Econometria - parte 3

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AN02FREV001/REV 4.0 
 42 
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO CONTINUADA A DISTÂNCIA 
Portal Educação 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE 
ECONOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aluno: 
 
EaD - Educação a Distância Portal Educação 
 
 
 
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 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO DE 
ECONOMETRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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são dados aos seus respectivos autores descritos nas Referências Bibliográficas. 
 
 
 
 
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MÓDULO III 
 
 
4 MODELO LINEAR SIMPLES 
 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
 
 
Um modelo econométrico pretende dar respostas quantitativas sobre um 
determinado modelo econômico. O modelo linear simples parte de uma relação 
econômica entre duas variáveis dada por uma teoria escolhida por um 
econometrista. 
 
 
4.2 PRESSUPOSTOS DO MODELO 
 
 
O modelo linear simples apresenta apenas UMA variável explicativa, o que 
torna o modelo LIMITADO para a análise dos fenômenos complexos, isto é, 
dependente de muitos fatores. Sua equação é: 
 
)1.4().......,,3,2,1( ni
i
u
i
bXa
i
Y  
 
onde Yi é a variável dependente, Xi é a variável explicativa, ui é o termo 
aleatório (também chamado de resíduos), a e b são os parâmetros a serem 
estimados, n é o tamanho da amostra e o índice i refere-se à unidade de 
observação dos valores das variáveis. 
 
 
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 45 
Os parâmetros da equação 4.1 serão estimados a partir de dados amostrais 
de Yi e Xi, mas para isso alguns pressupostos em relação aos resíduos terão 
que ser satisfeitos para que a estimativa seja válida. São eles: 
1) Aleatoriedade de ui – a variável ui é real e aleatória. 
2) Média zero de ui – a variável tem média zero, isto é, 0)( iuE . 
3) Homocedasticidade - ui tem variância constante, ou seja, 
22 )()(var  iuEi
u . 
 
 
4) A variável ui tem distribuição normal, isto é, ),0(~
2N
i
u . 
5) Não autocorrelação dos erros (resíduos). 
6) Independência entre ui e Xi. 
 
 
4.3 MÉTODO DE ESTIMAÇÃO 
 
 
Diversos métodos são sugeridos pelas literaturas para estimar os 
parâmetros de um modelo econométrico. Os principais são o Método dos Mínimos 
Quadrados (MQ0 e o método da Máxima Verossimilhança MV). Aqui será abordado 
apenas o Método dos mínimos quadrados. 
 
 
4.3.1 Método dos Mínimos Quadrados 
 
 
A equação estimada correspondente ao modelo teórico (4.1) pode ser 
escrita da seguinte forma: 
 
)2.4(,
^^^^^
i
e
i
XbaiYoui
XbaiY  
 
 
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 46 
 
onde os acentos circunflexos indicam estimativas e ei são os erros, os resíduos 
estimados. 
A partir de uma amostra dos valores de Yi e Xi, é possível estimar os parâmetros a e 
b. O objetivo da estimação pelo método dos mínimos quadrados é fazer com que os 
erros ou resíduos sejam mínimos. 
Reescrevendo a equação (4.2), temos: 
 
)3.4()()(
^^^
XbaYYY
i
e ii  
Elevando a equação (4.3) ao quadrado e somando-se os valores das 
variáveis para abranger todas as unidades de observação, temos: 
 
 
)4.4()(
2
^^
2  



 XbaYeSR 
 
A aplicação do método dos mínimos quadrados consiste na obtenção das 
estimativas dos parâmetros a e b da equação (4.1), de modo que a soma dos 
resíduos (SR) seja mínima. Assim, derivando-se a equação (4.4) em relação à 
^
a e 
a
^
b e igualando-se essas derivadas a zero e reordenando os termos, obtêm-se o 
seguinte sistema de equações: 
 
0)()ˆ(2
)(
)(
)5.4(
0)1()ˆ(2
)(
)(
^




XXbâY
bd
SRd
XbâY
âd
SRd
 
 
Simplificando e ordenando os termos do sistema de equações (4.5), é obtido o 
sistema de equações normais: 
 
 
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  
 


2ˆˆ
)6.4(
ˆˆ
XbXaYX
XbnaY
 
 
Resolvendo o sistema (4.6) para 
^
a e 
^
b , obtêm-se as estimativas de mínimos 
quadrados dos parâmetros a e b: 
 
 
 
)8.4(ˆˆ
)7.4(
/
/.
ˆ
22
XbYa
nXX
nXYXY
b




 
 
 
 
 
4.4 ANÁLISE DE RESÍDUOS 
 
 
Maddala (1987: 88-90) diz que a análise dos resíduos pode revelar: existência 
de outliers, omissão de variáveis explicativas relevantes, correlação entre os 
resíduos, variância não constante e distribuição não normal. 
Outliers referem-se às observações que apresentam comportamento diferente 
em virtude de características ou acontecimentos específicos e associados a essas 
observações. 
 
 
4.5 LIMITAÇÕES DA ECONOMETRIA 
 
 
Após verificar a especificação, a tipologia de modelos, pressupostos básicos, 
métodos de estimação e resíduos, é importante destacar que a Econometria 
apresenta limitações. 
 
 
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 48 
Segundo estudiosos, tais limitações seriam de ordem estatística e 
econômica. 
Alguns problemas de ordem estatística: 
1) Amostras pequenas ou não representativas; 
2) Erros de observações nas variáveis; 
3) Dificuldade de dar tratamento a alguns tipos de modelos não lineares; 
4) Autocorrelação observada entre os termos residuais. 
 
Alguns problemas de ordem econômica: 
1) Problemas de especificação da teoria e dos erros; 
2) Dificuldade de estabelecer a direção do efeito das variáveis. 
 
 
4.6 EXEMPLOS – MODELO LINEAR SIMPLES 
 
 
1) Com os dados da tabela abaixo, responder: 
 
a) Estimar a equação de demanda por energia elétrica, utilizando o modelo linear; 
 
Tabela Brasil – Índice da quantidade demandada (Q) e da tarifa real média (T) de energia 
elétrica 1981 a 1990 
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 
Q 69 76 81 90 94 100 103 108 113 115 
T 143 134 117 111 109 100 137 122 85 90 
FONTE: IBGE, BACEN e Eletrobrás – Centrais Elétricas Brasileiras S.A. 
 
 
a) 
SOLUÇÃO: 
A estimação da equação da demanda consiste em calcular os parâmetros do 
modelo pelo método dos mínimos quadrados. 
 
 
 
XbYae
nXX
nXYXY
b ˆˆ
/
/.
ˆ
22




 
 
 
 
 
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 49 
Dessa forma, chamando Q = Y e T = X temos: 
 
 
5567,0
6,486.3
2,939.1
10/)148.1(274.135
10/)148.1*949(006.107ˆ
2





b
 
Uma vez conhecida à estimativa de b, calcula-se a estimativa de a: 
 
8092,1588,114*)5567,0(9,94ˆ a 
 
Portanto, a equação da demanda estimada será: 
 
 
 
 
 
2) Considere os dados amostrais de um estudo da relação entre o número de 
anos que os candidatos a empregos em um determinado banco comercial 
estudaram inglês na faculdade e as notas obtidas em um teste de proficiência 
nessa língua. 
 
Número de 
anos (X) 
 
Nota no teste 
(Y) 
3 5,2 
4 7,7 
4 7,4 
2 5,3 
5 9,1 
3 6,4 
4 7,3 
5 8,6 
3 7,4 
2 4,3 
Ob.: dados hipotéticos 
Com base nessas informações, a reta de mínimos quadrados que melhor explica a 
relação entre o número de anos de estudo e a nota do teste de inglês é igual a: 
 
XY 5567,08092,158ˆ  
 
 
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 
 
XbYae
nXX
nXYXY
b ˆˆ
/
/.
ˆ
22




 
 
 
32,1
5,10
85,13
10/)1225(133
10/)5,2404(3,254ˆ 


b
 
25,2)5,3*32,1(87,6ˆ a 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.7 AVALIAÇÃO DE MODELOS ESTIMADOS 
 
 
A avaliação da estimativa de um modelo, além da verificação da 
consistência teórica, envolve a mensuração do grau de confiabilidade em termos 
probabilísticos, fundamental para validação das decisões ou previsões. 
 
 
4.7.1 Qualidades Desejáveis dos Estimadores 
 
 
Algumas definições: 
1) Estimadores: procedimento utilizado para transformar um conjunto de dados 
amostrais em um valor particular; 
2) Estimativa: valor particular gerado por um estimador. 
 
As qualidades desejáveis para os estimadores são: 
 
XY 32,125,2ˆ  
 
 
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 51 
Não tendenciosidade: tendência é a direção do movimento de longo prazo na série 
temporal.O estimador Ŷ será não tendencioso se a média ou o valor esperado de Ŷ 
for igual ao verdadeiro valor: E( Ŷ ) = Y. 
 
Eficiência ou variância mínima: quanto menor for a variância mais eficiente o 
estimador será. Quando o estimador não é tendencioso e com variância zero, pode-
se determinar com certeza o valor numérico de verdadeiro parâmetro de regressão. 
E( Ŷ ) – Y = 0. 
 
Consistência: refere-se às mudanças que ocorrem na distribuição amostral à 
medida que o tamanho da amostra aumenta. 
 
 
4.7.2 Critérios de Avaliação de Estimativas de Modelos 
 
 
Na Econometria existem critérios capazes de qualificar os resultados obtidos 
com a formulação e estimação de um modelo. A avaliação da estimativa de um 
modelo tem como finalidade verificar se os parâmetros estimados (a e b) são ou não 
teoricamente significativos e estatisticamente satisfatórios e confiáveis. 
A literatura sugere três critérios de avaliação: critérios derivados da teoria 
econômica, critérios estatísticos e critérios econométricos propriamente ditos. 
 
 
4.7.2.1 Critérios derivados da teoria econômica ou das hipóteses formuladas 
 
 
Por meio desses critérios, é possível comparar os coeficientes da equação 
estimada com o que foi estabelecido a priori em termos de sinal e da magnitude dos 
parâmetros da relação econômica. 
Nem sempre os sinais e a magnitude de um coeficiente estimado estão de 
acordo com o que se espera a priori e as possíveis razões são as seguintes: 
 
 
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 52 
deficiência dos dados utilizados na estimação; número de observações não 
adequadas em termos de tamanho ou de representatividade do fenômeno em 
estudo, e a violação de algum pressuposto básico do modelo. 
 
 
4.7.2.2 Critérios Estatísticos 
 
 
Esses critérios têm por objetivo verificar o grau de confiabilidade das 
estimativas obtidas. Isso é feito mediante a utilização de coeficientes de 
determinação, do erro-padrão da estimativa e de testes de hipóteses realizados com 
as estatísticas t e F. 
 
 
4.7.2.3 Critérios Econométricos 
 
 
Esses critérios visam verificar se as estimativas dos parâmetros possuem ou 
não as qualidades desejáveis de não tendenciosidade, eficiência e consistência. 
 
 
4.8 ESTATÍSTICAS DE AVALIAÇÃO 
 
 
4.8.1 Análise de variância simples 
 
 
A decomposição da variação de Y é normalmente utilizada para a análise da 
variância como mostrado no quadro abaixo. 
 
Fonte de 
variação de Y 
(FV) 
Variações (V) ou soma de quadrados 
(SQ) 
Graus de 
Liberdade (GL) 
Soma de quadrados 
média 
(SQM = SQ/GL) 
 
Variável X 
     nXYYXbyxbVE /ˆˆ k VE/k 
 
 
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 53 
 
 
Resíduo 
 
  22 )ˆ( YYeVEVTVR n-k-1 )1(/2  knVRs 
 
Total 
 
  nYYyVT /)( 222 n-1 - 
Onde n = tamanho da amostra e k = número de variáveis explicativas. 
FONTE: MATOS, pág. 67 
 
 
Análise da Variância: VT, VR e VE 
 
 
 
VT= Variação Total = Soma dos Quadrados Totais (SQT) 
VR= Variação residual = Soma de quadrados residual (erros) (SQE) 
VE= Variação Explicada = Soma dos Quadrados da Regressão (SQR) 
 
 
4.8.2 Decomposição das principais estatísticas de avaliação 
 
 
O quadro de análise da variância apresentado acima fornece elementos que 
permitem definir as estatísticas de avaliação. 
 
 
4.8.2.1 Variância amostral ou residual 
 
 
)1(
)ˆ(
)1()1(
22
2








kn
YY
kn
e
kn
VR
s
 
onde (n – k – 1) é o número de graus de liberdade do estimador de mínimos 
quadrados da variância amostral, s2, que mede o grau de dispersão entre os valores 
observados e estimados de Y. A raiz quadrada de s2 é denominada erro padrão da 
estimativa. 
 
 
 
 
 
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 54 
 
 
4.8.2.2 Coeficiente de determinação 
 
 
Indica a parcela da variação de Y explicada pela variação de X, ou o quanto 
a variação de X explica a Variação de Y. 
 
VT
VR
VT
VE
R  12 
 
 
4.8.2.3 Estatística F 
 
 
Testa o efeito conjunto das variáveis explicativas (x) sobre a dependente (y). 
 
 
)1/(
/
var
expvar
)1;(


knVR
kVE
residualiância
licadaiância
F knk 
 
 
4.8.2.4 Estatística t 
 
 
A estatística t tem a finalidade de testar a significância dos parâmetros 
estimados do modelo. Portanto, a estatística é definida para cada parâmetro do 
modelo: 
1) Estatística t para a estimativa do parâmetro b 
 
 
 
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 55 





2
2
:
0
ˆ
,
ˆ
x
s
sonde
bpara
s
b
tou
s
bb
t
b
bb
 
 
 
No caso do modelo linear simples, tb = (F)
1/2. Portanto, um teste com a 
estatística t equivale, nesse caso, ao realizado com a estatística F. 
 
2) Estatística t para a estimativa do parâmetro a 
 






2
22 *
:
0
ˆ
,
ˆ
xn
sX
sonde
apara
s
a
tou
s
aa
t
a
aa
 
 
 
4.8.3 Teste de Hipóteses e Intervalos de Confiança 
 
 
O teste de hipótese é um processo capaz de afirmar, baseado em dados 
amostrais se uma hipótese é correta ou não. 
 
As hipóteses são de dois tipos: 
 Hipótese Nula (H0) = quando não há diferença entre a informação 
fornecida pela realidade e a afirmação da hipótese. 
 Hipótese Alternativa (H1) = quando há diferença entre a informação 
fornecida pela realidade e a afirmação da hipótese. 
 
Tipos de erros de um teste de hipóteses: o critério adotado para rejeitar 
ou aceitar a hipótese nula, com base na evidência amostral não garante uma 
conclusão correta. Dois tipos de erro podem ocorrer: rejeição da hipótese nula 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 56 
quando ela for verdadeira (erro do Tipo I) e aceitação da hipótese nula quando ela 
for falsa (erro do tipo II). 
 
Os intervalos de confiança poderão ser construídos para os parâmetros “a” 
e “b”, como também poderemos utilizá-los para previsões; 
 
 
Alguns fatores que afetam a amplitude dos Intervalos de previsão: 
 Tamanho da amostra; 
 Desvio Padrão; 
 Desvio de Xi com relação ao Xmédio; 
 Variabilidade dos Xi observados. 
 
 
4.8.4 Regressão e Correlação 
 
 
Na análise de correlação, o principal motivo é medir o grau de associação 
linear entre duas variáveis. 
Na análise de regressão, tenta-se estimar ou prever o valor médio de uma 
variável com base nos valores fixos de outra variável. 
Vale ressaltar que o modelo linear geral (que será acordado aqui), é a 
extensão do modelo linear simples, cuja diferença está no número de variáveis 
explicativas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 57 
 
 
4.8.5 Exemplos 
 
 
O exemplo a seguir irá ilustrar a elaboração do quadro de análise de 
variância e o cálculo das estatísticas de avaliação, a partir das definições 
apresentadas na teoria. 
 
Exemplo: Com base nos dados (mesmos dados utilizados no exemplo 1 – 
item 4.6) sobre a demanda de energia elétrica da tabela abaixo, solicita-se: 
a) Elaborar o quadro de análise da variância; 
b) Calcular as estatísticas de avaliação R2, F, tb e ta; 
 
Tabela Brasil – Índice da quantidade demandada (Q) e da tarifa real média (T) de energia 
elétrica 1981 a 1990 
Ano 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 
Q 69 76 81 90 94 100 103 108 113 115 
T 143 134 117 111 109 100 137 122 85 90 
FONTE: IBGE, BACEN e Eletrobrás – Centrais Elétricas Brasileiras S.A. 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
Conforme já calculada anteriormente, a equação estimada para o dos dados 
acima foi: 
 
 
a) Quadro – Análise da variância 
 
     nXYYXbyxbVE /ˆˆ 
 
Portanto: 
XY 5567,08092,158ˆ  
 
 
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 ]10/148.1*949(006.107[*)5567,0(VE 
5,079.1)2,939.1(*)5567,0( VE 
 
  nYYyVT /)( 222 
90,240.210/)949(*301.92 2 VT 
 
55,161.15,079.190,240.2  VEVTVR 
 
1688,1458/55,161.1)1(/2  knVRs 
 
 
QUADRO DE RESULTADOS 
Fonte de variação de 
Y (FV) 
Variações (V) ou 
soma de quadrados 
(SQ) 
Graus de Liberdade 
(GL) 
Soma de quadrados 
média 
(SQM = SQ/GL) 
 
X = Tarifa 
 
1.079,551 1.079,55 
 
Resíduo 
 
1.161,35 8 145,1688 
 
Total 
 
2.240,90 9 - 
 
 
b) Cálculo das estatísticas de avaliação: 
1) Coeficiente de determinação: 
%2,48482,0
90,240.2
55,079.12 ou
VT
VE
R  
 
 
2) Estatística F 
 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 59 
437,7
)1110/(35,161.1
1/55,079.1
)1/(
/
var
expvar
)8;1(
)1;(





F
knVR
kVE
residualiância
licadaiância
F knk
 
 
 
3) Estatística t 
 
Estatística t para o parâmetro b 
 
Seja: 
 




2
2
:,
ˆ
x
s
sonde
s
bb
t b
b
 e lembrando que 
 
  60,483.310/)148.1(274.135/)( 22222    nXXXXx 
 
Dessa forma, 2041,060,483.3/1688,145 bs , portanto, para b = 0, 
 
73,2
2041,0
5567,0


bt 
 
Estatística t para o parâmetro a 
 





2
22 *
:
ˆ
xn
sX
sonde
s
aa
t a
a
 
 
Dessa forma, 
 
7427,23)60,343.3*10(/)1688,145*274.135( as 
 
 
 AN02FREV001/REV 4.0 
 60 
 
Portanto, para a = 0, 69,6
7427,23
8092,158
at 
 
 
4.9 EXERCÍCIOS – MÓDULO III 
 
 
1) O que você entende por estimadores não tendenciosos, eficientes e consistentes? 
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ 
 
2) Qual o objetivo de um teste de hipóteses? 
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
 
 
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 61 
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ 
 
 
3) Quais os critérios normalmente usados para a avaliação da estimativa de um 
modelo econométrico? Qual o significado de cada um desses critérios? 
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________ 
 
 
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FIM DO MÓDULO III