CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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ENGENHARIA ELÉTRICA
Tutor Roberto Teixeira Neto
DERIVADA - TABELAS
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DERIVADA - TABELAS
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DERIVADA - TABELAS
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INTEGRAL 
 A derivada e a integral são duas noções básicas do Cálculo Diferencial e Integral. Do ponto de vista 
geométrico, a derivada está ligada ao traçar a tangente a uma curva (Grau de Inclinação) 
enquanto que a integral está relacionada com determinar a área de certas figuras planas, mas 
também possui muitas outras interpretações possíveis.
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INTEGRAL - MÉTODO DE RIEMANN
 A integral de Riemann de uma função f (x) num intervalo [ a,b] , é equivalente à soma de todos os 
elementos de área sob a curva f (x) , ou seja:
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INTEGRAL - MÉTODO DE RIEMANN
 onde: 
 A área do k − ésimo retângulo é dada por 
 somando-se todas as áreas dos retângulos sob a curva f (x) , tem-se uma aproximação (devido às 
quinas dos retângulos) da área sob a curva. Quanto menor for k ∆x , melhor é a aproximação. 
Assim:
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INTEGRAL - MÉTODO DE RIEMANN
 Seja f (x) uma função contínua num intervalo [a,b] , então se o limite:
 existe, a função f (x) é integrável em [a,b] no sentido de Riemann, e é definida por
 onde a integral definida de f (x) , no intervalo [a,b] , dará uma nova função g(x) calculada no 
intervalo [a,b] , o que é escrito na forma
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PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS
 Caso a integral definida tenha limites inferiores e superiores iguais, seu resultado 
consequentemente é zero.
 Podemos inverter a ordem dos limites de integração, acrescentando um sinal negativo à função a 
ser integrada.
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PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS
 Uma constante pode ser movida através do sinal de integração.
 Uma integral de uma soma/subtração é a soma/subtração das integrais.
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PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS 
DEFINIDAS
 Em um intervalo de integrais, podemos separar os termos para melhor resolução:
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INTEGRAIS INDEFINIDAS
 Seja a função F(x) chamada de primitiva (que origina) f(x), a Expressão F(x) + C e chamda de 
INTEGRAL INDEFINIDA da função f(x) e é denotada como:
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INTEGRAIS INDEFINIDAS
 Observações:
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INTEGRAIS INDEFINIDAS
 Observações:
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PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS
 Integral de uma constante x uma função:
 Integral de uma constante:
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PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS
 A integral indefinida da soma/subtração de duas funções é igual à soma/subtração das integrais 
indefinidas destas funções. Assim:
 Integral de uma função potência:
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PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS
 Integral de uma potência:
 Integral de uma exponencial:
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PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS
 Integral de uma fração:
 Integral por substituição (regra da cadeia)
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PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS
 Integral de uma função trigonométricas básicas:
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INTEGRAL – TABELA RESUMO GERAL
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INTEGRAL – TABELA RESUMO SIMPLIFICADA
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EXERCÍCIOS
 Aplique a técnica de derivação necessária e assinale a alternativa que indica a derivada da 
função 𝑔(𝑥) = (3X²-5) / (X+1) em x=1.
 a) 3,0. b) 3,5. c) 4,0. d) 4,5. e) 5,0.
 PASSO 1: DERIVAR A FUNÇÃO g(x):
 PASSO 2: SUBSTITUIR X NA EQUAÇÃO g’(x):
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EXERCÍCIOS
 CALCULE AS INTEGRAIS:
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EXERCÍCIOS
 Integrar uma função consiste em encontrar a primitiva associada à função. Dessa forma,
somos autorizados a afirmar que a derivada a integral são operadores matemáticos inversos. 
Atentando-se para o fato de a função ser contínua no intervalo de integração, seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3.
Assinale a alternativa que apresenta a primitiva (F(x)) da função f(x).
 a) 𝐹(𝑥) = 2𝑥² + 𝑥 + 𝑘. RESPOSTA:
 b) 𝐹(𝑥) = 2𝑥² + 3𝑥 + 𝑘.
 c) 𝐹(𝑥) = 𝑥² + 𝑥 + 𝑘.
 d) 𝐹(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 + 𝑘.
 e) 𝐹(𝑥) = 𝑥² + 3𝑥 + 𝑘.
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EXERCÍCIOS
 Calcule as integrais indefinida:
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EXERCÍCIOS
 Calcule as integrais indefinida:
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EXERCÍCIOS
 Calcule as integrais indefinida:
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EXERCÍCIOS
 Calcule as integrais indefinida:
Tutor Roberto Teixeira Neto
EXERCÍCIOS
 Calcule as integrais indefinida:
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EXERCÍCIOS
 Calcule as integrais indefinida:
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EXERCÍCIOS
 As integrais possuem diversas aplicações, entre elas na física. Se temos a velocidade de uma 
partícula podemos integrar e encontrar o deslocamento da mesma em um intervalo de tempo. 
Com base nessas informações considere a seguinte situação:
 Uma partícula move-se ao longo de uma reta de tal forma que sua velocidade no instante 𝑡 é:
 𝑣(𝑡) = 𝑡 2 − 𝑡 − 6 (medida em metros por segundo). 
 Assinale a alternativa que contém o deslocamento da partícula durante o período de tempo:
 1 ≤ 𝑡 ≤ 4. PASSO 1: INTEGRAR A VELOCIDADE PARA ACHAR O DESLOCAMENTO
 a) -4,5 m.
 b) 4,5 m.
 c) 10,17 m.
 d) -10,17 m.
 e) 6 m.
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EXERCÍCIOS
 PASSO 2: OPERAR A INTEGRAL E SUBSTITUIR VALORES:
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COORDENADAS POLARES
 Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua 
localização no plano escrevendo P = (a,b) onde a é a projeção de P no eixo x e b, a projeção no 
eixo y. 
 Podemos também descrever a localização de P, a partir da distância de P à origem O do sistema, e 
do ângulo formado pelo eixo x e o segmento OP, caso P diferente de O. 
 Denotamos P = (r, θ) onde r é a distância de P a O e θ o ângulo tomado no sentido anti–horário, da 
parte positiva do eixo Ox ao segmento OP, caso P diferente O. Se P = O, denotamos P = (0, θ), para 
qualquer θ.
 Esta maneira representar o plano é chamada Sistema de Coordenadas Polares.
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COORDENADAS POLARES
 EXEMPLOS:
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MUDANÇA DE COORDENADAS
 POLAR – CARTESIANA:
 No triângulo retângulo OPx a seguir, obtemos as seguintes relações:
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MUDANÇA DE COORDENADAS
 CARTESIANA - POLAR:
 Para encontrarmos r e θ quando x e y são conhecidos, usamos as equações:
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EXEMPLOS
 CARTESIANA - POLAR:
 PARA AS COORDENADAS CARTESIANAS (3,4), TRANSFORME EM POLAR:
 RESPOSTA:
 R² = X²+Y² -------- R² = 3²+4² ---------- R² = 9+16 ------- R² = 25 ---- R= √25 = 5
 TANG. Θ = Y/X ------- 4/3 = 1,33 ------- ARCTANG 1,33 = 53,06º
 POLAR – CARTESIANA:
 PARA AS COORDENADAS CARTESIANAS (5,53.06º), TRANSFORME EM CARTESIANA:
 RESPOSTA:
 X = R.COS ÂNGULO = 5 COS 53,06 = 3
 Y = R.SEN ÂNGULO = 5 SEN 53,06 = 4
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INTEGRAL DUPLA (*VOLUME*)
 TEOREMA DE FUBINI:
 O teorema de Fubini transforma uma integral dupla em uma integral iterada. 
 Essa transformação, a princípio, ocorre somente para regiões de integração retangulares. Assim, se 
temos a função F(x,y) e os seguintes intervalos da região de integração:
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INTEGRAL DUPLA TIPO I
 Regiões planas inscritas em faixas verticais são conhecidas com TIPO I
 Consideremos uma região R inscrita na faixa vertical a < x < b e entre o gráfico de duas funções 
contínuas de x, ou seja:
 R = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }
 onde g1 e g2 são contínuas em [a,b]. Por exemplo, as regiões R representadas abaixo:
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INTEGRAL DUPLA TIPO II
 Regiões planas inscritas em faixas horizontais são conhecidascomo TIPO II
 Consideremos uma região R inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o gráfico de duas funções 
contínuas de y, ou seja:
 R = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }
 onde h1 e h2 são contínuas em [c,d]. Por exemplo, as regiões R representadas abaixo:
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EXEMPLO
 CALCULE A INTEGRAL ITERADA:
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EXEMPLO
 Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide 𝑧 = 𝑥² + 𝑦² e acima da região do 
plano 𝑥𝑦 limitada pela reta 𝑦 = 2𝑥 e pela parábola 𝑦 = 𝑥².
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