MAT- modulo 12 volume e capacidade

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Módulo 12 - Volume e capacidade
Matemática - 3º Bimestre - 8º Ano - Ensino Fundamental
12.1. Volumes (sólidos e poliedros)
 
Suas experiências
A seguir, temos os sólidos que já conhecemos. Vamos ver se nos recordamos da identificação e das
características de cada um? Complete os espaços
 
 
 
 
.
Sólido Nome Características
 
 
 
É um prisma cujas faces têm
forma de .
Possui vértices, arestas
e faces
 
 
 cujas bases são
paralelogramos.
Possui vértices, arestas
e 6 .

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Sólido que possui base em
forma de e faces
laterais constituídas por
triângulos.
Possui vértices, 
 arestas, faces e 
____ base (triângulo).
 
 
 
Sólido que possui base em forma
de e face lateral
constituída por triângulos. Possui
5 8 , 5 faces e
1 base ( ).
 
 
Sólido que possui base em forma
de pentágono
e face lateral constituída por
triângulos.
Possui __6_ vértices, 10 
 ,
6 faces e base ( ).
 
 
Sólido que possui base em forma
de hexágono
e face lateral constituída por
triângulos.
Possui vértices, 12 arestas,
 faces e 1 base ( ).
 
 
Sólido limitado por uma
superfície curva.
Tem base em formato 
e vértice
 
 
 
Sólido limitado por uma
superfície curva.
Tem 2 bases em forma de 
 .
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Sólido limitado por uma
superfície curva,
não possui bases, vértices e
arestas
 
 
 Exploração e descoberta
Volume do prisma
Já aprendemos que calcular o cubo de um valor significa efetuar o produto com três fatores iguais.
Por exemplo, o cubo de (4) pode ser determinado efetuando 4 . 4 . 4, ou seja, 64. Esse cálculo pode ser
representado por um problema de cálculo de volume de uma figura cúbica de aresta que mede 4 cm.
Observe:
Volume de um cubo de 4 cm de aresta: (4 cm) = 4 cm . 4 cm . 4 cm = 64 cm
Determinar o cubo de 4 significa, então, calcular o espaço que um cubo de 4 cm de aresta ocupa, ou seja, o
seu volume.
Logo, temos:
V =
aresta
V = (4 cm)
V = 64 cm
Volume do paralelepípedo
O volume do paralelepípedo pode ser determinado pelo cálculo l . c . h, no qual l e c correspondem às
dimensões da base do sólido e h corresponde à sua altura. Assim, podemos escrever:
V = l .
c . h
Logo, para um paralelepípedo de b = 10 cm, c = 6 cm e h = 6 cm, temos:
V = 10 cm . 6 cm . 6 cm
V = 360 cm
3 3
cubo
3
cubo 3
cubo 3
paralelepípedo
paralelepípedo 
paralelepípedo 3
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Esses sólidos que acabamos de ver são chamados de prismas retos.
Prisma reto é um poliedro com duas bases
poligonais paralelas e faces laterais retangulares.
Para obtermos o volume de um prisma reto, independente do polígono da base, podemos calcular o produto
entre a área da base e a sua altura:
V = A . h
Volume da pirâmide
O volume da pirâmide é obtido pela terça parte do volume do prisma. Vamos ilustrar com um prisma de
base triangular:
A partir de um prisma triangular, podemos obter três pirâmides de base triangular equivalentes.
Observe:
Prisma de
base
triangular
Prisma de
base
triangular
ABC
Prisma de
base
triangular
FDE
Prisma de
base
triangular
ACE
 
 
 
O mesmo acontece com um prisma de base quadrada:
Nos exemplos anteriores, vimos que o prisma e a pirâmide possuem seus volumes na razão de 1 para 3,
independentemente da base da pirâmide.
Para o cálculo do volume do prisma, temos:
V = Área . h
Como o prisma é o somatório de três pirâmides equivalentes, o volume da pirâmide será o volume do
prisma dividido por três.
Volume do cilindro
Considere os sólidos abaixo, cujas áreas da base quadrangular e da base circular são equivalentes.
Logo, tem-se que A = A .
prisma base
prisma base
1 2
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Se as alturas dos sólidos representados pelas bases anteriores são também equivalentes, podemos concluir
que os volumes dos dois sólidos são equivalentes.
O volume do cilindro é análogo ao volume do prisma, ou seja, obtemos o volume do cilindro pelo produto
entre a área da base e sua altura.
V = Área . h
Volume do cone
A relação que vimos entre volumes dos prismas e pirâmides (um para três) também acontece entre o cone
e o cilindro. Ou seja, o volume do cone é a terça parte do volume do cilindro.
Volume da esfera
Para a demonstração do cálculo do volume da esfera, precisaríamos de estudos mais avançados, como o do
cálculo integral e o da matemática de Arquimedes. Por enquanto, veremos apenas que o seu volume é dado
por:
cilindro base
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Resumidamente, temos que:
Sólidos Nome Volume
 
Prismas e
cilindros
V = Área .
h
 
 
Pirâmides e
cones
Esfera
 
Demonstre seus conhecimentos
1.Calcule o volume de cada sólido:
a) 
 
b)
base
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c)
d)
 
2. Maria adora chocolate e resolveu comprar uma caixa desse doce no formato de guarda-chuva. Cada
chocolate tem 9 cm de altura e 3 cm de raio.
Sabendo que a caixa possui 50 unidades, qual volume de chocolate Maria comprou? (Adote π = 3,14)
3. (ENEM) – Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a
seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno,
mede 8 cm.
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de:
a) 12 cm
b) 64 cm
3
3
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c) 96 cm
d) 1 216 cm
e) 1 728 cm
4. (ENEM) – O administrador de uma cidade, implantando uma política de reutilização de materiais
descartados, aproveitou milhares de tambores cilíndricos dispensados por empresas da região e montou kits
com seis tambores para o abastecimento de água em casas de famílias de baixa renda, conforme a figura
seguinte. Além disso, cada família envolvida com o programa pagará somente R$ 2,50 por metro cúbico
utilizado. Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês pagará a quantia de
(considere π = 3).
a) R$ 86,40
b) R$ 21,60
c) R$ 8,64
d) R$ 7,20
e) R$ 1,80
 Sua criação
5. Agora que já estudamos “Volumes (sólidos e poliedros)" você vai elaborar um problema utilizando os
conhecimentos que adquiriu. O enunciado deverá conter um problema que envolva o cálculo do volume de
um recipiente cujo formato é o de um bloco retangular. Resolva-o e depois verifique se seu amigo chegou à
resposta que você elaborou.
 Tarefa
Ao concluir o item anterior, você já pode realizar em casa a tarefa 36 “Volumes (sólidos e poliedros)".
3
3
3
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12.2. Relação entre volume e capacidade
 Suas experiências
Laboratório: Descobrindo relação entre o litro e o decímetro cúbico
Materiais: régua, tesoura, cola, água, fita adesiva, copo medidor e folhas dos anexos I, II e III.
Procedimento:
1. Destaque as folhas dos anexos I, II e III e meça a aresta do cubo planificado.
Qual a medida da aresta do cubo, em centímetros? E em decímetros?
Resp.: 
2. Determine o volume do cubo, em cm e dm .
3. Recorte o cubo planificado e monte-o, vedando suas arestas com o auxílio da fita adesiva.
4. Agora, preencha o cubo com água até a borda, transportando em seguida esse volume para o copo
medidor. Faça a medição. Quantos mililitros couberamdentro do cubo? Isso corresponde a quantos litros?
Resp.: 
5. No item 1, você determinou o volume do cubo, em cm e dm . No item 4, você determinou o mesmo
volume em litro e m . Com base nas medições, complete as lacunas.
 dm = 
ou
 cm = m
 Exploração e descoberta 
 
3 3
3 3
3
3
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Já parou para pensar quanto de água cabe dentro de uma piscina em formato retangular? Ou o que significa
dizer que uma caixa d’água possui a capacidade de 1000 ? E que embalagens de alimentos possuem
capacidade de 1,5 ? Ou ainda que o tanque de combustível do carro tem capacidade de 40 ?
Em todos esses casos estamos determinando a medida de capacidade do recipiente.
O volume de um sólido pode ser definido como o espaço ocupado por ele. Todo corpo que ocupa espaço
pode comportar alguma substância (líquida, gasosa, sólida).
Determinar a capacidade de um sólido é saber qual volume do seu interior pode ser preenchido.
Para medição de volume adotamos como medida padrão o metro cúbico (m ) e para a medição de
capacidade adotamos o litro ( ). A seguir, apresentamos essas unidades de medida, com os seus múltiplos e
submúltiplos:
Volume
Unidade de
medida
Representação
Quilômetro cúbico km
Hectômetro cúbico hm
Decâmetro cúbico dam
Metro cúbico m
Decímetro cúbico dm
Centímetro cúbico cm
Milímetro cúbico. mm
 
Capacidade
Unidade de
medida
Representação
Quilolitro k
Hectolitro h
Decalitro da
3
3
3
3
3
3
3
3
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Litro
Decilitro d
Centilitro c
Mililitro m
 
 
Tanto o volume quanto a capacidade estão diretamente ligados a objetos tridimensionais, ou seja, aos
sólidos geométricos.
Vamos recordar as transformações:
Múltiplos Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
k h da d c m
1000 100 10 0,1 0,01 0,001 
No laboratório, percebemos que há relações de equivalência entre algumas unidades de medidas de
capacidade com algumas unidades de medida de volume. Elas são muito importantes e usuais; são elas:
1 m = 1000 
1 dm = 1
1 cm = 1 m
Exemplos de aplicação:
1. Qual a capacidade de um cubo de 3 cm de aresta?
Inicialmente precisamos determinar o volume do cubo. Sabemos que:
V = a
V = (3 cm)
V = 27 cm
Para determinarmos a capacidade, temos que:
1 cm = 1m
27 cm = 27m
A capacidade do cubo de 3 cm de aresta é de 27 m .
3
3
3
cubo 3
cubo 3
cubo 3
3
3
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2. Quantos litros de água são necessários para encher a piscina?
Inicialmente precisamos determinar o volume do paralelepípedo formado pela piscina.
Sabemos que:
V = l . c . h
V = 5 . 15 . 2
V = 150 m
Nota:
l largura
c 
comprimento
h altura
Para determinarmos a capacidade em litros, temos que:
1 m = 1000 
150 m = 150 000 
Logo, são necessários 150 000 para encher a piscina.
 
 Pensando no assunto
FRANCESCO BONAVENTURA CAVALIERI
Matemático e astrônomo italiano (nascido em Milão), foi
professor da Universidade de Bolonha e inventor do
método dos indivisíveis (1635), o qual deu início a uma
nova era para a Geometria e abriu caminho para a
introdução do cálculo integral. Segundo Cavalieri, ao
paralelepípedo
paralelepípedo
paralelepípedo 3
3
3 
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determinarmos secções de áreas iguais a partir das
divisões de dois sólidos de mesma altura com bases
equivalentes, obtemos sólidos de volumes iguais.
 
Exemplo:
Suponha que você tenha uma casquinha de sorvete no formato de um cone de altura 10 cm e de círculo da
base com 5 cm de diâmetro. Quantos mililitros de sorvete cabem aproximadamente na casquinha? Adote π
= 3,14.
Como cada 1 cm = 1 m , temos que 65 cm equivalem a 65 m . Logo, cabem na casquinha 65 m de
sorvete.
 
3 3
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 Ampliação dos saberes
Arquimedes: A coroa do rei
Arquimedes foi um notável matemático nascido em
Siracusa, na Sicília, em 287 a.C. Dele se contam muitas
histórias e a ele se atribuem muitas invenções. A mais
famosa, sem dúvida, é a que o fez sair nu pelas ruas da
cidade gritando “heureka!" (achei!). Menos famoso, em
todo caso, é o problema que o ocupava naquele dia. O rei
Hierão, seu amigo, desconfiava que o ourives a quem
encomendara uma coroa misturara prata ao ouro que lhe
dera para o trabalho. A coroa, no entanto, tinha
exatamente o mesmo peso que o ouro fornecido. Como
provar a fraude? Arquimedes achou a resposta enquanto
tomava banho. Ele observou que a quantidade de água
que caía da banheira quando ele entrava nela tinha o
mesmo volume que seu corpo. Então, imaginou: se a
coroa fosse de ouro puro, deveria deslocar um volume de
água igual àquela quantidade de ouro; se estivesse
misturada com prata, que pesa menos do que o ouro, a
coroa teria um volume maior e deslocaria mais água.
Arquimedes ficou tão feliz com a descoberta que saiu
correndo pela rua, sem sequer lembrar-se de vestir a
roupa.
(Disponível em:
<https://super.abril.com.br/historia/arquimedes-a-coroa-
do-rei/>. Acesso em: 17 março 2020.)
 
Demonstre seus conhecimentos
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1. Qual a capacidade, em litros, dos recipientes?
a)
b)
c)
2. O hidrômetro da casa de uma família de 5 pessoas registrou em um determinado mês o consumo de 32
m de água. Qual a quantidade de água consumida, em litros? Quanto, em média, cada membro consumiu
de água?
Resp.: 
3. Observe o infográfico e responda:
3
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a) Quantos litros são utilizados para o abastecimento da agricultura e pecuária?
Resp.: 
b) Aproximadamente quantas vezes o uso da água pela agricultura e pecuária é superior ao uso de água no
abastecimento humano?
Resp.: 
4. Um bovino de corte ingere uma média mínima de 45 litros de água por dia.
a) Se em uma fazenda tem um confinamento para 2000 cabeças, qual será o gasto mensal de água?
Resp.: 
b) Se nesta fazenda forem construir 10 reservatórios para 5 dias, qual o volume mínimo em m3 que deverá
ter cada um dos reservatórios?
Resp.: 
5. Durante o período de lactação, as vacas bebem em média quatro litros de água por cada litro de leite
produzido. Se uma fazenda tiver 50 vacas para lactação, com média de 12 litros de leite por dia, precisará
de quantos litros de água disponível por dia?
Resp.: 
6. Um tanque feito para treino de mergulho tem formato de paralelepípedo, com base retangular de lados 2
m e 0,8 m. Um mergulhador, ao imergir completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,05 m. Qual o
volume do mergulhador em m ? Quanto essa variação representa, em litros?
7. Contra a falta de abastecimento há o racionamento de água que acontece em várias cidades do Brasil. É
imprescindível economizarmos água potável reutilizando-a o máximo possível.
Para evitar o desperdício de água potável em sua casa, Lucas construiu um sistema de captação de água de
chuva. Essa água será armazenada em uma cisterna cilíndrica, conforme mostra a figura.
3
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Logo após a construção da cisterna, quando ainda estava totalmente vazia, choveu na casa de
Lucas, fazendo com que o nível da água na cisterna atingisse a marca de 65 cm.
Qual foi o volume em litros captado pela cisterna? Adote π = 3.
8. (OBMEP - Adaptado) – Para lavar seu carro, Marcelo retirou água de um reservatório, em forma de
paralelepípedo, que estava completamente cheio, utilizando um balde cuja capacidade é de 10 litros, que
sempre saía completamente cheio. A figura abaixo apresenta as dimensões do reservatório de onde Marcelo
retirou a água.
Após lavar o carro, Marcelo verificou que o nível de água no reservatório diminuiu o equivalente a
1,2cm. Quantos baldes foram utilizados?
 Tarefa
Ao concluir o item anterior, você já pode realizar em casa a tarefa 37 “Relação entre volume e capacidade".
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Volumes
(sólidos e poliedros)
(I)
Professora: Rosana
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Perleto dos Santos
Aula: Volumes
(sólidos e poliedros)
(II)
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Relação entre
volume e capacidade
(I)
Professora: Rosana
Perleto dos Santos
Aula: Relação entre
volume e capacidade
(II)
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