SE 2019 - Aula 33 - Geometria Analítica II

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Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 
 1 
 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 33 – Geometria Analítica II 
 
1. (Cesgranrio) A equação da reta que contém o ponto A (1, 2) e é 
perpendicular à reta y=2x+3 é: 
a) x + 2y - 5 = 0 
b) 2x + y = 0 
c) 2x + y - 4 = 0 
d) x - 2y + 3 = 0 
e) x + 3y - 7 = 0 
 
2. (Cesgranrio) As retas x + ay - 3 = 0 e 2x - y + 5 = 0 são paralelas, se a 
vale: 
a) - 2 
b) - 0,5 
c) 0,5 
d) 2 
e) 8 
 
3. (Unirio) 
 
A equação geral da reta anterior representada é: 
a) 3x - 3 y + 6 = 0 
b) 3x + 3 y + 6 = 0 
c) 3 x - y - 2 = 0 
d) y = 3 x + 2 3 
e) y = 
3
3
(x+2) 
 
4. (Uemg 2018) Com o sistema de coordenadas da Geometria Analítica, é 
possível obter a interpretação algébrica de problemas geométricos. Por 
exemplo, sabendo-se que as retas r e s são perpendiculares, conhecendo a 
equação da reta r dada por x y 1 0+ − = e sabendo que o ponto 
P( 3, 2)− pertence à reta s, é possível encontrar o ponto Q, simétrico de 
P em relação à reta r. Nesse caso, o ponto Q é dado por 
a) 
(1, 3).
 
b) ( 1, 3).− 
c) (1, 4). 
d) ( 1, 4).− 
 
5. (Fgv 2018) Sejam m e n números reais e 
3x my n
x 2y 1
+ =

+ =
 um sistema 
de equações nas incógnitas x e y. A respeito da representação geométrica 
desse sistema no plano cartesiano, é correto afirmar que, necessariamente, é 
formada por duas retas 
a) paralelas distintas, se m 6= e n 3. 
b) paralelas coincidentes, se m 6= e n 3. 
c) paralelas distintas, se m 6.= 
d) paralelas coincidentes, se n 3.= 
e) concorrentes, se m 0. 
 
6. (Enem 2018) Para criar um logotipo, um profissional da área de design 
gráfico deseja construí-lo utilizando o conjunto de pontos do plano na forma 
de um triângulo, exatamente como mostra a imagem. 
 
 
 
Para construir tal imagem utilizando uma ferramenta gráfica, será necessário 
escrever algebricamente o conjunto que representa os pontos desse gráfico. 
 
Esse conjunto é dado pelos pares ordenados (x; y) ,  tais que 
a) 0 x y 10   
b) 0 y x 10   
c) 0 x 10, 0 y 10    
d) 0 x y 10 +  
e) 0 x y 20 +  
 
7. (Uerj 2018) No projeto de construção de uma estrada retilínea entre duas 
vilas, foi escolhido um sistema referencial cartesiano em que os centros das 
vilas estão nos pontos A(1, 2) e B(11, 7). O trecho AB é atravessado 
por um rio que tem seu curso em linha reta, cuja equação, nesse sistema, é 
x 3y 17.+ = Observe abaixo o esboço do projeto. 
 
 
 
Desprezando as larguras da estrada e do rio, determine as coordenadas do 
ponto de interseção I. 
 
 
8. (Ufjf-pism 3 2018) Considere as retas y 5x 8= + e y 5x 8.= − + É 
CORRETO afirmar que: 
a) As retas são paralelas. 
b) As retas são perpendiculares. 
c) O ponto (4, 28) não pertence a nenhuma das duas retas. 
d) O ponto (1,10) pertence a pelo menos uma das duas retas. 
e) As retas possuem um ponto em comum. 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
9. (Enem PPL 2018) Uma indústria automobilística está testando um novo 
modelo de carro. Cinquenta litros de combustível são colocados no tanque 
desse carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível 
tenha sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado 
desse teste, no qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no 
eixo y (vertical), e a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo 
x (horizontal). 
 
 
 
A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e 
a distância percorrida pelo automóvel é 
a) y 10x 500= − + b) 
x
y 50
10
−
= + c) 
x
y 500
10
−
= + 
d) 
x
y 50
10
= + e) 
x
y 500
10
= + 
 
10. (Uerj 2018) No plano cartesiano a seguir, estão representados os gráficos 
das funções f e g, sendo P e Q seus pontos de interseção. 
 
 
2
2
f(x) 4x x , x
g(x) x 8x 6, x
= − 
= + − 
 
Determine a medida do segmento PQ. 
 
 
11. (Fgv 2017) Os pares (x, y) dados abaixo pertencem a uma reta (r) do 
plano cartesiano: 
 
x 4− 2− 0 2 4 
y 24− 14− 4− 6 16 
 
Podemos afirmar que 
a) a reta (r) intercepta o eixo das abscissas no ponto de abscissa 4.− 
b) o coeficiente angular da reta (r) é 5.− 
c) a reta (r) determina com os eixos cartesianos um triângulo de área 1,6. 
d) y será positivo se, e somente se, 
4
x .
5
−
 
e) A reta (r) intercepta o eixo das ordenadas no ponto de abscissa 
4
.
5
 
 
12. (Mackenzie 2017) A equação da mediatriz do segmento que une os 
pontos P (1, 2)= − e Q (5, 4)= é 
a) 2x 3y 9 0+ − = b) 2x 3y 9 0− + = c) 2x 3y 3 0− − = 
d) 3x 2y 7 0− − = e) 3x 2y 11 0+ − = 
 
13. (Enem (Libras) 2017) Um sítio foi adquirido por R$ 200.000,00. O 
proprietário verificou que a valorização do imóvel, após sua aquisição, cresceu 
em função do tempo conforme o gráfico, e que sua tendência de valorização 
se manteve nos anos seguintes. 
 
 
 
O valor desse sítio, no décimo ano após sua compra, em real, será de 
a) 190.000. b) 232.000. c) 272.000. d) 400.000. e) 500.000. 
 
14. (Ufpr 2017) Considere a reta r de equação y 2x 1.= + Qual das retas 
abaixo é perpendicular à reta r e passa pelo ponto P (4, 2)?= 
a) 
1
y x
2
= b) y 2x 10= − + c) 
1
y x 5
2
= − + 
d) y 2x= − e) 
1
y x 4
2
= − + 
 
15. (Ufrgs 2017) Os pontos A, B, C, D, E e F determinam um hexágono 
regular ABCDEF de lado 1, tal que o ponto A tem coordenadas (1, 0) 
e o ponto D tem coordenadas ( 1, 0),− como na figura abaixo. 
 
 
 
A equação da reta que passa pelos pontos B e D é 
a) y 3x.= 
b) 
3 3
y x .
3 3
= + 
c) 
3 3
y x .
2 2
= + 
d) 
3 3
y x .
3 3
= − 
e) 
3 3
y x .
2 2
= − 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
16. (Enem 2016) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e 
B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles 
sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A 
quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos 
projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever 
uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas 
por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas. 
 
 
 
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B 
deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. 
 
Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a 
trajetória de B deverá 
a) diminuir em 2 unidades. 
b) diminuir em 4 unidades. 
c) aumentar em 2 unidades. 
d) aumentar em 4 unidades. 
e) aumentar em 8 unidades. 
 
17. (Uemg 2016) Dadas as equações de reta r : x y 6 0+ − = e 
s : 2x y 0− = em um dado plano cartesiano de centro O. As retas r e 
s são concorrentes no ponto P e a reta r intercepta o eixo das abscissas 
no ponto Q. O volume do sólido formado pela rotação da figura plana 
formada pelos pontos OPQ em torno do lado OQ é: (use 3)π  
a) 
332 cm . b) 364 cm . c) 396 cm . d) 388 cm . 
 
18. (Pucrj 2016) Considere o quadrado ABCD como na figura. Assuma 
que A (6,13)= e C (12, 5).= 
 
a) Determine a equação da reta r que passa pelo ponto M (ponto médio de 
AC) e pelo ponto P (1,1),= justificando sua resposta. 
 
b) Determine a medida do lado do quadrado ABCD, justificando sua 
resposta. 
 
c) Aumentando em 50 por cento o comprimento dos lados do quadrado 
ABCD, em que porcentagem a área da nova figura será aumentada em 
relação à área do quadradooriginal? Justifique sua resposta. 
 
 
19. (Uerj 2016) Na região conhecida como Triângulo das Bermudas, 
localizada no oceano Atlântico, é possível formar um triângulo com um vértice 
sobre a cidade porto-riquenha de San Juan, outro sobre a cidade 
estadunidense de Miami e o terceiro sobre as ilhas Bermudas. 
 
A figura abaixo mostra um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, 
com os vértices do triângulo devidamente representados. A escala utilizada é 
1:17.000.000, e cada unidade nos eixos cartesianos equivale ao 
comprimento de 1cm. 
 
 
Calcule, em 
2km , a área do Triângulo das Bermudas, conforme a 
representação plana da figura. 
 
20. (Enem 2ª aplicação 2016) Uma região de uma fábrica deve ser isolada, 
pois nela os empregados ficam expostos a riscos de acidentes. Essa região 
está representada pela porção de cor cinza (quadrilátero de área S) na 
figura. 
 
 
Para que os funcionários sejam orientados sobre a localização da área 
isolada, cartazes informativos serão afixados por toda a fábrica. Para 
confeccioná-los, programador utilizará um software que permite desenhar 
essa região a partir de um conjunto de desigualdades algébricas. 
 
As desigualdades que devem ser utilizadas no referido software, para o 
desenho da região de isolamento, são 
a) 3y x 0; 2y x 0; y 8; x 9−  −    
b) 3y x 0; 2y x 0; y 9; x 8−  −    
c) 3y x 0; 2y x 0; y 9; x 8−  −    
d) 4y 9x 0; 8y 3x 0; y 8; x 9−  −    
e) 4y 9x 0; 8y 3x 0; y 9; x 8−  −    
 
21. (Ufjf-pism 3 2016) Dados os pontos A (1, 2),= B (3, 5),= 
C (1,1)= e D (2, 3),= considere as afirmações: 
 
I. Os pontos A, B e D são colineares. 
II. Uma reta perpendicular à reta determinada pelos pontos A e B tem 
coeficiente angular 
2
m .
3
= − 
III. A distância do ponto A à reta determinada pelos pontos B e C é 10 
unidades de comprimento. 
 
É CORRETO afirmar que: 
a) Apenas a afirmação II é verdadeira. 
b) Apenas a afirmação III é verdadeira. 
c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. 
d) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 
e) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras. 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
22. (Fac. Albert Einstein - Medicina 2016) A figura abaixo ilustra as 
localizações de um Posto de Saúde (P) e de um trecho retilíneo de uma 
rodovia (AB) em um plano cartesiano ortogonal, na escala 1: 200. 
 
Pretende-se construir uma estrada ligando o Posto à rodovia, de modo que a 
distância entre eles seja a menor possível. Se a unidade de medida real é o 
metro, a distância entre o Posto e a rodovia deverá ser igual a: 
a) 600 m b) 800 m c) 2 km d) 4 km 
 
23. (Enem PPL 2016) Na figura estão representadas, em um plano 
cartesiano, duas circunferências: 1C (de raio 3 e centro 1O ) e 2C (de 
raio 1 e centro 2O ), tangentes entre si, e uma reta t tangente às duas 
circunferências nos pontos P e Q. 
 
Nessas condições, a equação da reta t é 
a) y 3x 3 3= − + b) 
3
y x 3 3
3
= − + c) y x 4= − + 
d) 
2
y x 4
3
= − + e) 
4
y x 4
5
= − + 
 
24. (Pucrj 2016) A região, na figura abaixo, é descrita pelo sistema: 
 
x y 3
y 2x
2y x
+ 


 
 
 
 
Quanto vale a área da figura? 
a) 1 b) 2 c) 
3
2
 d) 2 2 e) 3 
 
25. (Fgv 2016) No plano cartesiano, os pontos (x,y) que satisfazem a 
equação 
2x 5x 4 0− + = são representados por 
a) um par de retas paralelas. 
b) dois pontos do eixo das ordenadas. 
c) dois pontos do eixo das abscissas. 
d) uma parábola com abscissa do vértice igual a -5/2. 
e) uma parábola com concavidade voltada para cima. 
 
26. (Uerj 2015) As baterias B1 e B2 de dois aparelhos celulares apresentam 
em determinado instante, respectivamente, 100% e 90% da carga total. 
Considere as seguintes informações: 
 
- as baterias descarregam linearmente ao longo do tempo; 
- para descarregar por completo, B1 leva t horas e B2 leva duas horas a mais 
do que B1; 
- no instante z, as duas baterias possuem o mesmo percentual de carga igual 
a 75%. 
 
Observe o gráfico: 
 
 
O valor de t, em horas, equivale a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
27. (Pucrj 2015) Sejam r e s as retas de equações y x 2= − e 
x 5
y ,
2 2
= − + respectivamente, representadas no gráfico abaixo. Seja A o 
ponto de interseção das retas r e s. Sejam B e C os pontos de interseção 
de r e s com o eixo horizontal, respectivamente. 
 
A área do triângulo ABC vale: 
a) 1,0 b) 1,5 c) 3,0 d) 4,5 e) 6,0 
 
28. (Uerj 2015) Uma ferrovia foi planejada para conter um trecho retilíneo 
cujos pontos são equidistantes dos centros A e B de dois municípios. Em 
seu projeto de construção, utilizou-se o plano cartesiano, com coordenadas 
em quilômetros, em que A (1, 2)= e B (7,14).= Observe o gráfico: 
 
 
Determine, utilizando esse sistema referencial, a equação da reta suporte 
desse trecho retilíneo da ferrovia. 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
29. (Uerj 2014) 
 
 
No gráfico acima, estão indicados os pontos A(1,0), B(2,1) e C(0,1), que são 
fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se 
desloca no segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se desloca no 
segmento de A até B. Nesses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de 
P é igual à ordenada de Q. 
Determine a medida da maior área que o triângulo PAQ pode assumir. 
 
30. (Unicamp 2014) No plano cartesiano, a reta de equação 2x 3y 12− = 
intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do 
segmento AB tem coordenadas 
a) 
4
4, .
3
 
 
 
 b) (3, 2) c) 
4
4, .
3
 
− 
 
 d) (3, 2).− 
 
31. (Espm 2014) Os pontos O(0, 0), P(x, 2) e Q(1, x 1)+ do plano 
cartesiano são distintos e colineares. A área do quadrado de diagonal PQ 
vale: 
a) 12 b) 16 c) 25 d) 4 e) 9 
 
32. (Pucrj 2014) O retângulo ABCD tem um lado sobre o eixo x e um lado 
sobre o eixo y como mostra a figura. A área do retângulo ABCD é 15 e a 
medida do lado AB é 5. A equação da reta que passa por D e por B é: 
 
 
 
a) y 5x 3= − + b) y 3x 5= + c) y 3x 5= − + 
d) 
3x
y 3
5
−
= + e) 
3x
y 3
5
= + 
 
33. (Pucrj 2013) O triângulo ABC da figura abaixo tem área 25 e vértices A = 
(4, 5), B = (4, 0) e C = (c, 0). 
 
 
 
A equação da reta r que passa pelos vértices A e C é: 
a) x 7= − +y b) 
x
5
3
= − +y c) 
x
5
2
= − +y 
d) 
x
7
2
= − +y e) 
x
7
3
= +y 
 
34. (Enem 2013) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma 
verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e 
interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão 
do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não 
contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três 
cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de 
transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas 
cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano 
cartesiano: 
 
 
 
A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. 
 
O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de 
coordenadas 
a) (65 ; 35). b) (53 ; 30). c) (45 ; 35). d) (50 ; 20). e) (50 ; 30). 
 
35. (Fgvrj 2012) Na figura abaixo, temos quatro retas r // s e t // u, cujas 
equações são: 
 
1 1
2 2
3 3
4 4
(r) : y m x n
(s) : y m x n
(t) : y m x n
(u) : y m x n
= +
= +
= +
= +
 
 
 
Podemos afirmar que: 
a) 1 2 1m m e n 0=  
b) 1 2 2m m e n 0=  
c) 3 4 3m m e n 0=  
d) 3 4 4m m e n 0=  
e) 1 2 1n n e m 0=  
 
36. (Unicamp 2012) A área do triângulo OAB esboçado na figura abaixo é 
 
 
 
a) 
21
4
 b) 
23
4
 c) 
25
4
 d) 
27
4
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
37. (Enem PPL 2012) Uma família deseja realizar um jantar comemorativo de 
um casamento e dispõe para isso de um salão defestas de um clube, onde a 
área disponível para acomodação das mesas é de 500 m2. As 100 mesas 
existentes no salão encontram-se normalmente agrupadas duas a duas, 
comportando 6 cadeiras. A área de cada mesa é de 1 m2 e o espaço 
necessário em torno deste agrupamento, para acomodação das cadeiras e 
para circulação, é de 6 m2. As mesas podem ser dispostas de maneira 
isolada, comportando 4 pessoas cada. Nessa situação, o espaço necessário 
para acomodação das cadeiras e para circulação é de 4 m2. O número de 
convidados previsto para o evento é de 400 pessoas. 
 
Para poder acomodar todos os convidados sentados, com as mesas 
existentes e dentro da área disponível para acomodação das mesas e 
cadeiras, como deverão ser organizadas as mesas? 
a) Todas deverão ser separadas. 
b) Todas mantidas no agrupamento original de duas mesas. 
c) Um terço das mesas separadas e dois terços agrupadas duas a duas. 
d) Um quarto das mesas separadas e o restante em agrupamento de duas a 
duas. 
e) Sessenta por cento das mesas separadas e quarenta por cento agrupadas 
duas a duas. 
 
38. (Fgvrj 2012) A distância entre duas retas paralelas é o comprimento do 
segmento de perpendicular às retas que tem uma extremidade em uma reta e 
a outra extremidade na outra reta. No plano cartesiano, a distância entre as 
retas de equações 3x 4y 0+ = e 3x 4y 10 0+ + = é: 
a) 0,5 
b) 1 
c) 1,5 
d) 2 
e) 2,5 
 
39. (Uerj 2012) A figura abaixo representa a superfície plana de uma mesa 
retangular BFGH na qual estão apoiados os seguintes instrumentos para 
desenho geométrico, ambos de espessuras desprezíveis: 
 
– um transferidor com a forma de um semicírculo de centro O e diâmetro 
AB; 
– um esquadro CDE, com a forma de um triângulo retângulo isósceles. 
 
 
 
Considere as informações abaixo: 
 
ED está contido em BF; 
OA está contido em BH; 
AB = 10 cm; 
BD = 13 cm. 
 
Calcule a medida, em centímetros, do menor segmento que liga a borda do 
transferidor à borda do esquadro. 
 
40. (Uerj) Em uma folha de fórmica retangular ABCD, com 15 dm de 
comprimento AB por 10 dm de largura AD, um marceneiro traça dois 
segmentos de reta, AE e BD. No ponto F, onde o marceneiro pretende 
fixar um prego, ocorre a interseção desses segmentos. 
 
A figura a seguir representa a folha de fórmica no primeiro quadrante de um 
sistema de eixos coordenados. 
 
Considerando a medida do segmento EC igual a 5 dm, determine as 
coordenadas do ponto F. 
 
 
 
Gabarito: 
 
1: [A] 2: [B] 3: [A] 4: [D] 5: [A] 6: [B] 8: [E] 9: [B] 10: 
PQ
d 24,33 
 
11: [C] 12: [A] 13: [D] 14: [E] 15: [B] 16: [C] 17: [C] 
 
18: a) Temos 
6 12 13 5
M , (9, 9).
2 2
+ + 
= = 
 
 Logo, como r também passa 
por P (1,1),= é imediato que sua equação é y x.= 
 
b) A medida da diagonal AC é dada por 
2 2d(A, C) (12 6) (5 13) 10 u.c.= − + − =
 
 
Sabendo que a medida da diagonal de um quadrado é igual ao produto da 
medida do seu lado, , por 2, vem 
2 10 5 2 u.c.=  = 
 
c) Se é a medida do lado do quadrado, então sua área vale 
2. 
Aumentando os lados em 50%, a área do novo quadrado será 
2 2(1,5 ) 2,25 ,= ou seja, 
2 2
2
2,25
100% 125%
−
 = maior do 
que a área do quadrado original. 
 
 
Resposta da questão 19: 
 
Se s é a área no mapa e S é a área real, então 
2
12 2 2
6
s 1
S 289 10 scm 28.900 skm .
S 17 10
 
=  =   =  
 
 
 
A área no mapa é dada por 
20 9 7 01 1s | 81 14 18 | 38,5cm .
2 0 9 22 2
=  =  + − = 
 
Portanto, o resultado pedido é 
2S 28900 38,5 1.112.650km .=  = 
 
20: [E] 21: [A] 22: [D] 23: [B] 24: [C] 25: [A] 26: [D] 27: [B] 
 
28: + − =x 2y 20 0 29:
máx
1 1
A .
4 a 4 ( 1) 4
Δ
= − = − =
  −
 30: [D] 31: [E] 
 
32:[D] 33:[D] 34:[E] 35:[B] 36:[C] 37: [A] 38:[D] 39: (4 2 5)cm.− 40:F = (6,6) 
 
 
 
 
 
 
 7 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [A] 
 
Resposta da questão 2: [B] 
 
Resposta da questão 3: [A] 
 
Resposta da questão 4: [D] 
 
Calculando: 
( )s
r
s
r
Pr
2 2
Qr Pr
2 2
s : y 2 m x 3
r : y x 1 m 1
1 1
m 1
m 1
s : y 2 x 3 y x 5 0
3 2 1 2
d
21 1
2 y x 5
d d y x 5 2
2 1 ( 1)
y x 5 2
y x 5 0
y 1
x 4
− =  +
= − +  = −
− −
= = =
−
− = +  − − =
− + − −
= =
+
− − −
= = =  − − = −
+ −
− + + =

− − =
= −
=
 
 
Graficamente: 
 
 
 
Resposta da questão 5: [A] 
 
Calculando: 
r r
s s
3 n
r : 3x my n m e h
m m
1 1
s : x 2y 1 m e h
2 2
−
+ =  = =
−
+ =  = =
 
 
Se concorrentes: 
r s
3 1
m m m 6
m 2
− −
     
 
Se paralelas e distintas: 
r s
r s
m m m 6
n 1
h h n 3
m 2
=  =
    
 
 
Se coincidentes: 
r s
r s
m m m 6
h h n 3
=  =
=  =
 
 
Resposta da questão 6: [B] 
Os pares ordenados satisfazem as condições 0 x 10,  y 0 e 
y x, ou seja, 
0 y x 10.   
 
Resposta da questão 7: 
 Calculando: 
( )
( )
( )
0 0reta y y m x x
7 2 5 1
m
11 1 10 2
1 x 3
reta AB y 2 x 1 y
2 2
17 x
reta rio x 3y 17 y
3
17 x x 3 5 3
int er secção 34 2x 3x 9 5x 25 x 5 y 4 I 5,4
3 2 2
 − =  −
−
= = =
−
+
 − =  −  =
−
 + =  =
− + +
 =  − = +  =  =  = = 
 
Resposta da questão 8: [E] 
 
Do enunciado, temos: 
y 5x 8
y 5x 8
= +

= − +
 
 
Daí, 
5x 8 5x 8
x 0
+ = − +
=
 
Substituindo x 0= na equação y 5x 8, y 8.= + = 
Assim, as retas possuem um ponto em comum. 
 
Resposta da questão 9: [B] 
 
A equação que descreve a relação entre a quantidade de combustível no 
tanque e a distância percorrida pelo automóvel é dada por 
x y x
1 y 50.
500 50 10
+ =  = − + 
 
Resposta da questão 10: 
 Calculando: 
( )
( )
( ) ( )
Q2 2 2 2
P
2
2 2
PQ
x 1
f(x) g(x) 4x x x 8x 6 2x 4x 6 0 x 2x 3 0
x 3
f(1) 4 1 3 Q 1,3
f( 3) 4 ( 3) ( 3) 12 9 21 P 3, 21
d 3 1 21 3 16 576 592 24,33
=
=  − = + −  + − =  + − =  
= −
= − = 
− =  − − − = − − = −  − −
= − − + − − = + = 
 
 
Resposta da questão 11: [C] 
 
Calculando: 
( ) ( )
OAB
x y 1
reta r 2 6 1 0 y 5x 4
0 4 1
4interseção reta r e eixos A 0, 4 e B ,0
5
0 0 1
1 1 16 16
triângulo OAB 0 4 1 S 1,6
2 2 5 10
4 0 1
5

 =  = −
−
 −
  − =  =  =
 
Analisando as alternativas: 
[A] FALSA. A reta (r) intercepta o eixo das ordenadas no ponto de abscissa 
4.− 
[B] FALSA. O coeficiente angular da reta (r) é 5. 
[C] VERDADEIRA. A reta (r) determina com os eixos cartesianos um 
triângulo de área 1,6. 
[D] FALSA. Se 131 4 1x y 5 4 y .
2 5 2 2
= −  −  =  − −  = − 
[E] FALSA. A reta (r) intercepta o eixo das abcissas no ponto de abscissa 
4
.
5
 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
Resposta da questão 12: [A] 
 
Seja r a reta mediatriz do segmento formado pelos pontos P e Q. 
Observe a figura abaixo: 
 
( )
M
M
PQ
PQ
PQ
1 5
x 3
2
2 4
y 1
2
4 2
m
5 1
6
m
4
3
m
2
+
= =
− +
= =
− −
=
−
=
=
 
 
Como r PQ⊥ e 
PQ
m 0, 
rPQ
m m 1. = − 
 
Então, 
r
r
3
m 1
2
2
m
3
 = −
= −
 
( )
r
2
m
3
M 3,1

= −



 
 
Assim, a equação da reta r é dada por: 
( )
( )
2
y 1 x 3
3
3 y 1 2x 6
3y 3 2x 6
2x 3y 9 0
− = −  −
 − = − +
− = − +
+ − =
 
 
Resposta da questão 13: [D] 
 
Desde que os pontos (0, 200000), (2, 240000) e 1(10, y ) estão 
alinhados, vem 
 
1
1
1
0 2 10 0
0 2y 2000000 400000 2400000 0
200000 240000 y 200000
y R$ 400.000,00.
=  + − − =
 =
 
 
Resposta da questão 14: [E] 
Seja s a reta perpendicular a r e que passa pelo ponto P (4, 2).= Logo, 
como rm 2,= segue que a equação de s é 
1 1
y 2 (x 4) y x 4.
2 2
− = −  −  = − + 
 
Resposta da questão 15: [B] 
 
Considerando a circunferência circunscrita no hexágono regular, podemos 
escrever que a medida α do ângulo ˆADB será dada por: 
60
30
2

= = α 
Portanto, o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos B e D será 
dado por: 
3
m tg30
3
=  = 
A reta pedida passa pelo ponto D( 1, 0)− e tem coeficiente angular 
3
m .
3
= 
Portanto, sua equação será dada por: 
3 3 3
y 0 (x( 1)) y x
3 3 3
− =  − −  =  + 
 
Resposta da questão 16: [C] 
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (0, 0) e (6,12) é 
12
2.
6
= Portanto, sendo 
16
4
4
= o coeficiente angular da reta que passa 
pelos pontos (0, 0) e (4,16), podemos concluir que o coeficiente angular 
deverá aumentar em 4 2 2− = unidades. 
 
Resposta da questão 17: [C] 
 
Vamos supor que o plano cartesiano de centro O esteja graduado em 
centímetros. 
A reta r intersecta o eixo das abscissas no ponto Q (6, 0).= Além disso, a 
abscissa do ponto P é tal que 2x x 6,= − + donde obtemos x 2.= 
Logo, vem P (2, 4)= e, portanto, segue que o volume do sólido 
corresponde à soma dos volumes de dois cones cujos raios da base medem 
4cm, e cujas alturas medem, respectivamente, 2cm e 4cm, isto é, 
2 2 31 14 2 4 4 96cm .
3 3
π π   +     
 
Resposta da questão 18: 
 a) Temos 
6 12 13 5
M , (9, 9).
2 2
+ + 
= = 
 
 Logo, como r também passa 
por P (1,1),= é imediato que sua equação é y x.= 
 
b) A medida da diagonal AC é dada por 
2 2d(A, C) (12 6) (5 13) 10 u.c.= − + − =
 
 
Sabendo que a medida da diagonal de um quadrado é igual ao produto da 
medida do seu lado, , por 2, vem 
2 10 5 2 u.c.=  = 
 
 
 
 
 9 
 
 
 
c) Se é a medida do lado do quadrado, então sua área vale 
2. 
Aumentando os lados em 50%, a área do novo quadrado será 
2 2(1,5 ) 2,25 ,= ou seja, 
2 2
2
2,25
100% 125%
−
 = maior do 
que a área do quadrado original. 
 
Resposta da questão 19: 
 Se s é a área no mapa e S é a área real, então 
2
12 2 2
6
s 1
S 289 10 scm 28.900 skm .
S 17 10
 
=  =   =  
 
 
 
A área no mapa é dada por 
20 9 7 01 1s | 81 14 18 | 38,5cm .
2 0 9 22 2
=  =  + − = 
 
Portanto, o resultado pedido é 
2S 28900 38,5 1.112.650km .=  = 
 
Resposta da questão 20: [E] 
 
A equação da reta que passa pelos pontos (0, 0) e (4, 9) é 
9
y x,
4
= isto 
é, 9x 4y 0.− = Ademais, a equação da reta que passa pelos pontos 
(0, 0) e (8, 3) é 
3
y x,
8
= ou seja, 3x 8y 0.− = Portanto, é fácil ver 
que a região S é limitada pelas desigualdades 9x 4y 0,−  
3x 8y 0,−  x 8 e y 9. 
 
Resposta da questão 21: [A] 
 
[I] Falsa. De fato, pois 
 
1 3 2 1
5 9 4 6 10 3 1 0.
2 5 3 2
= + + − − − = −  
 
[II] Verdadeira. O coeficiente angular da reta AB é 
AB
5 2 3
m .
3 1 2
−
= =
−
 
Logo, qualquer reta perpendicular à reta AB tem coeficiente angular 
igual a 
2
.
3
− 
 
[III] Falsa. A equação da reta da reta BC é 
 
5 1
y 1 (x 1) 2x y 1 0.
3 1
−
− =  −  − − =
−
 
 
Portanto, a distância do ponto A à reta BC é igual a 
 
2 2
| 2 1 2 1| 1 5
d u.c.
552 ( 1)
 − −
= = =
+ −
 
 
Resposta da questão 22: [D] 
 
Determinando inicialmente a equação da reta que passa pelos pontos A e 
B. 
x y 1
20 20 1 0 3x 4y 20 0
20 10 1
− =  + − =
−
 
 
Calculando a distância do ponto P(0, 30) à reta que passa pelos pontos A 
e B. 
2 2
3 0 4 30 20 100
d 20m
53 4
 +  −
= = =
+
 
 
Como a escala é 1: 200 a distância real pedida é de 
20 200 4000m 4km. = = 
 
Resposta da questão 23: [B] 
 
Calculando: 
 
 
1 2
2 2 2 2
SO O :
4 2 x x 12 x 12 2 3
4 2 2 1
sen 30
sen 90 sen 4 2
180 150
t : y ax b
3
a tg tg 150 tg 30 a
3
α α
α
β α β
β

= +  =  = =
=  = =  = 

=  −  = 
= +
= =  = −   = −
 
 
( )
2 1 2
2
2
1 2
QRO SO O :
2 4
RO 2
1 RO
OR 9
SO O VOR :
VO 9 18
VO 3 3
2 2 3 2 3
V 0 ; 3 3 b 3 3
  
=  =
=
  
=  = =
 =
 
 
Assim: 
t : y ax b
3
t : y x 3 3
3
= +
= − +
 
 
Resposta da questão 24: [C] 
 
O resultado pedido é dado por 
 
0 1 2 01 1 3
|1 4 | u.a.
0 2 1 02 2 2
 =  − = 
 
 
 
 
 10 
 
 
 
Resposta da questão 25: [A] 
 
( ) ( )
2
2
x 5x 4 0
5 5 4 1 4
x
2 1
5 3
x
2
x 1 ou x 4
− + =
− −  − −  
=


=
= =
 
 
Note que x 1= e x 4= são duas retas paralelas, como na figura abaixo: 
 
 
 
Resposta da questão 26: [D] 
 
 
 
Fazendo (I) = (II), temos: 
t t 2
6t 4t 8 t 4.
4 6
+
=  = +  = 
 
Resposta da questão 27: [B] 
 
Determinando o ponto B, utilizando a equação da reta r. 
x 2 0 x 2 B(2, 0)− =  =  
 
Determinando o ponto C, utilizando a equação da reta s. 
x 5
0 x 5 C(5,0)
2 2
− + =  =  
Determinando o ponto A resolvendo um sistema com as equações de r e s. 
y x 2
A(3,1)x 5
y
2 2
= −


= − +

 
 
Daí, temos a seguinte figura: 
 
 
 
Portanto, a área do triângulo será dada por: 
3 1
A 1,5
2

= = 
 
Resposta da questão 28: 
 A reta cujos pontos são equidistantes de A e B é exatamente a mediatriz 
do segmento de extremos A e B. Portanto, devemos encontrar a equação 
da reta que passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular a ele. 
 
Cálculo do ponto médio de AB : ( ) 0 0
1 7 2 14
, 4,8 (x ,y )
2 2
+ + 
=  
 
 
 
Coeficiente angular da reta que passa por A e B : 
14 2
2
7 1
−
=
−
 
 
Portanto, o coeficiente angular da mediatriz r é r
1
m
2
= − 
 
Encontrando, agora, a equação da mediatriz r. 
1
y 8 (x 4) 2y 16 x 4 x 2y 20 0
2
− = − −  − = − +  + − = 
 
Resposta da questão 29: 
 Equação da reta AC: y = -x + 1 
Equação da reta AQ: y = x – 1 
P(a, a-1) e Q(a+1, a) 
 
Cálculo da área do triângulo APQ: 
2
1 0 1
1
A a 1 a 1 a a
2
a 1 a 1
= − = −
+
 
 
Como 0 < a < 1, temos: 
2A a a= − + 
 
Valor da Área máxima: máx
1 1
A .
4 a 4 ( 1) 4
Δ
= − = − =
  −
 
 
Resposta da questão 30: [D] 
 
A equação segmentária da reta AB é 
 
x y
2x 3y 12 1.
6 4
− =  + =
−
 
 
Desse modo, como A (6, 0)= e B (0, 4),= − segue-se que o ponto 
médio do segmento AB tem coordenadas 
 
6 0 0 ( 4)
, (3, 2).
2 2
+ + − 
= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
 
 
 
Resposta da questão 31: [E] 
 
Sabendo que O(0, 0), P(x, 2) e Q(1, x 1)+ são colineares, vem 
20 x 1 0 0 x x 2 0
0 2 x 1 0
x 2 ou x 1.
=  + − =
+
 = − =
 
Mas O(0, 0), P(x, 2) e Q(1, x 1)+ são distintos. Logo, só pode ser 
x 2.= − 
Portanto, a área do quadrado de diagonal PQ vale 
2 2 2( (1 ( 2)) ( 1 2) ) 18
9 u.a.
2 2
− − + − −
= = 
 
Resposta da questão 32: [D] 
Desde que 
(ABCD) AB AD 15 5 AD
AD 3
=   = 
 =
 
e A é a origem, é imediato que B (5, 0)= e D (0, 3).= 
Portanto, a equação da reta BD é 
x y 3
1 y x 3.
5 3 5
+ =  = − + 
 
Resposta da questão 33: [D] 
 
Sabendo que a área do triângulo ABC mede 25, obtemos 
AB BC
25 5 (c 4) 25 2
2
c 14.

=   − = 
 =
 
A equação de r é dada por 
C A
C C
C A
y y 0 5
y y (x x ) y 0 (x 14)
x x 14 4
x
y 7.
2
− −
− =  −  − =  −
− −
 = − +
 
 
Resposta da questão 34: [E] 
 
O ponto procurado é o circuncentro do triângulo ABC. 
Os pontos médios dos lados AB e BC são, respectivamente, 
cM (50, 20)= e aM (65, 35).= Além disso, o coeficiente angular da 
reta BC é dado por 
B C
BC
B C
y y
m
x x
20 50
70 60
3.
−
=
−
−
=
−
= −
 
A equação da mediatriz do lado BC é tal que 
c cM M
BC
1 1
y y (x x ) y 35 (x 65)
m 3
1 65
y x 35.
3 3
− = − −  − = − −
−
 = − +
 
 
Agora, como AB é paralelo ao eixo das abscissas, segue-se que a equação 
da mediatriz do lado AB é 
cM
x x 50.= = 
Desse modo, a ordenada do circuncentro de ABC é dada por 
1 65
y 50 35 30
3 3
=  − + = 
e, portanto, o resultado pedido é (50, 30). 
 
Resposta da questão 35: [B] 
 
1 2r / /s m m  = 
n2 < 0, pois a reta s intercepta o eixo y abaixo da origem. 
 
Resposta da questão 36: [C] 
 
r
2
m 2
1
= = , logo s
1
m
2
= − (r e s são perpendiculares) 
Equação da reta s: 
1
y 2 (x 1) 2y 4 x 1 x 2y 5 0
2
− = − −  − = − +  + − = 
Intersecção com o eixo x: x + 2.0 = 5  x = 5. Logo, A (5,0). 
Intersecção com o eixo y: 0 + 2.5 = 5 
5
y
2
 = . Logo, 
5
A ,0
2
 
 
 
. 
Calculando a área do triângulo, temos: 
=
25
A
4
 
 
Resposta da questão 37: [A] 
 
Sejam x e y, respectivamente o número de agrupamentos de duas mesas 
eo número de agrupamentos de uma mesa. 
 
De acordo com as informações, devemos ter 
x 0
y 0
6x 4y 400
8x 5y 500
 



+ 
 + 
 
Portanto, como a única solução do sistema é o ponto (0,100), segue-se 
que todas as mesas deverão ser separadas. 
 
Resposta da questão 38: [D] 
 
O ponto O (0,0) pertence à reta (r) 3x + 4y = 0, para calcular a distância entre 
as retas paralelas deve-se calcular a distância entre a origem e a reta (s) 3x + 
4y + 10 = 0. 
r,s
2 2
3 0 4 0 10 10
d 2
53 4
 +  +
= = =
+
 
 
Resposta da questão 39: 
 Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas com 
origem no ponto B, temos o semicírculo centrado em O (0, 5),= cujo raio 
vale 5, e a reta EC, cuja equação é dada por 
y 0 tg45 (x 3) x y 3 0.− =   −  − − = 
 O menor segmento que une a borda do transferidor à borda do esquadro é o 
segmento perpendicular à reta EC, cuja reta suporte passa por O. 
Portanto, como a distância do ponto O à reta EC é igual a 
2 2
| 0 5 3 | 8 2
4 2 cm,
2 21 ( 1)
− −
=  =
+ −
 
 
segue que a medida pedida é (4 2 5)cm.− 
 
Resposta da questão 40: 
 F = (6,6)