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Probabilidades e Estatística
Regente: Prof. Doutor Miranda Muaualo
Engenharias: E11, E12, F11, M12 e M13 - 1o Ano - II Semestre
Teoria de Probabilidades
12 - 16 de Outubro de 2020
Regente: Prof. Doutor Miranda Muaualo (ISUTC) Probabilidades e Estatística 12 - 16 de Outubro de 2020 1 / 19
Sumário
� Probabilidades condicionadas
� Axiomática e teoremas da teoria das probabilidades na probabilidade
condicionada
� Probabilidade de interseção de acontecimentos
� Acontecimentos independentes
� Acontecimentos independentes versus acontecimentos
incompatíveis ou mutuamente exclusivos
� Teorema da probabilidade total
� Fórmula de Bayes
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Teoria das probabilidades
Probabilidades condicionadas
� Por definição a probabilidade condicional é dada por
P [A|B] =
P [A ∩ B]
P [B]
se P [B] > 0
isto é, a probabilidade de um acontecimento (A) condicionado pela
ocorrência de outro (B) é igual ao quociente entre a probabilidade
de ambos se realizarem (A∩B) e a probabilidade do acontecimento
dado.
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Teoria das probabilidades
Exemplo de Probabilidade condicional
� Imagine que temos um saco com 2 bolas laranjas e 3 vermelhas.
Qual seria a probabilidade de retirarmos 2 bolas vermelhas em
sequência?
� Temos os seguintes eventos (acontecimentos) possíveis:
� A: Primeira bola ser vermelha;
� B: Primeira bola ser laranja;
� C: Segunda bola ser vermelha; e
� D: Segunda bola ser laranja.
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Teoria das probabilidades
Exemplo de Probabilidade condicional
� Podemos organizar todas as probabilidades dentro do que
chamamos de árvore de probabilidades que será muito útil em
muitas situações:
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Teoria das probabilidades
Exemplo de Probabilidade condicional
� A situação que queremos, que é ocorrer A e C, ou seja, A∩C, pode
também ser ilustrada assim:
� Logo: P(A ∩ C) = P(A) · P(C/A) = 35 ·
1
2 =
3
10
� A probabilidade condicional é dada por:
� P(C/A) = P(A∩C)P(A) =
P(A)·P(C/A)
P(A) =
1
2
� Lê-se: A probabilidade da segunda bola ser laranja dado que a
primeira foi laranja.
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Teoria das probabilidades
Axiomática e teoremas da teoria das probabilidades na probabilidade
condicionada
O conceito de probabilidade condicionada satisfaz todos os axiomas
da teoria das probabilidades introduzidos anteriormente. Assim,
sendo B um acontecimento tal que P [B] > 0:
� P [A|B] ≥ 0
� P [Ω|B] = 1
� Se A1 e A2 são mutuamente exclusivos (isto é, A1 ∩ A2 = ∅),
então:
P [A1 ∪ A2|B] = P [A1|B] + P [A2|B]
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Teoria das probabilidades
Probabilidade de interseção de acontecimentos
� A probabilidade de interseção de dois acontecimentos, A e B,
decorre da probabilidade condicionada. Assim,
P [A ∩ B] = P [A|B] · P [B] , com P [B] 6= 0
ou
P [A ∩ B] = P [B|A] · P [A] , com P [A] 6= 0
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Teoria das probabilidades
Probabilidade de interseção de acontecimentos
� Generalização a n acontecimentos A1, A2,. . . ,An:
P [A1 ∩ A2 ∩ · · ·An] = P [An|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1] ·
·P [An−1|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−2] ·
·P [An−2|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−3] ·
. . . P [A2|A1] · P [A1] .
sendo não nula a probabilidade de qualquer um dos acontecimentos
condicionantes.
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Teoria das probabilidades
Acontecimentos independentes
� Se para dois acontecimentos A e B, de probabilidade não nula,
suceder que a ocorrência ou não de algum deles não afeta a
probabilidade de ocorrer o outro, isto é, se
P [A|B] = P [A] ou se P [B|A] = P [B]
então A e B consideram-se acontecimentos independentes.
� Dois acontecimentos A e B dizem-se independentes se e só se a
seguinte condição for verificada:
P [A ∩ B] = P [A] · P [B]
isto é, se a probabilidade da sua interseção for igual ao produto das
probabilidades de cada um deles.
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Teoria das probabilidades
Acontecimentos independentes
� Teoremas: Se A e B são acontecimentos independentes, então:
1) A e B também o são
2) A e B também o são
3) A e B também o são
� Generalizando o conceito de acontecimentos independentes: A1, A2,. . . , An
dizem-se independentes se se verificarem simultaneamente as seguintes
condições:
P [Ai ∩ Aj] = P [Ai] · P [Aj] ∀ i, j = 1, 2, . . . , n, com i 6= j
P [Ai ∩ Aj ∩ Ak] = P [Ai] · P [Aj] · P [Ak]
∀ i, j, k = 1, 2, . . . , n, com i 6= j, i 6= k, j 6= k
· · ·
P
[ n⋂
i=1
Ai
]
=
n∏
i=1
P [Ai]
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Teoria das probabilidades
Acontecimentos independentes
� Os acontecimentos A1, A2,. . . ,An dir-se-ão independentes dois a
dois se verificarem apenas a primeira condição. A última condição
é necessária, mas não suficiente para que A1,A2,. . . ,An sejam
independentes.
Acontecimentos independentes versus acontecimentos incompatíveis
ou mutuamente exclusivos
Sejam A e B dois acontecimentos tais que P [A] > 0 e P [B] > 0,
� No caso dos acontecimentos serem incompatíveis (mutuamente
exclusivos) tem-se por definição, (A ∩ B) = ∅, e
consequentemente, P [A ∩ B] = 0. Os acontecimentos não
podem ser independentes, pois para isso, e por definição de
independência, seria P [A ∩ B] = P [A] · P [B] > 0, pois ambos os
acontecimentos teem probabilidades não nulas.
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Teoria das probabilidades
Acontecimentos independentes versus acontecimentos incompatíveis
ou mutuamente exclusivos
� No caso dos acontecimentos serem independentes não podem ser
mutuamente exclusivos, pois se são independentes então,
P [A ∩ B] = P [A] · P [B] é maior que zero; para serem
simultaneamente mutuamente exclusivos esta probabilidade teria
de ser nula, fato impossível a não ser que algum dos
acontecimentos tivesse probabilidade nula, o que não é o caso.
� Assim, em geral, dois acontecimentos não podem ser
simultaneamente independentes e mutuamente exclusivos. Existe,
no entanto, um caso particular em que isso pode ocorrer: é o caso
em que um dos acontecimentos é impossível, porque este é
sempre independente e mutuamente exclusivo de todo e qualquer
outro acontecimento possível.
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Teoria das probabilidades
Teorema da probabilidade total e fórmula de Bayes
Diz-se que os acontecimentos A1, A2,. . . ,An definem uma partição em Ω,
quando se verificam simultaneamente as seguintes condições:
� A união de todos os acontecimentos é o próprio espaço de resultados :
n⋃
i=1
Ai = Ω
� Os acontecimentos são mutuamente exclusivos, dois a dois:
Ai ∩ Aj = ∅ i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n
� Todos os acontecimentos têm probabilidade não nula
P [Ai] > 0 i = 1, 2, . . . , n
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Teoria das probabilidades
Teorema da probabilidade total
Se os acontecimentos A1,A2,. . . ,An definem uma partição sobre Ω, então para
qualquer acontecimento B definido em Ω tem-se que:
P [B] =
n∑
i=1
P [B|Ai]× P [Ai]
= P [B|A1]× P [A1] + P [B|A2]× P [A2]
+ · · · + P [B|An]× P [An]
Fórmula de Bayes
Se A1, A2,. . . ,An definem uma partição sobre Ω, então, para B definidoem Ω,
com P [B] > 0:
P [Aj|B] =
P [Aj]× P [B|Aj]
n∑
i=1
P [Ai]× P [B|Ai]
, para j = 1, 2, . . . , n
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Teoria das probabilidades
Exemplo:
� Uma companhia de seguros tem três tipos de apólices de carros.
Tipo I para grandes riscos, Tipo II para médios riscos e Tipo III para
pequenos riscos. As preferências para cada tipo são 20%, 40% e
40% respectivamente. A probabilidade de um segurado do Tipo I
sofrer acidente é 0.01, a do Tipo II é 0.02 e a do Tipo III é 0.08.
� Qual a probabilidade do segurado sofrer um acidente?
� Se um segurado sofre um acidente, qual a probabilidade de ser um
segurado do Tipo I?
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Teoria das probabilidades
Acontecimentos e dados:
Consideremos os seguintes acontecimentos:
I: O segurado ser do Tipo I
II: O segurado ser do Tipo II
III: O segurado ser do Tipo III
A: O segurado sofrer um acidente
P(I) = 0.2 P (A/I) = 0.01
P(II) = 0.4 P (A/II) = 0.02
P(III) = 0.4 P (A/III) = 0.08
Aplicação de Teorema de Probabilidade Total: Resolução da a):
P(A) = P(I) · P (A/I) + P(II) · P (A/II) + P(III) · P (A/III)
P(A) = 0.2× 0.01 + 0.4× 0.02 + 0.4× 0.08 = 0.042
Aplicação do Teorema de Bayes: Resolução da b):
P (I/A) =
P(I) · P (A/I)
P(A)
=
0.2× 0.01
0.042
= 0.048
R: A probabilidade de ser um segurado do Tipo I é de 0.048.
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Bibliografia
� Bussab, W. de O. e Morettin, P. A. Estatística Básica, 8a Edição,
São Paulo: Saraiva, 2013;
� James, B. R. Probabilidade: um curso em nível intermediário, Rio
de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1981;
� Reis, E. et al. Estatística Aplicada, Volume 1, 5a Edição, Edições
Sílabo, Lisboa, 2007;
� Ross, S. Probabilidade: um curso moderno com aplicações, 8a
Edição, Porto Alegre:Bookman, 2010; e
� Triola, M. F. Introdução à Estatística, 7a Edição, Rio de Janeiro:
LTC, 1999.
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OBRIGADO
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