Exercícios de Matemática: Combinações, Probabilidade e Sistemas de Equações

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Funções
Questão 1)
Uma escola tem 9 professores de matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Os agrupamentos feitos com esses professores são combinações simples, pois um deles se distingue do outro somente quando apresenta pelo menos uma pessoa diferente. Invertendo a ordem dos elementos, não alteramos o grupo.
Quantos grupos de 4 professores são possíveis?
a) 124
b) 126
c) 122
d) 130
e) 138
Resolução
Resposta Correta: B
Calculamos inicialmente os arranjos simples formados por 4 entre os 9 professores de matemática (mi):
Mas aqui consideramos distintos os agrupamentos do tipo (m3,m7,m6,m9) e (m7,m3,m6,m9)
A quantidade de agrupamentos formados por esses professores, mudando-se apenas a ordem, é dada por P4 = 4!=24.
Logo, o número de combinações simples será o quociente 3024 : 24 = 126.
Opção correta letra B.
Questão 2)
(Petrobras – Cesgranrio 2014). Uma senha de 5 caracteres distintos deve ser formada usando as letras A e O e os números 0, 1, 2. As senhas devem começar e terminar com letras, mas não é permitido usar o 0 (zero) ao lado do O (letra o).
Quantas senhas podem-se formar atendendo às regras estabelecidas?
a) 12
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2
Resolução
Resposta Correta: B
Devemos formar a senha da seguinte forma:
Letra – Número – Número – Número – Letra
Como só podemos utilizar duas letras, temos duas opções Veja:
A _ _ _ O
O _ _ _ A
O próximo passo é organizar os números. A única restrição que temos é que o zero e a letra O não podem ficar juntos. Desta forma, temos duas opções para o algarismo zero. Exatamente as duas posições não adjacentes a letra O. Veja:
A 0 _ _ O
A _ 0 _ O
Basta agora localizarmos os algarismos 1 e 2. Como restam duas posições, o primeiro a ser incluído tem duas opções, enquanto o segundo tem apenas uma.
Daí, pelo Principio Fundamental da Contagem (PFC):
2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 8
Opção correta letra B.
Questão 3)
Em uma urna existem bolas enumeradas de 1 a 15. Qualquer uma delas possui a mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola com número nas seguintes condições:
a) par
b) primo
c) par ou primo
d) par e primo
Resolução
Resposta Correta: D
Espaço amostral: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)
a) No espaço amostral de 15 números, temos 7 números pares.
P = 7/15 = 0,466 = 46,6%
b) Temos 6 números primos dentre o espaço amostral de 15 números.
P = 6/15 = 0,4 = 40%
Número par = 7 possibilidades entre 15
Número primo = 6 possibilidades entre 15
Par ∩ primo = 1
P(par) + P(primo) – P (par ∩ primo)
d) Dentro do intervalo dado, temos um único número que satisfaz a condição de ser par e primo ao mesmo tempo, que é o número 2. Portanto, temos a seguinte probabilidade:
Letra D.
Questão 4)
Resolva a equação fatorial.
Qual a opção correta?
a) S = 0
b) S = 2
c) S = 1
d) S = 3
e) S = ∅
Resolução
Resposta Correta: E
Questão 5)
Arnaldo planeja ir à praia e deseja utilizar uma camiseta, uma bermuda e um chinelo. Sabe-se que ele possui 5 camisetas, 6 bermudas e 3 chinelos. De quantas maneiras distintas Arnaldo poderá vestir-se?
a) 18
b) 30
c) 90
d) 108
e) 160
Resolução
Resposta Correta: C
Número de opções de camisetas: 5
Número de opções de bermudas: 6
Número de opções de chinelos: 3
Pelo Principio Fundamental da Contagem:
5 x 6 x 3 = 90
Opção correta letra C.
Questão 6)
(UFF-RJ) O produto 20 * 18 * 16 * 14 * ... * 6 * 4 * 2 é equivalente a:
a) 
b) 2 * 10!
c) 
d) 210 * 10!
Resolução
Resposta Correta: D
Questão 7)
Considerando-se 25 pilotos participantes de uma corrida, qual o número total de possibilidades para os três primeiros colocados?
a) 13000
b) 13080
c) 13880
d) 13800
e) 13888
Resolução
Resposta Correta: D
Para o campeão teríamos 25 possibilidades. Para o vice-campeão e para o terceiro colocado, teríamos respectivamente 24 e 23 possibilidades. Pelo princípio fundamental da contagem teríamos:
25 . 24 . 23 = 13800
Isto é, 13800 possibilidades.
Opção correta letra D.
Questão 8)
Resolva o sistema de equações a seguir utilizando números reais.
Qual a opção correta?
a) (-2, 3) e (-3, 2)
b) (-2, -3) e (-3, -2)
c) (2, 3) e (3, 2)
d) (2, -3) e (3, -2)
Resolução
Resposta Correta: D
O método mais indicado para aplicarmos na resolução desse sistema é o método da substituição. Para tanto, vamos isolar a variável x na primeira equação:
x - y = 5 => x = 5 + y
Vamos agora substituir x na 2ª equação:
x2 + y2 = 13
(5 + y)2 + y2 = 13
25 + 10y + y2 + y2 = 13
2y2 + 10y + 12 = 0 → Para facilitar nossos cálculos, vamos dividir todos os números da equação por 2:
y2 + 5y + 6 = 0 → Para utilizarmos Bháskara, façamos a = 1, b = 5 e c = 6
Δ = b2 - 4* a* c
Δ = 52 - 4* 1* 6
Δ = 25 - 24
Δ = 1
Temos então:
Se y = -3, então:
x = 5 + y
x = 5 + (-3)
x = 2
Se y = -2, então:
x = 5 + y
x = 5 + (-2)
x = 3
Portanto, o sistema possui duas soluções reais: (2, -3) e (3, -2).
Opção correta letra D.
Questão 9)
Resolva o sistema a seguir utilizando números reais.
Qual a opção correta?
a) 5/3 , - 1
b) 5/3 , 1
c) -5/3 , 1
d) 4/3 , - 1
Resolução
Resposta Correta: A
Vamos resolver este sistema utilizando o método da adição. Para tanto, vamos multiplicar a primeira equação por -1.
Utilizando Bháskara, podemos resolver a equação encontrada:
y2 + 2y = -1 => y2 + 2y + 1 = 0, onde a = 1, b = 2 e c = 1
Δ = b2 - 4 * a * c
Δ = 22 - 4 * 1 * 1
Δ =4 - 4
Δ = 0
y = - 1
Vamos agora substituir o valor de y na 2ª equação:
3x + 2y = 3
3x + 2 * (-1) = 3
3x - 2 = 3
3x = 5
x = 
Então a solução do sistema é o par ordenado (5/3 , - 1) .
Opção correta letra A.
Questão 10)
Seja a função composta f(g(x)) = 2x2 – 4x + 3, com f(x) = 2x2 + 1. Então, o valor de g(x), será igual a:
a) g(x) = x + 1
b) g(x) = - x + 1
c) g(x) = x – 1
d) g(x) = 2x + 1
e) g(x) = 2x – 1
Resolução
Resposta Correta: C
1. f(g(x)) = 2x2 – 4x + 3 → 2(g(x))2 + 1 = 2x2 – 4x + 3 → 2(g(x))2 = 2x2 – 4x + 3 – 1 → 2(g(x))2 = 2x2 – 4x + 2 → → (g(x))2 = x2 – 2x + 1 → g(x) = x – 1.
Questão 11)
O gráfico da função f: IR → IR, definida por f(x) = ax2 + bx + c é dado a seguir. Qual o valor de a + b + c ?
a) f(x) = x2 + 3x + 7
b) f(x) = x2 - 3x + 7
c) f(x) = x2 - 3x – 7
d) f(x) = x2 + 4x + 7
e) f(x) = x2 - 4x + 7
Resolução
Resposta Correta: E
1. c = 7, Xv = 2 e Yv = 3, pela forma canônica, temos: f(x) = a(x – Xv)2 + Yv, assim: f(x) = ax2 – 4ax +4a + 3, logo : 4a + 3 = 7, então a = 1.
1. f(x) = x2 – 4x + 7.
Questão 12)
No bairro Alamedão, Pedrinho é considerado o estrategista da região. Carlinhos pensa num número ímpar positivo menor do que 100. Pedrinho se dispõe a descobrir que número é esse, fazendo a seguinte pergunta, quantas vezes forem necessárias: \"O número que você pensou é maior, menor ou igual a x?\". Note que x é um número que Pedrinho escolhe.
Quantas perguntas desse tipo Pedrinho poderá ter que fazer até descobrir o número pensado por Carlinhos?
a) 5
b) 7
c) 15
d) 25
e) 45
Resolução
Resposta Correta: A
A estratégia é escolher o ímpar \"no meio\" de cada intervalo. Pedrinho pode começar com x = 51, reduzindo as possibilidades a, no máximo, 25 ímpares (por exemplo, se a resposta for menor, o número será um ímpar entre 1 e 49, e, nesse caso, Pedrinho escolherá x = 25). Continuando essa estratégia, Pedrinho reduzirá as possibilidades, no próximo passo, a (no máximo) 12 ímpares, depois a 6 ímpares, depois a 3 ímpares e, finalmente, a 1 ímpar, acertando o número com, no máximo, 5 perguntas.