Fisica Geral II

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FÍSICA GERAL II
Maringá
2009
FÍSICA GERAL II
EdItoRA dA UnIvERSIdAdE EStAdUAL dE MARInGá
 Reitor Prof. Dr. Décio Sperandio
 Vice-Reitor Prof. Dr. Mário Luiz Neves de Azevedo
 Diretor da Eduem Prof. Dr. Ivanor Nunes do Prado
 Editor-Chefe da Eduem Prof. Dr. Alessandro de Lucca e Braccini
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 Presidente Prof. Dr. Ivanor Nunes do Prado
 Editor Associado Prof. Dr. Ulysses Cecato
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	 Editores	Científicos	 Prof. Adson C. Bozzi Ramatis Lima
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 EqUIpE téCnICA
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 Mônica Tanamati Hundzinski
 Vania Cristina Scomparin
 Edilson Damasio
 Artes	Gráficas Luciano Wilian da Silva
 Marcos Roberto Andreussi
 Marketing Marcos Cipriano da Silva
 Comercialização Norberto Pereira da Silva
 Paulo Bento da Silva 
 Solange Marly Oshima
Maringá
2009
FoRmAção dE PRoFESSoRES Em FÍSICA - EAd
FÍSICA GERAL II
Cesar Canesin Colucci
João Mura
Maurício Antonio Custódio de Melo
5
Copyright © 2009 para o autor
1ª reimpressão 2010 revisada
Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo 
mecânico, eletrônico, reprográfico etc., sem a autorização, por escrito, do autor. Todos os direitos 
reservados desta edição 2009 para Eduem.
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Coleção Formação de professores em Física - EAd
 Apoio técnico: Rosane Gomes Carpanese
 Normalização e catalogação: Ivani Baptista - CRB 9/331
 Revisão Gramatical: Josie Agatha Parrilha da Silva
 Edição e Produção Editorial: Carlos Alexandre Venancio
 Diagramação: Renato William Tavares
 Capas: Arlindo Antonio Savi
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Melo, Maurício Antonio Custódio de
 Física geral II. / Mauricio Antonio de Melo; João Mura; Cesar C. Colucci. -- 
Maringá : Eduem, 2009. 153. il. (Formação de professores em Física – EAD; v.5) 
 
 ISBN: 978-85-7628-200-6
 
 1. Física. 2. Gravitação. 3. Termodinâmica. I. Colucci, Cesar C. II. Melo, Maurício 
Antonio Custódio de, III. Mura João
 
CDD 21. ed. 530
M528f
3
Sobre os autores ................................................................................... 5
Apresentação da coleção ..................................................................... 7
Apresentação do livro ........................................................................... 9
1 Gravitação .............................................................................................11
2 Equilíbrio Estático ................................................................................ 35
3 Fluidos ................................................................................................. 47
4 oscilações ............................................................................................61
5 ondas Mecânicas ............................................................................... 79
6 temperatura e Calor ........................................................................... 95
7 primeira Lei da termodinâmica ......................................................... 113
8 Segunda Lei da termodinâmica ........................................................133
9 Referências ........................................................................................153
umárioS
FÍSICA GERAL II
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5
CESAR CANESIN COLUCCI
Bacharel em Física pela Universidade Estadual de Campinas. Obteve seu mestrado (1978) sobre 
supercondutividade e seu doutorado (1993) trabalhando com materiais magnéticos pela mesma 
Universidade. Em 1993 foi pesquisador visitante no Max Plank Institut (Stuttgart-Alemanha). 
Desde 1983 é professor do Departamento de Física da Universidade Estadual de Maringá e 
atualmente ocupa o cargo de Professor Associado. 
JOÃO MURA
Possui graduação em Física (Licenciatura e Bacharelado) pela Universidade Estadual de 
Campinas (1975) e graduação em Direito pela Universidade Estadual de Maringá (1983). O 
professor Mura obteve sua especialização em Ensino de Física Experimental (1979), mestrado 
(2000) e doutorado em Física (2005) pela Universidade Estadual de Maringá. Desde 1976 é 
professor do Departamento de Física da Universidade Estadual de Maringá. Atualmente ocupa 
o cargo de Professor Associado. 
MAURÍCIO ANTONIO CUSTÓDIO DE MELO
Licenciado em Física pela Universidade Estadual de Maringá (1987), mestrado em Físico-Química 
pela Universidade Federal de Santa Catarina (1990), doutorado em Ciências Naturais – Física 
pela Technische Universität Braunschweig na Alemanha (1995) e realizou um pós-doutorado 
no Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas (1995-1997). Professor da Universidade Estadual de 
Maringá desde 1997, sendo atualmente Professor Associado. 
obre os autoresS
7
A coleção Formação de Professores – EAD – Física inicia-se com a aprovação do 
Curso de Educação à Distância em Física (Licenciatura) pela Secretaria de Educação 
a	Distância	 (SEED)	do	Ministério	da	Educação	 (MEC).	O	curso	 terá	 a	mesma	carga	
horária, disciplinas e ementas do curso presencial da Licenciatura em Física da Univer-
sidade	Estadual	de	Maringá.
O	grande	desafi	o	do	EAD-Física,	além	do	curso	em	si,	é	a	oportunidade	que	ele	
oferece	não	somente	aos	alunos,	mas,	sobretudo,	ao	corpo	docente	que	lhe	dá	sus-
tentação.	Esse	corpo	docente	terá	a	hercúlea	tarefa	de,	ao	fi	nal	dos	quatro	anos	de	
integralização	do	curso,	escrever	mais	de	trinta	livros	a	serem	ofertados	gratuitamente	
para o corpo discente.
Essa	primeira	edição,	já	o	reconhecemos,	conterá	falhas,	mas	serão	aquelas	típicas	
de	uma	atividade	pioneira,	baseada	numa	vontade	inequívoca	de	acertar,	de	propor-
cionar um material didático inédito nascido da prática docente de cada um dos autores 
e	organizadores	das	obras	editadas.
A	tiragem	da	primeira	edição	será	bastante	modesta,	contemplando	tão	somente	
o	número	de	discentes	e	docentes	inscritos	no	programa.	Em	2008,	oito	obras	serão	
editadas, uma para cada disciplina do curso. E assim em todos os anos sucessivos até 
a	integralização	do	curso	em	fi	nal	de	2011.	
A	princípio	serão	impressos	cerca	de	200	exemplares	de	cada	título,	uma	vez	que	
os livros serão utilizados como material didático para os alunos matriculados no Curso 
de Física, Modalidade de Educação à Distância, ofertado pela Universidade Estadual de 
Maringá,	no	âmbito	do	Sistema	UAB.
Cada	livro	traz	uma	vivência	dos	docentes	que	ajudaram	na	sua	organização,	sinte-
tizando	e	buscando	potencializar	os	conteúdos	que	permeiam	cada	disciplina.	Buscam	
um	processo	de	refl	exão,	 instigação	histórica	da	ciência	e	um	manuseio	dos	 instru-
mentos	que	defi	niram	a	física	e	a	matemática	que	subjazem	aos	fenômenos	físicos	que	
lhe	deram	origem.
presentação da ColeçãoA
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Com esse intuito, a presentecoleção construiu-se a partir do esforço de uma ab-
negada	parcela	de	docentes	do	Departamento	de	Física	(e,	também,	de	Matemática,	
Química,	Educação	e	Informática)	da	Universidade	Estadual	de	Maringá	(UEM),	e	de	
professores	convidados,	que	buscam	a	superação	da	inércia	educacional	que	produ-
ziu,	em	muitas	décadas,	uma	quantidade	irrisória	de	licenciados	em	Física	no	país.
Agradecemos	a	todos	os	colegas	da	UEM	e	demais	IES,	além	da	administração	cen-
tral	da	UEM,	que,	por	meio	da	atuação	direta	da	Reitoria	e	de	diversas	Pró-Reitorias,	
não	mediu	 esforços	 para	 que	 os	 trabalhos	 pudessem	 ser	 desenvolvidos	 da	melhor	
maneira	possível.	De	modo	bastante	específi	co,	destacamos	aqui	o	esforço	da	Reitoria	
para	que	os	recursos	para	o	fi	nanciamento	desta	coleção	pudessem	ser	liberados	de	
acordo	com	os	 trâmites	burocráticos	e	os	prazos	exíguos	estabelecidos	pelo	Fundo	
Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE).
No	que	se	refere	ao	Ministério	da	Educação,	ressaltamos	o	esforço	empreendido	
pela Diretoria da Educação a Distância (DED) da Coordenação de Aperfeiçoamento 
de Pessoal do Ensino Superior (CAPES) e pela Secretaria de Educação de Educação a 
Distância	(SEED/MEC),	que	em	parceria	com	as	Instituições	de	Ensino	Superior	(IES)	
conseguiram	romper	barreiras	temporais	e	espaciais	para	que	os	convênios	para	libe-
ração	dos	 recursos	 fossem	assinados	e	encaminhados	aos	órgãos	competentes	para	
aprovação,	tendo	em	vista	a	ação	direta	e	efi	ciente	de	um	número	muito	pequeno	de	
pessoas	que	integram	a	Coordenação	Geral	de	Supervisão	e	Fomento	e	a	Coordenação	
Geral de Articulação. 
Esperamos	que	essa	primeira	edição	da	Coleção Formação de Professores – EAD 
- Física possa contribuir para a formação dos alunos matriculados no curso de Física 
(mesmo	aquele	presencial),	bem	como	de	outros	cursos	superiores	à	distância	de	to-
das	as	instituições	públicas	de	ensino	superior	que	integram	e	possam	integrar	em	um	
futuro	próximo	o	Sistema	UAB.
Marcos Cesar Danhoni Neves
Organizador da Coleção
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A	Física	abrange	o	pequeno	e	o	grande,	o	velho	e	o	novo.	Do	movimento	de	elé-
trons	até	a	orbita	dos	planetas.	Do	estudo	da	termodinâmica	até	oscilações	de	um	ins-
trumento musical. Este livro didático de Física Geral II tem como objetivo ampliar um 
pouco	mais		o	elenco	de	aplicações	dos	conceitos	básicos	da	mecânica	e	abrir	novas	
fronteiras	de	conhecimento.	O	capítulo	1	apresenta	discussão	básica	sobre	gravitação,	
onde	os	conceitos	de	força,	energia	potencial	e	conservação	do	momento	angular	são	
essenciais.	Aqui	é	apresentado	a	vocês,	pela	primeira	vez,	o	conceito	de	campo.	No	ca-
pítulo	2	juntamos	aos	conceitos	de	força	e	torque	para	entender	o	estado	de	equilíbrio	
de	sistemas	mecânicos,	chamado	simplesmente	de	estática.	Para	o	estudo	dos	fl	uidos	
no	capitulo	3,		alguns	novos	conhecimentos	serão	estudados	utilizando	os	conceitos	
de	 força	e	energia.	Nos	capítulos	4	e	5	estudaremos	oscilações	e	ondas	mecânicas.	
Além	de	revermos	alguns	conhecimentos	básicos	de	mecânica,	este	estudo	será	a	base	
para	entendermos	futuramente,	por	exemplo,	as	ondas	eletromagnéticas	e	circuitos	de	
corrente alternada. Uma introdução ao estudo da termodinâmica é apresentada nos 
capítulos	6,	7	e	8,	onde	veremos	limitações	do	uso	dos	conceitos	básicos	da	mecânica	
para	descrever	fenômenos	que	envolvam	calor.	Ao	fi	nal	do	livro	espera-se	que	a	sua	
visão	seja	ampliada	e	que	você	aprenda	uma	série	de	novos	conhecimentos	importan-
tes na física, e, também, possa correlacioná-los com os já anteriormente aprendidos.
Cada	capítulo	tem	uma	série	de	exemplos,	que	têm		o	intuito	de	desvendar	a	você	
a	aplicação	dos	conhecimentos	estudados.	Eles	fazem	parte	integrante	do	texto,	por-
tanto devem ser refeitos e entendidos.
Ao		fi	nal		de		cada		capítulo	agrupa-se	um	conjunto	de	problemas.	Não	optamos	
por	uma	quantidade	excessiva,	mas	foram	escolhidos	de	tal	forma	a	conduzi-lo	a	expe-
riência	dirigida	de	compreensão	e	fi	xação	dos	conhecimentos.	Você,	aluno,	tem	como	
tarefa	fazer	os	problemas.	A	compreensão	e	fi	xação		têm	maior	sucesso	quando	cada	
um enfrenta a tarefa proposta.
Os	autores	dedicam	esta	obra	à	memória	da	Professora	Doutora	Marlete	Aparecida	
Zamprônio.	A	ela,	nosso	tributo	de	reconhecimento	pelo	esforço,	dedicação	e,	prin-
cipalmente, amizade demonstrada por ela em nossos anos de trabalho e convivência 
mútua.
presentação do livroA
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Gravitação1
1.1 Um pouco de história - Mundo ocidental
1.2 Leis de Kepler
 1.2.1 primeira Lei de Kepler
 1.2.2 Segunda Lei de Kepler
 1.2.3 terceira Lei de Kepler
1.3 Lei da Gravitação Universal de newton
1.4 o Campo Gravitacional
1.5 Corpos em Órbita Circular - Satélites
1.6 Energia potencial Gravitacional
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1 GRAVITAÇÃO
 
1.1 Um Pouco de História – Mundo Ocidental
Este capítulo está relacionado ao movimento de rotação de partículas ou corpos, 
em torno de um ponto fi xo, de um sistema de referência inercial. Está vinculado à mecânica 
de rotação dos corpos quando submetidos à ação de uma força central, principalmente, a 
força gravitacional, que é uma das propriedades da matéria. O movimento das estrelas, 
da Lua e do Sol pode ter uma explicação relativamente simples, considerando a 
rotação da Terra em torno de seu eixo, mas apresenta difi culdades quando analisamos o 
problema em sua plenitude, de forma quantitativa, levando em consideração as forças que 
os interligam.
Nossos ancestrais, muito provavelmente, ao presenciarem certos fenômenos que 
aconteciam à sua volta, devem ter sentido medo e curiosidade, misturando perplexidade 
com admiração. Os dias e as noites, o Sol, a Lua e as estrelas, a chuva, os relâmpagos, 
os trovões e o arco-íris, o calor e o frio, a água, o fogo e o gelo. Todos os eventos eram 
novidades que se repetiam com certa regularidade, infl uindo diretamente em suas 
vidas e pareciam estar ligados entre si. Procurar entender esses eventos era vital para a 
sobrevivência humana. É sob esse clima que o homem evoluiu até nossos dias e muitas de 
suas indagações ainda continuam sem respostas.
Com o passar do tempo, as observações sistemáticas dos fenômenos deram aos 
homens a possibilidade de fazer uso das mesmas para sua orientação e, a regularidade das 
ocorrências, permitiu o estabelecimento de calendários e a previsão de eventos. Com tais 
conhecimentos, ainda que rudimentares, foi possível criar metodologias que possibilitaram 
o surgimento de uma ciência vinculada às necessidades básicas de sobrevivência. A 
Astronomia, cujo objetivo, dentre outros, consiste na observação dos astros, estudando 
seus movimentos, posições e evolução ao longo de períodos pré-estabelecidos, respondia 
à necessidade de uma ciência causalista e previsora.
A Astronomia pré-histórica, atualmente estudada em conjunto por astrônomos 
e arqueólogos, já acumulava conhecimentos a respeito dos movimentos do Sol, da Lua, 
das estrelas e de grupamentos estelares. Além disso, observada a regularidade com que 
o Sol nascia e desaparecia, foi possível estabelecer uma unidade temporal, chamada de 
dia. Observando as variações que ocorriam na Lua e que, após certo tempo, retornava à 
mesma situação e posição em relação às estrelas, o homem primitivo pôde estabelecer 
outra unidade temporal repetitiva, denominada de mês lunar (mês das fases). 
Também, foi possível estabelecer a duração do ano ( ainda que impreciso quando 
comparado ao atual) e as estações do ano com suas variações climáticas. O caminhar 
errante de certas “estrelas” e a existência de estrelas que pareciam estar fi xas no céu, mas 
que, ao longo de certo período, desapareciam no horizonte de um lado da Terra surgindo 
no outro lado, instigavam a contagem do intervalo temporal. Muitas outras observações 
encontram-se registradas em pinturas rupestres nas cavernas, em esculturas e em gravações 
em blocos de pedras devidamente orientados em relação aoSol nascente.
Com a invenção da linguagem escrita (escrita cuneiforme) pelos povos que 
habitavam a região da Mesopotâmia (atualmente onde encontra-se o Iraque), os registros 
dos fatos e fenômenos permitiram que o conhecimento acumulado fosse compartilhado 
com outros povos. Além da observação prática, ao utilizar os conhecimentos matemáticos 
existentes, os mesopotâmicos estabeleceram um sistema sexagesimal de numeração, 
dividindo o círculo em 360 graus, cada grau em 60 minutos e cada minuto em 60 
segundos. Observando o movimento aparentemente circular do Sol e das estrelas “fi xas”, 
estabeleceram a duração do período iluminado (dia) e do período escuro (noite) em doze 
partes iguais (horas). Cada hora foi dividida em 60 minutos e cada minuto em 60 segundos, 
tal como utilizamos hoje. Determinaram o ano trópico, o período de lunação (mês das 
13
Gravitação
fases), a inclinação da trajetória anual do Sol por entre as estrelas (eclíptica). Perceberam, 
ainda, que a velocidade da Lua não era constante ao rotacionar a Terra; previram eclipses 
lunares (período de Saros); estabeleceram o Zodíaco (faixa em torno da eclíptica onde 
podem ser encontrados os planetas e as constelações) e a duração da semana, onde cada 
dia representava um deus-planeta, cujos ciclos de adoração de sete dias, coincidiam com 
o período de tempo das quatro fases lunares. Desenvolveram e utilizaram equipamentos 
primitivos, tais como o gnomon, a clepsidra e o pólo, para a compreensão dos fenômenos 
do céu.
Os egípcios desenvolveram, também, uma linguagem escrita (hieróglifos) 
gravadas em papiro (“primogênito” do nosso papel), onde parte de textos e documentos 
se perdeu no tempo pela inexorável deteriorização do material utilizado. Estabeleceram 
um calendário anual baseado nas enchentes e secas do rio Nilo, em cujas margens o 
império egípcio nasceu e morreu, além de um elaborado calendário lunar. Construíram 
grandes pirâmides com as faces voltadas para os quatro pontos cardeais. Desenvolveram 
instrumentos específi cos como o merkhet, uma espécie de gnomon, aperfeiçoaram a 
clepsidra e construíram um relógio de sol, onde a sombra de um eixo (representando o 
eixo polar) indicava as horas do dia.
A Grécia Antiga deixou um legado importantíssimo para a Ciência Moderna. 
Utilizando-se dos conhecimentos mesopotâmicos e egípcios anteriores, os gregos 
desenvolveram a matemática, a astronomia, a poesia e a literatura de forma ímpar. 
Historicamente, a astronomia grega originou-se com Thales de Mileto (século VI a.C.), 
cujos discípulos previram a curvatura da Terra e o brilho da Lua como refl exo da luz 
solar. Pitágoras de Samos admitiu a esfericidade da Terra e contribuiu enormemente com 
a matemática da época. É lembrado em nossos dias através de sua imortal contribuição, 
batizada de “Teorema de Pitágoras”. A partir de Pitágoras e seus discípulos, a Astronomia 
teórica grega teve forte desenvolvimento, principalmente através da construção de 
modelos para explicar os movimentos dos planetas (estrelas errantes), da Terra, do Sol e 
da Lua. 
Aristóteles de Estagira, que viveu no século IV a.C., é considerado um dos 
maiores sábios da Antiguidade. Discípulo de Platão, outro gigante da cultura grega, 
afi rmava que nosso universo era fi nito e limitado pela esfera das estrelas fi xas, além da 
qual nada existiria. Propunha uma estrutura hierarquizada do universo, possuindo cinco 
elementos primordiais, sendo quatro pertencentes a Terra (terra, água, ar e fogo) e um 
elemento divino, o éter, que preencheria os céus e seria o símbolo da perfeição. Acreditava 
nas formas perfeitas dos círculos e esferas e que a Terra estava no centro do Universo, 
não possuindo movimento de rotação ou de translação (geocentrismo). O pensamento 
aristotélico, principalmente aquele que dizia ser a Terra o centro do universo, perdurou 
por quase 2 mil anos, até ser enterrado pela proposição do modelo heliocêntrico.
Coube a Aristarco de Samos, que viveu entre os séculos III e II a.C. em Alexandria, 
no norte do Egito, a proposição de que o Sol seria o centro do universo (heliocentrismo) 
e não a Terra, propondo, inclusive, que esta deveria ter movimento de rotação em torno 
de seu eixo polar e translação em torno do Sol. Em decorrência de tais idéias, quase 
foi declarado ímpio (herege, infi el), uma punição severíssima para a época. Propôs uma 
metodologia para medir a distância Terra-Sol, utilizando a distância Terra-Lua como 
unidade. Elaborou, ainda, uma classifi cação das estrelas quanto ao brilho, admitindo que 
as mesmas encontravam-se a distâncias diferentes em relação à Terra. Propôs, também, 
o método do eclipse para determinar o tamanho e a distância da Lua. Além de Aristarco, 
a Escola de Alexandria teve importantes matemáticos e astrônomos, destacando-se 
Eratóstenes, Hiparco e Ptolomeu.
Eratóstenes, além da construção da tábua de números primos (conhecida como 
“crivo de Eratóstenes”), construiu, também, um sistema de coordenadas geográfi cas. 
Escreveu vários tratados sobre as posições de estrelas, porém, o trabalho mais 
importante foi a determinação das dimensões da Terra, pelo método conhecido como 
FÍSICA GERAL II
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“poço de Siene”, quando determinou o comprimento da circunferência terrestre, seu 
raio, superfície e volume. Hiparco de Nicéia, considerado um dos maiores astrônomos 
da Antiguidade, escreveu vários tratados sobre Astronomia, Geografi a, Matemática e 
Mecânica, infelizmente, perdidos no tempo, mas lembrado em citações de seus colegas. 
Inventou o astrolábio, instrumento para a determinação de distâncias angulares, utilizado, 
inclusive, pelos navegantes do século XV e XVI, descobridores do continente americano. 
Utilizou a hipótese do movimento circular uniforme para explicar o movimento do 
Sol, da Lua e dos planetas conhecidos à época. Era defensor das idéias geocêntricas de 
Aristóteles. Confeccionou um catálogo estelar dando nome às estrelas e estabelecendo 
suas coordenadas eclípticas. Sistematizou a trigonometria plana e esférica e determinou o 
ano trópico com grande precisão. Descobriu o movimento de precessão dos equinócios, 
calculando seu período temporal (cerca de 26 mil anos).
Após Hiparco, o último grande astrônomo grego foi Cláudio Ptolomeu, que 
viveu já na era cristã (século II d.C.). Em seu livro, Almagesto (em árabe, Hi Magisti 
Sintaxe), difundiu ao mundo as idéias geocêntricas de Aristóteles, criando um modelo 
complicado de deferentes, epiciclos, excêntricos e equantes, que proporcionou a descrição 
dos intricados movimentos dos planetas, do Sol e da Lua. Este modelo fi cou conhecido 
como “modelo geocêntrico de Ptolomeu”, sendo o universo limitado à esfera das estrelas. 
No modelo ptolomaico, a Terra era o centro do Sistema Solar, de tal forma que todos 
os planetas conhecidos, inclusive o Sol e a Lua, gravitavam ao seu redor (fi gura 1.1)1. 
O modelo geocêntrico foi aceito por mais de quinze séculos, infl uindo enormemente na 
Filosofi a, na Literatura, nas Artes e nas ciências da época. Ptolomeu também descobriu 
a refração da luz na atmosfera terrestre e o movimento de evecção da Lua (variação da 
excentricidade da órbita lunar). 
Após Ptolomeu, a Astronomia não encontra mais sustentação e, praticamente, 
desaparece dos interesses da época. O pensamento religioso cristão e a falta de interesse 
sobre o assunto pelo Império Romano, atuaram no sentido de minimizar as idéias científi cas, 
induzindo ao esquecimento todo trabalho desenvolvido até então. O pensamento grego 
praticamente desaparece e, somente no século VII d.C., como resultado da invasão da 
Europa pelos árabes, é que o pensamento grego começa a ser redescoberto. Os árabes 
iniciam a tradução do conhecimento grego para o árabe e, dessa forma, contribuem para 
sua conservação e divulgação. A partir do século IX, membros da Igreja Católica começam 
a traduzir os textos árabes para o latim, principalmente as idéias aristotélicas, que são 
abraçadas, adotadas e tidas como verdadeiras. O pensamento escolástico,decorrente da 
fusão do pensamento grego com o cristão, a partir do século XII, propicia o aparecimento 
de centros de estudos que reuniam os grandes pensadores da época, surgindo, assim, as 
Universidades. 
O pensamento aristotélico, ensinado nas Universidades até meados do século 
XVI, tornou-se o pensamento ofi cial. Porém, o renascimento das idéias, das artes, das 
ciências foi aos poucos demolindo a conservadora e inquisitorial Idade Média. Em 1543, 
ano de sua morte, o monge polonês Nicolau Copérnico apresentou uma nova teoria sobre 
o Universo, resgatando velhas idéias gregas do heliocentrismo de Heráclides e Aristarco. 
Segundo o modelo de Copérnico, o Universo é constituído por sete esferas concêntricas, 
sendo a mais externa, a esfera das estrelas, e a mais interna a esfera de Mercúrio. Todas 
as esferas, exceto aquela das estrelas, giravam em torno de um ponto central, onde se 
localizava o Sol, daí o modelo ter sido batizado de “modelo Heliocêntrico de Copérnico”.
 Nota-se, ainda, que o Universo continuava limitado à esfera das estrelas fi xas, 
porém, afi rmava Copérnico, que a Terra era um planeta e que todos os planetas giravam 
ao redor do Sol. Coube a Giordano Bruno, defensor ardoroso das idéias humanistas de 
Platão, divulgar o modelo heliocêntrico, propondo, inclusive, a infi nitude do Universo. A 
1 Na verdade, o universo geocêntrico ptolomaico incluía a idéia de uma Terra ligeiramente descentrada (excên-
trico).
Figura 1.1 - Modelo Ge-
ocêntrico de Ptolomeu 
(simplifi cado).
Figura 1.2 - Modelo He-
liocêntrico de Copérnico 
(simplifi cado).
Deferente
de Marte
Lua
Terra Mercurio
Vênus
Sol
Marte
Epiciclóide
de Marte
15
Gravitação
defesa destas posições custou-lhe a vida em 1600, quando foi queimado vivo em praça 
pública por ordem da Santa Inquisição da Igreja Católica.
Outro grande astrônomo do Renascimento foi Tycho Brahe (segunda metade do 
século XVI). Apesar de ter ligações com as idéias aristotélicas, teve o grande mérito de 
realizar inúmeras observações planetárias e estelares de grande precisão. Utilizando os 
preciosos dados coletados pelo seu mestre Tycho Brahe, o astrônomo Johannes Kepler 
(1571-1630), principalmente, ao estudar os movimentos de planeta Marte, descobriu 
regularidades importantes, levando-o a propor três relações básicas sobre o movimento 
planetário, posteriormente batizadas por Newton de “leis de Kepler”. Seu contemporâneo 
de pesquisas, Galileu Galilei (1564-1642), introduziu o uso do telescópio nos estudos 
astronômicos realizando importantes descobertas com sua luneta refratora. As montanhas 
e crateras da Lua, os satélites de Júpiter, as manchas solares, as estrelas difusas da Via 
Láctea, além das visíveis a olho nu, as fases de Vênus, dentre outras, foram as descobertas 
mais espetaculares da nova astronomia ótica de Galileu. O sábio italiano, ademais, realizou 
estudos sobre o plano inclinado, o período pendular, o movimento relativo dos corpos e 
a razão matemática de um corpo em queda livre. Por sua contribuição experimental às 
ciências, é considerado o pai do método experimental nas ciências físicas. Também sofreu 
a ira da Inquisição e quase teve o fi m trágico de Giordano Bruno.
“Se eu vi mais longe [do que outros] é porque me encontrava em ombros de 
gigantes”, disse o próprio Isaac Newton (1642-1727), que nasceu no ano em que Galileu 
morreu. Newton propôs a Lei de força sobre a Gravitação Universal, estabelecendo as 
bases da Mecânica Celeste. A Lei da Gravitação Universal foi um marco fundamental 
nos estudos astronômicos, pois conseguia explicar os motivos da atração entre os corpos 
celestes, estando eles nas vizinhanças da Terra ou nos confi ns do espaço. Newton inventou, 
também, o cálculo diferencial e integral; propôs a teoria corpuscular da luz; realizou 
estudos sobre suas cores e seus espectros. Inventou, também, o telescópio refl etor e, para 
culminar, descobriu as leis da mecânica clássica, batizadas, mais tarde, como as “três leis 
de Newton”. A Lei da Gravitação Universal de Newton, as três leis de Kepler e outros 
estudos decorrentes, serão tratados neste capítulo.
1.2 Leis de Kepler
A constante controvérsia sobre as teorias geocêntrica e heliocêntrica estimulou os 
astrônomos a realizarem medidas cada vez mais precisas dos movimentos planetários. Um 
conjunto de medidas obtidas pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, com um grande 
sextante e uma bússola ao longo de mais de vinte anos de observação planetária e estelar a 
olho nu, permitiu que seu discípulo, o astrônomo alemão Johannes Kepler, estabelecesse 
três leis empíricas para o movimento planetário, válidas para todos os planetas do Sistema 
Solar conhecidos à época (Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno).
Analisando cuidadosamente os dados sobre o movimento dos planetas, 
principalmente, do planeta Marte, Kepler percebeu importantes regularidades em seu 
movimento em torno do Sol se deixasse de trabalhar com órbitas circulares concêntricas. 
Acabou adotando órbitas elípticas com o Sol ocupando um de seus focos. Percebeu, então, 
que poderia generalizar seu pensamento para os outros planetas, construindo, assim, as 
bases da mecânica celeste. Seu modelo continuaria a ser heliocêntrico, mas as órbitas 
não seriam mais círculos perfeitos como propunham os astrônomos gregos e Nicolau 
Copérnico. É importante salientar que Kepler não concebia as forças gravitacionais como 
causa das regularidades observadas por ele, pois o conceito de força, posteriormente 
formulado por Newton, ainda não estava claro para os astrônomos da época. Kepler 
acreditava que o que ligava os planetas às suas órbitas ao redor do Sol era uma força de 
origem magnética.
Antes de apresentarmos as Leis de Kepler, é importante ressaltar que o modelo 
heliocêntrico de Copérnico proporcionou uma troca de referencial importante. No 
FÍSICA GERAL II
16
modelo geocêntrico de Ptolomeu, a Terra desempenhava o papel de referencial inercial ao 
descrever o movimento das estrelas e dos planetas conhecidos. No modelo geocêntrico, 
além da Terra ser classifi cada como um planeta, o referencial inercial passou a ser o Sol, 
muito mais adequado quando se estuda o movimento planetário. O referencial inercial 
fi xo no Sol, não girante, tem inúmeras vantagens em relação ao referencial fi xo na Terra e 
girante. Somente quando tratamos de corpos ou partículas próximos à superfície terrestre 
é que podemos considerar a Terra como referencial inercial. 
1.2.1 Primeira Lei de Kepler
Normalmente, ao tratarmos de corpos (ou partículas) que executam órbitas em 
torno de um ponto central, consideramos as órbitas como circulares. A primeira Lei 
de Kepler apresenta outra visão das órbitas, não as considerando mais como círculos 
perfeitos, mas sim, como elipses. A órbita circular é um caso especial da órbita elíptica. A 
lei das órbitas, como é conhecida a primeira lei de Kepler, diz que
“ To d o s o s p l a n e t a s s e m o v e m e m ó r b i t a s e l í p t i c a s , 
e s t a n d o o S o l e m u m d o s s e u s f o c o s ” .
A lei enunciada não explicita a causa do movimento e nem porque a órbita é elíptica. 
É uma lei empírica que descreve somente o movimento dos planetas em torno do Sol, sem 
qualquer explicação ou dedução teórica. Coube a Newton, mais de um século depois, 
deduzir as leis de Kepler a partir das leis gerais do movimento para sistemas mecânicos e 
da Lei da Gravitação Universal, que é uma lei de força aplicável ao movimento planetário, 
interagindo à distância. A primeira lei de Kepler é, inclusive, uma consequência direta 
da lei de força central (força que varia com o inverso do quadrado da distância entre os 
centros dos corpos envolvidos, para o caso gravitacional). Sua dedução, a partir das leis de 
movimento e da Lei de Gravitação, não 
é tão simples, pois depende de equações 
diferenciais não estudadas até aqui.
Figura 1.3 - Órbita elíptica de um planeta, com 
o Sol ocupando um dos focos. Periélio e Afélio 
representam, respectivamente,o ponto mais 
próximo do Sol e o ponto mais distante deste 
ocupado por um planeta.
O ponto da órbita mais próximo do Sol é chamado de periélio e o mais afastado de 
afélio. Para um corpo circulando a Terra, o ponto mais distante que este ocupa na órbita é 
chamado de apogeu e o mais próximo, de perigeu. O raio médio da órbita do planeta rmédio 
é a média aritmética entre as duas distâncias ao centro do Sol (periélio e afélio), ou, o que 
é equivale dizer que: o raio médio é o valor do semi-eixo maior da elipse, a.
a
dd
rmédio =
+
=
2
maxmin .
De acordo com a fi gura 1.4, a dimensão 
maior corresponde ao eixo maior da elipse e a 
dimensão menor corresponde ao eixo menor da 
elipse.
 Figura 1.4 - Semi-eixos de uma elipse.
Periélio
Planeta
dmáxdmín
Sol
F1 F2
Afélio
Semi-eixo
menor Semi-eixo
maior
Centro
Planeta
Sol
A B
F1
F2
17
Gravitação
Calculando a distância que une o foco S até o planeta (foco do Sol até o planeta) 
e do foco S’ até o planeta (foco vazio até o planeta), veremos que a soma das distâncias 
será a mesma para todos os pontos sobre a curva (órbita), independentemente de onde 
o planeta se encontra. O Sol ocupa um dos focos e, no outro, não há nada (foco vazio). 
Podemos considerar, também, o Sol e os planetas como partículas, pois suas dimensões 
são muito menores do que a distância entre eles.
As órbitas dos planetas não são elipses muito alongadas, como sugerem as fi guras 
1.3 e 1.4. Na realidade, as órbitas planetárias são quase circunferências e o elemento 
geométrico que diferencia uma circunferência de uma elipse é um parâmetro denominado 
excentricidade, simbolizado pela letra e (fi gura 1.5). A distância de cada foco da elipse 
até seu centro (cruzamento dos eixos) é igual a ea, sendo e um número adimensional 
(excentricidade da elipse) com valor positivo entre zero e um (0 ≤ e ≤ 1), e a, o raio médio 
da órbita (semi-eixo maior rmédio=a ). Quando e = 
0, a elipse transforma-se em uma circunferência 
e, para excentricidades maiores que um, obtém-
se parábolas e hipérboles. 
As órbitas planetárias são aproximadamente 
circulares, com a excentricidade variando de 
0,007 (Vênus) até 0,206 (Mercúrio). A da Terra 
corresponde a e= 0,017. A maior excentricidade 
corresponde àquela de Plutão, com e=0,25. 
Newton demonstrou que, quando uma força 
proporcional a 1/r2 (força central) atua sobre 
um corpo (corpo ligado ao centro de força 
gravitacional), as únicas órbitas fechadas possíveis são as elipses e as circunferências 
(planetas, asteróides, cometas, luas ligadas aos planetas ou ao sol). Para corpos não 
ligados, como os meteoróides do espaço longínquo e que passam somente uma vez perto 
do Sol, ainda continua válida a lei do inverso do quadrado à distância, mas as órbitas 
possíveis são as parábolas e as hipérboles.
1.2.2 Segunda Lei de Kepler
A velocidade que um planeta circula o Sol não é igual em todos os pontos da 
órbita, sendo maior quando o planeta está mais próximo do Sol (periélio) e menor quando 
está mais distante (afélio), portanto, a velocidade de translação dos planetas é variável. Do 
afélio para o periélio, o movimento é acelerado e do periélio para o afélio, o movimento 
é retardado. A explicação física para tais variações na velocidade do planeta está baseada 
na força de atração gravitacional que o 
Sol exerce sobre o planeta. Essa força 
está sempre dirigida para o centro de 
massa do Sol (força central). Podemos 
ver pela fi gura 1.6 que, do afélio 
para o periélio, a força gravitacional 
possui uma componente tangencial no 
sentido da velocidade de translação, 
“ajudando” o movimento, enquanto 
que, do periélio para o afélio, a 
componente da força é contrária à 
velocidade de translação, retardando 
o movimento.
Figura 1.6 - Componentes da força gravitacional no
movimento de translação planetária.
Mov
imen
to
acel
erad
o
Movimentoretardado
Periélio Afélio
F1
F2
Ft2
V2
V1
Ft1
 Figura 1.5 - Excentricidade das órbitas.
FÍSICA GERAL II
18
Na fi gura 1.7 estão representadas 
as áreas A1 e A2 varridas pelos vetores-
posição do planeta. Os intervalos de tempo 
são Δt1 e Δt2. Se os intervalos de tempo são 
iguais, então, as áreas varridas também 
serão iguais, ou seja, A1 = A2. Tendo 
descoberto esta relação, Kepler enunciou 
sua segunda regra (a primeira e segunda 
lei foram publicadas em 1609, no livro 
Astronomia Nova), também conhecida 
como lei das áreas, como sendo:
“A reta (raio vetor) que une o Sol a qualquer planeta descreve (varre) áreas iguais 
em intervalos de tempos iguais.”
Devido à excentricidade da órbita, 
o espaço percorrido (deslocamento escalar) 
pelo planeta na região do periélio (ΔS1) é 
maior que o espaço percorrido na região 
do afélio (ΔS2), ou seja, ΔS1 > ΔS2 (fi gura 
1.8). Em termos de velocidade média de 
translação, podemos dizer que ela é maior 
na região do periélio do que na do afélio. 
É possível demonstrar a segunda lei de Kepler através do princípio de conservação 
do momento angular, considerando o planeta como sistema e supondo que a massa do Sol 
seja muito maior que a do planeta, de tal forma que o Sol permanece em repouso no centro 
de força (força central). É importante salientar que a segunda lei de Kepler é válida para 
qualquer força central, de atração ou de repulsão.
Quando é inverno no Hemisfério Norte (janeiro), a Terra está mais próxima do Sol 
(periélio) do que quando é verão (julho). Para o Hemisfério Sul é o inverso. Em função 
da órbita da Terra em torno do Sol ser uma elipse ligeiramente achatada, as durações das 
estações não possuem a mesma quantidade de dias. E se a órbita fosse uma circunferência, 
como seria a duração das estações?
1.2.3 Terceira Lei de Kepler
Aproximadamente 10 anos de dedicação ao estudo pormenorizado das tabelas de 
Tycho Brahe, Kepler visualizou uma relação entre o período de revolução e o raio médio 
da órbita dos planetas, que fi cou conhecida como 3ª lei de Kepler. A terceira lei de Kepler, 
também conhecida como lei dos períodos (ou lei harmônica – derivada da harmonia 
musical), geralmente é deduzida nos livros textos considerando-se órbitas circulares. A 
dedução baseia-se nas leis de força de Newton (Lei da gravitação e 2ª lei da Mecânica). 
O raio da órbita é o raio médio r (semi-eixo maior) e o período de revolução (translação) 
é o ano sideral do planeta T (TTerra = 1 ano). Com exceção de Mercúrio, Marte e Plutão 
(que não é mais considerado planeta, atualmente), todos os outros possuem órbitas quase 
circulares (pouco “achatadas”). Mesmo para órbitas elípticas, a terceira lei de Kepler 
continua válida. Nestes termos, a terceira lei pode ser enunciada da seguinte forma:
“O quadrado do período de translação (T2) de qualquer planeta é proporcional ao cubo 
do semi-eixo maior da órbita elíptica (r3).”
tA
rA
rD
tD
∆t1 A1
rB
rC
∆t2
tC
tB
A2
∆s1 A1
∆s2A2
Periélio Afélio
Figura 1.7 - Lei das áreas. 
Figura 1.8 - Deslocamentos escalares e velocidades.
QUESTÃO 1.1
 Em seu periélio, o 
planeta Mercúrio está a 
4,60 x 107 km do Sol. 
No seu afélio, encon-
tra-se a 6,99 x 107 km, 
e sua velocidade orbital 
é de 14,00 x 104 km/h. 
Qual será sua velocida-
de orbital no periélio? 
Sugestão: Fazer uso do 
princípio de conserva-
ção do momento angu-
lar como constante do 
movimento.
19
Gravitação
Matematicamente temos:
K
r
T
=3
2
.
O valor de K é constante (em torno de 1) para todos os planetas, conforme pode 
ser visto na tabela 1. Outras tabelas, que colocam o período de revolução em dias ou em 
segundos e a distância média Terra-Sol (semi-eixo maior da elipse) em metros (m) ou 
quilômetros (km), dão valores de K diferentes de 1, mas os novos valores obtidos para 
todos os planetas são sempre os mesmos (constantes).
Tabela 1.1 A 3ª lei de Kepler – Dados dos planetas.
Note que o período de revolução em torno do Sol e os raios médios de suas órbitas 
são diferentes para cada planeta, mas o quocientedo quadrado do período pelo cubo 
do raio médio resulta numa constante aproximadamente igual à unidade. As pequenas 
diferenças são justifi cadas pelas incertezas nas medidas para os períodos e semi-eixos 
maiores das órbitas dos planetas. 
É importante observar que o período de revolução não depende da excentricidade 
da órbita. Por exemplo, um asteróide movendo-se em uma órbita elíptica achatada 
(semi-eixo maior r), terá o mesmo período de revolução que um planeta que descreve 
uma órbita circular com o mesmo raio r. A diferença está nas suas velocidades, pois o 
asteróide possuirá velocidades variáveis ao longo da órbita elíptica, enquanto o planeta 
terá velocidade constante (MCU – movimento circular uniforme).
As três leis de Kepler são leis universais, ou seja, valem para o nosso sistema 
solar e também para outros sistemas do Universo onde exista uma grande massa central 
atraindo massas menores, inclusive para planetas e seus satélites, naturais ou artifi ciais 
(como a Terra). Vale, inclusive, para grandes estruturas do Cosmos como, por exemplo, a 
massa de bilhões de estrelas ao redor do centro galático.
EXEMPLO 1.1
A distância média do sistema Terra-Sol é de 1,50 x 108 km, e o período de revolução da Terra 
em torno do Sol é de 1 ano. A distância média do sistema Marte-Sol é de 2,28 x108 km. Qual o 
período de revolução de Marte ao redor do Sol?
Solução:
Aplicando a Lei dos períodos, temos:
 
3
2
3
2
T
T
M
M
r
T
r
T
=
Substituindo os valores dados no problema, e sabendo que 1 ano = 365 dias, fi camos com 
TM ≈ 682 dias
FÍSICA GERAL II
20
1.3 Lei da Gravitação Universal de Newton
No ano de 1665, a Inglaterra sofria uma grande epidemia de peste e para escapar da 
morte certa, Newton refugiou-se na casa de seus pais, na pequena aldeia de Woolsthorpe, 
pois a Universidade de Cambridge fôra fechada. Naquela época, aos 23 anos de idade, 
Newton estava preocupado em saber qual a causa que mantinha a Lua girando em torno da 
Terra. Usando a fórmula da aceleração centrípeta proposta por Huygens, Newton calculou 
sua aceleração centrípeta, supondo ser a órbita da Lua circular. Realizado o cálculo, fez a 
si próprio uma pergunta intrigante: qual seria a fonte da força que produz tal aceleração? 
A indagação a respeito da causa que mantinha a Lua acelerada foi a linha mestra para 
o pensamento de Newton. Consta na história que Newton, ao observar a queda de uma 
maçã no pomar, indagou: “será que a força que fez a maçã cair não seria do mesmo tipo 
daquela que mantém a Lua girando ao redor da Terra?”. Com base nessa indagação, 
o cientista inglês considerou a hipótese de que cada corpo no universo exerce uma força 
sobre todos os outros corpos ao seu redor.
A aceleração centrípeta da Lua calculada por ele induziu ao pensamento de que 
a causa da rotação da Lua e da queda da maçã seria a mesma. Deveria haver uma força 
comum que fosse responsável por tais movimentos. Tal força, denominada de força 
gravitacional, é o fundamento da lei de atração entre massas, conhecida por Lei da 
Gravitação Universal de Newton. Em conjunto com as três leis de movimento, Newton 
publicou, em 1687, a lei da gravitação. Estas leis são os pilares da Mecânica Clássica. A 
lei da gravitação de Newton pode ser enunciada como:
“A força entre duas partículas quaisquer, de massas m1 e m2, separadas por uma distân-
cia r entre seus centros, é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inver-
samente proporcional ao quadrado da distância que as separam”.
Matematicamente, o módulo da força gravitacional é dado por
2
21
r
mmGFg = .
onde G é uma constante universal, calculada experimentalmente pela primeira vez por 
Lorde Cavendish, em 1798. Atualmente, seu valor é igual a,
G = 6,673 x 10-11 Nm2/kg2.
EXEMPLO 1.2
Calcule o módulo da força gravitacional entre o Sol e a Terra, sabendo-se que a distância Ter-
ra-Sol é de 150 milhões de quilômetros e suas massas são: MS =2 x 10
30 kg e MT = 6 x 10
24 Kg.
Solução:
Aplicando a Lei da Gravitação Universal de Newton, fi camos com
 
2
.S T
g
ST
M MF G
r
=
Substituído os valores, temos que Fg = 3,6 x 10
22 N. É uma força atrativa muito grande!
Com relação à Lei da Gravitação Universal devemos destacar alguns aspectos 
fundamentais:
1- A força gravitacional entre duas partículas é atrativa e constitui um par ação-
reação (3ª Lei de Newton), agindo ao longo da linha que une seus centros. 
Assim, as forças possuem o mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos 
opostos. Matematicamente, em termos vetoriais, temos
12 21F F= −
 
Figura 1.9 - Força gravi-
tacional entre duas partí-
culas.
21
Gravitação
2- A constante universal G não deve ser confundida com a aceleração 
gravitacional g, provocada pela atração gravitacional da Terra sobre um corpo 
de massa m. Suas dimensões são diferentes, uma vez que a constante G possui 
um valor único para todo par de partículas que se atrai em qualquer ponto do 
Universo e, além disso, é uma grandeza escalar. A aceleração gravitacional 
g é um vetor, não sendo universal e nem constante, uma vez que depende 
do ponto onde a partícula (corpo) se encontra em relação à Terra (ou de um 
planeta qualquer), tomada como referencial inercial.
3- A Lei da Gravitação Universal de Newton é uma lei de força simples, 
considerada uma força fraca quando comparada às forças elétricas, 
magnéticas e nucleares, não sendo entendida como uma equação de defi nição 
de nenhuma das grandezas envolvidas nela (força, massa e comprimento). A 
lei da gravitação entre partículas relaciona-se somente com as propriedades 
mensuráveis das partículas envolvidas, implicando na idéia de que a força 
gravitacional entre elas independe da presença de outras partículas e das 
propriedades do espaço intermediário.
4- Quando nos referimos aos corpos extensos como, por exemplo, a Terra e o 
Sol, a lei continua válida, mas devemos considerar cada corpo como composto 
de inúmeras partículas, calculando as interações (forças) entre elas, par a 
par, corpo a corpo, através do cálculo integral (também desenvolvido por 
Newton). Quando se trata de esferas uniformes é possível considerar a idéia 
do centro de massa para o cálculo da força gravitacional. O que se verifi ca 
é que o cálculo da interação entre dois corpos que possuem distribuições de 
massa com simetria esférica (esferas maciças ou ocas) é o mesmo da interação 
gravitacional entre duas partículas localizadas em seus centros e possuindo 
suas massas.
5- Quando tratamos a Terra como um corpo esférico de massa MT, a força 
gravitacional (módulo) que ela exerce sobre uma partícula ou sobre um corpo 
esférico de massa m, com separação entre seus centros igual a RT, é dada por,
2
T
T
g R
mMGF = .
para o corpo ou partícula situado na parte externa da crosta terrestre. Uma 
força de mesmo módulo, atuando na mesma direção, mas de sentido contrário 
é feita pelo corpo ou partícula sobre a Terra (lei da ação-reação). Pergunta: 
Quando você pula de uma escada, porque é você que cai em direção a Terra 
e não é a Terra que sobe até você?
Para pontos situados no interior da Terra (abaixo da superfície externa) o 
cálculo é diferente. À medida que caminharmos para o interior da Terra 
ou de qualquer corpo esférico, somente a massa que está abaixo é que 
exerce força gravitacional sobre nós. As partes que se situam acima do 
local onde nos encontramos não têm efeito atrativo. Se chegássemos ao 
centro da Terra, por exemplo, a força gravitacional seria nula. Por quê? 
Se abríssemos um túnel reto que passasse pelo centro da Terra e saísse do 
outro lado e soltássemos um corpo de massa m em uma das aberturas do 
túnel, ele executaria um movimento retilíneo uniformemente acelerado até 
o centro da Terra (velocidade máxima) e depois seria desacelerado até atin-
gir a superfície oposta da Terra (velocidade nula). O corpo executaria um 
movimento harmônico simples, como se fosse um pêndulo simples, com 
período constante, desde que desprezadas as forças dissipativas.
Figura 1.10 - Forçagravitacional entre 
corpos com simetria 
esférica (partículas).
R2
Fg
Fg
R1
m1
m2
r
Fg
Fg
m1
m2
r
FÍSICA GERAL II
22
6- A força gravitacional varia com o inverso do quadrado da distância entre 
o centro dos dois corpos esféricos que se atraem, ou seja, varia com 1/r2. A 
variação da força F em função da distância d (d=r) pode ser visualizada na 
fi gura 1.11.
Obs.: Dois corpos quaisquer sempre se atraem gravitacionalmente, 
independentemente do valor de suas massas ou de suas dimensões. Pelo fato da constante 
G ser muito pequena, a intensidade (módulo) da força atrativa só se torna apreciável se 
uma das massas for muito grande, como, por exemplo, a Terra. É por esse motivo que 
duas pessoas próximas não sentem as atrações gravitacionais de uma sobre a outra, mas 
as forças atrativas existem! Também, deve ser levada em consideração a distância entre 
os corpos.
1.4 O Campo Gravitacional
Na época de Newton, pensava-se a força gravitacional como se fosse uma interação 
direta entre as massas, conhecida como teoria da ação à distância, posteriormente 
descartada porque pressupunha que a interação seria instantânea, com velocidade infi nita. 
O conceito de campo (teoria dos campos) só foi desenvolvido bem depois, por Faraday, 
para o estudo do eletromagnetismo e, posteriormente, aplicado à gravitação. O conceito 
de campo leva em consideração que uma partícula de massa M provoca uma alteração 
no espaço em sua volta, criando um campo gravitacional, que atua sobre qualquer outra 
partícula que penetra na região, exercendo sobre a segunda uma força gravitacional 
atrativa. Desse ponto de vista, o campo desempenha o papel de intermediário com respeito 
às forças entre partículas materiais, ou seja, ele é o “transmissor” das forças gravitacionais 
entre corpos.
O campo gravitacional é um campo vetorial onde, a cada ponto do espaço, 
podemos associar um vetor, denominado de vetor campo gravitacional. Também é um 
campo estacionário, pois seu valor, em cada ponto, não varia com o passar do tempo. 
Assim, todo corpo material, por menor que seja, sempre origina um campo gravitacional. 
A força gravitacional é uma força decorrente do campo gravitacional, o qual, apesar de 
não poder ser visualizado ou tocado, existe, pois podemos sentir sua presença. Nosso peso, 
que é a força com que somos atraídos para o centro da Terra, talvez seja o principal efeito 
que sentimos. O campo gravitacional é uma das propriedades da matéria, dependendo 
diretamente da massa que o produz. O fato importante a respeito do fenômeno da 
gravitação é que massas criam campos e, se tivermos duas massas, cada uma exercerá 
sobre a outra uma força de atração gravitacional. 
Imaginemos agora um corpo de massa M. Em sua volta, ele cria um campo de 
forças em decorrência de sua massa. Qualquer outro corpo de massa m (corpo de prova) 
que for colocado em sua vizinhança “sentirá” o campo gravitacional, fi cando sujeito a 
uma força de atração gravitacional. É o que ocorre, por exemplo, com qualquer corpo 
que estiver nas proximidades da Terra. Ele será atraído para o centro do planeta devido 
ao campo gravitacional terrestre. A força gravitacional é uma força de campo (o campo é 
o transmissor da força), existindo por si só, sem a necessidade de que haja contato entre 
os corpos. 
A fi gura 1.12 mostra o campo gravitacional produzido por um corpo de massa M 
e sua ação sobre o corpo de prova (massa m) na sua vizinhança. 
A cada ponto do espaço ao redor do corpo de massa M associamos um vetor, 
denominado de vetor campo gravitacional, simbolizado pela letra g, que é a aceleração 
que um corpo de massa m fi ca submetido quando colocado naquele ponto do campo. O 
vetor g é defi nido como sendo a força gravitacional por unidade de massa no ponto 
considerado, ou seja,
m
Fg = .
A força pode ser calculada a partir da intensidade do campo gravitacional, 
simplesmente multiplicando o vetor aceleração gravitacional pela massa do corpo de 
Figura 1.11 - Variação 
da força em função da 
distância d entre os 
centros dos corpos
d 2d 3d 4d d0
F/16
F/8
F4
F/2
F
F
Figura 1.12 - Campo 
de força gravitacional 
produzido por um cor-
po de massa M. Atua-
ção sobre outro corpo 
de prova (m).
d
F = mg
m
23
Gravitação
prova colocado no ponto. Como a força é uma entidade vetorial, a força gravitacional 
tem direção radial (mesma direção do vetor g) com sentido dirigido do corpo de prova 
para o centro da Massa m e módulo igual a mg, comumente denominado de peso. Assim, 
quando um corpo de prova de massa m for colocado no ponto, ele fi cará sujeito a uma 
força gravitacional, a qual, de acordo com a 2ª Lei de Newton, é dada por
gmF = .
Sabe-se que o módulo da força de atração gravitacional entre duas massas é dado 
por
2g
MmF G
r
= .
Igualando os módulos das duas forças e para pontos externos ao corpo criador do 
campo, resulta que
2
Mmmg G
r
=
 
⇒ 2r
MGg =
Quando, por exemplo, um corpo de massa m é solto nas proximidades da Terra, ele 
“cairá” na direção do centro da Terra realizando um movimento retilíneo uniformemente 
variado. No MRUV, a aceleração é sempre constante em módulo, direção e sentido. A 
direção do vetor campo gravitacional (aceleração gravitacional) é sempre perpendicular 
à superfície acima do ponto onde está o corpo (direção do fi o de prumo) e o sentido é 
sempre dirigido para o centro do planeta. O módulo da aceleração gravitacional varia de 
ponto a ponto, sendo adotado o valor de g = 9,80665 m/s2 ao nível do mar e para a latitude 
de 45° N (Meridiano de Greenwich).
Generalizando, podemos dizer que o valor do vetor campo gravitacional, em um 
ponto qualquer nas proximidades da massa M, depende somente do ponto considerado e 
da massa do corpo que cria o campo, ou seja, é uma característica do local e não da massa 
do corpo experimental (corpo de prova).
Para um corpo esférico (raio r) e homogêneo, o módulo do campo gravitacional 
tem as seguintes características:
a) para pontos na superfície,
20 r
MGgg ==
b) para pontos exteriores ao corpo de massa M (d > r),
2d
MGg =
c) para pontos no interior do corpo (d < r), o campo gravitacional varia 
linearmente com a distância, medida a partir do centro do corpo de massa 
M, ou seja, g é diretamente proporcional à distância do ponto considerado ao 
centro do corpo (g = Kd), onde K é uma constante.
EXEMPLO 1.3
Considerando o raio médio da Terra igual a 6.400 km, a que distância da superfície ter-
restre uma pessoa tem seu peso reduzido a 1/5? Dados: MT = 6 x 10
24 kg. 
Solução:
A massa da pessoa não varia, mas seu peso é reduzido a 1/5 em relação ao da superfície 
terrestre. Nesta situação, a aceleração gravitacional no ponto é igual a g= 9,8/5 m/s2, que 
corresponde a uma distância d do centro da Terra, dada por
 
24
11
2
9,8 6.106,67.10 .
5 d
−=
Assim, d = 7,15 x 106 m, ou d = 7.150 km
FÍSICA GERAL II
24
A fi gura 1.13 mostra a variação do campo gravitacional em função da distância ao 
centro do corpo criador do campo.
 
Figura 1.13 - Variação do campo gravitacional 
em função da distância ao centro de forças.
O campo gravitacional também varia em 
função da altitude e da latitude sofrendo, ainda, 
pequenas variações provocadas pelas distorções 
da simetria esférica da Terra e variações locais de 
densidade. As tabelas 1.2, 1.3 e 1.4 mostram as 
variações com a altitude e latitude e, também, as 
acelerações em cada planeta, inclusive na Lua.
Para a Terra, faremos mais algumas 
considerações. Nosso planeta não é uma esfera 
perfeita e, também, não pode ser considerada 
como um referencial inercial, pois além de 
estar girando em torno de seu eixo de rotação 
(aceleração centrípeta), possui movimento de 
translação em torno do Sol com aceleração 
variada, além de outras acelerações devidas 
aos movimentos do Sol, da Via Láctea, etc. 
Devido ao movimento de rotação, o peso 
aparente (pap) de um corpo de massa m sobre 
a superfície terrestre não é exatamente igual à 
força de atração gravitacional que a Terra exerce 
sobreo corpo, denominado de peso real (p0) do 
corpo. Se utilizássemos um dinamômetro para 
medir o peso de um corpo sobre a superfície 
terrestre, veríamos que no equador o corpo tem 
peso diferente do que nos pólos. No equador, 
um corpo se move em um círculo de raio RT 
(considerando a Terra como esfera perfeita) e 
com velocidade angular ω, havendo, portanto, uma força resultante que “puxa” o corpo 
para o centro da Terra (força centrípeta), tal que
2
0ap Tp p Rω= −
Como a massa do corpo não varia, podemos dividir a equação anterior por m, 
obtendo a relação entre o módulo da aceleração gravitacional aparente (gap) no equador e 
da aceleração gravitacional real (nos pólos), ou seja,
2
0ap Tg g Rω= − (no equador – Latitude 0°)
Tabela 1.2 - Variação da intensidade do campo 
gravitacional terrestre em função da altitude.
Tabela 1.3 - Variação da aceleração da gravidade 
terrestre em função da latitude. 
Tabela 1.4 - Intensidade do campo gravitacional 
na superfície do Sol e de seus planetas.
25
Gravitação
Substituindo os dados da Terra, teremos:
gap = g0 – 0,0339 m/s
2 (no equador - Latitude 0°).
Nos pólos, a aceleração centrípeta é nula (distância do corpo ao eixo de rotação é 
igual a zero), portanto, o peso aparente é igual ao peso real, ou, dito de outra forma,
gap = g0 (nos pólos – Latitude 90°)
Pelos dados, podemos ver que, considerando a Terra como uma distribuição 
esférica de massa, a aceleração da gravidade no equador é 0,0339 m/s2 menor do que a 
aceleração gravitacional nos pólos. Este é um dos motivos de serem as bases de lançamento 
de satélites próximas do equador.
É comum, nos dias de hoje, vermos astronautas fl utuando no espaço ou no interior 
de naves espaciais, como se não tivessem “peso” algum (levitação). Como isso é possível? 
Para isso, vamos imaginar uma pessoa de massa m, dentro de um elevador que desce com 
aceleração a. Nessa situação, existem duas forças atuando no corpo da pessoa, que são: 
seu peso P, que é a força de atração gravitacional da Terra, e a reação normal do assoalho 
do elevador (N) sobre a pessoa. A intensidade da força normal de compressão (-N) que a 
pessoa aplica sobre o piso do elevador é seu peso aparente (Pap), que é a força que seria 
lida por um dinamômetro que estivesse colocado entre a pessoa e o piso. A fi gura 1.14 
permite visualizar a situação proposta.
Aplicando a 2ª Lei de Newton para o caso, visto a pessoa e o elevador estarem em 
movimento acelerado para baixo (MRUV), em módulo, fi camos com
ap apP N ma mg P ma P mg ma− = ⇒ − = ⇒ = −
ou seja,
( ) apP m g a= − .
Se o elevador estiver em queda livre, sua aceleração será igual à aceleração da 
gravidade, resultando num peso aparente nulo, ou seja, a pessoa levitaria dentro do 
elevador, não exercendo qualquer pressão sobre o piso. Tudo se passa como se a aceleração 
da gravidade no interior do elevador fosse nula. Essa situação é a mesma que ocorre com 
um astronauta em órbita. O peso aparente do astronauta é nulo e ele fl utua no interior 
da nave numa situação de imponderabilidade. O astronauta, fl utuando no espaço ou no 
interior da nave, comporta-se como se fosse outro satélite artifi cial, não exercendo pressão 
nas paredes da nave. Provocando pequenos impulsos sobre os corpos, os astronautas 
aproveitam os movimentos inerciais dos corpos, locomovendo-os no interior da nave ou 
em seu exterior. 
1.5 Corpos em Órbita Circular – Satélites
Satélites artifi ciais em órbita ao redor da Terra são um fato corriqueiro na vida 
moderna. Todas as noites, aproximadamente até as 21 horas, e entre as 4 e 6 horas da 
manhã, é possível observar satélites executando as mais diversas órbitas, parecendo viajar 
por entre as estrelas. É importante estudar os fatores que determinam as propriedades das 
órbitas e como os satélites permanecem em órbita, inclusive a Lua, que é nosso satélite 
natural. Tais respostas são encontradas na aplicação das Leis de Newton da Mecânica 
Clássica e na Lei da Gravitação Universal.
No curso de Mecânica Clássica, quando estudamos o movimento de um corpo 
(lançamento na horizontal) vimos que, dependendo do módulo da velocidade de 
lançamento vo, o corpo cai cada vez mais longe à medida que a velocidade aumenta.
Galileu já havia percebido que, desprezando as forças de atrito, o corpo iria cada 
vez mais longe, inclusive podendo girar em torno da Terra (entrar em órbita). Se você 
lançar uma pedra na horizontal, do alto de um morro, e desprezar as forças de atrito que 
consomem energia do movimento, a pedra cairá a certa distância de onde você lançou. 
Aumentando a velocidade, aumentará a distância de queda. Aumentado cada vez mais a 
velocidade, chegará um ponto em que a curvatura da Terra passa a ser um fator importante. 
QUESTÃO 1.2
 O valor da massa de um 
corpo sofre variação com 
a latitude ou com a altitu-
de? Será que na Lua, onde 
a aceleração gravitacional 
é, aproximadamente, igual 
a 1/6 daquela da Terra, a 
massa do corpo variaria? E 
seu peso?
g a
g a
P
- N
N
Figura 1.14 - Pessoa den-
tro de elevador. Forças 
atuantes.
FÍSICA GERAL II
26
À medida que a pedra avança em sua trajetória, ela continuará “caindo” em torno da Terra, 
como se a Terra “encurvasse” embaixo da pedra. Prosseguindo neste raciocínio, a pedra 
continuaria a “cair” em torno da Terra, continuamente, retornando ao ponto de lançamento 
após certo tempo, ou seja, a pedra entraria em uma órbita circular em torno da Terra e 
como desprezamos as forças de atrito, o movimento se daria com velocidade constante.
Portanto, um movimento circular e uniforme (MCU), onde a aceleração gravitacional 
seria sua aceleração centrípeta (a força centrípeta na órbita seria igual ao seu peso). 
As trajetórias realizadas por satélites artifi ciais têm excentricidades distintas, 
desde trajetórias quase circulares até órbitas abertas, quando não mais retornam ao planeta. 
Nosso interesse são as órbitas fechadas (elipses e círculos) onde o corpo retorna ao ponto 
inicial de entrada em sua órbita.
A trajetória circular é a mais simples de ser estudada, pois muitos dos satélites 
possuem órbitas quase circulares, inclusive, as órbitas dos planetas do sistema solar e da 
Lua são quase circulares, possuindo pouca excentricidade, podendo ser tratadas como 
circulares, em primeira aproximação. A única força que atua em um satélite artifi cial 
em órbita circular é a atração gravitacional que está orientada para o centro da Terra e, 
consequentemente, para o centro da órbita. Nesta situação, o satélite realiza um MCU e 
sua velocidade tangencial é constante em módulo. O satélite não cai em direção à Terra, 
mas continua “caindo” ao redor dela e sua velocidade tangencial é aquela que ele necessita 
para manter constante sua distância ao centro da Terra (fi g.1.15)
De acordo com a lei da gravitação, a força resultante que atua sobre o satélite 
(módulo da força gravitacional) de massa m, é a atração gravitacional existente entre 
o satélite e a Terra (MT). A aceleração está sempre dirigida para o centro da Terra e sua 
direção é sempre perpendicular à velocidade tangencial do satélite. Pela 2ª Lei de Newton, 
temos que
2
2
T
g c
M m mvF G F
r r
= = = .
Da expressão anterior e para órbitas circulares (raio r), isolando a velocidade, 
fi camos com
TGMv
r
= .
A velocidade tangencial do satélite é uma função do raio da órbita, ou seja, para 
certa órbita, o satélite terá determinada velocidade em torno da Terra. Note, também, que 
a velocidade orbital não depende da massa do satélite.
A última afi rmação implica dizer que, se dividíssemos a estação orbital em várias 
partes, todas elas continuariam com a mesma velocidade em torno da Terra, constituindo 
cada parte em si, um satélite artifi cial, inclusive, os próprios astronautas também se 
comportariam como satélites artifi ciais. A velocidade e a aceleração dos astronautas são 
as mesmas da estação orbital, de tal maneira que não existe nenhuma força empurrando-
os contra as paredes da estação ou contra seu piso. Os astronautasestão em estado de 
imponderabilidade, no qual seus pesos aparentes são nulos, tal como no caso do elevador 
em queda livre. É devido a esse estado de peso aparente nulo que os astronautas fi cam 
fl utuando no interior da nave. Outro dado interessante é que as diversas partes do corpo do 
astronauta (braços, fígado, coração, cabeça...) também fi cam com peso aparente zero, daí, 
ele não sente nenhuma força empurrando seu estômago contra o intestino, nem o peso de 
seu braço, nem a pressão da cabeça sobre seus ombros!!!
Esta característica das órbitas circulares (peso aparente nulo) também ocorre para 
qualquer tipo de órbita, inclusive as órbitas abertas, desde que a única força atuante sobre 
o corpo for a atração gravitacional. Podemos achar o tempo de revolução de um satélite 
numa certa órbita de raio r. O satélite demora um certo tempo T (período) para percorrer 
o perímetro do circulo com velocidade v, assim,
Figura 1.15 - Força gravi-
tacional, aceleração e ve-
locidade tangencial em um 
satélite em torno da Terra.
Fg
Fg
Fg
a
a
a
v
v
v
RT
r
27
Gravitação
T
rv π2=
Substituindo a velocidade, anteriormente explicitada, fi camos com
3
2
T
rT
GM
π= .
Utilizando a fórmula do período e rearranjando os termos, obtemos
2 2
3
4
T
T K
r GM
π
= = .
Esta última expressão é a 3ª Lei de Kepler. Note que a constante planetária K não 
depende da massa do satélite que está orbitando, mas somente da massa do corpo central 
(centro de força).
Para satélites estacionários, normalmente de telecomunicações, o raio da órbita (a 
partir do centro da Terra), está na faixa dos 42 mil quilômetros. A velocidade de translação 
(velocidade tangencial) se situa na faixa dos 10,8 mil quilômetros por hora. Assim, o 
período de revolução é de 24 horas, o mesmo do período de rotação da Terra, portanto, para 
um observador da Terra, o satélite parece estar parado no espaço como uma estrela fi xa. 
Como os sinais de rádio e TV (ondas eletromagnéticas) se propagam com a velocidade 
da luz, o tempo de ida ao satélite e volta à Terra, somados ao tempo de distribuição do 
sinal pelo planeta é muito pequeno, imperceptível aos nossos sentidos. Tudo parece estar 
acontecendo em tempo real, mas não é assim. 
EXEMPLO 1.5
Um satélite, a 1000 km de altura em relação à superfície terrestre, orbita circularmente 
com velocidade escalar constante. Calcule sua velocidade escalar. 
Solução:
Lembre-se que a velocidade é uma velocidade tangencial e que a altura deve ser somada 
ao raio da Terra, ou seja, r = RT + h. Adotando RT = 6,37 x 10
6 m e MT = 5,98 x 10
24 kg, 
teremos
 
TGMv
r
=
Substituindo os valores, fi camos com v = 7,36 x 103 m/s2 ≈ 26.500 k/h. O tempo de 
revolução seria em torno de 1 hora e 45 minutos. Você, estudante, deve observar que a 
velocidade orbital não depende da massa do satélite.
1.6 Energia Potencial Gravitacional
Quando um planeta gira em torno do Sol, as propriedades orbitais permanecem 
constantes ao longo de milhões de anos. Tal fato sugere que a energia mecânica 
(cinética + potencial) se conserva no movimento de translação do sistema Sol-planeta. A 
conservação da energia mecânica é atribuída ao fato de que os dois corpos (Sol e planeta) 
se comportam como sistema isolado e que as únicas forças que atuam no sistema são suas 
forças gravitacionais atrativas e conservativas. Como as órbitas são elípticas, a velocidade 
tangencial do planeta varia a cada ponto da órbita, sendo maior nas proximidades do Sol 
(periélio) e menor no afélio. Assim, cada vez que o planeta circula ao redor do Sol, deve 
haver uma troca de energia mecânica nas suas formas cinética e potencial entre o sistema.
FÍSICA GERAL II
28
A energia cinética do sistema planeta-Sol é atribuída, praticamente, somente ao 
planeta, pois o Sol, como centro atrator e muito mais “pesado” que o planeta, não se 
move. Com relação a qualquer planeta, a força gravitacional solar é a maior das forças 
gravitacionais que atua no sistema, constituindo o Sol o centro de forças atrativas que 
mantêm os planetas presos a ele e gravitando ao seu redor. Nosso sistema de referência 
inercial está centrado no Sol (a massa M está em repouso) e o planeta é o sistema móvel.
O sistema planeta-Sol pode ser tratado como um sistema de dois corpos isolados, 
de massas m e M, para M>>m, de tal forma que podemos aplicar o princípio de 
conservação da energia mecânica. O mesmo raciocínio pode ser aplicado a um satélite 
orbitando a Terra, ao sistema Terra-Lua, ou mesmo a um cometa passando perto do Sol. A 
energia mecânica total E do sistema de dois corpos isolados é a soma da energia cinética 
do corpo girante (massa m) somada à energia potencial gravitacional do sistema, ou seja,
constantecin gE E U= + = .
Já foi visto que a força gravitacional é conservativa, isto é, o trabalho realizado 
pela força sobre a partícula só dependo dos pontos inicial e fi nal e não da trajetória 
efetivamente percorrida. O teorema do trabalho-energia diz que “o trabalho realizado 
pela resultante F das forças que age na partícula, quando esta se desloca de um ponto a 
outro da trajetória, é igual à variação de sua energia cinética”, ou seja,
cinW E= ∆ .
Ao atuar somente forças conservativas, introduzimos o conceito de energia de 
confi guração ou energia potencial U. Neste caso, podemos dizer que, se a energia cinética 
K da partícula variar de uma quantidade ΔK, quando variar sua confi guração (mudança de 
posição espacial da partícula em relação ao referencial), a energia potencial U do sistema 
deve variar de uma quantidade ΔU, de igual valor e oposto, de tal forma que a soma das 
variações das duas energias deve ser nula, isto é,
0cinE U∆ + ∆ = .
Assim, fi camos com
cinE U∆ = −∆ .
Para uma dimensão, o trabalho realizado por uma força variável dependente da 
posição(como é o caso da força gravitacional) é dado por
( )
f
i
r
r
W F r dr= ∫ ,
na qual, ri (ponto A) e rf (ponto B) são as posições inicial e fi nal da partícula (em relação ao 
referencial adotado) ao longo da trajetória, que pode ser retilínea ou curvilínea, conforme 
fi gura 1.16.
Em função da equação anterior, fi camos com
( )
f
i
r
r
U F r dr∆ = −∫ .
Em se tratando da Terra, a força gravitacional (Fg) está sempre dirigida para seu 
centro (para baixo) e o referencial inercial centrado na Terra está dirigido para cima. 
Assim, o módulo da força gravitacional adquire o sinal negativo, ou seja,
2)( r
mMGrF Tg −= .
Substituindo o valor do módulo da força gravitacional na equação da variação da 
energia potencial, obtemos
2
1 1f
i
r
T T
f ir
drU GM m GM m
r r r
 
∆ = = − −  
 
∫ .
Figura 1.16 - Desloca-
mento da partícula sob 
ação da força gravitacio-
nal terrestre.
A
BFg
Fg
rf
ri
m
29
Gravitação
Temos que
f i f iU U U U U U∆ = − ⇒ = ∆ + .
A função energia potencial, quando a partícula se deslocou da posição inicial até 
a fi nal, é dada por
1 1
f i T i
f i
U U U GM m U
r r
 
= ∆ + = − − +  
 
.
A escolha de um ponto de referência para a energia potencial é completamente 
arbitrária. Normalmente, escolhe-se o ponto onde a energia potencial é nula, o que implica 
dizer que a força gravitacional entre os dois corpos também é nula. Tal ponto ocorre 
para uma separação infi nita entre os corpos. Fazendo Ui→0 quando ri→∞ e retirando os 
subscritos, fi camos com
T
g
GM mU
r
= − .
Embora a equação anterior tenha sido deduzida para um sistema isolado Terra-
partícula, ela é válida para qualquer par de partículas de massas m1 e m2, com separação 
entre seus centros de uma distância igual a r, ou seja,
1 2
g
Gm mU
r
= − .
A equação da energia potencial gravitacional para qualquer par de partículas varia 
com 1/r, enquanto que a força gravitacional entre elas varia com 1/r2. Além do mais, a 
energia potencial é negativa a qualquer distância fi nita, isto é, a energia potencial é nula 
no infi nito e decresce com a diminuição da distância, o que implica dizer que a força é 
atrativa.
Se a força é atrativa, um agente externo (corpode sua vizinhança) ao aplicar uma 
força F deve realizar trabalho positivo para aumentar a separação entre elas. O trabalho 
realizado pelo agente externo produz um aumento na energia potencial quando as duas 
partículas são separadas, isto é, a energia potencial torna-se menos negativa quando a 
separação aumenta, visto U variar com 1/r. 
A energia potencial defi nida anteriormente é uma energia de ligação do sistema 
isolado de dois corpos. Isto implica dizer que um agente externo deve fornecer uma 
quantidade igual a +Gm1m2/r para separar as partículas por uma distância infi nita. 
A equação anterior mostra também que a energia potencial entre as duas partículas é 
uma característica do sistema m1+m2 e não de cada partícula isoladamente, ou seja, se 
houver variação da separação, a energia potencial variará, pois cada uma está no campo 
gravitacional da outra. 
A força gravitacional pode ser deduzida da expressão da energia potencial do 
sistema. Para sistemas que apresentam simetria esférica, a relação entre força e energia 
potencial é dada por
2
( )
( ) g Tg
dU r GM mF r
dr r
= − = − .
Esta equação permite interpretar de outra forma a energia potencial: “a energia 
potencial é uma função da posição, tal que sua derivada, com sinal negativo, é igual à 
força”. Se o agente externo fornece energia maior do que a energia de ligação, a energia 
restante fi ca na forma de energia cinética da confi guração. A energia mecânica total para 
um sistema isolado Terra-satélite é dada por
21
2
TGM mE mv
r
= − .
FÍSICA GERAL II
30
A equação mostra que a energia mecânica total pode ser positiva, negativa ou 
nula, dependendo do valor da velocidade a uma distância específi ca de separação r. Para 
órbitas circulares e sabendo que a velocidade a uma distância r do centro do planeta é 
dada por
TGMv
r
= ,
então, a energia mecânica total será dada por,
2
TGM mE
r
= − .
A equação da energia mecânica também é válida para órbitas elípticas, mas 
devemos substituir o valor de r pelo valor do comprimento do semi-eixo maior da 
elipse. A energia mecânica, o momento angular total e o momento linear total de um 
sistema planeta-Sol, planeta-estrela qualquer, Terra-Lua, Terra-satélite, são constantes do 
movimento ao considerar o modelo do sistema isolado.
Com relação à Terra, devemos fazer as seguintes observações:
a) Vamos considerá-la como uma partícula cuja massa esteja totalmente 
concentrada em seu ponto central. No ponto coloquemos nosso referencial inercial. Para 
um corpo de massa m, distante RT do centro da Terra (corpo na superfície terrestre), a 
energia potencial gravitacional será dada por
T
g
T
GM mU
R
= − .
Se o corpo estiver a uma altura y da superfície terrestre onde o campo praticamente 
se mantém constante e colocando o referencial inercial na superfície terrestre, apontando 
para cima (F(y) = -mg), a energia potencial gravitacional na posição y será dada por
mgyyU g =)( .
Nesse caso, para y=0, a energia potencial será nula, e aumentará linearmente 
com a altura. Supomos que a partícula se desloque do ponto a (cujas coordenadas são 
yo=0 e vo≠0) ao ponto b (com coordenadas x e v, ambas diferentes de zero). A energia 
mecânica total deve ser a mesma em qualquer confi guração, visto a força gravitacional 
ser conservativa. Assim,
2 2
0
1 1( ) ( )
2 2g g o
mv U y mv U y+ = + .
Observe que, nesta equação, não aparecem a força nem a aceleração. Como a 
energia potencial inicial é nula e a energia potencial a uma altura y é igual a mgy temos, 
então, que
2 2
0
1 1
2 2
mv mgy mv+ = .
Eliminando as massas, obtemos a equação de Torricelli, ou seja,
2 2
0 2v v gy= − .
QUESTÃO 1.6
 Utilizando considera-
ções sobre energia, de-
terminar a velocidade 
de escape de um corpo 
de massa m lançado da 
superfície terrestre.
31
GravitaçãoExercícios
1. Um planeta gira em torno do Sol com raio médio igual a 20 vezes o raio médio da órbita 
da Terra. Qual seu período orbital em anos e em dias, para que o planeta complete uma 
revolução em torno do Sol?
2. A distância média (semi-eixo maior) do sistema Saturno-Sol é de 1,43 x 1012 m e seu 
período de revolução é de 9,35 x 108s. Calcule o valor da constante K, utilizando a lei 
dos períodos.
3. Dois navios, com 50 mil toneladas cada um, navegam em rotas paralelas separadas por 
200 m. Qual o módulo da aceleração de um dos navios em direção ao outro devido à 
atração mútua entre eles? Trate os navios como partículas.
4. Três esferas uniformes com massas de 2 kg, 4 kg e 6 kg, estão colocadas nos vértices de 
um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 m. A massa de 4 kg está no vértice com ângulo 
reto. Calcule a força gravitacional sobre a esfera de 4 kg. Trate as esferas como sistema 
isolado. Calcule a energia potencial total do sistema.
5. Calcule o módulo e a direção do campo gravitacional em um ponto P sobre a linha 
divisória perpendicular de duas partículas com massas iguais separadas por uma 
distância de 2a, conforme fi gura 1.17. 
6. Io, um satélite natural de Júpiter, tem um período de revolução de 1,77 dias e um raio de 
órbita de 4,22 x 105 km. Determine a massa de Júpiter a partir desses dados.
7. Um satélite rasante desloca-se em uma órbita circular logo acima da superfície de um 
planeta sem ar. Mostre que sua velocidade orbital (vc ) e a velocidade de escape do 
planeta (ve ) estão relacionadas pela expressão ce vv 2= .
8. A fi gura1.18 representa uma estação orbital A que gravita em órbita circular de raio r, 
geoestacionária (período de revolução igual a um dia). Um objeto é lançado da estação 
para outra que se encontra em B, situada em outra órbita circular de raio 3 r. A posição 
de lançamento é no ponto C, favorável para que o pacote seja recolhido no ponto M, 
da órbita de B. O centro do planeta e os pontos M e C estão alinhados. Após quantos 
dias, depois do lançamento, o pacote será recolhido no ponto M?
9. O campo gravitacional na superfície de um planeta tem intensidade g. Comente o que 
aconteceria coma essa intensidade se:
a) duplicasse a massa do planeta;
b) dobrasse o raio do planeta.
10. A que altura, acima da superfície terrestre, deve ser colocado um satélite em órbita 
circular para que seu período de rotação seja de 12 horas? 
Figura 1.17 - Massas 
separadas pela distância 2a.
Figura 1.18 - Estação 
orbital em órbita 
elíptica.
r P
M
M
a
B
M
C
A
3r
Pacote
r
FÍSICA GERAL II
32
Anotações
33
Gravitação
Anotações
FÍSICA GERAL II
34
Anotações
35
Equilíbrio Estático2
2.1 Equilíbrio Estático
2.2 Centro de Gravidade
2.3 Estabilidade do Equilíbrio de Rotação
FÍSICA GERAL II
36
2 EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Estática é o ramo da mecânica que trata do equilíbrio dos corpos. Quando um 
corpo está imóvel e permanece imóvel no tempo, diz-se que o corpo está em equilíbrio 
estático. A análise do equilíbrio estático é muito importante nas Engenharias. Os 
engenheiros devem identifi car todas as forças e torques que agem sobre as vigas e os 
cabos das estruturas, tendo a certeza de que toda a estrutura pode tolerar as cargas que 
lhe são e serão impostas. A análise das forças e torques em uma peça mecânica ajuda a 
determinar a sua durabilidade em uso.
 Observamos pela fi gura 2.1a que a somatória vetorial 
das forças externas e dos torques externos é igual a zero. 
Portanto, o corpo, nesta condição, está em equilíbrio estático. 
Na fi gura 2.1b, mesmo sendo a somatória vetorial das forças 
igual a zero, a somatória vetorial dos torques é diferente de 
zero. Assim sendo, o corpo girará em torno de seu centro de 
massa. Muitas vezes, considera-se que a condição para que 
uma partícula esteja em repouso é a de que a resultante das 
forças sobre o corpo seja nula. Porém, como podemos observar 
na fi gura 2.1b, se o centro de massa permanecer em repouso, 
é possível que o corpo gire em torno de um eixo ou de um 
centro. Não há equilíbrio, se houver rotação. Por essa razão, 
para que haja o equilíbrio estático, é necessário também que a resultante dos torques que 
atuamsobre o corpo, em relação a qualquer ponto, seja nula. Esta condição nos oferece a 
liberdade de escolher qualquer ponto para o cálculo dos torques, sendo útil em inúmeras 
situações físicas.
Dessa forma, as duas condições necessárias, para que um corpo rígido esteja em 
equilíbrio estático, são:
1. A somatória vetorial das forças externas que agem sobre o corpo deve ser nula:
, 0i ext
i
F =∑

2. A somatória vetorial dos torques externos em relação a qualquer ponto deve ser nula:
, 0i ext
i
τ =∑

Como vimos, podemos descrever a natureza vetorial da rotação, em torno de 
um eixo fi xo, como positiva ou negativa. Os torques anti-horários serão positivos, e os 
horários, negativos.
Um corpo que está em movimento com velocidade constante satisfaz às duas 
condições, mas não está em equilíbrio estático. Como , 0i ext
i
d pF dt= =∑


, temos que, 
o momento linear p mv= é constante. Para um equilíbrio estático, p tem que ser 
constante e igual à zero. Da mesma forma , 0i ext
i
d L
dtτ = =∑


, onde o momento 
angular L Iω= tem que ser constante e igual a zero para que haja um equilíbrio estático. 
Podemos ver que as duas condições dadas ( , 0i ext
i
F =∑

 e , 0i ext
i
τ =∑

) são necessárias, 
mas não são sufi cientes.
Figura 2.1.
37
Equilíbrio Estático
EXEMPLO 2.1
Duas pessoas seguram uma carga de 50 kg sobre uma tábua de 3 m. A massa da tábua 
é de 10 kg e a carga está a 1 metro da extremidade A e a 2 metros da extremidade B. 
Calcule a força que cada pessoa exerce para suportar a carga.
Solução:
 
 
 
1,0 m 2,0 m 
1,5 m
 3,0 m 
B A 
FA FB
PC PT
Inicialmente, temos que fazer um 
diagrama com todas as forças envolvidas.
A primeira condição para que a carga e 
a tábua estejam em equilíbrio estático é 
que a somatória vetorial das forças seja 
igual a zero. 
Portanto,
0i
i
F =∑

0A C T BF P P F− − + =
sendo, 490CP N= e 98TP N= . Assim,
588A BF F N+ =
Como AF e BF não são conhecidas (são as forças procuradas), e como temos uma úni-
ca relação, não é possível determiná-las.
A segunda condição é que a somatória vetorial dos torques externos envolvidos em re-
lação a qualquer ponto seja igual a zero. Como esta condição serve para qualquer ponto, 
escolhemos o ponto A. Portanto,
, 0i A
i
τ =∑

(0) (1 ) (1,5 ) (3 ) 0A C T BF P m P m F m− − + =
(1 ) (1,5 ) (3 ) 0C T BP m P m F m− + =
212,3BF N=
Podemos perceber que, com a escolha do ponto A, o torque em A é nulo. Agora, para 
determinar AF , podemos usar a relação 588A BF F N+ = , e, portanto,
588 375,7A B AF N F F N⇒= − =
EXEMPLO 2.2
Um peso de 80N está sustentado conforme fi gura ao 
lado. A viga tem 2m e o seu peso é de 10 N. Encontre 
a força exercida sobre a viga no ponto A.
Solução:
Inicialmente, temos que determinar todas as forças 
que atuam sobre a viga.
FÍSICA GERAL II
38
A somatória vetorial das forças externas, que 
agem sobre o sistema, não traz informação 
sufi ciente para resolver o problema. 
Tomando os torques em relação a B, de modo que o 
torque da força desconhecida T

 seja nulo, teremos:
 
A
 B 
300 
80N 10N 
1m 1m 
Fy
Fx
T Ty
Tx
, 0i B
i
τ =∑

( )2 (1 ) 0y VF m P m− =
5yF N=
Analisando a somatória dos torques em relação ao ponto A, temos:
, 0i A
i
τ =∑

( ) ( )2 2 (1 ) 0P y VP m T m P m− + − =
85yT N=
Para determinar a componente de xT , utilizamos a identidade 
trigonométrica (45 )o y
x
Ttan T= . Assim,
( )45
y
x o
T
T
tan
=
85xT N=
Agora, podemos utilizar que somatória das forças em x é igual a zero. Deste modo,
0x xF T− =
85xF N=
Portanto, 
ˆ ˆ85 5F Ni Nj= +

EXEMPLO 2.3
Uma massa de 10 kg está segura pela mão, com 
o antebraço fazendo um ângulo de 900 com o 
braço. A massa do antebraço é de 2 kg. Calcule a 
força T

 exercida pelo músculo bíceps.
Solução:
Os torques exercidos pelo massa e pelo antebraço 
em relação ao cotovelo devem ser equilibrados pelo
torque da força T

 (bíceps). Assim,
, 0i A
i
τ =∑

( ) ( )33 15 (4 ) 0m yP cm p cm T cm− − + =
( )( ) ( )( )2 210 9,8 / 33 2 9,8 / 15
4
kg m s cm kg m s cm
T
cm
+
=
882T N=
Este valor é bastante alto, pois a força do bíceps atua bem próxima ao cotovelo (4 cm) 
e a bola está mais distante (33 cm).
EXEMPLO 2.4
Uma escada AB, pesando 40 N, apóia-se numa parede vertical que faz um ângulo de 600 
com a horizontal. Calcule as forças que atuam sobre a escada nos pontos A e B. A escada 
é provida de rodas em A, de tal forma que se pode desprezar o atrito na parede vertical. 
39
Equilíbrio Estático
Solução:
As forças que atuam sobre a escada estão ilustradas 
na fi gura ao lado. O peso P

 está aplicado no centro 
C da escada. A força BxF é necessária para evitar 
que a escada escorregue e resulta do atrito com o 
piso. As forças ByF e AF são as reações normais no 
piso e na parede. Usando a primeira condição de 
equilíbrio, temos:
 
0i
i
F =∑

 
0iy By
i
F F P= − =∑
 40By BxF P F N= → =
 
0ix A Bx
i
F F F= − =∑
 
A 
C 
B 600 
300 
600 
AF
BxF
ByF
P
Seja L o comprimento da escada.Tomando os torques em relação a B, de modo que os 
torques das forças desconhecidas BxF e ByF sejam nulos, teremos que
( ) ( )0 030 60 02iB Ai
LP sen F L senτ = − =∑
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
30 302 11,5
60 2 60A
LP sen P sen
F N
L sen sen
= = =
Usando 0ix A Bx
i
F F F= − =∑ , obtemos,
11,5BxF N=
2.2 Centro de Gravidade 
A fi gura 2.2 mostra o esquema de um corpo, dividido em diversas partes, que 
podemos imaginar como partículas. O peso de cada uma dessas partículas é iw

 e o peso 
total do corpo é i
i
W w= ∑


. Podemos imaginar, também, que o peso total do conjunto 
estivesse concentrado num único ponto, de modo que, se o corpo fosse apoiado no ponto, 
estaria em equilíbrio. Este ponto é o centro de gravidade cgX , e é defi nido como o torque 
correspondente à força W

, aplicado neste ponto. Em relação a qualquer ponto, o torque 
total será igual a resultante dos torques dos pesos das partículas em relação ao mesmo 
ponto. A coordenada x do centro de gravidade é dada por:
 cg i i
i
X W x w= ∑
Se a aceleração da gravidade for constante sobre toda a extensão do corpo, 
podemos escrever i iw m g= e W Mg= , assim,
 g cg i i
i
X Mg m w= ∑
cg i i
i
X M m w= ∑
Esta equação nos dá a coordenada x do centro de massa. Logo, quando o campo 
gravitacional for uniforme, a coordenada x do centro de massa é igual à coordenada x ao 
centro de gravidade. 
O centro de gravidade é o ponto em relação ao qual os torques das forças 
gravitacionais que atuam sobre as partículas do corpo têm resultante nula.
Figura 2.2
FÍSICA GERAL II
40
2.3 Estabilidade do Equilíbrio de Rotação
 O equilibrista a da fi gura 2.3 anda sobre uma corda esticada e utiliza uma barra 
rígida retilínea para ajudar o equilíbrio. Este sistema é instável e andar por uma corda 
assim é, obviamente, só para profi ssionais. O equilibrista b utiliza uma barra rígida na 
forma de um U invertido, com dois pesos nas pontas. O centro de massas homem-pesos 
é muito mais baixo do que o ponto de apoio do sistema (pés). Neste caso, o sistema é 
estável, pois qualquer deslocamento angular provoca o aparecimento de um torque que 
tende a retornar o sistema à posição de equilíbrio. Portanto, a estabilidade de um sistema 
pode ser aumentada se o centro de gravidade for abaixado. 
Os seres humanos têm problema para fi car de pé ou andar sobre dois pés. O centro 
de gravidade do corpo humano está numa altura signifi cativa em relação ao nível do solo 
e o equilíbrio tem que ser mantido sobre a estreita base de apoio proporcionada pelos pés. 
As crianças demoram meses para fi car em pé e levam cerca de um ano para aprender a 
andar. Muitos quadrúpedes fi cam em pé logo após o nascimento e têm o aprendizado de 
locomoção muito mais fácil que os humanos por exemplo, pois a respectiva base de apoio 
é muito mais larga e o centro de gravidade está muitomais baixo do que em nós. 
Dessa forma, podemos classifi car em três categorias o equilíbrio de um corpo em 
relação à rotação: estável, instável e indiferente. 
a) estável b) instável c) indiferente
Figura 2.4 - Equilíbrio a) estável, b) instável e c) indiferente.
O equilíbrio de rotação estável ocorre quando os torques provocados por um 
pequeno deslocamento angular do corpo em relação à posição de equilíbrio, provocam 
uma rotação que tende a levar o corpo para a posição de equilíbrio inicial. A fi gura 2.4a 
mostra a situação de equilíbrio estável. Quando a caixa gira de um pequeno ângulo em 
torno de uma aresta, o torque em relação ao ponto de apoio tende a levar a caixa à posição 
inicial. Veja que, neste caso, a rotação eleva o centro de gravidade e aumenta a energia 
potencial da caixa (observe a linha tracejada nas duas condições na fi gura 2.4a).
O equilíbrio de rotação instável ocorre quando os torques provocados por um 
pequeno deslocamento angular do corpo tendem a afastar o corpo da posição original. Por 
exemplo, uma pequena rotação do bastão (fi gura 2.4b) provoca sua queda, pois o torque 
Figura 2.3
a)
b)
c.m.
•
• 
c.m.
U0 < UB U0 > UB U0 = UB
41
Equilíbrio Estático
do peso provoca uma rotação que o afasta da posição inicial. A rotação, neste caso, abaixa 
o centro de gravidade e diminui a energia potencial do bastão (analisar a linha tracejada 
na fi gura 2.4b). Comparando a fi gura 2.4a e 2.4b podemos entender a razão do tamanho 
da base aumentar a estabilidade: isto está relacionado com a curva de energia potencial 
de cada caso. Quando a área superfi cial é grande em relação ao volume o sistema é mais 
estável, quando a área é pequena o sistema é instável. 
Um cilindro, que repousa sobre uma superfície horizontal, ilustra o equilíbrio de 
rotação indiferente (fi gura 2.4c). Se o cilindro girar, não haverá torque ou força agindo 
para que retorne à posição inicial ou para que se afaste dela. Na rotação do cilindro, a 
altura do centro de gravidade não se altera e a energia potencial idem.
Resumindo: se um sistema for ligeiramente perturbado de sua posição de 
equilíbrio, este será estável quando o sistema retornar à posição inicial; será instável, se 
o sistema se afastar da posição inicial; e indiferente, se não existir torques ou forças que 
atuem num ou noutro sentido.
EXEMPLO 2.5
A partir do gráfi co de energia potencial em função do x, determine, nas posições A, B, 
C, D e E, se o equilíbrio é estável, instável ou indiferente.
Solução:
A) Instável, pois qualquer 
perturbação diminui a energia 
potencial do sistema e o sistema 
tende a não voltar à posição A.
B) Estável, uma vez que uma
pequena perturbação da posição
 aumenta a energia potencial e o 
sistema volta à posição B.
C) Instável, como em A, onde qualquer perturbação diminui a energia potencial do 
sistema.
D) Estável, como em B, onde uma pequena perturbação da posição aumenta a energia 
potencial. 
E) Indiferente, porque uma perturbação não muda o valor da energia potencial. 
EXEMPLO 2.6
Um caminhão transporta uma caixa homogênea de massa m, altura h e lado L. Qual 
poderá ser a aceleração máxima do caminhão sem que seja provocado o tombamento da 
caixa? Admita que o tombamento preceda ao deslizamento da caixa.
FÍSICA GERAL II
42
Solução:
Mesmo o caminhão estando acelerado ( i cm
i
F m a=∑
 
), pretende-se que a caixa não 
tombe. Portanto, a somatória dos torques em relação ao centro de massa da caixa deve 
ser nula , 0i ext
i
τ =∑ . Na direção da aceleração temos somente a força de atrito f

, e, 
portanto. Aplicando ,i x cm
i
F ma=∑ , temos
cmf ma=
Na vertical não há movimento. Assim, 0i
i
F =∑ , e, por essa razão, a força normal NF 
é igual ao peso mg,
NF mg=
Aplicando , 0i ext
i
τ =∑ , e sabendo que ( )090sen Ø cosØ− = , teremos,
0NF rsenØ frcosØ− =
Como 
( )2LsenØ
r
= e 
( )2hcosØ
r
= , obtemos,
0
2 2N
L hF f− =
Usando cmf ma= e NF mg= , resulta que
0cmmgL ma h− =
cm
La g
h
=
Exercícios
1. Uma chapa triangular é constituída pela soldagem de quatro 
 chapas triangulares homogêneas, cada qual com o lado a, 
 como mostra a fi gura ao lado. A chapa 1 pesa 40N, a 2 pesa 
 60, a 3 pesa 40N e a 4, 60N. Localizar o centro de gravidade.
2. O centro geométrico coincide sempre com o centro de gravidade de um corpo?
3. Quarenta por cento do peso de um carro é suportado 
 pelas rodas traseiras. As rodas traseiras e dianteiras 
 estão afastadas por 2 metros. Onde está localizado 
 o centro de gravidade do carro em relação às rodas 
 traseiras? 
 
 
4. Uma placa de 10kg está suportado por um cabo preso a 
 uma travessa de 1m no ponto O (fi gura ao lado). A 
 massa da travessa é desprezível. Achar a força exercida 
 pela travessa no ponto O e a tensão T

 na corda. 
 
O 
450 
 T
43
Equilíbrio Estático
5. Uma placa de 10kg é suportada por um cabo preso 
 a uma travessa de 1 m (fi gura ao lado). A massa da 
 travessa e do cabo são desprezíveis. Achar a força 
 exercida pelo sistema no ponto O e a tensão T

 na 
 cabo. 
6. Uma caixa homogênea de 2m x 1m x 1m está sobre 
 uma tábua inclinada, como mostra a fi gura. A 
 inclinação é aumentada lentamente. O coefi ciente de 
 atrito é sufi ciente para impedir o escorregamento 
 da caixa. Em que ângulo θ a caixa tombará? 
7. Duas forças de 40 N estão aplicadas na borda de uma 
 chapa circular de raio R =10 cm, como mostra a fi gura. 
 Calcular o torque provocado por este par de forças. 
8. Durante uma palestra, um estudante segura uma 
 vara de 2 m e com 5 kg por uma das extremidades, 
 mantendo-a na posição horizontal. Estime as forças 
 que o estudente exerce sobre a vara. (existem duas 
 forças que atuam em direções opostas, separadas pela largura da mão)
9. Uma escada está apoiada contra uma parede vertical sem atrito. O coefi ciente de atrito 
entre a escada e o piso é 0,5. Qual o menor ângulo dentro do qual a escada fi cará 
estacionária?
10. Um móbile é constituído por quatro 
 pesos pendurados em três travessões de 
 massa desprezíveis. Determinar os pesos 
 desconhecidos (A, B e C) para o móbile 
 permanecer em equilíbrio.
 
O 
450 
 T
FÍSICA GERAL II
44
Anotações
45
Equilíbrio Estático
Anotações
FÍSICA GERAL II
46
Anotações
47
Fluidos3
3.1 densidade
3.2 pressão em um Fluido
 3.2.1 Medidas de pressão
3.3 princípio de pascal
3.4 Empuxo e o princípio de Arquimedes
3.5 dinâmica dos Fluidos
 3.5.1. princípio de Bernoulli
FÍSICA GERAL II
48
3 FLUIDOS
Fluidos abrangem os gases e os líquidos. Nos fl uidos, os conjuntos de moléculas 
da matéria estão aleatoriamente arranjadas e mantidas juntas por forças exercidas pelas 
paredes do recipiente. Diferentemente de um sólido, que tem volume e forma defi nidos, 
um líquido tem volume e escoa até ocupar a região mais baixa possível do recipiente 
que o contém. Isto quer dizer que não possui forma defi nida. As forças coesivas num 
líquido são fracas e de curto alcance e são frequentemente rompidas pela agitação 
térmica. Essas ligações, apesar de fracas, mantêm a unidade dos líquidos. Essa unidade é 
quebrada nos gases, pois a separação média das moléculas é grande diante do tamanho das 
moléculas. As forças coesivas entre as moléculas são praticamente inexistentes, exceto 
durante as colisões, que são muito frequentes e muito rápidas. Por isso, um gás não tem 
volume nem forma defi nidos. Apesar das diferenças, gases e líquidos têm determinados 
comportamentos semelhantes e podem ser estudados em conjunto.
O estudo dos fl uidos foi sempre um grande desafi o científi co, que provocou 
o pensamento e a imaginação de grandes físicos. Estes grandes físicos utilizaram-se 
principalmente dos conceitos de força e conservação. Dessa forma, novas fronteiras do 
conhecimento foram abertas e propiciaram uma compreensão melhor destes conceitos e 
da própria Física. 
3.1 Densidade
Uma propriedade importante dos líquidos e gases (e também dos sólidos) é a 
razão entrea massa m e o volume V. Esta razão é denominada densidade ρ :
 massa mDensidade
volume V
ρ= =
No sistema internacional (SI) a unidade da densidade é 3/kg m , mas normalmente 
a densidade é dada em kg / l, onde l é a unidade de litro ( 3 3 3 31 10 10l cm m−= = ). No caso 
específi co dos gases o volume é determinado pelo recipiente que o contém.
A densidade das substâncias altera-se com a temperatura e a pressão. A maioria 
dos sólidos e líquidos contraem ligeiramente quando resfriados e também contraem 
ligeiramente quando sob compressão. Estas mudanças no volume são pequenas, logo, é 
comum considerar a densidade independente da temperatura e do volume nos sólidos e 
líquidos. Em contraste, a densidade de um gás depende fortemente da temperatura e da 
pressão e, por essa razão, é indispensável especifi car estas duas grandezas. Adotam-se 
como condições normais de temperatura e pressão a temperatura de 250C e a pressão 
atmosférica ao nível do mar.
A densidade da água, a 4OC, é de 31000 /kg m ou 1,00 /kg l (Tabela 3.1). Uma 
substância (sólido ou líquido) fl utua na água quando a sua densidade for menor que o 
da água. Isto é, para um mesmo volume, a água tem massa maior do que a substância. A 
razão entre a densidade de uma substância e a densidade da água é sua densidade relativa. 
Por exemplo, a densidade da madeira (tabela 3.1) é 600 3/kg m ; portanto, a densidade 
relativa da madeira é 0,6 vezes a densidade da água, por isso a madeira fl utua.
Densidade ρ 
(kg/m3 )
Ar 
atmosférico
1,293
Madeira 0,6-0,9×103
Álcool 0,806×103
Gelo 0,92×103
Água 1,00×103
Água do mar 1,025×103
Alumino 2,70×103
Ferro 7,96×103
Cobre 8,93×103
Chumbo 11,6×103
Tabela 3.1 – Densidade de 
alguns materiais.
49
Fluidos
EXEMPLO 3.1
Normalmente, a densidade de uma substância é dada em relação à densidade da água, 
sendo denominada de densidade relativa. Quais seriam então as densidades relativas do 
álcool e do ferro?
Solução:
Álcool: a densidade do álcool é 3 30,806 10 /kg m× e da água é 
3 31,00 10 /kg m× (ver tabela Y.1). Portanto, a densidade relativa do álcool é 
3 3
3 30,806 10 /1,00 10 0,806
kg kg
m m
 × × = 
 
. Isto quer dizer que a densidade do álcool cor-
responde a 0,806 da água.
Ferro: a densidade do ferro é 3 37,96 10 /kg m× (ver tabela 3.1). Assim, a densidade re-
lativa do ferro é 3 33 37.96 10 /1,00 10 7,96
kg kg
m m
 × × = 
 
. 
3.2 Pressão em um Fluido 
Quando um corpo está imerso em um fl uido este exerce em cada ponto da superfície 
do corpo, uma força perpendicular à superfície. A força que um fl uido exerce sobre uma 
superfície se origina das colisões das moléculas com a superfície. Considerando uma 
colisão elástica, cada uma delas resulta em uma força F em módulo sobre a superfície, 
que é dada por
( )( ) 2f ip p mv m vp mvF
t t t t
− + −∆
= = = =
∆ ∆ ∆ ∆
na qual, m é a massa da molécula e v sua velocidade ( )i fv v v= = . Podemos perceber que 
a força resulta na reversão da componente do vetor velocidade da molécula perpendicular 
à superfície. Um grande número dessas forças ocorre a cada segundo tendo, por resultado, 
uma força macroscópica constante na superfície. Esta força do fl uido F, por unidade de 
área da superfície A, é a pressão P do fl uido:
FP
A
= .
No sistema internacional, a unidade de pressão é o pascal (Pa). Como a força é 
dada em Newton e a área em metro quadrado, temos que
2
NPa
m
= .
Lembremos que a pressão e a força são grandezas diferentes. Observando a 
defi nição de pressão FP
A
= , podemos ter uma pressão muito grande a partir de uma 
força pequena F ao diminuir a área A sobre a qual a força é aplicada. Podemos, também, 
criar uma pressão pequena a partir de uma força grande F ampliando a área A de atuação 
da força. Quando alguém pisa sobre um único prego, ele perfura a pele. Isto não acontece 
quando alguém pisa sobre uma grande quantidade de pregos, conforme fi gura 3.1.
A grande massa de ar sobre a superfície da Terra exerce uma pressão de cerca de 
101kPa sobre a superfície e os corpos sobre ela. Normalmente esta pressão é denominada 
1 atmosfera (atm), que constitui uma unidade de medida de pressão. As relações entre 
estas e outras unidades estão apresentadas na tabela 3.2.
Questão 3.1
Um navio danifi cado 
mal pode fl utuar no 
mar. Então ele é rebo-
cado para um porto em 
um rio. Enquanto é re-
bocado rio acima, ele 
afunda. Por quê?
Figura 3.1 - Pé sobre uma 
quantidade grande de pregos 
(www.phaneo.de).
FÍSICA GERAL II
50
Pascal (Pa) Bar (bar) atmosfera 
(atm)
Torr (torr)
 (mmHg)
libra por polegada 
quadrada
(psi) (lb/in2)
1 Pa 1 1,0000·10−5 9,8692·10−6 7,5006·10−3 1,4504·10−4
1 bar 1,0000·105 1 9,8692·10−1 7,5006·102 1,4504·101
1 atm 1,0133·105 1,0133·100 1 7,6000·102 1,4696·101
1 torr 1,3332·102 1,3332·10−3 1,3158·10−3 1 1,9337·10−2
1 psi 6,8948·103 6,8948·10−2 6,8046·10−2 5,1715·101 1
Tabela 3.2. Tabela de conversão de unidades de pressão.
A pressão exercida por um fl uido sobre um corpo tende a comprimir o corpo. 
A razão entre a variação da pressão P∆ e a diminuição relativa de volume ( )– /V V∆ é 
denominado de módulo de compressibilidade, 
/
PB
V V
∆
= −
∆
.
O módulo de compressibilidade B mede a difi culdade de comprimir um corpo. 
Quanto menor a diminuição relativa de volume ( )/V V∆ , maior será o módulo de 
compressibilidade. O valor de B é elevado para sólidos e líquidos e baixo para os gases.
A pressão num lago ou em qualquer oceano aumenta com a profundidade. Como 
a densidade é aproximadamente constante, o aumento da pressão é aproximadamente 
linear. Analisemos uma coluna de água de altura h e de seção reta A (fi gura 3.2). O peso 
dessa coluna de líquido é
w mg Vg Ahgρ ρ= = =
Se OP for a pressão no topo da coluna de água e P a pressão na base, como 
F PA= , a força para cima provocada pela diferença de pressão é OPA P A− . Fazendo a 
somatória das forças, temos, 
P A OP A− Aρ= hg
OP P hgρ− = 3.1
A diferença de pressão medida na superfície do líquido e medida em uma 
profundidade h é igual a mgh.
EXEMPLO 3.2
Dada uma barragem de uma represa retangular, com 20 metros de largura e 20 metros de 
profundidade: a) calcule a pressão no fundo da represa e b) determine a força horizontal 
total que age sobre a represa.
Solução:
a) Como OP P hgρ− = ;
b) Como dF PdA ghLdhρ= = .
Integrando entre 2
0 0
10 e :
2
h H H
h
h h H F ghLdh gL hdh gLHρ ρ
=
=
= = = = =∫ ∫ .
Portanto, 3 3 2(10 / )(9,81 / )(20 )(20 ) 78480000NF kg m N kg m m= = 7,848.107.
Figura 3.2 - Coluna de 
água com altura h e área 
da seção reta A.
Questão 3.2
Na Groenlândia as ca-
madas de gelo podem 
chegar a 1 km de es-
pessura. Se a densidade 
do gelo é ρ=920 kg/m3, 
estime a pressão do gelo 
sobre o solo.
Questão 3.3
Avalie a força horizon-
tal na parte traseira da 
barragem da represa de 
Itaipu proveniente da 
massa de água. Consi-
dere somente a largura 
da parte central da bar-
ragem com 960 metros 
de comprimento e 180 
metros de profundidade.
51
Fluidos
3.2.1 Medidas de Pressão 
Evangelista Torricelli1 inventou um instrumento simples para medir a pressão: o 
barômetro (fi gura 3.3a). Consistia num tubo longo, fechado em uma extremidade e repleto 
com mercúrio. Era, então, invertido em um recipiente cheio de mercúrio. A pressão no alto 
da coluna de mercúrio pode ser considerada como zero, pois a extremidade é fechada. A 
pressão provocada pela coluna de mercúrio no ponto O deve ser igual à pressão provocada 
pela atmosfera. Se não fosse o caso, o mercúrio mover-se-ia para um ponto até que o equilíbrio 
fosse estabelecido. O peso da coluna de mercúrio no tubo é PF mg= , onde a massa é igual ao 
produto entre a densidade Hgρ e o volume de mercúrio no tubo (V Ah= ). Portanto,
P HgF Ahgρ= .
A pressão OP no ponto O é dada por
HgP
O Hg
AhgFP hg
A A
ρ
ρ= = = .
À medida que a pressão atmosférica varia, a altura da coluna de mercúrio varia 
e, assim, a altura pode ser calibrada paramedir a pressão atmosférica. Para uma pressão 
1 101OP atm kPa= = , temos
O HgP hgρ=
( )
3
2
3
101
1013,5 9,8 /
O
Hg
P kPah
g kg m s
m
ρ
= =
 
× 
 
0,760h m= .
No barômetro é feita a leitura da pressão diretamente pela altura h. Como esta 
altura é dependente da densidade do líquido (mercúrio), usa-se a notação direta de 760 
mmHg (milímetros de mercúrio), conforme pode ser visto na tabela 3.2.
O barômetro de Torricelli mede a pressão absoluta (fi gura 3.3a). O manômetro (fi gura 
3.3b), por sua vez, mede a diferença da pressão atmosférica e a pressão em um recipiente. A 
pressão em A é a pressão do recipiente que queremos determinar. Como no caso do barômetro, 
as pressões em A e B são as mesmas. Se não fossem as mesmas, parte do fl uido experimentaria 
uma força e se movimentaria. Assim, temos que OP P hgρ− = . Descobrindo a altura da coluna 
acima do ponto A (altura de A é igual a altura de B) e multiplicando pelo valor da densidade e 
do valor de g, temos a diferença de pressão OP P− , que é chamada de pressão manométrica. 
A pressão que medimos do pneu do carro é a pressão manométrica. Atualmente, existe uma 
série de novos medidores de pressão que se utilizam destes princípios e/ou de outros, que 
estudaremos posteriormente (condução de calor, capacitância, resistividade elétrica, campo 
elétrico e magnético).
3.3 Princípio de Pascal
Blaise Pascal (1623-1662) foi um fi lósofo religioso, físico e matemático francês. 
Trouxe notáveis contribuições para as ciências naturais aplicadas. Realizou estudos 
importantes em diversas áreas da Física, especialmente sobre fenômenos envolvendo 
fl uidos. Em um de seus tratados, Traité de l’équilibre des liqueurs, que só foi publicado 
um ano após sua morte, Pascal esclareceu, fi nalmente, os princípios barométricos da 
prensa hidráulica e da transmissibilidade de pressões. Estabeleceu aquele que, hoje, é 
conhecido como o Princípio de Pascal:
1 Evangelista Torricelli (1608-1647) foi um físico e matemático italiano. Galileu, impressionado com seus estu-
dos, convidou-o para trabalhar como seu secretário e assistente de Galileu. Depois da morte do mestre Galileu, 
foi então nomeado para substituir-lo como matemático do grão-duque da Toscana e professor de Matemática na 
universidade de Florença.
Figura 3.3
a) barômetro
Figura 3.3
b) manômetro
Questão 3.4
É possível construir 
um barômetro utilizan-
do-se água em vez de 
mercúrio? Qual seria 
a altura da coluna de 
água?
FÍSICA GERAL II
52
Num líquido em repouso ou equilíbrio, 
as variações de pressão transmitem-se 
igualmente e sem perdas para todos os 
pontos da massa líquida. 
A prensa hidráulica (fi gura 3.4) é 
uma aplicação corriqueira do princípio de 
Pascal. Um cilindro de raio menor com um 
pistão é interligado com outro cilindro de 
raio maior, também provido de um outro
pistão. Um fl uido incompressível (parte mais escura da fi gura 4) tem a função de transmitir 
igualmente as variações de pressão entre os dois cilindros. No pistão menor, uma pequena força 
1F provoca uma variação de pressão 1 1/F A , que é transmitida para o pistão maior ( 1 2P P= ), 
como estabelecido pelo principio de Pascal. Assim, podemos escrever:
1 2
1 2
F F
A A
=
2
2 1
1
AF F
A
= .
Como a área 2A do pistão grande é maior do que a área 1A do pistão menor, a 
força 2F é muito maior que a força 1F .
EXEMPLO 3.3
Uma prensa hidráulica tem um pistão grande de raio 20 cm e um pistão pequeno de raio 
2 cm. Qual a força que deverá ser aplicada ao pistão pequeno para que, no maior, possa 
sustentar ou elevar um carro de 2000 kg?
Solução:
A pressão P no pistão pequeno é igual ao quociente entre a força aplicada 1F pela área 1A :
1
1
FP
A
=
 
A força 2F no pistão maior é o produto da pressão P pela área 2A , que é igual ao peso 
do carro,
2 2
2
mgF PA mg P
A
= = → =
Como, pelo principio de Pascal, a pressão é igual nos dois pistões, obtemos
2
1 1 1
1 2
1 2 2 2
F A rmg F mg mg
A A A r
π
π
= → = =
( )( )
2
2
1 2
(2 )2000 9,8 / 196
(20 )
cmF kg m s N
cm
π
π
= =
Temos que tomar muito cuidado, pois, para este caso, a razão entre os dois raios é 10 e 
a razão fi nal entre as forças é 100.
3.4 Empuxo e o Princípio de Arquimedes
Arquimedes de Siracusa (287 a.C. - 212 a.C.) foi um dos mais importantes 
cientistas da Antiguidade. Ele fez descobertas importantes em geometria e matemática, 
como, por exemplo, um método para calcular o número π, utilizando séries. Este resultado 
constitui também o primeiro caso público do cálculo da soma de uma série infi nita. Ele 
concebeu vários tipos de máquinas civis e militares e encontrou, ainda, o princípio da 
Figura 3..4 - Prensa Hidráulica.
53
Fluidos
alavanca. Arquimedes contribuiu para a fundação da hidrostática, tendo feito, entre tantas 
outras descobertas, aquela que leva o seu nome e que fi cou conhecida como Princípio de 
Arquimedes:
Um corpo total ou parcialmente imerso num fl uido sofre um empuxo, debaixo para 
cima, que é igual ao peso do fl uido deslocado.
O princípio de Arquimedes pode ser verifi cado da seguinte forma: um corpo pesado 
preso a um dinamômetro (conforme a fi gura 3.5), quando imerso em água, apresenta uma 
leitura no dinamômetro menor do que quando o corpo não está imerso no líquido. Esta 
diferença se deve à força que a água exerce sobre o corpo, conhecida como empuxo, E. 
Esta força fi ca muito evidente quando trocamos o corpo pesado por uma rolha de cortiça. 
O empuxo é maior que a força peso quando a rolha é completamente submersa no líquido, 
fazendo a rolha subir. A rolha encontra uma situação de equilíbrio e fl utua quando somente 
uma parte dela fi ca submersa, isto é, a força peso se iguala à força empuxo, referente ao 
volume submerso da rolha. Este principio observado no caso da rolha de cortiça é usado 
para medir a densidade de líquidos, sabendo-se a massa e determinando o volume imerso 
no líquido (fi gura 3.6 e exemplo 3.4).
EXEMPLO 3.4
DENSÍMETRO PARA LÍQUIDOS:
O objetivo de um densímetro é medir a densidade de líquidos liqρ . A forma mais comum 
deste instrumento é um tubo de vidro longo fechado em ambas as extremidades (fi gura 
3.6). Este tubo é mais largo em sua parte inferior e possui uma graduação na parte mais 
estreita.
O densímetro deve ser imerso em um recipiente cheio do líquido do qual se deseja deter-
minar a densidade, até que ele possa fl utuar livremente. A leitura é realizada observando 
em que marca da graduação fi ca posicionada a superfície do líquido, conforme fi gura 
3.6. O empuxo E é igual ao peso do fl uido deslocado, isto é, liqE Vgρ= . No equilíbrio 
( )0F =∑

, o empuxo é igual à força peso do próprio densímetro, 
0F =∑
0liqVg mgρ − =
liq
m
V
ρ =
Pelas equações acima é possível notar que m é a massa do densímetro e que o V é o volu-
me do fl uido deslocado. Isto quer dizer que, determinando o volume imerso do densímetro 
no líquido, encontraremos a densidade do líquido liqρ .
Uma das utilidades do densímetro é aquela de inferir a respeito das propriedades dos líqui-
dos através da inspeção de sua densidade, principalmente quando os líquidos são misturas 
de substâncias. A qualidade do álcool é aferida através de um densímetro colocado direta-
mente na bomba dos postos de gasolina (também chamado de alcoômetro). A densidade 
é ligeiramente dependente da temperatura e, por essa razão, juntamente com a medida da 
densidade, é importante determinar a temperatura do líquido.
3.5 Dinâmica dos Fluidos
O escoamento de um fl uido pode ser regular ou turbulento. Mesmo qualitativamente, 
descrever o escoamento turbilhonar é muito difícil. Consequentemente, abordaremos 
somente o escoamento não turbulento de um fl uido “ideal”. Os resultados básicos da 
dinâmica dos fl uidos derivam das leis de conservação. Começaremos abordando a 
conservação de massa.
Figura 3.5
Figura 3.6
densímetro
Questão 3.5
Projete um densíme-
tro que trabalhe entre 
a densidade do álcool 
0,8kg/m3 e da água.
FÍSICA GERAL II
54
Tomemos um fl uido em movimento, emum tubo, com velocidade 1v em um ponto 
1, cuja secção transversal tem área 1A , conforme ilustra a fi gura 3.7. Uma determinada 
massa 1m∆ do fl uido atravessa essa secção num intervalo de tempo infi nitesimal t∆ . Esta 
massa 1m∆ está contida num cilindro de base 1A e altura 1v t∆ . O volume deste cilindro é 
Av t∆ . Se a densidade do fl uido é 1ρ , temos para o infi nitésimo de massa
1 1 1 1m A v tρ∆ = ∆ .
Consideraremos agora a massa 2m∆ em um ponto 2. Por analogia é fácil chegar 
ao resultado
2 2 2 2m A v tρ∆ = ∆
Por conservação de massa, o 
infi nitésimo de massa 2m∆ que passa 
por 2A num intervalo de tempo é o 
mesmo do infi nitésimo de massa 1m∆ 
que passa por 1A no mesmo intervalo de 
tempo. Portanto, 2 1m m∆ = ∆ e, assim,
1 1 1A v tρ ∆ 2 2 2A v tρ= ∆
1 1 1 2 2 2A v A vρ ρ= .
Logo, o produto Avρ permanece 
constante ao longo do tubo, representando o fl uxo de massa por unidade de tempo, através 
da secção transversal do tubo. Admitamos agora que o fl uido seja incompressível, o que 
é uma aproximação adequada para a maioria dos líquidos. Assim, temos que a densidade 
do fl uido não muda ( 1 2ρ ρ ρ= = ), e, portanto,
1 1 2 2A v A v=
ou seja,
Av constante=
Este resultado é chamado de equação de continuidade e a grandeza Av de vazão 
volumar, VI .
EXEMPLO 3.5
O sangue corre por uma artéria, cujo raio é de 1,0 cm, à velocidade de 30 cm/s. Qual a 
velocidade do sangue se o raio da artéria for reduzido para 0,7 cm? (geralmente há uma 
redução do raio em artérias devido à arterioesclerose, que é o espessamento das paredes 
arteriais) 
Solução:
Pela equação de continuidade sabemos que 
Av constante=
Chamando o pedaço de artéria normal de A e a reduzida de B, temos
A A B BA v A v=
2
2
A A
B A A
B B
A rv v v
A r
π
π
   
= =   
   
( )
( )
2
2
1,0
30 / 61,22 /
0,7B
cm
v cm s cm s
cm
π
π
 
= = 
 
 
Assim, a velocidade mais que duplica na área reduzida.
Figura 3.7 - Fluido em movimento em um tubo de 
área de seção reta variável. Os dois cilindros som-
breados têm volumes idênticos.
55
Fluidos
3.5.1 Princípio de Bernoulli
Daniel Bernoulli (1700-
1782), físico e matemático suíço 
fez importantes descobertas sobre 
a dinâmica dos fl uidos. Em seu 
trabalho Hydrodynamica de 1738, 
Bernoulli derivou pela primeira 
vez uma expressão que relaciona 
a pressão à velocidade e à altura 
do fl uido. Essa expressão leva o 
seu nome (princípio de Bernoulli). 
Vamos desenvolver esta expressão usando a conservação da energia mecânica.
Consideremos o escoamento de um fl uido ideal através de um tubo não uniforme 
entre os pontos 1 e 2 em um determinado tempo t (fi gura 3.8). Após um certo tempo t∆ , o 
fl uido desloca-se no interior do tubo e passa a ocupar a região entre 1´e 2´. A massa desta 
parcela de fl uido é m Vρ∆ = ∆ . Este deslocamento elevou m∆ de 1y para 2y e a velocidade 
passou de 1v para 2v . 
A variação da energia potencial desta parcela de fl uido é dada por
2 1 U mgy mgy∆ =∆ − ∆
2 1 ( )U mg y y∆ =∆ −
A variação da energia cinética é
( ) ( )2 22 1
1 1 
2 2cin
E m v m v∆ = ∆ − ∆
( ) 2 22 1
1 ( )
2cin
E m v v∆ = ∆ −
O fl uido à esquerda do ponto 1 exerce uma força sobre esta parcela de fl uido 
restante, e o trabalho desta força é dado por
1 1 1 1 1 1 1W F x P A x P V= ∆ = ∆ = ∆
Da mesma forma, o fl uido à direita exerce uma força sobre o ponto 2 e o trabalho 
será 
2 2 2 2 2 2 2W F x P A x P V= − ∆ = − ∆ = − ∆
Portanto, o trabalho total é a soma dos dois trabalhos,
1 2 1 2( )totalW P V P V V P P= ∆ − ∆ = ∆ −
Como total cinW U E= ∆ + ∆ ,
( ) ( ) 2 21 2 2 1 2 1
1( ) ( ) ( )
2
V P P V g y y V v vρ ρ∆ − = ∆ − + ∆ −
Dividindo cada elemento por V∆ , obtém-se
2 2
1 2 2 1 2 1
1( ) ( ) ( )
2
P P g y y v vρ ρ− = − + − .
 Rearranjando os termos, podemos escrever
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 
2 2
P gy v P gy vρ ρ ρ ρ+ + = + +
Como o ponto 2 pode ser qualquer ponto no tubo, temos que a combinação dos 
valores das grandezas do primeiro termo é constante em qualquer ponto no tubo. Este 
resultado pode ser escrito como
21 constante
2
P gy vρ ρ+ + =
Esta é a equação de Bernoulli, aplicada a um fl uido ideal. 
Figura 3.8 - Fluido em movimento num tubo de área de seção 
reta variável e de elevação variável.
FÍSICA GERAL II
56
Um caso particular é quando o fl uido está em repouso, 1 1 0v v= = :
1 1 2 2P gy P gyρ ρ+ = +
( )1 2 2 1P P g y yρ− = −
1 2P P ghρ− =
Este resultado já é conhecido (equação 3.1) e descreve que a diferença de pressão 
entre dois pontos está relacionada à distância entre os pontos e a densidade.
Para um fl uido que escoa através de um tubo horizontal com uma seção 
estrangulada, 1y e 2y são idênticos. Portanto, a equação de Bernoulli assume a forma
21 
2
P v constanteρ+ =
Como já vimos, o produto Av permanece constante. Quando o fl uido se move e 
entra na região estrangulada, a área A se torna menor e a velocidade deve aumentar. No 
entanto, 2
1 
2
P vρ+ permanece constante. Se a velocidade aumenta, então a pressão deve 
diminuir. Este efeito é denominado de efeito Venturi:
Quando a velocidade de escoamento de um fl uido aumenta, a pressão diminui.
O efeito Venturi explica qualitativamente a sustentação da asa de um avião. A 
asa de um avião é construída de modo que o ar se mova com velocidade maior na parte 
de cima do que na parte de baixo, o que resulta em uma pressão na parte de cima da asa 
menor do que a pressão na parte de baixo da asa. Essa diferença de pressão provoca uma 
força resultante dirigida de baixo para cima, o que proporciona a sustentação da asa.
No futebol também podemos observar o efeito Venturi. Quando uma bola é 
chutada e gira em torno do seu eixo, há uma transmissão do movimento ao ar em sua 
volta. Para melhor entendimento do efeito, vamos considerar uma bola estacionária, com 
o ar fl uindo à sua volta, conforme ilustra a fi gura 3.9. No lado em que a bola gira no 
sentido contrário ao movimento do ar, a velocidade diminui, e do lado que a bola gira no 
mesmo sentido do movimento do ar, a velocidade aumenta. Isso resulta numa diferença 
de pressão e, conseguinte, numa força resultante. Este efeito, descrito pelo físico alemão 
Heinrich Magnus, em 1853, é conhecido como efeito Magnus. Segundo o historiador 
James Gleick, Newton já tinha abordado este efeito depois de observar um jogo de tênis.
Os resultados quantitativos da equação de Bernoulli têm que ser observados 
com cuidado, pois algumas vezes apresentam discrepâncias em relação às medições 
experimentais. A razão das discrepâncias, no caso dos gases, é a compressibilidade do fl uido 
que não foi levada em conta. A viscosidade, no caso dos líquidos, invalida a conservação 
de energia mecânica. Ademais, o escoamento nem sempre é regular, permanente e/ou 
livre de turbulências. 
EXEMPLO 3.6
Um amplo tanque de água tem uma pequena abertura à distância h da superfície do 
líquido (fi gura 3.10). Calcule a velocidade de escoamento de água através da abertura.
Solução:
Usando a equação de Bernoulli e desprezando a velocidade da água na superfície livre, 
temos que
2
1 1 2 2 2
10 
2
P gy P gy vρ ρ ρ+ + = + +
As pressões nos pontos 1 e 2 coincidem, ambas são iguais à pressão atmosférica, Patm, 
pois os dois pontos estão abertos para a atmosfera:
2
1 2 2
10 
2atm atm
P gy P gy vρ ρ ρ+ + = + +
( )22 1 22v g y y= −
2 2v gh=
Figura 3.9 - Uma bola 
de futebol girando sofre 
uma força perpendicular 
à trajetória.
velocidade baixa
pressão alta
F
Figura 3.10
57
Fluidos
No escoamento de um fl uido perfeito, nada evita que ele deslize sobre um sólido 
com velocidade tangencial nula. Num fl uido real aparece uma força volumétrica de atrito 
interno que aparece no deslizamento sobre um sólido. Para caracterizar o grau de atrito 
interno do fl uido, utilizamos um coefi ciente chamado de viscosidade. Viscosidade é a 
resistência que o fl uido tem ao escoar.
Para descobrir o coefi ciente de viscosidade de um fl uido, imaginemos o fl uido 
confi nado entre duas superfícies planas, paralelas, de áreas A iguais,afastadas uma da outra 
por uma distância d, conforme visto na fi gura 3.11. A superfície inferior se mantém imóvel, 
enquanto que a superfície superior desloca-se com uma velocidade constante v, impulsionada 
por uma força aplF constante. Como a velocidade é mantida constante, a aceleração do 
sistema é igual a zero e a somatória das forças envolvidas é igual zero ( )0F =∑ . Isto quer 
dizer que a força aplicada aplF é igual à força de atrito ou de arraste, referente à viscosidade 
do fl uido. É sabido que um fl uido real, em contato com uma superfície, permanece em 
repouso em relação à superfície. Assim, o fl uido em contato com a superfície superior se 
desloca com velocidade vo. A superfície inferior e o fl uido em contato com ela permanecem 
em repouso. Portanto, a velocidade do fl uido varia linearmente entre zero e a velocidade vo:
0vv y
d
=
O escoamento é laminar porque o fl uido se desloca em camadas planas paralelas 
ou em forma de lâminas, que deslizam umas sobre as outras.
A força aplF é diretamente proporcional a velocidade vo e a área A e inversamente 
proporcional à separação d entre as duas superfícies. A constante de proporcionalidade é 
o coefi ciente de viscosidade η . Portanto,
0
apl
v AF
d
η= .
No sistema internacional, a unidade do coefi ciente de viscosidade η é dado 
por N.s/m2=Pa.s. Ainda se usa com 
frequência a unidade poise (P), sendo 
que 
1 . 10Pa s P=
A tabela 3.3 mostra o coefi -
ciente de viscosidade de alguns fl uidos. 
Podemos perceber que a viscosidade 
é dependente da temperatura. Para 
um líquido, η geralmente diminui 
com a temperatura. Para gases há 
um aumento de η com o aumento da 
temperatura.
EXEMPLO 3.7
Quando partículas esféricas se movem através de um fl uido, a força do atrito viscoso é 
dada pela Lei de Stokes: 6SF rvπη= , na qual r é o raio da partícula, v a velocidade e η é 
o coefi ciente de viscosidade. Utilizando a lei de Stokes, determine a viscosidade do fl uido. 
Solução:
O coefi ciente de viscosidade pode ser medido através do seguinte experimento: deixa-
se uma esfera cair em um fl uido e mede-se sua velocidade terminal. Na velocidade 
terminal, a força do atrito viscoso iguala-se à força peso da partícula e, portanto,
6S TF rv mgπη= =
6 T
mg
rv
η
π
=
Por exemplo, observa-se uma velocidade terminal 0,024 /Tv m s= para partículas de 
poluente, com raio 510r m−= e massa 128,3 10m kg−= × , caindo no ar. Assim,
( )( )
( )( )
12 2
5
8,3 10 9,8 /
6 10 0,024 /
kg m s
m m s
η
π
−
−
×
= ⇒ 5 21,8 10 . /N s mη −= ×
Figura 3.11
Escoamento viscoso
FÍSICA GERAL II
58
Para um fl uido de viscosidade pequena como a água, a ação da viscosidade se 
dá geralmente numa camada muito delgada junto à superfície. Nesta camada limite, a 
velocidade varia rapidamente, desde um valor nulo, no meio do fl uido até um valor da 
velocidade v, junto à superfície. Aumentando a velocidade, esta camada limite “descola-
se”, havendo aí o aparecimento de vórtices, gerando um refl uxo. Com o maior aumento 
da velocidade, o movimento torna-se turbulento, caracterizado pelo movimento aleatório 
e, aparentemente, caótico. O tratamento teórico é extremamente difícil e encontra-se 
incompleto, principalmente o mecanismo que descreve o aparecimento da turbulência e 
o regime turbulento.
Exercícios
1. Um pedaço de cortiça de 0,20 kg é mantido preso a um dinamômetro, que está fi xado 
no fundo do recipiente como mostra a fi gura 3.12. O dinamômetro indica 8 N. Calcular 
a densidade da cortiça.
2. Um pedaço de metal pesa 90 N no ar e 56,6 N quando mergulhado na água. Determinar 
a densidade relativa do metal.
3. Imagine que você seja capaz de respirar no chão com uma massa de 40 kg sobre a sua 
caixa torácica. A que profundidade, na água, você conseguiria respirar, admintindo que 
a área frontal da caixa torácica seja de 0,09 m2?
4. O empuxo sobre um corpo submerso depende da forma do corpo?
5. Por que é mais fácil boiar na água salgada do que na água doce?
6. Um tampo de uma mesa tem 1,00 m x 0,80 m. Que força a atmosfera exerce sobre o 
tampo? Por que o tampo não se quebra?
7. Supondo que quando seu corpo está fl utuando na água doce, 95% do seu corpo fi ca 
imerso, que volume de água o seu corpo deslocará quando estiver inteiramente 
submerso?
8. Uma esfera oca de alumínio, com diâmetro externo de 10 cm, fl utua na água com 
metade do seu volume acima da superfície da água. Determinar o diâmetro interno.
Figura 3.12
59
Fluidos
Anotações
FÍSICA GERAL II
60
Anotações
61
Oscilações4
4.1 Movimento de uma partícula Ligada a uma Mola
4.2 Movimento harmônio Simples
 4.2.1 deslocamento, velocidade e Aceleração
 4.2.2 Energia no Movimento harmônico Simples
4.3 pêndulo Simples
4.4 pêndulo Físico
4.5 pêndulo de torção
4.6 oscilações Amortecidas
 4.6.1 Energia total de um oscilador Amortecido
4.7 oscilações Forçadas e Ressonância
FÍSICA GERAL II
62
4 OSCILAÇÕES
 
Oscilações ocorrem quando um sistema estável é perturbado de sua posição de 
equilíbrio. Existem muitos exemplos de oscilações: pêndulo de relógios que se movimentam 
da direita para a esquerda, ou vice-versa, periodicamente; movimento das cordas e palhetas em 
instrumentos musicais; moléculas em um sólido que oscilam em função da temperatura; ondas 
eletromagnéticas, como a luz, que são caracterizadas por vetores oscilantes de campos elétricos 
e campos magnéticos; circuitos de corrente alternada, tais como instalações domésticas, em 
que a voltagem e a corrente variam periodicamente. Como podemos ver, o estudo de oscilações 
é essencial para um melhor entendimento do som, da corrente elétrica e da luz.
Um corpo que oscila possui uma posição de equilíbrio estável. Quando o corpo 
é deslocado desta posição e liberado, surge uma força ou um torque que o faz retornar 
à posição de equilíbrio. Porém, quando ele atinge o ponto de equilíbrio, a sua energia 
cinética faz com que ele atravesse o ponto de equilíbrio e atinja um ponto do outro lado. 
Como ele está deslocado da posição de equilíbrio, surge novamente uma força que o faz 
retornar a posição de equilíbrio. DEsse modo, o corpo executa um movimento periódico. 
Os sistemas que estudaremos com movimento periódicos mais simples, são descritos por 
uma única coordenada, como o deslocamento unidimensional num sistema massa-mola 
ou o ângulo de desvio do pêndulo. 
4.1 Movimento de uma Partícula ligada a uma Mola
Consideremos um corpo de massa m, ligado a uma mola, que pode se mover em 
um trilho horizontal sem atrito, conforme ilustrado na fi gura 4.1. A mola pode ser esticada 
ou comprimida e sua massa é desprezível. Se a mola não estiver esticada ou comprimida, 
o corpo está em repouso em sua posição de equilíbrio, defi nida como x=0. Quando a 
massa é deslocada de um Δx de sua posição de equilíbrio, a mola exerce uma força xF 
sobre ela, dada pela lei de Hooke,
xF k x= − ∆ ,
na qual, k é a constante de força da mola. xF é uma força restauradora linear porque é 
proporcional ao deslocamento da posição de equilíbrio com sentido dirigido sempre para 
a posição de equilíbrio e oposta ao deslocamento. Isto é, quando o corpo é deslocado para 
a direita (fi gura 4.1-II), Δx é positivo e a força elástica Fx é negativa (o sentido da força é 
para a esquerda). Diferentemente, Δx é negativo e a força elástica Fx é positiva (o sentido 
da força é para a direita) quando o corpo é deslocado para a esquerda (fi gura 4.1-IV). 
Se deslocarmos o corpo para a direita até a posição xb (fi gura 4.1II) e, a seguir, o 
libertarmos, a força resultante e a aceleração tem sentido 
para a esquerda. A velocidade aumenta até o corpo atingir 
a posição de equilíbrio (xa=0) (fi gura 4.1-III). Quando o 
corpo está em xa, a força resultante que atua sobre ele é 
igual a zero (Δx=0); porém, devido à sua velocidade, o 
corpo passa pela posição de equilíbrio. Neste ponto sua 
velocidade está orientada para a esquerda e a sua aceleração 
está orientada para a direita. Logo,a velocidade diminui 
até que o corpo pára momentaneamente em xc (fi gura 
4.1IV). Para o caso ideal (sem atrito), │xb│=│xc│. Em 
xc , a força resultante e a aceleração tem sentido para a 
direita, a velocidade aumenta, o corpo passa novamente 
pela posição de equilíbrio e pára momentaneamente no 
ponto xb, repetindo o processo inteiro. Quando isto ocorre, 
o corpo está oscilando. Caso não existisse atrito, este 
movimento se repetiria eternamente.
Figura 4.1 - Sistema 
massa-mola em trilho de ar.
l)
lI)
lII)
lV)
xc xa xb
F xx b
F xx c
F = 0 xx a
F = 0 xx a
63
oscilações
Um movimento oscilatório é caracterizado pela sua amplitude A e seu período 
T. A amplitude A do movimento é o módulo máximo do vetor deslocamento do corpo 
a partir da posição de equilíbrio. Como a amplitude A é o valor máximo do módulo 
│Δx│, A é sempre positivo. O período T é o tempo correspondente a um ciclo completo. 
Podemos defi nir também a frequência f, que é o número de ciclos por segundo. Uma 
grandeza bastante útil no estudo das oscilações é a frequência angular ω , que é 2π vezes 
a frequência.
1f
T
=
2 fω π=
2T
w
π
=
Tabela 4.1 - Relação entre período T, frequência f e frequência angular w.
4.2 Movimento Harmônico Simples
Desenvolveremos agora uma representação matemática do movimento descrito 
na seção anterior. Como, pela segunda lei de Newton, F=ma, e a=dv/dt=d2x/dt2, temos
2
2
d xF m
dt
= .
No caso anterior, a força restauradora é dada por F k x= − ∆ . Fazendo 0 0x = , 
temos F kx= − . Substituindo a força F, obtemos
2
2
d xm kx
dt
= −
2
2
d x k x
dt m
 = − 
 
.
 
 4.1
Precisamos agora de uma solução matemática para a equação anterior, isto é, uma função 
x que satisfaça essa equação (denominada equação diferencial de segunda ordem). Percebemos 
que a segunda derivada de x não é nula. Portanto, x tem que ser dependente do tempo t. Assim,
( )
2
2
( )d x t k x t
dt m
 = − 
 
.
 
 4.2
Procuramos uma função ( )x t , tal que a segunda derivada dessa função seja igual à 
função original com um sinal negativo. As funções trigonométricas seno e cosseno exibem 
esse comportamento, de maneira que podemos construir uma solução em torno de uma ou 
de ambas as funções. Uma sugestão para uma função-solução de ( )x t da equação 4.2 é
( ) ( )x t Acos tω= 4.3
com A e ω sendo constantes. Para provar que a função proposta é uma solução, vamos 
derivá-la duas vezes e compará-la com a equação 4.2. Assim,
[ ]( )( ) ( )d Acos tdx t A sen t
dt dt
ω
ω ω= = −
[ ]2 2
2
( )( ) ( )
d A sen td x t A cos t
dt dt
ω ω
ω ω
−
= = −
[ ] [ ]
2
2
2
( )
( )
d Acos t
Acos t
dt
ω
ω ω= −
 
4.4
Comparando 4.2 e 4.4, observamos que função-solução proposta 4.3, 
( ) ( )x t Acos tω= é uma solução válida. Observamos, também, através da comparação, 
que 2
k
m
ω = .
FÍSICA GERAL II
64
Na fi gura 4.2, temos a representação da solução proposta ( ) ( )x t Acos tω= , para 
diferentes valores de ω . Pela fi gura vemos que um aumento de ω diminui o período 
de oscilação e uma diminuição 
de ω aumenta o período de 
oscilação. Isto signifi ca que 
ω é quem regula o tempo de 
repetição da oscilação. Por essa 
razão, ω é denominada de 
frequência angular. Assim, com 
ajuda da tabela 4.1, podemos 
escrever a frequência e o período 
para um sistema massa-mola 
substituindo a relação 2
k
m
ω = 
nas relações do período T e da 
frequência f:
Figura 4.2 - Gráfi co x(t) para diferentes 
valores de frequência ω . A escala do 
tempo é idêntica para todos os gráfi cos.
2período 2 mT T
k
π π
ω
= → =
1frequência 
2 2
kf f
m
ω
π π
= → =
Como, para cada caso, o movimento pode começar em diferentes posições, 
podemos acrescentar à nossa solução uma constante de fase δ , que é uma mudança do 
ângulo inicial (fi gura 4.3). Fazendo isso, nossa solução pode ser escrita como
( ) ( )x t Acos tω δ= + 4.5
Figura 4.3 - Gráfi co de duas funções 
cosseno com uma diferença de fase δ .
A equação 4.2 e a respectiva solução 4.5 são a base para a análise do movimento 
harmônico simples (MHS). Se estivermos analisando um sistema e a força for proporcional 
ao deslocamento, consequentemente, o sistema apresentará uma equação de movimento 
análoga à equação 4.2 e uma solução análoga à 4.5.
Período
Período
Período
T
x(t) = Acos ( t)ω
tempo t
x’(t) = Acos( t ),´ω
tempo t
tempo t
x’´(t) = Acos( ´t ),´ω
ω ω´ = 2
ω ω´´ =
1_
2
T´
T´´
tempo t
constante
de fase
Período T
x t( )
A
-A
x t A t( ) = cos( + )ω δ
x t A t( ) = cos( )ω
65
oscilações
EXEMPLO 4.1
Um corpo de massa m1, pendurado numa mola, provoca um estiramento de 10 cm. O 
corpo é, então, colocado para oscilar verticalmente. a) Determine a frequência do mo-
vimento. b) O que acontece com a frequência de oscilação se o corpo m1 for substituído 
por um de massa m2= m1/2.
Solução:
a) A constante elástica da mola pode ser determinada pelo deslocamento produzido pelo 
do estiramento (Δy=10cm=0,1m). Na posição de equílibrio a somatória das forças é 
igual a zero ( )0F =∑ e, portanto,
1 0F m g k y= − + ∆ =∑
1m gk
y
=
∆
A frequência de oscilação é dada por
1
1
1
1 1
2 2 2
m
w kf
mπ π π
= = =
1
g
y
m
 
 ∆ 
2
1
1
1 1 9,81 / 1,57 1 ,57Hz
2 2 0,1
g m sf s
y mπ π
−= = = =
∆
1 1,57Hzf =
b) Substituindo a massa m1 por m2=m1/2, na frequência f, temos:
2
2 1 1
1 1 2 12
2 2 2
k k kf
m m mπ π π
 
= = =   
 
2 12 2, 22Hzf f= =
4.2.1 Deslocamento, velocidade e aceleração
A função ( ) ( )x t Acos tω δ= + (equação 
4.5) descreve o deslocamento x em função do tempo 
em um oscilador harmônico. O valor da função cos-
seno está sempre compreendido entre -1 e 1, de modo 
que o valor de x está sempre compreendido entre –A 
e A. O valor de A é denominado de amplitude. A 
fi gura 4.4a mostra o gráfi co do deslocamento ( )x t .
A velocidade é igual a derivada temporal 
do deslocamento, 
( )
( ( ) )
d x t
v t
dt
  = , e a aceleração 
é igual à derivada temporal da velocidade, 
[ ]( )( ) d v ta t
dt
= . Se desejarmos determinar a 
velocidade v e a aceleração a em função do tempo, 
podemos derivar a equação 4.5 em relação ao tempo:
( ) ( )x t Acos tω δ= +
( ) [ ]( )( ) ( )d x t d Acos tv t A sen t
dt dt
ω δ
ω ω δ
  + = = = − +
( ) ( )v t A sen tω ω δ= − + . 4.6
Figura 4.4 - a) deslocamento, b) velocidade e c) 
aceleração de um oscilador harmônico. A escala 
de tempo é idêntica para todos os gráfi cos.
tempo 
tempo 
a) deslocamento
c) aceleração
b) velocidade
tempo 
A ²ω
Aω
-A ²ω
-Aω
x t( )
v t( )
a t( )
A
-A
FÍSICA GERAL II
66
[ ] [ ] 2( ) ( )( ) ( )d v t d A sen ta t A cos t
dt dt
ω ω δ
ω ω δ
− +
= = = − +
2( ) ( ) a t Aw cos wt δ= − + 4.7
Podemos observar, pelas equações obtidas e pelos gráfi cos 4.4b e 4.4c, que a 
velocidade oscila entre os valores max max –v A e v Aω ω= + = − , e a aceleração oscila entre 
os valores 2 2max max –a A e a Aω ω= = − . 
EXEMPLO 4.2
Suponha que num determinado tempo t’ sejam conhecidas a posição x e a velocidade v 
de um oscilador. Encontre a amplitude máxima desse oscilador.
A posição é dada por ( ')x Acos tω= e a velocidade ( ')dxv A sen t
dt
ω ω= = − ; A é a 
amplitude máxima do oscilador.
Elevando ao quadrado a posição e a velocidade, temos:
( ) ( )
2
2 2 2 2 2
2' e ' . 
vx A cos t A sen tω ω
ω
= =
Somando x e v, obtemos
( )
2
2 2 2 2 2
2 ' ( ')
vx A cos t A sen tω ω
ω
+ = +
( )
2
2 2 2 2
2 ' ( ')
vx A cos t sen tω ω
ω
 + = + 
Como ( )2 2 ( ) 1cos t sen tω ω + =  , 2
2 2
2
vx A
ω
+ =
2
2
2
vA x
ω
= + .
A amplitude máxima depende somente da posição e da velocidade em um determinado 
tempo t’.EXEMPLO 4.3
Um menino observa um pequeno barco ancorado que oscila 12 vezes em 20 s. Cada 
oscilação produz uma elevação máxima de 20 cm na superfície da água. Além disso, 
nota-se que uma crista de onda qualquer alcança a margem, distante 12 m, em 6 s. De-
termine: a) o período; b) a velocidade; c) o comprimento de onda*; d) a amplitude da 
onda e e) a equação da onda*. (* serão vistos no Capítulo 5)
Solução:
a) Período T: O barco oscila 12 vezes em 20 segundos, assim,
20 1,67
12
sT s= =
b ) Velocidade v: a onda percorre 12 metros em 6 segundos, logo
12 2 /
6
x mv m s
t s
∆
= = =
∆c) Comprimento de onda λ:
( )1,67 (2 / ) 3,33vT s m s mλ = = ⋅ =
d) Amplitude A: cada oscilação produz uma elevação máxima de 20 cm na superfície da água.
A = 20 cm = 0,2 m
e) Equação da onda é ( )x Acos tω δ= + , na qual a freqüência angular 2 / 3,77 /T rad sω π= = . 
Substituindo ω e A, obtemos
(0, 2 ) ((3.77 / ) )x m cos rad s t δ= +
Observe que não determinamos a diferença de fase δ, pois o problema não traz esta 
informação (condições iniciais da observação).
QUESTÃO 4.1
Uma bola batendo 
livremente diversas 
vezes no chão é um 
exemplo de movimen-
to harmônico simples? 
O movimento diário 
de um trabalhador 
indo para o trabalho e 
voltando para casa é 
um exemplo de movi-
mento harmônico sim-
ples? Explique suas 
respostas.
67
oscilações
4.2.2 Energia no movimento harmônico simples.
Se considerarmos o sistema massa-mola como um sistema isolado, podemos 
estudar a energia mecânica do sistema, pois o valor da mesma permanece constante. A 
energia cinética Ecin do sistema é associada apenas ao movimento da massa m. Utilizando 
a velocidade v defi nida pela equação 4.6, temos
2 2 2 21 1 ( )
2 2cin
E mv mA sen tω ω δ= = +
2 2 21 ( )
2cin
E mA sen tω ω δ= +
A energia potencial U no sistema massa-mola está associada à mola. Para obtermos 
a energia potencial temos que descobrir o trabalho realizado pela mola, saindo da posição 
de equilíbrio x = 0 até uma posição qualquer x. O trabalho W realizado pela mola é dado por
( ) ( )xdW F dx kx dx= = −
( ) 2
0
1
2
x
dW kx dx kx= − = −∫ ∫
21
2
W kx= − .
A energia potencial U é dada por U = -W, portanto, 
21
2
U kx= .
Substituindo x dado pela equação 4.3, temos
2 21 ( )
2
U kA cos tω δ= + .
Observamos que as grandezas Ecin e U são sempre positivas e variam em função 
do tempo. Podemos expressar a energia total do oscilador como,
cinE U E= +
( )2 2 2 2 21 1 ( )
2 2
E kA cos t mA sen tω δ ω ω δ= + + +
Substituindo 2 /k mω = no segundo termo do lado direito, podemos escrever,
( )2 2 2 21 1 ( )
2 2
E kA cos t kA sen tω δ ω δ= + + +
Como o termo 2
1
2
kA aparece nos dois termos à direita, podemos colocá-lo em 
evidência, tal que
( )2 2 21 ( )
2
E kA cos t sen tω δ ω δ = + + + 
Como ( )2 2 ( ) 1cos t sen tω δ ω δ + + + =  para qualquer tempo t, a equação 
anterior se reduz a
21
2
E kA= .
Isto é, a energia de um oscilador 
harmônico simples isolado é dependente 
unicamente da constante elástica da mola e 
da amplitude máxima. A fi gura 4.5 mostra a 
energia cinética Ecin e potencial U em função 
do tempo. Podemos observar que a soma da 
energia cinética e potencial em qualquer 
instante de tempo é igual a 2
1
2
kA . 
Figura 4.5 - Energia cinética e potencial em 
função do tempo para um oscilador harmônico 
simples isolado.
QUESTÃO 4.2
Um sistema massa-
mola, na horizontal 
ou na vertical, tem 
o mesmo período de 
oscilação. A força 
gravitacional está em 
equilíbrio com a força 
normal (para a posição 
horizontal) e com a 
tensão da mola (para 
a posição vertical). O 
que acontece com a 
posição de equilíbrio 
no sistema massa-mola 
na vertical, quando 
comparado com o 
sistema horizontal?
FÍSICA GERAL II
68
EXEMPLO 4.4
No exemplo 1, deduzimos a partir da função deslocamento x(t) a expressão 
2
2 2
2
vx A
ω
+ = . A partir 
do conceito de conservação de energia, deduza esta mesma expressão.
Solução:
Como a energia total 21
2
E kA= E=1/2 kA^2 é a soma da energia potencial 21
2
U kx=
U=1/2 kx^2 e da energia cinética 21
2cin
E mv= ,
cinE E U= +
2 2 21 1 1
2 2 2
kA mv kx= +
1
2
2 1
2
kA = 2 1
2
mv + 2kx
2 2 2mA v x
k
= +
como kw
m
= , temos
2
2 2
2
vx A
ω
+ =
4.3 Pêndulo Simples
Um pêndulo simples é constituído por um fi o inextensível de comprimento L, 
que sustenta, pendurado, um corpo pequeno e pesado de massa m (fi gura 4.6). Uma bola 
de demolição presa no cabo de um guindaste, o peso da extremidade de um fi o de prumo 
ou uma criança em um balanço são exemplos de um pêndulo simples. A massa do fi o 
tem que ser desprezível em relação à massa do corpo, isto é, a massa do corpo é muito 
maior do que a massa do fi o. Todas as forças de atrito serão desconsideradas e o corpo é 
considerado puntiforme. Quando o corpo é deslocado da posição de equilíbrio, fazendo 
um ângulo inicial qualquer θ com a posição de equilíbrio (vertical) e, a seguir, é liberado, 
o corpo oscila em torno da posição de equilíbrio com um certo período de tempo T. 
As forças sobre o corpo são o peso mg e a tensão na corda T

, como mostra a 
fi gura 4.6. O peso tem a componente mgcosθ na direção do fi o e mgsenθ na direção 
tangente ao arco do círculo. A componente mgcosθ se anula com a tensão na corda T. 
Somente a componente de força mgsenθ é responsável pelo movimento do corpo. Como 
F ma=∑ (segunda Lei de Newton), temos
F mgsen maθ= − =∑
m− gsen mθ =
2
2
d s
dt
2
2
d sgsen
dt
θ− = ,
 
 4.8
na qual, s é o comprimento do arco medido a partir do ponto de equilíbrio do pêndulo 
(fi gura 4.6b), e pode ser escrito em função do comprimento L e do ângulo θ ,
s Lθ=
Derivando o comprimento s duas vezes em função do tempo e lembrando que L 
permanece constante, obtemos
2 2
2 2
d s dL
dt dt
θ
=
Substituindo na equação 4.8, resulta que
2
2
dgsen L
dt
θθ− = .
Figura 4.6 - a) A posição 
do pêndulo simples em 
intervalos de tempo 
iguais. O espaçamento 
aumenta quando o pêndulo 
se aproxima do fundo 
da trajetória, indicando 
uma velocidade maior. b) 
Diagrama de forças atuando 
no pêndulo simples.
a)
b)
69
oscilações
ângulo 
(graus)
ângulo
(rad)
seno do
ângulo
Tabela 4.2 - Seno de diversos ângulos. Percebe-se que, 
conforme o ângulo diminui, o valor do ângulo θ em radianos 
tende para o valor da função seno do mesmo ângulo. Abaixo 
de 100 não se nota diferença entre os dois valores, quando se 
usam somente 3 casas decimais.
900 1,570 1,000
750 1,308 0,966
600 1,047 0,866
450 0,785 0,707
300 0,523 0,500
150 0,262 0,259
120 0,209 0,208
100 0,174 0,174
50 0,087 0,087
20 0,035 0,035
10 0,017 0,017
A tabela 4.2 mostra que para ângulos pequenos, o valor de senθ é quase idêntico 
ao valor do próprio ângulo θ medido em radianos. Assim, para oscilações com ângulos 
menores que 150 podemos usar a aproximação senθ θ≈ na equação anterior, fi cando
2
2
d g
dt L
θ θ= − ,
sendo, θ o valor do ângulo em qualquer tempo, θ é uma função do tempo; portanto,
( ) ( )
2
2
d t g t
dt L
θ
θ = − 
  
4.9
A equação anterior tem a mesma forma da equação 4.2, do sistema massa-mola. 
Igualmente, temos uma solução da equação anterior que é dada por
max( ) cos( )t tθ θ ω δ= + 4.10
na qual, maxθ é o deslocamento angular máximo, ω é a frequencia angular e δ é a 
diferença de fase. Derivando a solução 4.10 duas vezes em função do tempo e substituindo 
na equação 4.9, obtemos 2 gw
L
= 2
g
L
ω =
O período T e a frequencia f do movimento são, então,
2 2 LT
g
π π
ω
= =
 
4.11
1 1
2
gf
T Lπ
= = .
 
4.12
As equações 4.11 e 4.12 mostram que o período T e a frequência f dependem 
somente do comprimento L e da aceleração gravitacional. Quanto maior o comprimento de 
um pêndulo simples, maior o período. Para oscilações pequenas, o períodoé independente 
da amplitude da oscilação e da massa do corpo. Galileu Galilei (1564-1642) ao observar o 
movimento oscilatório de um dos lustres da catedral de Pisa, verifi cou que o movimento 
do lustre era periódico e que as pequenas oscilações eram isócronas, isto é, aconteciam a 
intervalos regulares. Galileu constatou, também, que o período de um pêndulo independe 
da natureza e da massa.
4.4 Pêndulo Físico 
Um pêndulo físico é qualquer corpo pendurado que oscila em torno de um eixo que não 
passa pelo seu centro de massa (fi gura 4.7). Para um pêndulo físico, precisamos usar o modelo 
do corpo rígido submetido ao um torque. O torque τ é defi nido como o produto vetorial entre 
o vetor posição r de aplicação da força e o vetor força ( )F r Fτ = ×

 

. A fi gura 4.7a mostra 
QUESTÃO 4.3
Imagine que um pêndulo 
esteja pendurado no teto de 
um carro com aceleração 
constante. O período de os-
cilação muda em relação ao 
período de um pêndulo em 
um carro parado? (lembre-
se do aparecimento de uma 
pseudoforça no pêndulo 
com o carro acelerado) 
DICA:
Vale a pena revisar os con-
ceitos de torque, acelera-
ção angular e momento de 
inércia do Capítulo 9 do 
livro de Física Geral I.
FÍSICA GERAL II
70
um corpo de forma irregular que pode girar em torno de um certo ponto O que está a uma 
distância d do centro de massa (c.m.). Quando o corpo é deslocado da posição de equilíbrio 
(ver fi gura 4.7b), a força peso mg produz um torque com a seguinte magnitude:
( )d mg senτ θ= − .
Para ângulos pequenos, podemos aproximar senθ pelo deslocamento angular θ . Assim,
dmgτ θ= − .
Usando a segunda lei de Newton ( F ma=∑ ) para um sistema que gira, temos 
que a somatória dos torques é igual ao produto entre o momento de inércia I e a aceleração 
angular α ,
Iτ α=∑ .
Substituindo o torque calculado para o corpo fora da posição de equilíbrio 
e a defi nição de aceleração angular como a segunda derivada em função do tempo do 
deslocamento angular 
2
2
( )d t
dt
θα
 
= 
 
, obtemos
2
2
( )( ) d tdmg t I
dt
θθ− =
2
2
( ) ( )d t dmg t
dt I
θ θ = − 
 
Analogamente ao ao caso do sistema massa-mola e do pêndulo simples, a solução 
da equação anterior será dada por
max( ) cos( )t tθ θ ω δ= +
Derivando esta solução duas vezes em função do tempo e substituindo-a na equação 
anterior (como no caso do massa-mola e do pêndulo simples), obtemos
2 dmg
I
ω =
2 IT
dmg
π=
1
2
dmgf
Iπ
=
Para determinar o período ou frequência de oscilação de um pêndulo físico, temos 
que conhecer a massa do corpo, a posição do seu centro de massa e o momento de inércia 
do corpo em relação ao eixo de rotação. Podemos, a partir do período ou da frequência de 
oscilação de um corpo qualquer, determinar facilmente o momento de inércia de um dado 
sistema, que é uma grandeza importante na mecânica e, muitas vezes, difícil de se obter 
por outros métodos. Conhecendo-se bem as grandezas d, m e I, pode-se determinar com 
bastante precisão o valor da aceleração da gravidade local. 
4.5. Pêndulo De Torção 
A fi gura 4.8a mostra um relógio construído em 1364, em Pádua na Itália, que 
utiliza uma roda Catarina (fi gura 4.8b) como constante de tempo. A roda Catarina tem 
um momento de inércia I em torno do seu eixo. Um torque proporcional ao deslocamento 
angular θ da posição de equilíbrio é exercido por uma mola helicoidal sobre a roda. Este 
torque é dado por kτ θ= − , onde ké uma constante denominada constante de torção. 
Utilizando o análogo rotacional da segunda lei de Newton, 
2
2
dI I
dt
θτ α= =∑ , temos
2
2
d k
dt I
θ θ= − .
A equação anterior possui uma solução análoga a todos os sistemas até agora 
estudados. O movimento angular é descrito por max( ) cos( )t tθ θ ω δ= + e a frequência 
Figura 4.7 - Pêndulo 
físico: a) na posição de 
equilíbrio e b) fora da 
posição de equilíbrio.
a)
b)
Figura 4.8 - a) Relógio 
de Pádua (Itália) de 1364 
e b) Roda Catarina de um 
relógio mecânico.
b)
a)
71
oscilações
angular, o período e a frequência são dados por:
2 kw
I
= ,
2 IT
k
π= ,
1
2
kf
Iπ
= .
Assim, o período de uma roda Catarina é determinado unicamente pela constante 
de torção k e pelo momento de inércia da roda.
4.6 Oscilações Amortecidas 
As oscilações harmônicas simples, estudadas até agora, ocorrem sem atrito. Todas 
as forças envolvidas são conservativas e, consequentemente, a energia mecânica total é 
constante. Quando o sistema começa a oscilar, ele oscila eternamente, sem diminuição da 
amplitude. 
Na prática, sempre existe uma ou mais forças não conservativas e a amplitude 
de oscilação diminui com o tempo. A 
oscilação que diminui de amplitude com 
o tempo é denominado de oscilação 
amortecida (ver fi gura 4.9). O caso mais 
simples é aquele quando analisamos 
um sistema massa-mola, onde o ar ou 
outro fl uido faz a amplitude diminuir. 
Esta força produzida por um fl uido tem 
a forma geral nF bv= , em que b é uma 
constante, v é a velocidade e n depende 
do sistema e do fl uido (usaremos neste 
caso n = 1). Portanto, a força resultante 
sobre a massa é dada por,
F kx bv= − −∑
e a segunda lei de Newton F ma=∑ para o sistema é 
ma kx bv= − − 4.13
2
2
d x dxm kx b
dt dt
= − − .
Rearranjando, temos
2
2
d x dxm b kx
dt dt
+ = − .
 
4.14
A fi gura 4.9 mostra um exemplo de oscilação amortecida. Podemos observar pelas 
duas curvas tracejadas que a amplitude decai obedecendo a uma função exponencial
2( )
( )
bm
te
−
. Contudo, o sistema continua oscilando (cos( ´ )tω δ+ ). A equação que descreve a 
posição em qualquer tempo é dada pelo produto da função exponencial e da função cos-seno,
( )
2( )
cos( ´ )
bm
tx t Ae tω δ
−
= +
 
 4.15
Substituindo a primeira derivada e a segunda derivada da posição em função do tempo 
(4.15) na equação 4.14, observamos que a 4.15 é uma solução da equação 4.14 e que o 
valor da frequência angular é dado por
Figura 4.9 - Em um oscilador amortecido, 
a amplitude decai com o tempo.
QUESTÃO 4.4
Qual é a unidade da cons-
tante de torção k?
QUESTÃO 4.5
Sabendo que o período de 
uma roda Catarina é dado 
por 2 IT
k
π= , o que 
devemos fazer para acertar 
um relógio que atrasa?
tempo T0 2T0 3T0 4T0 5T0 t
A
- A
0
2( )bm
te
−
2( )bm
te
−
FÍSICA GERAL II
72
2
2´ ,4
k b
m m
ω = − ,
portanto:
• Se o sistema massa-mola tiver pouco atrito, a constante b deverá ser pequena e o 
valor da frequência angular tende a ´ k
m
ω = , que é a frequência angular de um 
oscilador harmônico simples sem atrito (Compare fi gura 4.10a e 4.10b). 
• Quando 2b km= , o valor de ω será igual a zero. Neste caso, ocorre o chamado 
amortecimento crítico (fi gura 4.10c). O sistema não oscila mais e, ao ser deslocado 
e liberado, retorna à posição de equilíbrio sem oscilar.
• A condição de b maior que 2 km corresponde ao superamortecimento (fi gura 
4.10d). Igualmente, o sistema não oscila, porém, retorna à sua posição de 
equilíbrio mais lentamente que no caso do amortecimento crítico. 
Figura 4.10 - Gráfi cos da posição em função 
do tempo para um: a) oscilador harmônico 
simples, b) oscilador amortecido, c) oscilador 
criticamente amortecido e d) um oscilador 
superamortecido.
4.6.1 Energia Total de um oscilador amortecido
Nas oscilações amortecidas o trabalho da força ou forças não conservativas faz com que 
a energia mecânica do sistema diminua, tendendo a zero depois de um longo tempo. Para 
determinar a taxa de variação temporal da energia vamos derivar a energia mecânica total 
em função do tempo, 
2 21 1
2 2
E mv kx= +
dE dv dxmv kx
dt dt dt
= +
Como a variação temporal da velocidade é igual a aceleração 
dv a
dt
 = 
 
 e a variação 
temporal da posição é igual a velocidade 
dx v
dt
 = 
 
, temos
( )dE v ma kx
dt
= +
Como ma kx bv= − − (equação 4.13),
2dE bv
dt
= −
A variação da energia é sempre negativa, independente da velocidadev ser 
positiva ou negativa. Isto indica que a energia diminui continuamente. A dependência da 
taxa de variação da velocidade mostra que esta taxa muda continuamente.
Um comportamento similar acontece em circuitos elétricos contendo indutores, 
capacitores e resistores. Existe uma frequência natural de oscilação e a resistência 
desempenha o papel da constante de amortecimento b. 
d
c
b
a- A
A
0 t
73
oscilações
4.7 Oscilações Forçadas E Ressonância
Como vimos na seção anterior, um oscilador real perde sua energia 
continuamente. Para manter as oscilações é necessário aplicar uma força propulsora que 
varia periodicamente com uma frequência angular ω ( 0cos( )F F tω= ). À este movimento 
damos o nome de oscilação forçada. Trata-se de um movimento diferente do ocorrido 
quando, simplesmente, deslocamos o sistema sem atrito de sua posição de equilíbrio e o 
deixamos livre; neste caso, o sistema oscila com uma frequência angular natural 0ω como 
já foi determinado neste capítulo para o sistema massa-mola 0
k
m
ω
 
=  
 
.
Na oscilação forçada mostraremos que o importante não é somente a quantidade 
de energia aplicada pelo trabalho da força propulsora. Para isso, utilizaremos um corpo 
pendurado numa mola e excitado com uma frequência ω , A segunda lei de Newton neste 
caso pode ser escrita como
F ma=∑
( )0 cosF t bv kx maω − − =
( )
2
0 2cos
dx d xF t b kx m
dt dt
ω − − =
Quando a força propulsora começa a atuar sobre o corpo parado, a amplitude 
da oscilação vai aumentando. Após um tempo sufi cientemente longo, a amplitude de 
oscilação tende a um valor constante. Esta condição é chamada de estado estacionário. 
Neste caso, uma solução da equação anterior é
( ) ( )x t Acos tω δ= +
na qual, a amplitude A é dada por
( )
0
2
2 2
0
/F mA
b
m
ωω ω
=
 − +  
 
A fi gura 4.11 mostra o gráfi co da amplitude em função da frequência angular ω 
aplicada pela força propulsora. Podemos observar, pelo gráfi co, que o valor da amplitude 
A é máximo para 0. ω ω≈ . Este aumento da amplitude próximo da frequência angular 
natural 0ω é chamado de ressonância e a frequência angular natural é denominada de 
frequência de ressonância. 
Quando o amortecimento é pequeno não há grande diferença entre a frequência 
de ressonância 0ω e a frequência natural do oscilador sem amortecimento 0
k
m
ω
 
=  
 
. 
Neste caso, a ressonância ocorre quando a frequência da força aplicada é igual à frequência 
natural do oscilador sem amortecimento e, além disso, a velocidade está em fase com 
a força aplicada F0. Essa é a condição mais favorável para transferência de energia ao 
oscilador, por unidade de tempo, pois o trabalho efetuado pela força aplicada F0 sobre o 
oscilador é máximo e sempre positivo, uma vez que F0 e o deslocamento da massa estão 
sempre na direção do movimento. Portanto,
Na ressonância, a transferência de energia potencial da força aplicada ao oscilador 
forçado é máxima.
FÍSICA GERAL II
74
Figura 4.11 - Gráfi co da amplitude em função da frequência angular 
aplicada por uma força propulsora. A ressonância acontece quando 
a frequência da força propulsora torna-se igual à frequência natural 
0ω . A forma da curva depende do valor da força de amortecimento 
F bv= − .
Diferentes valores de força responsável pelo amortecimento ( F bv= − ) são 
apresentados na fi gura 4.11. A altura da curva no ponto máximo é proporcional a (1/b).Isto 
expressa que, quanto menor for o amortecimento, mais elevado serão os valores da amplitude. 
Na ausência de uma força amortecedora (b = 0), vemos 
que a amplitude do estado estacionário se aproxima do 
infi nito a medida que 0w w→ .
A ressonância pode ser observada com um 
experimento bastante simples (ver fi gura 4.12). Se num 
fi o fl exível suspendermos seis pêndulos e oscilarmos o 
pêndulo 0, os outros também começarão a oscilar. O 
Pêndulo que oscila com maior amplitude é o número 
3, que tem o comprimento L igual ao do pêndulo 0, 
portanto, com a mesma frequência natural.
A ressonância é, portanto, o fenômeno que acontece quando existe um pico de 
amplitude provocado por uma força cuja frequência está próxima da frequência natural 
do sistema. Amplitudes máximas no sinal são obtidas quando a frequência da onda é 
igual à frequência de ressonância de circuitos de sintonia em rádios, televisões, celulares 
e conexões sem fi o. Este fato é usado para selecionar um emissor e rejeitar outros. O 
fenômeno de ressonância produz um ruído desagradável quando uma nota musical 
coincide com a frequência de oscilação natural do auto-falante. Medidas de tomografi a, 
para o diagnóstico de doenças, utilizam a ressonância da frequência do núcleo do átomo 
de hidrogênio sob a ação de um campo magnético.
Exercícios
1. Um corpo oscila com movimento harmônico simples de amplitude A. a) Qual o 
deslocamento do corpo em um período? b) Que distância o corpo cobre em um período? 
2. Se a amplitude do movimento de um oscilador harmônico simples for quadruplicada, 
por que fator fi ca multiplicada a sua energia?
3. Um corpo de 0,4 kg, preso a uma mola de constante k = 8,0 N/m oscila com uma 
amplitude de 10,0 cm. a) Calcule o valor máximo da velocidade e da aceleração. b) 
A velocidade e a aceleração quando o corpo está em 0, 2,5, 5, 5,5 e 10 cm.
4. Um corpo de 1 kg, está preso a uma mola de k = 5x103 N/m. A mola é esticada 10 cm 
além da posição de equilíbrio e depois solta. Determine a) o período, b) a freqüência 
do movimento, c) a amplitude, d) a velocidade máxima e e) a aceleração máxima. f) 
Em que instante o corpo passa, pela primeira vez, na posição de equilíbrio?
b
b
b = 0
 grande
 pequeno
não amortecido
A
QUESTÃO 4.6
A frequência de 
excitação do sistema em 
ressonância é igual à 
freqüência natural?
QUESTÃO 4.7
Para um cantor conseguir 
quebrar um cálice de 
cristal, o que é mais 
importante: a freqüência ou 
a altura do som?
Figura 4.12 - Seis pêndulos simples, 
com acoplamento fraco.
75
oscilações
5. Um fi o metálico suporta a massa em um relógio. Quando a temperatura se eleva, o 
comprimento do fi o aumenta. Qual o efeito do aumento do fi o no período do relógio?
6. Se em um determinado local o período de um pêndulo de L = 0,7 cm for de 1,68 s, qual 
o valor de g?
 
7. Os pistões de um motor a gasolina estão em movimento harmônico simples (fi gura 
4.13). Se os extremos de seu deslocamento forem 10 cm, encontre a velocidade máxima 
e a aceleração máxima do pistão quando o motor estiver funcionando a 5400 rev/min.
 
 Figura 4.13 Figura 4.14
8. Determine o período de oscilação de cada um dos sistemas esquematizados na fi gura 
4.14. Se a amplitude máxima de todos for 10 cm, calcule a energia de cada um dos 
sistemas (no caso do pêndulo, calcular a energia potencial no ponto mais alto da 
trajetória) .
9. Um corpo plano realiza movimento harmônico simples com uma frequência de 0,45 Hz. 
Se o corpo tem uma massa de 2,2 kg e o pivô está localizado a 0,350 m do centro de 
massa, determine o momento de inércia do pêndulo ao redor do pivô. 
10. Um aro circular, com 1 m de raio, está pendurado perpendicular a uma extremidade e 
oscila no seu próprio plano. Qual o período da oscilação?
11. Qual é a razão entre as amplitudes de duas oscilações sucessivas no caso de um 
oscilador amortecido?
12. Dê alguns exemplos de sistemas comuns que podem ser osciladores forçados. 
13. Um pêndulo com comprimento de 1 m é liberado de um ângulo inicial de 150. Após 1 
segundo, sua amplitude foi reduzida pelo atrito a 5,50. Qual o valor de b/2m?
14. O amortecimento é desprezível para um corpo de 0,150 kg pendurado em uma mola 
leve, cujo k = 6,3 N/m. O sistema é impulsionado por uma força oscilante de intensidade 
a 1,70N. Em que frequência a força fará a massa vibrar com uma amplitude de 0,44 m?
15. A quebra de um cálice de cristal por uma onda acústica intensa é exemplo de
a) amortecimento crítico.
b)superamortecimento.
c) ressonância.
 
16. Determine a frequência de ressonância de cada um dos sistemas esquematizados na 
fi gura 4.14. 
FÍSICA GERAL II
76
Anotações
77
oscilações
Anotações
FÍSICA GERAL II
78
Anotações
79
Ondas Mecânicas5
5.1 pulsos ondulatórios
5.2 velocidade de ondas
5.3 A onda progressiva
5.4 Refl exão e transmissão de ondas
5.5 ondas Estacionárias
5.6 Interferência de ondas
5.7 Efeito doppler
FÍSICA GERAL II
80
5 ONDAS MECÂNICAS 
O estudo das ondas constitui-se no estudo dos fenômenos mais fundamentais e mais 
importantes da Física. A onda mais familiar para nós é, provavelmente, aquela que se propaga na 
superfície da água. Embora aparentemente simples, ondas deste gênero constituem-se num dos 
mais complicados tipos de onda. O mundo está cheio de ondas, incluindo as sonoras, ondas em 
cordas, ondas sísmicas, ondas de rádio e outras. Num sentido mais amplo, ondas transportam 
energia e momento através do espaço com velocidade defi nida, sem haver transporte de matéria. 
Numa onda mecânica, este efeito é obtido graças a uma perturbação que se propaga no meio. Por 
exemplo, quando uma corda longa, que esteja sob tensão, recebe um pequeno pulso transversal, a 
deformação provocada propaga-se ao longo da corda como um pulso ondulatório com velocidade 
defi nida. A corda é o meio através do qual o pulso se propaga. À medida que o pulso se propaga, 
cada segmento da corda que é perturbado move-se em uma direção perpendicular à direção 
de propagação da onda. Ondas desse tipo, em que a perturbação é perpendicular à direção de 
propagação, são denominadas ondas transversais (fi gura 5.1a). As ondas do mar são um exemplo 
de ondas transversais. Ondas longitudinais (fi gura 5.1b) são aquelas em que a perturbação é 
paralela à direção de propagação. As ondas acústicas são ondas longitudinais: as moléculas do 
gás (ou do líquido) oscilam para frente e para trás, na linha de propagação das ondas acústicas, 
alternadamente, comprimindo e rarefazendo o meio.
a)
b)
Figura 5.1 - a) Onda transversal e b) Onda longitudinal.
5.1 Pulsos Ondulatórios
No instante t=0, a forma de um pulso na corda pode ser representado por uma função 
de onda ( )y f x= , em um sistema de coordenadas fi xo O, conforme mostra a fi gura 5.2. Num 
instante posterior, o pulso avançou sobre a corda, com velocidade v, sem alteração de sua forma. 
O pulso é estacionário em um sistema de coordenadas O´, que avança com a mesma velocidade do 
pulso. A forma da corda é dada pela função de onda ( ')y f x= ´) no sistema de coordenada O´. A 
relação entre os sistemas de coordenadas O e O´ é dada por
´x x vt= + ou ´x x vt= −
Assim, a função de onda é
( )y f x vt= − .
Como a fi gura 5.2 mostra, esta onda avança para a direita. Para uma onda que avança para 
a esquerda, os valores de x serão negativos, portanto,
( )y f x vt= + .
As duas equações anteriores podem representar tanto ondas longitudinais como ondas 
transversais.
81
ondas Mecânicas
Figura 5.2 - Pulso em uma corda em dois tempos.
5.2 Velocidade De Ondas
A fi gura 5.3 mostra um pulso que se propaga para a direita, com velocidade v, ao longo de uma 
corda. Se a amplitude do pulso for pequena em relação ao comprimento da corda, a tensão F

 pode ser 
considerada constante em todos os pontos. Fazendo o sistema de coordenadas se deslocar com a velocidade 
v para à direita, o pulso estará estacionário e a corda se moverá com a velocidade v para a esquerda. Um 
pequeno segmento da corda tem a velocidade v numa trajetória circular, portanto, possui uma aceleração 
centrípeta 
2v
R . Como o segmento de corda faz um ângulo θ/2, temos que determinar as componentes 
das forças para encontrar a resultante das forças que age sobre o segmento. As componentes das forças 
horizontais se cancelam. As componentes verticais, por sua vez, apontam para o centro do arco circular e 
são elas que proporcionam a força centrípeta. A somatória das forças é¨, então,
12
2
F Fsen θ =  
 
∑ .
Para ângulos pequenos 1 1
2 2
sen θ θ   ≈    
, assim,
12
2
F F Fθ θ = = 
 
∑ .
Usando a segunda lei de Newton, temos
F ma=∑ .
Substituindo 
2va
R
= (aceleração centrípeta), obtemos
 
2vF m
R
θ = .
 
5.1
A massa m do elemento s∆ é igual ao produto da densidade de massa μ da corda com o 
comprimento s∆ . O ângulo θ e o comprimento s∆ estão relacionados por 
s
R
θ ∆= .
Portanto, a massa do elemento é 
m Rµ θ= .
Substituindo a massa do elemento na equação 5.1, temos
2vF R
R
θ µ θ= .
Isolando a velocidade obtemos
Fv
µ
= .
A equação da velocidade mostra que a velocidade da onda depende unicamente das 
propriedades do meio, isto é, da tensão F e da densidade de massa μ. Esta é uma propriedade geral 
do movimento ondulatório. 
No caso de ondas acústicas em água ou ar, a velocidade v é dada por
Bv
ρ
= ,
Figura 5.3 - Pequeno 
segmento de uma corda.
FÍSICA GERAL II
82
na qual ρ é a densidade do meio em equilíbrio e B é o módulo de compressibilidade. Quando 
estudarmos Termodinâmica, veremos que o módulo de compressibilidade é proporcional à pressão 
P e a constante dependente do gás γ (para O2 e N2 1,4γ = ). A densidade ρ é igual a razão entre 
a massa m e o volume V. Substituindo a massa pelo produto entre a massa molar M e o número de 
moles e o volume V pela Lei dos gases ideais ( PV nRT= ), temos,
/
m nM MP
V nRT P RT
ρ = = = .
Assim,
B Pv
MP
RT
γ
ρ
= =
 
  
RTv
M
γ
= .
A temperatura T é dada em Kelvin. Para obter a temperatura em Kelvin, somamos 273 à 
temperatura Celsius. Logo,
( 273)CR Tv
M
γ +
= .
EXEMPLO 5.1
Calcule a velocidade do som no ar a 0ºC e a 25ºC. (massa molar do ar é M = 29×10-3 kg/mol)
Solução:
Como R = 8,314 J/mol.K temos que, para 0ºC,
( ) 3
1,4 8,314 / . (0 273)0º 
29 10 /ar
J mol K Kv C
kg mol−
× +
=
×
( )0º 331 /arv C m s=
Para 250C,
( ) 3
1,4 8,314 / . (25 273)25º 
29 10 /ar
J mol K Kv C
kg mol−
× +
=
×
( )25º 346 /arv C m s=
5.3 A Onda Progressiva 
Em t = 0, a curva passa pela origem (fi gura 5.4) e o deslocamento y perpendicular à 
direção de propagação da onda pode ser matematicamente apresentado na forma
( ) 2y x Asen xπ
λ
 =  
 
,
sendo, A a amplitude máxima do deslocamento e λ o comprimento de onda. Assim, vemos que 
o valor de y é o mesmo (pontos a e b da fi gura 5.4) quando acrescentamos um valor inteiro λ ao 
valor de x. Se a onda se deslocar para a direita com uma velocidade v, a função de onda senoidal 
para um tempo maior que zero será 
( ) 2,y t x Asen x wtπ
λ
 = − 
 
.
 
5.2
Isolando 
2π
λ , obtemos
( ) 2,
2
wy t x Asen x tπ λ
λ π
  = −    
.
Como 
2w
T
π
= , podemos escrever 
2
2 2
w v
T
λ λ π
π π
= = . Assim,
( ) ( )2,y t x Asen x vtπ
λ
 = −  
,
o produto vt, no argumento da função seno, é igual a uma distância, ou seja, a onda senoidal se 
desloca para a direita uma distância vt no tempo t. Observe que ( )x vt− indica que a onda se 
Figura 5.4 -
Onda progressiva.
83
ondas Mecânicas
desloca para a direita. Se a onda se desloca para a esquerda, ( )x vt− será substituída por ( )x vt+ .
Podemos escrever a função da onda senoidal 5.2 de uma forma compacta defi nindo, 
número de onda angular k:
 2k π
λ
= .
Assim,
( , ) ( )y t x Asen kx tω= − .
A função acima foi desenvolvida assumindo que o deslocamento em y é zero em x = 0 e t = 0. 
Acrescentando uma constante, denominada constante de fase δ , podemos generalizar a função da 
onda senoidal acima para outros casos, escrevendo 
( , ) ( )y t x Asen kx tω δ= − +
EXEMPLO 5.2
Calcule a energia cinética de um segmento Δx de uma corda com densidade μ.
Solução:
Pela função de onda podemos calcular a energia cinética de um segmento. Seja 
a massa Δm do segmento igual ao produto entre o comprimento do segmento Δx 
e a sua densidade μ: 
( ) ( )2 21 1
2 2y y
K m v x vµ∆ = ∆ = ∆
A velocidadeé dada por
( )( ) ( )d Asen kx tdxv A sen kx t
dt dt
ω
ω ω
−
= = = −
Assim, a energia cinética será
( )2 2 21
2
K xA sen kx tµ ω ω∆ = ∆ −
A função seno ao quadrado varia de 0 a 1, portanto, o valor máximo de 
2 21
2
K xAµ ω∆ = ∆ , que é igual ao valor da energia cinética do segmento de corda.
 
5.4 Refl exão E Transmissão De Ondas
Vamos considerar um único pulso em uma corda quando ele alcança uma fronteira. Parte 
ou todo o pulso é refl etido. Qualquer parte não refl etida é denominada como sendo transmitida 
através da fronteira. 
A fi gura 5.5 mostra a situação em que nenhuma parte do pulso é transmitida através 
da fronteira. Neste caso, o pulso refl etido tem a mesma amplitude que o pulso incidente, mas 
é invertido. Vamos considerar as forças atuantes. O pulso é criado inicialmente por uma força 
ascendente e depois descendente. Na fronteira, o ponto de apoio exerce uma força de reação igual 
e oposta sobre a corda (terceira Lei de Newton). Assim, a força ascendente do pulso no ponto de 
apoio resulta em uma força descendente do ponto de apoio na corda e, a seguir, a descendente do 
pulso resulta em uma ascendente na corda. Portanto, a refl exão em uma extremidade fi xa faz com 
que o pulso se inverta na refl exão, resultado da terceira Lei de Newton. 
A fi gura 5.6 mostra uma segunda opção idealizada no qual a refl exão é total e a 
transmissão é nula. O pulso chega à extremidade de uma corda que esta totalmente livre para se 
mover verticalmente. Aqui o pulso é refl etido, mas desta vez não é invertido. 
Existem situações nos quais a fronteira é intermediária entre os dois casos extremos, isto 
é, não é nem completamente rígida nem completamente livre. Por exemplo, uma corda que está 
ligada a uma outra corda mais densa. Quando o pulso se desloca primeiro na corda menos densa e 
alcança a fronteira entre as duas, parte do pulso é transmitida e parte é refl etida e invertida. 
Se o pulso se desloca primeiro na corda mais densa e alcança a fronteira entre ambas, 
Figura 5.5 - Refl exão 
de um pulso em uma 
fronteira rígida.
Figura 5.6 - Refl exão 
de um pulso em uma 
fronteira livre.
FÍSICA GERAL II
84
parte do pulso também é transmitida e parte é refl etida, mais não invertida. 
Como já vimos, a velocidade da onda em uma corda é dada por 
Fv
µ
= , na qual µ é 
densidade de massa da corda. Portanto, a velocidade do pulso na corda mais densa é menor do que 
na corda menos densa.
Uma das aplicações das refl exões de ondas é a técnica de ultrassonografi a. As ondas 
sonoras são transmitidas através do corpo e refl etem nas estruturas e órgãos. A refl exão é detectada, 
com isso é uma fi gura dos órgãos é possível (fi gura 5.7). Os aparelhos de ultrassom, em geral, 
utilizam uma frequência desde 2 até 14 Mhz, emitindo através de uma fonte de cristal piezo-elétrico 
que fi ca em contato com a pele. As ondas sonoras refl etidas são organizadas eletronicamente pelo 
sistema em uma imagem visual.
Navios, assim como alguns animais marinhos, usam o sonar para localizar, através de 
ondas de ultra-som, corpos submersos. O mapeamento da superfície do fundo do mar e, também, o 
mapeamento de camadas inferiores, é obtido pela refl exão de ondas mecânicas emitidas por navios. 
Este método é importante no descobrimento de novas jazidas de petróleo no fundo do mar.
5.5 Ondas Estacionárias
a)
b)
c)
d)
n=1
fundamental ou
primeiro harmônico
n=2
segundo harmônico
n=3
terceiro harmônico
n=4
quarto harmônico
V
V V V V
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
V V
N
N
N
N
V V
V
Figura 5.8 - Ondas estacionárias numa corda fi xa nas duas extremidades
(N = nó e V = ventre).
Se a onda estiver confi nada a uma região entre duas fronteiras rígidas (fi gura 5.8), como 
uma corda esticada entre dois suportes, as refl exões nas fronteiras fazem com que existam ondas 
deslocando-se em direções opostas (ver discussão na seção anterior sobre refl exão de ondas em 
extremidade). Para certas frequências, nas quais as ondas incidentes e refl etidas se superpõem 
continuamente, percebe-se uma fi gura de vibração estacionária, denominada onda estacionária. 
Este sistema físico é modelo para fontes sonoras de qualquer instrumento de corda, como o violão, 
o violino e o piano. A corda tem vários padrões naturais de vibração, chamados de modos normais. 
Cada um desses modos tem uma frequência característica. 
Em uma onda estacionária em uma corda esticada, as extremidades da corda devem ser 
nós, pois estes pontos são fi xos. Esta é a condição de contorno para ondas estacionárias. O modo 
de vibração mais simples que satisfaz esta condição tem dois nodos (um em cada extremidade da 
corda) e um antinodo (ventre) no ponto central. Para esse modo de vibração, a distância entre as 
Figura 5.7 - Imagem de 
ultrassom de um feto 
humano dentro do útero 
materno 
(http://www.radiologia-
sangerhousen.de/
ultraschall.htm e 
http://www.maringasaude.
com.br/rxusmga/exames.
shtml).
85
ondas Mecânicas
duas extremidades fi xas L é igual à metade do comprimento de onda:
1
2
L λ= .
O modo de vibração seguinte, de comprimento de onda 2λ , ocorre quando L é igual a um 
comprimento de onda, isto é, quando
2L λ= .
O terceiro modo de vibração, onde aparece uma onda estacionária, corresponde ao 
comprimento de onda igual a 332 λ , isto é,
3
3
2
L λ= .
Generalizando, a distância entre as duas extremidades fi xas L pode ser relacionada com diferentes 
comprimentos de onda dos vários modos de vibração, de modo que
 ( 1, 2, 3, 4, )
2 n
nL nλ= = … .
A frequência está relacionada com a velocidade e com o comprimento de onda por vf λ= . A 
velocidade da onda v depende da tensão aplicada T e da densidade de massa da corda Tvµ µ
 = 
 
. 
Assim, podemos expressar as frequências, nas quais ocorre uma onda estacionária em uma corda 
esticada, como
 ( 1, 2, 3, 4, )
2n
n Tf n
L µ
= = … .
A frequência de uma corda em um 
instrumento de corda pode ser modifi cada 
variando-se a tensão T da corda ou 
mudando o comprimento L entre as duas 
extremidades. Nos violões a frequência é 
ajustada por um mecanismo de parafuso no 
braço do instrumento. Aumentando a tensão 
T, as frequências dos modos de vibração 
aumentam.
 Quando uma corda tem uma 
extremidade fi xa e outra livre, a extremidade 
livre é um ventre (fi gura 5.9). No modo 
de vibração fundamental desta corda, o 
comprimento de onda é igual a 1 4Lλ = . 
No modo de vibração seguinte 3 43 Lλ = . A condição de onda estacionaria é, portanto,
 ( 1, 3, 5, 7, )
4 n
nL nλ= = … .
Usando a relação vf λ= , temos
 ( 1, 3, 5, 7, )
4n
nf v n
L
= = … .
As frequências naturais desse sistema ocorrem somente quando 1, 3, 5, 7,n = … , e, portanto, 
os harmônicos pares estão faltando (fi gura 5.9). Um exemplo comum de ondas estacionárias deste 
tipo é o das ondas na coluna de ar de um tubo de órgão, onde uma das extremidades é aberta.
Quando condições de contorno são aplicadas a uma onda, descobrimos um comportamento 
muito interessante que não tem nenhum análogo no estudo até agora da mecânica. O aspecto 
mais relevante desse comportamento é a quantização. Descobrimos que somente determinados 
comprimentos de onda são permitidos, que são aquelas que satisfazem as condições de contorno. 
Uma visão geral sobre quantização vai ser discutida na disciplina Física Moderna. 
Figura 5.9 - Ondas estacionárias numa corda fi xa 
apenas na extremidade da esquerda. 
(N = nó e V = ventre)
QUESTÃO 5.1
Em um piano, as cordas 
graves são mais longas 
e mais grossas do que as 
cordas agudas. Por quê?
FÍSICA GERAL II
86
EXEMPLO 5.3
Cada corda de um violão emite uma frequência diferente, conforme tabela abaixo. A 
distância L entre os suportes das cordas é de 64 cm. Cada corda está oscilando de acordo 
com o padrão de onda estacionária mostrado na fi gura abaixo. Considerando uma ten-
são aplicada (em cada corda) igual a 50N, determinar as densidades das cordas. 
Mi(-2) 82,5 Hz
Lá(-2) 110 Hz
Ré(-1) 147 Hz
Sol(-1) 196 Hz
Si(-1) 247 Hz
Mi(0) 330Hz
Solução:
A velocidade da onda é Fv µ= . Podemos relacionar a velocidade da onda com a 
frequência e comprimento de onda ( )v fλ= . Fazendo isso, obtemos 
1 Ff
λ µ
= .
Isolando a densidade, temos
( )2
F
f
µ
λ
= .
Como a corda oscila de acordo com um padrão de onda estacionária, o comprimento 
de onda é dado por 2 /L nλ = , onde n = 1,2,3,4,…, isto é, 3 12 , , , 2 2L L L Lλ = … . 
Pela fi gura da corda vibrando, observamos que ela oscila somente meio comprimento 
de onda no comprimento L = 0,64 m, portanto, λ = 2L.
( )22
F
f L
µ = .
Substituindo os valores das respectivas frequências (f) da tabela, obtemos:
Mi(-2) 82,5 Hz 0,004484 kg/m
Ré(-1) 110 Hz 0,002522 kg/m
Lá(-2) 147 Hz 0,001412 kg/m
Sol(-1) 196 Hz 0,000794 kg/m
Si(-1) 247 Hz 0,000500 kg/m
Mi(0) 330 Hz 0,000280 kg/m
Estes valores da densidade das cordas na realidade são um pouco diferentes, pois a 
distância entre os suportes não é igual para todas as cordas. Mesmo com as discrepân-
cias, percebemos que o aumento da densidade é acompanhado de um decréscimo na 
frequência.
5.6 Interferência De Ondas 
Os efeitos de interferência que trataremos envolvem a superposição de duas ou mais 
ondas. Vamos analisar inicialmente duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido, com 
a mesma frequência, mesma amplitude, mas diferem na fase. Podemos expressar as suas funções 
de onda individuais como
( )1y Asen kx tω= − e ( )2y Asen kx tω δ= − +
nas quais, δ é a diferença de fase entre as duas ondas. A função de onda resultante será
( ) ( )1 2 y y y Asen kx t Asen kx tω ω δ= + = − + − +
( ) ( ) y A sen kx t sen kx tω ω δ= − + − +  
0,64m
corda
vibrando
87
ondas Mecânicas
Usando a identidade trigonométrica
 2
2 2
a b a bsena senb cos sen− +   + =    
   
e fazendo a kx tω= − e b kx tω δ= − + , a função de onda resultante y pode ser escrita como
2 
2 2
y Acos sen kx tδ δω   = − +   
   
A composição das duas ondas não altera a frequência. A amplitude da onda resultante é 2
2
Acos δ  
 
 
e depende da diferença de fase δ .
• Se 0δ = , então ( )cos 0 1= e a amplitude da onda resultante é 2A. Os máximos das 
duas ondas coincidem. Neste caso, diz-se que as ondas estão em fase e que interferem 
construtivamente.
• Se radδ π= , então cos cos 0
2 2
δ π   = =   
   
 e a amplitude da onda resultante é nula. 
O máximo de uma onda coincide com o mínimo de outra. Neste caso, diz-se que as 
ondas estão fora fase e que interferem destrutivamente.
• Se δ tem um valor entre 0 e π , a onda resultante tem uma amplitude cujo valor está 
entre 0 e 2A.
EXEMPLO 5.4
Duas ondas, com frequências e amplitudes iguais, avançam no mesmo sentido 
em um fi o. a) Se a diferença de fase entre as duas for de 2 3
π e a amplitude for 
5,0 cm, qual a amplitude da onda resultante? b) Determinar a diferença de fase 
δ quando a amplitude resultante for de 7,5 cm.
Solução:
a) A função de onda resultante é
2 
2 2
y Acos sen kx tδ δω   = − +   
   
.
A amplitude resultante A´ é determinada pelo termo 2
2
Acos δ  
 
, portanto,
( )
2
32´ 2(5,0 )3 2
A cm cos
π
π
 
 =
 
 
( )2´ 53A cmπ =
b) Aplicando a função arccos na amplitude resultante, temos,
´ 7,52 2 82,8
2 2 5
oA cmarccos arccos
A cm
δ δ
  = = ⇒ =   ⋅    
Vamos estudar agora a interferência entre duas ondas sonoras de frequências ligeiramente 
diferentes e amplitudes iguais, conforme mostrado na fi gura 5.10. Admitindo que as duas ondas 
estão em fase no instante t = 0, podemos expressar as suas 
funções de onda individuais como
( )1 1y Asen tω= e ( )2 2y Asen tω= .
A função de onda resultante será
( ) ( )1 2 1 2y y y A sen t sen tω ω= + = +  
Usando novamente a identidade trigonométrica 
 2
2 2
a b a bsena senb cos sen− +   + =    
   
, teremos,
1 2 1 2
1 12 cos ( ) sen ( )
2 2
y A t tω ω ω ω= − + .
Figura 5.10 - a) Interferência entre duas 
ondas sonoras de frequências diferentes.
b) Onda resultando
t
ttt
t t t t
1
1
2
2
3
3
a)
b)
FÍSICA GERAL II
88
Para frequências próximas, podemos defi nir uma frequência angular média 
( )1 2 / 2medω ω ω= + e escrever 1 2ω ω ω∆ = + . Assim,
( )12 
2 med
y Acos t sen tω ω = ∆ 
 
( )12 2 2
2 med
y Acos ft sen f tπ π = ∆ 
 
onde, 2 2f e fω π ω π= ∆ = ∆ .
A interferência das duas ondas sonoras ligeiramente diferentes provoca o interessante 
fenômeno chamado batimentos (fi gura 5.10). O som que ouvimos tem a frequência 
( )1 2 / 2medf f f= + e a amplitude oscila com a frequência ( )1 2
1 1
2 2
f f f− = ∆ . Isto quer dizer 
que os máximos e mínimos devem aparecer com a frequência f∆ . O som é mais alto sempre 
que a amplitude está num máximo ou mínimo. A frequência desta variação da amplitude é dita a 
frequência de batimento batf , que é igual à diferença entre as duas frequências:>
1 2batf f f f= − = ∆ .
Embora os batimentos aconteçam em todos os tipos de ondas, são especialmente 
percebidos em ondas sonoras. O ouvido humano pode detectar frequências de batimentos abaixo 
de 20 batimentos por segundo. Se a frequência de batimentos extrapola este valor, há uma 
mistura sem distinção das frequências de batimentos e das frequências 1 2f e f . Os batimentos são 
normalmente empregados no afi namento de instrumentos musicais como, por exemplo, o violão. 
As notas são afi nadas, fazendo vibrar concomitantemente um diapasão e a corda do instrumento. A 
tensão na corda do violão é, então, acertada até que os batimentos sejam inaudíveis, o que indica 
uma diferença muito pequena entre a frequência dos dois sons. 
EXEMPLO 5.5
Qual a frequência ouvida e quantos máximos por segundo podem ser ouvidos quando 
dois diapasões vibram, um com a frequência de 241 Hz e outro com 243 Hz?
Solução:
A frequência ouvida será ( )1 2 / 2 (241 243 ) / 2 242medf f f Hz Hz Hz= + = + = .
A frequência de batimentos será 1 2 243Hz 241Hz 2Hzbatf f f= − = + = , isto quer 
dizer 2 máximos por segundo.
5.7 Efeito Doppler
O apito de um trem ou a sirene de uma ambulância soam mais agudos quando estão se 
aproximando de nós e mais graves quando estão se afastando. Estas variações constituem o efeito 
Doppler. Vamos estudar os casos quando o observador está em movimento, quando a fonte está em 
movimento e fi nalmente quando ambos estão em movimento.
Fonte em repouso e observador em movimento
A fonte está emitindo uma frequência original 0
0 0
1 vf T λ= = , sendo T0 o período e 0λ 
o comprimento de onda. A frequência original f0 emitida é o número de cristas de onda emitidas por 
unidade de tempo. O espaçamento entre as cristas de onda emitidas é 0λ .
Se o observador se move em direção à fonte com velocidade u (fi gura 5.11a), ele percorre 
uma distância u por unidade de tempo e encontra 
0
u
λ cristas adicionais, além das 0
v
λ cristas que 
teriam passado por ele se ele estivesse em repouso. Logo, a frequência f observada é mais aguda 
(f > f0) e dada por
0 0
v uf
λ λ
= +
0
1v uf
vλ
 = + 
 
89
ondas Mecânicas0 1
uf f
v
 = + 
 
.
Usando a mesma lógica, se o observador se afasta da fonte com velocidade u, ele deixa de 
ser atingido por 
0
u
λ cristas por unidade de tempo e a frequência observada é mais grave:
0 0
v uf
λ λ
= −
0
1v uf
vλ
 = − 
  .
Como a frequência original é 0
0
vf
λ
= , teremos que
0 1
uf f
v
 = − 
 
.
Assim, o efeito Doppler, para o caso em que a fonte está parada e o observador está em 
movimento, é dado por:
0
FONTE para aproximação 
 1 
PARADA – para afastamento
uf f
v
+ = ± 
 
Fonte em movimento e observador em repouso
O observador está em repouso em relação à atmosfera e a fonte se move em direção ao 
observador com velocidade V (fi gura 5.11b). Consideremos uma série 0, 1, 2, 3, ..., de cristas de 
onda consecutivas emitidas pela fonte. A fonte emite a crista 0 na posição x0.. Como a fonte está em 
movimento, depois de um período 00Tv
λ
= , a fonte emite a crista 1 na posição 1 0x VT= . A crista 2 
será emitida na posição 2x , a crista 3 será emitida na posição 3x e assim por diante. O deslocamento 
entre cada emissão será sempre 0x VT∆ = . Para o observador, o comprimento de onda observado λ 
entre as cristas será o comprimento de onda original 0λ subtraído por x∆ ,
0 xλ λ= −∆
0
0
1 xλ λ
λ
 ∆
= − 
 
.
Substituindo comprimento de onda original 0 0vTλ = 
e o deslocamento da fonte 0x VT∆ = , temos,
0
0
0
1 VT
vT
λ λ
 
= − 
 
0 1 
V
v
λ λ  = − 
 
.
A frequência observada será
0
0 1 
v vf
V
v
λ λ
= =
 − 
 
Como 0
0
vf λ= , então
0
1
1 
f f
V
v
=
 − 
 
,
ou seja, quando a fonte está se aproximando, a frequência observada f será maior do que a 
freqüência original f0.
Para o observador com a fonte se afastando, o comprimento de onda observado λ entre as 
cristas será o comprimento de onda original 0 0vTλ = acrescido pelo deslocamento da fonte 0x VT∆ = : 
0 xλ λ= + ∆
Figura 5.11 - a) Observador em 
movimento e fonte em repouso e 
b) fonte em movimento e observador 
em repouso.
FÍSICA GERAL II
90
Fazendo as mesmas substituições do caso anterior (fonte se aproximando), temos
0 1 
V
v
λ λ  = + 
 
0
1
1 
f f
V
v
=
 + 
 
.
Portanto, a frequência observada f será menor que a original frequência f0 quando a fonte está se 
afastando do observador.
Para os casos em que o observador está parado e a fonte está se movendo, o efeito Doppler é dado 
por:
OBSERVADOR
PARADO
0
1
1
f f
V
v
=
 
 
 

- para aproximação
+ para afastamento
Fonte e observador em movimento
Neste caso, superpõem-se os dois efeitos discutidos acima. O movimento do observador 
altera a frequência para 0 1
uf
v
 ± 
 
 e o movimento da fonte multiplica a nova frequência por um 
fator 
1
1 V
v
 
 
 

, de modo que o efeito Doppler combinado é dado por: 
OBSERVADOR
E FONTE
MÓVEIS
0
1
1
u
vf f
V
v
 ± 
 =
 
 
 

Sinais superiores para aproximação
Sinais inferiores para afastamento
O efeito Doppler para o som é observado quando há um movimento relativo entre a fonte 
do som e o observador. Como podemos observar pelas relações desenvolvidas, o movimento 
da fonte, ou de um observador em direção ao outro, resulta na audição pelo observador de uma 
frequência mais elevada do que a frequência original. O movimento da fonte ou do observador 
um para longe do outro resulta na audição pelo observador de uma frequência mais baixa que a 
frequência original.
Embora nossa análise tenha se limitado até agora 
somente ao som, esse efeito está associado a ondas de todo 
o tipo. O efeito Doppler em ondas mecânicas é usado para 
determinar a presença e a direção do fl uxo sanguíneo em 
um vaso e suas características hemodinâmicas, conforme 
ilustrado na fi gura 5.12. Nas ondas eletromagnéticas o efeito 
Doppler é empregado em sistemas de radar para medir 
velocidades dos veículos. Do mesmo modo, astrônomos 
usam o efeito Doppler para medir os movimentos relativos 
das estrelas, das galáxias e de outros corpos celestes, 
observando as mudanças nas frequências da luz emitidas por 
estes corpos celestes. Em 1942, Christian Johann Doppler 
(1803-1853) mostrou o deslocamento da frequência em 
conexão com a luz emitida por duas estrelas girando uma 
em relação à outra em um sistema de estrela dupla. O efeito 
Doppler para luz foi usado para defender a expansão do 
universo, o que conduziu à teoria do Big Bang.
Figura 5.12 - Fluxometria utilizando 
efeito Doppler – Através desta medida 
é possível determinar o fl uxo em veias e 
artérias (http://www.maringasaude.com.
br/rxusmga/exames.shtml).
91
ondas Mecânicas
EXEMPLO 5.6
Um carro de polícia está perseguindo um carro fugitivo. Ambos se deslocam à veloci-
dade de 160 km/h. O carro de polícia, não conseguindo alcançar o carro, liga sua sirene 
com uma frequência de 500 Hz. Considerando a velocidade do som no ar como sendo 
340 m/s: a) Qual a mudança Doppler na frequência ouvida pelo carro fugitivo? b) Qual 
o comprimento de onda do som que o carro fugitivo ouve? 
Solução:
a) A frequência do som da sirene em relação ao solo é 0
1´
1 
f f
V
v
=
 − 
 
, na qual v é 
a velocidade do som no solo e V é a velocidade do policial. O som se propaga com 
esta frequência na direção do fugitivo. Logo, para este carro, ela chega com frequência 
0 1
uf f
v
 = − 
 
, com 0 ´f f= (frequência em relação ao solo) e u = V (ambos estão à 
mesma velocidade em relação ao solo). Portanto, 
´ 1 Vf f
v
 = − 
 
.
Substituindo f´, temos
0
1
1 
V
vf f
V
v
 − 
 =
 − 
 
0f f= .
Ou seja, a frequência não muda. 
b) No referencial do carro fugitivo, a onda se propaga com velocidade ' v v u= − . Logo, 
usando 'f vλ = , temos que (não se esqueça de transformar km/h em m/s),
( ) 50 / 0,1 .
500
v u m s m
f Hz
λ −= = =
 
EXEMPLO 5.7
Um morcego se orienta emitindo sons de altíssima frequência. Suponha que a emissão da 
frequência do som do morcego seja 39000 Hz. Durante uma arremetida veloz diretamente 
contra a superfície plana de uma parede, o morcego desloca-se a 1/40 da velocidade do som 
no ar (340m/s). Calcule a frequência em que o morcego ouve a onda refl etida pela parede.
Solução:
Inicialmente, determinamos a velocidade do morcego, que é 
(340 / 40) / 8,5 /V m s m s= = . Depois dividimos o problema em duas partes: 1ª 
Parte: indo do morcego até a parede e 2ª Parte: voltando da parede até o morcego. 
1ª Parte: indo do morcego à parede. A fonte (morcego) está em movimento e se 
aproximando, portanto, 
1 0
1 139000 40000 
8,5 /1 1 
340 /
f f Hz Hz
V m s
v m s
= = =
   − −   
   
2ª Parte: voltando da parede até o morcego. A frequência 1f é refl etida na parede e 
não muda de frequência na refl exão, retornando com o valor 1 40000f Hz= . Aqui o 
observador (morcego) está em movimento e aproximando, logo,
1
8,5 /1 40000 1 41000 
340 /f
V m sf f Hz Hz
v m s
   = + = + =   
   
.
FÍSICA GERAL II
92
Exercícios
1. Uma corda de piano tem uma densidade de 5,0 x 10-3 kg/m e está sob uma tensão de 350 N. 
Encontre a velocidade com que uma onda se propaga nessa corda.
2. Calcular a velocidade do som no hidrogênio a T = 300 K (M =2 g/mol e γ =1,4).
3. Ondas transversais se propagam a 100 m/s num fi o com 100 cm de comprimento, sujeito a uma 
tensão de 500 N. Qual a massa do fi o?
4. Uma corda esticada tem uma massa de 0,2 kg e comprimento de 4m. Qual a potencia que deve 
ser fornecida à corda a fi m de gerar ondas senoidais que tenham uma amplitude de 10 cm, um 
comprimento de onda de 0,5 m e se propaguem com uma velocidade de 30 m/s?
5. Dois pulsos ondulatórios estão se a uma velocidade de 2,5 cm/s movendo em sentidos contrários 
ao longo de uma corda (conforme fi gura abaixo). A amplitude de uma é o dobro da outra. Faça 
um esboço da forma da corda em t = 1 e 2 s.
6. Duas ondas com freqüências, comprimentos de onda e amplitude iguais avançam numa mesma 
direção. a) Se a diferença de fase entre elas for de 2
π e se a amplitude de ambas for de 2,0 cm, 
qual a amplitude da onda resultante? b) Para que diferença de fase a amplitude resultante será 
igual a 2,0 cm?
7. Quando se faz soar um diapasão de 440 Hz e a corda Lá de uma guitarra está desafi nada, 
percebem-se 4 batimentos por segundo. Depois de apertar um pouco a cravelha da corda, a 
frequência de batimento aumenta para 8 por segundo. Qual a freqüência da nota da corda 
depois de apertada? 
8. No palco de um anfi teatro vazio, uma pessoa bate palma em uma única vez. O som refl ete nos 
degraus de 1 metro de comprimento. Qual a frequência que retorna ao palco?
9. Um morcego pode detectar corpos muito pequenos, cujo o tamanho seja aproximadamente igual 
ao comprimento de onda que o morcego emite. Se os morcegos produzem uma frequência de 
60,0 kHz e se a velocidade do som no ar é de 340 m/s, qual o menor corpo que o morcego pode 
detectar?
10. Um trembala se aproxima, apitando, a uma velocidade de 180 m/s em relação à plataforma de 
uma estação. A frequência sonora do apito do trem é 1,0 kHz, como medida pelo maquinista. 
Considerando a velocidade do som no ar como 330 m/s, qual o comprimento de onda ouvido 
por um passageiro parado na plataforma?
11. Um carro de polícia está perseguindo um carro fugitivo. Ambos se deslocam à velocidade de 
160 km/h. O carro de polícia, não conseguindo alcançar o carro, toca sua sirene. Considere a 
velocidade do som no ar como sendo 340 m/s e a frequência da fonte como 500 Hz. a) Qual a 
mudança Doppler na frequência ouvida pelo carro fugitivo? b) Qual o comprimento de onda 
do som que o carro fugitivo ouve? 
93
ondas Mecânicas
Anotações
FÍSICA GERAL II
94
Anotações
95
Temperatura e Calor6
6.1 termodinâmica
6.2 A Lei Zero da termodinâmica
6.3 termômetros e Escalas termométricas
6.4 Expansão térmica
6.5 quantidade de Calor
6.6 transições de Fase
FÍSICA GERAL II
96
6 TEMPERATURA E CALOR
 
6.1 Termodinâmica
Por que a Termodinâmica merece um estudo separado da Mecânica? Por que não 
incorporá-la e descrever o comportamento térmico de um sistema utilizando os conceitos 
da Mecânica já desenvolvidos no primeiro volume? A razão para que isto não possa ser 
feito é que, na troca de calor entre dois corpos, não existem partículas que poderiam 
obedecer às leis de Newton. Por este motivo, a descrição mecânica falha quando se tenta 
incorporar a Termodinâmica. Devemos, portanto, buscar outros procedimentos para se 
estudar a interação térmica entre os sistemas. 
Entretanto, existe um ramo da Física chamado Mecânica Estatística que, a partir 
de primeiros princípios (clássicos ou quânticos), permite descrever um sistema constituído 
de várias partículas. A Termodinâmica de equilíbrio pode ser justifi cada, então, como uma 
disciplina decorrente desta descrição.
Imagine um sistema simples consistindo, por exemplo, de um gás ocupando certo 
volume, digamos de 1 cm3, à pressão de normal de 1 atmosfera e à temperatura ambiente. 
Dentro deste volume encontram-se 1019 partículas, um número surpreendentemente grande. 
Como fator de comparação, basta dizer que a população da Terra é “apenas” da ordem 
de 109 e isto NÃO é a metade do número de partículas de nosso sistema, mas é 1010 vezes 
menor! A tarefa é, então, descrever o comportamento dinâmico para essa enormidade de 
partículas: mesmo com várias hipóteses simplifi cadoras que poderiam tornar os cálculos 
mais amenos, contando com computadores de altíssima velocidade, porém, ainda assim, 
o trabalho seria formidável! Estabelecer 1019 equações diferenciais vetoriais e de segunda 
ordem para descrever esse sistema e depois, devido às simplifi cações, não temos muita 
certeza de que isto seria um resultado aceitável. Mas nada impede que isto seja feito, 
desde que estejam disponíveis bons computadores e se tenha a eternidade à disposição. 
A Mecânica Estatística contorna esses problemas descrevendo o sistema através de 
valores médios de diversas quantidades tais como pressão, temperatura, calor específi co, 
magnetização, etc. Dizemos que esta descrição se dá em termos da dinâmica molecular e 
de uma descrição em nível microscópico.
A Termodinâmica está fundamentada em algumas leis decorrentes da parte 
experimental e que foram estabelecidas ao longo dos tempos. Medidas cuidadosas, 
experimentos realizados com controle rigoroso, generalizações dos resultados, enfi m, 
tudo isto serviu para se chegar à descrição macroscópica de interações térmicas entre 
sistemas físicos. O tópico que ora iniciamos aborda exatamente estes aspectos: o estudo 
das interações térmicas sem considerar o caráter microscópico da matéria. O sistema 
discutido acima, um gás encerrado em um pequeno volume, pode ser caracterizado 
termodinamicamente por alguns poucos parâmetros. A esses parâmetros chamamos de 
variáveis de estado e a equação que os relacionam é chamada equação de estado. Para este 
gás pode-se usar, por exemplo, a pressão, o volume e o número de mols. Alternativamente, 
elegemos como variáveis de estado a pressão, a temperatura e o volume. Voltaremos a 
discutir este tópico quando tratarmos de gases ideais.
6.2 A Lei Zero da Termodinâmica
 Para iniciar o estudo das propriedades térmicas de sistemas físicos, precisamos 
introduzir o conceito de temperatura. De certa forma, este conceito está ligado à sensação de 
quente ou frio que temos incorporado de maneira intuitiva desde a mais tenra idade. Porém, 
precisamos de algo menos intuitivo, mesmo porque os sentidos podem ser enganosos.
Muitas propriedades da matéria que medimos dependem da temperatura: o 
comprimento de uma barra metálica, a pressão de um gás, a corrente transportada por 
97
temperatura e Calor
fi lamento, a cor de um objeto incandescente e várias outras medidas. Necessitamos de 
uma defi nição operacional de temperatura para ir além de algo meramente sensorial de 
quente e frio. Isto pode ser conseguido escolhendo, inicialmente, uma escala termométrica 
adequada que faça uso de qualquer propriedade térmica que tenha forte dependência com 
a temperatura. Por exemplo, o termômetro caseiro usado para indicar um possível estado 
febril, utiliza a expansão de uma coluna de um líquido (em geral, etanol com corante) 
encerrado em um tubo capilar. A resistência elétrica de um fi o varia quando ele é aquecido 
ou resfriado. Esta propriedade pode ser explorada para a construção de um termômetro. 
De forma análoga, a pressão de um gás depende fortemente da temperatura na qual ele se 
encontra.
Quando se coloca um termômetro em contato com certa porção de matéria existe 
uma interação entre os dois e após certo tempo eles entram em equilíbrio térmico, um 
estado no qual não ocorre nenhuma variação de temperatura. Por isso, se você desejar 
conhecer a temperatura de, digamos, uma xícara de café, é conveniente utilizar um 
termômetro cuja capacidade térmica seja muito menor do que a do café a ser ingerido. 
Caso contrário, se o seu aparelho de medição tiver massa comparável com o sistema 
cuja temperatura se deseja conhecer, é provável que ao entrar em equilíbrio térmico a 
temperatura registrada seja muito diferente daquela temperatura inicial que você queria 
determinar. 
A lei zero da termodinâmica diz o seguinte:
Se os corpos A e B estiverem separadamente em equilíbrio térmico com um terceiro 
corpo C, então A e B estão em equilíbrio térmico entre si.
A importância deste fato experimental só foi reconhecida depois que a primeira 
e a segunda lei da termodinâmica já tinham sido enunciadas e, portanto, a denominação 
de lei zero é muito apropriada. A afi rmação acima, elementar como pode parecer, fornece 
um meio seguro de interpretar a temperatura como a propriedade que dois corpos, em 
equilíbrio térmico entre si, devem estar à mesma temperatura e isto nos leva a concluir que 
a lei zero da termodinâmica pode ser expressa de maneira mais formal e mais fundamental: 
Existe uma grandeza escalar, denominada temperatura, que é uma propriedade de todos 
os sistemas termodinâmicos (em equilíbrio), tal que a igualdade de temperatura é uma 
condição necessária e sufi ciente para o equilíbrio térmico.
6.3 Termômetros e Escalas Termométricas
 
Qualquer propriedade térmica pode ser escolhida para se construir um 
termômetro; porém, algumas são mais convenientes do que outras e esta escolha deve 
ser feita de forma criteriosa, atendo-se à reprodutibilidade da medida, à facilidade de 
construção, considerando a resposta do termômetro ao se medir determinada temperatura, 
e, sobretudo, admitindo-se uma relação monotônica contínua entre a propriedade 
termométrica da substância e a temperatura registrada na escala escolhida. Cada escolha 
de uma substância e de sua propriedade termométrica, juntamente com a relação admitida 
entre a propriedade e a temperatura, conduz a uma escala termométrica específi ca, cujas 
medidas não necessariamente coincidem com as medidas realizadas em outraescala 
qualquer e defi nida de maneira independente. Esta “aparente” inconsistência na defi nição 
de temperatura é contornada por um acordo universal dentro da comunidade científi ca: 
estabelece-se o uso de certa substância, de sua propriedade termométrica e de uma relação 
funcional entre esta propriedade e uma escala termométrica adotada universalmente. 
Qualquer outra escala particular pode ser, então, calibrada usando-se a escala universal.
FÍSICA GERAL II
98
O termômetro mais comum é aquele construído com um bulbo de vidro e em 
cujo interior é colocado uma substância que pode se expandir quando aquecida (em geral, 
utiliza-se etanol ou mercúrio) e a escala é escolhida de tal forma que no ponto de equilíbrio 
no qual gelo, água e vapor coexistem marca-se zero e para o vapor de água em ebulição 
(a pressão de 1 atm), marca-se o valor 100. Foi desta maneira que Celsius construiu 
seu primeiro termômetro, subdividindo estes dois limites (zero e cem) em 100 partes 
iguais, chamados graus. Observe que, desta forma, escolhe-se a substância, a propriedade 
termométrica (dilatação do líquido) e dois pontos fi xos para se determinar a escala. É um 
dispositivo bastante versátil e de fácil manuseio, porém, construído desta forma, ele não 
permite medidas em temperaturas elevadas e sua precisão, em muitos casos, fi ca aquém 
do desejado. 
Outro termômetro bastante comum, principalmente quando se requerem medidas 
a temperaturas elevadas e com maior precisão, é aquele construído com um fi lamento 
metálico ou de semicondutor, cuja resistência elétrica varia com a variação de temperatura. 
Como a resistência pode ser medida com alto grau de precisão, a temperatura também 
pode ser determinada com precisão semelhante.
Existe uma grande quantidade de termômetros à disposição, construídos das mais 
variadas formas para diferentes aplicações. Por exemplo, para altíssimas temperaturas 
(próximo aos pontos de fusão de metais), o termômetro óptico utiliza a radiação emitida 
pelo corpo e compara com um padrão e a leitura da temperatura é realizada diretamente 
por um fator de calibração integrante do dispositivo. Uma versão deste termômetro, usado 
clinicamente para medidas de temperaturas próximas a do ambiente, utiliza a radiação 
infravermelha emitida pelo paciente. Alguns testes têm comprovado que sua precisão é 
superior àquela registrada pelos termômetros convencionais para medições de estados 
febris. 
Embora a escala Celsius seja a mais conhecida, alguns países utilizam a escala 
Fahrenheit de temperatura (esta escala não é usada no Brasil). Diferentemente da escala 
centígrada (Celsius) ela assinala, para mistura água e gelo em equilíbrio, o valor 32 e para 
a água em equilíbrio com seu vapor, o valor 212. Portanto, o intervalo entre os dois pontos 
de referência corresponde a 180, enquanto que na escala Celsius é 100. Para converter 
uma temperatura dada em Celsius, TC, para a escala Fahrenheit, TF, usamos a relação
9 32
5
o
F CT T= + .
E inversamente, a transformação de Fahrenheit para Celsius é dada por
5 ( 32 )
9
o
C FT T= − .
Existem outras escalas termométricas, mas estão em acentuado desuso, como, 
por exemplo, a Rankine e a Reamur.
Como curiosidade sobre a confecção de termômetros e a escolha de escalas, 
o sueco Anders Celsius, em 1742, apresentou inicialmente o “zero” correspondendo à 
ebulição da água pura a 1 atm e atribuiu o valor 100 para o gelo em equilíbrio térmico 
com a água. Foi o biólogo Lineu, também sueco, que em 1745, inverteu os valores como 
hoje utilizamos.
Quando calibramos dois termômetros, por exemplo, um do tipo com líquido no 
interior do bulbo e outro de resistência, e ambos com leituras concordantes em 0ºC e 
em 100ºC, as leituras de temperaturas intermediárias podem não concordar exatamente. 
Isto signifi ca que as leituras dependem da substância usada e de suas propriedades 
termométricas. O desejado seria, então, que pudéssemos defi nir uma escala de temperatura 
que não dependesse da substância particular utilizada. O termômetro a gás a volume 
constante que descreveremos a seguir se aproxima muito desta idealidade.
QUESTÃO 6.1
Em alguns locais da 
Terra a temperatura em 
graus Celsius é igual à 
temperatura Fahrenheit. 
Qual o valor desta 
temperatura?
99
temperatura e Calor
O funcionamento de um termômetro a gás se baseia no fato experimental que a 
pressão de um gás, mantido a volume constante, aumenta linearmente com a temperatura 
e isto é verdade para qualquer gás com baixa densidade de tal forma que podemos 
considerá-lo ideal. Coloca-se certa quantidade de gás em um recipiente rígido (para 
manter seu volume constante) que tem um manômetro acoplado. Em seguida, mergulha-
se este volume em um banho de água e gelo em equilíbrio, anota-se o valor da pressão. 
O outro ponto de referência é determinado usando água em ebulição, correspondendo 
à outra pressão registrada pelo manômetro. Estes dois pontos são colocados em um 
gráfi co de temperatura x pressão e traça-se uma reta passando por eles. Qualquer outra 
temperatura pode ser obtida permitindo que nosso termômetro interaja termicamente 
com o sistema cuja temperatura se deseja medir. A fi gura abaixo é um esboço gráfi co do 
comportamento deste termômetro. As três curvas representam diferentes tipos de gases 
e com densidades diferentes. 
Extrapolando-se estas retas 
para pressões tendendo a zero, obtem-
se o valor de -273,15ºC. Você poderia 
suspeitar de que este valor seria diferente 
para gases diferentes, mas o resultado é 
sempre o mesmo para qualquer tipo de gás, 
desde que seja considerado ideal (baixa 
densidade). Outro ponto que poderia ser 
questionado neste experimento seria o 
comportamento deste gás a baixas temperaturas: à medida que se abaixa a temperatura, 
o gás sofre uma transformação de fase e se torna líquido. A partir daí os resultados 
fi cam comprometidos e não se pode concluir nada. Isto está correto, mas a extrapolação 
matemática para baixíssimas pressões é um artifício conveniente e funciona de forma 
bastante satisfatória. Em todos os casos, independente da natureza do gás ou da 
baixa pressão inicial (para considerá-lo ideal), a pressão vai a zero quando a 
temperatura é de -273,15ºC. Este valor sugere um caso universal, porque não depende 
da natureza da substância usada no termômetro e também deve representar um limite 
inferior para processos físicos. Por isso, esta temperatura é defi nida como zero absoluto 
e serve de base para a escala Kelvin de temperatura. O tamanho de um grau nesta escala 
é escolhido para ser idêntico ao tamanho de um grau na escala Celsius e a relação de 
conversão entre as duas escalas de temperatura é
TK = 273,15+TC ,
onde TC é a temperatura em graus Celsius e TK é a temperatura em graus Kelvin (ou 
temperatura absoluta). 
Uma das principais diferenças entre estas duas escalas de temperatura é um 
deslocamento no zero da escala. O zero da escala Celsius é arbitrário e depende de uma 
propriedade associada a uma determinada substância, a água. O zero da escala Kelvin não 
é arbitrário, pois associa este ponto a um comportamento característico de toda substância. 
O que ambas tem em comum é que a mesma variação, por exemplo, de 10 oC, corresponde 
a 10 K (sem o símbolo de grau). Por razões de precisão e reprodutibilidade da escala 
absoluta, o ponto escolhido para referência é aquele no qual o gelo, a água e seu vapor 
coexistem em equilíbrio. Isto acontece a uma temperatura de 0,01 oC e para uma pressão 
de 610 Pascal (cerca de 0,006 atm). Esta pressão é do vapor de água e não tem relação 
alguma com a pressão do gás do termômetro.
Figura 6.1 - Gráfi co T (oC) versus p (unidade arbitrária).
FÍSICA GERAL II
100
Na fi gura 6.2 estão representadas as relações entre as escalas Kelvin, Celsius e 
Fahrenheit: fi gura 3, em escala logarítmica, estão indicadas algumas temperaturas que 
ocorrem na natureza. 
Figura 6.2 - Relações entre as escalas. Figura 6.3 - Temperaturas absolutas.
Finalmente, gostaríamos de comentaralguns fatos sobre o ponto zero Kelvin. É 
mais ou menos comum as pessoas dizerem que no zero absoluto todo movimento cessa. 
Isto não é verdade. Imagine que você resfrie certa porção de uma substância metálica. 
Os átomos da rede cristalina possuem movimento de oscilação em torno de um ponto de 
equilíbrio e mesmo no zero absoluto, eles continuam oscilando (é o que se chama energia 
do ponto zero), porém, com amplitude menor do que faria a uma temperatura maior. 
Da mesma forma, em temperaturas ultrabaixas os elétrons das camadas mais internas 
continuam suas “trajetórias” curvilíneas em torno do núcleo e suas velocidades escalares 
são pouco afetadas pela diminuição da temperatura. A idéia de que todo movimento cessa 
é uma descrição clássica do comportamento da matéria, mas ela é inadequada, e uma 
abordagem quântica se faz necessária para descrever os fatos experimentais.
6.4 Expansão Térmica
A grande maioria das substâncias, quando aquecidas, sofre uma dilatação. Por 
esta razão é que encontramos nas estruturas de pontes certo espaçamento entre as lajes da 
pista de rolamento. De forma semelhante, os trilhos de trem são colocados de tal forma 
que guardam distâncias entre si, para permitirem certa expansão em dias quentes, evitando 
comprometer o alinhamento dos trilhos. 
Suponha que a medida linear de uma barra metálica seja L0 a uma determinada temperatura T0 . Se a temperatura sofre uma variação 0T T T∆ = − , então, o comprimento 
varia de 0L L L∆ = − . Pela experiência sabemos que essa variação de comprimento é 
diretamente proporcional à variação de temperatura, ao menos quando esta variação não 
se verifi que exagerada (por exemplo, de umas poucas centenas de graus). É de se esperar 
também que a variação de comprimento seja proporcional ao comprimento inicial L0 
e isto pode ser confi rmado experimentalmente. Por exemplo, se uma barra de 1 m de 
comprimento sofre uma dilatação de 0,004 m para uma variação de temperatura T∆ , uma 
barra de 2 m sofrerá uma expansão de 0,008 m para a mesma variação de temperatura. 
Estas observações podem ser colocadas em forma matemática, introduzindo-se um 
parâmetro positivo α, chamado de coefi ciente de expansão linear:
[ ]0 0 0 0 1L L T L L L T L L Tα α α∆ = ∆ ⇒ − = ∆ ∴ = + ∆ .
101
temperatura e Calor
O parâmetro α, em geral, depende da 
temperatura, mas para variações moderadas ele pode ser 
considerado como constante. Sendo uma característica 
da substância, ele não depende do comprimento inicial 
L0 e sua dimensão é C1C
o1o =− quando T é expresso 
em graus Celsius, ou K1K 1 =− , quando a temperatura 
for medida em graus Kelvin.
A tabela 6.1 fornece alguns valores do 
coefi ciente α.
EXEMPLO 6.1
Uma barra de alumínio, inicialmente a 30 oC, tem comprimento de 0,5m. Qual será seu 
comprimento quando a temperatura atingir 80 oC?
Solução:
O coefi ciente de expansão é dado pela tabela acima. Então,
5
80 30 801 2,4 10 (50) 0,5 1,0012 0,5006mL L L
− = + × ⇒ = × =  .
EXEMPLO 6.2
A que temperatura se deve elevar um bastão de cobre de 1 m de comprimento para que 
ele tenha uma expansão de 1%? Considere que inicialmente ele esteja à temperatura 
ambiente.
Solução:
A dilatação de 1% corresponde a 0,01m. Portanto, temos:
5
0 0,01 1,8 10 1 ( 25) 580 ºCL L T T Tα
−∆ = ∆ ⇒ = × × × − ∴ = .
Já sabemos como calcular a expansão linear de sólidos, mas o que acontece em 
termos microscópicos para provocar (produzir) esta dilatação? Um modelo simplifi cado 
pode auxiliar o argumento: os átomos da rede (cristalina ou não) mantem suas posições, 
porém, executam um movimento oscilatório em torno de um ponto de equilíbrio estável, 
muito parecido com o de um oscilador harmônico, mas não exatamente igual. Um 
acréscimo de temperatura signifi ca fornecer calor e, com isto, as amplitudes de oscilação 
aumentam gradativamente à medida que sua temperatura cresce. Como a curva de energia 
potencial é assimétrica (se ela fosse simétrica como a de um oscilador harmônico, não 
ocorreria dilatação da rede), a distância média entre os átomos sofre um acréscimo quando 
se eleva a temperatura. Esses efeitos microscópicos se refl etem macroscopicamente na 
expansão do sólido. O aumento na amplitude de oscilação dos átomos da rede pode levar 
a uma situação dramática, na qual a força restauradora já não é sufi ciente para manter a 
coesão do sólido e, a partir daí, tem início a fusão do material.
A descrição unidimensional pode ser generalizada para duas e três dimensões, 
com um pouco mais de álgebra. Vamos considerar o caso tridimensional e veremos que 
em duas dimensões, o mesmo raciocínio pode ser usado. Para facilitar os cálculos, vamos 
tratar de um sólido na forma cúbica e com arestas L0. Quando aquecido, todas as três 
dimensões se expandem e podemos escrever,
( )33 0 0( )L V L L Tα= = + ∆
Então, 3 3 3 2 2 3 3 30 0 0 03 3 ( ) ( )V L L T L T L Tα α α= + ∆ + ∆ + ∆ . Observe que os dois 
últimos termos podem ser escritos como 3 203 ( )L Tα∆ e 
3 3
0 ( )L Tα∆ . O produto Tα∆ é da 
ordem de 10-3, ou mesmo menor, para variações moderadas de temperatura (em torno 
de 100 oC) e, portanto, 2( )Tα∆ e 3( )Tα∆ são da ordem de 10-6 e 10-9, respectivamente. 
Podemos, então, desprezá-los quando comparados com o termo contendo Tα∆ . Com 
SUBSTÂNCIA α [0C-1]
Alumínio 52,4 10−×
Cobre 51,8 10−×
Latão 51,7 10−×
Aço 51,1 10−×
Vidro 5(0,1 1,3) 10a −×
Concreto 5(0,7 1, 4) 10a −×
TABELA 6.1 - Alguns valores de α.
QUESTÃO 6.2
Dois corpos de mesmo 
material possuem as 
mesmas dimensões 
externas e mesma forma, 
porém um é oco e outro 
maciço. Quando a 
temperatura de ambos 
aumentar do mesmo valor, 
a dilatação dos corpos será 
a mesma ou será diferente? 
Explique.
Figura 6.4 - Modelo de 
uma rede cristalina e a 
energia potencial entre 
os átomos.
FÍSICA GERAL II
102
esta aproximação, o resultado fi nal é escrito como
3 3
0 0 0 0 03 3 3V L L T V V T V V Tα α α= + ∆ = + ∆ ⇒ ∆ = ∆ , 
que usualmente é escrito na forma 0V V Tγ∆ = ∆ onde 3γ α≡ . Este é o resultado fi nal 
para uma expansão volumétrica de um sólido. Observe que, para este caso, consideramos 
o sólido isotrópico (possui as mesmas propriedades em todas as direções) de tal forma 
que o coefi ciente γ é dado simplesmente como 3α. Entretanto, existem exceções, e uma 
delas é o composto 3CaCO (calcita) que se expande mais facilmente em uma direção do 
que em outra. Tais materiais não podem ser tratados pelas relações estabelecidas acima.
O caso bidimensional pode ser tratado de forma parecida com aquela realizada 
acima, considerando uma placa metálica quadrada de L0. O resultado obtido, para uma 
variação S∆ da área, pode ser expresso pela relação:
0S S Tβ∆ = ∆ , onde 2β α= e S0 é a área inicial.
Existe um ponto sobre a dilatação superfi cial que, invariavelmente, causa certo 
embaraço no estudante. Se uma placa possui um orifício, quando ela for aquecida, a área 
deste orifício aumenta ou diminui? A resposta correta é que suas dimensões aumentam. 
Isto é, quando a placa se dilata, a área livre do orifício fi ca maior, e não menor, como é 
comum se pensar. Acontece o mesmo quando aquecemos uma casca esférica metálica: o 
volume interno se torna maior, e não menor. O exemplo seguinte mostra como calcular a 
expansão de um orifício.
EXEMPLO 6.3
Uma chapa de aço apresenta um orifício com área de 100 cm2. Inicialmente sua tem-
peratura é 20 oC e, então, é aquecida até 100 oC. Qual a variação da área deste orifício?
Solução:
O buraco se expande exatamente da mesma forma como se fosse preenchido pelo metal. 
Portanto, sua expansão pode ser calculada de maneira convencional, usando o coefi -
ciente 5 12 2, 2 10 º Caço açoβ α
− −= = × .
5 2
0 100 2,2 10 80 0,18cmaçoS S Tβ
−∆ = ∆ = × × × = .
E se a chapa fosse resfriada a 0 0C em vez de ser aquecida?
5 2100 2,2 10 ( 20) 0,044cmS −∆ = × × − = − . O sinal negativo indica uma contração.
A tabela 6.2 fornece os valores de coefi cientes 
de expansão volumétrica para alguns líquidos.
Para obter os valores de γ para sólidos, basta 
multiplicar os dadosda tabela 1 (para coefi cientes 
lineares) pelo fator 3.
EXEMPLO 6.4
Um frasco de vidro de 100 cm3 contém mercúrio líquido até a borda. Inicialmente a 
temperatura é 25 oC. Começamos seu aquecimento até a temperatura atingir 100 oC. O 
mercúrio irá transbordar? Em caso afi rmativo, qual a quantidade de líquido que sairá 
do frasco?
QUESTÃO 6.3
Por que muitas vezes o 
bulbo de uma lâmpada 
incandescente se quebra 
quando, por exemplo, uma 
gota de água cai sobre ele? 
E por que um copo de vidro 
comum pode se quebrar ao 
adicionarmos um líquido 
quente?
SUBSTÂNCIA 1 1[ ]o K ou Cγ − −
Álcool etílico 511 10−×
Benzeno 512,4 10−×
Glicerina 548 10−×
Mercúrio 518 10−×
Gasolina 596 10−×
TABELA 6.2 - Coefi cientes de
expansão volumétrica (líquidos).
103
temperatura e Calor
Solução:
Para responder a primeira pergunta, basta comparar os coefi cientes de expansão 
volumétrica de ambos os materiais. A tabela 1 fornece para o vidro, o valor médio
5 5 13 3 0,6 10 1,8 10 ºCvidrovidroγ α
− − −= = × × = ×
O valor γ da tabela 2, para o mercúrio, é 5 118 10 o C− −× , que é 10 vezes maior do que o 
do vidro. Isto certamente fará com que o mercúrio transborde do recipiente.
 
Os valores quantitativos podem ser determinados utilizando-se os dados acima.
5 3100 1,8 10 (100 25) 0,135cmvidroV
−∆ = × × − = .
5 3100 18 10 (100 25) 1,35cmHgV
−∆ = × × − = .
Portanto, o líquido entornado tem volume dado por, 
31,35 0,135 1,215cmentorndo Hg vidroV V V∆ = ∆ − ∆ = − = .
Estes resultados podem servir para você explicar o funcionamento de um termômetro 
de mercúrio com bulbo de vidro.
Dilatação Térmica da Água
No intervalo de temperatura entre C4 e C0 oo a água diminui seu volume ao 
ser aquecida, indicando que o coefi ciente de expansão térmica nesta região é negativo 
(fi gura 6.5). Acima de C4 o , ela se expande quando aquecida, apresentando, portanto, 
um valor máximo em sua densidade a C4 o . Abaixo desta temperatura, ela se expande, e 
isto explica porque o gelo obtido nas forminhas que você coloca no congelador apresenta 
a superfície curva para cima (este fato é mais evidente em formas de metal do que em 
formas de plástico líquido).
Esse comportamento anômalo da água tem um efeito muito importante na vida 
de animais e plantas, principalmente em lagos. A água se congela a partir da superfície 
para baixo; acima de C4 o , a água fria fl ui para a parte mais interna devido à sua maior 
densidade. Porém, quando a temperatura decresce ainda mais, a densidade volta a ser 
menor na camada superfi cial e o fl uxo para baixo cessa e a água na camada mais externa 
fi ca mais fria do que em regiões mais profundas. À medida que ocorre o congelamento na 
superfície, o gelo fl utua por ser menos denso e a água no fundo permanece a temperatura 
próxima a C4 o , até que aconteça todo o 
congelamento do lago. Se a água se contraísse 
ao ser resfriada, o congelamento se daria 
inicialmente em camadas mais profundas e, 
gradativamente, o processo de solidifi cação 
atingiria a superfície. Na ocorrência deste 
mecanismo, a vida abaixo da superfície 
(animais e plantas) sofreria enormes prejuízos 
e, possivelmente, a evolução da vida na Terra 
teria seguido um curso muito diferente.
6.5 Quantidade de Calor
Quando uma colher metálica é colocada em uma xícara de café quente, ela se 
aquece e o café se esfria até ambos atingirem o equilíbrio térmico. Se você esperar um 
tempo razoavelmente longo (comparado àquele transcorrido para que café e colher se 
equilibrem termicamente), ambos os corpos entrarão também em equilíbrio térmico 
com o ambiente, mas no momento estamos interessados no que acontece entre o café 
e a colher. A interação que produz esta variação de temperatura é uma transferência de 
Figura 6.5 - Detalhe do comportamento 
volumétrico da água próximo a 0ºC.
FÍSICA GERAL II
104
energia entre um corpo e outro. À esta transferência de energia, produzida pela diferença 
de temperatura, denominamos fl uxo de calor ou transferência de calor. Neste caso, a 
energia transferida é chamada de calor ou energia térmica.
É importante que você saiba claramente a diferença entre calor e temperatura. 
Calor é uma forma de energia que é transferida de um corpo a outro quando existe uma 
diferença de temperatura entre eles. A temperatura depende do estado físico do material 
e sua descrição quantitativa indica se um corpo está frio ou quente. Pode-se alterar a 
temperatura de um sistema fornecendo ou retirando-se calor (energia) dele. Por exemplo, 
para se aquecer certa quantidade de água podemos fornecer calor realizando trabalho sobre 
ela. Foi desta forma que Joule realizou suas experiências para concluir que o aumento 
de temperatura é proporcional ao trabalho realizado. Medidas cuidadosas permitiram o 
estabelecimento da primeira lei da Termodinâmica a ser estudada no próximo capítulo. 
Alternativamente, para aquecer a água podemos colocá-la em contato térmico com uma 
fonte de calor, cuja temperatura seja maior do que o recipiente. A fi gura 6.6 ilustra os dois 
processos.
É bastante comum (e errôneo) ouvir que em dias de verão “está fazendo muito 
calor”. Difi cilmente se consegue elaborar uma frase com tão pouco sentido. O que se quer 
dizer, efetivamente, é que a temperatura está elevada e não que está calor. Achou um 
pouco pedante? Pode ser, mas é a forma fi sicamente correta de descrever a situação.
Como o calor é energia que está sendo transferida, deve existir uma relação 
entre suas unidades e aquelas conhecidas da energia mecânica, como, por exemplo, o 
Joule. Experimentos cuidadosos sobre esta equivalência mostram que
1 caloria (cal)= 4.186 joules
O uso da caloria como unidade de calor é bastante comum, embora ela não 
faça parte do Sistema Internacional. A recomendação do Comitê Internacional de Pesos 
e Medidas é que seja usado o Joule como unidade básica de todas as formas de energia e, 
obviamente, isto inclui o calor. A determinação de uma unidade de energia para o calor 
foi obtida considerando-se a quantidade de energia necessária para se elevar de um grau 
Celsius, de 14,5 a 15,5ºC, a massa de 1 g de água, à pressão de 1 atm.
Calor Específi co 
Utiliza-se o símbolo Q para representar certa quantidade de calor transferida de 
um corpo a outro. Quando esta quantidade está associada a uma diferença infi nitesimal de 
temperatura, dT, escrevemos dQ. 
A experiência tem mostrado que a quantidade de calor Q necessária para elevar 
a temperatura de uma massa m de certo material é diretamente proporcional à diferença 
de temperatura f iT T T∆ = − . Mostra, também, que esta quantidade de calor necessária 
é diretamente proporcional à massa da substância. Dobrando-se a massa, há necessidade 
de se duplicar a quantidade de calor fornecida; se para a mesma massa, dobrarmos o 
intervalo de temperatura, precisaremos de duas vezes a quantidade de calor. Um detalhe 
importante: a quantidade de calor para fazer variar a temperatura depende da natureza do 
material. Certa massa de alumínio requer uma quantidade de calor menor do que a mesma 
massa de água quando queremos ter a mesma variação de temperatura. Por exemplo, 
1 kg de alumínio requer 910 J para que sua temperatura varie de C 1 o , enquanto 1 kg de 
água requer 4190 J para a mesma variação de temperatura. As conclusões acima podem 
ser sintetizadas matematicamente:
Q m T Q mc T∝ ∆ ⇒ = ∆ .
A constante de proporcionalidade, c, introduzida na equação é chamada calor específi co da 
substância. Note que, embora o valor numérico desta constante dependa de cada material, 
estamos supondo que ele seja independente da temperatura. De fato, ele não é, mas 
Figura 6.6 - Processos 
para aquecer certa 
quantidade de água.
105
temperatura e Calor
dependendo do intervalo de temperatura considerado, pode-se supor que seu valor seja 
constante. É uma aproximação bastante boa para um grande número de substâncias em 
intervalos moderados de temperatura. Experimentalmente os valores de calor específi co 
para uma dada substância podem ser obtidos fornecendo-sepequenas quantidades de 
calor dQ e medindo-se as variações infi nitesimais de temperatura:
1 dQdQ mcdT c
m dT
= ⇒ = .
Embora o termo calor específi co seja de uso 
comum, ele pode induzir a um entendimento confuso: 
quando dizemos que uma substância tem calor específi co 
de determinado valor, isto pode dar a impressão de que 
o corpo possui uma quantidade calor. Lembre-se de que 
calor é uma forma de energia em trânsito e, portanto, 
não existe algo como “certa quantidade de calor em 
determinado corpo”. 
Nota-se pela tabela 6.3 que não há registro 
de valores para gases. Isto tem motivo especial, como 
veremos no próximo capítulo: os calores específi cos dos 
gases são bastante susceptíveis a variações de pressão, 
enquanto que, para líquidos e sólidos, a dependência é 
muito menor.
EXEMPLO 6.5 - Avaliação da quantidade de energia despendida em estado febril. 
Na linha seguinte avalie a energia gasta quando um adulto de 70 kg está com sua tem-
peratura 2 0C acima daquela usual. 
DADO: 4200J kg.K 4200J kg.ºChumano águac c≈ = = .
Solução:
Estamos supondo que toda massa do homem seja constituída por água. Obviamente, 
isto não é verdadeiro, mas lembre-se de que é uma avaliação. Na realidade, o corpo 
humano é constituído por aproximadamente 70 % de água.
570kg 4200J kg.K 2K 5,88 10 JQ mc T= ∆ = × × = × .
Mas o que signifi ca este número? Para efeito de comparação, a ordem de gran-
deza desse resultado equivale à energia despendida para elevar 1000 kg a uma altura de 
10 m. Isso signifi ca aquecer 1 kg de água até o ponto de ebulição. Para suprir esta ener-
gia, o corpo humano processa a transformação dos alimentos ingeridos. Uma refeição 
bem balanceada e sem exageros consegue fornecer em torno de 66,7 10 J× .
O valor obtido está um pouco acima daquele calculado considerando o calor es-
pecífi co do corpo humano como sendo 3500J kg.Khumanoc = , porém a ordem de gran-
deza se mantém. Este valor menor envolve, além da água, proteínas, gorduras e sais 
minerais.
EXEMPLO 6.6
Certo dispositivo eletrônico, constituído basicamente de 23 mg de silício, é percorrido por 
uma corrente elétrica que gera um aquecimento a uma taxa de -37,4 mW 7,4 10 J/s= × . Se 
ele não dissipar este calor, fatalmente irá se deteriorar por super aquecimento. Calcule esta 
taxa de aquecimento.
DADO: 700J/kg.Ksilícioc =
SUBSTÂNCIA
CALOR 
ESPECÍFICO 
(J/kg.K)
Alumínio 910
Berílio 1970
Cobre 390
Ferro 470
Chumbo 130
Prata 234
Gelo (0 0C) 2100
Sal (NaCl) 880
Vidro 837
Álcool etílico 2400
Água (15 0C) 4186
TABELA 6.3 - Calor específi co de 
algumas substâncias.
FÍSICA GERAL II
106
Solução:
Para se calcular a taxa de aquecimento, precisamos primeiramente obter a variação da 
temperatura por unidade de tempo (segundo). O calor gerado por segundo é
4 4 7, 4 10 /1 segundo 7,4 10 JQ potência unidade de tempo − −= = × = ×
Então, a variação de temperatura nesse intervalo é silicioT Q mc∆ = . Com os valores 
numéricos, temos
3
6
7,4 10 0,46 K
23 10 700
T
−
−
×
∆ = =
× ×
. Isto representa uma taxa de aquecimento de quase 0,5 K 
por segundo. Se não houver troca de calor entre o dispositivo e o meio ambiente, poucos 
minutos serão sufi cientes para comprometer seu funcionamento. Um dissipador efi cien-
te teria que ser projetado para que houvesse uma troca de calor a uma taxa próxima de 
0,47 K/s.
Calor Específi co Molar
O calor específi co, algumas vezes, é expresso utilizando-se o número de mols da 
substância. Suponha que certo material, de massa m, tenha massa molecular M. O número 
de mols é dado pela relação:
número de mols n m M m nM= = ⇒ = . 
 Então, a capacidade molar de calor, C, é defi nida de maneira análoga àquela usada 
para calor específi co:
dQ nCdT=
e as unidades da constante C são ]K.mol/J[ .
Podemos comparar o calor específi co com a capacidade molar, a partir das 
defi nições:
dQ mcdT= e dQ nCdT= . 
 Portanto, igualando as duas quantidades, temos:
mdQ mcdT nCdT mcdT CdT C Mc
M
 /= = ⇒ = ∴ =/  
 
. O calor molar é dado pelo calor 
específi co multiplicado pela massa molecular da substância. Introduzimos a defi nição de 
calor molar para comparar seus valores quando a substância é metálica. Na tabela abaixo 
estão listados os valores para alguns sólidos metálicos. 
Observando a terceira coluna da tabela 6.4, 
pode-se ver que os valores de C estão muito próximos 
de 25 J/mol.K quando medidos a temperatura 
ambiente. Este resultado é chamado lei de Dulong-
Petit, em homenagem aos dois físicos franceses que 
o determinaram experimentalmente. Diversos outros 
sólidos metálicos apresentam valores semelhantes 
para C.
6.6 Transições de Fase
Designamos por fase qualquer estado da matéria, tais como o de um sólido, de um 
líquido ou de um gás. Ordinariamente, as substâncias se apresentam na natureza em um 
desses três estados. Quando, por exemplo, um sólido é aquecido, sua temperatura cresce 
e se continuamos a fornecer calor, ele pode passar para o estado líquido. A transição de 
uma fase para a outra é o que se chama de transição de fase do material. Fornecendo-se, 
lentamente, calor a certo volume de gelo a 0 oC e a pressão normal, sua temperatura não 
SUBSTÂNCIA
c
[J/g.K]
C
[J/mol.K]
Alumínio 910 24.4
Cobre 390 24.5
Ferro 470 25.0
Chumbo 130 26.6
Tungstênio 136 25.0
 TABELA 6.4 - Calor molar de alguns 
sólidos metálicos (T = 300K).
107
temperatura e Calor
varia. Entretanto, parte dele se transforma em água líquida. Todo calor cedido não fez 
variar a temperatura da amostra, mas foi utilizado para produzir uma transição de fase. 
Se toda massa de gelo se transforma em água líquida (ou não), certamente, dependerá 
da massa inicial do gelo e da quantidade de calor fornecida. Para se converter 1 kg de 
gelo inicialmente a 0 ºC (e a pressão atmosférica) para água líquida, são necessários 
53,34 10 J× de calor. Defi ne-se calor latente de fusão, Lf , por unidade de massa, como o 
calor necessário para que ocorra a fusão de uma unidade de massa do material. No caso 
da água, 53,34 10 J/kgfL = × .
A generalização das idéias discutidas acima pode ser expressa da seguinte forma: 
para liquefazer a massa m de certo material, cujo calor latente de fusão seja Lf , é necessário 
fornecer a esta massa uma quantidade de calor Q dada por
fQ mL= .
O processo inverso, isto é, a solidifi cação de 1 kg de água a 0 ºC (e a pressão 
atmosférica), requer a retirada de 53,34 10 J× para se obter sua solidifi cação. A convenção 
de sinais para a adição ou retirada de calor do sistema, é simples:
O calor é considerado positivo se ele entra no sistema; será considerado 
negativo se ele sair do sistema.
Para englobar essas duas possibilidades, e para casos nos quais existam outras 
transições de fase, escreve-se
Q mL= ± (transferência de calor em uma transição de fase).
Prosseguindo com o exemplo da água, quando ela recebe calor sua temperatura 
aumenta; se chegar até 100 ºC (estamos sempre supondo que a pressão seja de 1 atm) e 
continuarmos fornecendo calor, ela sofre uma transição de fase passando para o estado 
gasoso. Como ocorreu na fusão, sua temperatura no processo de vaporização permanece 
constante. O calor necessário para se vaporizar 1 kg de água inicialmente a 100 ºC é 
62,25 10 J/kg× . Isto corresponde ao calor latente de vaporização da água, Lv . 
Se você tem alguma experiência culinária, deve ter notado que para se ferver 
certa quantidade de água necessita-se menos calor do que para transformá-la em vapor. 
Esta observação pode ser feita mais quantitativamente: para atingir 100 ºC, a partir de 0 ºC, 
fornecemos 54, 2 10 J× para 1 kg de água. Para vaporizá-la totalmente são necessários 
62,25 10 J× , uma quantidade cinco vezes maior do que para aquecê-la até a fervura. A 
tabela 5 fornece o calor de fusão e de vaporização para algumas substâncias, juntamente 
com as temperaturas de fusão e ebulição sob pressão normal.
TABELA 5: Calor latente para algumas substâncias
SUBSTÂNCIA FUSÃO (oC) Lf (J/kg) EBULIÇÃO (
oC) Lv (J/kg)
Hélio ∗∗ ∗∗ -269 20,9 310×
Hidrogênio-259 58,6 310× -252,9 452 310×
Água 0,0 334 310× 100,0 2256 310×
Chumbo 327,3 24,5 310× 1750 871 310×
Cobre 1083 134 310× 1187 5070 310×
Prata 960,6 88,3 310× 2193 2336 310×
Ouro 1063,0 64,5 310× 2660 1578 310×
QUESTÃO 6.4
Para elevar a temperatura 
de uma substância você 
deve fornecer calor a 
ela? Se você fornecer 
calor, a temperatura 
necessariamente aumenta? 
Explique .
FÍSICA GERAL II
108
Quando dizemos que o calor de vaporização da água vale 32256 10 J/kg× , 
estamos sempre considerando a pressão normal de 1 atmosfera. Este valor se verifi ca ao 
nível do mar, porém, nem sempre as medidas são realizadas a beira mar. Suponha que a água 
seja colocada a uma altitude de 2000 m, onde a temperatura de ebulição é de 95 ºC. O calor 
de vaporização nestas condições é um pouco maior do que o valor registrado a 0 ºC, sendo 
6(95ºC) 2,27 10 J/kgvL = × .
EXEMPLO 6.7
0,1 kg de gelo é retirado do congelador a uma temperatura de -10 0C e deixado dentro 
de um recipiente até atingir a temperatura ambiente de 25 0C. Em seguida, o líquido é 
aquecido para que toda a massa se evapore. O calor específi co do gelo é 2100 J/kg.K, e 
da água é o dobro deste valor.
a) Esboce um gráfi co qualitativo da temperatura contra o tempo para todo o processo.
b) Qual a quantidade total de calor cedida a esta massa?
Solução:
a) O gráfi co qualitativo do processo está mostrado na fi gura 6.7.
b) No primeiro trecho o gelo, inicialmente a -10 0C, atinge a temperatura de fusão. O 
calor absorvido pelo gelo é
4
1 0,1 2100 (0 10) 2100 J 0,21 10 JQ = × × − = − = − × .
A fusão total da amostra requer uma quantidade de calor dada por
5 4
2 0,1 3,34 10 J 3,34 10 J.Q = − × × = − ×
Em seguida, o líquido ainda a 0 0C, é deixado esquentar até atingir 25 0C. 
Depois, o líquido recebendo calor atinge 100 0C. Nesta etapa, de 0 a 100 0C, não há 
necessidade de se fracionarem os cálculos: pode-se considerar como um único processo 
com início a 0 0C e fi nal a 100 0C. O calor absorvido é
 43 0,1 4200 (100 0) 4,2 10 J.Q = − × × − = − ×
Quando a temperatura atinge 100 0C, continuamos fornecendo calor até a completa eva-
poração do líquido:
 5 44 0,1 22,56 10 J 22,56 10 J.Q = − × × = − ×
O calor absorvido pela amostra, considerando todo o processo, é dado por
 41 2 3 4 30,3 10 J.TOTALQ Q Q Q Q= + + + = − ×
Novamente, o sinal negativo indica uma absorção de calor pelo sistema.
 Observe que nos cálculos sempre foi suposto que a massa se manteve fi xa: 
iniciamos com 0,1 kg de gelo e terminamos com a evaporação de 0,1 kg de água. Você 
seria capaz de indicar em qual parte do experimento existe a maior perda de massa? 
Faça uma estimativa dessa perda, usando sua experiência culinária.
EXEMPLO 6.8
Um calorímetro, de capacidade térmica desprezível, contém 0,1 kg de água a 20 ºC. 
Uma massa de ferro de 0,2 kg e a 720 ºC é colocada neste calorímetro.
a) Qual a temperatura fi nal de equilíbrio?
b) Que massa de água evaporou no processo?
Solução:
a) Vamos supor inicialmente que exista uma temperatura fi nal 20 100o ofC T C< < . Se 
encontrarmos uma temperatura fi nal maior do que 100 0C, signifi ca que parte da água 
(ou toda ela) sofreu evaporação.
Como o calorímetro é adiabático (não permite troca de calor com o meio), só é possível 
ocorrer troca de calor entre o sólido e a água:
Figura 6.7 - Esboço da 
evolução temporal do 
sistema.
QUESTÃO 6.5
Alguns viajantes do 
deserto transportam água 
em recipientes de lona. 
A água se infi ltra pela 
lona e se evapora. Como 
isso faz com que a água 
remanescente se esfrie? O 
mesmo processo ocorre em 
recipientes de argila ou de 
barro.
109
temperatura e Calor1 2
0Q Q+ = .
1Q se refere ao calor cedido pela massa de ferro e 2Q se refere ao calor recebido pela 
água.
3
1 0, 2 470( 720) 94 67,7 10f fQ T T= × − = − × .
3
2 0,1 4200( 20) 420 8,4 10f fQ T T= × − = − × .
Então, a relação acima fi ca: 
3 3 3 o94 67,7 10 420 8,4 10 0 514 76 10 148 f f f fT T T T C− × + − × = ⇒ = × ∴ = .
Este valor indica que houve evaporação do líquido. 
Ora, se aconteceu de evaporar algum líquido (ou todo, que não será o caso como 
veremos abaixo), então a temperatura de equilíbrio será de 100 ºC. Nestas condições, 
podemos escrever:
3
1 0, 2 470( 620) 58,3 10 JQ = × − = − × (o sinal negativo indica calor cedido).
3
2 2 2 1 24200 (80) 2256 10
T vaporizacãoQ Q Q m m∆= + = × × + × × .
Mas, 1 2 0,1m m+ = (massa total de água), sendo que 1m se refere à massa que 
permaneceu líquida, e 2m é a massa que evaporou.
Assim, 2Q pode ser escrito como:
3 3 3
2 1 2 2 24200 ( 620) 2256 10 336 10 (0,1 ) 2256 10Q m m m m= × × − + × × = × − + × ⇒
3 3
2 21920 10 33,6 10Q m= × + × .
Usando 1 2 0Q Q+ = , tem-se
3 3 3
2 258,3 10 1920 10 33,6 10 0 0,013kgm m− × + × + × = ∴ ≈ . 
Esta é a massa evaporada no processo.
Se encontrássemos um valor maior que 0,1 kg a temperatura de equilíbrio não seria 
100 ºC. É o caso no qual todo o líquido se evapora e a temperatura fi nal do sólido é 
superior a 100 ºC.
Exercícios
1. Uma barra metálica possui comprimento de 40,125 m a 20 ºC. e tem comprimento de 
40,148 m quando está a 45 ºC. Qual o coefi ciente linear de dilatação linear para este 
material?
2. Um cilindro de cobre está a 20 ºC. Em qual temperatura seu volume aumenta de 0,15%?
3. Um frasco de vidro com volume de 1000 cm3 está totalmente cheio de mercúrio a 
temperatura de 0 ºC. Quando o conjunto é aquecido a 55 oC, um volume de 8,95 cm3 de 
mercúrio transborda. Dado 5 118 10mercurio Kγ
− −= × , calcule o coefi ciente de dilatação 
volumétrica do vidro.
4. Quando estava pintando o topo de uma antena de 60 m de altura, o trabalhador deixa 
cair acidentalmente um recipiente de 1 litro de água que estava em sua mochila. Sua 
queda é amortecida por alguns arbustos e toca o solo sem se quebrar. Supondo que a 
água absorva todo o calor devido à energia potencial gravitacional, qual a variação da 
temperatura da água?
5. Um pequeno aquecedor de 200 watts está submerso em 100 gramas de água à 23 ºC. 
Calcule o tempo necessário para aquecer essa quantidade de água até a ebulição.
FÍSICA GERAL II
110
6. Antes de fazer um exame médico, um adulto de 70 kg, com temperatura de 36 ºC, 
consome um volume de água de 0,35 litro que está a 12 ºC. 
a) Qual deve ser a temperatura de seu corpo ao atingir o equilíbrio térmico? Despreze 
qualquer anomalia devido ao metabolismo e suponha que o calor específi co do corpo 
seja 3480 J/kg.K.
b) A variação de temperatura de seu corpo é sufi ciente para ser detectada por um 
termômetro clínico comum? 
7. Qual o calor total necessário para converter 12 gramas de gelo a 10 ºC em vapor de 
água a 100 ºC ?
8. Qual deve ser a velocidade inicial de um projétil de chumbo a 25 ºC, de tal forma que, 
quando atingir um anteparo metálico, o calor gerado seja sufi ciente para ocorrer a 
fusão desse projétil? Suponha que todo calor gerado no impacto seja usado somente 
para aquecê-lo, não havendo perdas nem para o meio e nem para o anteparo.
9. Um técnico de laboratório coloca em um calorímetro certa amostra desconhecida de 
massa 80 g e à temperatura de 100 ºC . O calorímetro é feito de cobre e tem massa de 
0,150 kg. Dentro dele estão 0,250 kg de água e ambos (calorímetro + água) estão a 
19 ºC . O equilíbrio térmico se verifi ca a 26,1 ºC . Qual o calor específi co da amostra?
10. Um estudante assistindo a uma aula de Física produz 100 W de calor. Qual a 
quantidade de calor produzida por uma turma de 40 alunos durante 50 minutos de 
aula? Suponha que todo este calor seja transferido para os 200 m2 de ar da sala de 
aula. A densidade do ar é 1,2 kg/m2 e seu calor específi co é 1020 J/kg.K. Qual seria 
o aumento de temperatura da sala, supondo que ela não troque calor com o exterior?
11. Um calorímetro, de capacidade térmica desprezível, contém 200 gramas de álcool 
a 30 ºC. 150 gramas de cobre a 800 ºC são colocados dentro deste calorímetro. 
a) Qual a temperatura de equilíbrio?
b) Se houve vaporização de álcool, qual a massa remanescente após ter sido atingido 
o equilíbrio térmico?Dados: 
3
álcool2430J/kg.K; T 78 ºC; 854 10 J/kg
390J/kg.K
ebulição vaporização
álcool álcool
cobre
c L
c
= = = ×
=
111
temperatura e Calor
Anotações
FÍSICA GERAL II
112
Anotações
113
Primeira Lei da 
Termodinâmica
7
7.1 Introdução
7.2 trabalho
7.3 A primeira Lei da termodinâmica
7.4 Gás Ideal: Energia Interna e Calor Específi co
FÍSICA GERAL II
114
7 PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
 
7.1 Introdução
No capítulo anterior vimos que calor é uma forma de energia em trânsito devido 
a uma diferença de temperatura entre dois corpos. Quando este fl uxo cessa, o equilíbrio 
térmico é atingido e o uso da palavra calor se torna inapropriado. A expressão “quantidade 
de calor em um corpo” é totalmente incorreta, como é incorreta também a expressão 
“quantidade de trabalho em um corpo”. A realização de trabalho e o fl uxo de calor são 
métodos pelos quais a energia interna de um sistema pode ser variada. Quando dois 
corpos, a diferentes temperaturas, são colocados para interagir, a temperatura de equilíbrio 
atingida por ambos tem um valor intermediário (não o valor médio, em geral) entre as 
duas temperaturas iniciais. 
Para estabelecer a primeira lei da termodinâmica precisaremos usar o conceito de 
trabalho, estudado no primeiro volume. A defi nição de trabalho envolve uma integração 
ao longo de um caminho que a partícula seguia desde um ponto inicial até um ponto fi nal: 
esse tipo de integral é chamado de integral de linha. Se o sistema era conservativo, o valor 
dessa integral independia do percurso e era função somente dos pontos inicial e fi nal. 
Neste caso, chamávamos de força conservativa. A interpretação geométrica do trabalho 
realizado sobre a partícula referia-se à área sob a curva em um gráfi co da força versus 
distância.
Em termodinâmica não se faz alusão ao conceito de partícula: tratamos de sistemas 
macroscópicos constituídos por um número muito grande de partículas (algo em torno de 
1020, ou mesmo maior). Portanto, imaginar que possamos calcular o trabalho realizado 
sobre cada partícula não parece um ponto de partida razoável.
7.2 Trabalho
A maneira mais fácil de introduzir o conceito de trabalho em termodinâmica é 
usar um sistema composto por um gás. O trabalho mecânico realizado sobre o sistema 
pode ser tratado de forma semelhante àquele estudado em mecânica, considerando a 
variação de volume do sistema:
.
f
i f
F
i
W F dr→ = ∫


 ao longo de algum percurso escolhido previamente.
A fi gura 7.1 mostra um recipiente com certa quantidade de gás em seu interior, 
em dois estágios do processo que queremos analisar. O dispositivo contém um êmbolo 
que pode se movimentar sem atrito. O que acontece quando empurramos este êmbolo, 
comprimindo o gás dentro do recipiente? Antes de responder a esta pergunta, existe 
outra que, de certa forma, a precede. Suponha que inicialmente o gás esteja em equilíbrio 
caracterizado por uma dada pressão e uma temperatura conhecida. Se não existe atrito 
entre o êmbolo (ou pistão) e as paredes, por que o gás não empurra de forma espontânea 
e indefi nidamente esse êmbolo para a direita? O gás não o faz porque existe uma equação 
de estado que governa o comportamento termodinâmico desse sistema: deslocar o pistão 
indefi nidamente para a direita signifi ca tornar o volume infi nito e a pressão ir a zero. 
Mas existe a pressão externa exercida pelo ambiente sobre o êmbolo e quando ambas se 
igualam, cessa o deslocamento espontâneo do pistão. 
Todo sistema termodinâmico possui uma equação estado que relaciona entre si 
as variáveis de estado por meio de uma relação matemática. Se ela é conhecida, ou se é 
simples ou não, é outra história. Por exemplo, o volume de um sólido pode ser expresso 
pela relação matemática já conhecida:
0 1 ( )f iV V T Tγ = + −  .
Figura 7.1 -
Volume contendo certa 
quantidade de gás.
115
Podemos avançar um pouco mais e acrescentar uma dependência com a pressão:
0 1 ( ) (f i f iV V T T P Pγ κ = + − − −  .
κ é a compressibilidade isotérmica do material. Essas relações não descrevem o 
comportamento do sólido para toda faixa de temperatura e/ou pressão: são equações 
aproximadas, válidas em certa região de temperatura e pressão, mas que descrevem 
bastante bem a variação do volume em função de T e P.
Da mesma forma que escolhemos uma convenção de sinais para o calor que entra 
em um sistema sendo positivo e o calor que sai como sendo negativo, para o trabalho 
adotamos: trabalho positivo se refere aquele realizado pelo sistema e negativo como 
aquele realizado sobre o sistema. A fi gura 7.2 sintetiza as convenções usadas mais 
frequentemente.
Resta ainda responder a pergunta sobre o que deve acontecer com o gás se ele for 
comprimido pelo pistão. A resposta é bem simples: depende. A compressão é realizada de 
forma lenta ou não? As paredes podem trocar calor com o meio externo ou são adiabáticas? 
Por hora, vamos esquecer da segunda condição e nos ater à primeira. Mais adiante, iremos 
incorporá-la às nossas considerações para estabelecer a primeira lei da termodinâmica. 
Suponha, então, que algum agente externo tenha comprimido o gás até certo volume Vi 
(não estamos interessados por quem e como isto foi feito). O êmbolo é então travado nesta 
posição e a seguir é lentamente liberado. Esse processo é chamado de processo quase-
estático: a descompressão acontece de forma gradual e em cada etapa o pistão se move 
infi nitesimalmente de uma quantidade dx. Este mecanismo permite conhecer o valor da 
pressão em todo instante do processo. 
Quando o pistão se move de dr dxi=


, o trabalho infi nitesimal realizado pelo 
sistema pode ser escrito como:
.dW Fi idx Fdx= =
 
, onde F é a força exercida pelo gás sobre o êmbolo. 
 Se o pistão tem área A, o volume infi nitesimal dV pode ser escrito como 
dV Adx= . A pressão exercida por esta força (sobre o pistão) é p F A= . Portanto, 
podemos escrever
dVdW pA dW pdV
A
= × ⇒ = .
 Para uma variação fi nita (não infi nitesimal), desde um volume 
i fV até um volume V , teremos
∫=→
f
i
V
V
fi pdVW (trabalho realizado pelo sistema).
 A relação acima está de acordo com a convenção adotada sobre o sinal: se o 
volume fi nal é maior do que o volume inicial, houve uma expansão e a integral é positiva 
(p é sempre positiva). Neste caso, temos W > 0 (trabalho realizado pelo sistema). Se 
acontecer uma compressão, Vf < Vi , a integral é negativa e temos W < 0 (trabalho realizado 
sobre o sistema). 
Para calcular a integral acima devemos conhecer a pressão ponto a ponto durante todo o 
processo: no caso de um gás ideal, 
nRTpV nRT p
V
= ⇒ = . Exatamente por isso que 
idealizamos um processo quase-estático: a pressão é conhecida durante toda a evolução do 
sistema. Se o pistão fosse liberado repentinamente, a expansão ocorreria de modo tão rápido 
que difi cilmente poderíamos escrever a relação funcional pV nRT= para todo instante 
da descompressão. Isto causa difi culdade para se obter o trabalho realizado pelo gás, pela 
seguinte razão: não sabemos o que colocar no integrando para o cálculo da integral. 
Figura 7.2 -
Convenção de sinais para 
o calor e para o trabalho.
primeira Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
116
A interpretação geométrica do trabalho realizado pelo gás pode ser dada de 
maneira semelhante àquela utilizada para partículas; entretanto, neste caso temos o que se 
chama de diagrama pV (fi gura 7.3). A área sob a curva é numericamente igual ao trabalho 
realizado pelo sistema. Convém observar que, diferentemente do caso de partículas no qual 
a força pode ser positiva ou negativa, a pressão é sempre positiva. Assim, os diagramas 
pV se situam sempre no 1º quadrante porque p e V são positivos.
EXEMPLO 7.1
Obtenha as expressões para o trabalho realizado por um gás ideal ( pV nRT= ) quando:
a) O volume se mantém constante.
b) A pressão se mantém constante.
c) A temperatura se mantém constante.
d) O sistema é isolado termicamente.
Para cada um dos processos acima, esboçar o diagramapV.
Solução:
a) Se o volume se mantém inalterado, então f iV V= . A integral com ambos os extre-
mos iguais é nula. Portanto, o trabalho realizado pelo gás neste processo (chamado de 
isocórico ou isovolumétrico), é zero. (1)
b) Se a pressão não varia (processo isobárico), a integral é facilmente calculada:
( )
f f
i i
V V
f i
V V
W pdV p dV p V V= = = −∫ ∫ . (2)
c) Esse processo requer uma temperatura constante (chamado de processo isotérmico). 
Contrariamente ao que se ouve com frequência, este processo requer troca de calor entre 
o sistema e o meio ambiente, permitindo que a temperatura fi que inalterada. Nesse caso, 
as paredes do sistema devem ser boas condutoras de calor para facilitar a troca de calor.
(ln ln )
f f
i i
V V
i f i f i f f i
V V
nRTW pdV W dV W nRT V V
V→ → →
= ⇒ = ∴ = −∫ ∫
ln fi f
i
V
W nRT
V→
= . (3)
d) Um processo adiabático é caracterizado por não existir troca de calor entre o sistema 
e o meio ambiente. Neste caso, variam p, V e T, simultaneamente. A equação de estado 
que o descreve é dada por pV K constante,γ = = sendo γ > 1. Podemos escrever a 
pressão na forma
Kp KV
V
γ
γ
−= = . Então, o trabalho é dado por
1
1
ff f
i i i
VV V
i f i f
V V V
VW pdV W KV dV K
γ
γ
γ
− +
−
→ →
 
= ⇒ = =  − + 
∫ ∫
1 1
1 1
f i
i f
V VW K
γ γ
γ γ
− −
→
 
∴ = − ⇒ 
− −  
1 1
1 1
f i
i f
V VW K K
γ γ
γ γ
− −
→ = −− − .
Esta resposta pode se simplifi cada: note que K pV γ= para quaisquer valores de p e V. 
Então, valem as relações i iK pV
γ= e f fK p V
γ= . Substituindo esses valores, temos: 
1 1 1
1 1 1
f i
i f f f i i i f f f i i
V VW p V pV W p V pV
γ γ
γ γ
γ γ γ
− −
→ →  = − ∴ = − − − −
. (4)
Figura 7.3 – Diagrama 
pV para uma evolução 
arbitrária e infi nitesimal.
117
A fi gura 7.4 mostra os diagramas pV para os quatro processos discutidos (Vf < Vi ). 
Note que a curva adiabática (4) tem inclinação maior do que a isoterma (3) passando pelo 
mesmo ponto.
Esse exemplo permite concluir algo muito importante sobre o trabalho realizado por 
um sistema. Observe os diagramas pV referentes aos processos (b) e (c): os valores numéricos 
das áreas sob as curvas são diferentes. No caso (b) o trabalho é maior do que no caso (a). O 
que se pode concluir deste fato é que o trabalho realizado pelo gás depende do caminho 
seguido entre os estados inicial e fi nal. Se para dois processos diferentes (mas com mesmos 
volumes inicial e fi nal), os resultados fossem iguais, seria mais uma coincidência matemática 
do que uma característica do comportamento físico do sistema. Expresso de outra forma, se 
dois valores do trabalho são diferentes para dois caminhos ligando os estados inicial e fi nal, 
temos uma indicação de que o trabalho depende de como se verifi ca a evolução do sistema. 
Um exemplo extremo do que acontece está ilustrado na fi gura 7.5.
 Sobre a notação: alguns autores escrevem um “d” cortado na frente do W para 
deixar explícito que dW não é uma diferencial exata, mas tão somente uma quantidade 
infi nitesimal. Outros autores preferem escrever Wδ pela mesma razão. Continuaremos 
escrevendo dW, entendendo que isso não signifi ca que ela seja uma diferencial exata. 
 O próximo exemplo ressalta alguns aspectos importantes na resolução de 
problemas. Uma fonte frequente de erros está ligada às unidades das grandezas usadas na 
termodinâmica. 
 
EXEMPLO 7.2
0,5 mol de um gás ideal ocupa um volume 4 litros e está a pressão de 4 atm. Este gás 
evolui para outro estado e ocupa um volume de 6 litros a pressão de 2 atm. O processo 
está mostrado na fi gura 7.6: uma reta ligando os estados inicial e fi nal. O valor da 
constante dos gases é R = 8,3 J/molK.
a) Qual a temperatura inicial do sistema? E a fi nal?
b) Encontrar o trabalho realizado pelo gás neste processo (fi gura 7.6).
Solução:
O primeiro passo para resolver o problema é uniformizar as unidades e, como a constante 
R foi fornecida no SI, é conveniente usarmos esse sistema.
3 3 3 3 3 31 10 4 10 6 10i f litro m V m e V m
− − −→ ∴ = × = ×
2 5 5 51 / 10 4 10 2 105 i f atm 10 N m Pascal p Pascal e p Pascal→ ≈ ∴ = × = ×
a) Sendo um gás ideal, pV nRT= . Para determinar as temperaturas inicial e fi nal, 
usamos os dados acima:
INICIAL:
5 2 3 3(4 10 N/m )(4 10 m ) (0,5mol)(8,3J/molK) 385,5Ki iT T
−× × = ∴ = .
FINAL: 
5 2 3 3(2 10 N/m )(6 10 m ) (0,5mol)(8,3J/molK) 289,1Kf fT T
−× × = ∴ = .
b) PRIMEIRO MÉTODO: Para obter o trabalho realizado pelo gás, podemos calcular 
a área sob a curva dada na fi gura 7.6, com as unidades uniformizadas: dessa forma, o 
valor numérico será seguido de Joule. 
A área compreendida sob a curva no diagrama pV corresponde a um trapézio, cuja 
área é formada pela área de um triângulo (A1) e pela área de um retângulo (A2). O sinal 
do trabalho deve ser escolhido segundo foi convencionado: uma expansão signifi ca 
trabalho positivo.
1 2ÁREA(J) 200J 400J 600JW A A= = + = + = (positivo, pois houve uma expansão).
Este método funciona bem quando a área da fi gura pode ser calculada de forma simples, 
pela soma de duas ou mais áreas que determinam a área total. 
Figura 7.4 - Os processos 
(1), (2), (3) e (4) supondo 
f iV V≥ (expansão).
Figura 7.5 - O trabalho de-
pende de como evolui o sis-
tema entre os estados (i) e (f).
Figura 7.6 - Evolução do gás 
– Exemplo 7.2.
a) isocórica seguida por 
isobárica.
b) isobárica seguida por 
isocórica.
primeira Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
118
SEGUNDO MÉTODO: Podemos obter o mesmo resultado a partir da defi nição de 
trabalho. Mas, para isso, devemos conhecer como p varia com V, isto é, obter p(V) e 
substituir no integrando. 
Neste caso, precisamos da equação da reta que passa pelos pontos que caracterizam os 
estados inicial e fi nal.
Coefi ciente angular: 
5
8
3
2 10 10
2 10
f i
f i
p ppm
V V V −
−∆ ×
= = = − = −
∆ − ×
.
5 8 3 8 5( ) 4 10 10 ( 4 10 ) 10 8 10i ip p m V V p V p V
−− = − = − × = − − × ∴ = − + × .
3
3
6 108 2
8 5 5
4 10
10( 10 8 10 ) 8 10
2
f
i
V
i f
V
VW V dV V
×
→
×
 
= − + × = − + × = 
 
∫ 
3
3
6 108 2
5
4 10
10 8 10
2
V V
×
×
 
− + × = 
 
 1800 800 4800 3200 600J J J J W J= − + + − ∴ = .
7.3 A Primeira Lei Da Termodinâmica
A formulação matemática da primeira lei da termodinâmica contém três idéias 
relacionadas: (1) a existência de uma função chamada energia interna; (2) o princípio da 
conservação da energia; (3) a defi nição de calor como energia em trânsito devido a uma 
diferença de temperatura.
O conceito de energia interna merece algum comentário. Como caracterizar a energia 
interna de um sistema termodinâmico? Para tornar a discussão mais concreta, vamos supor 
um sistema constituído por certa quantidade de um gás diatômico (não necessariamente ideal). 
A energia interna é formada por diversas contribuições: a energia cinética de translação, a 
energia cinética de rotação dos átomos que formam cada molécula em torno de seu centro, a 
energia cinética de vibração dos átomos em torno do ponto de equilíbrio, a energia potencial 
devido às interações entre as moléculas do gás. Entretanto, se o recipiente que contém o gás 
for elevado de uma altura h no campo gravitacional, esta variação não contribui para a energia 
interna. Isto signifi ca que a energia interna de um sistema é invariante por translação. 
Embora tenhamos considerado um sistema constituído por um gás, as conclusões 
podem ser estendidas a diferentes sistemas termodinâmicos. Obviamente, a inclusão ou 
a retirada de algum tipo de energia interna depende da complexidade do sistema. Por 
exemplo, para uma amostra sólida, a energia interna de translação, muito importante no 
caso de um gás, não pode ter qualquer contribuição na soma dos diversos tipos de energias 
internas. Entretanto, a contribuição devido às interações entre os átomos da rede cristalina, 
é muitosuperior do que aquela registrada no caso de um gás.
Vimos que o trabalho realizado por (ou sobre) um sistema termodinâmico 
depende do caminho seguido durante o processo. Dizemos que o trabalho não é uma 
variável de estado, e, matematicamente, esse fato é expresso pela condição de dW não 
ser uma diferencial exata. De forma análoga, 
o calor transferido também não é uma 
variável de estado, mas depende de como 
ele é adicionado ao sistema ou retirado dele. 
Para se convencer disso, vamos analisar uma 
das inúmeras experiências que comprovam 
este fato. Novamente, usamos um gás ideal 
e a informação de que em uma expansão 
livre a temperatura se mantém constante. O 
procedimento envolve duas situações e ambas 
estão ilustradas na fi gura 7.7.
Figura 7.7 - Processos que demonstram que o 
calor adicionado depende do caminho.
119
À direita, é permitido ao sistema trocar calor enquanto seu volume aumenta, de 
forma quase-estática, desde o volume Vi até um volume Vf . Existe uma fonte de calor 
(chamado reservatório térmico) que mantém constante a temperatura do gás a 300 K. O 
estado fi nal do processo é caracterizado pelos parâmetros pf , Vf e 300 K.
À esquerda, temos aprisionado o gás em um volume Vi e a pressão pi por meio 
de uma membrana. O volume total do recipiente é Vf. Com estas escolhas reproduzimos 
as mesmas condições inicial e fi nal do processo à direita. As paredes são adiabáticas e, 
portanto, não permitem troca de calor com o meio. Por algum dispositivo, a membrana 
é rompida e o gás se expande, ocupando todo o recipiente. O trabalho realizado pelo gás 
é nulo porque o sistema não contém nenhuma parte móvel que poderia ser variada. Note 
que o estado fi nal é idêntico ao anterior: pf , Vf e 300 K.
Podemos então concluir que a transferência de calor, assim como o trabalho 
realizado, depende do processo seguido pelo sistema. 
 Para estabelecer a primeira lei da termodinâmica, vamos imaginar o seguinte 
experimento: um gás está confi nado em um recipiente que possui um pistão móvel e 
fornecemos a esse sistema uma quantidade de calor Q. Além do trabalho realizado pelo 
gás, sua temperatura aumenta. Um aumento de temperatura corresponde a um acréscimo 
da energia interna E do sistema. A primeira lei estabelece matematicamente que
Q E W= ∆ + .
 Podemos escrever a relação sob a forma
E Q W∆ = − .
“A variação da energia interna de um sistema termodinâmico é a diferença entre o 
calor absorvido e o trabalho realizado pelo sistema”.
 A primeira forma diz simplesmente que o calor absorvido pelo sistema é dividido 
em duas partes (não necessariamente iguais!): uma delas é usada para aumentar a energia 
interna e a outra parte é utilizada para que o sistema possa realizar trabalho.
 A segunda forma, E Q W∆ = − , é signifi cativa do ponto de vista conceitual: 
vamos escrevê-la na forma diferencial
dE dQ dW= − .
 A função energia interna é uma variável de estado: dE é uma diferencial exata. Isto 
é surpreendente, pois a diferença entre duas diferenciais inexatas resulta em uma exata! 
 E somente esta diferença dá uma diferencial exata: qualquer outra relação tal 
como 2dQ dW− , ou 3dQ dW− , depende do caminho seguido pela evolução do sistema 
e, portanto, resulta em uma diferencial inexata. 
 Existem situações para as quais as diferenciais inexatas se tornam exatas. É o que 
veremos no exemplo seguinte.
EXEMPLO 7.3
Usando a primeira lei, analise as transformações: (1) isovolumétrica, (2) isobárica, (3) 
adiabática, (4) isotérmica. (para todas as transformações considere um gás ideal). 
Solução:
(1) Como o volume se mantém constante, o trabalho mecânico realizado pelo sistema 
ou sobre ele é nulo. Pela 1ª lei temos:
E Q∆ = . Neste caso, o calor é igual à variação da energia interna dE dQ= , isto é, a 
diferencial inexata se transforma em uma exata.
(2) A variação da energia interna é dada por: E Q p V∆ = − ∆ .
(3) Para este processo não há troca de calor entre o sistema e o meio exterior, portanto, 
0Q∆ = . A variação da energia interna é escrita como E W∆ = ou, na forma diferencial, 
dE dW= . A diferencial inexata dW se transforma em uma exata. 
primeira Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
120
(4) Para um gás ideal, a energia interna é somente função da temperatura e como em 
um processo isotérmico não há variação de T, pode-se concluir que 0E∆ = . Portanto, 
a primeira lei nos dá Q W= : o calor que entra no sistema é convertido totalmente em 
trabalho realizado pelo sistema. Podemos avançar um pouco mais na análise. Se o gás 
se expande isotermicamente, havendo, pois, uma absorção de calor. Se o gás se contrai 
isotermicamente, 0 0V W∆ > ⇒ > e, nesse caso, acontece uma rejeição de calor.
EXEMPLO 7.4
O diagrama pV da fi gura 7.8 indica uma série de processos termodinâmicos. No pro-
cesso ab, são fornecidos 150 J de calor ao sistema e no processo bd, fornecem-se 600 J. 
a) Encontre a variação da energia interna do sistema no trecho ab.
b) Qual a variação da energia interna no percurso abd?
c) Achar a variação da energia interna no trecho acd.
Solução:
a) No trecho ab o volume permanece fi xo, portanto, o trabalho mecânico realizado pelo 
sistema é nulo. Então, a primeira lei da termodinâmica se resume a 150Q E E J= ∆ ∴∆ = .
b) Para o percurso abd, temos processos consecutivos: a b d→ → . A pressão se mantém 
constante durante a expansão b d→ ; logo, 4 38 10 (3 10 ) 240b d b dW p V W J
−
→ →= ∆ = × × ∴ = .
Pelo item (a), sabemos que o trabalho é nulo no trecho a→b. Então, 
240abd ab bdW W W J= + = .
O calor total que entra no sistema no percurso abd é dado pela soma de ambas as 
absorções; 150 600 750abd a b b dQ Q Q J J J→ →= + = + = .
A primeira lei da termodinâmica nos fornece a resposta: 
150 600 750abd a b b dQ Q Q J J J→ →= + = + = .
c) O trecho acd também é composto por dois processos consecutivos: a c d→ → . 
A pergunta é: precisamos calcular algo para saber qual a variação da energia interna en-
tre os estados a e d? A resposta é não, porque a energia interna é uma variável de estado 
e, portanto, só depende dos estados inicial e fi nal. Ela tem o mesmo valor encontrado 
no item (b): 510 J. 
Mas vamos supor que queiramos encontrar o calor envolvido neste trecho.
No trecho c→d o volume se mantém constante e, portanto, o trabalho mecânico é nulo.
Para a→c, o trabalho é 4 33 10 (3 10 ) 90a c a c a dW p V W J W
−
→ → →= ∆ = × × ∴ = = .
A primeira lei nos dá 510 90 600ad ad adQ E W J J Q J= ∆ + = + ∴ = .
Observe que não é possível conhecer, pelos dados do problema, o calor envolvido nos 
trechos individuais ac e bd; tampouco se conhecem as variações da energia interna nos 
trechos ab e bd. 
Processos Cíclicos
Os ciclos têm grande importância, tanto no aspecto teórico como nas aplicações 
tecnológicas. Para estas últimas, podemos citar os motores de combustão e os refrigeradores.
Um ciclo pode ser caracterizado por uma expansão e uma compressão e o sistema 
voltando ao estado inicial. A fi gura 7.9 mostra um ciclo arbitrário no diagrama pV. Um 
ciclo é representado no diagrama pV como uma curva fechada. Quando o sistema completa 
um ciclo, cada variável de estado retorna ao seu valor inicial.
As variáveis de estado que conhecemos até agora são p, V, T e internaE . Em particular, a 
variação da energia interna do sistema após um ciclo é zero (como o é para toda variável 
de estado).
interna 0E∆ = para um processo cíclico.
Figura 7.8 - Os processos 
citados no Exemplo 7.4.
Figura 7.9 - Ciclo arbi-
trário no diagrama pV.
121
EXEMPLO 7.5
A fi gura 7.10 mostra diversos processos termodinâmicos sofridos por um sistema físi-
co. Ao longo do caminho acb, uma quantidade de calor igual a 90 J fl ui para dentro do 
sistema e um trabalho de 60 J é realizado por ele. 
a) Qual o calor que é absorvido pelo sistema ao longo do percurso adb, sabendo-se que 
um trabalho de 15 J é realizado pelo sistema?
b) Quando o sistema retorna de b para a ao longo do trecho curvo, o valor absoluto do 
trabalho realizado pelo sistema é de 35 J. O sistema absorveou libera calor? Qual é este 
valor?
c) Sabendo-se que 8daE J∆ = , calcule os calores absorvidos nos processos ad e db. 
Solução:
Uma fonte permanente de erros na resolução de problemas deste tipo é a falta de um 
procedimento sistemático. Portanto, convém identifi car inicialmente com clareza o que 
é dado e o que é pedido. Fique atento também aos resultados correspondentes aos itens 
porque, em geral, eles podem ser usados em itens subsequentes.
Dados: 90acbQ J= e 60acbW J= .
a) Os dados permitem conhecer o valor da variação da energia interna entre os pontos a 
e b (lembre-se de que essa variação independe do caminho).
90 60 30acb acb acb acb acb acb acbQ E W E Q W E J J J= ∆ + ⇒ ∆ = − ∴∆ = − = .
Queremos obter o calor que o sistema absorveu no trecho adb, sabendo-se que foi rea-
lizado um trabalho de 15 J.
30acb adbE E J∆ = ∆ = , portanto, a primeira lei nos fornece 
adb adb adbQ E W= ∆ + ⇒ 30 15 45adb adbQ J J Q J= + ∴ = . 
b) O trabalho tem valor absoluto de 35 J. Observe que a variação de volume de b→a é 
negativa e, portanto, o trabalho realizado pelo sistema é negativo: 35b a baW W J→ ≡ = − . De 
forma semelhante, a variação da energia interna também é negativa: ba abE E∆ = −∆ . Mas 
pelo item (a), 30 30ab baE J E J∆ = ∴∆ = − . A soma do trabalho (negativo) com a variação 
(negativa) da energia interna dá um valor negativo para o calor. Portanto, no trecho adb há 
liberação de calor pelo sistema. O valor numérico deste calor obtem-se através da primeira 
lei: 30 35 65ba baQ J J Q J∆ = − − ∴∆ = − .
c) Pede-se calcular o calor nos trechos ad e db, sabendo-se que 8daE J∆ = .
Vamos considerar inicialmente o trecho db: neste trecho o trabalho mecânico é zero 
porque não há variação de volume 0dbW⇒ = . Do item (a) conhecemos a variação da 
energia interna entre os pontos a e b: 30abE J∆ = que pode ser escrita como a soma de 
duas contribuições: ab ad db db ab adE E E E E E∆ = ∆ + ∆ ∴∆ = ∆ − ∆ ⇒
30 8 22dbE J J J⇒ ∆ = − = . Como o trabalho é nulo, 22db dbQ E J= ∆ = . 
Para calcular o calor adQ , usamos os fatos de que adb ad dbQ Q Q= + . Pelo item (a), adbQ 
é conhecido e vale 45 J. Então, temos,
45 22 23adb ad db ad adQ Q Q Q Q J= + ⇒ = + ∴ = .
7.4 Gás Ideal: Energia Interna E Calor Específi co
Temos usado um gás ideal como sistema termodinâmico em diversos exemplos. 
Mas o que determina se um gás é ideal ou não? Sob que condições um gás pode ser 
considerado ideal? A resposta que muitas vezes se encontra em livros textos é que “um gás 
é ideal quando sua pressão for baixa e sua temperatura for alta”. Obviamente, falta defi nir 
o que é baixa e o que é alta. Entretanto, existe uma defi nição um pouco mais precisa: 
Figura 7.10 - Os proces-
sos termodinâmicos para 
o exemplo 7.5.
primeira Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
122
um gás é dito ideal quando as interações entre as partículas que o compõe podem ser 
desprezadas, exceto nos raros instantes em que elas colidem umas com as outras. Isto está 
um pouco melhor, mas como saber se elas interagem de forma tão fraca e tão raramente? 
Um dos potenciais que descreve bastante bem a interação entre duas moléculas de um gás 
é o potencial de Lennard-Jones (também conhecido potencial 6-12, devido aos expoentes 
da distância que separa as moléculas). A força decai rapidamente a zero com a separação 
das moléculas e cresce rapidamente quando as partículas se encontram muito próximas, na 
iminência de uma colisão. Para complementar o argumento, pode-se mostrar, baseando-se 
em considerações quânticas que a separação média entre as partículas é muito maior que o 
valor médio do comprimento de onda de de Broglie. Isto quer dizer que, durante a maior 
parte do tempo, a molécula se comporta como uma partícula livre. Por exemplo, o ar 
(mistura basicamente de nitrogênio e oxigênio) à temperatura ambiente e pressão normal 
de 1 atm (≈ 105 Pa), pode ser tratado como gás ideal? Qualquer gás, e não somente o ar, 
pode ser considerado ideal sob essas condições. A idealidade é menos restritiva: mesmo 
quando a pressão é cerca de 4 atm e a temperatura é próxima à do ambiente, o gás ainda 
preserva o comportamento ideal.
A equação de Clapeyron é a equação de estado que descreve um gás ideal:
pV = nRT (Equação de Clapeyron).
Ela é a síntese de diversos experimentos que resultaram em duas leis empíricas:
Lei de Boyle-Mariotte → pV = constante (quando se mantém constante a temperatura).
Lei de Charles e Gay-Lussac → 
V
T
= constante (quando se mantém fi xa a pressão). 
A equação de estado de Van der Waals,
2
2 ( )
anp v nb nRT
V
 
+ − = 
 
,
descreve o comportamento de um gás real com maior precisão que a de Clapeyron, 
introduzindo os parâmetros a e b. Esta equação (obtida de forma empírica) considera a 
interação entre as moléculas (parâmetro a) e o volume ocupado por elas (parâmetro b). 
Obviamente, se a e b tendem a zero, recuperamos a forma da equação de Clapeyron. A 
escolha de uma ou de outra depende da precisão que se deseja nos cálculos. Nosso estudo 
sobre o comportamento dos gases está baseado na equação de Clapeyron.
Energia interna de um gás ideal
 
No início da secção 3 comentamos sobre as contribuições para a energia interna 
de um sistema. Agora queremos, especifi camente, tratar de um gás ideal. Imagine certo 
volume ocupado por um gás composto de, por exemplo, moléculas diatômicas (N2, O2, 
H2), ou ocupado por um gás monoatômico (He, Ne, Ar). Para gases monoatômicos a 
energia interna é praticamente representada pelo movimento de translação pura, dentro da 
faixa de temperatura que usualmente trabalhamos (até T ≈ 1000 K). Para gases diatômicos 
temos outras contribuições para a energia interna, além da translação do centro de massa 
das moléculas: a energia de rotação em torno do centro de massa e a energia de vibração em 
torno do ponto de equilíbrio. Entretanto, a única contribuição que deve ser considerada 
para a pressão do gás é a parte translacional. As outras contribuições são importantes 
para outras características dos gases, como veremos ao estudar o calor específi co de um 
gás ideal.
É possível mostrar que a energia interna de um gás ideal é somente função da 
temperatura: E(T)Einterna = . Ela não depende de qualquer outro parâmetro (variável de 
estado). Adicionalmente, pode-se mostrar que a energia interna de um gás ideal formado 
por n moles é dada por
123
int
3
2erna
E nRT= (energia interna de gás ideal).
Lembre-se de que a temperatura é sempre expressa em Kelvin.
Calor específi co de um gás ideal
O calor específi co de uma substância depende das condições segundo as quais se 
fornece calor ao sistema. Para sólidos e líquidos, essa dependência é quase irrelevante, 
porém, para gases é importante que se explicitem essas condições. Isto porque a 
compressibilidade de sólidos e líquidos é muito menor que a dos gases. Para os primeiros, 
geralmente se mede o calor específi co mantendo-se a pressão constante e que é denominado 
calor específi co a pressão constante. Os valores fornecidos nas tabelas e aqueles usados 
nos exemplos do capítulo anterior são todos medidos a pressão constante. Para os gases 
temos duas (entre inúmeras) condições muito importantes que determinam o calor 
específi co: defi ne-se o calor específi co molar a volume constante, Cv , e o calor específi co 
molar a pressão constante Cp . O primeiro é medido usando-se um processo isocórico (ou 
isovolumétrico), enquanto que, para o segundo, usa-se um processo isobárico. Existe uma 
relação matemática bastante simples entre os dois valores, que será obtida a seguir.
Calor específi co a pressão constante
Certa quantidade de gás, formada por n moles é colocada dentro de um recipiente de 
volume constante. Fornecemos calor de forma infi nitesimal, dQ, ao sistema para elevar 
sua temperatura de um valor dT. Pela defi nição de calor específi co molar a volume 
constante, temos:
VdQ nC dT= .
A pressão do gás aumenta, mas nenhum trabalho mecânico é realizado por ele porque temos 
mantido o volume fi xo. Nestas condições,a primeira lei da termodinâmica se reduz a
VdQ dE dE nC dT= ⇒ = .
Os mesmos n moles poderiam ser aquecidos de maneira diferente, mantendo-se a pressão 
constante e deixando o volume variar (processo isobárico). Pela defi nição de calor 
especifi co a pressão constante,
pdQ nC dT= .
O calor que fl ui para dentro do sistema é dividido em duas partes: uma utilizada para 
variar a energia interna do gás e outra usada para que o gás realize trabalho. No processo 
isobárico, dW = pdV. Da equação de gás ideal, pV = nRT, podemos expressar a quantidade 
dV em função de n, R e dT:
( ) ( ) .d pV d nRT dpV pdV nRdT= ⇒ + = .
Como a pressão é mantida constante, dp é nulo. Portanto, temos
pdV nRdT dW nRdT= ⇒ = .
A primeira lei da termodinâmica nos dá
dQ dE dW dQ dE nRdT= + ⇒ = + . Mas pdQ nC dT= e podemos escrever:
pnC dT dE nRdT= + .
Podemos substituir o valor dE obtido para o processo isovolumétrico, VdE nC dT= , na 
relação acima para obter,
p VnC dT nC dT nRdT= + ⇒ p VC C R= + .
primeira Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
124
Esta é a relação entre Cp e CV que procurávamos. 
Mas observe o que foi feito para sua dedução: simplesmente substituímos a 
expressão de dE obtida no processo isovolumétrico na expressão do processo isobárico. 
Isto é justifi cável? A resposta é sim, desde que consideremos o gás como sendo ideal. Se 
você se lembrar, a energia interna de um gás ideal depende somente da temperatura. E 
para um mesmo incremento dT, é irrelevante a que tipo de processo o gás foi submetido: 
sua energia interna sofre o mesmo acréscimo quando a temperatura é aumentada por dT.
A razão entre os valores dos calores específi cos, Cp e CV , é designada pela letra 
grega γ:
1 1p V
V V V
C C R R
C C C
γ +≡ = = + > .
Essa grandeza é a mesma que aparece no processo adiabático, pV γ = constante.
Já conhecemos a expressão para a energia interna de um gás ideal:
int
3
2erna
E nRT= .
Então, 
3
2
dE nR
dT
= . Anteriormente estabelecemos a relação vdE nC dT= a partir da 
defi nição de calor específi co molar. Igualando as duas quantidades, temos:
3
2 V
dE nR nC
dT
= = ∴ R
2
3CV = .
O valor numérico desta relação é dado por,
3 3 8,31 J/mol.K 12,47 J/mol.K
2 2V V
C R C= ⇒ = × = .
TIPO DE GAS GAS Cv (J/mol.K) Cp(J/mol.K) Cp-CV (J/mol.K) γ = p VC C
MONOATÔMICO He 12,47 20,78 8,31 1,67
Ar 12,47 20,78 8,31 1,67
DIATÔMICO H2 20,42 28,74 8,32 1,41
N2 20,76 29,07 8,31 1,40
O2 20,85 29,16 8,31 1,40
CO 20,85 29,16 8,31 1,40
POLIATÔMICO CO2 28,46 36,95 8,48 1,30
SO2 31,39 40,47 8,98 1,29
TABELA 7.1 - Calor específi co molar para gases (25 oC).
Os dados experimentais para os gases monoatômicos concordam muito bem com 
os resultados teóricos que obtivemos. Entretanto, para os gases diatômicos percebem-se 
discrepâncias entre os valores de CV e Cp previstos e os determinados experimentalmente. 
Nossa hipótese era de que, independente da estrutura da partícula que compõe o gás, os 
valores de calores específi cos molar deviam ter os mesmos valores. Isso porque a energia 
interna do gás foi considerada como sendo exclusivamente devido à parte translacional. 
Esta hipótese se ajusta muito bem em relação a pressão, porém, para as características 
calorimétricas do gás ela não oferece bons resultados. Para os gases diatômicos é de 
suspeitar que exista uma outra contribuição para a energia interna: mesmo à temperatura 
ambiente, a parte rotacional das moléculas deve ser considerada. A parte vibracional, 
entretanto, começa a contribuir somente a temperaturas próximas a 1000 oC. Em síntese, 
devemos alterar o valor da energia interna para gases diatômicos:
5
2diatomico
E nRT=
 
(gás diatômico).
125
A fi gura 7.11 mostra a dependência do calor específi co molar do H2 em função da 
temperatura. Outros gases diatômicos apresentam comportamento semelhante, mas os 
patamares da curva surgem a diferentes temperaturas. 
Figura 7.11 - Capacidade térmica molar do hidrogênio.
O fator numérico 5/2 na energia interna para gases diatômicos, que substituiu o 
fator 3/2 referente a gases monoatômicos, pode ser justifi cado por um teorema chamado 
teorema da equipartição da energia. Seu enunciado é bastante simples:
“Cada grau de liberdade presente em cada molécula contribui com 1
2
kT para a 
energia interna do gás”
A constante k que aparece na relação acima é a famosa constante de Boltzmann. A 
constante dos gases, R, está defi nida em termos de k através da igualdade
avogradoR kN= .
EXEMPLO 7.6
Certa quantidade de um gás diatômico ideal sofre um processo que está representado no 
diagrama PV, mostrado a fi gura 7.12. 
Dados: R = 8,31 J/mol.K; 600inicialT K= .
a) Achar o número de moles do gás.
b) Qual a temperatura fi nal do sistema?
c) Encontrar a variação da energia interna.
d) Determinar o trabalho realizado pelo gás.
e) Qual o calor trocado com o ambiente? 
Solução:
Todas as unidades estão no SI, portanto, não há necessidade de se fazer qualquer con-
versão. 
a – Como o gás é ideal, podemos usar a equação de Clapeyron:
 
4 2 1 3 310 (N/m ) 3 10 (m ) 3 10 0.6 .
8,31(J/mol.K) 600(K) 8,31 600i i i
pV nRT pV nRT n n moles
−× × ×
= ⇒ = ∴ = = ∴ ≈
× ×
b – Novamente podemos usar a equação de gás ideal:
3 14 10 10 80K
8,31 0,6f f f f
p V nRT T
−× ×
= ⇒ = ≈
× .
Figura 7.12 - Diagrama 
PV para o exemplo 7.6.
primeira Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
126
c – Foi dado que o gás é diatômico, portanto, 5
2
E nR T∆ = ∆ .
35 0,6 8,31 (80 600) 3,9 10 J.
2
E∆ = × × × − = − ×
d – O cálculo do trabalho pode ser feito através da área da fi gura no diagrama pV. Este 
procedimento já foi utilizado no exemplo 2.2. A área total é composta da área A1 referente 
ao retângulo e uma área A2, de um triângulo. Observe que o processo envolve uma com-
pressão e, portanto, o valor do trabalho é negativo: foi feito um trabalho sobre o sistema.
3
1 4 10 (0,1 0,3) 800JA = × − = − .
3
2
1 6 10 ( 0,2) 600J
2
A = × × − = − .
Então, 1400J.i fW → = −
e – A primeira lei da termodinâmica nos fornece o calor trocado:
3900J 1400J 5300JQ E W Q Q= ∆ + ⇒ = − − ∴ = − . O sinal negativo indica que o 
sistema cedeu calor para o meio ambiente. 
EXEMPLO 7.7
Qual o valor da velocidade média de uma molécula de N2 a 300 K e a pressão atmosférica? 
Solução:
Suponha que tenhamos um mol de gás. A energia interna para moléculas diatômicas de um 
gás ideal, a essa temperatura, é composta de duas partes: uma translacional e outra rotacional.
 
3 1 52
2 2 2translação rotação
E E E RT RT RT = + = + = 
 
Estamos interessados na velocidade da partícula, portanto, só temos que considerar a 
parte translacional.
21 3
2 2translação cinética
E E Mv RT= = = (onde M é a massa do gás).
A energia cinética de um mol de nitrogênio é 3
3 8,31 300 3,74 10 J
2cinética
E = × × = × .
Para uma molécula: 
3
21
cinética 23
3,74 10 6,23 10 J
6,02 10
ε −×= ≈ ×
×
.
A massa de uma molécula é dada por: 
3
26
23
28 10 kg 2,33 10 kg
6,02 10
m m
−
−×= ⇒ ≈ ×
×
.
Então, a velocidade média de uma molécula pode ser escrita:
26 2 211 4,6 10 6,23 10 520m/s
2
v v− −× × = × ∴ ≈
 
Este valor está próximo às velocidades das partículas que compõem nossa atmosfera.
127
EXEMPLO 7.8
Mostrar que quando um gás ideal sofre um processo adiabático, tem-se pV γ = constante. 
Solução:
Em um processo adiabático não há troca de calor entre o sistema e o exterior: todo calor 
gerado fi ca retido e, portanto, a temperatura varia. Isto acontece, por exemplo, quando o 
som se propagada pelo ar: a onda sonora comprime e expande rapidamente certa massa 
de ar de tal forma que não há tempo sufi ciente para que ela troque calor. 
A energia interna de um gás ideal é função somente da temperatura. Para qualquer tipo 
de processo que ocorra, uma variação dT da temperatura corresponde a uma variação 
dE da energia interna, dada por:
VdE nC dT= .
Da primeira lei, 0dQ dE dW dE dW dE dW= + ⇒ = + ∴ = − .
Então, temos
vnC dT pdV= − .
Usamos agora a equação de Clapeyron: nRTpV nRT p
V
= ⇒ = . Substituindo na equa-
ção acima, temos
V
V
nRT dT R dVnC dT dVV T C V
= − ⇒ = −
.
Mas sabemos que ( 1)p Vp V
V
C CdT dV dVC C R
T C V V
γ
−
− = ∴ = − = − − ⇒
(1 )dT dV
T V
γ⇒ = − . Podemos integrar essa equação:
[ ] 1(1 ) ln ln (1 ) ln ln ln( / )
i i
T V
i i i
T V
dT dV T T V V V V
T V
γγ γ −
′ ′
= − ⇒ − = − − =
′ ′∫ ∫
1 1 1 1ln ln ln ln ln ln ln lni i iT T V V T V T V
γ γ γ γ− − − −⇒ − = − ∴ − = −
 Portanto, temos o resultado:
1 1 1 1ln ln
i i
i i
T TT T
V V V Vγ γ γ λ− − − −
= ⇒ = . Como Ti e Vi são constantes (condições iniciais do 
problema) podemos escrever
1TV γ − = constante.
Usando novamente a lei dos gases ideais, pVT
nR
= , que pode ser substituída na relação 
acima para obtermos
pV nRγ = × constante = outra constante.
No diagrama pV, uma adiabática tem inclinação maior do que aquela correspondente a 
uma isotérmica. Você seria capaz de mostrar isso? Inicie calculando dp
dV
 para ambos os 
processos em um ponto comum (pi , Vi , Ti ) para as duas curvas. 
EXEMPLO 7.9
O sistema passa por um ciclo mostrado na fi gura 7.13, com 0 100p kPa= e 0 1 .V litro= 
No trecho a→b o sistema absorve 450 J de calor; no trecho b→c ele absorve 200 J. 
A energia interna em 1 vale 200 J.
a) Determine a energia interna no ponto b.
b) Encontre a energia interna no ponto c.
c) Qual o trabalho no ciclo?
d) O sistema absorve ou cede calor no trecho c→a?
e) Qual a variação da energia interna no ciclo?
Figura 7.13 - Ciclo para o 
exemplo 7.9.
primeira Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
128
Solução:
A unidade de volume não está no SI: 1 litro = 10-3 m3.
100 kPa = 105 Pa = 105 N/m2.
 
a – A energia no ponto b pode ser calculada pela primeira lei.
5 2 3 3
0 0 0(2 ) 10 (N/m ) 2 10 ( ) 200J.ab abW p V p V W m
−= ∆ = ⇒ = × × =
( ) 450 200 200 450J.ab ab b a ab bQ E W E E W E= ∆ + = − + ∴ = + − =
b – O trabalho realizado no trecho bc é nulo. Portanto, pela primeira lei, temos:
( ) 200J 450J 650J.bc c b c cQ E E E E= − ⇒ = − ∴ =
c – O trabalho no ciclo pode ser obtido pelas áreas: no caso de um ciclo, o trabalho é 
dado, em módulo, pela área da fi gura envolvida pelas curvas. Existe uma regra prática 
para se determinar o sinal do trabalho: observe o sentido do percurso. Se for anti-horá-
rio, o trabalho é negativo; se for horário, o trabalho é positivo. Você pode justifi car isso? 
A área envolvida é a de um triângulo:
( )0 0
1 2 200J
2abc
W V p= = . Como o sentido é anti-horário, 200JabcW = − .
d – Queremos calcular caQ .
200 J 650 J 450 Ja cE E E∆ = − ⇒ − = − .
Calcular o trabalho realizado no trecho ca através das áreas determinadas pelo retângu-
lo e pelo triângulo, pode ser um risco pelo fato de se ter complicações na escolha dos 
sinais. Neste caso, é mais seguro obter o trabalho por integração. 
A equação da reta que passa por c e a pode ser encontrada calculando-se primeiramente 
seu coefi ciente angular, m:
5 5
8 3
3 3
10 3 10 10 Pa/m
10 3 10
a c
a c
p ppm m m
V V V − −
−∆ − ×  = = ⇒ = ∴ =  ∆ − − ×
.
A equação da reta é dada por
5 8 3 8
0 0( ) 10 10 ( 10 ) 10 .p p m V V p V p V
−− = − ⇒ − = − ∴ =
3
3
3 3
1010 2 6 6
8 8 8
3 10 3 10
10 9 1010 10 10 400J.
2 2 2ca ca
VW VdV W
−
−
− −
− −
× ×
 ×
= = × ⇒ − ∴ = − 
 
∫
Pela primeira lei, temos então,
450 J 400 J 850 Jca ca caQ E W= ∆ + = − − = − . O sinal negativo indica que houve libera-
ção de calor pelo sistema.
e – A variação da energia interna é nula porque o ponto fi nal coincide com o ponto inicial.
Exercícios
Sugestão: a combinação da lei dos gases ideais com a primeira lei da termodinâmica pode 
ser útil em diversos problemas.
1. Dois mols de um gás ideal são aquecidos à pressão constante, desde 300 K até 380 K. 
(a) Usando um diagrama pV, faça um esboço deste processo. (b) Calcule o trabalho 
realizado pelo gás.
129
2. Três mols de um gás ideal estão à temperatura de 127 ºC. Enquanto a temperatura é 
mantida constante, o volume aumenta até que a pressão caia a 40% do valor inicial.
a) Desenhe um diagrama pV para este processo.
b) Qual o trabalho realizado pelo gás? 
3. Um gás sob pressão constante de 51,5 10 Pa× e com volume inicial de 0,09 m3 é resfriado 
até que seu volume fi que igual a 0,06 m3. 
a) Esboce um diagrama pV para o processo.
b) Calcule o trabalho realizado pelo gás.
4. Na fi gura 7.14, considere o processo cíclico 14231 →→→→ . 
a) Encontre o trabalho para este ciclo e mostre que ele é igual à área do interior da 
curva.
b) Que relação existe entre o valor obtido em (a) e o valor calculado no sentido 
inverso do ciclo?
5. Um gás ideal passa pelo processo ilustrado na fi gura 7.15. Inicialmente o gás sofre uma 
descompressão isobárica e, em seguida, por uma compressão isotérmica. Determine o 
trabalho realizado pelo gás,
a) Na expansão isobárica.
b) Na compressão isotérmica.
c) Em todo o processo.
6. Considere novamente a fi gura do problema 5. É possível, em termos dos mesmos 
processos, que o trabalho realizado seja nulo. Supondo o mesmo processo isobárico, 
encontre o volume fi nal do processo isotérmico para que isto ocorra.
7. Na fi gura 7.16, um fl uido passa por um processo isobárico 1→2, no qual o calor 
absorvido a pressão constante é 10 kJ e, em seguida sofre um processo isocórico 2→3, 
no qual o calor absorvido a volume constante vale 11 kJ. 
A energia interna no ponto 1 é E1 = 5 kJ.
a) Encontre E2 e E3 .
b) Se o fl uido passa por um processo 3→1, no qual W31 = 6,6 kJ, determine Q31 .
8. Em certo processo químico, um técnico de laboratório fornece 254 J de calor para o 
sistema. Simultaneamente, são realizados 73 J de trabalho sobre o sistema. Qual é o 
aumento da energia interna desse sistema?
9. Um sistema evolui do estado a até o estado b ao longo dos três caminhos mostrados na 
fi gura 7.17.
a) Ao longo de qual caminho se tem o maior trabalho? E o menor?
b) Sabendo-se que Eb > Ea , ao longo de qual caminho o valor absoluto do calor, Q , 
trocado com o ambiente é maior? Para este caminho, o calor é positivo ou negativo?
10. Um sistema realiza um ciclo indicado na fi gura 7.18. O valor absoluto do calor 
transferido é 7200 J.
a) O sistema absorve ou libera calor para o ciclo indicado?
b) Calcule o trabalho realizado pelo sistema neste processo cíclico.
c) Se o ciclo for percorrido em sentido inverso, o sistema libera ou absorve calor? 
d) Qual é este valor?
Figura 7.14
Figura 7.15
Figura 7.16
Figura 7.17
primeira Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
130
11. (Calor específi co) Um cilindro contém 0,01 mols de He a 300 K.
a) Qual o calor necessário para aumentar sua temperatura para 340 K, mantendo-se o 
volume constante? Faça um diagrama pV para este processo.
b) Se em vez de se manter o volume constante mantém-se a pressão constante, qual 
seria o calor necessário para atingir a mesma temperatura de 340 K? Esboce um 
diagrama pV para este processo.
c) Qual seria o fator responsável pela diferença entre os valores encontrados (a) e (b)?
d) Qual a variação o da energia interna no item (a)?
12. Um mol de He passa pelo processo mostrado na fi gura do problema 7. O calor 
específi co molar a volume constante é 12,5 J/mol.K e, a pressão constante, ele vale 
20,8 J/mol.K.
a) Calcule a diferença de energia interna no percurso 1→2.
b) Qual a variação da energia interna no trecho 2→3?
c) Encontre a diferença de energia interna no trecho 3→1.
13. (Calor específi co) Considere o gás propano (C3H8) como um gás ideal com 
1,127γ = . Determine o calor específi co molar a volume constante e o calor 
específi co molar a pressão constante. 
14. O calor específi co a pressão constante do alumínio varia quase linearmente com a 
temperatura. A 300 K seu valor é 24,4 J/mol.K e a 600 K ele vale 28,1 J/mol.K.
a) Estabeleça uma expressão matemática da forma pC A BT= + , calculando as 
constantes A e B a partir dos dados fornecidos.
b) Construa um gráfi co para esta dependência.
c) Determine a quantidade de calor absorvida por 2,5 mols de Al quando sua 
temperatura cresce de 300 K para 500 K, a pressão constante. 
15. Certa quantidade de ar (gás ideal) vai do estado a até ao estado b ao longo dareta no 
diagrama pV, conforme mostrado na fi gura 7.19.
a) Neste processo, a temperatura aumenta, diminui ou se mantém constante?
b) Se 30,07 maV = , 
30,11mbV = , 
510 Paap = e 
51, 4 10 Pabp = × , qual o 
trabalho realizado pelo gás?
Figura 7.18
Figura 7.19
131
Anotações
primeira Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
132
Anotações
133
Segunda Lei da 
Termodinâmica
8
8.1 Introdução
8.2 Sentido de um processo termodinâmico
8.3 Máquinas térmicas
8.4 Ciclo de Carnot
8.5 Entropia
FÍSICA GERAL II
134
8 SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA
 
8.1 Introdução 
Você provavelmente já deve ter lido ou escutado advertências sobre conservar 
energia. Entretanto, a primeira lei da termodinâmica é uma afi rmação de que a energia 
é sempre conservada. Então, para que se fazem tantas campanhas para poupar energia 
se, não importa o que fi zermos, a energia sempre se conserva? Isto está correto, 
porém, existem formas de energia que tem mais utilidade do que outras e a primeira 
lei conta parte da história. A outra parte é contada pela segunda lei da termodinâmica. 
A possibilidade ou a impossibilidade de se usar energia é o conteúdo da segunda lei.
 Pode-se perguntar porque alguns processos acontecem de forma espontânea 
e outros nunca foram registrados na Natureza. Por exemplo, é muito fácil transformar 
energia em calor: quando um bloco, com certa energia cinética, desliza sobre um plano 
horizontal com atrito, sua velocidade diminui gradativamente 
até que ele atinja o repouso. Ao fi m do processo, ambas as 
superfícies fi cam aquecidas: toda energia cinética foi convertida 
em calor, aumentando as energias internas da superfície e do 
bloco. Mas ninguém jamais relatou que um bloco, deixado 
sobre uma mesa, espontaneamente começou a se movimentar 
devido à retirada de energia interna da mesa e do próprio 
bloco. Note que este último processo não contraria a primeira 
lei: sua impossibilidade está contida na segunda lei. Outra 
situação que se apresenta de forma assimétrica: imagine um 
mol de certo gás (ideal, se você quiser) confi nado na metade 
de um recipiente de volume total V. Na outra metade é feito 
vácuo (fi gura 8.1). Entre os dois volumes, aquele que contém 
o gás e o outro vazio, existe uma membrana que, uma vez 
rompida, permite que o gás se expanda por todo o volume V.
Após a expansão, é possível observar novamente o gás ocupando o volume inicial 
V/2? Esta situação jamais será observada. Se isto ocorrer não há violação da primeira lei 
da termodinâmica. Mas, certamente, violaria a segunda lei. Será que a palavra jamais está 
bem empregada? Para verifi car, vamos fazer um cálculo simples e rápido. Existem 236 10× 
moléculas no recipiente e a probabilidade de uma delas estar, por exemplo, na metade à 
esquerda é 21 (isto porque o volume foi dividido em duas partes iguais). A probabilidade de 
duas delas estarem nessa parte do recipiente é 
2
2
1
4
1
2
1
2
1





==× . Para três moléculas, temos 
3
2
1
8
1
2
1
2
1
2
1





==×× . A regra geral é imediata: a probabilidade de que todas as moléculas 
se encontrem, em determinado instante, na metade à esquerda do recipiente é 
236 101
2
×
 
 
 
. 
Que signifi ca este número? Ele pode ser escrito como 
236 10 60.000.000.000.000.000.000.0002 2− × −= . 
Se você considerar que este número, extraordinariamente pequeno, como sendo zero, 
então a palavra jamais está bem empregada. Caso contrário, pode-se dizer que embora 
possível de acontecer, o evento é “muito extraordinariamente” improvável. Para se ter uma 
pálida idéia do que estamos falando, suponha um sistema mais modesto, com apenas 120 
moléculas. Se você se propõe a fi lmar o sistema (com uma superfi lmadora capaz de registrar 
o movimento das partículas do gás) para documentar o instante no qual todas as moléculas 
migram espontaneamente para o volume V/2 à esquerda, vai precisar de um tempo da 
ordem de 10 vezes a idade do universo. Este é um processo claramente irreversível. De 
Figura 8.1 - As situações 
inicial e fi nal do processo de 
expansão livre.
135
forma semelhante, nunca se registrou que um bloco metálico inicialmente em equilíbrio 
térmico espontaneamente se esfrie em uma extremidade e se aqueça na outra, criando uma 
diferença de temperatura entre elas às expensas de sua energia interna. Ou você já escutou 
alguém contar que “desfritou” algum ovo? A Natureza desconhece o comando desfazer 
e a segunda lei da termodinâmica resume o fato da impossibilidade de que os processos 
acima descritos possam ocorrer espontaneamente.
8.2 Sentido de um Processo Termodinâmico 
Os processos que ocorrem na Natureza são todos irreversíveis: ocorrem em 
um sentido, mas não ocorrem no sentido inverso. Apesar desta preferência, podemos 
imaginar uma classe de processos idealizados que poderiam ser reversíveis. Um 
sistema que realiza esse processo reversível ideal está sempre muito próximo do 
equilíbrio termodinâmico com as vizinhanças e no interior do próprio sistema. Defi ne-
se, então, processo reversível como sendo aquele que está sempre em equilíbrio 
termodinâmico. Por esta razão é que chamamos tais processos de quase-equilíbrio. 
A expansão do gás, discutida na seção anterior, é um processo que em nenhum 
momento está em equilíbrio: somente no fi nal o sistema atinge o equilíbrio. A fi gura 
8.2 mostra, de forma bastante pitoresca, a situação de uma absurda reversibilidade.
O estado aleatório ou o grau de desordem do estado fi nal de um sistema pode 
ser relacionado com o sentido da realização de um processo natural. Por exemplo, 
imagine que você tenha colocado em ordem as cartas de um baralho, separando por 
naipe e em ordem crescente de valor. Quando você atirar esse baralho para o alto, ao 
chegar ao solo, você esperaria que ele se mantivesse ordenado como no estado inicial? 
A experiência tem mostrado que o baralho chega ao solo em um 
estado de maior aleatoriedade (ou de maior desordem) do que possuía quando 
estava ainda em suas mãos. O gás que sofreu uma expansão livre na secção 
anterior possui um estado fi nal mais desordenado do que o estado inicial.
 Na fi gura 8.3 estão esquematizados um processo irreversível e um processo rever-
sível. Em 3a temos uma quantidade 
de gelo a 0 oC envolvido por uma 
caixa metálica mantida a 70 oC. 
Após certo tempo, o gelo se funde 
e a água atinge a temperatura de 
40 oC (este não é ainda um estado 
de equilíbrio). Este é um processo 
irreversível porque a diferença de 
temperatura é fi nita (não infi nitesi-
mal). Na parte 3b, a caixa é mantida 
a uma temperatura muito próxima a 
0 oC e somente incrementos infi ni-
tesimais (positivos ou negativos) de 
calor são permitidos. Dessa forma, 
pode-se aquecer quase – estatica-
mente a água ( Qδ positivo) ou res-
friá-la quase – estaticamente, per-
mitindo que pequenas quantidades 
de água voltem ao estado sólido 
( Qδ negativo). Esse procedimento 
caracteriza um processo reversível, 
porque pode-se reverter seu sentido.
Figura 8.2 - A sequência 
poderia acontecer, mas é 
altamente improvável.
Figura 8.3 
a) Processo irreversível: o bloco de gelo derrete irreversível-
mente quando colocado em uma caixa de metal; 
b) Processo reversível: elevando ou diminuindo infi nitesimal-
mente a temperatura da caixa o calor fl ui para o gelo ou o calor 
fl ui para a caixa e a água congela novamente.
QUESTÃO 8.1
As duas mãos estão 
inicialmente à mesma 
temperatura. O ato de 
esfregar as mãos uma 
na outra é um processo 
reversível?
Segunda Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
136
8.3 Máquinas Térmicas 
A conversão de trabalho em calor ocorre espontaneamente quando o trabalho é 
realizado por forças dissipativas tais como o atrito. Em dias frios é comum esfregar as mãos 
para aquecê-las. O freio de um carro é efetivo devido às forças de atrito entre o disco e as 
pastilhas e a energia dissipada na forma de calor gerado é transferida para o meio ambiente. 
A conversão de calor em trabalho é uma questão um pouco maisdelicada. Esta con-
versão é altamente conveniente do ponto de vista econômico. A energia transferi-
da como trabalho presta-se a inúmeras aplicações práticas. Esta energia transferida 
na forma de calor não pode ser usada diretamente, por exemplo, para se erguer certa 
massa até a uma determinada altura; a simples queima de combustível não propicia a 
um carro seu deslocamento: adianta muito pouco despejar um litro de gasolina sobre 
a lataria de um automóvel e em seguida atear fogo. A não ser que o propósito seja ap-
enas pirotécnico e não o de locomoção. Ou, talvez, o carro já tenha lhe dado dores de 
cabeça sufi cientes... Excetuando essas duas últimas hipóteses, é necessário primei-
ro converter o calor em trabalho: é exatamente isso que uma máquina térmica faz.
Uma máquina térmica muito 
simples está representada na fi gura 8.4. 
Um cilindro metálico, provido de um 
pistão móvel, contém certa quantidade de 
um gás ideal. Inicialmente, este gás está 
comprimido e seu estado é caracterizado 
por uma pressão pi, um volume Vi e uma 
temperatura T igual a do ambiente.
No capitulo anterior, vimos que em uma expansão isotérmica quase-estática, o 
sistema absorve calor do meio para manter sua temperatura constante e o gás realiza tra-
balho sobre o pistão à medida que seu volume expande. Como o processo é isotérmico e 
o gás é ideal, a variação da energia interna é nula, e pela primeira lei da termodinâmica, 
WQ = . Neste processo, certa quantidade de calor absorvido, Q, é convertida em trab-
alho. Entretanto, este método de expansão simples não é muito satisfatório: ele acontece 
uma única vez. Após ocorrer a expansão, a pressão do gás se iguala à da atmosfera, p0, 
e o sistema fi ca em equilíbrio mecânico. Para fazer com o gás volte ao estado inicial, 
precisamos realizar trabalho sobre o sistema para comprimí-lo. Parte do trabalho real-
izado pelo gás durante a expansão deve ser reinvestido sobre ele e fazê-lo retornar ao 
estado inicial para uma expansão subseqüente. Para isto, vamos comprimir o gás por 
um caminho diferente daquele da expansão, de tal forma, que o trabalho realizado so-
bre ele seja menor. A escolha requer pressões meno-
res durante a compressão e o valor líquido é (1) 
acrescentou-se calor ao sistema; (2) o gás retornou 
ao estado inicial e está apto a realizar outra expan-
são; e (3) durante a expansão mais trabalho foi pelo 
gás do que foi investido para completar um ciclo. 
A fi gura 8.5 mostra o diagrama pV para este ciclo.
 Em um ciclo qualquer (não necessariamente 
igual ao que acabamos de discutir), sabemos 
que o sistema realiza trabalho sobre o meio 
durante a expansão (positivo), e durante a 
compressão o meio realiza trabalho sobre o 
sistema (negativo). O trabalho resultante é dado 
pela área compreendida pelo ciclo no diagrama 
Figura 8.4 - Um gás comprimido que se expande 
isotermicamente.
Figura 8.5 - Ciclo para uma expansão 
isotérmica quase-estática.
137
pV. Se o ciclo evolui no sentido horário, Wciclo > 0, e será negativo se ocorrer no 
sentido anti-horário. Como 0E∆ = para um processo cíclico, a primeira lei nos dá:
ciclo cicloQ W= .
Ou seja, o trabalho resultante realizado em um ciclo é igual ao calor líquido acrescentado 
para o ciclo. Todas as máquinas térmicas operando em ciclo têm em comum algumas 
características. Uma substância, chamada de substância de trabalho, passa por um 
processo cíclico. O calor trocado é permutado com o meio pela substância de trabalho a 
(pelo menos) duas temperaturas diferentes: o calor é 
absorvido pelo sistema à temperatura mais elevada 
e deve ser cedido para o meio a uma temperatura 
mais baixa para completar o ciclo. É exatamente 
este calor líquido (Qabsorvido = |Qcedido |) que representa 
o trabalho realizado pelo sistema no ciclo. Esta 
é uma conclusão geral e independe de como se 
verifi ca o ciclo e do tipo de substância de trabalho. 
Obviamente, alguns ciclos são mais efi cientes do 
que outros e nos projetos de uma máquina térmica 
o objetivo é alcançar o maior rendimento possível. 
 O ciclo de Otto representa, de forma 
idealizada, os processos cíclicos de um motor a 
explosão. A fi gura 8.6 representa um ciclo para 
esse processo. No ponto a, uma mistura de ar-
gasolina entra na câmara de combustão e é comprimida adiabaticamente até o ponto b. 
Em seguida, é aquecida isocoricamente até o ponto c pela explosão da mistura devido 
à corrente elétrica nos eletrodos da vela: é exatamente nesse trecho que acontece a 
absorção de calor pelo sistema. A força motriz transferida do motor para as rodas se dá 
no trecho adiabático cd. O calor deixa o sistema no trecho isocórico da. Completado 
o ciclo, o sistema se posiciona para um novo ciclo a partir de sua posição inicial.
 O rendimento є de uma máquina térmica é defi nido como a razão entre o trabalho 
realizado e o calor absorvido pelo sistema:
є
abs. .
W 1
Q
abs cedido cedido
abs abs
Q Q Q
Q Q
−
= = = − .
 O calor Qabs. é usualmente conseguido pela combustão de carvão, de derivados de 
petróleo ou de outra espécie de combustível que deve ser pago e, portanto, as máquinas 
térmicas devem ser projetadas para se ter o maior rendimento possível. Por exemplo, o 
motor a combustão tem rendimento da ordem de 50%. Observando a defi nição matemática 
do rendimento, ele aumenta à medida que Qcedido diminui: a rejeição de calor pelo sistema 
deve ser minimizada para se alcançar maiores rendimentos da máquina térmica. O caso 
ideal acontece quando o calor rejeitado é nulo, portanto, tem-se є =1. Esta seria a máquina 
perfeita (ou a máquina dos sonhos) com efi ciência de 100%. Desde as primeiras máquinas 
a vapor a tecnologia tem aperfeiçoado constantemente as novas gerações de máquinas 
térmicas. Entretanto, é impossível a construção de um aparato com rendimento de 100%. 
Isto é a essência da segunda lei da termodinâmica (enunciado de Kelvin-Planck): 
“É impossível a construção de uma máquina térmica, 
operando em ciclos, converter totalmente o calor absorvido em trabalho”.
 
 Se você se lembrar do início desta seção, poderia argumentar que no caso 
discutido, o sistema sob uma transformação isotérmica converteu integralmente o calor 
absorvido em trabalho realizado pelo pistão sobre o meio. Isto não contraria o enunciado 
de Kelvin-Planck? Defi nitivamente, não. Observe que no enunciado aparece a expressão 
operando em ciclos e isso faz toda a diferença. Na evolução a que nos referimos acima, 
acontece somente uma expansão e, portanto, não está caracterizado um ciclo. Para que o 
Figura 8.6 - Ciclo de Otto no diagrama pV.
Segunda Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
138
sistema retorne ao seu estado inicial é necessário que se realize trabalho sobre ele e certa 
quantidade de calor é rejeitada neste processo. 
 É importante reconhecer que a máquina térmica com 100% de efi ciência 
obedeceria à primeira lei, mas é a segunda lei da termodinâmica que nega a possibilidade 
de sua existência. Ocasionalmente surge algum inventor que faz alarde de ter conseguido 
construir um moto perpétuo: se o aparato violar somente a segunda lei, ele é chamado de 
moto perpétuo de segunda espécie; se violar a primeira lei, ele é chamado de moto perpétuo 
de primeira espécie; se violar ambas as leis simultaneamente, ainda não se concebeu 
um nome apropriado. Em geral, essas pessoas não tiveram a oportunidade de adquirir 
conhecimento sufi ciente sobre termodinâmica. Vivessem em outra época, provavelmente 
estariam em busca da pedra fi losofal.
 Uma máquina térmica pode ser 
representada esquematicamente na forma 
mostrada na fi gura 8.7. 
 A máquina absorve calor Qquente de uma 
fonte quente que está à temperatura Tquente , realiza 
trabalho, e rejeita calor |Qfrio | para um reservatório 
frio que está à temperatura Tfrio .
EXEMPLO 8.1
 Uma máquina térmica, operando em ciclo, absorve 200 J de calor de um 
reservatório quente, efetua trabalho e libera 150 J para uma fonte fria. Qual o rendimento 
(ou efi ciência) desta máquina? Faça uma representação esquemática doprocesso.
Solução:
Vimos que o trabalho efetuado é dado por: 200J 150J 50Jciclo q fW Q Q= − = − = , 
independentemente do tipo do ciclo realizado.
O rendimento é então, є 50J 0,25 25%
200J
ciclo
q
W
Q
= = = = .
 
 Representação esquemática do processo.
200 J
150 J
50 J
EXEMPLO 8.2
 Uma máquina térmica tem rendimento de 35%.
a) Qual o trabalho que ela realiza, por ciclo, se recebe 150 J de uma fonte quente?
b) Qual o calor rejeitado por ciclo?
Solução:
a) є 
.
0,35 52,5J
150J
ciclo ciclo
ciclo
abs
W W W
Q
= ⇒ = ∴ = .
b) 150J 52,5J 97,5Jciclo ciclo cedido cedidoW Q Q Q= − ⇒ = − = .
Figura 8.7 - Representação de uma 
máquina térmica.
Q q
Q f
W
Reservatório quente
Reservatório frio
máquina
térmica
139
EXEMPLO 8.3
 A fi gura 8.8 representa o diagrama pV para uma versão idealizada de um 
pequeno motor de Stirling (proposto por Robert Stirling em 1816). A máquina usa 
38 10−× mols de um gás ideal e opera entre duas fontes, uma a 95 ºC e a outra a 24 ºC. 
Seu funcionamento ocorre à taxa 0,7 ciclos por segundo.
a) Qual o trabalho realizado em um ciclo?
b) Qual a potência desta máquina?
c) Que calor líquido é transferido para o gás em cada ciclo?
d) Encontre o rendimento desta máquina.
Solução:
a) Para calcular o trabalho total, precisamos obter os trabalhos nos trechos ab e cd. 
Nesses trechos a evolução se processa isotermicamente e já conhecemos a expressão 
que permite obtê-los:
ln fi f
i
V
W nRT
V→
= (exemplo 7.1 do capítulo anterior). Portanto, podemos escrever:
1,5 1,5ln ln ln1,5
1
a
ab ab ab ab
a
VW nRT nRT nRT
V
= = = .
1ln ln ln1,5
1,5
d
cd cd cd cd
c
VW nRT nRT nRT
V
= = = − .
Com os valores numéricos inseridos nas expressões acima, podemos obter o trabalho 
realizado pelo gás nesse ciclo (nos trechos bc e da o trabalho é nulo).
ln1,5 ln1,5 ( ) ln1,5ciclo ab cd ab cd ab cdW W W nRT nRT nR T T= + = − ⇒ − ∴
38 10 8,31 (95 24) ln1,5 1,91Jciclo cicloW W
−= × × × − ⇒ ≈ .
Observe que usamos as temperaturas dadas em Celsius e não em Kelvin. É justifi cável?
b) A potência é dada pelo quociente WP
t
∆
=
∆
. Aqui W∆ é trabalho em um ciclo e t∆ 
é o tempo de um ciclo. Portanto, 
1,91J 1,4 W
0,7sciclo
P = ≈ .
c) O calor total transferido durante um ciclo pode ser obtido usando-se a primeira lei 
da termodinâmica:
ciclo interna cicloQ E W= ∆ + . Mas a variação da energia interna é nula porque o estado fi nal é 
igual ao estado inicial. Assim,
1,91Jciclo cicloQ W= ≈ .
d) Para encontrar o rendimento da máquina térmica, precisamos conhecer o calor 
retirado da fonte quente e o calor cedido à fonte fria. O exemplo 7.1, item (c), do capítulo 
anterior pode ajudar.
Em um processo isotérmico sofrido por um gás ideal, a variação da energia interna é nula 
e, portanto, o calor envolvido é igual ao trabalho (pela primeira lei da termodinâmica).
3ln 8 10 8,31 368 ln1,5 9,2 Jiab ab
f
VQ nT
V
−= = × × × × ≈ .
O rendimento da máquina térmica é:
є
.
1,91J 0,20 20%
9,2J
ciclo
abs
W
Q
= = ≈ = .
Poderíamos resolver este item de forma um pouco diferente (mas equivalente!):
є
.
( ) ln1,5 1 20%
ln1,5
ciclo ab cd ab cd cd
abs ab ab ab
W nR T T T T T
Q nRT T T
− −
= = = = − ≈ .
 Observe que embora a efi ciência deste motor Stirling seja razoável, a sua potência é baixa. 
Figura 8.8 – Diagrama pV 
para o ciclo de Stirling.
Segunda Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
140
 O termo máquinas térmicas pode dar a falsa impressão de que esses dispositivos 
tenham a fi nalidade única de receber certa quantidade de calor e realizar trabalho. 
Entretanto, um refrigerador também pode ser tratado como uma máquina térmica com 
seu ciclo invertido, ou seja, ele faz exatamente o contrário: recebe o calor de uma fonte 
fria (parte interna do refrigerador) e o transfere para uma fonte quente (meio ambiente). 
A máquina térmica, como estudada até agora, fornece trabalho; para um refrigerador, 
precisamos fornecer trabalho.
 Pela convenção de sinais que adotamos, para um refrigerador Qfrio é positivo 
(entra no sistema), porém, W e Qquente são negativos (o trabalho entra no sistema e o calor 
é rejeitado para uma fonte quente). Com isto, escrevemos
W W= − e quente quenteQ Q= − .
 Observe que 0W− > e 0quenteQ− > .
 A fi gura 8.9 é a representação esquemática 
de um refrigerador. De acordo com a primeira lei da 
termodinâmica, para um processo cíclico ( 0E∆ = ), 
temos:
quente frio ciclo quente frioQ Q W Q Q W+ = ⇒ − = − .
Mas, como W W= − e quente quenteQ Q= − , podemos 
escrever:
quente frio cicloQ Q W= + (para um refrigerador).
Note que o calor transferido para a fonte quente é 
sempre maior do que o calor retirado da fonte fria. Por 
essa razão é que se desenha a seta entrando na fonte quente com largura maior. Compare 
com o diagrama correspondente às máquinas térmicas (fi gura 8.7). 
 Do ponto de vista econômico, o melhor refrigerador é aquele que remove a maior 
quantidade de calor frioQ por ciclo, com o mesmo trabalho realizado sobre ele, cicloW . O 
quociente relevante é, então, frio
ciclo
Q
W 
(usamos módulo para Qfrio , mas isso é desnecessário 
porque ela é uma grandeza positiva).
 A razão acima é chamada de coefi ciente de desempenho e designada por K:
 K frio frio
ciclo quente frio
Q Q
W Q Q
= =
−
 (desempenho de um refrigerador).
O desempenho é tanto maior quanto menor for a diferença entre as duas trocas de calor, 
Qquente e Qfrio . Se elas forem iguais, o coefi ciente de desempenho é infi nito: uma situação 
altamente desejável, mas que, infelizmente, não é factível. Conseguir um refrigerador que 
funcione sem absorver trabalho, não só o tornaria famoso, mas também seria regiamente 
pago pela invenção. Entretanto, a versão de Clausius da segunda lei da termodinâmica, 
determina a impossibilidade:
“É impossível a realização de qualquer processo que tenha como única etapa a transferência de 
calor de um corpo frio (temperatura mais baixa) para um corpo quente (temperatura mais alta) ”. 
 Enunciado desta forma a segunda lei parece não ter relação alguma com o 
enunciado de Kelvin-Planck. Mas só aparentemente os dois enunciados não estão 
relacionados: é possível mostrar que, se qualquer processo é impedido por um enunciado, 
então é proibido também pelo outro.
EXEMPLO 8.4
Um refrigerador tem o coefi ciente de desempenho 5,5. Qual o trabalho necessário para 
se obter 10 cubos de gelo, cada um de 100 gramas, inicialmente à temperatura de 10 ºC?
Figura 8.9 - Diagrama esquemático 
de um refrigerador.
QUESTÃO 8.2
Você acha uma boa idéia 
deixar a porta de um 
refrigerador aberta para 
abaixar a temperatura da 
cozinha?
141
Solução:
A massa de água a ser congelada é 1 kg. Precisamos primeiro abaixar a temperatura da 
água até 0 ºC:
Q1 = (1 kg)(4,18 kJ/kJ.K)(283 K − 273 K) = 41,8 kJ.
O calor de fusão do gelo (igual ao calor de solidifi cação da água) vale 333.5 kJ/kg. Pre-
cisamos, então, retirar esse calor para haver a solidifi cação da massa de água, portanto, 
Q2 = 333,5 kJ.
O calor total que deve ser removido é
Qtotal = Q1 + Q2 = 41,8 kJ + 333,5 kJ ≈ 375 kJ.
Pela defi nição do coefi ciente de desempenho, temos:
375kJ 68,2kJ
5,5
frioQK W
W
= ⇒ = = .
EXEMPLO 8.5
Um refrigerador doméstico, cujo coefi ciente de desempenho é 4,7, extrai calor da câma-
ra fria (onde se colocam os alimentos) à taxa de 250 J por ciclo.
a) Quanto de trabalho por ciclo é necessário para operar o refrigerador?
b) Quanto calor é rejeitado para o ambiente, que serve como fonte quente?
Solução:
a) Para calcular o trabalho, usamos a defi nição do coefi ciente de desempenho:
250J 53J
4,7
frioQW W
K
= ⇒ = = .
Essa quantidade de energia é transferida para o sistema por um agente “externo”: o mo-
tor elétrico é o responsável por isso. Este valor, transformado em moeda corrente, é que 
aparece na fatura de energia elétrica.
b) A primeira lei da termodinâmica nos dá:
53J 250J 303Jquente frioQ W Q= + = + = .
Por este valor percebe-se que o refrigerador é um excelente aquecedor de ambiente. Pa-
gando por 53 J (o trabalhodo motor), você tem 303 J de calor liberado para o ambiente. 
Se você usasse um aquecedor elétrico teria somente 53 J de calor para cada 53 J que 
pagasse.
8.4 Ciclo De Carnot
 Considere todas as máquinas térmicas concebíveis operando entre dois reservatórios 
térmicos com temperaturas Tquente e Tfrio . Cada uma delas tem efi ciência inferior a 100% 
de acordo com a segunda lei da termodinâmica. A pergunta 
que o engenheiro francês Sadi Carnot conseguiu responder 
era: qual dessas máquinas térmicas tem o maior rendimento? 
É interessante notar que Carnot chegou à resposta correta 
mesmo acreditando na teoria do calórico.
 O ciclo proposto por Carnot é um ciclo idealizado 
pelo fato de ser um ciclo reversível. Uma máquina térmica 
operando ciclicamente segundo o ciclo de Carnot tem o 
máximo rendimento (fi gura 8.10). Temos quatro estágios 
para o ciclo de Carnot:
(1) Uma expansão isotérmica reversível à temperatura 
Tquente e uma quantidade de calor Qquente é absorvido 
pelo sistema (trecho a-b).
Segunda Lei da 
termodinâmica
Figura 8.10 - Diagrama pV 
para o ciclo de Carnot.
FÍSICA GERAL II
142
(2) Um processo adiabático reversível: a temperatura do sistema decresce de Tquente 
para Tfrio (trecho b-c).
(3) Uma compressão isotérmica reversível à Tfrio: o calor | Qfrio | é retirado do sistema 
(trecho c-d).
(4) Um processo adiabático reversível para completar o ciclo: a temperatura do 
sistema aumenta novamente até Tquente (trecho d-a).
 Usaremos um gás ideal para obter o rendimento de uma máquina operando se-
gundo um ciclo de Carnot, mas o resultado é válido de forma geral.
 Na expansão isotérmica ab, a energia interna se mantém constante e, portanto, o 
calor é igual ao trabalho realizado pelo gás:
ln bquente ab quente
a
VQ W nRT
V
= = (para o trecho ab).
ln lnd cfrio cd frio
c d
V VQ W nRT nRT
V V
= = = − (para o trecho cd).
 Note que Vd é menor que Vc , logo, Qfrio é negativo (Qfrio = | Qfrio | para deixar 
explícito que se trata de um valor negativo): durante a compressão isotérmica há rejeição 
de calor pelo sistema.
O quociente entre os valores acima fornece
ln( / )
ln( / )
frio frio c d
quente quente b a
Q T V V
Q T V V
= − × .
 Para os processos adiabáticos encontramos (válido somente para gás ideal; veja 
exemplo 7.1 do capítulo anterior):
1 1
quente b frio cT V T V
γ γ− −= e 1 1quente a frio dT V T V
γ γ− −= .
Dividindo uma pela outra, temos:
 
1 11 1
1 1
b c b c b c
a d a d a d
V V V V V V
V V V V V V
γ γγ γ
γ γ
− −− −
− −
   
= ∴ = ⇒ =   
   
.
Esta relação pode ser utilizada na expressão do quociente dos calores: 
frio frio
quente quente
Q T
Q T
= − ou, em módulo, frio frio
quentequente
Q T
TQ
= .
A defi nição de rendimento (ou efi ciência) é
є ∴−=
quente
frio
Q
Q
1 є 
quente
frio
T
T
1−= .
Esta é a expressão do rendimento para uma máquina térmica operando segundo 
o ciclo de Carnot. Nenhuma outra, trabalhando entre as temperaturas Tquente e Tfrio, dá um 
rendimento superior a este. Isso é fácil de perceber porque a máquina térmica de Carnot 
opera em ciclos reversíveis. Desnecessário dizer que as temperaturas devem sempre ser 
expressas em Kelvin.
EXEMPLO 8.6
 Um inventor alega ter construído um motor que, em certo intervalo de tempo, 
absorve 110 MJ de calor a 415 K e rejeita 50 MJ a 212 K; simultaneamente esse motor 
realiza um trabalho de 16,7 kW.hora. Você investiria dinheiro nesse projeto?
Solução:
As unidades não estão padronizadas: uma boa escolha é trabalhar no SI.
kJkW hora 3600s kW hora 3600kJ 3,6MJ
s
× = × ∴ × = =
Pelos dados que o inventor nos forneceu podemos calcular o rendimento de sua máquina:
є (16,7(3,6MJ) 0,55 ou 55%
110MJquente
W
Q
= = ≈ .
 
143
O rendimento para o ciclo de Carnot desse motor é:
є 2121 1
415
frio
quente
T
T
= − = − ∴ є 49%≈ .
Como é maior do que o máximo teórico previsto para o ciclo de Carnot, a melhor deci-
são é não investir.
EXEMPLO 8.7
Certa máquina de Carnot absorve 2000 J de calor de um reservatório a 500 K, realiza 
trabalho e rejeita calor para um reservatório a 350 K.
a) Qual foi o trabalho realizado?
b) Que calor foi cedido ao reservatório?
c) Qual o rendimento dessa máquina?
Solução:
O item (c) é imediato: 
c) є 3501 1 0,3
500
f
q
T
T
= − = − = ∴ є = 30%.
a) Na dedução da fórmula do rendimento do ciclo de Carnot, obtivemos a relação
3502000 1400J
500
f f
f
q q
Q T
Q
Q T
= − ∴ = − × = − .
O sinal negativo é consistente porque o calor está sendo rejeitado pelo sistema.
b) A primeira lei da termodinâmica nos dá (após completar um ciclo 0E∆ = ):
2000J 1400J 600JtotalW Q= = − = .
Este valor poderia ter sido determinado através do item (a):
є 0,3 2000J 600J
q
W W
Q
= ⇒ = × = .
EXEMPLO 8.8
0.20 mol de um gás ideal diatômico )2( =γ passa por ciclo de Carnot com temperatu-
ras de 227 oC e 27 oC. A pressão inicial é pa = 106 Pa, e durante a expansão isotérmica 
à temperatura mais alta, seu volume dobra.
a) Achar a pressão e o volume em cada um dos pontos a, b, c e d da fi gura ao lado.
b) Calcule Q, W e ΔE no ciclo todo, e em cada um dos trechos. CV = 20,8 J/mol.K.
c) Determine o rendimento desse aparato.
Solução:
As temperaturas devem ser transformadas para Kelvin: 300 K e 500 K.
a) pa = 106 Pa (dado). Usamos a equação do gás ideal para obter o volume:
4 3
6
(0, 20)(8,31)(500) 8,31 10 m
10a
V −= = × .
Se o volume dobra após a expansão isotérmica, então, 
4 316,62 10 mbV
−= × .
Durante a etapa isotérmica a→b, temos: 
6 4
5
4
10 8,31 10 5 10 Pa
16,62 10a a b b b b
p V p V p p
−
−
× ×
= ⇒ = ∴ = ×
×
.
Na expansão adiabática b→c: 
1
1
1 1 4 359,6 10 m .qq b f c c b
f
T
T V T V V V
T
γ
γ γ
−
− − −
 
= ∴ = = ×  
 
 
Segunda Lei da 
termodinâmica
Figura 8.11 -+Ciclo de 
Carnot para o Exemplo 8.8.
FÍSICA GERAL II
144
A pressão no ponto c pode ser obtida pela equação dos gases ideais:
5
4
(0, 20)(98,31)(300) 0,837 10 Pa.
59,6 10
c
c c
c
nRTp p
V −
= = ⇒ = ×
×
O volume no ponto d pode ser obtido de forma semelhante àquele usado para calcular o 
volume no ponto c, através da adiabática. O resultado é 4 329,8 10 mdV
−= × .
A pressão no ponto d pode ser calculada pela equação dos gases ideais e o resultado é 
51,67 10 Pa.dp = ×
b) Nos trechos isotérmicos a variação da energia interna é zero (gás ideal) e, portanto, 
pela primeira lei da termodinâmica, temos:
a→b: ln (0,20)(8,31)(500) ln 2 576J.ba b q q
a
VW Q nRT
V→
= = = =
c→d: ln 346J.dc d f f
c
VW Q nRT
V→
= = = −
Nos trechos adiabáticos o calor trocado é nulo e pela primeira lei da termodinâmica temos:
Trecho b→c: bc bcW E= −∆ Trecho d→a: da daW E= −∆ .
Para um gás ideal a energia interna é somente função das temperaturas inicial e fi nal. 
Pela primeira lei da termodinâmica, temos:
( ) (0,20)(20,8)(300 500) 832J.bc bc V f qW E nC T T= −∆ = − − = − − =
( ) (0, 20)(20,8)(500 300) 832Jda da V q fW E nC T T= −∆ = − − = − − = − .
Se você não se recorda de onde vieram as expressões para as energias internas, convém 
rever a seção 3 sobre calor específi co do capítulo anterior.
Uma tabela mostra os resultados obtidos para o item (b). A última linha dá o calor total 
e o trabalho total para o ciclo.
PROCESSO Q (J) W (J) ΔE (J)
a→b 576 576 0
b→c 0 832 -832
c→d -346 -346 0
d→a 0 -832 832
TOTAL 230 230 0
c) O rendimento dessa máquina de Carnot:
є 230J 0,40
576J
ciclo
quente
W
Q
= = = ; ou poderíamos usar є
500K 300J 0,40
500K
−
= = .
Se o ciclo de Carnot for revertido, é possível obter o que se chama refrigerador de Carnot. 
O coefi ciente de desempenho desse refrigerador pode ser expresso combinando-se a 
defi nição de desempenho, K, com a transferência de calor, frio frio
quentequente
Q T
TQ
= para o ciclo.
1
frio f q f
q fquente frio f q
Q Q Q T
K K
T TQ Q Q Q
= = ⇒ =
−− −
.
Um bom desempenho é conseguido quando a diferença de temperatura é pequena: 
neste caso pode-se retirar grande quantidade de calor da câmara, com pouco trabalho 
realizado sobre o sistema. Se a diferença detemperatura for grande, necessita-se injetar 
uma quantidade substancial de trabalho. Um refrigerador caseiro, real, tem coefi cientes 
de desempenho próximo a 5, entretanto, se ele operasse seguindo um ciclo de Carnot teria 
seu coefi ciente de desempenho próximo a 10 (tente justifi car esta estimativa!).
145
8.5 Entropia
 A segunda lei da termodinâmica, como foi formulada, tem aspecto diferente das 
outras leis que você já encontrou, tais como: a segunda lei de Newton, a primeira lei 
da termodinâmica, a lei dos gases ideais; ela não possui um caráter quantitativo, isto é, 
não está relacionada a uma equação. Seu enunciado diz respeito a uma impossibilidade. 
Entretanto, seu enunciado pode ser formulado em termos quantitativos através do 
conceito de entropia. 
 O fl uxo de calor entre dois corpos a diferentes temperaturas ocorre, 
espontaneamente, sempre no sentido do de maior temperatura para o de menor 
temperatura. A expansão livre, irreversível, de um gás sempre ocorre para que o sistema 
alcance o estado de maior desordem, comparada com o estado inicial. Em ambos 
os processos, a primeira lei da termodinâmica não é violada. Mas por que, então, a 
natureza se comporta de tal forma a conseguir a máxima desordem possível? Responder 
porque pode ser uma presunção metafísica; mas podemos entender como isso acontece 
e quantifi cá-la: o objetivo desta seção pode ser restrito a esse ponto.
 A entropia fornece uma estimativa quantitativa do grau de desordem de um 
sistema. Para entendermos como isto pode ser feito, vamos considerar, novamente, um 
gás ideal. A escolha pode ser restritiva, mas as conclusões serão abrangentes. Suponha que 
esse gás sofra uma expansão isotérmica: adiciona-se uma pequena quantidade de calor 
dQ e esperamos que ele se expanda o sufi ciente para manter sua temperatura constante. 
Neste processo a energia interna não varia e pela primeira lei da termodinâmica, o 
trabalho é igual ao calor adicionado:
nRT dV dQdQ dW pdV dV
V V nRT
= = = ∴ = .
As partículas, após a expansão, podem se mover em um volume maior e, portanto, suas 
posições se tornam mais aleatórias. A variação relativa do volume, 
dV
V
, fornece uma 
indicação de quanto se aumentou o estado de aleatoriedade ou de desordem do sistema. 
Mas esse quociente é proporcional à razão 
dQ
T
 e isto também indica de quanto foi 
aumentado o grau de desordem do sistema pela adição de calor à temperatura constante.
 Introduzimos o símbolo S para a entropia do sistema e defi nimos a variação 
infi nitesimal de entropia dS durante um processo infi nitesimal reversível à temperatura T, 
através da relação 
.revdQdS
T
= (processo infi nitesimal reversível). 
Para evolução não infi nitesimal, quando uma quantidade de calor Q é fornecida isotérmica 
e reversivelmente ao sistema, a variação total de entropia é dada por
.
2 1
revQS S S
T
∆ = − = .
A unidade dessa nova variável de estado, entropia, é J/K no Sistema Internacional. 
 Podemos perceber o signifi cado físico da entropia em termos de desordem 
do sistema. Uma temperatura elevada corresponde a um movimento bastante caótico. 
Quando a temperatura é baixa, o movimento molecular é menor e o fornecimento de 
uma quantidade de calor Q produz um aumento substancial neste movimento aleatório. 
Por outro lado, quando a temperatura já é alta, a mesma quantidade de calor produzirá 
um aumento relativamente menor no estado aleatório existente. Portanto, a razão Q/T 
caracteriza de forma apropriada o crescimento da desordem no estado do sistema quando 
uma quantidade de calor é absorvida.
 A lei zero da termodinâmica está relacionada à variável de estado que chamamos 
de temperatura. A primeira lei defi ne uma variável de estado, a energia interna do sistema, 
CURIOSIDADE
A sigla OTEC 
(Ocean Thermal 
Energy Conversion) 
representa a idéia de 
se utilizar a diferença 
de temperatura 
entre a camada 
superfi cial (25oC) 
e águas a 100m de 
profundidade (10oC) 
nos oceanos. Para um 
motor operando em 
um ciclo de Carnot, o 
rendimento seria de 
apenas 5%. Que é um 
baixo rendimento, 
ninguém contesta; 
porém, realiza-
se um trabalho 
útil a custo zero 
(desconsiderando, 
o b v i a m e n t e , 
os valores dos 
investimentos).
Segunda Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
146
em termos de duas grandezas que não são variáveis de estado (calor e trabalho). A segunda 
lei da termodinâmica está relacionada com a variável de estado que chamamos entropia.
 Se .revdQ for o calor adicionado quando o sistema segue uma trajetória reversível 
entre os estados, a variação da entropia, independentemente da trajetória real seguida, é 
igual a esse calor transferido ao longo da trajetória reversível dividido pela temperatura 
do sistema. Em outras palavras, a função entropia é uma variável de estado: sua variação 
só depende dos estados inicial e fi nal e não do caminho seguido entre os dois estados. 
Da mesma forma que se medem, por exemplo, variações da energia interna, no caso da 
entropia acontece o mesmo: medimos variações de entropia. Entretanto, é comum em 
termoquímica atribuir um valor padrão S0 e a partir desta referência medir-se a entropia 
(assim como elegemos uma referência na medida da energia potencial gravitacional).
 Quando o calor é absorvido pelo sistema, .revdQ é positivo e, portanto, a entropia 
do sistema aumenta. Se .revdQ é negativo (rejeição de calor), a entropia do sistema diminui. 
Como a entropia é uma medida de desordem do sistema e eles tendem para estados mais 
desordenados, a entropia de Universo aumenta em todos os processos naturais. Esta 
é outra maneira de enunciar a segunda lei da termodinâmica. É comum ouvir-se que a 
entropia de um sistema sempre cresce. Isto não é verdade: a entropia de um sistema pode 
decrescer; o que sempre cresce é a entropia do Universo (aqui Universo signifi ca sistema 
+ ambiente). O crescimento da entropia está associado ao que se chama fl echa do tempo: 
por isso é fácil identifi car se o fi lme de uma demolição está correndo de forma inversa. 
 Para calcular a variação de entropia para um processo não-infi nitesimal (alguns 
livros costumam chamá-lo de processo fi nito), devemos reconhecer que a temperatura 
geralmente não permanece constante. Neste caso, a variação de entropia entre dois 
estados, inicial e fi nal, é dada por
f f
r
f i
i i
dQS S S dS
T
− = ∆ = =∫ ∫ (calculada ao longo de uma trajetória reversível).
No caso de um processo adiabático reversível, nenhum calor é trocado entre o sistema 
e o ambiente, portanto, a variação de entropia é nula: .0Sadiabático =∆ Por isso esta 
transformação é chamada de isentrópica. 
 Considere agora um sistema realizando um ciclo reversível arbitrário. Como 
a entropia é uma variável de estado e, portanto, só depende dos valores inicial e fi nal, 
conclui-se que a variação de entropia é nula. A expressão matemática que exprime esta 
condição é dada por:
. 0revdQ
T
=∫ (ciclo reversível).
EXEMPLO 8.9
Uma massa de gelo de 0,120 kg a 0 oC é colocado em água que está à mesma 
temperatura. O sistema (água + gelo) é exposto ao ambiente para que haja a fusão do 
gelo (a temperatura permanece a 0 oC). Determine a variação de entropia entre 0,120 kg 
de gelo e 0,120 kg de água. Dado o calor latente de fusão do gelo é 335 kJ/kg.
Solução:
A fusão do gelo se processa de forma irreversível porque a transferência de calor é feita 
irreversivelmente (o processo está longe de ser infi nitesimal). Porém, para se calcular a 
variação de entropia devemos seguir um caminho reversível. Obviamente, o resultado 
será o mesmo porque a entropia é uma variável de estado e só depende dos estados 
inicial e fi nal e não do caminho seguido. Isto pode ser conseguido imaginando que o 
recipiente esteja a uma temperatura ligeiramente superior a do sistema (água + gelo). 
(0,120kg)(335kJ/kg) 40,2kJfusão fusão fusãoQ mL Q= = ∴ = .
1 40,2kJ 147 J/K
273K
f f
líquido sólido
i i
dQ QS S S S dQ
T T T
∆ = − = ⇒ ∆ = = = =∫ ∫ .
147
EXEMPLO 8.10
Você se propõe a fazercafé e coloca 0,5 litro de água para ferver. Inicialmente a água 
está à temperatura de 20 ºC e, devido à pressão atmosférica local, ela ferve a 95 ºC. 
Determine a variação de entropia nesse processo. Dado: cp= 4,2 kJ/kg.K.
Solução:
Precisamos eleger um caminho reversível para o processo. Podemos imaginar uma série 
de reservatórios térmicos com temperaturas ligeiramente diferentes entre si, iniciando a 
20 oC e terminando a 95 oC. A água vai trocando calor sucessivamente com esses reser-
vatórios até atingir a temperatura de ebulição. Em cada etapa, ela recebe reversivelmen-
te uma quantia infi nitesimal de calor dQ.
Se o calor específi co da água é cp (constante), então, pdQ mc dT= .
368
293
368K(0,5kg)(4,2kJ/kg.K) ln 478,6 J/K
293K
f
p
i
mc dTdQS Q S
T T
∆ = ⇒ ∆ = ∴∆ = =∫ ∫
EXEMPLO 8.11
Um gás ideal sofre uma expansão livre adiabática. Qual a variação da entropia do sis-
tema neste processo?
 
Solução:
Para uma expansão livre de um gás ideal, nenhum trabalho (mecânico) é realizado pelo 
sistema porque não ocorreu deslocamento de partes móveis do sistema: portanto, W 
é nulo. Como o sistema está isolado termicamente, nenhum calor foi trocado entre o 
sistema e o ambiente: portanto, Q também é nulo. Ainda mais: a variação da energia 
interna, ΔE, é zero porque para um gás ideal a temperatura se mantém constante durante 
uma expansão livre.
 Com todas as grandezas se anulando, somos levados a acreditar que a variação de 
entropia deve ser zero. Esta conclusão pode ser obtida se você usar .2 1
revQS S S
T
∆ = − = 
e considerar que, devido ao fato do sistema estar isolado termicamente, Q se anula e 
por isso ΔS = 0. Isto parece uma contradição, pois no início desta seção dissemos que 
ao fi nal de uma expansão livre do gás ideal, a entropia aumentava porque as partículas 
tinham um grau de aleatoriedade maior do que no início. Alguma coisa parece não fun-
cionar bem aqui e a suspeita recai sobre o uso da equação para ΔS: ela foi utilizada de 
maneira não conveniente. Isto porque devemos empregá-la para processos reversíveis. 
 Podemos escolher um processo isotérmico (T mantida constante) como sendo 
infi nitesimal e reversível ligando os estados inicial e fi nal:
.
.
1f frev
rev
i i
dQS dQ
T T
∆ = =∫ ∫ .
Mas em um processo isotérmico para gás ideal, .
1
0
a rev revlei
E dQ dW∆ = ⇒ = . Então, 
.
1 1 ln
f
i
V
f
rev
iV
V
S dW S nRT
T T V
∆ = ∴∆ =∫ ou ln
f
i
V
S nR
V
∆ = .
Esta é a variação da entropia na expansão livre de um gás ideal. Note que, sendo o vo-
lume fi nal maior do que o volume inicial, há um aumento de entropia no processo: foi o 
que dissemos no início da seção. 
Segunda Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
148
Exercícios
Em diversos problemas você vai usar uma combinação da lei dos gases ideais com a 
primeira e a segunda leis da termodinâmica.
MÁQUINAS TÉRMICAS.
1. Um mol de gás ideal monoatômico (Hélio) passa pelo ciclo mostrado na fi gura 8.12. 
O trecho bc é uma expansão adiabática; 3 310atm, 10 m , 8b b c bp V e V V
−= = = .
a) Encontre , , , c a b cp T T T .
b) Calcule , , ab bc caE E E∆ ∆ ∆ . Verifi que se 0E∆ = para o ciclo.
c) Qual o calor trocado em cada trecho do processo? 
E qual o calor trocado no ciclo? 
d) Calcular o trabalho total realizado no ciclo.
e) Qual é a efi ciência do ciclo? 
Dados: 1,67monoatômicoγ = ; 51atm 10 Pa≈
2. Um mol de um gás ideal monoatômico, inicialmente ocupando um volume de 10 
litros e à temperatura de 300 K, é aquecido a volume constante até a temperatura 
de 600 K, expande isotermicamente até atingir a pressão inicial e fi nalmente é 
comprimido isobaricamente, retornando ao volume, pressão e temperatura originais.
a) Calcule o calor absorvido pelo gás durante um ciclo.
b) Qual o trabalho realizado pelo gás nesse ciclo? 
c) Qual a efi ciência deste ciclo? 
3. Um mol de um gás ideal sofre transformações como indica a fi gura 8.13. O estado a 
tem 100kPa, 22,4 litros.a ap V= =
a) Determine as temperaturas dos estados a, b, c, d.
b) Qual o calor acrescentado em cada ciclo?
c) Qual o trabalho realizado em cada ciclo?
d) Quanto de calor é retirado por ciclo? 
e) Qual é a efi ciência dessa máquina térmica?
4. Um motor Diesel produz 2200 J de trabalho mecânico e rejeita 4300 J de calor em 
cada ciclo.
a) Qual a quantidade de calor que deve ser fornecida para esta máquina por ciclo?
b) Encontre sua efi ciência.
5. Um motor a gasolina produz uma potência igual a 180 kW. Sua efi ciência é 0,28. 
a) Qual o calor fornecido a esta máquina por segundo?
b) Qual o calor rejeitado por ela em cada segundo? 
6. Para produzir gelo, um freezer extrai 42 kcal de calor de um reservatório a -12 ºC em 
cada ciclo. O coefi ciente de desempenho deste freezer é 5,7 e ele funciona em um 
ambiente cuja temperatura é 26 ºC.
a) Quanto calor, por ciclo, é rejeitado para o ambiente?
b) Qual é o trabalho, por ciclo, necessário para que ele funcione?
Figura 8.12 - 
Problema 1.
Figura 8.13 - 
Problema 3.
149
7. Um refrigerador possui um coefi ciente de desempenho igual a 2,1. Ele absorve 
43, 4 10 J× de calor da fonte fria em cada ciclo. 
a) Qual é o trabalho mecânico que se deve fornecer à máquina em cada ciclo?
b) Que calor é rejeitado na fonte quente por ciclo? 
CICLO DE CARNOT.
8. Uma máquina de Carnot opera com um reservatório quente a 620 K e absorve 550 J 
de calor a esta temperatura por ciclo, e fornece 335 J para o reservatório frio.
a) Qual o trabalho produzido por ciclo?
b) Encontre a temperatura da fonte fria.
c) Qual é a efi ciência desta máquina?
9. Certa máquina de Carnot tem efi ciência de 59% e realiza 42,5 10 J× de trabalho em 
cada ciclo.
a) Que calor esta máquina extrai da fonte quente em cada ciclo? 
b) Suponha que rejeite calor para uma fonte fria a 20 ºC. Qual a temperatura da fonte 
quente?
10. Uma máquina térmica, funcionando com gás ideal, opera em um ciclo de Carnot entre 
227 ºC e 127 ºC. Ela absorve 46 10 cal× à temperatura maior.
a) Que trabalho, por ciclo, esta máquina consegue realizar? 
b) Qual é seu rendimento?
11. Uma máquina de Carnot opera entre 320 K e 260 K e absorve 500 J de calor da fonte 
quente. 
a) Que trabalho ela pode fornecer?
b) Se esta máquina, trabalhando entre essas duas temperaturas, funcionar como 
refrigerador, que trabalho deve ser fornecido a ela para retirar 1000 J da fonte fria?
12. Uma máquina térmica de Carnot possui uma efi ciência de 0,6 e a temperatura do 
reservatório quente é 800 K. Se 3000 J são rejeitados para a fonte fria em um ciclo, 
qual o trabalho que esta máquina realiza por ciclo?
13. Uma máquina de Carnot opera com um reservatório frio a -90 ºC e possui efi ciência 
de 40%. Um engenheiro recebeu a tarefa de aumentar seu rendimento para 45%.
a) De quantos graus Celsius ele deve aumentar a fonte quente, permanecendo fi xa a 
temperatura da fonte fria?
b) De quantos graus Celsius ele deve diminuir a fonte fria, mantendo constante a 
temperatura da fonte quente? 
ENTROPIA
14. Um estudante, na falta do que fazer, aquece 0,350 kg de gelo a 0 ºC até sua completa 
fusão.
a) Qual a variação de entropia para este processo?
b) A fonte de calor é um corpo de massa muito grande que está a 25 ºC. Qual a 
variação de entropia deste corpo?
c) Qual a variação total de entropia da água e do corpo?
Segunda Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
150
15. Acrescenta-se certa quantidade de calor Q reversivelmente e isotermicamente a um 
sistema que está a uma temperatura T.
a) Encontre a expressão para a variação de entropia deste sistema.
b) Qual o valor de ΔS se Q = 30 J e T = 300 K?
16. Em um processo reversível, 3 mols de um gás ideal são comprimidos isotermicamente 
a 20 ºC. Durante a compressão, um trabalho de 1850 J é realizado sobre o gás. Qual 
a variação de entropia deste gás? 
17. Um bloco de gelo de 15 kg a 0 ºC passa para o estado líquido dentro de uma sala 
a20 ºC. Considere a gelo e a sala como formando um sistema isolado e suponha a 
sala grande o sufi ciente para que sua variação de temperatura possa ser desprezada. 
a) A liquefação do gelo é reversível ou irreversível? Explique sem recorrer às 
equações, desenvolvendo um raciocínio físico simples.
b) Calcule a variação de entropia do sistema (gelo + sala). O resultado é compatível 
com o item (a)? 
18. Dois blocos metálicos de mesmo material e a temperaturas diferentes estão separados 
por uma parede isolante. Em seguida, a parede que os separa é removida e os blocos 
são aproximados para trocar calor (veja fi gura ao lado). Suponha que o bloco mais 
quente tenha temperatura T + ΔT, e mais frio esteja à temperatura T − ΔT.
a) Mostre que a variação de entropia do bloco mais quente é lnquente
TS mc
T T
∆ =
+ ∆
.
b) Mostre que para o bloco mais frio tem-se lnfrio
TS mc
T T
∆ =
− ∆
. Figura 8.14 – 
Problema 18
151
Anotações
Segunda Lei da 
termodinâmica
FÍSICA GERAL II
152
Anotações
153
Referências9
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de Física Básica. 4.ed. São Paulo: Edgard 
Blucher, 2002, v.2.
TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros, Rio de Janeiro: 
LTC Livros Técnicos, 2006. V.1
 
SERWAY, Raymond A.; JEWETT JR., John W. Princípios da Física, São Paulo: Pioneira 
Thompson Learning, 2004 v. 1. 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física, 7. ed. 
Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos, 2006. V. 2
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física II Sears & Zemansky, 12. ed. São 
Paulo: Addison Wesley, 2008