Resmat ii Internet 03-12-2020

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03/12/2020 Resmat ii material de aula com exercicios da av1 até av2
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mostrado na fig...
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de cisalhamen...
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eixos maciços de ...
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𝑻 . 𝑻 ...
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torque de intensida...
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torques os diâm...
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( ) no regi...
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valor de moment...
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Determine o ângulo de...
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Publicada em 22 de nov de 2015
Resistência dos Materiais
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1. 1. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 1
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 As anotações, fotos, gráficos e tabelas contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros: - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Ferdinand P. Beer - E. Russel
Johnston Jr. Ed. PEARSON - 3ª edição – 1995 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - R. C. Hibbeler Ed.
PEARSON - 5ª edição – 2004 Parte 01: Propriedades geométricas de superfícies planas; - Centróide de uma
área; - Momento de inércia;
2. 2. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 2 y x CG ഥ
ഥ A y x A1 y1 x1 A2 A3 y2 y3 x2 x3 1- Centróide ou centro de gravidade de uma superfície plana A
localização do centróide de uma superfície plana qualquer de área A ilustrada na figura 1 é definida por
meio das coordenadas ഥ ഥ . Figura 1: centróide ou centro de gravidade de uma superfície plana
qualquer As coordenadas ഥ ഥ do centróide de uma superfície plana qualquer são determinadas
pelas seguintes equações: Xഥ = ∑ Ai. xതii ∑ Aii (1) Yഥ = ∑ Ai. yതii ∑ Aii (2) Para aplicar as
equações (1) e (2) é necessário dividir a superfície plana qualquer em n superfícies planas de geometria
simples (retângulos, quadradas, triângulos, círculos, etc), cujas coordenadas do centróide são conhecidas,
conforme ilustra a figura 2. A tabela 1 ilustrada a seguir apresenta as coordenadas x e y do centróide de
algumas superfícies planas de geometria simples. Xഥ = A1. ݔ ଵ + A2. ݔ ଶ + A3. ݔ ଷ A1 + A2 + A3 Yഥ =
A1. ݕ ଵ + A2. ݕ ଶ + A3. ݕ ଷ A1 + A2 + A3 Figura 2: Divisão em superfície de geometria simples
3. 3. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 3 Tabela 1:
Coordenadas x e y do centróide ou centro de gravidade de algumas superfícies planas de geométricas
simples; Superfície Plana xത yത Área Retângulo e Quadrado xത =ܾ 2 yത = ℎ 2 ܣ = ܾ. ℎ Triângulo
retângulo xത =ܾ 3 yത = ℎ 3 ܣ = ܾ. ℎ 2ൗ Círculo xത = 0 yത = 0 ܣ = �. ݎ ଶ Semicírculo xത = 0 yത = 4 ݎ 
ଶx yܽ = ܣ ଶ 4◌ൗ Losango xത = 0 yത = 0 ݎ �3 ܣ = �. ݎyത = 4 ݎ ଶ 2◌ൗ 1/4 círculo xത = 4�3 �3 ܣ = �. ݎ
CG a a x y CG r x y r CG x y CG r x y CG b h x y CG b h
4. 4. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 4 y x y x A3 A2
A4 y x A1 A2 A1 y x y x A3 A1 A2 A4 y x A1 A2 OBS1: Caso a superfície plana apresente área vazada ou
chanfro: - Para simplificar a análise recomenda-se considerar a superfície plana cheia (completa) e
descontar a contribuição da área vazada ou chanfro, conforme apresentado nos casos 1 e 2 ilustrados a
seguir nas figuras 3 e 4. Caso1: Mais trabalhoso Mais prático Xഥ = A1. ݔ ଵ + A2. ݔ ଶ + A3. ݔ ଷ + A4. ݔ ସ
A1 + A2 + A3 + A4 ; Xഥ = A1. ݔ ଵ − A2. ݔ ଶ A1 − A2 ; Yഥ = A1. ݕ ଵ + A2. ݕ ଶ + A3. ݕ ଷ + A4. ݕ ସ A1
+ A2 + A3 + A4 ; Yഥ = A1. ݕ ଵ − A2. ݕ ଶ A1 − A2 ; Figura 3: Superfície plana com área vazada (furo);
Caso2: Mais trabalhoso Mais prático Xഥ = A1. ݔ ଵ + A2. ݔ ଶ + A3. ݔ ଷ + A4. ݔ ସ A1 + A2 + A3 + A4 ;
Xഥ = A1. ݔ ଵ − A2. ݔ ଶ A1 − A2 ; Yഥ = A1. ݕ ଵ + A2. ݕ ଶ + A3. ݕ ଷ + A4. ݕ ସ A1 + A2 + A3 + A4 ;
Yഥ = A1. ݕ ଵ − A2. ݕ ଶ A1 − A2 ; Figura 4: Superfície planacom área chanfro (recorte);
5. 5. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 5 y x 20 cm 35
cm 24 cm y x 20 cm 15 cm 24 cm 10 cm 12 cm 8,0 cm 5,0 cm A1 A2 y Exemplo 1: Determinar as
coordenadas ഥ ഥ do centróide da superfície plana ilustrada a seguir; Resolução: Dividir a superfície
plana em superfícies de geometria simples de centróide conhecido; A1 = 24 . 20 = 480 cm2 A2 = 24 . 15/2
= 180 cm2 x1 = 10 cm x2 = 20 + 5,0 = 25,0 cm y1 = 12 cm y2 = 8,0 cm Xഥ = ܣ ଵ . ݔ ଵ + ܣ ଶ . ݔ ଶ ܣ ଵ +
. ଶ = ሺ480 ܣ + ଵ ܣ ଶ ݕ . ଶ ܣ + ଵ ݕ . ଵ ܣ = ଶ = ሺ480 . 10ሻ + ሺ180 . 25,0ሻ 480 + 180 = 14,09 ݉ܿ Yഥ ܣ
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03/12/2020 Resmat ii material de aula com exercicios da av1 até av2
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12ሻ + ሺ180 . 8,0ሻ 480 + 180 = 10,91 ݉ܿ Tabela 1 xത yത Área xത =ܾ 2 yത = ℎ 2 ܣ = ܾ. ℎ xത =ܾ 3 yത = ℎ
ℎ 2ൗ xCG b h x y CG b h .ܾ = ܣ 3
6. 6. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 6 y x 60 cm 30
cm r = 15 cm y x 60 cm 30 cm 30 cm 15 cm r = 15 cm 6,37 cm A1 A2 r = 15 cm = , ૠ 
Exemplo 2: Determinar as coordenadas ഥ ഥ do centróide da superfície plana ilustrada a seguir;
Resolução: Dividir a superfície plana em superfícies de geometria simples de centróide conhecido; A1 = 60
. 30 = 1800 cm 2 A2 = π. 15 2 /2 = 353,4cm 2 x1 = 30 cm x2 = 60 – 6,37 = 53,63 cm y1 = 15 cm y2 = 15
cm Xഥ = ܣ ଵ . ݔ ଵ − ܣ ଶ . ݔ ଶ ܣ ଵ − ܣ ଶ = ሺ1800 . 30ሻ − ሺ353,4 . 53,63ሻ 1800 − 353,4 = 24,23 ݉ܿ Yഥ =
ଶ = ሺ1800 . 15ሻ − ሺ353,4 . 15ሻ 1800 − 353,4 = 15 ݉ܿ Tabela 1 xത yത Área ܣ − ଵ ܣ ଶ ݕ . ଶ ܣ − ଵ ݕ . ଵ ܣ
xത =ܾ 2 yത = ℎ 2 ܣ = ܾ. ℎ xത = 0 yത = 4ݎ �3 ܣ = �. ݎ ଶ 2x y r CG x y CG b h
7. 7. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 7 y x 50 cm 25
cm r = 12,5 cm r = 6,25 cm y x 25 cm 25 cm 12,5 cm A1 A2 r 1 = 12,5 cm 12,5 cm 25 cm 8,33 cm r2 =
6,25 cm 5,31cm A3 A4 8,33 cm 2,65 cm = , = , Exemplo 3:
Determinar as coordenadas ഥ ഥ do centróide da superfície plana ilustrada a seguir; Resolução:
Dividir a superfície plana em superfícies de geometria simples de centróide conhecido; A1 = π. 12,5 2 /2 =
245,4 cm 2 A2 = 25 . 25 = 625 cm 2 A3 = 25 . 25 /2 = 312,5 cm 2 A4 = π. 6,25 2 /2 = 61,4 cm 2 x1 = 12,5
cm x2 = 12,5 cm x3 = 25 + 8,33 = 33,33 cm x4 = 25 cm y1 = 25 + 5,31 = 30,31 y2 = 12,5 cm y3 = 8,33 cm
y4 = 2,65 cm Xഥ = ܣ ଵ . ݔ ଵ + ܣ ଶ . ݔ ଶ + ܣ ଷ . ݔ ଷ − ܣ ସ . ݔ ସ ܣ ଵ + ܣ ଶ + ܣ ଷ − ܣ ସ Xഥ = ሺ245,4 .
12,5ሻ + ሺ625 . 12,5ሻ + ሺ312,5 . 33,33ሻ − ሺ61,4 . 25ሻ 245,4 + 625 + 312,5 − 61,4 = 17,62 ݉ܿ Yഥ = ܣ ଵ .
+ ସ Yഥ = ሺ245,4 . 30,31ሻ + ሺ625 . 12,5ሻ ܣ − ଷ ܣ + ଶ ܣ + ଵ ܣ ସ ݕ . ସ ܣ − ଷ ݔ . ଷ ܣ + ଶ ݕ . ଶ ܣ + ଵ ݕ
ሺ312,5 . 8,33ሻ − ሺ61,4 . 2,65ሻ 245,4 + 625 + 312,5 − 61,4 = 15,77 ݉ܿ Tabela 1 xത yത Área xത =ܾ 2 yത
= ℎ 2 ܣ = ܾ. ℎ xത =ܾ 3 yത = ℎ 3 ܣ = ܾ. ℎ 2ൗ xത = 0 yത = 4ݎ �3 ܣ = �. ݎ ଶ 2 x y r CG x y CG b h x y CG
b h
8. 8. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 8 2 - Momento
de Inércia de uma superfície plana O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima
no dimensionamento dos elementos de construção (vigas, colunas, etc), pois fornece através de valores
numéricos, uma noção de resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da secção transversal
de uma peça, maior será a resistência da peça. A figura 5 ilustra bem o conceito de momento de inércia de
elemento de construção; Figura 5: Ilustração do conceito de momento de inércia A unidade do Momento de
inércia no sistema internacional é dada em metros a quarta. I No SI: m4 A A Corte AA: seção transversal
Corte AA: seção transversal X’ X’ Ix1 >>> Ix2 A P P
9. 9. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 9 y x y x X' Y' c
Os momentos de inércia de uma superfície plana qualquer podem ser calculados em relação a quaisquer
eixos de referência x e y. A figura 6 ilustra dois exemplos de sistemas de eixos x e y de referência para os
quais os momentos de inércia podem ser verificados. 6a) Cálculo dos Momentos de Inércia 6b) Cálculo dos
Momentos de Inércia da superfície plana em relação da superfície plana em relação aos eixos de referência
x e y; aos eixos centroidas X’ e Y’ ou eixos baricêntricos da superfície plana; OBS: Eixos centroidais =
eixos baricêntricos eixo x e y que passa pelo centróide da superfície Figura 6: Exemplos de sistemas de
eixos de referência para os quais os momentos podem ser verificados;
10. 10. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 10 y' x' Y X A1
dy1 dx1 A2 A3dy2 dy3 dx2 dx3 y' x' y' x' y' x' Y X A1 dy1 dx1 A2 A3 dy2 dy3 dx2 dx3 y' x' y' x' X' Y' Os
momentos de inércia ( Ix e Iy ) em relação a qualquer eixo de referência x e y de uma superfície plana
qualquer (figura 1) são determinados pelas seguintes equações: Ix= ሺIҧ xi i + Aidyi 2 ሻ (3) Teorema dos
Eixos Paralelos Iy= ሺIҧyi i + Aidxi 2 ሻ (4) Para aplicar as equações (3) e (4) é necessário dividir a
superfície plana qualquer em n superfícies planas de geometria simples conforme ilustram as figuras 7a e
7b. 7a) Cálculo dos Momentos de Inércia 7b) Cálculo dos Momentos de Inércia da superfície plana em
relação da superfície plana em relação aos eixos de referência x e y; aos eixos centroidas X’ e Y’ da
superfície plana; Figura 7: Distâncias dx e dy para o cálculo dos momentos de Inércia; Nas equações 3 e 4
tem-se: Iҧxi , Iҧyi momento de inércia de cada superfície plana de geometria simples em relação ao seu
eixo x’ centroidal e ao eixo y’ centroidal, respectivamente; Ai área de cada superfície de geometria simples;
dxi , dyi distância entre o eixo centroidal de cada superfície plana de geometria simples até o eixo no qual o
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momento é verificado; OBS: A tabela 2 ilustrada a seguir apresenta os momentos de inércia Iҧxi , Iҧyi em
relação os eixos centroidais x’ e y’ respectivamente de algumas superfícies planas de geometria simples.
11. 11. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 11 Tabela 2:
momento de inércia em relaçãoaos eixos centroidais de algumas superfícies planas de geométricas simples;
ҧ௬ᇱ em relação aos eixos centroidais x’ e y’; Superfície Planas Momento de Inércia ܫ ҧ௫ᇱ e ܫ
Retângulo E Quadrado Forma geral: ܫ ҧ = ◌�య ଵଶ . Substituindo os valores: ܫ ҧ௫ᇱ = య ଵଶ ;
ҧ = ◌�య ଷ ܫ :ҧ௬ᇱ = య ଵଶ Triângulo retângulo Forma geral ܫ . Substituindo os valores:
ҧ௫ᇱ = య ଷ ܫ ҧ௬ᇱ = య ଷ ܫ ; Círculo ܫ ҧ௫ᇱ = ܫ ҧ௬ᇱ = గ ర ସ Semicírculo
ସ Losango ݎ ҧ௬ᇱ = 0,0549 ܫ = ҧ௫ᇱ ܫ ସ 1/4 círculo ݎ ҧ௬ᇱ = 0,3927 ܫ ସ ݎ ҧ௫ᇱ = 0,1098 ܫ
ҧ௬ᇱ = ర ଵଶ x = x’ y = y’ CG a a x y CG r x' y' x y = y’ r x'CG x = x’ y = y’ CG r x y ܫ = ҧ௫ᇱ ܫ
CG b h y' x' x y CG b h y' x'
12. 12. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 12 y x 3a a aa
2a a y x 4a 2,5a 3a y x 3a 1,20a 1,20a 0,5a a 1,25a r = 0,5a Simetria vertical: X = 1,5 a Y = ? Simetria
horizontal: X = ? Y = 1,25 a Simetria horizontal: X = ? Y = 1,45 a c c c 2,9a y x 3a a aa a 3a y x 4a 2,5a 2a
y x 1,2a 3,5 0,5a 1,25a r = 0,5a Simetria vertical e horizontal: X = 1,5 a Y = 1,5 a Simetria vertical e
horizontal: X = 2a Y = 1,25 a Simetria vertical e horizontal: X = 1,7a Y = 1,75a c c c a a a 1,2a 1,2a 0,5a
1,2a a OBS2: Caso a superfície plana com eixos de simetria: - 1 eixo de simetria Neste caso uma
coordenada do centróide é conhecida; - 2 eixos de simetria Neste caso as duas coordenadas do centróide são
conhecidas;
13. 13. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 13 y x 20 cm 35
cm 24 cm Coordenadas do centróide: ഥ = , ◌ૢ ഥ = , ◌ૢ y x 20 cm 15 cm 24 cm 10
cm 12 cm 8,0 cm 5,0 cm A1 A2 Exemplo 4: Utilizando a mesma superfície plana do exemplo 1 determine
os momentos de inércia em relação os eixos x e y e em relação aos eixos centroidais ou baricêntricos X’ e
Y’ da superfície plana no sistema internacional. Resolução: Parte 1: momentos em relação aos eixos de
referência x e y: Dividir a superfície plana em superfícies de geometria simples de centróide conhecido; Ix=
ሺIҧ xi i + Aidyi 2 ሻ → Ix = ሺ Iҧ x1 +A 1 dy1 2 ሻ + ሺ Iҧ x2 +A 2 dy2 2 ሻ Iy= ሺIҧyi i + Aidxi 2 ሻ
→ Iy = ሺ Iҧ y1 +A 1 dx1 2 ሻ + ሺ Iҧ y2 +A 2 dx2 2 ሻ A1 = 24 . 20 = 480 cm 2 A2 = 24 . 15/2 = 180 cm 2
d distâncias entre os eixos centroidais de cada superfície simples até o eixos de referência x e y: dx1 = 10
cm dy1 = 12 cm dx2 = 20 + 5,0 = 25,0 cm dy2 = 8,0 cm Iҧx1 =ܾ ℎଷ 12 = 20 . 24ଷ 12 = 23040,0 ݉ܿସ Iҧy1 =
ℎଷ 12 = 24 . 20ଷ 12 = 16000,0 ݉ܿସ Iҧx2 =ܾ ℎଷ 36 = 15 . 24ଷ 36 = 5760,0 ݉ܿସ Iҧy2 = ℎଷ 36 = 24 . 15ଷ 36
= 2250,0 ݉ܿସ Ix = ሺ23040,0 + 480 . 12ଶ ሻ + ሺ5760,0 + 180 . 8, 0ଶ ሻ = 109440,0 ݉ܿସ =
109440109440109440109440,,,,0000 .... ◌ૡି Iy = ሺ16000,0 + 480 . 10ଶ ሻ + ሺ2250,0 + 180 . 25,
0ଶ ሻ = 178750,0 ݉ܿସ = 178750178750178750178750,,,,0000 .... ◌ૡି Tabela 1 e Tabela 2 xത ݁ yത
= ℎ xത =ܾ 3 yത .ܾ = ܣ ҧ௫ᇱ = ℎଷ 12 ܫ ҧ௫ᇲ =ܾ ℎଷ 12 ܫ ҧ௬ᇱ Área xത =ܾ 2 yത = ℎ 2 ܫ ҧ௫ᇱ e ܫ
ℎ 3 ܫ ҧ௫ᇲ =ܾ ℎଷ 36 ܫ ҧ௫ᇱ = ℎଷ 36 ܣ = ܾ. ℎ 2ൗ x y CG b h y' x' x y CG b h y' x'
14. 14. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 14 y x 20 cm 24
cm 10 cm 12 cm 8,0 cm A1 A2 c Y’ X’ 5,0 cm 15 cm Resolução: Parte 2: momentos em relação aos eixos
centroidais ou baricêntricos X’ e Y’: O centróide possui as seguintes coordenadas: ഥ = , ◌ૢ ;
ഥ = , ◌ૢ ; Ix= ሺIҧ xi i + Aidyi 2 ሻ → Ix = ሺ Iҧ x1 +A 1 dy1 2 ሻ + ሺ Iҧ x2 +A 2 dy2 2 ሻ
Iy= ሺIҧyi i + Aidxi 2 ሻ → Iy = ሺ Iҧ y1 +A 1 dx1 2 ሻ + ሺ Iҧ y2 +A 2 dx2 2 ሻ A1 = 24 . 20 = 480 cm 2
A2 = 20 . 15/2 = 180 cm 2 d distâncias entre os eixos centroidais de cada superfície simples até o eixos
centroidais X’ e Y’ da superfície plana: dx1 = 14,09 – 10 = 4,09 cm dy1 = 12,00 – 10,91 = 1,09 cm dx2 =
25,0 – 14,09 = 10,91 cm dy2 = 10,91 – 8,00 = 2,91 cm Iҧx1 =ܾ ℎଷ 12 = 20 . 24ଷ 12 = 23040,0 ݉ܿସ Iҧy1 =
ℎଷ 12 = 24 . 20ଷ 12 = 16000,0 ݉ܿସ Iҧx2 =ܾ ℎଷ 36 = 15 . 24ଷ 36 = 5760,0 ݉ܿସ Iҧy2 = ℎଷ 36 = 24 . 15ଷ 36
= 2250,0 ݉ܿସ Ix = ሺ23040,0 + 480 . 1,09ଶ ሻ + ሺ5760,0 + 180 . 2,91ଶ ሻ = 30894,55 ݉ܿସ =
30894308943089430894,,,,55555555 .... ◌ૡି Iy = ሺ16000,0 + 480 . 4,09ଶ ሻ + ሺ2250,0 + 180 .
10,91ଶ ሻ = 47704,55 ݉ܿସ = 47704477044770447704,,,,55555555 .... ◌ૡି Tabela 1 e tabela 2 xത ݁
yത ܫ ҧ௫ᇱ e ܫ ҧ௬ᇱ Área xത =ܾ 2 yത = ℎ 2 ܫ ҧ௫ᇲ =ܾ ℎଷ 12 ܫ ҧ௫ᇱ = ℎଷ 12 ܣ = ܾ. ℎ xത =ܾ 3
yത = ℎ 3 ܫ ҧ௫ᇲ =ܾ ℎଷ 36 ܫ ҧ௫ᇱ = ℎଷ 36 ܣ = ܾ. ℎ 2ൗ x y CG b h y' x' x y CG b h y' x'
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15. 15. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 15 y x 20 mm
40 mm 20 mm r =7,5 mm 10 mm y x 20 mm 40 mm 20 mm r =7,5 mm 10 mm Y’ X’ A1 A2 c Exemplo 5:
determine os momentos de inércia em relação aos eixos centroidais ou baricêntricos X’ e Y’ da superfície
plana a seguir no sistema internacional. Resolução: Devido à simetria: as coordenadas do centróide são
conhecidas: X=20 mm; Y=10 mm; Dividir a superfície plana em superfícies de geometria simples de
centróide conhecido; Ix= ሺIҧ xi i + Aidyi 2 ሻ → Ix = ሺ Iҧ x1 +A 1 dy1 2 ሻ + ሺ Iҧ x2 +A 2 dy2 2 ሻ
Iy= ሺIҧyi i + Aidxi 2 ሻ → Iy = ሺ Iҧ y1 +A 1 dx1 2 ሻ + ሺ Iҧ y2 +A 2 dx2 2 ሻ A1 = 20 . 40 = 800 mm
2 A2 = π . 7,5 2 = 176,71 mm 2 d distâncias entre os eixos centroidais de cada superfície simples até o eixos
centroidais X’ e Y’ da superfície plana: dx1 = 0 mm dy1 = 0 mm dx2 = 0 mm dy2 = 0 mm Iҧx1 =ܾ ℎଷ 12 =
40 . 20ଷ 12 = 26666,67 ݉݉ସ Iҧy1 = ℎଷ 12 = 20 . 40ଷ 12 = 106666,67 ݉݉ସ Iҧx2 = ݎ � ସ 4 = 7,5 . �ସ 4 =
2485,05 ݉݉ସ Iҧy2 = ݎ � ସ 4 = 7,5 . �ସ 4 = 2485,05 ݉݉ସ Ix = ሺ26666,67 + 800 . 0ଶ ሻ ---- ሺ2485,05 + 176,71.
0ଶ ሻ = 24181,62 m݉ସ = 24181241812418124181,,,,62626262 .... ◌ି Iy = ሺ106666,67 + 800 .
0ଶ ሻ ---- ሺ2485,05 + 176,71 . 0ଶ ሻ = 104181,62 m݉ସ = 104181104181104181104181,,,,62626262 ....
◌ି Tabela 1 e tabela 2 xത ݁ yത ܫ ҧ௫ᇱ e ܫ ҧ௬ᇱ Área xത =ܾ 2 yത = ℎ 2 ܫ ҧ௫ᇲ =ܾ ℎଷ 12
’ଶ x = x’ y = y ܣ = �. ݎ ସ 4 � ݎ = ҧ௬ᇱ ܫ ସ 4 � ݎ = ҧ௫ᇱ ܫ ℎ xത = 0 yത = 0 .ܾ = ܣ ҧ௫ᇱ = ℎଷ 12 ܫ
CG r x y CG b h y' x'
16. 16. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 16 y x 15 dm 25
dm r = 7,5 dm Coordenadas do centróide: ഥ = ◌ૢ, ഥ = , y x 15 dm 25 dm r = 7,5
dm 7,5 dm 12,5 dm 3,18 dm 17,5 dm c Y’ X’ 18,18 dm = , ૡ Exemplo 6: determinar os
momentos de inércia em relação aos eixos centroidais ou baricêntricos X’ e Y’ da superfície plana a seguir
no sistema internacional. Resolução: Conhecido as coordenadas do centróide os momentos de inércia em
relação aos eixos centroidais ou baricêntricos X’ e Y’ podem ser determinados; ഥ = ◌ૢ, ; ഥ =
, ; A1 = 15 . 25 = 375 dm 2 A2 = π. 7,5 2 /2 = 88,36 dm 2 d distâncias entre os eixos centroidais
de cada superfície simples até o eixo centroidal X’ e Y’ da superfície plana: dx1 = 9,54 - 7,5 = 2,04 dm dy1
= 13,45 - 12,5 = 0,95 dm dx2 = 18,18 - 9,54 = 8,64 dm dy2 = 17,5 - 13,45 = 4,05 dm Ix= ሺIҧ xi i +
Aidyi 2 ሻ → Ix = ሺ Iҧ x1 +A 1 dy1 2 ሻ + ሺ Iҧ x2 +A 2 dy2 2 ሻ Iy= ሺIҧyi i + Aidxi 2 ሻ → Iy = ሺ Iҧ
y1 +A 1 dx1 2 ሻ + ሺ Iҧ y2 +A 2 dx2 2 ሻ Iҧx1 =ܾ ℎଷ 12 = 15 . 25ଷ 12 = 19531,25 ݉݀ସ Iҧy1 = ℎଷ 12 = 25
. 15ଷ 12 = 7031,25 ݉݀ସ Iҧx2 = 0,3927 ݎ ସ = 0,3927 . 7,5ସ = 1242,53 ݉݀ସ Iҧy2 = 0,1098 ݎ ସ = 0,1098 7,5ସ =
347,41 ݉݀ସ Ix = ሺ19531,25 + 375 . 0,95ଶ ሻ + ሺ1242,53 + 88,36. 4,05ଶ ሻ = 22561,54 ݉݀ସ ====22561225612256122561,,,,54545454 .... 1111 ◌ି Iy = ሺ7031,25 + 375 . 2,04ଶ ሻ + ሺ347,41 + 88,36
. 8,64ଶ ሻ = 15535,30 ݉݀ସ ==== 15535155351553515535,,,,30303030 .... 1111 ◌ି Tabela 2 xത ݁ yത
= ℎ xത = 0 yത .ܾ = ܣ ҧ௫ᇱ = ℎଷ 12 ܫ ҧ௫ᇲ =ܾ ℎଷ 12 ܫ ҧ௬ᇱ Área xത =ܾ 2 yത = ℎ 2 ܫ ҧ௫ᇱ e ܫ
'ଶ x y = y’ r x'CG x y CG b h y' x ܣ = �. ݎ ସ ݎ ҧ௬ᇱ = 0,3927 ܫ ସ ݎ ҧ௫ᇲ = 0,1098 ݎ �3 ܫ4
17. 17. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 17 y x 25 cm 40
cm 80 cm a =14 cm 20 cm a a y x 25 cm 40 cm 80 cm a =14 cm20 cm a a 55 cm A1 A2 40 cm c
Coordenadas do centróide: ഥ = , ഥ = , Exemplo 7: determine os momentos de
inércia em relação aos eixos centroidais ou baricêntricos X e Y da superfície plana a seguir no sistema
internacional. Resolução: Conhecido as coordenadas do centróide os momentos de inércia em relação aos
eixos centroidais ou baricêntricos podem ser determinados; A1 = 40 . 80 = 3200 cm 2 A2 = 14 . 14 = 196
cm 2 Ix= ሺIҧ xi i + Aidyi 2 ሻ → Ix = ሺ Iҧ x1 +A 1 dy1 2 ሻ - ሺ Iҧ x2 +A 2 dy2 2 ሻ Iy= ሺIҧyi i +
Aidxi 2 ሻ → Iy = ሺ Iҧ y1 +A 1 dx1 2 ሻ - ሺ Iҧ y2 +A 2 dx2 2 ሻ d distâncias entre os eixos centroidais de
cada superfície simples até o eixos centroidais X’ e Y’ da superfície plana: dx1 = 0 cm dy1 = 46,2 - 40 =
6,2 cm dx2 = 0 cm dy2 = 55 - 46,2 = 8,8 cm Iҧx1 =ܾ ℎଷ 12 = 40 . 80ଷ 12 = 1706666,67 ݉ܿସ Iҧx2 =ܽ ସ 12 =
14ସ 12 = 3201,33 ݉ܿସ Iҧy1 = ℎଷ 12 = 80 . 40ଷ 12 = 426666,67 ݉ܿସ Iҧy2 =ܽ ସ 12 = 14ସ 12 = 3201,33 ݉ܿସ Ix
= ሺ1706666,67 + 3200 . 0ଶ ሻ - ሺ3201,33 + 196 . 0ଶ ሻ = 1703465,34 ݉ܿସ =
1703465170346517034651703465,,,,34343434 .... 1111 ◌ૡି Iy = ሺ426666,67 + 3200 . 6,2ଶ ሻ -
ሺ3201,33 + 196 . 8,8ଶ ሻ = 531295,10 ݉ܿସ = 531295531295531295531295,,,,10101010 .... 1111 ◌ૡି 
Tabela 1 e tabela 2 xത ݁ yത ܫ ҧ௫ᇱ e ܫ ҧ௬ᇱ Área xത =ܾ 2 yത = ℎ 2 ܫ ҧ௫ᇲ =ܾ ℎଷ 12 ܫ ҧ௫ᇱ =
https://image.slidesharecdn.com/resmatiimaterialdeaulacomexerciciosdaav1atav2-151122164342-lva1-app6892/95/resmat-ii-material-de-aula-com-exercicios-da-av1-at-av2-15-638.jpg?cb=1448210672
https://image.slidesharecdn.com/resmatiimaterialdeaulacomexerciciosdaav1atav2-151122164342-lva1-app6892/95/resmat-ii-material-de-aula-com-exercicios-da-av1-at-av2-16-638.jpg?cb=1448210672
https://image.slidesharecdn.com/resmatiimaterialdeaulacomexerciciosdaav1atav2-151122164342-lva1-app6892/95/resmat-ii-material-de-aula-com-exercicios-da-av1-at-av2-17-638.jpg?cb=1448210672
03/12/2020 Resmat ii material de aula com exercicios da av1 até av2
https://pt.slideshare.net/100002682467509/resmat-ii-material-de-aula-com-exercicios-da-av1-at-av2 224/240
ℎଷ 12 ܣ = ܾ. ℎ xത = 0 yത = 0 ܫ ҧ௫ᇱ =ܽ ସ 12 ܫ ҧ௬ᇱ =ܽ ସ 12 ܣ = ܽଶ x = x’ y = y’ CG a a x y CG b h
y' x'
18. 18. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 18 ܫ ୶ = 83,08
cm4 = 83,08 . 10ି଼ m4 R: ܺത=ܻ= 0; ܫ ୷ =29,08 cm4 = 29,08 . 10ି଼ m4 ܫ ୶ =83,70 cm4 = 83,70 . 10ି଼ m4 R:
ܺത=0; ܻത=2,19 cm; ܫ ୷ =260,66 cm4 = 260,66 . 10ି଼ m4 1 Lista de exercícios: 1) Determine a distância ܻത
para o centróide C da área da seção transversal da viga T e calcule os momentos de inércia em relação ao
baricentro; Forneça os momentos de inércia em mm4 e m4 R: ܻത=206,82 mm; ܫ ୶ =22163,83 . 10ସ mm4 =
22163,83 . 10ି଼ m4 ܫ ୷ =111510,42 . 10ସ mm4 = 11510,42 . 10ି଼ m4 2) Determine a distância xത e yത para
o centróide C da área da seção em L e calcule os momentos de inércia em relação ao baricentro. Forneça os
momentos em cm4 e m4 . R: ܺത=1,5 cm; ܻത= 1,0 cm; ܫ ୶ = 4,0 cm4 = 4,0 . 10ି଼ m4 ܫ ୷ = 8,5 cm4 = 8,5 .
10ି଼ m4 3) Determine os momentos de inércia em relação; ao baricentro. Forneça os momentos em cm4 e m4
. 4) Determine a distância ܻത para o centróide C da da área da seção transversal da viga e depois calcule os
momentos de inércia em relação ao baricentro. Forneça os momentos de inércia em em cm4 e m4 . 1 cm1
cm 1 cm 1 cm 2 cm3 cm 4 cm 50 mm 150 mm 150 mm 250 mm 25 mm25 x y x y 3 cm 1 cm 3 cm 1 cm x y
4 cm 1 cm 1 cm 3,5 cm 5 cm 1 cm x y 3 cm2 cm 3 cm
19. 19. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 19 ܫ ୶ =5,365
cm4 = 5,365 . 10ି଼ m4 R: ܺത=1,36 cm; ܻത=1,50 cm; ܫ ୷ =5,21cm4 = 5,21 . 10ି଼ m4 ܫ ୶ =19,91 . 10ସ cm4 =
19,91 . 10ିସ m4 R: ܺത=0; ܻത=18,3 cm; ܫ ୷ =17,12 . 10ସ cm4 = 17,12 . 10ିସ m4 ܫ ୶ =23,71 . 10ସ cm4 =
23,71 . 10ିସ m4 R: ܺത=14,97 cm; ܻത=-0,0306 cm; ܫ ୷ =13,70 . 10ସ cm4 = 13,70 . 10ିସ m4 5) Determine a
distância xത e yത para o centróide C da área da seção em L e calcule os momentos de inércia em relação
ao baricentro. Forneça os momentos em cm4 e m4 . 6) Determine a distância yത para o centróide C da
área da seção em L e calcule os momentos de inércia em relação ao baricentro. Forneça os momentos em
cm4 e m4 ; 7) Determine a distância ܺഥ ݁ ܻത para o centróide C da área da seção transversal e calcule os
momentos de inércia em relação ao baricentro Forneça os momentos em cm4 e m4 ; 15 cm 25cm 20 cm 35
cm 20cm r1r1 r1 r1 r2 r2 r1 = 10 cm r2 = 7 cm x y x 3 cm 1,5 cm r = 1,5 cm y x 30 cm 10 cm r = 5 cm 15
cm y 50 cm
20. 20. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 Prof: Marcos
Vinicios Resistência dos Materiais 2 1
21. 21. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 Prof: Marcos
Vinicios Resistência dos Materiais 2 2
22. 22. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 Prof: Marcos
Vinicios Resistência dos Materiais 2 3
23. 23. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 Prof: Marcos
Vinicios Resistência dos Materiais 2 4
24. 24. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 Prof: Marcos
Vinicios Resistência dos Materiais 2 5
25. 25. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 Prof: Marcos
Vinicios Resistência dos Materiais 2 6
26. 26. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 Prof: Marcos
Vinicios Resistência dos Materiais 2 7
27. 27. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 Prof: Marcos
Vinicios Resistência dos Materiais 2 8
28. 28. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 1
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 As anotações, fotos, gráficos e tabelas contidas neste texto, foram
retiradas dos seguintes livros: - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - Ferdinand P. Beer - E. Russel
Johnston Jr. Ed. PEARSON - 3ª edição – 1995 - RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - R. C. Hibbeler Ed.
PEARSON - 5ª edição – 2004 Parte 02: Tensão e deformação Carregamento Axial - Tensão Normal sob
carga axial; - Deformação Normal Média sob carga axial; - Diagrama tensão-deformação; - Lei de Hooke; -
Deformação Normal elástica sob carga axial;
29. 29. Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios Disciplina: Resistência dos Materiais 2 2 5 cm 4 Áreas
vazadas 5 cm 17 cm 10 kN 17 cm 1 - Tensão Normal Média ( - letra grega sigma) Para a barra BC,
conforme mostra a figura 1, está submetida à ação de uma força Normal ou axial P. A relação entre a força
https://image.slidesharecdn.com/resmatiimaterialdeaulacomexerciciosdaav1atav2-151122164342-lva1-app6892/95/resmat-ii-material-de-aula-com-exercicios-da-av1-at-av2-18-638.jpg?cb=1448210672
https://image.slidesharecdn.com/resmatiimaterialdeaulacomexerciciosdaav1atav2-151122164342-lva1-app6892/95/resmat-ii-material-de-aula-com-exercicios-da-av1-at-av2-19-638.jpg?cb=1448210672
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https://image.slidesharecdn.com/resmatiimaterialdeaulacomexerciciosdaav1atav2-151122164342-lva1-app6892/95/resmat-ii-material-de-aula-com-exercicios-da-av1-at-av2-21-638.jpg?cb=1448210672
https://image.slidesharecdn.com/resmatiimaterialdeaulacomexerciciosdaav1atav2-151122164342-lva1-app6892/95/resmat-ii-material-de-aula-com-exercicios-da-av1-at-av2-22-638.jpg?cb=1448210672