2972275-Matematica-Exercicios-Resolvidos-Sequencias-PG

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Seqüências ou Sucessões 
 
Termo Geral de uma PG ⇒ 11.
−= nn qaa ⇒Produto 
q = razão da PG 
Termo Médio ⇒ TM 2= n1 a.a 
Produto dos termos de uma PG⇒ ( )nn1 a.aPn ±= ⇒ 2
)1n(n
n
1 q.aPn
−
= 
Soma dos termos de uma PG⇒
1q
aq.a
Sn 1n
−
−
= ⇒ 
1q
)1q.(a
Sn
n
1
−
−= 
Soma dos termos de uma PG Infinita ⇒
q1
a
S 1
−
=∞ 
1. Sabendo-se que x, x+9, e x+45, estão em PG, podemos afirmar que a razão 
desta PG vale: 
Solução: 
a1 = x q = ? 
1
1.
−= nn qaa 
⇒
+
+=+
9
459
x
x
x
x
 (x+9)² = x(x+45) ⇒ x² + 18x + 81 = x² + 45x ⇒ 
18x – 45x = - 81⇒ -27x = -81 ⇒ x = 3 
q = ==+
3
129
x
x
 4 ∴ x, (x+9), e (x+45) ⇒ (3, 12, 48) 
2. Calcular o 7.º termo da PG onde a1 = 9
2 e q = 3 , vale: 
Solução: 
a7 =? a1 = 9
2 q = 3 
1
1.
−= nn qaa ⇒ a7 = 9
2 .q 17− ⇒ a7 = 9
2 .( 3) 6 ⇒ 
( 3)6 ⇒
6
2
1
3










⇒33 
a7 = 9
2 .33 ⇒ a7 = 9
2 .27 ⇒ a7 = 6 
 
 
 
3. Encontre o primeiro termo de uma PG de razão q = 2 e 6.º termos a6 = 128. 
Solução: 
a1= ? q= 2 a6 = 128= an n= 6 
1
1.
−= nn qaa ⇒ a6 = a1.q 16− ⇒ 128 = a1.25 ⇒ a1= 128
32
⇒ a1= 4 
4. Calcule a razão de uma PG em que o 1.º temo é 
9
2 e o 6.º é 54. 
Solução: 
a1= 9
2 q= 2 a6 = 54 
1
1.
−= nn qaa ⇒ a6 = a1.q 16− ⇒ 54 = 9
2 .q5⇒ 
35 =q5= 243⇒ q = 2435 ⇒ q = 55 3 ⇒ q = 3 
5. Quantos termos possui uma PG onde o 1.º temo é 
8
1 , a razão é 2 e o último 
termo é 128: 
Solução: 
a1= 8
1 q= 2 an = 128 
1
1.
−= nn qaa ⇒ 128= 8
1 .2 1−n ⇒ 27 . 23 = 2 1−n ⇒ 210 = 2 1−n ⇒ 10 = n-1 ⇒ n = 11 
6. Encontre o 4.º termo de uma PG onde a2+ a4+a5 = 130 e a3+ a5+ a6 = 260 
Solução: 
a4 = ? ⇒ a4 =a1.q
3 
a2+ a4+a5 = 130 ⇒ a1.q + a1.q
3 + a1.q
4 = 130 
a3+ a5+ a6 = 260 ⇒ a1.q
2+ a1.q
4 + a1.q
5 = 260 
2
1
3
1
.
.
q
qa
qa = ⇒ divida a equação de baixo pela de cima ⇒ 
a1.q. (1+q
2+ q3) = 130 subst. ⇒ a1.2. (1+2
2+ 23) = 130 ⇒ a1=5 
a1.q
2 (1+q2+ q3) = 260 
q = 2 
7. Quanto vale a razão da PG de 3 termos, sabendo-se que a soma de seus termos é 
6
19 e o produto é 1: 
Solução: 
3 n.º em PG ⇒ (
q
x ; x ; x .q) 
q
x . x . x .q = 1 ⇒ x3 = 1 ⇒ x = 1
3
 ⇒ x = 1 
q
1 + 1 + 1 .q = 
6
19 ⇒ 6.( 
q
1 + 1 + 1 .q ) = 19.q ⇒ 6+ 6q+ 6q2= 19.q ⇒ 
6q2 -13q +6= 0 ⇒q’ = 
2
3 ∴ q’’ =
3
2 
8. A razão de uma PG de 4 termos, cujo primeiro termo é 2 e o último é 
27
2125 , 
vale: 
Solução: 
n= 4 q= ? a1= 2 a4 = 27
2125 
1
1.
−= nn qaa ⇒ 27
2125 = 2 .q 14− ⇒ q3= 
27
125 ⇒ q= 
3
5 
9. Em uma PG, o quinto termo é 24 e o oitavo termo é 3. A razão entre o sexto e o 
décimo termo é: 
Solução: 
10
6
a
a = ? a5 = 24 a8 = 3 
1
1.
−= nn qaa ⇒ 24 = a1.q 15− ⇒ 24 = a1.q4 ⇒ a1 = 4
24
q
 
1
1.
−= nn qaa ⇒ 3 = a1.q 18− ⇒3 = a1.q7 ⇒3 = 4
24
q
.q7 ⇒ 3 = 
4
24
q
.q7 ⇒1 = 8.q 3 
q 3= 
8
1 ⇒q = 
2
1 
1
1.
−= nn qaa ⇒ a6 = a1.
16
2
1 −





 ⇒ a6 = a1.
5
2
1





 
1
1.
−= nn qaa ⇒ a10 = a1.
110
2
1 −





 ⇒ a10 = a1.
9
2
1





 
10
6
a
a
⇒ 162
2
.
2
2
2 4
9
1
5
1
9
1
5
1
9
2
1
1
5
2
1
1
====












aa
a
a
a
a
 
10. Sejam os polinômios A(x)= a1.x
n +a2 .x
1−n +...+an .x+a 1+n e B(x)= 
b1.x
m +b2 .x
1−m +...+bm .x+b 1+m de mesmo grau. Se (a1, a2 , ..., a 1+n ), nesta ordem, 
formam uma PA onde a3= 5 e r = n, n ∈ Z com 3≤ n ≤4 e (b1, b2 , ...,b 1+m ), 
formam nesta ordem uma PG onde b2= a2e b3= -1, então o termo independente 
da soma A(x) + B(x) é: 
Solução: 
n = m a3= 5 r = n ⇒3≤ n ≤4 ⇒n = 3 
A(x) + B(x) a 1+n + b 1+m a4 + b4 
(a1, a2 , ..., a 1+n )PA ⇒ rnaan )1(1 −+= ⇒ 
a1⇒5 = a1+ (3-1).3⇒5 = a1+ 6⇒ a1 = -1 
a2 ⇒ a2 = -1+(2-1).3⇒ a2 = -1+3⇒ a2 = 2 
a4 ⇒ a4= -1+(4-1).3⇒ a4= -1+9⇒ a4= 8 
achando a razão da PG 
a2 = b2 = 2 q = 2
1
2
3 −=
a
a 
a3 = b3 = -1 
(b1, b2 , ...,b 1+m )PG⇒
1
1.
−= nn qaa ⇒ 11. −= nn qbb ⇒ 
b1 ⇒2 = b1.(- 2
1 ) 12− ⇒2 = b1.(- 2
1 )⇒2 = - 
2
1b ⇒ b1= - 4 
b4 ⇒ b4= - 4. 
14
2
1 −





− ⇒ b4= - 4. 




−
8
1 ⇒ b4= 2
1 
A(x) + B(x) ⇒ a 1+n + b 1+m ⇒ a4 + b4 ⇒ 8 + 2
1 ⇒
2
17
2
116 =+ 
11. Calcular o produto dos 7 primeiros termos da PG em que a1= 4
1 e q = 2. 
Solução: 
Pn = ? a1= 4
1 q = 2 
2
)1n(n
n
1 q.aPn
−
= ⇒ P7 =
7
4
1





 . 2 2
)17(7 −
⇒ P7 = (2
2− )7 . 221⇒ P7 = 2
14− . 221⇒ 
P7 = 2
7 
12. Determine o produto dos 9 primeiros termos da PG onde a1= - 32 e q = 2
1 . 
Solução: 
P9 = ? a1= - 32 q = 2
1 
2
)1n(n
n
1 q.aPn
−
= ⇒ P9 = (-32)
9 . 
2
1 2
)19(9 −
⇒ P9 =(-2
5)9 . (2 1− )36 ⇒ 
P9 =-2
45. 2 36− ⇒ P9 =-2
9 
13. Determine a soma dos 10 primeiros termos da PG 1, 2, 4, 8, .... 
Solução: 
n = 10 a1= 1 q = 2 S10 = ? 
1q
)1q.(a
Sn
n
1
−
−= ou 
1q
aq.a
Sn 1n
−
−
= ⇒ S10 = 1. 1-2
1)- (210 ⇒ S10 = 1023 
14. Calcular o valor da soma 1+ 
2
1 + 
4
1 + 
8
1 + ...: 
Solução: 
q = 
2
1 ∴ a soma 1+ 
2
1 + 
4
1 + 
8
1 + ...tende a zero! ⇒
q1
a
S 1
−
=∞ ⇒ 
2
1
-1
 1 = 
2
1
 1 = 2 
15. A seqüência (2x+ 5, x+ 1, 
2
x , ...), com x ∈∈∈∈ IR, é uma PG de termos positivos. 
O décimo terceiro termo desta seqüência é: 
Solução: 
a13 = ? 
1
2
a
a = 
2
3
a
a ⇒ 
5x2
1x
+
+ = 
1x
2
x
+
⇒ x2 + 2x + 1 = x2 + 
2
x5 ⇒1 =
2
x5 -2x ⇒ 
1= 
2
x4x5 − ⇒ 
2
x =1 ⇒ x = 2 
a1⇒2.2+5⇒ a1=9 ∴ a2 ⇒2.1 ⇒ a2=3 ∴ a3⇒ 2
2 ⇒ a3=1 
q = 
1
2
a
a = 
2
3
a
a ⇒
9
3=
3
1 
1
1.
−= nn qaa ⇒ a13 = 9. (3
1 ) 113− ⇒a13 =9. (3
1 )12⇒a13 = 3
10− 
16. Em uma PG de termos reais, sabe-se que a5= 240 e a8= 4
15 . Então, podemos 
afirmar que a razão desta progressão é : 
Solução: 
1
1.
−= nn qaa ⇒ a5 = a1.q4=240 ∴ a8 = a1.q7 = 4
15 
q ⇒
4
15
.q a
240= .q a
7
1
4
1
=
= q3 = 
4
1 
a8 = a5. q
3⇒
4
15 = 240. 
4
1
⇒ q = 
4
1 
17. A Soma dos termos da PG : : 2: 6: 18: ... : 486 é: 
Solução: 
a1 = 2 a2= 6 q = 
1
2
a
a = 
2
6 = 3 
a3⇒ a2 . a1+ a2 = 6.2+6 ⇒a3=18 
a4 ⇒a3. a1+ a3 = 18.2+18 ⇒a4=54 
a5⇒a4 . a1+ a4= 54.2+54 ⇒a5=162 
a6 ⇒a5. a1+ a5=162.2+162 ⇒a6 =486 
2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 ⇒ PG com seis termos 
2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728 
1q
)1q.(a
Sn
n
1
−
−= ou 
1q
aq.a
Sn 1n
−
−
= ⇒ Sn = 13
2-.3 an
−
⇒ Sn = an 
18. A solução da equação x + 
3
x + 
9
x + 
27
x + 
81
x ... = 15, em IR, é : 
Solução: 
q = 
3
1 ∴
1q
)1q.(a
Sn
n
1
−
−
= ou 
1q
aq.a
Sn 1n
−
−
= ⇒ Sn =
3
1
1
1
3
1
x
n
−
−





=15⇒
3
2
x =15⇒ x = 10 
19. O produto dos 4 primeiros termos da progressão geométrica cujos elementos 
verificam as relações 



+ =+
=++
42642
21531
aaa
aaa
é: 
Solução: 
2.(a1+ a3+ a5 = 21) ⇒ a2+ a4+ a6 = 42 ⇒ q = 2 
a3⇒ a1.q
2 
a5⇒ a1.q
4 
a1+ a3+ a5 = 21⇒ a1+ a1.q
2+ a1.q
4 = 21⇒ a1+ a1.2
2+ a1.2
4 = 21⇒ 
a1+ a1.4+ a1.16 = 21⇒ a1 = 1 
2
)1n(n
n
1 q.aPn
−
= ⇒P4= 1
4 .26 ⇒P4= 64 
20. Qual é a razão de uma PG de 3 termos, onde a soma dos termos é 14 e o 
produto 64? 
Solução: 
q = ? 3 n.º em PG ⇒ (
q
x ; x ; x .q) 
produto ⇒ 
q
x .x.(x.q ) = 64⇒x3= 64⇒x = 4 
soma ⇒ 
q
x +x+(x.q) = 14 ⇒ 
q
4 +4+(4.q) = 14⇒ 
4q2+10q+4=0 ⇒ q’=2 ∴ q’’=2
1 
21. O número 95 foi dividido em três partes que estão em PG de razão 
2
3 , as 
partes são: 
Solução: 
a1= ? a2= ? a3 = ? q = 
2
3 3 n.º em PG ⇒ (
q
x ; x ; x .q) 
a1= 
3
x2 a2 = x a3 = 
2
x3 
a1 + a2 + a3 = 95 ⇒ 
3
x2 + x + 
2
x3 = 95 ⇒ x = 30 
a1⇒ 
3
x2 = 
3
30.2
⇒ a1 = 20 
a2⇒ x ⇒ a2 = 30 
a3 ⇒
2
x3 = 
2
30.3 ⇒ a3 = 45 
22. O sexto termo de uma PG na qual 2 meios geométricos estão entre 3 e -24, 
tomados nesta ordem, é : 
Solução: 
3, ___, ___, -24 a1= 3 a4= -24 
1
1.
−= nn qaa 
a4 ⇒ a1.q
3⇒ -24 = 3.q3 ⇒q3 = - 8 ⇒ q3 = - 23 ⇒q = -2 
1
1.
−= nn qaa ⇒ a6 = a1.q5 ⇒ a6 = 3.(-2)5 ⇒ a6 = - 96 
23. Calcule a soma 3 + 
2
3 + 
4
3 + 
8
3 ...: 
Solução : 
a1= 3 q = 
1
2
a
a = 
2
1 
Neste caso, temos uma PG ilimitada convergente 
q1
a
S 1
−
=∞ ⇒ 6
2
1
3
2
1
1
3 ==
−
 
24. Seja (a1,a2 ,...,an ...) uma PG infinita de razão positiva r, em que a1= a é um 
número real não nulo. Sabendo-se que a soma de todos os termos de índices pares 
desta PG é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de 3 é 
13
16, determine o valor de a + r: 
Solução: 
é uma PG ilimitada convergente ⇒ a1 = a.r e razão q2 
a2 + a4 + a6 + ...= 4 ⇒ 
a.r + a.r3 + a.r5 + ... = 4 
q1
a
S 1
−
=∞ ⇒
2r1
r.a
−
= 4 ⇒a.r = 4(1-r2 ) 
a3 + a6 + a9 ...= 13
16 
q1
a
S 1
−
=∞ ⇒
3
2
r1
r.a
−
= 
13
16
⇒ a.r2 = 
13
16(1-r3) 
r.a
r.a 2 =
2)
3
r-4.(1
) r-(1 
13
16
⇒
)r1).(r1.(13
)rr1).(r1.(4 2
+−
++− ⇒9.r2 + 9.r – 4 = 0 ⇒ r’ = 
3
1 r” = 
3
4− 
a.r = 4(1-r2 ) ⇒a. 
3
1 = 4(1-(
3
1 ) 2 )⇒a = 
3
32 
a + r = 
3
32 + 
3
1 = 11 
25. Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo. 
Solução: 
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, 
vem pela fórmula: 
a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024 
 26. Sabe-se que o quinto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é 
igual a 320. Qual a razão desta PG? 
Solução: 
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 
20.q4 
Então q4 =16 e portanto q = 2. 
 
Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como: 
(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG. 
 
27. Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão 
dessa PG 
Solução: 
n= 6 a1 = 2 a6 = 486 
1
1.
−= nn qaa ⇒ a6 = a1.q
5 ⇒ 486 = 2 . q5 ⇒ q = 3 
 
 
 
28. Ache a progressão aritmética em que: 
a1 + a2 + a3 = 7 
a4 + a5 + a6 = 56 
Solução: 
transformando, temos: 
a1 + a1 .q + a1. q
2 = 7 ⇒ a1 (1 + q + q
2 ) = 7 ⇒ I 
a4 + a5 + a6 = 56 ⇒ a1.q
3(1 + q + q2 ) = 56 ⇒ II 
Dividindo-se II por I : 
q3 = 8 ⇒ q = 2 
de I vem: 
a1 (1 + 2 + 4) = 7 ⇒ a1 = 1 
Resposta: (1, 2 , 4, 8, ...) 
29. Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48. 
Solução: 
O problema consiste em formar uma PG, onde: 
a1 = 3 an = 48 n = 3 + 2 = 5 
Devemos, então, calcular q: 
1
1.
−= nn qaa ⇒ 48 = 3 . q
4 ⇒ q = ±2 
Para q = 2 ⇒ (3 , 12, 24, 48) 
Para q = -2 ⇒ (3, -6, 12, -24, 48) 
 
 30. Dar o valor de x na igualdade x + 3x +... +729x=5465, sabendo-se que os termos 
do 1° membro formam uma P.G. 
Solução: 
a1 = x q = 3x/x= 3 an = 729x Sn= 5465 
Cálculo de n: 
1
1.
−= nn qaa ⇒729x = x . 3 
n-1 (veja que x ¹ 0) 
729 = 3 -1 ⇒36 = 3 n-1 ⇒n = 7 
1q
)1q.(a
Sn
n
1
−
−= ou 
1q
aq.a
Sn 1n
−
−
= ⇒ 5465 = x (37 – 1)/ (3 – 1) ⇒ x = 5 
31. Calcular a fração geratriz da dizima 0, 3131... 
Solução: 
 0,3131... = 0,31 + 0,0031+ ... (uma PG) 
a1 = 0,31 q = 0,01 
 
1q
)1q.(a
Sn
n
1
−
−= ou 
1q
aq.a
Sn 1n
−
−
= 
Sn = a1 / 1-q ⇒Sn = 0,31/1-0,01⇒Sn= 31/99 
Resposta: A fração geratriz é da dízima é 31/99 
32. Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto 
é 729 , então sendo a, b e c os três primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + 
b2 + c2 . 
Solução: 
3 n.º em PG ⇒ (
q
x ; x ; x .q) 
Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq). 
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem: 
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que: 
x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9. 
Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q 
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo: 
9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q +30 = 0 
Multiplicando ambos os membros por q, fica: 
9 + 9q2 +30q = 0 Dividindo por 3 e ordenando, fica: 
3q2 +10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau. 
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3. 
Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor 
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente. 
Portanto, a PG é: 
9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3. 
O problema pede a soma dos quadrados, logo: 
a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819 
33. Uma progressão aritmética ⇒PA e uma progressão geométrica ⇒ PG têm, 
ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são 
estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da 
progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. 
Então, o terceiro termo das progressões é: 
Solução: 
Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos 
como condições iniciais: 
(1) a1 = g1 = 4 
(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3 
(3) a2 = g2 + 2 
Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de 
uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações: 
(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q
2 => 4 + 2r = 4q2 
(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2 
Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r 
em (4) vem: 
(5) => r = 4q + 2 - 4 => r = 4q - 2 
(4) => 4 + 2(4q - 2) = 4q2 => 4 + 8q - 4 = 4q2 => 4q2 - 8q = 0 
=> q(4q - 8) = 0 => q = 0 ou 4q - 8 = 0 => q = 2 
Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na 
equação (5): 
r = 4q - 2 => r = 8 - 2 = 6 
Para concluir calculamos a3 e g3: 
a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16 
g3 = g1.q
2 => g3 = 4.4 = 16 
34. A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em 
progressão aritmética PA e em progressão geométrica PG é que: 
Solução: 
A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG 
de razão q é: 
(1) b = a + r = aq => r = a(q - 1) 
(2) c = b + r = bq => r = b(q - 1) 
De (1) e (2) vem: 
a(q - 1) = b(q - 1) => (a - b)(q - 1) = 0 
Para que o produto seja igual a zero: 
ou a - b = 0 ou q - 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas 
Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca 
também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) 
e de (2) segue que r = 0 e b = c = a. 
35. A soma dos elementos da seqüência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) 
é: 
Solução: 
Sejam S a soma dos elementos da seqüência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 
0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1. Assim: 
S = 3 + S1 
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para 
obter S1: 
S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4 
36. O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos 
entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é: 
Solução: 
Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 
precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral 
temos que: 
a4 = a1.q
4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2 
Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido,também, através da 
fórmula do termo geral: 
a6 = a1q
6-1 => a6 = 3(-2)
5 = -3.32 = -96 
37. A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10. Qual o 
valor de x? 
Solução: 
Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita 
converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja 
satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que: 
 
Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de 
convergência: 
 
Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
1) Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 é a sua razão, calcule o 
termo de ordem 8. 
 - Informações do exercício: 
 a1=32 q=2 a8=? n=8 
 - Vamos usar a fórmula do termo geral: 
 an=a1*q
n-1 
 a8=a1*q
8-1 
 a8=32*2
7 
 a8=32*128 
 a8= 4096 
 
2) (UCS) O valor de x para que a seqüência (x+1, x, x+2) seja uma PG 
é: 
 (A) 1/2 
 (B) 2/3 
 (C) -2/3 
 (D) -1/2 
 (E) 3 
 - Vamos utilizar a propriedade básica de uma PG. 
 
 - Substituindo pelos nosso valores: 
 Resposta certa letra "C". 
 
3) Em uma PG o primeiro termo é , e o terceiro, . O valor do 
décimo termo é 
 (A) 
 (B) 4 
 (C) 
 (D) 2 
 (E) 4 
 - Informações: 
 a1= a3= a10=? 
 - Vamos aplicar a fórmula do termo geral para achar a razão: 
 a3=a1*q
3-1 
 = *q2 
 
 - Novamente aplicando a fórmula do termo geral para achar a10 
 Resposta certa, letra "C". 
 
4) (UFPA) Na PG de termos positivos (a, b, c) , temos: 
 a+b+c=91 
 a*c=441 
 Então, (a+c) é igual a: 
 (A) 21 
 (B) 49 
 (C) 53 
 (D) 63 
 (E) 70 
 - Informações: 
 a1=a a2=b a3=c 
 a+b+c=91 
 a*c=441 
 a+c=? 
 (1) 
 (2) 
 - O que queremos saber é (a+c). Portanto, utilizando a equação (1), 
podemos dizer que:: 
a+b+c=91 
a+c=91-b 
 
(3) 
 - Então, se descobrirmos o valor de "b" podemos substituir nesta 
fórmula e achar o que é pedido. Para isso vamos pegar a equação (2) e 
substituir o termo "c", que é o a3, pelo seu equivalente na fórmula geral: 
a3=a1*q
3-1 
c=a*q2 
Substituindo: 
a*c=441 
a*a*q2=441 
a2*q2=441 
(aq)2=441 
aq=21 
 - Como o termo "b" é o segundo, então: 
 b=aq 
 aq=21 logo b=21 
 - Substituindo na equação (3): 
 a+c=91-b 
 a+c=91-21 
 a+c=70 Resposta certa, letra "E" 
 
5) (FUVEST) Numa progressão geométrica de quatro te rmos 
positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a som a dos dois 
últimos vale 9. calcule a razão da progressão. 
 (A) 3 
 (B) 5 
 (C) 7 
 (D) 9 
 (E) 11 
 - Informações: 
 a1+a2=1 
 a3+a4=9 q=? 
 - Vamos substituir todos os termos das duas equações acima pelos 
seus equivalentes na fórmula do termo geral: 
 a2=a1*q 
 a3=a1*q
2 
 a4=a1*q
3 
 - Trocando os valores das equações dadas pelos termos acima, 
ficamos com o seguinte sisteminha de equações: 
a1+a1*q=1 
a1*q
2+a1*q
3=9 
a1(1+q) = 1 (1) 
a1(q
2+q3) = 9 (2) 
 - Vamos dividir a equação (2) pela (1): 
 
 - Resolvendo esta equação, achamos as raizes valendo -1, -3 e 3. O 
problema diz que os termos desta PG são positivos, portanto o único valor 
que a razão pode ser é 3. Resposta certa letra "A" 
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