que se necesitaría una cadena de 33 paquetes de electrones para llegar a obtener 
gradientes de 100 GeV/m como los que se obtienen al utilizar pulsos láser. Por ello y por 
el avance en la tecnología de los láseres, esta técnica es una de las menos utilizadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Capítulo 4. Aceleración por pulsos láser (Laser 
Wakefield Accelerator, LWFA) 
 
La idea original de utilizar los campos generados en un plasma para acelerar partículas 
cargadas de forma compacta fue propuesta por Budker en 1956 (Budker 1956). 
Posteriormente en 1979, Tajima y Dawson fueron los primeros en demostrar que un pulso 
láser intenso era capaz de generar una onda de plasma o wake gracias a la fuerza 
ponderomotriz asociada al propio pulso láser. Este capítulo se centra en esta técnica de 
aceleración, la cual da lugar al llamado Laser Wakefield Accelerator o sus siglas LWFA. 
La técnica de aceleración consiste en utilizar un pulso láser corto (≃ 1ps) y ultraintenso 
(≃ 1017W/cm2) para excitar una oscilación en el plasma en el cual incide este pulso 
láser. Como se ha mencionado, la fuerza ponderomotriz asociada al pulso láser es el 
mecanismo generador de la onda wake, y en el capítulo anterior se comentó que la onda 
generada llevará la misma velocidad que la de la fuerza ponderomotriz. Luego la forma 
más eficiente de generarel wakefield es que el pulso láser tenga una velocidad de la forma 𝜔𝑝/𝑘𝑝, para así generar un wakefield en el plasma cuya velocidad venga determinada por 
su parámetro característico (la frecuencia de plasma 𝜔𝑝). Este acelerador ha sido 
ampliamente estudiado y desarrollado principalmente después de la invención de la 
tecnología CPA (chirped pulse amplification, Strickland and Mourou 1985) ya que esta 
técnica permite obtener pulsos láser ultracortos con valores muy altos de potencia (del 
orden de TW y superior) lo que ha permitido obtener gradientes de aceleración en torno 
a los 100 GeV/m en los aceleradores LWFA. 
Los estudios llevados a cabo sobre el LWFA han servido para comprender mejor sus 
diferentes regímenes de funcionamiento: lineal, no lineal y auto-modulación. En las 
siguientes secciones se dará una descripción de estos regímenes. 
 
4.1 Régimen lineal 
En primer lugar, se estudiará el régimen lineal del LWFA el cual es el régimen de 
funcionamiento estándar. Como se dijo en la sección 2.3, en concreto la ecuación (2.56), 
la fuerza ponderomotriz asociada al láser tiende a expulsar los electrones de aquellas 
regiones donde el campo eléctrico es más elevado que en el resto del espacio. Estos 
electrones del plasma pueden salir repelidos en direcciones opuestas y esto es lo que 
genera la excitación de la onda wake. Por ello el pulso láser debe tener una duración de 𝜏 = 1/𝜔𝑝 y una longitud 𝐿 = 𝜆𝑝, ya que con estos parámetros se consigue que la 
velocidad de la fuerza ponderomotriz coincida con 𝜔𝑝/𝑘𝑝 dando lugar así a una 
excitación máxima de la onda de plasma. 
El desarrollo matemático de este régimen parte del potencial vector normalizado para un 
pulso láser linealmente polarizado y con un perfil gaussiano propagándose en la dirección 
del eje Z, cuya expresión es (Malka 2016): 
36 
 
𝑎(𝑧, 𝑡) = 𝑎0 exp [− (𝑘0𝑧 − 𝜔0𝑡√2𝑘𝑝𝐿 )2] cos(𝑘0𝑧 − 𝜔0𝑡) , (4.1) 
donde 𝑎0 es la amplitud del potencial vector, 𝑘0 y 𝜔0 son el número de onda y la 
frecuencia del láser respectivamente y 𝐿 es la longitud del pulso láser. En el capítulo 2 se 
definió 𝑎0 como 𝑎0 = 𝑒𝐴0/𝑚𝑒𝑐2 y se dijo que el movimiento no relativista del electrón 
en una onda plana tenía una solución de tipo lineal si 𝑎0 ≪ 1, entonces esta condición 
también es válida ahora y es la que define el régimen lineal del LWFA. 
La expresión (4.1) muestra claramente que el perfil del pulso láser es de tipo Gaussiano, 
así el campo eléctrico es: 𝐸(𝑧, 𝑡) = 𝐸0 √𝜋𝑎024 𝑘𝑝𝐿 exp [− 𝑘𝑝2𝐿24 ] sin(𝑘0𝑧 − 𝜔0𝑡). (4.2) 
Como se observa, la amplitud del campo eléctrico, es decir, la amplitud de la onda wake 
depende fuertemente de la longitud del pulso láser. En este caso, el valor máximo de la 
amplitud se alcanza para 𝐿 = 𝜆𝑝/(𝜋√2). 
 
4.2 Régimen no lineal. Ondas de plasma no lineales 
Como se ha dicho anteriormente el régimen lineal es válido siempre que 𝑎0 ≪ 1, pero 
esta condición dejará de ser válida según se va incrementando la amplitud del pulso láser 
utilizado para generar la onda wake. En este caso la respuesta del plasma deja de ser lineal 
y pasa a ser una repuesta altamente no lineal. 
La creación de la onda wake o wakefield se puede analizar de una forma sencilla en una 
dimensión suponiendo que el pulso láser no evoluciona en el tiempo. Entonces el pulso 
solamente dependerá de la coordenada 𝜉 = 𝑧 − 𝑣𝑝𝑡. En este caso, la ecuación que 
describe el proceso de excitación de la onda de plasma a través del pulso láser es (Hansson 
2016): 𝜕2𝜙𝜕2𝜉 = 𝑘𝑝22 ( 1 + 𝑎2(1 + 𝜙)2 − 1), (4.3) 
donde 𝜙 es el potencial escalar normalizado, es decir, dividido por 𝑚𝑒𝑐2/𝑒 y 𝑎 es el 
modulo del potencial vector asociado a la onda de plasma. Por otra parte, la variación de 
la densidad (normalizada) de electrones en el plasma viene expresada por la ecuación: 𝛿𝑛𝑛0 = 12 ( 1 + 𝑎2(1 + 𝜙)2 − 1), (4.4) 
donde 𝑛0 es la densidad antes de la perturbación. 
Las soluciones a la ecuación (4.3) solo se pueden encontrar de forma analítica para pulsos 
láser con formas muy concretas. Además, como consecuencia de la no linealidad la 
37 
 
longitud de onda se ve modificada y es lo que se llama la longitud de onda no lineal de la 
onda de plasma 𝜆𝑁𝑝, cuya forma matemática en una dimensión es: 𝜆𝑁𝑝 = 𝜆𝑝 × { 1, 𝐸𝑚𝑎𝑥/𝐸0 ≪ 1(2/𝜋) 𝐸𝑚𝑎𝑥/𝐸0, 𝐸𝑚𝑎𝑥/𝐸0 ≫ 1 (4.5) 
donde 𝐸𝑚𝑎𝑥 es la amplitud máxima del campo eléctrico del wake y 𝜆𝑝 es la longitud de 
onda en el caso lineal. 
Como soluciones de la ecuación (4.3) podemos ver dos ejemplos (Esarey, Schroeder and 
Leemans 2009): 
1. Pulso cuadrado. 
Este pulso viene caracterizado por un campo máximo 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 𝑎02𝐸0 y esta 
condición se da cuando la longitud del pulso láser es 𝐿 ≃ 𝜆𝑁𝑝/2. La relación 
general entre 𝐸𝑚𝑎𝑥 y 𝐸0 es 𝐸𝑚𝑎𝑥/𝐸0 = 𝑎02(1 + 𝑎02)−1/2. En este caso el campo 
máximo será inversamente proporcional a 𝜆𝑝. Por lo que si el pulso es corto la 
amplitud se incrementará. 
2. Pulso gaussiano. 
El potencial vector del pulso es de la forma 𝑎 = 𝑎0 exp(−𝜉2/4𝐿𝑟𝑚𝑠2 ) cos(𝑘𝑝𝜉). 
siendo 𝐿𝑟𝑚𝑠 = 𝐿/√2. Dado que la onda de plasma es excitada por un pulso láser 
de longitud 𝐿 = 𝜆𝑝, la amplitud de la onda wake no suele experimentar una 
respuesta ante los cambios en la duración del pulso o en la uniformidad del plasma, 
es decir, el wakefield no se verá modificado de forma significativa. Este hecho se 
puede ver en la figura 4.1: 
 
Figura 4.1: Amplitud normalizada del wakefield para dos pulsos gaussianos en 
función de 𝑘𝑝𝐿𝑟𝑚𝑠. La línea continua corresponde a 𝑎0 = 0.5 y la discontinua a 𝑎0 = 2.0. Esarey, Schroeder and Leemans 2009 
 
38 
 
4.3 Régimen de auto-modulación (self-modulated LWFA) 
El régimen de auto-modulación se caracteriza por la generación del wakefield a partir de 
varios pulsos láser cortos, los cuales son el resultado de la rotura del pulso original bajo 
ciertas condiciones. 
En concreto, la auto-modulación surge porque la onda de plasma generada por el pulso 
láser es capaz de crear regiones periódicas en las que el enfoque y la difracción aumentan. 
Para entender cómo tiene lugar este proceso se parte de la expresión del índice de 
refracción para un haz de radiación láser (Esarey and Ting 1990) en un plasma con un 
perfil de densidad 𝜌(𝑟): 
𝑛(𝑟) ≃ 1 − 𝜔𝑝2𝜌(𝑟)2𝜔2𝜌0 , 
(4.6) 
donde 𝜌0 es la densidad de iones del plasma. Si se crea un canal de densidad en este 
plasma, es decir, una zona en la que la densidad adquiere un valor más elevado que en el 
resto del plasma, se observa que 𝜕𝜌/𝜕𝑟 > 0 lo que implica que 𝜕𝑛/𝜕𝑟 < 0, es decir, el 
índice de refracción va decreciendo desde el centro del canal de densidad hacia la zona 
límite de este, aumentando así el enfoque. Si la condición es inversa, 𝜕𝜌/𝜕𝑟 < 0, 
entonces 𝜕𝑛/𝜕𝑟 > 0 lo que implica que el haz láser tenderá a desenfocarse. 
Las condiciones fundamentales para que se produzca la auto-modulación son: 
- La potencia del pulso láser debe ser superior a la potencia necesaria para el auto-
enfoque (Antonsen and Mora 1992). Esto se debe a que para potencias del láser 
suficientemente altas la respuesta de los electrones del plasma tiene correcciones 
relativistas que provocan un aumento en el índice de refracción. Además, ya se ha 
dicho que la fuerza ponderomotriz tiende a expulsar a los electrones de las 
regiones en las que esta fuerza actúa y como el pulso láser lleva asociada una 
fuerza ponderomotriz entonces los electrones serán expulsados de las regiones por 
las que pase el pulso láser aumentando así los efectos relativistas. El valor umbral 
de potencia que debe superar la del láser viene dado por 𝑃𝑐 = 16.2 (𝜔/𝜔𝑝)2 GW. 
 
- La duración del pulso láser debe ser superior al periodo de la onda de plasma, o 
lo que es lo mismo, la longitud del pulso debe ser superior a la longitud de onda 
del plasma 𝐿 > 𝜆𝑝. Esto se debe al hechode que, si la duración del pulso fuese 
similar al periodo de la onda de plasma o inferior, este no sería capaz de responder 
de forma colectiva para modificar el índice de refracción, impidiendo así la mejora 
en el enfoque y la difracción. (Sprangle, Esarey, Krall and Joyce 1992). 
Estas dos condiciones se consiguen fácilmente si el plasma tiene una densidad lo 
suficientemente elevada, ya que si su densidad es elevada entonces su frecuencia 𝜔𝑝 
también lo será, y dado que se cumple la relación 𝑐 = 𝜔𝑝/𝑘𝑝, entonces a mayor 
frecuencia mayor número de onda y por tanto menor longitud de onda 𝜆𝑝, luego será más 
sencillo conseguir que 𝐿 > 𝜆𝑝 y también será sencillo superar el valor 𝑃𝑐 ya que este es 
inversamente proporcional a 𝜔𝑝2. 
39 
 
Por tanto, existen dos ventajas principales del LWFA auto-modulado frente al LWFA 
estándar: simplicidad y mejora en la aceleración de los electrones. La simplicidad se debe 
a que no es necesario establecer la condición 𝐿 ≃ 𝜆𝑝 para conseguir el wakefield. La 
mejora en la aceleración se debe al hecho, ya comentado, de que para conseguir este 
régimen es conveniente trabajar con plasmas de densidades altas, lo que implica que el 
wakefield generado será mayor que en el LWFA estándar porque, como se vio en el 
capítulo 2, se cumple para 𝐸0 (amplitud del wakefield) que 𝐸0 = 𝑐𝑚𝑒𝜔𝑝/𝑒. Además, 
como la potencia del láser es mayor que 𝑃𝑐 entonces el pulso láser tenderá a enfocarse a 
una intensidad superior a la suya propia, aumentando así de nuevo el wakefield. Además, 
las simulaciones han mostrado que el pulso láser permanecerá guiado durante varias 
longitudes de difracción o longitudes de Rayleigh del láser, aumentando así la distancia 
de aceleración. La longitud de Rayleigh se define como 𝑍𝑅 = (𝑘0/2)𝑟02 siendo 𝑘0 el 
número de onda asociado a la longitud de onda del láser (𝑘0 = 2𝜋/𝜆0) y 𝑟0 el radio del 
haz láser. 
Sin embargo, también existen desventajas, por ejemplo: en la sección 3.3, la velocidad de 
grupo del pulso láser y la velocidad de fase del wakefield eran: 
𝑣𝑔𝐸𝑀 = 𝑐 (1 − 𝜔𝑝2𝜔2)1/2 ; 𝑣𝑝 = 𝑐 (1 − 𝜔𝑝2𝜔2)1/2, 
 
(4.7) 
se observa que son la misma expresión (en experimentos reales no serán exactamente 
iguales, pero se puede considerar que prácticamente lo son) y se ve claramente que si la 
densidad aumenta entonces estas velocidades disminuirán, lo que provocará la desintonía 
de los electrones y se limitará la distancia de aceleración y la ganancia máxima de energía. 
En las siguientes figuras aparecen los resultados de simulaciones realizadas para el 
LWFA estándar y auto-modulado para dos valores de densidad de plasma 𝑛0; los 
parámetros del pulso láser son: perfil tipo Gaussiano con una duración de 300 fs, longitud 
de onda 𝜆 = 1 μm, radio del haz 𝑟0 = 31 μm y potencia 𝑃 = 10 TW. 
 
Figura 4.2: Máxima amplitud del wakefield en función de la distancia recorrida 𝑐𝜏. 
En línea discontinua se representa el LWFA estándar con 𝑛0 = 1.4 · 1017 𝑐𝑚−3 y 
en línea continua el auto-modulado con 𝑛0 = 2,8 · 1018 𝑐𝑚−3. Krall, Ting, Esarey 
and Sprangle 1993 
40 
 
 
Figura 4.3: Máxima energía de las partículas en función de la distancia recorrida 𝑐𝜏. En línea discontinua se representa el LWFA estándar con 𝑛0 = 1.4 · 1017 𝑐𝑚−3 
y en línea continua el auto-modulado con 𝑛0 = 2,8 · 1018 𝑐𝑚−3. Krall, Ting, Esarey 
and Sprangle 1993 
Como se observa, tanto el wakefield generado como la energía máxima que adquieren los 
electrones son mucho mayores en el régimen auto-modulado que en el estándar del 
LWFA. Las principales características que se observan son las siguientes: 
- Para la configuración estándar del LWFA (línea discontinua en las figuras 4.2 y 
4.3) el wakefield es simétrico en torno a 1 cm y posteriormente se hace cero, lo 
que significa que los electrones son atrapados y acelerados en una distancia muy 
pequeña. Además, la energía máxima de 48 MeV se alcanza aproximadamente a 
los 2 cm, resultando en un gradiente de aceleración de 2.4 GeV/m. 
 
- Para el LWFA auto-modulado (línea continua en las figuras 4.2 y 4.3) el wakefield 
se mantiene en valores unas 10 veces superiores al máximo de la configuración 
estándar durante 1.5 cm aproximadamente, dando lugar así a una distancia de 
aceleración mayor. Por su parte, la energía máxima se alcanza en torno a los 2 cm 
con un valor de 480 MeV, dando un gradiente de aceleración de 24 GeV/m, un 
valor 10 veces superior al LWFA estándar. 
Además, también se han realizado experimentos para demostrar que una densidad de 
plasma muy elevada no es adecuada para trabajar en este régimen. Por ejemplo, en el 
LOA (Laboratoire d’Optique Appliquée, Palaiseau, Francia) se realizó un experimento 
con un haz láser de duración 35 fs, de frecuencia 10 Hz incidiendo sobre un plasma cuya 
densidad aumenta desde 1.5 · 1019 cm−3 hasta 5 · 1020cm−3. Los datos experimentales 
se compararon con los resultados de simulaciones y en la siguiente gráfica aparece la 
comparación entre ambos conjuntos de datos: 
41 
 
 
Figura 4.4: Energía máxima de los electrones frente a la densidad de electrones 
del plasma. Los cuadrados representan los datos experimentales y la recta el 
cálculo teórico (simulación). Malka 2016 
Se puede observar cómo la energía máxima va disminuyendo según aumenta la densidad 
de electrones en el plasma, corroborando así la limitación en la ganancia de energía 
provocada por la desintonía cuando la densidad es demasiado alta. 
 
4.4 Modelos de inyección de electrones 
Hasta ahora se han expuesto los principales regímenes de funcionamiento del LWFA y 
en el final del capítulo anterior se dieron las ideas para entender cómo una onda de plasma 
es capaz de atrapar y acelerar electrones (secciones 3.3 y 3.4). Pero hay un aspecto clave 
que todavía no ha sido explicado y es: ¿cómo se inyectan los electrones (o cualquier otra 
partícula) en una onda de plasma para ser acelerados? 
Para responder a esta pregunta primero es necesario saber qué es lo que hace el inyector 
(Faure 2016): en general proporciona un haz de las partículas a acelerar con energías del 
orden de MeV y sus propiedades, como por ejemplo la duración del paquete o la 
dispersión de la energía, determinan las características del haz final de partículas 
aceleradas. El inyector es una parte fundamental del proceso de ganancia de energía en 
aceleradores como el Tevatron del Fermilab (Illinois, Estados Unidos) o los sincrotrones 
SPS (Super Proton Synchrotron) y LHC (Large Hadron Collider) del CERN (Ginebra, 
Suiza). Entonces parece lógico pensar que un inyector también debe estar presente en 
aceleradores como el LWFA. Además, el inyector permite controlar ciertos aspectos del 
proceso de aceleración como por ejemplo los parámetros del haz de partículas, facilitando 
la posibilidad de establecer esos parámetros de forma independiente. 
Sin embargo, la inyección de electrones en un wakefield no es fácil: como ya se ha visto 
el wakefield generado mediante pulsos láser oscila con la frecuencia de plasma 𝜔𝑝 por lo 
que su longitud de onda es 𝜆𝑝; para conseguir que los electrones queden atrapados en la 
onda de plasma se vio en la sección 3.4 que la velocidad de estos electrones debe ser 
mayor que la velocidad de fase del wakefield (𝑣𝑧 > 𝑣𝑝) luego la duración del haz de 
electrones inyectados debe ser menor que 𝜆𝑝/𝑐. Para una densidad de plasma en el rango 
42 
 
[1018, 1019] cm−3 la longitud de onda de plasma 𝜆𝑝 está acotada entre 10 y 30 μm, luego 
la duración del haz inyectado debería ser de entre 30 y 100 fs. Además, este haz inyectado 
debería estar sincronizado con el haz láser que genera el wakefield para una aceleración 
más eficiente. Por tanto, existen una serie de condiciones especiales para la inyección de 
las partículas y su posterior aceleración de una forma muy eficiente. En general los 
inyectores son aceleradores de partículaslineales (linac) que se utilizan para aceleradores 
de alta energía y es muy difícil conseguir que proporcionen haces de electrones de alta 
calidad con poca dispersión de energía. 
Sin embargo, una de las líneas de investigación más desarrollada es la de la creación de 
métodos para inyectar electrones del propio plasma en la onda wake de plasma generada, 
es lo que se conoce como auto-inyección. La auto-inyección tiene lugar de forma natural 
en muchos de los experimentos del LWFA, se produce principalmente porque durante el 
proceso llega un momento en el que la amplitud de la onda de plasma alcanza valores tan 
elevados que es capaz de auto inyectar sus propios electrones. Aunque la auto-inyección 
es capaz de conseguir dispersiones de energía bajas, del orden del 10% de la energía total 
ganada (Faure 2016), no es un proceso fácil de conseguir de forma estable ya que, al tener 
amplitudes de onda elevadas, empiezan a aparecer efectos no lineales que dificultan la 
ganancia de energía. Pero como la auto-inyección no requiere de inyectores externos, se 
han propuesto varios métodos para conseguirla, que no requieren alcanzar amplitudes de 
wakefield elevadas, y en las siguientes subsecciones se discutirán algunos de ellos. 
 
4.4.1 Inyección por ionización 
Este es el método más fácil: consiste en un utilizar un gas de número atómico Z alto para 
que la primera ionización no requiera de mucha intensidad por parte del láser. Los 
electrones ionizados estarán en reposo (esto es una aproximación, realmente no lo están, 
pero como posteriormente ganarán mucha energía al acelerarse se puede considerar que 
al ionizarse están en reposo) en una región con una intensidad láser relativamente baja 
(en general 1016 W/cm2) y ayudarán a la creación de la onda wake. La ionización 
también puede tener lugar en capas atómicas más profundas, lo que requiere de 
intensidades más elevadas (normalmente 1018 W/cm2). Estos últimos electrones ya se 
encuentran en presencia de una onda de plasma, por lo que la dificultad reside en 
conseguir que queden atrapados por la onda wake, es decir, en inyectarlos y acelerarlos. 
La intensidad láser mínima necesaria para ionizar electrones viene dada por la expresión 
(Faure 2016): 𝐼𝑚𝑖𝑛 = 4𝐸𝑖4𝑍∗2 · 1019, (4.8) 
donde la intensidad vendrá dada en W/cm2, 𝐸𝑖 es la energía de ionización (en eV) de un 
nivel cualquiera y 𝑍∗ es el número atómico que resultaría de la ionización. Entonces, las 
dos condiciones necesarias para atrapar los electrones son que la intensidad de láser sea 
lo suficientemente elevada como para ionizar el gas usado y que los electrones resultantes 
de la ionización surjan dentro de la separatriz. 
43 
 
Otra de las claves de este proceso es el llamado volumen de inyección, es decir, la 
cantidad de electrones ionizados inyectados en la onda wake, por lo que depende de la 
intensidad del láser y de la amplitud de la onda. Se trata de un parámetro que se puede 
controlar con la intensidad del láser. Sin embargo, no es fácil controlarlo porque la 
inyección por ionización ocurre durante toda la propagación por lo que el volumen de 
inyección tiende a aumentar. A pesar de este inconveniente, teniendo en cuenta lo 
expuesto anteriormente, la inyección por ionización se considera el método más sencillo 
para evitar el uso de inyectores externos. 
 
4.4.2 Inyección por colisión de pulsos 
Este modelo de inyección se basa en la utilización de un pulso láser auxiliar para 
conseguir haces con dispersión baja de energía. El pulso láser auxiliar se propaga en 
sentido opuesto al utilizado para generar el wakefield. Ambos pulsos son ultracortos y 
tienen la misma frecuencia central y polarización. La idea básica (Umstadter, Kim and 
Dodd 1996) es que una vez que se ha generado el wakefield gracias a la fuerza 
ponderomotriz asociada al láser principal o de bombeo, entonces el láser auxiliar o de 
inyección, cuya fuerza ponderomotriz será transversal a la del láser de bombeo, se puede 
utilizar para alterar localmente las trayectorias de los electrones del plasma consiguiendo 
que estos entren en fase con el wakefield y que consigan la velocidad suficiente para ser 
atrapados y posteriormente acelerados. La ganancia de velocidad necesaria para ser 
atrapados se produce porque, cuando los pulsos láser colisionan, su interferencia genera 
una onda que es capaz de aumentar la velocidad de los electrones que no están en fase 
con el wakefield. Un esquema del proceso aparece en la siguiente figura: 
 
Figura 4.5: Esquema de la inyección por colisión de dos pulsos láser. Al colisionar 
el pulso de bombeo e inyección se genera una onda de interferencia que aumenta 
la velocidad de los electrones fuera de la separatriz permitiendo que sean 
atrapados y acelerados. Faure 2016 
Posteriormente, Esarey et al. (1997) propusieron utilizar tres pulsos láser en vez de dos: 
un pulso de bombeo y dos pulsos de inyección: uno propagándose en el mismo sentido 
que el de bombeo y otro en sentido opuesto. Los dos pulsos de inyección tienen una 
polarización perpendicular a la del pulso de bombeo para que así no interfieran con este 
44 
 
último. Su esquema es igual que el presentado para dos pulsos láser: el pulso de bombeo 
genera un wakefield y los pulsos de inyección colisionan en un punto generando una onda 
de interferencia. La diferencia con el uso de dos pulsos es que ahora la interferencia 
generada se mueve de forma más lenta que el wakefield, por lo que los electrones 
quedarán atrapados más fácilmente dentro de las separatrices de esta nueva onda y serán 
acelerados poco a poco hasta conseguir la energía suficiente para poder ser atrapados por 
el wakefield y así completar el proceso. 
Las principales ventajas de este método de inyección son: 
- Al utilizar pulsos láser ultracortos, la colisión de estos solo ocurre durante 
periodos de tiempo muy cortos (del orden de femtosegundos) por lo que la 
dispersión de energía se reduce. 
 
- La zona de colisión de los pulsos se puede controlar, luego la zona de creación de 
la onda de interferencia y la inyección en el wakefield también quedan 
controladas. 
 
- El volumen de inyección se puede controlar mediante las intensidades de los 
pulsos láser, como sucedía en la inyección por ionización. 
 
4.4.3 Inyección en gradientes de densidad 
Este método está basado en la modificación del propio plasma, en concreto en su perfil 
de densidad ya que así se puede controlar, en cierta forma, la velocidad de fase de la onda 
de plasma. El objetivo de este modelo es conseguir reducir la velocidad de fase del 
wakefield para que los electrones puedan ser atrapados con mayor facilidad. 
Para obtener la dependencia de la velocidad de fase con la modificación de la densidad 
del plasma se parte de la fase, bien conocida, del wakefield propagándose en la dirección 
del eje Z, la cual vendrá dada por la expresión 𝜑 = 𝑘𝑝𝑧 − 𝜔𝑝𝑡 = 𝑘𝑝(𝑧 − 𝑣𝑔𝑡). Al 
modificar la densidad del plasma existirá una dependencia de 𝑘𝑝 con la posición 𝑧, luego 
la frecuencia y el número de onda del wakefield serán: 𝜔 = − 𝜕𝜑𝜕𝑡 = 𝑘𝑝(𝑧)𝑣𝑔, 
𝑘 = 𝜕𝜑𝜕𝑧 = 𝑘𝑝(𝑧) + 𝜕𝑘𝑝𝜕𝑧 (𝑧 − 𝑣𝑔𝑡). (4.9) 
Luego la velocidad de fase será: 𝑣𝑝(𝑧, 𝑡) = 𝜔𝑘 = 𝑣𝑔1 + (𝑧 − 𝑣𝑔𝑡) 1𝑘𝑝 𝑑𝑘𝑝𝑑𝑧 . (4.10) 
Dado que 𝜔𝑝 = 𝑣𝑔𝑘𝑝 ∝ √𝑛0 entonces si existe un gradiente negativo de densidad con la 
posición, 𝜕𝑛0/𝜕𝑧 < 0, entonces 𝑘𝑝 también disminuirá, 𝜕𝑘𝑝/𝜕𝑧 < 0, luego si la posición 
dada por (𝑧 − 𝑣𝑔𝑡) está detrás del pulso láser, es decir, si también es negativa, entonces 
45 
 
el nuevo número de onda 𝑘 aumentará con el tiempo por lo que la velocidad de fase 𝑣𝑝 
disminuirá. La clave está en darse cuenta de que (𝑧 − 𝑣𝑔𝑡) < 0, ya que la inyección tiene 
que ocurrir sí o sí detrás del pulso láser. De esta forma el wakefield disminuye su 
velocidad de fase permitiendo que los electrones quedenatrapados en la onda de plasma 
más fácilmente. 
 
4.5 Actualidad del LWFA 
En las secciones anteriores se han explicado los aspectos fundamentales del acelerador 
LWFA, los cuales fueron desarrollados hace más de dos décadas. Gracias a los esfuerzos 
de numerosos científicos se han conseguido múltiples avances en esta técnica de 
aceleración, por ello en esta sección se dará una visión global de algunos de los últimos 
estudios, propuestas teóricas y resultados experimentales del LWFA ya que el objetivo 
de este Trabajo de Fin de Grado no es explicar únicamente los aspectos teóricos 
desarrollados en los años 90 y principios de los 2000 sino también realizar una puesta al 
día sobre la situación actual del LWFA. 
El desarrollo del LWFA siempre ha tenido como objetivo principal conseguir haces de 
electrones cada vez más energéticos. Ya en el año 2004 (Faure, Glinec, Pukhov and 
Kiselev 2004; Mangles et al. 2004; Geddes et al. 2004) se reportaron los primeros haces 
de electrones acelerados con una energía del orden de GeV; este hecho fue muy 
importante ya que mostraba que estos aceleradores eran capaces de conseguir partículas 
muy energéticas, impulsando así la continuación del desarrollo de estos esquemas. 
Además, aprovechando el avance en la tecnología de los láseres de los últimos años se ha 
conseguido acelerar haces de electrones con energías de varios GeV, con muy poca 
dispersión de energía y con cargas del orden de 100 pC, es decir, haces con más de 6·108 
electrones. Estos haces tienen aplicaciones en ciencia de materiales, química y medicina. 
Sin embargo, los haces necesarios para estas aplicaciones deben tener unas características 
concretas, sobre todo relacionadas con la calidad del haz acelerado y, como vimos en la 
sección anterior, la calidad de un haz viene fuertemente determinada por la inyección. 
Gracias a la evolución en la tecnología de los láseres, en concreto del láser de CO2, 
recientemente se han conseguido generar potencias láser del orden de teravatios en la 
región del infrarrojo lejano. El ser capaces de acceder a longitudes de onda más largas 
permite obtener haces de electrones acelerados de mejor calidad que los que se obtienen 
con las longitudes de onda infrarrojas típicas (0.8-1 μm) ya que se puede controlar mejor 
el proceso de inyección. Los experimentos realizados en el Laboratorio Nacional de 
Brookhaven (Nueva York, Estados Unidos) con un láser de CO2 de longitud de onda 9.2 
μm y una potencia pico de 2-5 TW y las posteriores simulaciones realizadas por 
ordenador en el régimen de auto-modulación del LWFA han dado lugar a resultados 
prometedores (Kumar et al. 2021): la auto-inyección puede producirse para plasmas con 
densidades superiores a 1 · 1017 cm−3 lo que implica que la carga inyectada y la energía 
aumentan cuanto mayor sea la densidad de plasma, durante el proceso de aceleración se 
va formando una región por detrás del wakefield en la que los electrones quedan atrapados 
antes de ser acelerados por el propio wakefield, esto permite que dichos electrones 
consigan ganar momento directamente de la interacción con el pulso láser, es decir, está 
teniendo lugar una aceleración directa, lo que permite obtener haces de electrones con 
46 
 
energías de múltiples MeV y con una mejor calidad que si se hubiera usado un láser con 
una longitud de onda de 1 μm por ejemplo. 
Siguiendo la línea de la inyección, en la sección anterior se dijo que la inyección externa 
no era la mejor opción ya que es difícil conseguir que los linac proporcionen haces de 
electrones de alta calidad con poca dispersión de energía. Sin embargo, la inyección 
externa no se tiene por qué descartar del todo si se consiguen crear haces de electrones de 
buena calidad, y para ello se propuso utilizar el linac SINBAD-ARES (Short INnovative 
Bunches and Accelerators at DESY – Accelerator Research Experiment at SINBAD) 
construido en el DESY (Deutsches Elektronen-Synchrotron) en Hamburgo (Alemania) 
ya que este acelerador lineal permitiría (Marchetti, Assmann, Dorda and Zhu 2018): 
utilizar diferentes métodos de compresión, limitados en otros linac, de los electrones a 
acelerar, ajustar un mayor número de parámetros importantes para conseguir haces de 
mejor calidad y más estables que en otros linac y ser capaces de comprobar la calidad de 
una región del haz durante la aceleración para corregir los parámetros en el caso de que 
no se hubiera conseguido el haz deseado. Gracias a este linac se pueden crear haces ultra 
cortos de electrones de buena calidad, facilitando posteriormente la aceleración en el 
LWFA. 
Retomando el láser de CO2, recientemente (Brunetti, Campbell, Lovell and Jaroszynski 
2022) se han llevado a cabo simulaciones del proceso de aceleración a partir de un láser 
de 10.6 μm y una potencia pico entre 10 y 100 TW mostrando que se pueden conseguir 
haces de electrones acelerados con energías comprendidas entre centenas de MeV y 
decenas de GeV y con una transferencia de energía entre el láser y el haz acelerado de 
aproximadamente el 50%. El valor de la energía del haz de electrones depende de varios 
parámetros fundamentales del haz láser como su potencia, la duración de los pulsos y la 
energía concentrada en la cintura (la mayoría de los láseres se utilizan en el modo 
fundamental o Gaussiano) así como de la densidad y longitud del plasma. Los resultados 
obtenidos muestran que cuanta más potencia tenga el haz láser, más grande sea su cintura 
y mayor sea la longitud del plasma se consiguen valores cada vez más elevados de energía 
y carga de los haces de electrones, pero también se produce mayor dispersión de dicha 
energía. En la siguiente tabla se muestra un resumen de los principales resultados: 
 
Potencia del 
láser (TW) 
Cintura del 
haz láser 
(μm) 
Longitud 
del plasma 
(mm) 
Energía del haz 
acelerado 
(GeV) 
Dispersión 
de la energía 
en r.m.s (%) 
Carga del haz 
acelerado (nC) 
20 50 16 0.23 4 4 
200 100 20 0.56 7 50 
800 200 86 1.6 12 140 
 
Tabla 4.1: Resultados de simulaciones para un LWFA guiado por un láser de CO2 
con diferentes parámetros del láser y del plasma. Resultados obtenidos de 
Brunetti, Campbell, Lovell and Jaroszynski 2022. 
Lo más significativo e importante de estas simulaciones es que con láseres de CO2 se 
pueden conseguir haces de electrones con mucha más carga y energía que los que 
conseguirían con los láseres de Ti:zafiro que se utilizan en la mayoría de las 
investigaciones del LWFA, ya que los de CO2 emiten en el infrarrojo lejano y los de 
47 
 
Ti:zafiro en el cercano. Estos haces de electrones, con sus valores elevados de carga y 
energía, pueden resultar muy útiles en múltiples aplicaciones como producción de 
radioisótopos (importante para la producción de energía en reactores nucleares), 
radioterapia (para tratamientos de cáncer) o para dispositivos que permiten obtener 
imágenes muy detalladas de ciertas partes del cuerpo humano para su análisis médico o 
detalles de documentos antiguos, obras de arte, etc. 
Por otro lado, se ha propuesto utilizar los haces de electrones obtenidos en el LWFA para 
desarrollar láseres de electrones libres (Free Electron Lasers, FEL). Estos láseres son 
interesantes porque el medio activo es el haz de electrones acelerados, los cuales no están 
ligados a átomos o moléculas como en otros láseres convencionales, sino que están libres, 
lo que permite una fácil sintonización y por tanto un rango de frecuencias de 
funcionamiento muy amplio (de hecho, el más amplio de todos los tipos de láser). El 
principal inconveniente de utilizar un LWFA en este tipo de láseres es que la calidad del 
haz de electrones acelerados todavía sigue siendo menor que los proporcionados por 
aceleradores clásicos. En esta línea, se ha desarrollado el proyecto LUIS en Praga 
(República Checa) con el objetivo de crear una fuente de rayos X de 6 nm a partir de un 
FEL cuyo medio activo seanlos haces de electrones obtenidos de un LWFA (Kruchinin, 
Kocon, Molodozhentsev and Lyapin 2019). Uno de los últimos estudios realizados 
(Molodozhentsev and Kruchinin 2022) ha mostrado que se puede utilizar un LWFA que 
produzca haces de electrones con una energía de 350 MeV para crear un FEL que sea 
capaz de emitir en el rango 20.4-31.6 nm, lo que daría lugar a un dispositivo generador 
de rayos X suaves que puede emitir paquetes de fotones con una duración de 
femtosegundos o incluso menor, cuya aplicación principal seria la microscopia de rayos 
X. 
En resumen, gracias a los últimos avances en la tecnología de los láseres, sobre todo del 
láser de CO2, se han conseguido obtener haces de electrones más energéticos y con más 
carga que los que se obtienen con los láseres habituales de Ti:zafiro utilizados para los 
experimentos y simulaciones del LWFA. Dichos haces pueden utilizarse en multitud de 
ámbitos (industria, medicina, química, física nuclear…). Además, se han propuesto 
utilizar inyectores externos, como el linac SINBAD-ARES, para conseguir haces de 
electrones acelerados de mayor calidad que los que se consiguen con la auto-inyección. 
Asimismo, el LWFA ha sido propuesto como la base de los láseres de electrones libres 
(FEL) con el objetivo de crear emisores de rayos X estables y coherentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
Capítulo 5. Aceleración por haces de partículas 
(Plasma Wakefield Accelerator, PWFA) 
 
La aceleración de electrones mediante la utilización de paquetes o haces de partículas fue 
introducida en la sección 3.5 de este trabajo. Recordemos que el mecanismo de 
generación del wakefield no consiste en la utilización de un haz láser sino en la inyección 
de una secuencia de paquetes de electrones u otras partículas de alta energía; estos 
paquetes al colisionar con los electrones del plasma les ceden a estos su energía, de 
manera que los electrones del plasma empezarán a oscilar generando así el wakefield que 
posteriormente servirá para la aceleración. 
En los últimos años la tecnología de los láseres ha avanzado tanto que este tipo de técnicas 
de aceleración cada vez son menos utilizadas ya que el PWFA requiere aceleradores 
lineales (linac) de varios kilómetros de longitud para conseguir que los haces de partículas 
tengan la energía óptima para ser utilizados en la generación del wakefield en el plasma, 
mientras que el LWFA necesita un sistema láser de alta potencia, algo relativamente más 
sencillo de conseguir. Sin embargo, ello no les resta interés ya que se pueden conseguir 
gradientes de aceleración similares a los del LWFA y tienen una serie de características 
que pueden facilitar la aceleración de las partículas, como por ejemplo la no aparición de 
la desintonía. 
La idea original de utilizar haces para excitar un campo eléctrico que fuese capaz de 
acelerar partículas fue propuesta por Veksler en 1956 (Veksler 1956). Su idea consistía 
en utilizar pequeños paquetes de partículas que interaccionasen con otras partículas 
cargadas, un plasma o una onda electromagnética. Las ventajas de este método de 
aceleración es que el campo generado tiene una magnitud proporcional al número de 
partículas utilizadas en los paquetes, tanto el paquete de partículas como el campo 
acelerador quedan sincronizados a lo largo de todo el proceso y es posible acelerar 
partículas neutras. 
 
5.1 Régimen lineal 
Una de las condiciones necesarias para que el haz de electrones sea capaz de excitar una 
onda de plasma es que el haz tenga una duración 𝜏𝑓 menor que el periodo de la frecuencia 
de plasma (Esarey, Sprangle, Krall and Ting 1996), es decir, 𝜏𝑓𝜔𝑝 < 1. 
Como se dijo en la introducción de este capítulo, la magnitud del campo acelerador es 
proporcional al número de partículas del haz, entonces la amplitud de la onda de plasma 
se puede calcular utilizando la Ley de Gauss: 𝛁 · 𝐄 = −4𝜋𝑒𝑛𝑏 → 𝜕E𝜕𝑧 = −4𝜋𝑒𝑛𝑏 , (5.1) 
donde 𝑛𝑏 es la densidad del haz, el signo menos se debe a que las partículas son electrones 
y se ha asumido propagación en la dirección del eje Z. Suponiendo también que el haz es 
relativista, es decir, 𝑣𝑧 ≃ 𝑐 y que el wakefield generado se puede expresar en notación 
compleja como E(𝑧) = 𝐸0 exp[𝑖𝑘𝑝(𝑧 − 𝑐𝑡)] se obtiene a partir de (5.1): 
50 
 
𝑖𝑘𝑝𝐸0 exp[𝑖𝑘𝑝(𝑧 − 𝑐𝑡)] = −4𝜋𝑒𝑛𝑏 → 𝑘𝑝𝐸0 = 4𝜋𝑒𝑛𝑏 , (5.2) 
donde se ha tomado el módulo de la primera expresión para derivar la segunda. La 
principal limitación que uno observa en la amplitud del wakefield es la densidad de 
partículas del haz 𝑛𝑏, la cual no puede ser tan elevada como uno quiera debido a la 
repulsión eléctrica entre los electrones. Además, la ganancia de energía también está 
limitada por el llamado cociente de transformación 𝑅𝑡 que se define como el cociente 
entre la energía ganada por los electrones en el wakefield (Δ𝛾) y la energía inicial del haz 
de partículas (𝛾𝑏): 𝑅𝑡 = Δ𝛾/𝛾𝑏. Al propagarse en el plasma, el haz de electrones 
generador del wakefield perderá energía al decelerarse debido a un campo eléctrico 𝐸− 
generado dentro del propio haz como consecuencia de la cesión de energía a los electrones 
del plasma. La distancia que recorre el haz hasta que pierde toda su energía se denomina 
longitud de agotamiento y se define de forma aproximada como 𝐿𝑑𝑝 ≃ 𝛾𝑏𝑚𝑒𝑐2/𝑒𝐸−. Por 
su parte, un electrón en el wakefield acelerador gana una cierta cantidad de energía 
cuando recorre esa longitud, dicha energía ganada viene dada por Δ𝛾𝑚𝑒𝑐2 ≃ 𝑒𝐸+𝐿𝑑𝑝, 
donde 𝐸+ es el wakefield acelerador. Por tanto, el cociente de transformación 𝑅𝑡 queda 
definido como: 𝑅𝑡 = 𝐸+/𝐸−. Para haces de partículas con una distribución de densidad 
simétrica se puede demostrar que 𝑅𝑡 ≤ 2 (Bane, Wilson and Weiland 1985); la condición 𝑅𝑡 = 2 se da cuando el campo decelerador 𝐸− alcanza su amplitud máxima en el instante 
inicial de la propagación (𝑡 = 0); si alcanza la amplitud máxima en un tiempo 𝑡 > 0 
entonces se cumplirá que 𝑅𝑡 < 2. 
Existen diferentes métodos para aumentar el valor de 𝑅𝑡, por ejemplo, se puede modificar 
el perfil de densidad del haz de partículas de manera que este sea asimétrico 
longitudinalmente (Roussel et al. 2020). En concreto, se puede utilizar la técnica llamada 
Intercambio de Emitancia (en inglés Emittance Exchange, EEX) la cual consiste en el 
intercambio de las distribuciones del haz entre la componente transversal y longitudinal, 
lo que permite modificar su forma de manera que se reduzca el campo decelerador que 
actúa sobre él y así aumentar 𝑅𝑡. 
Otro método estudiado para incrementar el cociente de transformación consiste en 
modificar de nuevo el perfil de densidad del haz para que adquiera una forma triangular, 
en concreto, la forma de un triángulo rectángulo. El perfil del haz se dispone de forma 
que uno de los catetos coincida con el eje Z de propagación, la hipotenusa crece a lo largo 
de una distancia 𝐿ℎ = 𝑁ℎ𝜆𝑝, con 𝑁ℎ > 1, y el otro cateto cierra el triángulo en una 
longitud 𝐿𝑓 ≪ 𝜆𝑝. En realidad, sería un triángulo escaleno, pero como 𝐿𝑓 ≪ 𝐿ℎ se puede 
considerar rectángulo. De esta forma se puede estimar el cociente de transformación 
como 𝑅𝑡 ≃ 𝜋𝑁ℎ (Esarey, Sprangle, Krall and Ting 1996). Uno podría pensar que este 
método permitiría obtener valores de 𝑅𝑡 muy altos, pero esto no es posible ya que después 
de unos centímetros de propagación el haz deja de tener un perfil triangular y por tanto la 
ganancia de energía queda limitada. 
 
5.2 Régimen no lineal. Régimen de ‘‘estallido’’ (blowout) 
Este régimen esta caracterizado por la condición 𝑛𝑏~𝑛0 lo que permite mejorar la 
amplitud del wakefield y el cociente de transformación. En este caso el haz de electrones 
51 
 
debe tener un perfil de tipo rectangular. Uno de los casos más favorableses 𝑛𝑏 = 𝑛0/2 
en el cual el periodo de oscilación del wakefield es similar al de la frecuencia de plasma 
(Rosenzweig 1987). Si la longitud del lado más largo del perfil rectangular es 𝐿𝑠 = 𝑁𝑠𝜆𝑝, 
con 𝑁𝑠 > 1, el cociente de transformación sería 𝑅𝑡 = √2𝜋𝑁𝑠. 
Dentro del régimen no lineal se encuentra el llamado régimen de ‘‘estallido’’ (o más 
comúnmente en su forma inglesa, blowout). Este régimen esta caracterizado por la 
condición 𝑛𝑏/𝑛0 > 1 (Esarey, Sprangle, Krall and Ting 1996) por lo que los electrones 
del plasma se verán expulsados de forma brusca de la región por la cual se propaga el haz 
de electrones, como si se hubiese producido un estallido. El wakefield que se generará 
tendrá dos componentes fundamentales: un campo acelerador constante y un campo 
electrostático de enfoque. Esta contribución electrostática de enfoque implica que los 
electrones, antes de ser acelerados por el wakefield, tenderán a acumularse a lo largo de 
la dirección de propagación del haz generador, por lo que formarán pequeños paquetes 
que posteriormente serán atrapados y acelerados dentro de la separatriz del wakefield. Sin 
embargo, este régimen es muy delicado ya que la condición 𝑛𝑏/𝑛0 > 1 puede provocar 
que la oscilación del wakefield se rompa debido a esa fuerza tan brusca con la que los 
electrones son expulsados. 
 
5.3 Inestabilidades 
 
Existen numerosos fenómenos físicos que pueden limitar la ganancia de energía durante 
el proceso de aceleración, principalmente las inestabilidades generadas en el propio haz 
generador del wakefield. Las inestabilidades se dividen en dos tipos principales: 
longitudinales y transversales, esto se debe a que el haz generador está formado por 
partículas cargadas, por tanto, habrá fenómenos electromagnéticos en él. Entre las 
inestabilidades transversales, las que más afectan al haz generador son el auto-enfoque, 
la inestabilidad Weibel (también llamada filamentación) y la inestabilidad de manguera 
(o más comúnmente en inglés: electron hose instability). Existen también inestabilidades 
de tipo longitudinal pero su crecimiento es mucho menor que en el caso transversal 
(Esarey, Sprangle, Krall and Ting 1996), por ello son de menor interés. Además, el tipo 
de inestabilidad transversal que más afecta al haz generador depende del propio radio del 
haz: si el haz tiene un radio a del orden de 𝑐/𝜔𝑝 entonces dominará el auto-enfoque, 
mientras que si se cumple que 𝑎 ≫ 𝑐/𝜔𝑝 entonces dominará la filamentación. (Su et al. 
1987). 
El efecto principal de las inestabilidades transversales es la distorsión en la forma del haz 
generador. Ello reduce el cociente de transformación y la transferencia de energía al 
wakefield acelerador. Además, la distorsión puede provocar que el wakefield no sea 
uniforme, disminuyendo la calidad del haz de electrones acelerado. 
En las siguientes subsecciones se van a discutir los aspectos fundamentales de las tres 
inestabilidades anteriormente mencionadas y sus consecuencias en el proceso de 
aceleración de partículas. 
 
 
52 
 
5.3.1 Auto-enfoque 
 
El auto-enfoque se origina debido a la repulsión entre los electrones del haz generador 
del wakefield y los electrones del plasma, los cuales son expulsados de la región de 
propagación del haz generándose una zona de carga espacial en el plasma que es 
posteriormente neutralizada por los iones del propio plasma, creándose así un canal de 
iones. Esta neutralización provoca la aparición de una corriente y de un campo magnético 
asociado a ella (𝐵𝑆𝐹), este campo actúa en la zona interior del haz, ‘‘pinchándolo’’ debido 
a la fuerza magnética 𝑣𝑧 × 𝐵𝑆𝐹, siendo 𝑣𝑧 la velocidad de propagación del haz generador, 
provocando así el auto-enfoque y la deformación del haz de electrones (Su et al. 1987). 
 
Figura 5.1: Canal de iones de radio b creado, por repulsión, por un haz de 
electrones de radio a propagándose a través de un plasma de electrones. 
 
En el caso del auto-enfoque, no solamente el radio del haz generador determina la fuerza 
de esta inestabilidad sino también su densidad. Si dos haces están formados por el mismo 
número de electrones, entonces si el haz tiene un radio 𝑎 > 𝑐/𝜔𝑝 = 𝑘𝑝 el auto-enfoque 
no será muy acusado ya que el plasma es capaz de generar por sí mismo una corriente que 
cancela a la primera, mientras que si el radio cumple que 𝑎 ≃ 𝑐/𝜔𝑝 entonces la corriente 
de cancelación se encontrará en la parte exterior del haz, por lo que el campo magnético 
no desaparecerá y seguirá ‘‘pinchando’’ al haz. 
Existen diferentes métodos para reducir el efecto del auto-enfoque, el principal consiste 
en conseguir la condición 𝑎𝑘𝑝 ≫ 1, ya que esto implicaría que 𝑎 ≫ 𝑘𝑝−1, es decir, se 
tendría la condición inversa a la aparición del auto-enfoque. Otro método consiste en 
utilizar un haz generador con un perfil de densidad constante: 𝑛𝑏(𝑟) = {𝑛𝑏0, 𝑟 ≤ 𝑎0, 𝑟 > 𝑎. (5.3) 
Este perfil de densidad, al igual que otros, da lugar a dos campos dentro del propio haz, 
uno longitudinal y otro transversal, pero en este caso el transversal es prácticamente nulo 
por lo que no habría efectos asociados a dicha dirección (Su et al. 1987). 
53 
 
5.3.2 Inestabilidad Weibel (filamentación) 
 
La inestabilidad Weibel aparece cuando el radio del haz generador cumple la condición 𝑎 ≫ 𝑐/𝜔𝑝. Su origen es el mismo que el del auto-enfoque, pero en este caso el campo 
magnético asociado a la corriente es mucho mayor que el eléctrico, provocando un 
crecimiento de la inestabilidad lo que se traduce en la filamentación. Este fenómeno 
puede provocar la rotura del haz de electrones, arruinando así el proceso de aceleración. 
Afortunadamente, esta inestabilidad puede ser controlada mediante dos mecanismos 
principales, los cuales consisten en introducir energía transversal al haz y aplicar un 
campo magnético longitudinal. 
El primer mecanismo se lleva a cabo debido a la condición de decaimiento de Landau, la 
cual establece que existe una reducción exponencial en las oscilaciones de electrones en 
el plasma lo que lleva a la estabilidad de estas (Griffin, Koskela, Nazar and Ranner 2012). 
Esta reducción se puede llevar a cabo aportando energía al plasma. La energía mínima 
necesaria para controlar la inestabilidad es (Su et al. 1987): 
 𝑇 = 12 𝑛𝑏𝑛0 𝑚𝑒𝑐2, (5.4) 
 
siendo 𝑛𝑏 y 𝑛0 las densidades de electrones del haz generador y del plasma. 
La aplicación de un campo magnético longitudinal se explica porque la relación de 
dispersión de un haz de electrones en un plasma al que se le ha aplicado un campo 
magnético es (Su et al. 1987): 𝜔2 = − 𝜔𝑝2𝛽𝑏2(1 + 𝜔𝑝2𝜔𝑏2) 𝛾𝑏 + Ω2𝛾𝑏2 , 
(5.5) 
 
donde 𝜔𝑝 y 𝜔𝑏 son la frecuencia de plasma y de los electrones del haz, 𝛽𝑏 y 𝛾𝑏 son los 
factores relativistas asociados al haz de electrones y Ω = 𝑒𝐵/𝑚𝑒𝑐 es la frecuencia 
ciclotrón asociada al haz generador. Para conseguir controlar la filamentación es 
necesario que Ω > 𝜔𝑝. Pero este método puede resultar difícil de aplicar ya que se 
necesitan campos magnéticos elevados; esto se puede ver calculando el valor de 𝐵 a partir 
de Ω > 𝜔𝑝: 
Ω > 𝜔𝑝 → 𝑒𝐵𝑚𝑒𝑐 > √4𝜋𝑒2 𝑛0𝑚𝑒 → 𝐵 > 𝑐√4𝜋𝑚𝑒𝑛0, (5.6) 
para un valor de densidad de plasma de 1017cm−3 se obtendría 𝐵 > 0.32 MG = 32 T. A 
pesar de su dificultad, este método no se tiene por qué descartar, ya que no es necesario 
alcanzar campos tan elevados ni suprimir totalmente la inestabilidad, lo más adecuado es 
evitar que dicha inestabilidad crezca, por ello se puede mezclar la introducción de energía 
y la creación de un campo magnético para evitar la rotura del haz generador, es decir, la 
54 
 
inestabilidad puede estar presente, pero será tan débil que apenas afectará al proceso de 
aceleración. 
5.3.3 Inestabilidad de manguera (electron hose instability) 
 
Como se ha mencionado anteriormente,el haz de electrones, al pasar por el plasma, 
provoca que los electrones del propio plasma salgan repelidos de la zona por la que se 
propaga el haz generándose así una zona de carga de espacial en la cual solo hay presencia 
de iones, el llamado canal de iones. Entonces existe una región de frontera que separa el 
canal de iones del resto del plasma y es justo en esta frontera donde se produce un 
acoplamiento entre los electrones del plasma y los del haz debido a pequeños 
desplazamientos transversales del propio haz (Whittum, Sharp, Yu, Lampe and Joyce 
1991). Este acoplamiento generará un campo electrostático y como consecuencia existirá 
una fuerza eléctrica que desplazará los electrones del haz provocando que el propio haz 
adquiera un movimiento serpenteante errático, parecido al movimiento que realizaría una 
manguera de agua que nadie está sujetando. 
El crecimiento de esta inestabilidad tiene lugar en una longitud tan corta que el proceso 
de aceleración puede quedar totalmente arruinado. En general se suele trabajar con 
plasmas y haces que cumplan 𝑛0 ≫ 𝑛𝑏/𝛾2, donde 𝛾 es el factor relativista asociado al 
haz. En este caso, cuando se produzca el acoplamiento mencionado, los electrones del 
haz realizarán oscilaciones transversales a la frecuencia 𝜔𝛽 = 𝜔𝑝/√2𝛾 (Whittum, Sharp, 
Yu, Lampe and Joyce 1991). 
En el momento en el que la inestabilidad aparece y el haz empieza a oscilar, la frontera 
entre en el canal de iones y el plasma también se desplazará y lo hará en sentido contrario 
al haz debido a la repulsión entre los electrones del haz y los del plasma (Figura 5.2). La 
frontera oscilará a una frecuencia 𝜔0. Este movimiento estará caracterizado por su 
relación de dispersión, la cual se puede obtener de forma sencilla suponiendo que el haz 
es rígido, es decir, que no cambia su forma (esto no es cierto según lo visto en las 
subsecciones anteriores, pero se utiliza esta aproximación para facilitar los cálculos). 
Dicha relación es (Whittum, Sharp, Yu, Lampe and Joyce 1991): 
 (1 − 𝑘2𝑘𝛽2) (1 − 𝜔2𝜔02) = 1, (5.7) 
donde 𝑘𝛽 = 𝜔𝛽/𝑐, 𝑘 y 𝜔 son el número de ondas y la frecuencia de la perturbación. Hay 
que tener cuidado a la hora de interpretar esta expresión ya que uno podría pensar que la 
frecuencia de la perturbación debería ser 𝜔𝛽 pero esto no es cierto: 𝜔𝛽 está relacionado 
con las oscilaciones de los electrones en el haz, pero eso no implica que la perturbación 
deba tener la misma frecuencia. Electrones en el haz, frontera y perturbación son tres 
elementos diferentes por ello cada uno tiene su propia frecuencia. 
55 
 
 
Figura 5.2: Cuando aparece la inestabilidad de manguera (hose instability), un 
desplazamiento 𝜂 del haz de electrones provoca un desplazamiento 𝜉 en sentido 
opuesto de la frontera entre el canal de iones y el plasma. 
 
El principal efecto de esta inestabilidad es que, al no seguir el haz una trayectoria 
uniforme, el wakefield generado tampoco lo será y por tanto la longitud de aceleración se 
verá muy reducida lo que implica que las partículas aceleradas no tendrán la energía 
deseada. Además, si la perturbación alcanza una frecuencia muy alta, los desplazamientos 
del haz podrían ser lo suficientemente grandes como para cruzar la frontera entre el canal 
de iones y el plasma (Lampe, Joyce, Slinker and Whittum 1993). Esto implicaría una 
reinicialización de la formación del canal de iones, pero no sería eficiente ya que el haz 
habría quedado muy debilitado. 
El mecanismo principal para suprimir o reducir está inestabilidad es conseguir que la 
relación de dispersión dada en (5.7) sea cero, y para ello se busca conseguir la condición 𝜔2 → 𝜔02. Intentar conseguir que 𝑘2 → 𝑘𝛽2 implicaría una gran dispersión de 𝑘𝛽 y esto 
sería ineficiente (Whittum, Sharp, Yu, Lampe and Joyce 1991). Para obtener el limite 𝜔2 → 𝜔02, y así evitar la inestabilidad, lo más adecuado es que la carga por unidad de 
longitud del plasma sea menor que la carga por unidad de longitud del haz, lo que provoca 
que el canal de iones tenga un radio mayor que para el caso de esta subsección, 
dificultando así el acoplamiento y por tanto evitando la aparición de la inestabilidad. En 
el caso del auto-enfoque se vio que se producía una corriente de cancelación que era capaz 
de mitigar el efecto del enfoque si 𝑎 > 𝑐/𝜔𝑝, esta corriente también aparece en la 
inestabilidad hose por lo que también contribuye a reducirla. 
 
5.4 Actualidad del PWFA 
 
Al igual que en el capítulo anterior, esta sección estará dedicada a comentar algunos de 
los últimos estudios, propuestas teóricas y resultados experimentales del PWFA. 
En las secciones anteriores se ha visto que uno de los parámetros claves de un PWFA es 
el cociente de transformación 𝑅𝑡, por ello no es de extrañar que muchos de los esfuerzos 
de los últimos años estén orientados a aumentar su valor. Para alcanzar valores de 𝑅𝑡 
superiores a 2 se propuso la utilización de haces de electrones generados por fotocátodos 
56 
 
(Loisch et al. 2019); un fotocátodo es un dispositivo emisor de electrones por iluminación 
de una sustancia metálica situada sobre una base de cuarzo o vidrio. La utilización de un 
fotocátodo permite una manipulación más sencilla de la forma de los haces de electrones, 
y esto es una gran ventaja, ya que para alcanzar valores de 𝑅𝑡 superiores a 2 se vio que la 
forma más sencilla de hacerlo era manipular la forma del haz para que este tuviera una 
distribución de densidad asimétrica (Roussel et al. 2020), por ello el fotocátodo es un 
buen instrumento para obtener wakefields elevados. Las simulaciones realizadas 
mostraron que podría obtenerse 𝑅𝑡 ≃ 5, un resultado muy por encima del limite 𝑅𝑡 ≤ 2 
visto en la sección 5.1. 
Siguiendo en la línea de aumentar el cociente de transformación, se planteó un modelo 
teórico con el que se podría llegar a obtener 𝑅𝑡 = 8 (Romeo, Del Dotto, Ferrario and 
Rossi 2020). El principio de funcionamiento consiste en utilizar un conjunto de cuatro 
haces de electrones con un perfil de densidad triangular y una energía de 1.2 GeV. Este 
esquema de funcionamiento se llama resonante y permitiría excitar plasmas de 2.4 m de 
longitud. Este sistema permitiría crear el primer linac que proporcionaría energías de 1 
GeV en la banda X (7-11.2 GHz) así como un láser de electrones libres (FEL) que emitiría 
radiación de 3 nm de longitud de onda. Las simulaciones realizadas mostraron la 
obtención de un wakefield de 1.65 GV/m con una dispersión de energía del 0.4% y un 
cociente de transformación de 3.65. Estos primeros resultados indican que el 
planteamiento teórico está orientado en la buena dirección hacia conseguir el objetivo de 𝑅𝑡 = 8. 
Por otro lado, existen numerosos centros de investigación y desarrollo del PWFA los 
cuales tienen como objetivo obtener transferencias de energía cada vez más elevadas entre 
el haz generador y el acelerado. Entre estos centros destaca la instalación FACET II 
(Facilities for Accelerator Science and Experimental Test) en el Laboratorio Nacional de 
Aceleradores SLAC (Stanford Linear Accelerator Center) en California (Estados 
Unidos). Esta instalación, en funcionamiento desde 2019 hasta 2025, proporciona haces 
de electrones de 10 GeV de energía. Los experimentos tienen como objetivo principal 
demostrar que la energía de los haces acelerados puede llegar a ser el doble, es decir, 20 
GeV. Entre otras metas se persigue entender cómo es el proceso de dispersión de energía 
y cómo se podría disminuir dicha dispersión. Pero no solamente se trabaja con haces de 
electrones, también se está investigando en la aceleración a partir de haces de positrones 
(Joshi et al. 2018). 
Los esfuerzos en investigación se ponen en diversos aspectos del PWFA, y entre ellos el 
fundamental es encontrar el acelerador lineal capaz de proporcionar un haz de electrones 
de buena calidad parael proceso de aceleración. Recientemente (Björklund et al. 2022) 
se han realizado simulaciones del proceso de aceleración utilizando el linac MAX IV del 
Laboratorio MAX IV en Lund (Suecia). Se propuso utilizar este linac, ya que, por sus 
características, podría ser capaz de generar, de forma eficiente, haces de electrones 
acelerados utilizando uno o dos haces generadores. Las simulaciones realizadas muestran 
que tanto la utilización de uno o dos haces proporcionan ganancias de energía del 33% y, 
gracias a las características del MAX IV, la inestabilidad de manguera aparece, pero no 
tiene una tasa de crecimiento muy elevada, por lo que el proceso de aceleración puede 
mantenerse y ser eficiente. Sin embargo, como las inestabilidades nunca son deseables, 
se han propuesto varios métodos para reducir aún más las oscilaciones del haz generador, 
57 
 
y entre ellas, la más sencilla, es utilizar plasmas con gradientes adiabáticos de densidad y 
que la energía del haz generador esté chirpeada (Mehrling, Fonseca, Martinez de la Ossa 
and Vieira 2017). 
Una de las líneas de investigación más interesantes relacionadas con el PWFA es utilizar 
estos aceleradores como colisionadores lineales. Los estudios principales se centran en 
las colisionadores 𝛾𝛾 y colisionadores 𝑒+𝑒−. La utilización de la técnica del PWFA como 
colisionador se explica porque, como ya se ha dicho, se pueden conseguir gradientes de 
aceleración del orden de 100 GV/m, los cuales son 103 veces mayores que los que se 
consiguen en aceleradores lineales convencionales como el SLAC. Gracias a las altas 
energías alcanzadas en un PWFA se podrían complementar los resultados obtenidos en 
experimentos del LHC, así como explorar la física de altas energías más allá del Modelo 
Estándar. Sin embargo, existen multitud de problemas técnicos que están retrasando el 
desarrollo experimental de un colisionador PWFA, entre ellos se encuentran el diseñar 
una fuente de plasma eficiente o solucionar el calentamiento del plasma (Adli 2022). 
Además, existen otros problemas, por ejemplo: todavía no se ha llegado a determinar si 
la tasa de repetición de la colisión debería ser del orden de kHz o MHz, tampoco se sabe 
si la longitud de los haces de partículas a colisionar debería ser del orden de μm o decenas 
de μm. Uno podría pensar que estos problemas teóricos se podrían solucionar realizando 
simulaciones por ordenador, pero a día de hoy dichas simulaciones son costosas de 
realizar a nivel computacional. Todo ello implica que, aunque los modelos teóricos y 
numéricos ya han sido propuestos, no se puede comprobar si son correctos o si hay que 
realizar cambios en las ecuaciones. Se necesita la creación de un prototipo de colisionador 
PWFA para realizar experimentos reales y empezar a corregir y ajustar los problemas 
teóricos y técnicos que surjan. Sin embargo, no hay actualmente ningún centro de 
investigación que esté intentando diseñar un colisionador PWFA, lo que está provocando 
un evidente retraso en el desarrollo de esta tecnología. 
Otro problema agregado a los colisionadores PWFA es que lo más interesante es crear un 
colisionador del tipo 𝑒+𝑒− pero el haz de positrones acelerado en un PWFA se deteriora 
muy rápidamente debido a la aparición de una fuerza de desenfoque en el régimen 
blowout (sección 5.2), el cual es el régimen de uso más común del PWFA. Por ello, se 
están realizando muchos esfuerzos para conseguir haces de positrones de buena calidad 
en otros regímenes de funcionamiento, como por ejemplo en el régimen lineal (Hue et al. 
2021) en el cual se puede conseguir una transferencia de energía de hasta el 40% entre el 
haz generador y el de positrones, pero la carga de dicho haz de positrones estaría limitada 
a decenas de pC, por lo que el haz de positrones acelerado no tendría tan buena calidad 
como en el régimen blowout. Pero no hay que desechar los esfuerzos realizados en el 
régimen lineal ya que existe la hipótesis de que no es necesario que el haz de positrones 
y electrones tengan los mismos parámetros. Quizás el de positrones necesita unos 
parámetros menos restrictivos y por tanto más sencillos de obtener que el de electrones y 
esto permitiría empezar a resolver el problema de la aceleración de positrones. 
Si la vía de un colisionador 𝑒+𝑒− llegase a no ser realizable, existe la posibilidad de crear 
también un colisionador 𝛾𝛾 como se ha mencionado anteriormente. En este tipo de 
colisionador, propuesto en 1983 (Ginzburg, Kotkin, Serbo and Telnov 1983), los fotones 
son generados por el scattering Compton inverso (en este proceso los fotones, poco 
energéticos y generados por un láser, son dispersados por haces de electrones relativistas). 
58 
 
Los haces de fotones generados tienen casi la misma energía que los de electrones. El 
PWFA suministraría los haces de electrones relativistas. La ventaja de este colisionador 
es que no necesita generar ni acelerar positrones. Otra de las ventajas es que el láser 
necesario para conseguir la mayor energía del haz de fotones debería emitir en longitudes 
de onda por encima de 10 μm (Adli 2022), y como se vio en la sección 4.5, ya se ha 
conseguido desarrollar un láser de CO2 capaz de emitir en dicha longitud de onda. 
También se podría utilizar como fuente de fotones un láser de electrones libres (FEL). 
En resumen, los esfuerzos en la mejora de la eficiencia del PWFA se están centrado en 
conseguir valores del cociente de transformación cada vez más elevados, para lo cual se 
ha propuesto utilizar haces de electrones generados por fotocátodos, emplear múltiples 
haces de electrones o modificar el propio haz para que tenga una distribución de densidad 
asimétrica. También se están realizando simulaciones para encontrar el acelerador lineal 
que proporcione los haces generadores del wakefield de mayor calidad, destacando el 
linac MAX IV. Asimismo, se está persiguiendo la creación de un colisionador de 
partículas basado en la técnica del PWFA. Los retos teóricos y técnicos para lograr un 
colisionador PWFA son múltiples y complicados de resolver, pero los avances en otros 
campos, como la tecnología de los láseres, están permitiendo avanzar en esta línea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
Capítulo 6. Aceleradores híbridos LWFA/PWFA 
 
En los capítulos 4 y 5 se han presentado los aspectos teóricos fundamentales de 
funcionamiento de los aceleradores LWFA y PWFA y se han comentado algunos de los 
últimos avances realizados en cada uno de ellos. Pero la tecnología de estos aceleradores 
no tiene por qué emplearse por separado. Las ventajas de ambos pueden aprovecharse de 
forma muy eficiente mediante los modelos híbridos, los cuales permiten generar haces de 
electrones de gran calidad y energía de forma compacta (Hidding et al. 2019), muy útiles 
en diferentes aplicaciones como en la creación de láseres de electrones libres (FEL). 
Este tipo de aceleradores híbridos (de ahora en adelante se hará referencia a ellos como 
LPWFA, Laser Plasma Wakefield Accelerator) se ha empezado a desarrollar en los 
últimos años. Gracias a la combinación de los mejores aspectos del LWFA y PWFA se 
pueden conseguir gradientes de aceleración muy elevados, útiles en múltiples 
aplicaciones como medicina, química, industria, así como permitir el avance en el estudio 
de diferentes fenómenos como la dinámica del plasma o el movimiento de los iones. En 
este capítulo se darán las claves para entender cómo se acoplan un LWFA y un PWFA y 
el porqué de su implementación. 
 
6.1 Primeros pasos en el LPWFA 
Un acelerador hibrido LPWFA consiste, de forma sencilla, en la generación de un haz de 
electrones mediante un LWFA el cual posteriormente servirá para excitar un wakefield 
en un PWFA y así conseguir haces de partículas altamente energéticas. Pero ¿por qué 
primero se utiliza un LWFA y después un PWFA en el proceso de aceleración? La 
respuesta a estapregunta es muy sencilla: en el capítulo 5 se dijo que los aceleradores 
PWFA requieren de aceleradores linac para conseguir el haz generador del wakefield, sin 
embargo, el objetivo del LPWFA es crear un acelerador compacto y los linac tienen varios 
kilómetros de longitud, luego es lógico utilizar un LWFA como fuente de un PWFA ya 
que el LWFA requiere de un sistema láser ultra intenso, el cual es mucho menos extenso 
que un linac. 
Uno de los primeros interrogantes que se encuentran a la hora de analizar teóricamente 
estos aceleradores es, ¿qué sucede con las características del haz obtenido en el LWFA 
cuando pasa al PWFA? Y la primera respuesta que uno obtiene a esta pregunta es que se 
produce una dispersión de la energía. Uno podría pensar que esto es un problema muy 
grave pero realmente no lo es, ya que en la sección 5.4 se vio que, si la energía del haz 
generador está chirpeada, esto ayuda a reducir las inestabilidades en el PWFA y por tanto 
tiene lugar un proceso de aceleración más eficiente (Mehrling, Fonseca, Martinez de la 
Ossa and Vieira 2017). Además, una vez que el haz de electrones sale del LWFA tiene 
que ser recogido de forma muy rápida para evitar que dicho haz empiece a divergir 
(Hidding et al. 2019). Este paso se puede realizar utilizando un lente de plasma, la cual 
consiste en crear patrones de alta y baja densidad en un mismo plasma lo que provoca la 
refracción de los haces que pasan por ella y su posterior enfoque. 
Durante el proceso de aceleración es conveniente que la distancia de aceleración en el 
PWFA sea lo más larga posible y para conseguir esto es necesario que el plasma este 
60 
 
preionizado, es decir, hay que crear un canal de iones antes de que el haz de electrones lo 
cree por sí mismo como se vio en el capítulo anterior. Esta preionización se puede realizar 
aprovechando el pulso láser remanente que se ha utilizado en el LWFA o bloqueando ese 
pulso láser a la salida del LWFA y utilizando un nuevo láser contra-propagante que entre 
por la salida del PWFA e ionice el plasma. La segunda opción sería más adecuada que la 
primera, ya que reutilizar el pulso láser del LWFA puede no ser del todo eficiente debido 
a la difracción que sufre en su paso hacia el PWFA. 
 
6.2 Prototipo de un LPWFA con inyección por ionización 
Recordando los diferentes métodos de inyección vistos en la sección 4.4, la inyección por 
ionización resultaba ser el mecanismo más sencillo de todos para inyectar los electrones 
en el wakefield, por ello no es de extrañar que los diseños propuestos del LPWFA 
(Martinez de la Ossa et al. 2019) utilicen este método de inyección. Además, la inyección 
de electrones en el PWFA se puede hacer de diversas maneras y entre ellas, la de más 
interés y la que se va a explicar a continuación, es la inyección por ionización mediante 
wakefield inducido (en inglés Wakefield Induced Ionization, WII). Este mecanismo de 
inyección es el más interesante porque es el que mejor aprovecha los cocientes de 
transformación elevados del PWFA (Hidding et al. 2019), y como ya se ha visto, cuanto 
más alto sea el cociente de transformación, mejor aceleración se tendrá en el PWFA. 
La inyección WII consiste en utilizar el wakefield generado en el PWFA, en el régimen 
blowout, para ionizar un gas situado al principio de la cavidad del PWFA, los electrones 
ionizados posteriormente serán atrapados por el propio wakefield que los ha ionizado, 
dando lugar así a haces de electrones de mayor calidad (Martinez de la Ossa et al. 2015). 
Por tanto, las diferentes etapas del LPWFA serían las siguientes: en primer lugar se 
encuentra el LWFA en el que se produce un haz de electrones cuya calidad se ve 
aumentada por la generación de electrones a partir de un gas mediante la inyección por 
ionización; este haz de electrones se utiliza posteriormente para generar el wakefield en 
el PWFA con su plasma preionizado, dicho wakefield da lugar a un nuevo haz de 
electrones ionizando un gas mediante la inyección WII, este nuevo haz, de mayor calidad, 
será posteriormente acelerado hasta altas energías por el mismo wakefield que lo ha 
ionizado. Un esquema aproximado de este LPWFA se muestra a continuación: 
 
Figura 6.1: Esquema de un acelerador hibrido LPWFA. En el LWFA la inyección 
de electrones tiene lugar mediante el mecanismo de ionización y en el PWFA 
mediante la inyección WII. Una pantalla bloquea el láser usado en el LWFA y deja 
pasar el haz de electrones acelerado. Un segundo láser se utiliza para preionizar 
el plasma del PWFA y favorecer la aceleración. 
61 
 
Como se observa en el esquema, se utilizaría una pantalla bloqueadora para el láser 
utilizado en el LWFA, dicha pantalla estaría constituida por un metal (los metales suelen 
tener su frecuencia de plasma en el ultravioleta, luego son reflectantes para las frecuencias 
inferiores, como las infrarrojas de los láseres). Además, la densidad del plasma en el 
PWFA debe ser mayor que en el LWFA para que el haz de electrones que sale del LWFA 
y los adicionales electrones ionizados puedan ser acelerados de forma eficiente (Martinez 
de la Ossa et al. 2019). Las simulaciones realizadas con este diseño muestran que, para 
un plasma en el LWFA de densidad 2 · 1018 cm−3 excitado por un láser de Ti:zafiro de 
98 TW de potencia, se obtiene un haz de electrones con una energía de 3 GeV, un 
gradiente de aceleración de 185 GV/m, una carga de 190 pC y una dispersión de energía 
del 10%; dicho haz posteriormente dobla su energía en el PWFA hasta los 6 GeV en 14 
mm de propagación reduciendo a su vez la carga hasta los 11 pC y la dispersión de energía 
hasta el 3%, proporcionado un haz más estable que el del LWFA. 
 
6.3 Propuestas, experimentos y resultados 
En esta última sección se van a dar los principales resultados obtenidos en diferentes 
experimentos y simulaciones del LPWFA con el fin de mostrar que este tipo de esquemas 
híbridos proporcionan haces de partículas muy energéticos y por tanto son de utilidad en 
numerosos campos. 
A lo largo de todo el trabajo, las partículas componentes de los haces acelerados y los 
generadores del wakefield (PWFA) han sido los electrones ya que son las partículas 
cargadas más sencillas de obtener. Sin embargo, también se ha propuesto realizar 
experimentos con partículas de carga positiva (protones) porque pueden dar lugar a haces 
con una dispersión de energía menor que en los experimentos habituales. En este sentido, 
en 2014 (Muggli et al. 2014) se propuso un esquema hibrido en el que un haz de electrones 
acelerado por un LWFA era inyectado en un PWFA en el que el wakefield era generado 
por un haz de protones. Para probar si este esquema cumple con lo prometido (baja 
dispersión de energía) se utilizaría el SPS (Super Proton Synchrotron) del CERN para 
proporcionar al PWFA los protones necesarios para la generación del wakefield. El uso 
de protones y por tanto del SPS se explica porque con esta instalación la distancia de 
aceleración en el PWFA sería de unos pocos milímetros lo que facilitaría la inyección de 
los electrones procedentes del LWFA. Con este esquema se podrían conseguir haces con 
energías del orden de TeV, con una dispersión de energía inferior al caso de un acelerador 
hibrido como el visto en la sección anterior y con una duración de unos pocos 
femtosegundos. Sin embargo, esta propuesta todavía requiere de un estudio numérico y 
teórico más profundo para determinar si es posible la generación de dichos haces tan 
energéticos, y si sería eficiente utilizar protones como generadores del wakefield o por el 
contrario es más conveniente seguir utilizando esquemas como el de la Figura 6.1. 
Aprovechando y mejorando el montaje visto en la sección anterior, se ha conseguido 
demostrar (Kurz et al. 2021) la creación de un acelerador de unos pocos milímetros de 
longitud, todo ello gracias al avance en la tecnología de los láseres y los esfuerzos denumerosos científicos enfocados en la mejora de la técnica de aceleración hibrida. Los 
experimentos realizados se llevaron a cabo utilizando dos instalaciones láser diferentes: 
el láser DRACO en el centro HZDR (Helmholtz-Zentrum Dresden-Rossendorf) en 
Dresden (Alemania) y el láser ATLAS de la Universidad de Múnich (Alemania). Para los 
62 
 
chorros de gas utilizados en las entradas de cada acelerador se utilizó helio dopado con 
nitrógeno para el LWFA e hidrogeno dopado con helio para el PWFA. La presencia de 
una placa metálica para bloquear el haz láser del LWFA provoca que el haz de electrones, 
que sirve como generador del wakefield en el PWFA, sufra una divergencia del 50% pero 
como el diseño es muy compacto, este hecho no tiene relevancia ya que prácticamente 
según el haz sale del LWFA entra en el PWFA. 
La importancia de preionizar el plasma del PWFA se hizo patente en los experimentos 
llevados a cabo con ambos láseres. Una primera prueba del esquema hibrido se realizó 
sin preionizar el PWFA y esto provocó que una parte de la energía del haz de electrones 
obtenido del LWFA fuese transferida al plasma del PWFA en la creación del canal de 
iones. Este hecho no es nada deseable porque ello implica que el wakefield generado en 
el PWFA será más débil que si se hubiera realizado la preionización y por tanto no se 
obtendrán los gradientes de aceleración deseados. De hecho, los resultados 
experimentales muestran que la energía promedio de los electrones acelerados, en 1.5 mm 
de longitud, a la salida del PWFA es de 62 MeV para el caso en el que no hay 
preionización y de 100 MeV para el caso en el que sí, resultados muy buenos teniendo en 
cuenta que los parámetros del experimento no estaban establecidos para obtener la 
máxima energía posible (Kurz et al. 2021). Además, se observó, en términos del gradiente 
de aceleración, un incremento de 50 GV/m entre un caso y otro. Luego es de vital 
importancia preionizar el plasma del PWFA para conseguir haces de electrones muy 
energéticos. 
Por otro lado, también se realizaron montajes alternativos del LPWFA para comprobar si 
es posible conseguir haces con energías del mismo orden de magnitud, pero con esquemas 
más sencillos. Entre estos montajes alternativos el que mejor resultado dio fue aquel en 
el que se prescindió de la placa metálica bloqueadora del pulso láser del LWFA. El 
objetivo de quitar esa placa es aprovechar el propio pulso láser del LWFA para ionizar el 
plasma del PWFA, ahorrando así el uso de un segundo pulso láser auxiliar. Al quitar la 
placa metálica es necesario aumentar la longitud de la cavidad del PWFA, ya que ahora 
no se tiene un plasma preionizado, sino que este se va ionizando por el láser a la vez que 
el haz de electrones del LWFA avanza hacia el PWFA, y esta ionización requiere de un 
cierto tiempo. Luego para conseguir energías del orden de MeV a la salida del PWFA es 
necesario alargar su cavidad. La energía promedio del haz de electrones en los 
experimentos realizados fue de 119 MeV, mostrando que este esquema permite obtener 
energías similares al esquema de la Figura 6.1 y que el LPWFA admite varias 
configuraciones de funcionamiento, es decir, el LPWFA es un acelerador versátil. 
Otro de los objetivos principales de estos aceleradores híbridos es conseguir haces de 
electrones con una estabilidad y calidad similares a las obtenidas en los esquemas por 
separado. El reto es conseguir que el haz de electrones acelerado en el LWFA se mantenga 
prácticamente inalterado al pasar al PWFA para la generación del wakefield y así 
conseguir mantener la estabilidad durante todo el proceso. En este sentido, muy 
recientemente se han conseguido obtener haces acelerados con altos niveles de calidad y 
baja dispersión de la energía (Foerster et al. 2022). Los experimentos se realizaron de 
nuevo con el sistema láser ATLAS, el cual proporcionaba pulsos láser de longitud de 
onda 800 nm con una intensidad del orden de 1019 W/cm2 y el esquema del LPWFA era 
como el de la Figura 6.1. En este caso, para el láser de preionización del PWFA se hizo 
uso de una lente de enfoque la cual provocaba el calentamiento del plasma del PWFA 
63 
 
permitiendo modificar su perfil de densidad para facilitar la entrada del haz de electrones 
del LWFA, mejorar la estabilidad del proceso y hacer que el montaje sea muy insensible 
a problemas de alineamiento. Para saber que la estabilidad de un haz acelerado es mejor 
que en otros experimentos lo que se hace es medir la energía de dicho haz y compararla 
con otros esquemas del PWFA en solitario. En una primera prueba, en la que los 
parámetros del experimento no estaban establecidos para obtener la mayor energía 
posible, se obtuvo un haz acelerado del LWFA con una energía de 287 MeV dando lugar 
a un haz final a la salida del PWFA con una energía de 65 MeV, un valor similar a los 
haces conseguidos en experimentos del PWFA en solitario, lo que indica que el montaje 
de la Figura 6.1 modificado con esa lente de enfoque para el láser de preionización 
funciona. 
También se modificó el esquema quitando la placa metálica bloqueadora del haz láser del 
LWFA para comprobar si los valores de energía seguían manteniéndose y si la lente de 
enfoque seguía funcionando con el propio láser del LWFA. En la siguiente tabla se 
muestra un resumen con las condiciones del experimento y los principales resultados 
obtenidos, teniendo en cuenta que la densidad del plasma del LWFA era constante con 
un valor de 1.4 · 1018 cm−3: 
Placa metálica 
bloqueadora 
Energía haz 
LWFA (MeV) 
Densidad plasma 
PWFA (cm-3) 
Energía haz 
PWFA (MeV) 
Sí 287 2.0 · 1018 65 
No 235 1.1 · 1018 162 
No 284 2.0 · 1018 195 
 
Tabla 6.2: Condiciones experimentales y resultados del esquema LPWFA 
modificado con una lente de enfoque para el láser de preionización del PWFA y 
operado con el sistema láser ATLAS de la Universidad de Múnich (Alemania). 
Resultados obtenidos de Foerster et al. 2022. 
Por tanto, el acelerador hibrido LPWFA constituye un sistema funcional a partir del cual 
se pueden conseguir haces de electrones de centenas de MeV con una buena calidad y 
estabilidad. Estos aceleradores tienen su principal aplicación en la creación de láseres de 
electrones libres (FEL) compactos, así como en otros campos como en medicina 
(tratamientos contra el cáncer mediante radioterapia), física de altas energías o para la 
producción de energía nuclear. Los esfuerzos puestos en el campo de los aceleradores 
compactos y en la mejora en la tecnología de los láseres están enfocados a seguir 
mejorando estos esquemas híbridos para conseguir aceleradores más compactos y que 
sean capaces de proveer haces de electrones con energías del orden de GeV. 
 
 
 
 
 
 
64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
Conclusiones 
 
A lo largo de los seis capítulos que conforman este Trabajo de Fin de Grado se han 
introducido los aceleradores de partículas basados en ondas de plasma y pulsos láser como 
los nuevos esquemas para conseguir haces de partículas muy energéticas en unos pocos 
centímetros de longitud. Gracias a las características que posee el plasma se ha podido 
explicar y entender el proceso necesario para excitar campos electromagnéticos en el 
plasma y cómo estos campos son capaces de acelerar partículas hasta altas energías. 
En concreto, se han presentado los esquemas de aceleración LWFA y PWFA, remarcando 
sus características principales y las condiciones necesarias para conseguir una aceleración 
eficiente en ambos montajes. Gracias a los esfuerzos de numerosos científicos a lo largo 
de los últimos años, estos aceleradores se han posicionado como la alternativa a los 
esquemas lineales y circulares convencionales ya que, en los aceleradores basados en 
plasma, los gradientes de aceleración que se consiguen son del orden de múltiples GV/m,mientras que en los convencionales se obtienen gradientes tres órdenes de magnitud 
inferiores (MV/m). Ello implica que las dimensiones de los esquemas LWFA y PWFA 
son de unos pocos centímetros de longitud, siendo esto una gran ventaja frente a las 
instalaciones de cientos de metros o incluso kilómetros de los aceleradores lineales y 
circulares convencionales. Además, los montajes híbridos LPWFA ofrecen una nueva 
alternativa ya que conforman un esquema que aprovecha las principales virtudes del 
LWFA y PWFA, siendo capaz de proporcionar haces de electrones muy energéticos, 
estables y de buena calidad, los cuales podrían emplearse en multitud de campos como la 
radioterapia, la generación de radioisótopos para la producción de energía, la 
investigación en física de altas energías y el desarrollo de láseres de electrones libres 
(FEL). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
Conclusions 
 
Throughout the six chapters that make up this work, particle accelerators based on plasma 
waves and laser pulses have been introduced as the new schemes to obtain very energetic 
particle beams in a few centimetres of length. Thanks to the characteristics of plasma, it 
has been possible to explain and understand the process necessary to excite 
electromagnetic fields in plasma and how these fields are capable of accelerating particles 
up to high energies. 
In particular, the LWFA and PWFA acceleration schemes have been presented, 
highlighting their main characteristics and the conditions necessary to achieve efficient 
acceleration in both set-ups. Thanks to the efforts of numerous scientists over the last few 
years, these accelerators have positioned themselves as the alternative to conventional 
linear and circular schemes, since, in plasma-based accelerators, the acceleration 
gradients achieved are of the order of multiple GV/m, whereas in conventional 
accelerators, gradients three orders of magnitude lower (MV/m) are obtained. This means 
that the dimensions of the LWFA and PWFA schemes are only a few centimetres in 
length, which is a major advantage over the hundreds of metres or even kilometres of 
conventional linear and circular accelerators. In addition, LPWFA hybrid assemblies 
offer a new alternative as they are a scheme that takes advantage of the main virtues of 
LWFA and PWFA, being able to provide very energetic, stable, and high-quality electron 
beams, which could be used in many fields such as radiotherapy, radioisotope generation 
for energy production, research in high energy physics and the development of free- 
electron lasers (FEL). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
Apéndice 
 
A. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional (SI) y el 
Sistema Cegesimal (CGS) 
A continuación, se muestran varias magnitudes del Sistema Internacional y sus 
equivalentes en el Sistema CGS, con las unidades correspondientes: 
 
• Carga: 𝑞 (C) → √4𝜋𝜀0 𝑞 (Fr) 
• Corriente: 𝐼, 𝐽 (A, A/m2) → √4𝜋𝜀0 𝐼, 𝐽 (statA, statA/cm) 
• Permitividad magnética: 𝜀/𝜀0 → 𝜀 (‹‹cm››) 
• Permeabilidad magnética: 𝜇/𝜇0 → 𝜇 (G · cm · statA−1) 
• Conductividad: 𝜎 (Ω · m)−1 → 4𝜋𝜀0𝜎 ( ‹‹cm›› · statΩ−1 · cm−1) 
• Potencial escalar: 𝜙 → 𝜙√4𝜋𝜀0 (‹‹cm››−1/2) 
• Potencial vector: 𝐴 (T · m) → √𝜇04𝜋 𝐴 (G3/2 · cm3/2 · statA−1/2) 
• Campo eléctrico: 𝐸 (V/m) → 𝐸√4𝜋𝜀0 (statV · cm−1) 
• Inducción magnética: 𝐵 (T) → √𝜇04𝜋 𝐵 (G) 
Las abreviaturas de las unidades en el Sistema CGS hacen referencia a los siguientes 
nombres: 
- Fr: franklin 
- statA: estatamperio 
- statV: estatvoltio 
- ‹‹cm››: estatfaradio o ‹‹centímetro›› 
- G: gauss 
- statΩ: estatohmio 
 
 
 
 
 
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71 
 
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