Aula 2 - Sistemas de Numeração Posicionais

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Prof. Ricardo Mesquita 
Sistemas de Numeração Posicionais 
Sumário 
 Formação dos números 
 Definição 
 Bases dos Sistemas de Numeração 
 Conversões entre Bases 
 Aritmética 
 Adição 
 Subtração 
Formação dos Números 
Sistema não posicional – todo algarismo tem valor fixo, 
independente de sua posição no número. 
 
Exemplo: sistema romano, onde o algarismo X vale sempre 10 
 
XXX = 10 + 10 + 10 = 30 
XL = 40 (L = 50 menos X = 10 ) 
LX = 60 (L = 50 mais X = 10) 
Formação dos Números 
 Sistema posicional – cada algarismo tem um valor relativo 
(diferente) conforme sua posição no número 
 
 Ex.: 35810 8 + 50 + 300 
 
 Neste exemplo (sistema decimal) : a medida que os 
algarismos são acrescentados à esquerda o número cresce 
de valor em grupos de 10. 
 
 
 
Formação dos Números 
1. Base – quantidade de símbolos de um sistema posicional. O 
número da base indica o total de símbolos utilizados. 
Exemplo: 
 Base 10 (decimal) – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 
 Base 2 (binária) – 0, 1. 
 Base 8 (octal) – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 
 Base 16 (hexadecimal) – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, 
E, F. 
 
Formação dos Números 
 Cada algarismo de um número indica o valor de sua posição, 
em potências da base. Uma unidade de uma posição de um 
sistema de base X tem valor equivalente a X unidades da 
posição imediata à direita. 
 
 
 3610 3 * 10
1 + 6 * 100 
 
 Todo número cresce de valor da direita para a esquerda. 
 
Formação dos Números 
 Cresce da direita para a esquerda, a partir do valor 0, seguido 
do 1 e até o último algarismo válido. 
 Exemplo: base 3 (algarismos: de 0 a 2); base 10 (alg. de 0 a 9) 
 
 Quando a contagem chega ao último alg. válido de uma 
posição, retorna a 0 e cresce 1 unidade para à esquerda. 
 Exemplo: base 10. Cresce de 0 a 9 e depois 10, 11,….19, na 
direita retorna à 0 e cresce 1 para à esquerda: 20… 
 
 E assim por diante 
Formação dos Números 
Base 2 Base 8 Base 10 Base 16 
 0 0 0 0 
 1 1 1 1 
 10 2 2 2 
 11 3 3 3 
 100 4 4 4 
 101 5 5 5 
 110 6 6 6 
 111 7 7 7 
 1000 10 8 8 
 1001 11 9 9 
 1010 12 10 A 
 1011 13 11 B 
 1100 14 12 C 
 1101 15 13 D 
 1110 16 14 E 
 1111 17 15 F 
10000 20 16 10 
10001 21 17 11 
Formação dos Números 
 Em bases de valor superior a 10, usam-se letras do alfabeto 
para representação de algarismos maiores que 9. A base 16 é 
especialmente usada em computação, por ser de valor de 
potência de 2. 
 
Base 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
Base 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 
Base 10 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
Base 16 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 
Base 10 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 
Base 16 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D 2E 2F 
Conversão entre Bases 
 Para converter da base decimal para qualquer base, pode-se 
usar o método das divisões sucessivas: 
 Pegue o número na base decimal e faça sucessivas divisões pela 
nova base, guardando os restos dessas divisões; repita até não ser 
mais possível. Escreva o número convertido a partir dos restos, 
na ordem inversa de ocorrência: 
 Ex.: conversão decimal > binário 
Conversão entre Bases 
Exercício: Efetue as seguintes conversões: 
1. 46310 para binário 
2. 98710 para octal 
3. 500010 para hexadecimal 
Conversão entre Bases 
 Conversões de valores com partes fracionárias: 
Conversão entre Bases 
Exercício: Converter as seguintes frações decimais para 
binário. 
1. 0,82812510 
2. 0,33310 
3. 24,3510 
Conversão entre Bases 
Teorema Fundamental da Numeração 
O valor decimal de uma quantidade expressa em outro sistema 
de numeração é dado por: 
 
… + 𝑥2 × 𝑏
2 + 𝑥1× 𝑏
1 + 𝑥0× 𝑏
0 + 𝑥−1× 𝑏
−1 + 𝑥−2× 𝑏
−2 + ⋯ 
 
Por exemplo: converter 201,13 para a base decimal. 
 
2 × 32 + 0 × 31 + 1 × 30 + 1 × 3−1 = 18 + 0 + 1 + 0,333 = 19,333 
Conversão entre Bases 
Exercício: Converta para decimal 
 
1. 11,0010012 
2. 102,228 
3. 1A,BC16 
Conversão entre Bases 
 Conversão binário-octal-hexadecimal 
 Note: 2 (binário), 23 = 8 (octal), 24 = 16 (hexadecimal) 
0 = 0000 = 0 
1 = 0001 = 1 
2 = 0010 = 2 
3 = 0011 = 3 
4 = 0100 = 4 
5 = 0101 = 5 
6 = 0110 = 6 
7 = 0111 = 7 
8 = 1000 = 8 
9 = 1001 = 9 
10 = 1010 = A 
11 = 1011 = B 
12 = 1100 = C 
13 = 1101 = D 
14 = 1110 = E 
15 = 1111 = F 
 
Exemplo: Converter o número hexadecimal 
2BC para binário 
 
 2 B C 
0010 1011 1100 
 
Dica: 
Octal > agrupe 3 bits 
Hexadecimal > agrupe 4 bits 
Conversão entre Bases 
Faça as seguintes conversões: 
 AC7F16 para binário 
 53768 para binário 
 98B116 para octal 
 40138 para hexadecimal 
 10100111012 para octal 
 100011001112 para hexadecimal