EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CICLO TRIGONOMÉTRICO

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Exercícios Resolvidos sobre Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo (seno, cosseno e tangente)
Tabela trigonométrica com ângulos notáveis
Questão 1 - (Fuzileiros Navais Turmas I e II - 2019) Uma aeronave decolou sob um ângulo de 30º em relação à pista.  Após percorrer 100 metros de distância, no ar, nessa mesma angulação, qual a sua altura em relação à pista?
a) 50 metros			b) 100 metros		c) 150 metros		d) 200 metros
Resolução:    Para facilitar a resolução do nosso problema, ilustro a situação apresentada da seguinte maneira.
Após visualizarmos a figura, resolveremos o problema por meio da aplicação das relações trigonométricas em um triângulo retângulo.
seno de um ângulo  = seu cateto oposto / hipotenusa .
sen 30º = h / 100 1/2 = h / 100       h = 50 metros.    
Questão 2 - (Aprendizes Marinheiros - Marinha - 2014) Uma pipa ficou presa em um galho de uma árvore e seu fio ficou esticado formando um ângulo de 60º com o solo.  Sabendo que o comprimento do fio é de 50 metros, a que altura, aproximadamente, do solo encontrava-se a pipa? Dado:  considere √3 = 1,7
a)  15,7 m			b) 25 m			c) 42,5 m			d) 50,5 m
Solução da questão:   em primeiro lugar, vamos desenhar o nosso problema matemático para facilitar nosso entendimento e solução.
Ilustrando a situação problema
Estamos diante de um triângulo retângulo, onde sabemos sua hipotenusa e queremos descobrir o cateto oposto ao ângulo de 60º, então basta aplicarmos as relações trigonométricas em um triângulo retângulo.
sen 60º = x / 50 √3 / 2 = x / 50 2x = 50 (1,7) 2x = 85 x = 42,5 metros   [resposta é a letra C]
Questão 3 - (ENEM 2017) Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo x com a sua superfície, conforme indica a figura.
Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por I (x) = k . sen (x) 
sendo k uma constante, e supondo-se que x está entre 0º e 90º.
Quando x = 30º, a intensidade luminosa se reduz  a qual percentual de seu valor máximo?
a) 33%			b) 50%		c) 57%		d) 70%
Solução:  questão interessante e de rápido desenvolvimento que envolve o conhecimento dos senos dos ângulos a seguir:
Seno de 90º = 1  (Máximo)
Seno de 0º = 0    (Mínimo)
Seno de 30º = 1/2 ( ou 50% do valor máximo)
I Máx (x = 90º) = k . sen 90º = k . 1 = k
I (x = 30º) = k . sen 30º = k . 1/2 = k/2  ( ou 50% do valor máximo)
Questão 4 - (ESA 2019) Em um triângulo equilátero ABC inscreve-se um quadrado MNOP de área 3 m².  Sabe-se que o lado MN está contido em AC, o ponto P pertence a AB e o ponto O pertence a BC.  Nessas condições, a área em m² do triângulo ABC mede:
Solução: questão interessante da Escola de Sargentos das Armas de 2019 de geometria plana sobre inscrição e circunscrição.  Vamos desenhar a questão para uma melhor visualização.
Podemos encontrar x por meio das relações trigonométricas em um triângulo retângulo.
tg 60º = √3/x √3 = √3/x x = 1
Desse modo, o lado deste triângulo equilátero será igual a  L = 2 + √3
Agora basta calcularmos a área do triângulo.  
Área = L x L x sen 60º x 1/2
 (2 + √3)² x √3/2 x ½ (4 + 2.2.√3 + 3) x √3/4 (7 + 4√3) x √3/4 (7√3 + 12)/4  
[alternativa correta é letra E]
Questão 5 - (UNICAMP - 2020)  A figura abaixo exibe o triângulo 𝐴𝐵𝐶, em que AB = BC e  AD é uma altura de comprimento ℎ. A área do triângulo 𝐴𝐵𝐶 é igual a
a) h²     b) √2 h²     c) √3 h²     d) 2 h²
Solução: questão de geometria plana muito boa onde utilizaremos ( área do triângulo e relações trigonométricas).  Vejamos uma ilustração do nosso problema.
O objetivo da questão é calcular, em função de h, a área do triângulo ABC que é igual a (base x altura) / 2.
Área de ABC = (x . h) / 2
Podemos encontrar x por meio das relações trigonométricas no triângulo retângulo ABD.
sen 30º = h/x 1/2 = h/x x=2h
Agora é só substituir:
Área de ABC = (2h . h) / 2 = 2h²/2
Área de ABC = h² A alternativa correta é a letra A.
Questão 6 - (EPCAR 2020)  À noite, um helicóptero da Força Aérea Brasileira sobrevoa uma região plana e avista um VANT (Veículo Aéreo Não Tripulado) de forma circular e altura desprezível, com raio de 3 m, estacionado paralelamente ao solo a 30 m de altura.
O VANT está a uma distância y metros de um holofote que foi instalado no helicóptero.
O feixe de luz do holofote que ultrapassa o VANT incide sobre a região plana e produz uma sombra circular de centro O e raio R.
O raio R da circunferência da sombra forma um ângulo de 60º com o feixe de luz, conforme se vê na figura seguinte.
Nesse momento, uma pessoa que se encontra num ponto A da circunferência da sombra corre para o ponto O, pé da perpendicular traçada do holofote à região plana.
A distância, em metros, que essa pessoa percorre de A até O é um número entre
a) 18 e 19			b) 19 e 20			c) 20 e 21			d) 22 e 23
Solução: questão muito interessante sobre as relações trigonométricas em um triângulo retângulo, onde vamos trabalhar com a tangente de 60°.  Atente-se para os pontos destacados na figura a seguir:
O objetivo da questão é calcular OA = 3 + x
Podemos encontrar x por meio da tangente de 60º.
Num triângulo retângulo, a tangente de um determinado ângulo é igual ao seu cateto oposto dividido pelo adjacente.
tg 60° = 30/x √3 = 30/x x = 30 / √3 Aproximando √3 ≅ 1,7 
x ≅ 30/1,7 x ≅ 17,6 Finalmente, OA = 3 + x = 3 + 17,6 = 20,6. Alternativa é a letra C.
Questão 7 - (UNICAMP - 2020) A figura abaixo exibe o triângulo retângulo 𝐴𝐵𝐶, em que AB = AM = MC. Então, tg 𝜃 é igual a
a) ½					b) 1/3			c) ¼				d) 1/5
Solução:  questão onde utilizaremos a fórmula de tg (a + b) = (tga + tgb) / (1 - tga.tgb)
Redesenhando o triângulo:
tg a = AM/AB  tg a = x/x tga = 1
tg (a + θ) = AC/AB tg (a + θ) = 2x/x tg (a + θ) = 2
Agora basta substituir na fórmula para encontrar tgθ.
tg (a + θ) = (tga + tgθ) / (1 - tga.tgθ) 2 = (1 + tgθ) / (1 - 1.tgθ)
2 (1-tgθ) = 1+ tgθ 2 - 2tgθ = 1 + tgθ
2-1= 2tgθ + tgθ	 1 = 3tgθ
tgθ = 1/3 A alternativa correta é a letra B.
Questão 8 - (Vestibular Fuvest 2020) Um objeto é formado por 4 hastes rígidas conectadas em seus extremos por articulações, cujos centros são os vértices de um paralelogramo. As hastes movimentam‐se de tal forma que o paralelogramo permanece sempre no mesmo plano. A cada configuração desse objeto, associa‐se θ ,a medida do menor ângulo interno do paralelogramo. A área da região delimitada pelo paralelogramo quando θ = 90º é A.
Para que a área da região delimitada pelo paralelogramo seja A/2, o valor de θ é, necessariamente, igual a
(A) 15º			(B) 22,5º			(C) 30º			(D) 45º
Solução:  questão muito interessante que envolve geometria com cálculo de área e trigonometria no triângulo retângulo, vamos precisar da função seno nessa questão.  Vamos desenhar nosso problema inicialmente da seguinte forma:
Sabemos que a área da primeira figura é A = x . y
Agora o enunciado quer que encontremos o ângulo θ de modo que a área da segunda figura seja igual a A/2 ou então (x.y)/2
Vamos nomear a área da segunda figura como S.  Temos que S = y . h
Também sabemos que o sen θ = h / x
h = x .  sen θ 
Temos então que S = y . x . sen θ
Queremos S = A/2 certo?  Logo,  y . x . sen θ = (x.y)/2 sen θ = 1/2   
Qual é o arco, no 1º quadrante, cujo seno vale 1/2?
arcsen(1/2) = 30º  [ a resposta correta é θ =  30º]   Alternativa correta é a letra C.
Questão 9 - (EPCAR 2021)  No retângulo EPCR da figura a seguir, PC = 6cm, RA = 3cm e AC = 5cm
O valor de sen a + cos a é 
a) (3√5)/5			b) (4√5)/5				c) (2√5)/5			d) (√5)/5
Solução:  questão muito rica de geometria da prova de 2021 da Escola Preparatória de Cadetes do AR (EPCAR)onde utilizaremos o Teorema de Pitágoras,  Lei dos Senos e Lei dos Cossenos e Relações Trigonométricas em um triângulo retângulo.
Pelo Teorema de Pitágoras podemos encontrar EA e EC
	EA²  = 6² + 3²
EA² = 36+9 = 45                  
EA = 3√5
	EC²  = 8² + 6²
EC² = 64+36 = 100
EC = 10
Agora podemos encontrar cos a usando a Lei dos Cossenos.
5² = (3√5)² + 10² - 2 . ( 3√5) . ( 10 ) cos a
25 = 9.5 + 100 - 60 √5 cos a
25 = 145 - 60 √5 cos a
-120 = - 60 √5 cos a
cos a = 2 / √5
Para encontrar sen a usaremos a Lei dos Senos.
5 / sen a  =  3√5  /  sen b sen a . 3√5 = 5 . sen b
sen b pode ser obtido por meio das relações trigonométricas no triângulo retângulo ERC.
sen b = cateto oposto / hipotenusa sen b = 6/10 = 3/5
Voltando a equação  sen a . 3√5 = 5 . 3/5 sen a . √5 = 1 sen a = 1 / √5
Agora basta calcular sen a + cos a 
1/√5+ 2/√5 = 3/√5 x √5/√5 = 3√5 / 5 [ alternativa correta é a letra A]
Questão 10 - (Vunesp 2020) Uma das finalidades da Ciência Forense é auxiliar nas investigações relativas à justiça civil ou criminal. Observe uma ideia que pode ser empregada na análise de uma cena de crime.
Uma gota de sangue que cai perfeitamente na vertical, formando um ângulo de 90º com a horizontal, deixa uma mancha redonda. À medida que o ângulo de impacto com a horizontal diminui, a mancha fica cada vez mais longa.
As ilustrações mostram o alongamento da gota de sangue e a relação trigonométrica envolvendo o ângulo de impacto e suas dimensões.
Considere a coleta de uma amostra de gota de sangue e a tabela trigonométrica apresentadas a seguir.
De acordo com as informações, o ângulo de impacto da gota de sangue coletada na amostra foi de 
(A) 37º (B) 74º (C) 59º (D) 53º (E) 31º
Solução: questão muito interessante do Vestibular da Unesp 2020 com um caso real de aplicação das relações trigonométricas em um triângulo retângulo. Repare que o comprimento da gota de sangue é de 2,5 cm e a sua largura é de 1,5 cm. Nosso problema está em encontrar o ângulo α no triângulo retângulo a seguir:
sen α = 1,5 cm / 2,5 cm sen α = 1,5 cm / 2,5 cm sen α = 0,60
Na tabela informada no enunciado, o ângulo α cujo seno vale 0,60 é o (α = 37º). Alternativa correta é a letra A.