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0.1 Resumo Definição 1. I) Uma função tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) ≥ f(x) para todo x ∈ I ∩Df . II) Uma função tem um mı́nimo relativo em c, se existir um intervalo aberto I, contendo c, tal que f(c) ≤ f(x) para todo x ∈ I ∩Df Proposição 1. Suponhamos que f(x) existe para todos os valores de x ∈ (a, b) e que f tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se f ′(c) existe, então f ′(c) = 0. O ponto c ∈ Df tal que f ′(c) = 0 ou f ′(c) não existe, é chamado ponto cŕıtico de f . Portanto uma condição necessária para a existência de um ponto extremo relativo em um ponto c, é que c seja um ponto cŕıtico. É importante verificar que uma função definida num dado intervalo pode admitir diversos pontos extremos relativos. O maior valor da função num intervalo é chamado máximo absoluto da função nesse intervalo. Analogamente, o menor valor é chamado de mı́nimo absoluto. Proposição 2. Seja f : [a, b] −→ R uma função cont́ınua, definida em um intervalo fechado [a, b]. Então f assume máximo absoluto em [a, b]. Definição 2. I) Dizemos que f(c) é o máximo absoluto da função f , se c ∈ Df e f(c) ≥ f(x) para todos os valores de x no domı́nio de f . II) Dizemos que f(c) é o mı́nimo absoluto da função f , se c ∈ Df e f(c) ≤ f(x) para todos os valores de x no domı́nio de f . Definição 3. I) Dizemos que uma função f , definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para quaisquer x1, x2 ∈ I, x1 < x2, temos f(x1) ≤ f(x2). I) Dizemos que uma função f , definida num intervalo I, é decrescente neste intervalo se para quaisquer x1, x2 ∈ I, x1 < x2, temos f(x1) ≥ f(x2). Proposição 3. Seja f uma função cont́ınua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo (a, b). a) Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é crescente em [a, b]; b) Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é decrescente em [a, b]; 0.2 Critérios para determinar extremos de uma função Teorema 1. (Teste da primeira derivada) Seja f uma função cont́ınua num intervalo fechado [a, b] que possui derivada em todo o ponto do intervalo (a, b), exceto possivelmente em c. a) Se f ′(x) > 0 para todo x < c e f ′(x) < 0 para todo x > c, então f tem um máximo relativo em c. b) Se f ′(x) < 0 para todo x < c e f ′(x) > 0 para todo x > c, então f tem um mı́nimo relativo em c. c) Se f(x) não muda de sinal em c, então f não possui um extremo relativo em c Teorema 2. (Teste da segunda derivada para extremos locais) Sejam f uma função derivável num aberto (a, b) e c um ponto cŕıtico de f neste intervalo, isto é, f ′(c) = 0, com a < c < b. Se f admite a derivada f ′′ em (a, b), temos: a) Se f ′′ (c) < 0, f tem um valor de máximo relativo em c. b) Se f ′′ (c) > 0, f tem um valor mı́nimo relativo em c. Exemplo 1. Determine os valores extremos da função f(x) = (x2 − 3)ex . 0.3 Concavidade e pontos de inflexão Se o gráfico de uma função f estiver acima de todas as suas retas tangentes em um intervalo I, então o gráfico de f é dito côncavo para cima. Se o gráfico de uma função f estiver abaixo de todas as suas retas tangentes em um intervalo I, então o gráfico de f é dito côncavo para baixo. Para encontrar os intervalos onde o gráfico da função f é côncavo para cima e o gráfico da função f é côncavo para baixo, vamos usar o seguinte teste: Proposição 4. (Teste da segunda derivada para concavidade) a) f ′′ (x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é côncava para cima em (a, b) b) f ′′ (x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é côncava para baixo em (a, b) Podem existir pontos onde o gráfico da função muda a concavidade de sentido. Esses pontos são chamados de pontos de inflexão. Definição 4. Um ponto (c, f(c)) do gráfico de uma função f é chamado um ponto de inflexão, se existe um intervalo (a, b) contendo c, tal que uma das seguintes situações ocorra: a) f(x) é côncava pra cima em (a, c) e côncava para baixo em (c, b) b) f(x) é côncava pra baixo em (a, c) e côncava para cima em (c, b) Exemplo 2. Encontre os intervalos onde o gráfico da função f(x) = (x + 1)2 1 + x2 é côncavo para cima e para baixo. Encontre também os pontos de inflexão dessa função. . Exerćıcio 1. 1) Uma part́ıcula se desloca ao longo de uma reta horizontal (positiva à direita) de acordo com a função posição s(t) = 2t3 − 14t2 + 22t− 5 Determine a velocidade e a aceleração e descreva o movimento da part́ıcula. 2) Encontre os intervalos onde o gráfico da função f(x) = x4−4x3+10 é côncavo para cima e para baixo. Encontre também os pontos de inflexão dessa função.