Prova 2 - Derivadas

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Universidade Tecnológica Federal do
Paraná
Professor: Tiago Luiz Ferrazza
Prova 2
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 1 Data:
Nome: Código:
• Os cálculos / justificativas devem estar demonstrados e de forma organizada, sob pena
de anulação;
• Não é permitido o uso de qualquer fonte de consulta/celular;
1. Faça o que se pede:
(a) (0,6 ponto) Seja f(x) = |x−4|
x−4 . Calcule
lim
x→4+
f(x), lim
x→4−
f(x) e lim
x→4
f(x).
(b) (0,6 ponto) Calcule
lim
x→+∞
−2x3 + 3x2 − 10
4x3 + 5x + 4
(c) (0,8 ponto) Sabendo que limx→0(1 + x)
1
x = e, calcule
lim
x→0
(1 + 3x)
−2
x
2. (2,0 pontos) Seja f uma função. Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou
falsas (F). Justifique sua resposta.
( ) Se f é crescente em um intervalo (a, b), então sua derivada assume valores negativos
nesse intervalo.
( ) Se c é um ponto cŕıtico e f ′′(c) = 0, então c não maximiza e nem miniza a função
f .
( ) Para que uma função seja cont́ınua num ponto, basta que os limites laterais nesse
ponto coincidam.
( ) Pelo Teste da 2a Derivada, para que um ponto c seja um ponto de máximo local,
basta verificar se f ′′(c) < 0.
3. (2,0 pontos) Calcule as derivadas das seguintes funções:
(a) f(x) = cos 4
√
x− 3ex lnx2
(b) g(x) = tan 2[(lnx4)3]
1
4. (2,0 pontos) Considere a função f(x) = x3 − 2x2 + 3x− 4. Determine:
(a) A equação da reta secante ao gráfico de f passando pelos pontos (1,−2) e (2, 2);
(b) A equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto (1,−2).
5. QUESTÃO BÔNUS (2,0 pontos) Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser
constrúıda de forma que seu volume seja 20m3. Sabendo que o material da base vai
custar R$10, 00 por m2 e o material dos lados R$16, 00 por m2, encontre as dimensões
da caixa de modo que o custo do material seja mı́nimo.
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