EF 9º ANO_MATEMÁTICA_LIVRO DE ATIVIDADES_VOLUME 2 (PROFESSOR)

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Livro do professor
Livro de
atividades
Livro do professor
©S
hu
tte
rst
oc
k/B
ian
ca
rdi
9o. ano
Volume 2
Matemática
Probabilidade 29
Plano cartesiano 
e funções 16
Triângulos 2
6
5
4
2 Livro de atividades 
Triângulos
4
Teorema de Pitágoras
Os triângulos sempre foram figuras geométricas muito importantes, uma vez que o estudo de suas proprie-
dades ajudou o ser humano a suprir várias necessidades da sociedade, desde épocas antigas até os dias atuais.
Observe o triângulo da figura a seguir.
Cateto
A
Cateto
Hipotenusa
B
C
O triângulo representado na figura é um triângulo retângulo. Como é possível observar, ele tem um ângu-
lo reto. Além disso, você já o conhece e sabe que ele tem algumas particularidades relacionadas aos seus lados 
e ângulos.
Os lados de um triângulo retângulo têm nomes especiais:
• AB e BC são os catetos. São os lados que formam o ângulo reto.
• AC é a hipotenusa. É o lado oposto ao ângulo reto. A hipotenusa é sempre o maior dos lados de um 
triângulo retângulo.
Em um triângulo retângulo, há uma importante relação que vamos estudar: o teorema de Pitágoras.
Em um triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados 
das medidas dos catetos.
a2 = b2 + c2
a
c
b
3 Matemática – 9o. ano – Volume 2
B
A
H
C
A
H
Os triângulos ABC e HBA são semelhantes, pois os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo B é 
comum aos dois triângulos. Os triângulos ABC e HAC também são semelhantes, pois os dois triângulos têm um 
ângulo reto e o ângulo C é comum aos dois triângulos. Por fim, podemos afirmar que os triângulos HBA e HAC 
também são semelhantes, uma vez que ambos são semelhantes ao triângulo ABC.
Dando nome às medidas dos lados dos triângulos em questão, temos:
Relações métricas no triângulo retângulo
Observe o triângulo ABC ao lado. Esse triângulo é retângulo em A e 
AH é a altura relativa ao lado BC, que é a hipotenusa desse triângulo.
O triângulo ABC pode ser dividido em dois triângulos, como pode-
mos observar a seguir.
BC é a hipotenusa de medida a.
AB é o cateto de medida c.
AC é o cateto de medida b.
AH é a altura, de medida h, relativa à hipotenusa.
BH, de medida n, e CH, de medida m, são os segmentos que 
a altura determina na hipotenusa.
Levando em consideração as semelhanças entre os triângulos observadas anteriormente, é possível encon-
trar algumas relações no triângulo da figura anterior.
h n m2 � �
O quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das 
medidas dos segmentos que a altura determina na hipotenusa.
b a m2 � �
c a n2 � �
b c a h� � �
Veja outras importantes relações métricas no triângulo retângulo:
B
A
H
C
B
A
H
C
c b
mn
a
h
4 Livro de atividades 
Razões trigonométricas
Observe o triângulo retângulo a seguir.
• o lado oposto ao ângulo agudo considerado como referência 
é denominado cateto oposto;
• o cateto que está sobre um dos lados do ângulo agudo 
considerado é chamado de cateto adjacente;
• o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa.
Dessa forma, temos que:
De modo geral, temos:
A razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a um ângulo agudo de um triângulo 
retângulo depende somente da medida desse ângulo. Essa razão é constante e denominada tangente desse 
ângulo.
c
A
a
C
B
b
 
Indicamos a tangente de α por tg α.
tg
medida do cateto oposto a
medida do cateto adjacente a
tg
c
b
�
�
�
�
�
�
Cateto
A Cateto
Hipotenusa
B
C
Cateto
oposto
a 
A
Hipotenusa
B
C
Cateto adjacente a 
 
Cateto
adjacente
a 
A
Hipotenusa
B
C
Cateto oposto a 
 
5 Matemática – 9o. ano – Volume 2
Atividades
A razão entre a medida do cateto oposto a um ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo 
é constante e denominada seno desse ângulo.
A razão entre a medida do cateto adjacente a um ângulo agudo e a medida da hipotenusa de um triângulo 
retângulo é constante e denominada cosseno desse ângulo.
c
A
a
C
B
b
 
Indicamos o seno de α por sen α e o cosseno de α por cos α.
sen
medida do cateto oposto a
medida da hipotenusa
sen
c
a
m
�
�
�
�
�
�
�cos
eedida do cateto adjacente a
medida da hipotenusa
b
a
�
�cos �
Teorema de Pitágoras
1. Sabe-se que a área do triângulo retângulo representado na figura é igual a 20 cm². Determine a me-
dida de sua hipotenusa.
Temos que a área do triângulo é igual a 
20 cm2 e que um dos catetos mede 8 cm. 
Dessa maneira, sendo h a altura do triângulo, 
ou seja, a medida do outro cateto, temos:
20
8
2
40 8
5
�
�
� �
�
h
h
h
Então, o outro cateto mede 5 cm.
Utilizando o teorema de Pitágoras e sendo x 
a medida da hipotenusa do triângulo, temos:
8 5
64 25
89
89
2 2 2
2
2
� �
� �
�
�
x
x
x
x
A medida da hipotenusa do triângulo retân-
gulo é 89 cm, ou seja, aproximadamente 
9,43 cm.
8 cm
x
h
6 Livro de atividades 
2. Na malha quadriculada a seguir, foram representados sete triângulos, numerados de 1 a 7.
1
2
3
4
5
6
7
Dos triângulos anteriores, quais são retângulos? Você pode utilizar um transferidor para auxiliá-lo na 
resposta dessa atividade!
3. Ternas pitagóricas são grupos de três números que satisfazem o teorema de Pitágoras. Na tabela a 
seguir, são dadas as medidas dos três lados de alguns triângulos. Verifique se as ternas dadas são pi-
tagóricas e, em seguida, assinale na última coluna sua resposta. Se necessário, utilize o espaço abaixo 
para cálculos.
Lado 1 Lado 2 Lado 3 É uma terna pitagórica?
3 4 6 ( ) Sim. ( X ) Não.
3 4 5 ( X ) Sim. ( ) Não.
6 8 10 ( X ) Sim. ( ) Não.
2 4 5 ( ) Sim. ( X ) Não.
9 40 41 ( X ) Sim. ( ) Não.
Vamos averiguar em cada um dos casos se a terna satisfaz o 
teorema de Pitágoras. É importante lembrar que a hipotenusa 
é sempre o maior dos lados de um triângulo retângulo.
• Para o triângulo em que os lados medem 3, 4 e 6, devemos 
ter que 32 + 42 = 62. Essa igualdade é falsa, uma vez que 
32 + 42 = 25 ≠ 36 = 62. Logo, não é uma terna pitagórica.
• Para o triângulo em que os lados medem 3, 4 e 5, devemos 
ter que 32 + 42 = 52. Essa igualdade é verdadeira, uma vez que 
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52. Logo, é uma terna pitagórica.
• Para o triângulo em que os lados medem 6, 8 e 10, devemos 
ter que 6 8 102 2 2� � . Essa igualdade é verdadeira, uma vez 
que 6 8 36 64 100 102 2 2� � � � � . Logo, é uma terna pitagó-
rica.
• Para o triângulo em que os lados medem 2, 4 e 5, devemos 
ter que 2 4 52 2 2� � . Essa igualdade é falsa, uma vez que 
2 4 4 16 20 25 52 2 2� � � � � � . Logo, não é uma terna pita-
górica.
• Para o triângulo em que os lados medem 9, 40 e 41, devemos 
ter que 9 40 412 2 2� � . Essa igualdade é verdadeira, uma vez 
que 9 40 81 1 600 1 681 412 2 2� � � � � . Logo, é uma terna pi-
tagórica.
• Para cada caso em que as medidas dos lados do triângulo sa-
tisfazem o teorema de Pitágoras, dizemos que o triângulo é 
retângulo.
Apenas por meio da 
visualização da malha 
quadriculada, pode-
-se perceber que os 
triângulos retângulos 
são os de números 3, 
4, 6 e 7. Como os alu-
nos podem se equivo-
car e responder que o 
triângulo 5 também 
é retângulo, sugere-
-se a utilização de um 
transferidor para a 
conferência das medi-
das dos ângulos inter-
nos desse triângulo.
7 Matemática – 9o. ano – Volume 2
a) 
28
21 x
b) 
4x
5x
6
c) 
x
25
24
d) 4x
3x 20
e) 
12
15
x
20 4 3
400 16 9
400 25
16
4
2 2 2
2 2
2
2
�� � �� �
� �
�
�
�
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
2 2 2
2
2
21 28
441 784
1 225
35
� �
� �
�
�
( ) ( )5 4 6
25 16 36
9 36
4
2
2 2 2
2 2
2
2
x x
x x
x
x
x
� �
� �
�
�
�
25 24
625 576
49
7
2 2 2
2
2
� �
� �
�
�
x
x
x
x
4. Em cada um dos itens a seguir, determine o valor de x utilizando o teorema de Pitágoras. 
15 12
225 144
81
9
2 2 2
2
2
� �
� �
�
�
x
x
x
x
8 Livro de atividades 
5. Na figura a seguir, a área do quadradoamarelo é de 100 cm2 e a medida dos lados do quadrado verde 
é igual à metade da medida dos lados do quadrado amarelo. Qual é a área do triângulo ABC?
Se a área do quadrado amarelo é 100 cm2, 
podemos afirmar que todos os lados têm 
medida igual a 10 cm. Como a medida dos 
lados do quadrado verde é igual à metade 
da medida dos lados do quadrado amarelo, 
temos que a medida dos lados do quadra-
do verde é igual a 5 cm. Dessa forma, po-
demos encontrar a medida dos lados do 
quadrado azul (a qual chamaremos de x).
10 5
100 25
75
75
5 3
2 2 2
2
2
� �
� �
�
�
�
x
x
x
x
x
Logo, a medida dos lados do quadrado azul 
é igual a 5 3 cm . Dessa forma, a área do 
triângulo ABC, em centímetros quadrados, 
é:
A�
�
�
5 5 3
2
25 3
2
6. (OBMEP) O antigo livro chinês Jiuzhang suanshu contém 246 problemas. Para a solução de alguns, é 
necessário o uso do gou gu, ou seja, do Teorema de Pitágoras. Veja um desses problemas traduzido 
do capítulo 9 do Jiuzhang.
No alto de um bambu vertical está presa uma corda. A parte da corda em contato com o solo mede 
3 chih. Quando a corda é esticada, sua extremidade toca no solo a uma distância de 8 chih do pé do 
bambu. Que comprimento tem o bambu?
7. (OBMEP) A figura é composta de triângulos retângulos isósceles todos iguais. Qual é a área em cm2 
da parte sombreada?
Cada um dos cinco triângulos tem as 
seguintes medidas:
Aplicando o teorema de Pitágoras, tem-se:
6
36 2
18
18 3 2
2 2 2
2
2
� �
�
�
� �
x x
x
x
x
Note que tanto a altura quanto a base 
dos triângulos têm medidas iguais a x cm. 
Como a área de um triângulo é dada por 
b h
2
, temos que a área de cada triângulo 
é igual a:
A�
�
�
�
�
3 2 3 2
2
9 2
2
9
Dessa forma, como são 5 triângulos, a 
área total é 45 cm2, pois:
A T � � �5 9 45
a) 20 b) 25 c) 35 X d) 45 e) 50
C
A B
x x
x x x
x x x x
x x x
�� � � �
�� �� �� �� �
� � � � �
� � � �
3 8
3 3 64
3 3 9 64
6 9 64
2 2 2
2
2 2
2 2
xx x x
x
x
2 26 64 9
6 55
9 2
� 	 � 	
�
,
O comprimento do bambu é de, aproximadamente, 9,2 chih.
x x + 3
83
x
30 cm
x cm x cm
6 cm
9 Matemática – 9o. ano – Volume 2
8. A figura a seguir representa um terreno triangular ABC, no qual há uma casa retangular BDEF, que 
ocupa 40% do terreno. Determine a área ocupada pela casa, sabendo que BC = 40 m e AC = 50 m.
9. Pedro convidou Marcos para ir ao parque de diversões. Há dois caminhos possíveis: ou Pedro passa 
pela casa de Marcos e depois vai para o parque, ou vai direto ao parque e encontra o amigo lá. Quan-
tos metros Pedro andará a menos se for direto ao parque?
• Distância percorrida passando pela casa de Marcos: 
400 m + 500 m = 900 m
• Distância percorrida indo direto ao parque:
x
x
x
x
2 2 2
2
2
400 500
160000 250000
410000
640
� �
� �
�
Diferença: 900 m – 640 m = 260 m
Pedro andará, aproximadamente, 260 m a menos se for direto 
ao parque.
10. Um fio de 50 m de comprimento foi esticado entre o topo de dois edifícios, como mostra a figura. 
Sabendo que a distância entre os prédios é de 30 m e o edifício menor tem 16 m de altura, quanto 
mede a altura do edifício maior?
30 m
h
50 m
50 30
2 500 900
1600
40
2 2 2
2
2
� �
� 	
�
�
h
h
h
h
 
Logo, a altura do edifício maior é 
igual a 40 m + 16 m = 56 m.
AC AB BC
AB
AB
AB
AB
2 2 2
2 2 2
2 2 2
50 40
50 40
900
30
� �
� �
� 	
�
�
Logo, a medida do lado AB é 
igual a 30 m. A área do terreno é, 
portanto:
A
b h
A
A
T
T
T
�
�
�
�
� �
�
2
40 30
2
1200
2
600
600
 
 
A área do terreno é 600 m2 
e a área da casa é igual a 
0,40 · 600 m2 = 240 m2 
16 m
30 m
50 m
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
3.
 D
ig
ita
l.
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
3.
 D
ig
ita
l.
400 m
500 m
Marcos
Pedro
B
D
A
E
F
C
10 Livro de atividades 
11. As medidas, em centímetros, dos menores lados de um triângulo retângulo são x e 12, e do maior 
lado é x + 4. Determine as medidas dos catetos e da hipotenusa desse triângulo.
d
d
d
d
2 2 2
2
2
1 2 1 6
1 44 2 56
4
2
�� � �� �
� �
�
�
, ,
, ,
Logo, a tábua deve ter 2 m.
12. Um fazendeiro está colocando um portão na entrada de 
sua propriedade. Para que fique bem rígido, é necessário 
colocar uma tábua na diagonal do portão. Qual deve ser o 
comprimento d dessa tábua?
Relações métricas no triângulo retângulo
13. Determine, nos triângulos retângulos a seguir, o valor de x.
a) 
8 cm
12 cm
x cm
b) 
x cm
9 cm
12 cm
15 cm
c a n
x
x
x
x
2
212 8
144 8
144
8
18
� �
� �
�
�
�
A hipotenusa do triângulo retângulo maior mede 18 cm.
h m n
n
n
n
a m n
a
a
2
212 9
144
9
16
9 16
25
� �
� �
�
�
� �
� �
�
c a n
x
x
x
2
2
2
25 16
400
20
� �
� �
�
�
Um dos catetos do triângulo 
retângulo maior mede 20 cm.
De acordo com essas informações, temos 
que:
• os catetos medem x cm e 12 cm;
• a hipotenusa mede (x + 4) cm.
Assim:
 
2 2 2
2 2
2 2
x 4 x 12
x 8x 16 x 144
x 8x x 144 16
8x 128
x 16
• A medida de um dos catetos é 16 cm, 
pois o outro mede 12 cm.
• Hipotenusa:
x + 4 = 16 + 4 = 20
A hipotenusa mede 20 cm.
x + 4
12
x
1,2 m
1,6 m
d
11 Matemática – 9o. ano – Volume 2
14. A figura a seguir representa um esquema da localização da casa onde Willian mora.
Com base na figura, determine
a) a distância (x) da casa de Willian à árvore;
x
x
x
x
x
2
2
2
96 54 54
150 54
8100
8100
90
� �� ��
� �
�
�
�
A distância da casa de Willian à árvore é 90 m.
z
z
z
z
z
2
2
2
96 54 96
150 96
14 400
14 400
120
� �� ��
� �
�
�
�
A distância da casa de Willian à caixa-d’água é 120 m.
y
y
y
y
2
2
96 54
5184
5184
72
� �
�
�
�
A distância da casa de Willian à estrada é 72 m.
b) a distância (z) da casa de Willian à caixa-d’água;
c) a distância (y) da casa de Willian à estrada.
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
3.
 D
ig
ita
l.
z
96 m 54 m
y
x
12 Livro de atividades 
15. Na representação ao lado, Juliana encontra-se no 
ponto A. Do outro lado da praça, há uma panifica-
dora. Para chegar a esse local, Juliana pode percorrer 
três caminhos diferentes: contornar a praça pela di-
reita ou pela esquerda ou, ainda, atravessá-la sempre 
usando a calçada e a passarela. Quantos metros tem 
cada um dos caminhos?
A representação da praça pode ser feita da seguinte maneira:
A
b
CB
36 m 64 m
7 m
c
h
Panificadora
Então:
h b c
h b c
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
36 64 64 48 36 48
2304 4096 2304 1 296 230
� � � � � �
� � � � � 44
48 6400 3600
80 60
2 2h b c
b c
� � �
� �
Portanto:
Contorno da praça por um dos lados: 80 m + 64 m = 144 m
Contorno da praça pelo outro lado: 60 m + 36 m = 96 m
Caminho pelo interior da praça: 48 m
Para cada um desses caminhos, devem-se acrescentar 7 m 
(comprimento da passarela usada para atravessar a rua e che-
gar à panificadora).
16. O triângulo ABC é retângulo em B. O segmento BD é a altura relativa a 
AC. Os segmentos AD e DC medem, respectivamente, 12 cm e 4 cm. O 
ponto E pertence ao lado BC, e é tal que BC = 4EC. Determine a medida 
de EC.
B
h
E
12 cm
4 cm
A C
D
h
h
h
2
2
12 4
48
4 3
� �
�
�
Logo, a altura relativa ao lado AC é igual 
a 4 3 cm.
Dessa forma, podemos encontrar a 
medida do lado BC usando o teorema 
de Pitágoras para o triângulo BDC:
BC
BC
BC
BC
2 2 2
2
4 3 4
48 16
64
8
� �
� �
�
�
( )
Como BC = 8 cm e BC = 4EC, temos 
que a medida de EC é igual a 2 cm.
17. Determine o perímetro e a área do triângulo a seguir.
h x y
h x y
h x y
h
2 2 2
2 2 2
2 4 5 6 5 2 6 5 4 5
9 13 29 25
9 13 29 25
� � � � � �
� � �
� � �
, , , ,
,
,
��3 3 6 5 4x y, ,
Perímetro: 6,5 dm + 5,4 dm + 3,6 dm = 15,5 dm
Área: 6 5 3
2
19 5
2
9 75
2
2, , ,
dm dm dm
dm
�
� �
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
3.
 D
ig
ita
l.
A
36 m 64 m 7 m
B
A C
D
E
2 dm
4,5 dm
y
x
h
13 Matemática – 9o. ano – Volume 2
18. Giovana está se programando para as festas de Natal e neste ano 
resolveu deixar a fachada de sua casa bem iluminada. Para isso, co-
locará luzes do tipo pisca-pisca no contorno do telhado que tem o 
formato de um triânguloretângulo isósceles, como mostra a figura.
Sabendo que cada caixa contém 3 m de pisca-pisca e custa R$ 13,00, 
quantos reais Giovana gastará para enfeitar a fachada da casa? 
Precisamos calcular o perímetro do triângulo retângulo, que é 
isósceles também. A medida do maior dos seus lados é dada 
por: a = 4,5 m + 4,5 m = 9 m. 
Resta encontrar o valor das outras medidas, que são iguais. 
Sendo x essa medida, temos:
x
x
x
x
2
2
9 4 5
40 5
40 5
6 4
� �
�
�
,
,
,
, 
Dessa forma, Giovana terá de comprar, aproximadamente, 
6,4 m + 6,4 m + 9 m = 21,8 m. Note que 7 caixas fornecem 
7 · 3 m = 21 m de pisca-pisca, ou seja, 7 caixas não são 
suficientes para enfeitar toda a fachada da casa, pois 
faltaria 21,8 m – 21 m = 0,8 m de material para completar a 
iluminação da fachada. Oito caixas fornecem 8 · 3 m = 24 m 
de pisca-pisca e ainda sobrariam 24 m – 21,8 m = 2,2 m para 
reforçar a iluminação. Assim, Giovana deve comprar 8 caixas 
de pisca-pisca, gastando ao todo 8 · R$ 13,00 = R$ 104,00.
Razões trigonométricas
19. Observe as medidas do triângulo retângulo ABC e determine:
a) sen B 
b) sen C 
4
5
3
5
20. Um observador vê uma torre de 40 m de altura sob um ângulo de 60°. Desprezando a altura do 
observador, determine a que distância aproximadamente ele se encontra da torre.
tg
CO
CA
tg
x
x
x
x
 
 
��
�
�
�
60
40
1 7321
40
1 7321 40
23 1
,
,
,
A distância é de aproximadamente 23,1 m.
c) cos B 
d) cos C 
3
5
4
5
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
3.
 D
ig
ita
l.
4,5 m 4,5 m
A
B
C
3
4
5
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
3.
 D
ig
ita
l.
60°
40 m
14 Livro de atividades 
21. Uma árvore, em determinada hora do dia, projeta uma sombra de 2,5 m. Sabendo que os raios sola-
res formam um ângulo de 55° com o solo, calcule a altura aproximada dessa árvore.
tg
x
tg
x
x
x
x
 
 
��
�
�
� �
�
2 5
55
2 5
1 4281
2 5
2 5 1 4281
3 57025
,
,
,
,
, ,
,
A altura aproximada dessa árvore é 3,57 m.
tg
x
x
x
x
 41
12
0 8693
12
12 0 8693
10 43
�
�
� �
,
,
,
Note que devemos acrescentar a esse valor 1,7 m da altura do 
observador. Dessa maneira, a altura h do prédio é 
h = 10,43 m + 1,7 m = 12,13 m.
sen
x
x
x
 32
3 6
0 5299
3 6
1 908
�
�
,
,
,
,
O avião se encontra a uma altura de aproximadamente 1,908 km ou 1 908 m do lago.
22. Observe a figura a seguir e determine a altura h do prédio.
23. Um avião decola do ponto A e percorre uma distância, em linha reta, de 3,6 km, quando passa sobre 
um lago (ponto B). Calcule a que altura se encontra o avião ao sobrevoar o lago.
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
3.
 D
ig
ita
l.
55°
2,5 m
1,7 m
12 m
41°
h
xJ
ac
k 
Ar
t. 
20
13
. D
ig
ita
l.
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
3.
 D
ig
ita
l.
3,6 km
32°
A B
C
x
15 Matemática – 9o. ano – Volume 2
24. A Estátua da Liberdade, cujo nome oficial é “A Liberdade Iluminando o Mundo”, é um monumento 
inaugurado em 28 de outubro de 1886, construído em uma ilha na entrada do porto de Nova Iorque. 
Anualmente, milhões de turistas vão conferir a beleza desse monumento. Em uma dessas visitas, 
um turista observou a Estátua da Liberdade sob um ângulo de 42°. Desprezando a altura do turista, 
determine a que distância da estátua ele se encontrava.
Considerando o triângulo retângulo BPC, temos:
sen
x
x
x
 30
40
0 5
40
20
�
�
�
,
A largura do rio é 20 m.
25. (FUVEST – SP) Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distantes 40 m um do outro. 
Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 75° e o 
ângulo ACB mede 75°. Determine a largura do rio.
a) 40 m X b) 20 m c) 20 3 m d) 30 m e) 25 m
26. Determine o valor aproximado de cada uma das expressões a seguir.
a) y
sen
tg
sen
tg
�
	 
�
� 
30 45
30
60 45
60
cos cos
b) z
tg sen tg
tg
�
	 
� 
� 
45 32 30
30 25cos
z
tg sen tg
tg
�
	 
� 
� 
�
	 � 
 
45 32 30
30 25
1 0 5299 0 5774
0 866cos
, ,
, 00 0 4663
1 0475
1 3323
0 7862
�
�
,
,
,
,
y
sen
tg
sen
tg
�
	 
�
� 
�
	
�
� 
 
 
 
30 45
30
60 45
60
1
2
2
2
3
3
1
2
2
cos cos 22
3
1 2
2
3
3
1 2
2
1
3
3 3 2 1 2
2 3
4 2 2
2 3
2 2
3
2 2
3
3
3
2 3 6
3
�
	
� �
�
� �
�
	 � �
�
	
�
	
�
	
� �
	
tg
x
x
x
x
 42
93
0 9004
93
0 9004 93
103 29
�
�
�
,
,
,
O turista se encontrava a aproximadamente 
103,29 m da estátua.
A B
C
40 m
x
40 m
75°
30°
75°
P
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
3.
 D
ig
ita
l.
16 Livro de atividades 
5
Plano cartesiano 
e funções
Plano cartesiano
O plano cartesiano é um sistema de localização de pontos usado em diversos contextos, como: elaboração 
de gráficos, planejamento de construções, plantas arquitetônicas, base para serviços de GPS, entre outros.
O plano cartesiano é determinado por duas retas perpendiculares, que chamamos de eixos cartesianos. O 
eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo x) e o vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).
Os eixos dividem o plano em quatro regiões, denominadas quadrantes.
Um ponto do plano cartesiano pode ser indicado por dois números, que chamamos de coordenadas.
No plano cartesiano abaixo, o ponto P é indicado por (4, –2). Isso significa que a abscissa (coordenada x) do 
ponto P é 4 e a ordenada (coordenada y) é –2.
0–1–2–3–4
–1
–2
–3
–4
4321
4
3
2
1
1º. quadrante2º. quadrante
3º. quadrante 4º. quadrante
y
x
5
–5
–5 5
0–1–2
–1
–2
4321
4
3
2
1
x
y
P
5
–3
5–3
17 Matemática – 9o. ano – Volume 2
Distância entre dois pontos
Em Geometria, a distância entre dois pontos é o comprimento da menor linha que liga esses pontos.
A
B
Entre as linhas que ligam os pontos A e B, a linha reta, em verde, é a de menor comprimento. Esse compri-
mento é a distância entre os pontos A e B, que vamos indicar por d(A, B).
Assim, a distância entre os pontos A e B, que será indicada por d(A, B) ou simplesmente por AB, é a medida 
do segmento de reta que tem os dois pontos como extremidades. Observe alguns pontos em um plano carte-
siano, identificados por suas coordenadas.
Como obter a distância entre dois pontos com a mesma abscissa ou com a mesma ordenada?
• Dois pontos com a mesma abscissa são extremidades de um segmento vertical. A distância entre eles é a 
diferença entre a maior e a menor ordenada.
• Dois pontos com a mesma ordenada são extremidades de um segmento horizontal. A distância entre eles é 
a diferença entre a maior e a menor abscissa.
Então, as distâncias entre os pontos destacados no plano cartesiano são:
• d(A, B) = 6 – 1 = 5
• d(C, D) = 7 – 3 = 4
• d(E, F) = 2 – (–1) = 3
• d(G, H) = 3 – (–2) = 5
• d(I, J) = 1 – (–3) = 4
• d(K, L) = 5 – 2 = 3
0
y
x
B (1, 1)
A (1, 6)
C (3, 5) D (7, 5)
E (6, 2)
F (6, –1)
G (–2, –2) H (3, –2)
I (–3, 7) J (1, 7)
L (–3, 2)
K (–3, 5)
18 Livro de atividades 
Para calcular a distância entre dois pontos do plano cartesiano que não estejam em uma mesma linha hori-
zontal nem vertical, podemos formar um triângulo retângulo e utilizar o teorema de Pitágoras.
y
yB
yA
A
B
xxA xB
d(A, C)
C
d(B, C)d(A, B)
0
d A B d A C d B C ( , ) ( , ) ( , )2 2 2� �
Ponto médio de um segmento de reta 
O ponto médio de um segmento é o ponto que divide o segmento ao meio.
A
M
B
AM BM
Dado um segmento de extremidades A x y ( , )1 1 e B x y ( , )2 2 , temos que:
• a abscissa x M do ponto médio do segmento AB é a média aritmética das abscissas dos pontos A e B, ou seja, 
x
x x
M �
�1 2
2
;
• a ordenada y M do ponto médio do segmento AB é a média aritmética das ordenadas dos pontos A e B, ou seja, 
y
y y
M �
�1 2
2
 .
Exemplo:
Determine o ponto médio do segmento cujas extremidades são os pontos A (2, –1) e B (1, 0). 
x
y
M
M
�
�
�
�
	 �
� 	
2 1
2
3
2
1 0
2
1
2
O ponto médio do segmento AB é M
3
2
1
2
, .	�
�
�
�
�
19 Matemática – 9o. ano – Volume 2
A ideia de função
Observe a questão a seguir.
(ENEM) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para 
montar figuras, onde cadalado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura 
depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está 
representada a seguir.
Figura I Figura II Figura III
Que expressão fornece a quantidade de quadrados de cada figura?
a) C = 4Q
b) C = 3Q + 1
c) C = 4Q + 1
d) C = Q + 3
e) C = 4Q – 2
Podemos observar que na figura I há 4 canudos e 1 quadrado, na figura II há 7 canudos e 2 quadrados e na 
figura III há 10 canudos e 3 quadrados. Na figura IV seriam colocados mais 3 canudos e essa figura teria, por-
tanto, 13 canudos e 4 quadrados. Dessa forma, é possível observar que a quantidade de canudos é o triplo da 
quantidade de quadrados mais 1. Logo, C = 3Q + 1 e a alternativa correta é a letra b.
Essa fórmula mostra como as variáveis C e Q estão relacionadas.
Com ela, fica fácil determinar a quantidade de canudos de qualquer figura. Por exemplo, a sétima figura 
tem 7 quadrados e, portanto, 3 1 227� � � canudos, enquanto a centésima sétima figura tem 107 quadrados e, 
portanto, 3 1 322107� � � canudos.
A quantidade de canudos está em função do número de quadrados da figura. Isso quer dizer que a quan-
tidade de canudos depende do número de quadrados da figura. Dizemos, portanto, que C é variável depen-
dente, enquanto Q é variável independente. A fórmula C = 3Q + 1 relaciona C e Q e é denominada lei de 
formação da função.
20 Livro de atividades 
Representação gráfica de uma função
Você já aprendeu a marcar pontos em um plano cartesiano 
e sabe que cada ponto tem duas coordenadas. Veremos agora 
como representar graficamente uma função. Para isso, vamos 
observar a situação a seguir.
Considere que Bianca esteja correndo a 12 km/h. Observe a 
tabela em que estão representados o tempo de corrida, em ho-
ras, e a distância percorrida, em quilômetros.
Tempo (h) Distância percorrida (km)
0 0
1 12
2 24
3 36
4 48
5 60
Podemos escrever a fórmula y x12 , que fornece a distância percorrida (y) em função do tempo corrido (x). 
Note que podemos usar essa fórmula para obter os mesmos pares de valores da tabela anterior.
x y = 12x (x, y)
0 y = 12 . 0 = 0 (0, 0)
1 y = 12 . 1 = 12 (1, 12)
2 y = 12 . 2 = 24 (2, 24)
3 y = 12 . 3 = 36 (3, 36)
4 y = 12 . 4 = 48 (4, 48)
5 y = 12 . 5 = 60 (5, 60)
Além desses pontos obtidos, existem muitos outros. Na 
verdade, outros infinitos pontos. O menor valor possível 
para x é 0, o qual indica que Bianca ainda não começou a 
correr. Quando Bianca começa sua corrida, a quantidade 
de quilômetros percorridos é diretamente proporcional ao 
tempo percorrido, se considerarmos que sua velocidade é 
constante.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/D
ax
ia
o 
Pr
od
uc
tio
ns
60
50
40
30
20
10
0 1 2 3 4 5 6 x
y
21 Matemática – 9o. ano – Volume 2
Atividades
2. Quais são os pontos que pertencem
a) ao primeiro quadrante? B e G. 
b) ao segundo quadrante? A e E. 
c) ao terceiro quadrante? C e H. 
d) ao quarto quadrante? D e F. 
3. Calcule a distância entre os seguintes pontos:
a) B e F; 3 – (–3) = 6 
b) E e C; 2 – (–2) = 4 
c) E e G; 4 – (–2) = 6 
d) A e D. 
4. O triângulo FEG é equilátero, isósceles ou escaleno? Justifique sua resposta.
Plano cartesiano
Observe o plano cartesiano a seguir, no qual alguns pontos foram marcados. Utilize-o para resolver 
as atividades de 1 a 4.
y
4
5
3
2
1
1–1
–1
–2
–2
–3
–3
2 3 4 5 x0
G
B
E
A
C
D
FH
1. Indique as coordenadas de cada ponto representado no plano.
g q q p
Precisamos encontrar cada uma das medidas dos lados do 
triângulo FEG. Para isso, podemos calcular as distâncias entre 
os pontos que representam seus vértices. Dessa maneira, 
temos:
d(E, F):
x
x
x
x
2 2 2
2
2
3 5
9 25
34
34
� �
� �
�
�
d(F, G):
x
x
x
x
2 2 2
2
2
3 5
9 25
34
34
� �
� �
�
�
d(G, E):
4 – (–2) = 6
Então, o triângulo FEG é isósceles, pois tem apenas dois lados 
com a mesma medida.
x 2 2 24 5� �
x 2 41�
x 2 16 25� �
• A (–3, 3) 
• B (1, 3) 
• C (–2, –2) 
• D (2, –1) 
• E (–2, 2) 
• F (1, –3) 
• G (4, 2) 
• H (–2 , –3) 
x 41�
22 Livro de atividades 
5. Represente, no plano cartesiano, os seguintes pontos:
A (–2, 3) B (3, –1) C (1, 4) D (–3, –2) E (–1, 3)
0–1–2–3–4
–1
–2
–3
4321
4
3
2
1
y
x
5
–5–6 65
A E
C
D
B
7
6. Represente, no plano cartesiano, os pontos indicados em cada 
item.
a) A (1, 1), B (1, 3), C (3, 3) e D (3, 1)
b) E (3, 4), F (4, 6) e G (5, 4)
c) H (4, 1), I (4, 3), J (7, 3) e K (7, 1)
Agora, ligue os pontos de modo que se formem os polígonos 
ABCD, EFG e HIJK. Como se denominam esses polígonos?
O polígono ABCD é um quadrado; o polígono EFG, um triângulo e o polígono HIJK, um retângulo.
7. Um quadrilátero foi construído sobre um plano cartesiano.
y
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 x–1
–1
a) Como se denomina esse quadrilátero? Trapézio retângulo. 
b) Quais são as coordenadas de seus vértices? (1, 0), (3, 3), (6, 3) e (6, 0). 
c) Qual é sua área?
A
b B h
A
A
A
�
�� ��
�
�� ��
�
�
�
2
3 5 3
2
8 3
2
12
A área é igual a 12 unidades de área (u. a.).
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 x
y
F
E G
I J
H K
CB
A D
23 Matemática – 9o. ano – Volume 2
8. Represente os pontos A (1, 2), B (–3, –1), C (1, –7), D (2, –6) e E (4, –2) no plano cartesiano e ligue-os 
para formar o polígono ABCDE.
y
x
3
2
1
A
B
C
D
E
–3 –2 –1 1 2 3 4
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
0
Escreva o nome do polígono formado. Pentágono. 
9. Em um sistema cartesiano, os pontos A (–1, 0), B (3, 0) e C (0, 3) 
correspondem aos vértices de um polígono.
a) Represente esse polígono no plano cartesiano.
b) Qual é o nome do polígono representado?
Triângulo.
c) Qual é a área desse polígono?
 A área do triângulo é de 6 unidades de área (u. a.).
b h�
�
2
4 3
2
12
2
6
10. Os pontos A (–1, –2) e C (4, 3) são vértices não consecutivos de um 
quadrado ABCD. Represente-os no plano cartesiano e faça o que se 
pede.
a) Represente o quadrado ABCD no sistema cartesiano ao lado.
b) Determine os pares ordenados dos outros dois vértices (B e D).
B (4, –2) e D (–1, 3) ou B (–1, 3) e D (4, –2).
c) Calcule o perímetro desse quadrado.
Como a medida dos lados é igual a 5, o perímetro é 4 · 5 = 20.
d) Determine a sua área.
Área = 5 · 5 = 25
A
C
B
y
x
3
2
1
1 2 3
–1
–2
–3 –2 –1 0
–3
4
y
x
3
2
1
1 2 3
–1
–2
–1 0 4 5
C
A
24 Livro de atividades 
Precisamos encontrar cada uma das medidas dos lados do triân-
gulo ABC. Para isso, podemos calcular as distâncias entre os pon-
tos que representam seus vértices. Dessa maneira, temos:
d A B d B C d
x x
x
 ( , ) : ( , ) : (C, A) :
2 2 2 2 2 2
2
2 4 2 4 3 1 4
4 16
� � � � 	 	� ��
� � xx
x x
x x
x x
2
2 2
4 16
20 20
20 20
2 5 2 5
� �
� �
� �
� �
Então, o triângulo ABC tem dois lados com a mesma medida. 
Logo, ele é isósceles.
13. Represente, no plano cartesiano, os pontos 
A (0, 3), B (–2, 0), C (0, –3) e D (2, 0).
y
x
3
2
1
1 2 3
–1
–2
–3 –2 –1 0
–3
A
C
B D
a) Ligue os seguintes pontos: A com B, B com C, 
C com D e D com A. Como se denomina o 
quadrilátero formado? Losango. 
b) Determine a área do quadrilátero repre-
sentado no plano cartesiano.
A
d D
A
A
A
�
�
�
�
�
�
2
4 6
2
24
2
12
A área é igual a 12 unidades de área (u. a.).
11. Os pontos A (2, 3), B (5, 3), C (7, 1) e D (0, 1) 
são vértices de um quadrilátero.
y
x
3
2
1
1 2 3
–1
–1 0 4 5 6 7
4
A B
D C
a) Represente esse polígono no plano carte-
siano.
b) Como se denomina esse quadrilátero? 
Trapézio isósceles.
c) Qual é a área dele?
A
b B h
A
A
A
�
�� ��
�
�� ��
�
�
�
2
3 7 2
2
10 2
2
10
A área é igual a 10 unidades de área (u. a.).
12. No sistema de coordenadas a seguir, dese-
nhe o triângulo ABC, de vértices A (–1, 1), 
B (1, 5) e C (3, 1). Em seguida, calcule a medi-
da de cada um dos seus lados e classifique o 
triângulo quanto a essas medidas.
y
x
3
2
1
1 2 3
–1
5
–3 –2 –1 0
4
–4 4
A
B
C
25 Matemática – 9o. ano – Volume 2
14. (ENEM)A leitura do poema Descrição da guerra em Guernica traz à lembrança o famoso quadro de 
Picasso.
Entra pela janela
o anjo camponês;
com a terceira luz na mão;
minucioso, habituado
aos interiores de cereal,
aos utensílios que dormem na fuligem;
os seus olhos rurais
não compreendem bem os símbolos
desta colheita: hélices,
motores furiosos;
e estende mais o braço; planta
no ar, como uma árvore
a chama do candeeiro.
[...]
OLIVEIRA, Carlos de. Descrição da guerra em Guernica. In: ANDRADE, Eugénio. 
Antologia pessoal da poesia portuguesa. Porto: Campo das Letras, 1999.
Uma análise cuidadosa do quadro permite que se identifiquem as cenas referidas nos trechos do 
poema.
a b c d e f
1
2
3
a b c d e f
1
2
3
PICASSO, Pablo. Guernica. 1937. Museu Nacional Centro de Arte Reina Sofia, Madri.
Podem ser relacionadas ao texto lido as partes:
a) a1, a2, a3
b) f1, e1, d1
X c) e1, d1, c1
d) c1, c2, c3
e) e1, e2, e3
O quadrante e1 mostra o rosto que entra no cenário e sua perplexidade; d1 enfoca o braço estendido; c1 
mostra o candeeiro penetrando, com sua luz, o espaço da confusão, o terror que vem do céu e o pesadelo 
humano na Terra. Nenhuma das demais alternativas inclui o quadrante do anjo escondido, excetuando a 
alternativa e, que, no entanto, não deve ser assinalada por incluir também outras cenas do painel de Picasso.
©
M
us
eu
 N
ac
io
na
l C
en
tro
 d
e 
Ar
te
 M
od
er
na
 e
 C
on
te
m
po
râ
ne
a 
Re
in
a 
So
fia
26 Livro de atividades 
A ideia de função
15. O hotel Ilha Bonita tem a seguinte tabela de preços:
Número de noites Preço (R$)
1 80,00
2 130,00
3 180,00
4 230,00
a) Se Cristina passasse 5 noites no hotel Ilha Bonita, quanto ela gastaria? E se passasse 6 noites, qual 
seria o valor a ser pago?
O valor para uma noite é igual a R$ 80,00. Depois, a cada dia que se passa, o valor a ser pago aumenta em R$ 50,00:
2 noites: R$ 80,00 + R$ 50,00 = R$ 130,00
3 noites: R$ 130,00 + R$ 50,00 = R$ 180,00
4 noites: R$ 180,00 + R$ 50,00 = R$ 230,00
Dessa maneira, se Cristina passasse 5 noites no hotel, gastaria R$ 230,00 + R$ 50,00 = R$ 280,00.
Da mesma forma, se Cristina passasse 6 noites no hotel, gastaria R$ 280,00 + R$ 50,00 = R$ 330,00.
b) Qual é a função que relaciona o valor total a ser pago com o número de noites de hospedagem?
Para 1 noite, o valor é igual a R$ 80,00, que pode ser escrito como R$ 30,00 + R$ 50,00.
Para 2 noites, o valor é igual a R$ 130,00, que pode ser escrito como R$ 30,00 + R$ 50,00 + R$ 50,00.
Para 3 noites, o valor é igual a R$ 180,00, que pode ser escrito como R$ 30,00 + R$ 50,00 + R$ 50,00 + R$ 50,00.
Dessa forma, a função que relaciona o valor total a ser pago (y) com o número de noites de hospedagem (que chamaremos de 
x) pode ser escrita como y = 30 + 50x.
c) Se Cristina pagou R$ 630,00 pela estadia nesse hotel, quantas noites ela ficou hospedada?
630 = 30 + 50x
600 = 50x
x = 12
Se pagou R$ 630,00, Cristina ficou hospedada 12 noites.
27 Matemática – 9o. ano – Volume 2
a) y = 2x – 3
b) y = –2x + 3
X c) y = 1,5x + 3
d) y = –1,5x + 3
e) y = 1,5x – 3
18. O lucro (L) mensal de uma empresa é dado 
pela receita (R) gerada com as vendas no 
mês menos o custo (C) de produção. O cus-
to total mensal consiste em um valor fixo de 
R$ 5.200,00 somado ao custo de R$ 80,00 por 
unidade produzida.
Cada unidade é vendida por R$ 140,00.
a) Determine as funções custo, receita e lucro.
• Custo: 
C = 5 200 + 80x
• Receita: 
R = 140x
• Lucro: 
L = 140x – (5 200 + 80x)
L = 140x – 5 200 – 80x
L = 60x – 5 200
b) Se forem vendidas 100 unidades, a empre-
sa terá lucro ou prejuízo? Justifique sua res-
posta por meio de cálculos.
L = 60x – 5 200
L = 60 · 100 – 5 200
L = 6 000 – 5 200
L = 800
A empresa terá lucro de R$ 800,00.
d) Marque no gráfico os pontos que relacio-
nam o número de noites no hotel com o 
preço a ser pago pela estadia.
400
300
200
100
0 1 2 3 4 x
y
5 6
16. De acordo com cada tabela, escreva a função 
que representa y em função de x.
a) x 1 2 3 4
y 3 4 5 6
y = x + 2
b) x 0 1 2 3
y 0 3 6 9
y = 3x
c) x 3 4 5 6
y 5 7 9 11
y = 2x – 1
d) x –2 1 3 4
y –4 2 6 8
y = 2x
17. Qual das funções a seguir é representada pelo 
gráfico?
y
x
3
–2
Precisamos encontrar uma função 
tal que y = 3 para x = 0 e y = 0 para 
x = –2. A função representada no 
gráfico é, portanto, y = 1,5x + 3.
28 Livro de atividades 
21. O fêmur é o osso localizado na coxa do ser 
humano, entre o quadril e o joelho. É o osso 
mais longo, volumoso e resistente do nosso 
corpo. Considere que a altura h, em centíme-
tros, de uma pessoa varia conforme o tama-
nho f do seu fêmur, também em centímetros, 
de acordo com a seguinte relação:
h = 69,084 + 2,238f
Após os 30 anos, deve-se subtrair da resposta 
encontrada 0,06 cm para cada ano que ultra-
passar essa idade. Calcule a altura estimada, 
em metros, de uma pessoa de 46 anos cujo 
fêmur mede 46 cm.
h = 69,084 + 2,238f
h = 69,084 + 2,238 · 46
h = 172,032
Como a pessoa passou dos 30 anos, devemos subtrair 
de 1 72,032 cm 0,06 cm para cada ano passado após essa 
idade:
46 anos – 30 anos = 16 anos
16 · 0,06 cm = 0,96 cm
172,032 cm – 0,96 cm = 171,072 cm 1,71 m
A altura estimada dessa pessoa é, aproximadamente, 
1,71 m.
22. Para visitar um parque com cachoeiras, a tarifa 
paga pelos turistas, que é de R$ 5,00 por pes-
soa, ficará R$  1,50 mais cara. Também serão 
cobrados R$ 3,00 por pessoa pelo transporte 
interno. Sabendo que a arrecadação (A) está 
em função do número de turistas (t), escreva 
a expressão que representa a arrecadação des-
se parque após o reajuste.
Após o reajuste, a tarifa por pessoa será de 
R$ 5,00 + R$ 1,50 + R$ 3,00 = R$ 9,50. Dessa forma, a 
arrecadação do parque é dada por A = 9,50 · t, em que t é 
o número de turistas.
19. Considere a função y = 51x + 17. Determine o 
valor da função para 
a) x = 1;
b) x = 2;
c) x = 3;
d) x = 4.
a) y = 51 · 1 + 17 = 51 + 17 = 68
b) y = 51 · 2 + 17 = 102 + 17 = 119
c) y = 51 · 3 + 17 = 153 + 17 = 170
d) y = 51 · 4 + 17 = 204 + 17 = 221
20. O salário bruto mensal de um vendedor é 
composto de uma parcela fixa de R$ 500,00 
adicionada a 4% do total de suas vendas.
a) Escreva a função que possibilita calcular o 
salário mensal desse vendedor.
s = 500 + 0,04v, sendo v o valor total de vendas e s o
salário recebido.
b) Em janeiro, ele vendeu R$ 15.200,00 em 
roupas. Qual o valor do seu salário ao final 
desse mês?
s = 500 + 0,04v = 500 + 0,04 ⋅ 15 200 = 1 108
O seu salário foi R$ 1.108,00.
c) Em fevereiro, seu salário foi R$ 1.236,00. 
Quanto, em dinheiro, ele vendeu nesse 
mês?
s = 500 + 0,04v
1 236 = 500 + 0,04v
0,04v = 1 236 – 500
0,04v = 736
v = 18 400
Ele vendeu nesse mês um total de R$ 18.400,00.
29 Matemática – 9o. ano – Volume 2
6
 Probabilidade
Probabilidade da união de dois eventos 
Considere as notações a seguir para probabilidade.
P(A): probabilidade de ocorrer o evento A;
P(B): probabilidade de ocorrer o evento B;
P(A ou B): probabilidade de ocorrer o evento A ou B;
P(A e B): probabilidade de ocorrer o evento A e B.
Para determinar a probabilidade de ocorrer o evento A ou B, poderíamos pensar inicialmente em somar 
P(A) e P(B). No entanto, como pode existir um elemento comum (poderia haver mais) aos dois eventos, ele seria 
contado duas vezes. Desse modo, precisamos subtrair daquela soma a probabilidade de o elemento pertencer 
a ambos os eventos, ou seja, ao evento A e B. Assim:
Probabilidade de Probabilidade deProbabilidade da Probabilidade de ocorrerem 
ocorrer A ocorrer Bunião os dois eventos 
simultaneamente
P(A B) P(A) P(B) P(A B)ou e
A probabilidade de ocorrer o evento A ou B é igual à 
probabilidade de ocorrer o evento A mais a probabili-
dade de ocorrer o evento B menos a probabilidade de 
ocorrer o evento A e B.
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )ou e� � 	
Quando dois eventos A e B não têm elementos em 
comum, temos que P(A e B) = 0. Assim, a probabili-
dade de ocorrer o evento A ou B é igual à probabili-
dade de ocorrer o evento A mais a probabilidade de 
ocorrer o evento B.
P(Aou B) = P(A) + P(B)
Probabilidade condicional 
Considere dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral.
A probabilidade de ocorrer o evento B, sabendo que o evento A 
ocorreu, é indicada por P(B | A) e calculada assim:
número de elementos do evento A B
P(B | A)
número de elementos do evento A 
e
30 Livro de atividades 
Atividades
Probabilidade de eventos independentes 
Quando a ocorrência de um evento não interfere na probabilidade de ocorrência de outro, dizemos que 
esses eventos são independentes.
Se A e B são eventos independentes, a probabilidade de ocorrer o evento A e B é 
igual ao produto entre a probabilidade de ocorrer A e a probabilidade de ocorrer B.
P A B P A P B( ) ( ) ( )e � �
Caso P(A e B) seja diferente de P A P B( ) ( ), os eventos A e B são dependentes.
Probabilidade da união de dois eventos
1. Em uma urna existem 15 bolas numeradas de 1 a 15. Retirando uma bola ao acaso, qual a probabili-
dade de ser um número par ou múltiplo de 3?
Seja A o evento “ser um número par” e B o evento “ser um múl-
tiplo de 3”. Então, os elementos de cada um desses eventos são:
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
B = {3, 6, 9, 12, 15}
A e B = {6, 12}
Dessa forma:
P A ou B P A P B P A e B
P A ou B
P A ou B
P A o
� � � � �� � �	 � �
� � � � 	
� � �
7
15
5
15
2
15
10
15
uu B� � � 2
3
2. Considere uma caixa com 100 bolas. Dessas,
• 40 bolas são azuis e estão numeradas de 1 a 40;
• 35 bolas são verdes e estão numeradas de 1 a 35;
• 25 bolas são amarelas e estão numeradas de 1 a 25.
Retirando ao acaso uma bola da caixa, qual é a probabilidade de a bola ser verde ou que tenha um 
número ímpar?
O espaço amostral do problema é composto de 100 elementos.
Seja A o evento “a bola é verde”. O número de elementos desse 
evento é 35.
Seja B o evento “a bola tem um número ímpar”. O número de 
elementos desse evento é 20 + 18 + 13 = 51 (pois de 1 a 40 há 
20 números ímpares, de 1 a 35 há 18 números ímpares e de 1 a 
25 há 13 números ímpares).
O número de elementos do evento A e B é 18, que é a quantidade 
de bolas verdes com um número ímpar. Dessa forma:
P A ou B P A P B P A e B
P A ou B
P A ou B
� � � � �� � �	 � �
� � � � 	
� � �
35
100
51
100
18
100
688
100
68P A ou B� � � %
31 Matemática – 9o. ano – Volume 2
3. Sabe-se que a probabilidade de um evento A ocorrer é 0,7 e que a probabilidade de um evento B 
ocorrer é 0,4. Sabe-se também que a probabilidade de os dois eventos ocorrerem simultaneamente 
é 0,28. Qual é a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B?
P A ou B P A P B P A e B
P A ou B
P A ou B
� � � � �� � �	 � �
� � � � 	
� � � 	
0 7 0 4 0 28
1 1 0
, , ,
, ,228
0 82P A ou B� � � ,
Logo, a probabilidade de ocorrer um dos dois eventos é igual a 82%.
4. Sabe-se que a probabilidade de um evento A ocorrer é X e que a probabilidade de um evento B 
ocorrer é o dobro da probabilidade de A ocorrer. Sabe-se também que os eventos A e B não têm 
elementos em comum, ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento A e ocorrer o evento B é nula. 
Por fim, tem-se que a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é de 30%. Dessa forma, 
encontre a probabilidade de ocorrer o evento B.
Temos que P A ou B P A P B P A e B� � � � �� � �	 � � , onde:
P A X
P B 2X
P A e B 0 (não têm elementos em comum)
P A ou B 30%
Dessa maneira:
30 2 0
30 3
10
%
%
%
� � 	
�
�
X X
X
X
Portanto, a probabilidade de ocorrer o evento B é 
2 . 10% =20%.
5. (UEL – PR) De um total de 500 estudantes da área de exatas, 200 estudam Cálculo Diferencial e 
180 estudam Álgebra Linear. Esses dados incluem 130 estudantes que estudam ambas as disciplinas. 
Qual é a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente esteja estudando Cálculo 
Diferencial ou Álgebra Linear?
a) 0,26 X b) 0,50 c) 0,62 d) 0,76 e) 0,80
Seja A o evento “estuda Cálculo Diferencial” e B o evento 
“estuda Álgebra Linear”. Seja também A e B o evento “estuda 
Cálculo Diferencial e Álgebra Linear”. Dessa forma, temos:
P A ou B P A P B P A e B
P A ou B
P A ou B
� � � � �� � �	 � �
� � � � 	
�
200
500
180
500
130
500
�� �
� � �
� � �
250
500
1
2
0 5
P A ou B
P A ou B ,
32 Livro de atividades 
7. (UFSCAR – SP) A tabela indica as apostas feitas por cinco amigos em relação ao resultado decorren-
te do lançamento de um dado, cuja planificação está indicada na figura.
Ana Face branca ou número par
Bruna Face branca ou número 5
Carlos Face preta ou número menor que 2
Diego Face preta ou número maior que 2
Érica Face branca ou número menor que 4
Se trocarmos o conectivo “ou” pelo conectivo “e” na aposta de cada um, o jogador que terá maior 
redução nas suas chances de acertar o resultado, em decorrência dessa troca, será
a) Ana.
b) Bruna.
c) Carlos.
X d) Diego.
e) Érica.
6. Alguns jogos utilizam dados não convencionais que têm a forma de po-
liedros, como este indicado ao lado, com 20 faces numeradas de 1 a 20.
Considere que esse dado será lançado uma única vez e que todas as 
faces têm a mesma chance de sair. Agora, considere os eventos a seguir.
• evento A: o resultado é um número maior do que 10;
• evento B: o resultado é um número múltiplo de 4.
a) Calcule P(A) e P(B). b) Qual a probabilidade de o resultado ser 
um número maior do que 10 ou múltiplo 
de 4?
A = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
O evento A tem 10 elementos. Então:
P A
P A
( )
( ) , %
10
20
0 5 50
B = {4, 8, 12, 16, 20}
O evento B tem 5 elementos. Então:
P B
P B
( )
( ) , %
5
20
0 25 25
A probabilidade de o número ser maior do que 10 e 
ser múltiplo de 4 é P A e B( )
3
20
. Dessa forma:
P A ou B P A P B P A e B
P A ou B
P A ou B
P
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
(
� � 	
� � 	
�
10
20
5
20
3
20
12
20
AA ou B) , %� � �
3
5
0 6 60
Montando uma tabela com as apostas de cada um dos 5 amigos para os conectivos “ou” e “e”, temos:
“ou” “e” Redução das chances de acertar
Ana 2, 3, 4, 5, 6 2, 6
5
6
2
6
3
6
	 �
Bruna 2, 3, 5, 6 5 4
6
1
6
3
6
	 �
Carlos 1, 4 1 2
6
1
6
1
6
	 �
Diego 1, 3, 4, 5, 6 4 5
6
1
6
4
6
	 �
Érica 1, 2, 3, 5, 6 2, 3 5
6
2
6
3
6
	 �
Pela análise da tabela, podemos observar que Diego teve a maior redução entre os 5 amigos.
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/A
le
xL
M
X
33 Matemática – 9o. ano – Volume 2
Probabilidade condicional
8. Observe a tabela a seguinte, que contém as formações acadêmicas por sexo dos funcionários de 
uma empresa de construções civis.
Masculino Feminino Total
Engenharia Civil (C) 25 35 60
Engenharia Elétrica (E) 32 18 50
Arquitetura e Urbanismo (A) 30 20 50
Total 87 73 160
Um desses funcionários é selecionado ao acaso.
Considere os seguintes eventos:
C = {o funcionário selecionado é engenheiro civil}
E = {o funcionário selecionado é engenheiro eletricista}
A = {o funcionário selecionado é arquiteto e urbanista}
M = {o funcionário ser do sexo masculino}
F = {o funcionário ser do sexo feminino}
Agora, calcule:
a) P(M | A)
P M A
P M A
|
| , %
� ��
� �� �
30
50
0 6 60
c) P(F | E) 
P F E
P
|
F|E , %
� ��
� �� �
18
50
0 36 36
b) P(A | M)
P A M
P
|
A|M , %
� ��
� � �
30
87
0 34 34
d) P(C | F)
P C
P
|F
C|F , %
� ��
� � �
35
73
0 48 48
9. Sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral. Podemos afirmar que P(A | B) = P (B | A)?
Não necessariamente. Em geral, P(A | B) e P(B | A) são diferentes. Isso fica visível nos itens a e b da atividade anterior, nos quais 
observamos que P(M | A) = 60% e P(A | M) 34%.
34 Livro de atividades 
10. Uma urna contém 5 bolas rosa, 3 bolas azuis e 2 bolas verdes. São retiradas aleatoriamente duas bolas 
de forma sucessiva e sem reposição.
a) Qual a probabilidade de a primeira bola 
ser azul e a segunda ser rosa?
Sejam os eventos:
A1 = {a primeira bola é azul}
R2 = {a segunda bola é rosa}
P A e R P A P R A
P A e R
P A e R
P A e R
1 2 1 2 1
1 2
1 2
1 2
3
10
5
9
15
90
� � � � �� � �
� � � �
� � �
�
|
�� � 1
6
Então, a probabilidade de a 
primeira bola ser azul é de 3
10
, 
pois, das 10 bolas da urna, 
3 são azuis. Nomomento 
da segunda retirada, a urna 
contém 9 bolas, das quais 5 
são rosa. Assim, a probabili-
dade de a segunda bola ser 
rosa condicionada ao fato de 
a primeira ter sido azul é 5
9
. 
Desse modo, a probalidade de 
a primeira bola ser azul e a se-
gunda ser rosa é 1
6
.
b) Qual é a probabilidade de que as duas bo-
las sejam rosa?
A probabilidade P de que as duas bolas sejam rosa é:
P P R e R
P P R P R R
P
P
�
� �
� �
� �
( )
( ) ( | )
1 2
1 2 1
5
10
4
9
20
90
2
9
11. (UNESP – SP) O sangue humano está classificado em quatro grupos distintos: A, B, AB e O. 
Além disso, o sangue de uma pessoa pode possuir, ou não, o fator Rhésus. Se o sangue de uma 
pessoa possui esse fator, diz-se que a pessoa pertence ao grupo sanguíneo Rhésus positivo (Rh+) 
e, se não possui esse fator, diz-se Rhésus negativo (Rh–). Numa pesquisa, 1 000 pessoas foram 
classificadas, segundo grupo sanguíneo e respectivo fator Rhésus, de acordo com a tabela.
A B AB O
Rh+ 390 60 50 350
Rh– 70 20 10 50
Dentre as 1 000 pessoas pesquisadas, escolhida uma ao acaso, determine
a) a probabilidade de seu grupo sanguíneo não ser A. Determine também a probabilidade de seu 
grupo sanguíneo ser B ou Rh+.
Em um espaço amostral de 1 000 pessoas e de acordo com a 
tabela, temos que a probabilidade de o tipo sanguíneo não 
ser A é dada por:
P não ser A P B P AB P O
60 20 50 10 350 50
P não ser A
1 000 1 000 1000
540 54
P não ser A 54%
1 000 100
P B ou Rh P B P Rh P B e Rh
P B ou Rh
� � �
�
� �� � �� � �	 � �
� �� � � � �60 20
1 000
390 60
 
550 350
1 000
60
1 000
870
1000
87
100
87
�
	
� �� � ��
 
P B ou Rh %
b) a probabilidade de seu grupo sanguíneo ser AB e Rh–. Determine também a probabilidade con-
dicional de ser AB ou O, sabendo-se que a pessoa escolhida é Rh–.
P AB e Rh
AB ou O Rh
	
	
� � � � �
� � � � � � �
10
1 000
1
100
1
10 50
150
60
150
0 4 4
 
%
P | , 00%
35 Matemática – 9o. ano – Volume 2
Probabilidade de eventos independentes
12. Dois jogadores de basquete estão treinando arremessos a longa distância. A probabilidade de o 
primeiro jogador acertar a cesta é igual a 
2
3
 e a probabilidade de o segundo jogador acertar é 3
4
. 
Calcule a probabilidade de ambos acertarem a cesta.
Temos um caso de probabilidade de eventos independentes, pois a ocorrência de um não altera a probabilidade de ocorrência do 
outro. Dessa forma:
P A e B P A P B
P A e B
P A e B
� � � � �� � �
� � � �
� � � � �
2
3
3
4
6
12
1
2
50%
13. Em uma caixa, há 15 bolas brancas e 20 bolas pretas. Uma garota sorteia uma bola, observa sua cor 
e a coloca novamente na caixa. Em seguida, retira outra bola e faz o mesmo procedimento. Qual é a 
probabilidade de a primeira bola ser branca e a segunda ser preta?
Há 35 bolas nessa caixa. Como os eventos são independentes, a probabilidade de ser sorteada uma bola branca na primeira retirada 
e uma bola preta na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada uma das condições. Então, a probabilidade de 
ser sorteada uma bola branca é dada por 
15
35
 e a probabilidade de ser sorteada uma bola preta é 
20
35
. Logo, a probabilidade pedida 
é dada por 15
35
20
35
300
1 225
24� �
 
%.
14. (ENEM) Uma loja acompanhou o número de 
compradores de dois produtos, A e B, durante os meses 
de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve 
este gráfico:
A loja sorteará um brinde entre os compradores do 
produto A e outro brinde entre os compradores 
do produto B. Qual a probabilidade de que os dois 
sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 
2012?
X a) 
1
20
 b) 
3
242
c) 
5
22
d) 
6
25
e) 
7
15
A probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem 
simultaneamente é calculada por meio do produto das 
probabilidades de cada um ocorrer separadamente. A 
probabilidade de o ganhador do sorteio dos compradores do 
produto A ter realizado a compra no mês de fevereiro é de 
30
100
, pois 30 fizeram a compra em fevereiro em um total de 
10 + 30 + 60 = 100 compradores. Já a probabilidade para o 
produto B é de 20
120
, pois 20 compraram em fevereiro em um 
total de 20 + 20 + 80 = 120 compradores. Assim, a probabilidade 
pedida é 30
100
20
120
3
10
1
6
3
60
1
20
� � � � � .
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
Janeiro Fevereiro Março
10
20
30
20
60
80
A
B
Nú
m
er
o 
de
 c
om
pr
ad
or
es
36 Livro de atividades 
Não. Vamos encontrar os valores para P(A), P(C) e P(A e C):
P A P C� � � � � � � �6
36
1
6
6
36
1
6
;
Temos que P A e C� �� �0
36
0, pois não existe a possibilidade de 7 ser resultado da soma de dois números iguais. 
Como P A P C P A e C� �� � �� � � � � �1
6
1
6
1
36
, os eventos são dependentes.
Sim. Vamos encontrar os valores para P(A), P(B) e P(A e B):
P A P B� � � � � � � �6
36
1
6
18
36
1
2
;
Temos que P A e B� � � �3
36
1
12
, pois os resultados favoráveis para esse caso são os pares (2, 5), (4, 3) e (6, 1).
Como P A P B� �� � � � � �1
6
1
2
1
12
, temos que P(A) · P(B) = P(A e B) e, portanto, os eventos são independentes.
15. (ENEM) Uma aluna estuda numa turma de 40 alunos. Em um dia, essa turma foi dividida em três salas, 
A, B e C, de acordo com a capacidade das salas. Na sala A ficaram 10 alunos, na B, outros 12 alunos 
e na C, 18 alunos. Será feito um sorteio no qual, primeiro, será sorteada uma sala e, posteriormente, 
será sorteado um aluno dessa sala. Qual é a probabilidade de aquela aluna específica ser sorteada, 
sabendo que ela está na sala C?
a) 
1
3
b) 
1
18
c) 
1
40
X d) 
1
54
e) 
7
18
A probabilidade de a aluna ser sorteada, sabendo que está na sala C, é dada por 1
3
1
18
1
54
� � .
16. Vamos considerar o lançamento de dois dados, um 
verde e outro azul, e a soma dos números das faces 
voltadas para cima desses dados.
Considere também os eventos:
A = {a soma obtida é 7}
B = {o número no dado verde é par}
C = {os números dos dois dados são iguais}
a) Os eventos A e B são independentes? Justifique sua resposta com base em cálculos matemáticos.
b) Os eventos A e C são independentes? Justifique sua resposta com base em cálculos matemáticos.
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12