7º Ano - Sucesso

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ISBN: 978-85-7797-930-1
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e 
Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1998.
Impresso no Brasil
As palavras destacadas de amarelo ao longo do livro sofreram 
modificações com o novo Acordo Ortográfico.
Matemática
7o ano do Ensino Fundamental
Marcelo Bhaskara 
Editor
Lécio Cordeiro
Revisão de texto
Departamento Editorial
Projeto gráfico, editoração eletrônica,
iconografia, infografia e ilustrações
Allegro Digital
 Capa
Gabriella Correia/Nathália Sacchelli/
Sophia karla
Foto: Svetography997I/shutterstock.com
Direção de Arte
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Assessoria pedagógica
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Almir Serpa
Rubem Uchôa
Ricardo Jorge Ribeiro dos Anjos
Coordenação editorial
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Fizeram-se todos os esforços para localizar os detentores dos 
direitos dos textos contidos neste livro. A Distribuidora de Edições 
Pedagógicas pede desculpas se houve alguma omissão e, em 
edições futuras, terá prazer em incluir quaisquer créditos faltantes.
Para fins didáticos, os textos contidos neste livro receberam, 
sempre que oportuno e sem prejudicar seu sentido original, 
uma nova pontuação.
O conteúdo deste livro está adequado à proposta 
da BNCC, conforme a Resolução nº 2, de 22 de 
dezembro de 2017, do Ministério da Educação.
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III
O conhecimento matemático é necessário para todos os alunos 
da Educação Básica, seja por sua grande aplicação na sociedade 
contemporânea, seja pelas suas potencialidades na formação de ci-
dadãos críticos, cientes de suas responsabilidades sociais.
A Matemática não se restringe apenas à quantificação de fe-
nômenos determinísticos – contagem, medição de objetos, gran-
dezas – e das técnicas de cálculo com os números e com as 
grandezas, pois também estuda a incerteza proveniente de fenô-
menos de caráter aleatório. A Matemática cria sistemas abstratos, 
que organizam e inter-relacionam fenômenos do espaço, do mo-
vimento, das formas e dos números, associados ou não a fenôme-
nos do mundo físico. Esses sistemas contêm ideias e objetos que 
são fundamentais para a compreensão de fenômenos, a constru-
ção de representações significativas e argumentações consisten-
tes nos mais variados contextos.
Apesar de a Matemática ser, por excelência, uma ciência hipo-
tético-dedutiva, porque suas demonstrações se apoiam sobre um 
sistema de axiomas e postulados, é de fundamental importância 
também considerar o papel heurístico das experimentações na 
aprendizagem da Matemática.
No Ensino Fundamental, essa área, por meio da articulação 
de seus diversos campos – Aritmética, Álgebra, Geometria, Esta-
tística e Probabilidade, precisa garantir que os alunos relacionem 
observações empíricas do mundo real a representações (tabelas, 
figuras e esquemas) e associem essas representações a uma ativi-
dade matemática (conceitos e propriedades), fazendo induções e 
conjecturas. Assim, espera-se que eles desenvolvam a capacida-
de de identificar oportunidades de utilização da matemática para 
resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resul-
tados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos 
das situações. A dedução de algumas propriedades e a verifica-
ção de conjecturas, a partir de outras, podem ser estimuladas, so-
bretudo ao final do Ensino Fundamental.
O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o desen-
volvimento do letramento matemático1, definido como as com-
petências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e 
argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabeleci-
mento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas 
em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedi-
mentos, fatos e ferramentas matemáticas. É também o letramen-
to matemático que assegura aos alunos reconhecer que os co-
nhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão 
e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da 
A área de Matemática
matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do 
raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser pra-
zeroso (fruição).
O desenvolvimento dessas habilidades está intrinsecamente 
relacionado a algumas formas de organização da aprendizagem 
matemática, com base na análise de situações da vida cotidiana, 
de outras áreas do conhecimento e da própria Matemática. Os 
processos matemáticos de resolução de problemas, de investi-
gação, de desenvolvimento de projetos e da modelagem podem 
ser citados como formas privilegiadas da atividade matemática, 
motivo pelo qual são, ao mesmo tempo, objeto e estratégia para 
a aprendizagem ao longo de todo o Ensino Fundamental. Esses 
processos de aprendizagem são potencialmente ricos para o de-
senvolvimento de competências fundamentais para o letramento 
matemático (raciocínio, representação, comunicação e argumen-
tação) e para o desenvolvimento do pensamento computacional.
Considerando esses pressupostos, e em articulação com as 
competências gerais da BNCC, a área de Matemática e, por con-
sequência, o componente curricular de Matemática devem garan-
tir aos alunos o desenvolvimento de competências específicas.
1 Segundo a Matriz do Pisa 2012, o “letramento matemático é a capacidade 
individual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade 
de contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, 
procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e 
predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a 
matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, engajados e 
reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões 
necessárias.”. Disponível em: 
<http://download. inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/marcos_
referenciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf>. Acesso em: 23 mar. 2017.
Competências específicas 
de Matemática para o 
Ensino Fundamental
1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes 
culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciên-
cia viva, que contribui para solucionar problemas científicos 
e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, 
inclusive com impactos no mundo do trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investi-gação e a capacidade de produzir argumentos con-
vincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos 
para compreender e atuar no mundo.
3. Compreender as relações entre conceitos e procedi-mentos dos diferentes campos da Matemática (Arit-
mética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) 
e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança 
quanto à própria capacidade de construir e aplicar conheci-
mentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a per-
severança na busca de soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantita-tivos e qualitativos presentes nas práticas sociais e cul-
turais, de modo a investigar, organizar, representar e comu-
nicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las 
crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclu-sive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e 
DADOS
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IV
Matemática
Com base nos recentes documentos curriculares brasileiros, a 
BNCC leva em conta que os diferentes campos que compõem a 
Matemática reúnem um conjunto de ideias fundamentais que pro-
duzem articulações entre eles: equivalência, ordem, proporcionali-
dade,interdependência, representação, variação e aproximação. Es-
sas ideias fundamentais são importantes para o desenvolvimento do 
pensamento matemático dos alunos e devem se converter, na esco-
la, em objetos de conhecimento. A proporcionalidade, por exemplo, 
deve estar presente no estudo de: operações com os números na-
turais; representação fracionária dos números racionais; áreas; fun-
ções; probabilidade etc. Além disso, essa noção também se eviden-
cia em muitas ações cotidianas e de outras áreas do conhecimento, 
como vendas e trocas mercantis, balanços químicos, representações 
gráficas etc.
Nessa direção, a BNCC propõe cinco unidades temáticas, cor-
relacionadas, que orientam a formulação de habilidades a ser desen-
volvidas ao longo do Ensino Fundamental. Cada uma delas pode re-
ceber ênfase diferente, a depender do ano de escolarização.
A unidade temática Números tem como finalidade desenvolver 
o pensamento numérico, que implica o conhecimento de maneiras 
de quantificar atributos de objetos e de julgar e interpretar argumen-
tos baseados em quantidades. No processo da construção da noção 
de número, os alunos precisam desenvolver, entre outras, as ideias 
de aproximação, proporcionalidade, equivalência e ordem, noções 
fundamentais da Matemática. Para essa construção, é importante 
propor, por meio de situações significativas, sucessivas ampliações 
dos campos numéricos. No estudo desses campos numéricos, de-
vem ser enfatizados registros, usos, significados e operações.
No Ensino Fundamental – Anos Iniciais, a expectativa em relação 
a essa temática é de que os alunos resolvam problemas com núme-
ros naturais e números racionais cuja representação decimal é fini-
ta, envolvendo diferentes significados das operações, argumentem 
e justifiquem os procedimentos utilizados para a resolução e avaliem 
a plausibilidade dos resultados encontrados. No tocante aos cálcu-
los, espera-se que os alunos desenvolvam diferentes estratégias para 
a obtenção dos resultados, sobretudo por estimativa e cálculo men-
tal, além de algoritmos e uso de calculadoras.
Nessa fase espera-se também o desenvolvimento de habilidades 
no que se refere à leitura, escrita e ordenação de números naturais e 
números racionais por meio da identificação e compreensão de ca-
racterísticas do sistema de numeração decimal, sobretudo o valor 
posicional dos algarismos. Na perspectiva de que os alunos aprofun-
dem a noção de número, é importante colocá-los diante de tarefas, 
como as que envolvem medições, nas quais os números naturais não 
são suficientes para resolvê-las, indicando a necessidade dos núme-
ros racionais tanto na representação decimal quanto na fracionária.
Com referência ao Ensino Fundamental – Anos Finais, a expecta-
tiva é a de que os alunos resolvam problemas com números naturais, 
inteiros e racionais, envolvendo as operações fundamentais, com seus 
diferentes significados, e utilizando estratégias diversas, com com-
preensão dos processos neles envolvidos. Para que aprofundem a 
noção de número, é importante colocá-los diante de problemas, so-
bretudo os geométricos, nos quais os números racionais não são sufi-
cientes para resolvê-los, de modo que eles reconheçam a necessidade 
de outros números: os irracionais. Os alunos devem dominar também 
o cálculo de porcentagem, porcentagem de porcentagem, juros, des-
contos e acréscimos, incluindo o uso de tecnologias digitais.
No tocante a esse tema, espera-se que saibam reconhecer, com-
parar e ordenar números reais, com apoio da relação desses nú-
meros com pontos na reta numérica. Cabe ainda destacar que o 
desenvolvimento do pensamento numérico não se completa, evi-
dentemente, apenas com objetos de estudos descritos na unidade 
Números. Esse pensamento é ampliado e aprofundado quando se 
discutem situações que envolvem conteúdos das demais unidades 
temáticas: Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilida-
de e estatística.
Outro aspecto a ser considerado nessa unidade temática é o es-
tudo de conceitos básicos de economia e finanças, visando à edu-
cação financeira dos alunos. Assim, podem ser discutidos assuntos 
como taxas de juros, inflação, aplicações financeiras (rentabilidade 
e liquidez de um investimento) e impostos. Essa unidade temática 
favorece um estudo interdisciplinar envolvendo as dimensões cultu-
rais, sociais, políticas e psicológicas, além da econômica, sobre as 
questões do consumo, trabalho e dinheiro. É possível, por exemplo, 
desenvolver um projeto com a História, visando ao estudo do dinhei-
ro e sua função na sociedade, da relação entre dinheiro e tempo, 
dos impostos em sociedades diversas, do consumo em diferentes 
momentos históricos, incluindo estratégias atuais de marketing. Es-
sas questões, além de promover o desenvolvimento de competên-
cias pessoais e sociais dos alunos, podem se constituir em excelentes 
contextos para as aplicações dos conceitos da Matemática Financei-
ra e também proporcionar contextos para ampliar e aprofundar es-
ses conceitos.
resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de 
conhecimento, validando estratégias e resultados.
6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente 
relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas 
respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes regis-
tros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto 
escrito na língua materna e outras linguagens para descrever 
algoritmos, como fluxogramas, e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, so-bretudo, questões de urgência social, com base em 
princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, 
valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de 
grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.
8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, traba-lhando coletivamente no planejamento e desenvolvi-
mento de pesquisas para responder a questionamentos e 
na busca de soluções para problemas, de modo a identifi-
car aspectos consensuais ou não na discussão de uma de-
terminada questão, respeitando o modo de pensar dos co-
legas e aprendendo com eles.
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V
A unidade temática Álgebra, por sua vez, tem como finalidade o 
desenvolvimento de um tipo especial de pensamento — pensamen-
to algébrico — que é essencial para utilizar modelos matemáticos na 
compreensão, representação e análise de relações quantitativas de 
grandezas e, também, de situações e estruturas matemáticas, fazen-
do uso de letras e outros símbolos. Para esse desenvolvimento, é ne-
cessário que os alunos identifiquem regularidades e padrões de se-
quências numéricas e não numéricas, estabeleçam leis matemáticas 
que expressem a relação de interdependência entre grandezas em 
diferentes contextos, bem como criar, interpretar e transitar entre as 
diversas representações gráficas e simbólicas, para resolver proble-
mas por meio de equações e inequações, com compreensão dos 
procedimentos utilizados. As ideias matemáticas fundamentais vin-
culadas a essa unidade são: equivalência, variação, interdependência 
e proporcionalidade. Em síntese, essa unidade temática deve enfati-
zar o desenvolvimento de uma linguagem, o estabelecimento de ge-
neralizações, a análise da interdependência de grandezas e a resolu-
ção de problemas por meio de equações ou inequações.
Nessa perspectiva, é imprescindível que algumas dimensões do 
trabalho com a álgebra estejam presentes nos processos de ensino 
e aprendizagem desde o Ensino Fundamental – Anos Iniciais, como 
as ideias de regularidade, generalização de padrões e propriedades 
da igualdade. No entanto, nessa fase, não se propõe o uso de le-
tras para expressar regularidades, por mais simples que sejam. A re-
lação dessa unidade temática com a de Números é bastante eviden-
te no trabalho com sequências (recursivas e repetitivas), seja na ação 
de completar uma sequência com elementos ausentes, seja na cons-trução de sequências segundo uma determinada regra de formação.
A relação de equivalência pode ter seu início com atividades sim-
ples, envolvendo a igualdade, como reconhecer que se 2 + 3 = 5 e 5 
= 4 + 1, então 2 + 3 = 4 + 1. Atividades como essa contribuem para 
a compreensão de que o sinal de igualdade não é apenas a indica-
ção de uma operação a ser feita. A noção intuitiva de função pode 
ser explorada por meio da resolução de problemas envolvendo a va-
riação proporcional direta entre duas grandezas (sem utilizar a regra 
de três), como: “Se com duas medidas de suco concentrado eu ob-
tenho três litros de refresco, quantas medidas desse suco concentra-
do eu preciso para ter doze litros de refresco?”. 
No Ensino Fundamental – Anos Finais, os estudos de Álgebra re-
tomam, aprofundam e ampliam o que foi trabalhado no Ensino Fun-
damental – Anos Iniciais. Nessa fase, os alunos devem compreender 
os diferentes significados das variáveis numéricas em uma expres-
são, estabelecer uma generalização de uma propriedade, investigar 
a regularidade de uma sequência numérica, indicar um valor desco-
nhecido em uma sentença algébrica e estabelecer a variação entre 
duas grandezas. É necessário, portanto, que os alunos estabeleçam 
conexões entre variável e função e entre incógnita e equação. As téc-
nicas de resolução de equações e inequações, inclusive no plano car-
tesiano, devem ser desenvolvidas como uma maneira de representar 
e resolver determinados tipos de problema, e não como objetos de 
estudo em si mesmos.
Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem de Álge-
bra, como também aquelas relacionadas a outros campos da Mate-
mática (Números, Geometria e Probabilidade e estatística), podem 
contribuir para o desenvolvimento do pensamento computacional 
dos alunos, tendo em vista que eles precisam ser capazes de tradu-
zir uma situação dada em outras linguagens, como transformar situa-
ções-problema, apresentadas em língua materna, em fórmulas, ta-
belas e gráficos e vice-versa.
Associado ao pensamento computacional, cumpre salientar a 
importância dos algoritmos e de seus fluxogramas, que podem ser 
objetos de estudo nas aulas de Matemática. Um algoritmo é uma se-
quência finita de procedimentos que permite resolver um determi-
nado problema. Assim, o algoritmo é a decomposição de um proce-
dimento complexo em suas partes mais simples, relacionando-as e 
ordenando-as, e pode ser representado graficamente por um fluxo-
grama. A linguagem algorítmica tem pontos em comum com a lin-
guagem algébrica, sobretudo em relação ao conceito de variável. 
Outra habilidade relativa à álgebra que mantém estreita relação com 
o pensamento computacional é a identificação de padrões para se 
estabelecer generalizações, propriedades e algoritmos.
A Geometria envolve o estudo de um amplo conjunto de con-
ceitos e procedimentos necessários para resolver problemas do 
mundo físico e de diferentes áreas do conhecimento. Assim, nessa 
unidade temática, estudar posição e deslocamentos no espaço, for-
mas e relações entre elementos de figuras planas e espaciais pode 
desenvolver o pensamento geométrico dos alunos. Esse pensamen-
to é necessário para investigar propriedades, fazer conjecturas e pro-
duzir argumentos geométricos convincentes. É importante, também, 
considerar o aspecto funcional que deve estar presente no estudo 
da Geometria: as transformações geométricas, sobretudo as sime-
trias. As ideias matemáticas fundamentais associadas a essa temática 
são, principalmente, construção, representação e interdependência.
No Ensino Fundamental – Anos Iniciais, espera-se que os alunos 
identifiquem e estabeleçam pontos de referência para a localização 
e o deslocamento de objetos, construam representações de espa-
ços conhecidos e estimem distâncias, usando, como suporte, mapas 
(em papel, tablets ou smartphones), croquis e outras representações. 
Em relação às formas, espera-se que os alunos indiquem caracterís-
ticas das formas geométricas tridimensionais e bidimensionais, as-
sociem figuras espaciais a suas planificações e vice-versa. Espera-se, 
também, que nomeiem e comparem polígonos, por meio de pro-
priedades relativas aos lados, vértices e ângulos. O estudo das sime-
trias deve ser iniciado por meio da manipulação de representações 
de figuras geométricas planas em quadriculados ou no plano carte-
siano, e com recurso de softwares de geometria dinâmica.
No Ensino Fundamental – Anos Finais, o ensino de Geometria 
precisa ser visto como consolidação e ampliação das aprendizagens 
realizadas. Nessa etapa, devem ser enfatizadas também as tarefas 
que analisam e produzem transformações e ampliações/reduções 
de figuras geométricas planas, identificando seus elementos varian-
tes e invariantes, de modo a desenvolver os conceitos de congruên-
cia e semelhança. Esses conceitos devem ter destaque nessa fase do 
Ensino Fundamental, de modo que os alunos sejam capazes de re-
conhecer as condições necessárias e suficientes para obter triângu-
los congruentes ou semelhantes e que saibam aplicar esse conhe-
cimento para realizar demonstrações simples, contribuindo para a 
formação de um tipo de raciocínio importante para a Matemática, 
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VI
o raciocínio hipotético-dedutivo. Outro ponto a ser destacado é a 
aproximação da Álgebra com a Geometria, desde o início do estu-
do do plano cartesiano, por meio da geometria analítica. As ativida-
des envolvendo a ideia de coordenadas, já iniciadas no Ensino Fun-
damental – Anos Iniciais, podem ser ampliadas para o contexto das 
representações no plano cartesiano, como a representação de siste-
mas de equações do 1º grau, articulando, para isso, conhecimentos 
decorrentes da ampliação dos conjuntos numéricos e de suas repre-
sentações na reta numérica.
Assim, a Geometria não pode ficar reduzida a mera aplicação de 
fórmulas de cálculo de área e de volume nem a aplicações numéricas 
imediatas de teoremas sobre relações de proporcionalidade em si-
tuações relativas a feixes de retas paralelas cortadas por retas secan-
tes ou do teorema de Pitágoras. A equivalência de áreas, por exem-
plo, já praticada há milhares de anos pelos mesopotâmios e gregos 
antigos sem utilizar fórmulas, permite transformar qualquer região 
poligonal plana em um quadrado com mesma área (é o que os gre-
gos chamavam “fazer a quadratura de uma figura”). Isso permite, in-
clusive, resolver geometricamente problemas que podem ser tradu-
zidos por uma equação do 2º grau.
As medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fun-
damentais para a compreensão da realidade. Assim, a unidade te-
mática Grandezas e medidas, ao propor o estudo das medidas e 
das relações entre elas — ou seja, das relações métricas —, favo-
rece a integração da Matemática a outras áreas de conhecimento, 
como Ciências (densidade, grandezas e escalas do Sistema Solar, 
energia elétrica etc.) ou Geografia (coordenadas geográficas, densi-
dade demográfica, escalas de mapas e guias etc.). Essa unidade te-
mática contribui ainda para a consolidação e ampliação da noção de 
número, a aplicação de noções geométricas e a construção do pen-
samento algébrico.
No Ensino Fundamental – Anos Iniciais, a expectativa é que os 
alunos reconheçam que medir é comparar uma grandeza com uma 
unidade e expressar o resultado da comparação por meio de um 
número. Além disso, devem resolver problemas oriundos de situa-
ções cotidianas que envolvem grandezas como comprimento, mas-
sa, tempo, temperatura, área (de triângulos e retângulos) e capacida-
de e volume (de sólidos formados por blocos retangulares), sem uso 
de fórmulas, recorrendo, quando necessário, a transformações entre 
unidades de medida padronizadas mais usuais. Espera-se, também, 
que resolvam problemas sobre situações de compra e venda e de-
senvolvam, por exemplo, atitudes éticas e responsáveis em relação 
ao consumo. Sugere-se que esse processo seja iniciado utilizando, 
preferencialmente, unidades não convencionaispara fazer as com-
parações e medições, o que dá sentido à ação de medir, evitando a 
ênfase em procedimentos de transformação de unidades convencio-
nais. No entanto, é preciso considerar o contexto em que a escola se 
encontra: em escolas de regiões agrícolas, por exemplo, as medidas 
agrárias podem merecer maior atenção em sala de aula.
No Ensino Fundamental – Anos Finais, a expectativa é a de que 
os alunos reconheçam comprimento, área, volume e abertura de ân-
gulo como grandezas associadas a figuras geométricas e que consi-
gam resolver problemas envolvendo essas grandezas com o uso de 
unidades de medida padronizadas mais usuais. Além disso, espera-
-se que estabeleçam e utilizem relações entre essas grandezas e en-
tre elas e grandezas não geométricas, para estudar grandezas deri-
vadas como densidade, velocidade, energia, potência, entre outras. 
Nessa fase da escolaridade, os alunos devem determinar expressões 
de cálculo de áreas de quadriláteros, triângulos e círculos, e as de vo-
lumes de prismas e de cilindros. Outro ponto a ser destacado refere-
-se à introdução de medidas de capacidade de armazenamento de 
computadores como grandeza associada a demandas da sociedade 
moderna. Nesse caso, é importante destacar o fato de que os prefi-
xos utilizados para byte (quilo, mega, giga) não estão associados ao 
sistema de numeração decimal, de base 10, pois um quilobyte, por 
exemplo, corresponde a 1.024 bytes, e não a 1.000 bytes.
A incerteza e o tratamento de dados são estudados na unida-
de temática Probabilidade e estatística. Ela propõe a abordagem 
de conceitos, fatos e procedimentos presentes em muitas situações-
-problema da vida cotidiana, das ciências e da tecnologia. Assim, to-
dos os cidadãos precisam desenvolver habilidades para coletar, or-
ganizar, representar, interpretar e analisar dados em uma variedade 
de contextos, de maneira a fazer julgamentos bem fundamentados e 
tomar as decisões adequadas. Isso inclui raciocinar e utilizar concei-
tos, representações e índices estatísticos para descrever, explicar e 
predizer fenômenos.
Merece destaque o uso de tecnologias — como calculadoras, 
para avaliar e comparar resultados, e planilhas eletrônicas, que aju-
dam na construção de gráficos e nos cálculos das medidas de ten-
dência central. A consulta a páginas de institutos de pesquisa — 
como a do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) 
— pode oferecer contextos potencialmente ricos não apenas para 
aprender conceitos e procedimentos estatísticos, mas também para 
utilizá-los com o intuito de compreender a realidade.
No que concerne ao estudo de noções de probabilidade, a fina-
lidade, no Ensino Fundamental – Anos Iniciais, é promover a com-
preensão de que nem todos os fenômenos são determinísticos. Para 
isso, o início da proposta de trabalho com probabilidade está centra-
do no desenvolvimento da noção de aleatoriedade, de modo que os 
alunos compreendam que há eventos certos, eventos impossíveis e 
eventos prováveis. É muito comum que pessoas julguem impossíveis 
eventos que nunca viram acontecer. Nessa fase, é importante que os 
alunos verbalizem, em eventos que envolvem o acaso, os resultados 
que poderiam ter acontecido em oposição ao que realmente acon-
teceu, iniciando a construção do espaço amostral. No Ensino Fun-
damental – Anos Finais, o estudo deve ser ampliado e aprofunda-
do, por meio de atividades nas quais os alunos façam experimentos 
aleatórios e simulações para confrontar os resultados obtidos com a 
probabilidade teórica — probabilidade frequentista. A progressão 
dos conhecimentos se faz pelo aprimoramento da capacidade de 
enumeração dos elementos do espaço amostral, que está associada, 
também, aos problemas de contagem.
Com relação à estatística, os primeiros passos envolvem o tra-
balho com a coleta e a organização de dados de uma pesquisa de 
interesse dos alunos. O planejamento de como fazer a pesquisa 
ajuda a compreender o papel da estatística no cotidiano dos alu-
nos. Assim, a leitura, a interpretação e a construção de tabelas e 
gráficos têm papel fundamental, bem como a forma de produção 
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VII
de texto escrito para a comunicação de dados, pois é preciso com-
preender que o texto deve sintetizar ou justificar as conclusões. No 
Ensino Fundamental – Anos Finais, a expectativa é que os alunos 
saibam planejar e construir relatórios de pesquisas estatísticas des-
critivas, incluindo medidas de tendência central e construção de ta-
belas e diversos tipos de gráfico. Esse planejamento inclui a defi-
nição de questões relevantes e da população a ser pesquisada, a 
decisão sobre a necessidade ou não de usar amostra e, quando for 
o caso, a seleção de seus elementos por meio de uma adequada 
técnica de amostragem.
Cumpre destacar que os critérios de organização das habili-
dades na BNCC (com a explicitação dos objetos de conhecimen-
to aos quais se relacionam e do agrupamento desses objetos em 
unidades temáticas) expressam um arranjo possível (dentre ou-
tros). Portanto, os agrupamentos propostos não devem ser to-
mados como modelo obrigatório para o desenho dos currículos. 
Essa divisão em unidades temáticas serve tão somente para facili-
tar a compreensão dos conjuntos de habilidades e de como eles 
se inter-relacionam. Na elaboração dos currículos e das propostas 
pedagógicas, devem ser enfatizadas as articulações das habilida-
des com as de outras áreas do conhecimento, entre as unidades 
temáticas e no interior de cada uma delas.
Na definição das habilidades, a progressão ano a ano se ba-
seia na compreensão e utilização de novas ferramentas e também 
na complexidade das situações-problema propostas, cuja resolu-
ção exige a execução de mais etapas ou noções de unidades te-
máticas distintas. Os problemas de contagem, por exemplo, devem, 
inicialmente, estar restritos àqueles cujas soluções podem ser obti-
das pela descrição de todos os casos possíveis, mediante a utiliza-
ção de esquemas ou diagramas, e, posteriormente, àqueles cuja re-
solução depende da aplicação dos princípios multiplicativo e aditivo 
e do princípio da casa dos pombos. Outro exemplo é o da resolução 
de problemas envolvendo as operações fundamentais, utilizando ou 
não a linguagem algébrica.
Matemática no Ensino 
Fundamental – anos 
finais: unidades temáticas, 
objetos de conhecimento e 
habilidades
Para o desenvolvimento das habilidades previstas para o 
Ensino Fundamental – Anos Finais, é imprescindível levar em 
conta as experiências e os conhecimentos matemáticos já vi-
venciados pelos alunos, criando situações nas quais possam fa-
zer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qua-
litativos da realidade, estabelecendo inter-relações entre eles 
e desenvolvendo ideias mais complexas. Essas situações pre-
cisam articular múltiplos aspectos dos diferentes conteúdos, 
visando ao desenvolvimento das ideias fundamentais da ma-
temática, como equivalência, ordem, proporcionalidade, varia-
ção e interdependência.
Da mesma forma que na fase anterior, a aprendizagem em Ma-
temática no Ensino Fundamental – Anos Finais também está in-
trinsecamente relacionada à apreensão de significados dos obje-
tos matemáticos. Esses significados resultam das conexões que os 
alunos estabelecem entre os objetos e seu cotidiano, entre eles e 
os diferentes temas matemáticos e, por fim, entre eles e os demais 
componentes curriculares. Nessa fase, precisa ser destacada a im-
portância da comunicação em linguagem matemática com o uso 
da linguagem simbólica, da representação e da argumentação.
Além dos diferentes recursos didáticos e materiais, como 
malhas quadriculadas, ábacos, jogos, calculadoras, planilhas 
eletrônicas e softwares de geometria dinâmica, é importante 
incluir a história da Matemática como recurso que pode des-
pertar interesse e representar um contexto significativo para 
aprender e ensinar Matemática. Entretanto, esses recursos e 
materiais precisam estar integradosa situações que propiciem 
a reflexão, contribuindo para a sistematização e a formalização 
dos conceitos matemáticos.
A leitura dos objetos de conhecimento e das habilidades es-
senciais de cada ano nas cinco unidades temáticas permite uma 
visão das possíveis articulações entre as habilidades indicadas 
para as diferentes temáticas. Entretanto, recomenda-se que se 
faça também uma leitura (vertical) de cada unidade temática, do 
6º ao 9º ano, com a finalidade de identificar como foi estabele-
cida a progressão das habilidades. Essa maneira é conveniente 
para comparar as habilidades de um dado tema a ser efetivadas 
em um dado ano escolar com as aprendizagens propostas em 
anos anteriores também para reconhecer em que medida elas se 
articulam com as indicadas para os anos posteriores, tendo em 
vista que as noções matemáticas são retomadas ano a ano, com 
ampliação e aprofundamento crescentes.
Cumpre também considerar que, para a aprendizagem 
de certo conceito ou procedimento, é fundamental haver um 
contexto significativo para os alunos, não necessariamente do 
cotidiano, mas também de outras áreas do conhecimento e 
da própria história da Matemática. No entanto, é necessário 
que eles desenvolvam a capacidade de abstrair o contexto, 
apreendendo relações e significados, para aplicá-los em ou-
tros contextos. Para favorecer essa abstração, é importante 
que os alunos reelaborem os problemas propostos após os te-
rem resolvido. Por esse motivo, nas diversas habilidades rela-
tivas à resolução de problemas, consta também a elaboração 
de problemas. Assim, pretende-se que os alunos formulem 
novos problemas, baseando-se na reflexão e no questiona-
mento sobre o que ocorreria se alguma condição fosse mo-
dificada ou se algum dado fosse acrescentado ou retirado do 
problema proposto.
Além disso, nessa fase final do Ensino Fundamental, é impor-
tante iniciar os alunos, gradativamente, na compreensão, análise 
e avaliação da argumentação matemática. Isso envolve a leitura 
de textos matemáticos e o desenvolvimento do senso crítico em 
relação à argumentação neles utilizada.
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VIII
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Sistema de numeração decimal: características,
leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na for-
ma decimal
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo 
uso da reta numérica.
(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e 
diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utili-
zando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.
Operações (adição, subtração, multiplicação,
divisão e potenciação) com números naturais
Divisão euclidiana
(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números natu-
rais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
Fluxograma para determinar a paridade de um número natural
Múltiplos e divisores de um número natural
Números primos e compostos
(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema 
simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).
(EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é 
múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 
10, 100 e 1000.
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.
Frações: significados (parte/todo, quociente),
equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e 
subtração de frações
(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identifican-
do frações equivalentes.
(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer re-
lações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número 
natural, com e sem uso de calculadora.
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação 
fracionária.
Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais
(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro ope-
rações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a ra-
zoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.
Aproximação de números para múltiplos de potências de 10 (EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.
Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso 
da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
Algébra
Propriedades da igualdade
(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus 
dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.
Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre 
as partes e entre uma das partes e o todo
(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo rela-
ções aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.
Geometria
Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados
(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1º quadrante, em situações como a localização 
dos vértices de um polígono.
Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)
(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu 
polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.
Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao para-
lelismo e perpendicularismo dos lados
(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não 
regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.
(EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.
(EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a 
intersecção de classes entre eles.
Matemática 6º ano
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IX
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Sistema de numeração decimal: características,
leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na for-
ma decimal
(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo 
uso da retanumérica.
(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e 
diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utili-
zando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.
Operações (adição, subtração, multiplicação,
divisão e potenciação) com números naturais
Divisão euclidiana
(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números natu-
rais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.
Fluxograma para determinar a paridade de um número natural
Múltiplos e divisores de um número natural
Números primos e compostos
(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema 
simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).
(EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é 
múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 
10, 100 e 1000.
(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.
Frações: significados (parte/todo, quociente),
equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e 
subtração de frações
(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identifican-
do frações equivalentes.
(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer re-
lações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.
(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número 
natural, com e sem uso de calculadora.
(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação 
fracionária.
Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais
(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro ope-
rações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a ra-
zoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.
Aproximação de números para múltiplos de potências de 10 (EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.
Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”
(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso 
da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
Algébra
Propriedades da igualdade
(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus 
dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.
Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre 
as partes e entre uma das partes e o todo
(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo rela-
ções aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.
Geometria
Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados
(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1º quadrante, em situações como a localização 
dos vértices de um polígono.
Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)
(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu 
polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.
Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao para-
lelismo e perpendicularismo dos lados
(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não 
regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.
(EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.
(EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a 
intersecção de classes entre eles.
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X
Matemática 7º ano
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Múltiplos e divisores de um número natural
(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir 
máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.
Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples
(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, 
utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.
Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações
(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numé-
rica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador
(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.
(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os 
mesmos procedimentos.
(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.
(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.
(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas 
partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.
Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com 
pontos da reta numérica e operações
(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.
(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades 
operatórias.
(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.
Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas
(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, pla-
no cartesiano ou tecnologias digitais.
Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares
(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares 
e construção de quadriláteros, entre outros.
(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ouna indicação de des-
locamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).
Grandezas e medidas
Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatu-
ra, área, capacidade e volume
(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos 
e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, 
em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.
Ângulos: noção, usos e medida
(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.
(EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de 
visão.
(EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.
Plantas baixas e vistas aéreas (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.
Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado
(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igual-
mente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.
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XI
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Múltiplos e divisores de um número natural
(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir 
máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.
Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples
(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, 
utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.
Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações
(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numé-
rica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.
(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.
Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador
(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.
(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os 
mesmos procedimentos.
(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.
(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.
(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas 
partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.
Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com 
pontos da reta numérica e operações
(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.
(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades 
operatórias.
(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.
Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas
(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, pla-
no cartesiano ou tecnologias digitais.
Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares
(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares 
e construção de quadriláteros, entre outros.
(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de des-
locamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).
Grandezas e medidas
Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatu-
ra, área, capacidade e volume
(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos 
e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, 
em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.
Ângulos: noção, usos e medida
(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.
(EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de 
visão.
(EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.
Plantas baixas e vistas aéreas (EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.
Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado
(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igual-
mente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.
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XII
Probabilidade e estatística
Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resul-
tados possíveis em um espaço amostral equiprovável
Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocor-
rências e probabilidade frequentista)
(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e per-
centual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.
Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes 
a variáveis categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em dife-
rentes tipos de gráfico.
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trân-
sito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escri-
tos com o objetivo de sintetizar conclusões.
Coleta de dados, organização e registro
Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações
(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrôni-
cas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.
Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas
(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, po-
sição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).
Álgebra
Linguagem algébrica: variável e incógnita
(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, di-
ferenciando-a da ideia de incógnita.
(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendoque o conceito de recursão está presente não ape-
nas na matemática, mas também nas artes e na literatura.
(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.
Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica
(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica 
são ou não equivalentes.
Problemas envolvendo grandezas diretamente
proporcionais e grandezas inversamente
proporcionais
(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa en-
tre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.
Equações polinomiais do 1º grau
(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1º grau, redutíveis à forma 
ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.
Geometria 
Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas 
por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem
(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordena-
das de seus vértices por um número inteiro.
(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.
Simetrias de translação, rotação e reflexão
(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de dese-
nho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, 
entre outros.
A circunferência como lugar geométrico
(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composi-
ções artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal (EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de soft-
wares de geometria dinâmica.
Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos
(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos 
lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (te-
lhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.
(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhe-
cidas as medidas dos três lados.
Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero
(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ân-
gulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.
(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como 
quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.
Grandezas e medidas Problemas envolvendo medições
(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações co-
tidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.
ME_Matemática_Contextualizada_7A_00.indd 12 29/05/2018 12:01:46
XIII
Probabilidade e estatística
Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resul-
tados possíveis em um espaço amostral equiprovável
Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocor-
rências e probabilidade frequentista)
(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e per-
centual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.
Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes 
a variáveis categóricas e variáveis numéricas
(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em dife-
rentes tipos de gráfico.
(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trân-
sito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escri-
tos com o objetivo de sintetizar conclusões.
Coleta de dados, organização e registro
Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações
(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrôni-
cas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.
Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas
(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, po-
sição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).
Álgebra
Linguagem algébrica: variável e incógnita
(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, di-
ferenciando-a da ideia de incógnita.
(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não ape-
nas na matemática, mas também nas artes e na literatura.
(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.
Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica
(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica 
são ou não equivalentes.
Problemas envolvendo grandezas diretamente
proporcionais e grandezas inversamente
proporcionais
(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa en-
tre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.
Equações polinomiais do 1º grau
(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1º grau, redutíveis à forma 
ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.
Geometria 
Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas 
por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem
(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordena-
das de seus vértices por um número inteiro.
(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.
Simetrias de translação, rotação e reflexão
(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de dese-
nho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, 
entre outros.
A circunferência como lugar geométrico
(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composi-
ções artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal (EF07MA23) Verificar relaçõesentre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de soft-
wares de geometria dinâmica.
Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos
(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos 
lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (te-
lhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.
(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhe-
cidas as medidas dos três lados.
Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero
(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ân-
gulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.
(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como 
quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.
Grandezas e medidas Problemas envolvendo medições
(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações co-
tidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.
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XIV
Matemática 8º ano
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Notação científica
(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em 
notação científica.
Potenciação e radiciação
(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como po-
tência de expoente fracionário.
O princípio multiplicativo da contagem (EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.
Porcentagens (EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.
Dízimas periódicas: fração geratriz (EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Álgebra 
Valor numérico de expressões algébricas
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as proprie-
dades das operações.
Associação de uma equação linear de 1º grau a uma reta no plano cartesiano (EF08MA07) Associar uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.
Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano
cartesiano
(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de 
equações de 1º grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
Equação polinomial de 2º grau do tipo ax2 = b
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polino-
miais de 2º grau do tipo ax2 = b.
Sequências recursivas e não recursivas
(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um 
fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.
(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma 
que permita indicar os números seguintes.
Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não 
proporcionais
(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, 
expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.
(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de es-
tratégias variadas.
Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais 
usuais
(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais 
(metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).
Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas 
por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros
(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por qua-
drados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.
Medida do comprimento da circunferência
(EF07MA33) Estabelecer o número p como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resol-
ver problemas, inclusive os de natureza histórica.
Probabilidade e estatística
Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência 
de ocorrências
(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por 
meio de frequência de ocorrências.
Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados
(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pes-
quisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.
Pesquisa amostral e pesquisa censitária
Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e in-
terpretação das informações
(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de 
usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas 
eletrônicas.
Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados
(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é pos-
sível ou conveniente sua utilização.
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XV
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Notação científica
(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em 
notação científica.
Potenciação e radiciação
(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como po-
tência de expoente fracionário.
O princípio multiplicativo da contagem (EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.
Porcentagens (EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.
Dízimas periódicas: fração geratriz (EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.
Álgebra 
Valor numérico de expressões algébricas
(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as proprie-
dades das operações.
Associação de uma equação linear de 1º grau a uma reta no plano cartesiano (EF08MA07) Associar uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.
Sistema de equações polinomiais de 1º grau: resolução algébrica e representação no plano
cartesiano
(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possamser representados por sistemas de 
equações de 1º grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.
Equação polinomial de 2º grau do tipo ax2 = b
(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polino-
miais de 2º grau do tipo ax2 = b.
Sequências recursivas e não recursivas
(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um 
fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.
(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma 
que permita indicar os números seguintes.
Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não 
proporcionais
(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, 
expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.
(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de es-
tratégias variadas.
Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais 
usuais
(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais 
(metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).
Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas 
por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros
(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por qua-
drados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.
Medida do comprimento da circunferência
(EF07MA33) Estabelecer o número p como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resol-
ver problemas, inclusive os de natureza histórica.
Probabilidade e estatística
Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência 
de ocorrências
(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por 
meio de frequência de ocorrências.
Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados
(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pes-
quisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.
Pesquisa amostral e pesquisa censitária
Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e in-
terpretação das informações
(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de 
usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas 
eletrônicas.
Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados
(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é pos-
sível ou conveniente sua utilização.
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XVI
Geometria 
Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros (EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.
Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 
60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qual-
quer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.
Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas (EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação
(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rota-
ção), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
Grandezas e medidas
Área de figuras planas
Área do círculo e comprimento de sua circunferência
(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálcu-
lo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Volume de cilindro reto
Medidas de capacidade
(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver proble-
mas de cálculo de capacidade de recipientes.
(EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.
Probabilidade e estatística
Princípio multiplicativo da contagem
Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral
(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, 
e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.
Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para 
determinado conjunto de dados
(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.
Organização dos dados de uma variável contínua em classes
(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de ma-
neira adequada para a tomada de decisões.
Medidas de tendência central e de dispersão
(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a com-
preensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.
Pesquisas censitária ou amostral
Planejamento e execução de pesquisa amostral
(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amos-
trais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, siste-
mática e estratificada).
(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que 
contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência cen-
tral, a amplitude e as conclusões.
Matemática 9º ano
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta
Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica
(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é 
expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida 
de cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e esti-
mar a localização de alguns deles na reta numérica.
Potências com expoentes negativos e fracionários (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
Números reais: notação científica e problemas (EF09MA04) Resolver e elaborar problemascom números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos
(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a de-
terminação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
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XVII
Geometria 
Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros (EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.
Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares
(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 
60°, 45° e 30° e polígonos regulares.
(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qual-
quer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.
Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas (EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação
(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rota-
ção), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.
Grandezas e medidas
Área de figuras planas
Área do círculo e comprimento de sua circunferência
(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálcu-
lo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.
Volume de cilindro reto
Medidas de capacidade
(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver proble-
mas de cálculo de capacidade de recipientes.
(EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.
Probabilidade e estatística
Princípio multiplicativo da contagem
Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral
(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, 
e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.
Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para 
determinado conjunto de dados
(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.
Organização dos dados de uma variável contínua em classes
(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de ma-
neira adequada para a tomada de decisões.
Medidas de tendência central e de dispersão
(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a com-
preensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.
Pesquisas censitária ou amostral
Planejamento e execução de pesquisa amostral
(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amos-
trais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, siste-
mática e estratificada).
(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que 
contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência cen-
tral, a amplitude e as conclusões.
Unidades temáticas Objetos de conhecimento Habilidades
Números
Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta
Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica
(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é 
expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida 
de cada lado como unidade).
(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e esti-
mar a localização de alguns deles na reta numérica.
Potências com expoentes negativos e fracionários (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.
Números reais: notação científica e problemas (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.
Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos
(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a de-
terminação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
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XVIII
Álgebra 
Funções: representações numérica, algébrica e gráfica
(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, 
algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
Razão entre grandezas de espécies diferentes
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densida-
de demográfica.
Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grande-
zas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis 
Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notá-
veis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Geometria 
Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por 
uma transversal
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na 
circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Semelhança de triângulos (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração
Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações 
experimentais
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a seme-
lhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolven-
do retas paralelas cortadas por secantes.
Polígonos regulares
(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja me-
dida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.
Distância entre pontos no planocartesiano
(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas des-
ses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros 
e áreas de figuras planas construídas no plano.
Vistas ortogonais de figuras espaciais (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
Grandezas e medidas
Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas
Unidades de medida utilizadas na informática
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distân-
cia entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
Volume de prismas e cilindros
(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de 
expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Probabilidade e estatística
Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua 
ocorrência, nos dois casos.
Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou 
de interpretação
(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamen-
te, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fon-
tes e datas), entre outros.
Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla 
entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos 
pictóricos
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para 
apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.
Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de re-
latório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio 
de planilhas eletrônicas.
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XIX
Álgebra 
Funções: representações numérica, algébrica e gráfica
(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, 
algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.
Razão entre grandezas de espécies diferentes
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densida-
de demográfica.
Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grande-
zas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.
Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis 
Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações
(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notá-
veis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2º grau.
Geometria 
Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por 
uma transversal
(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.
Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo
(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na 
circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Semelhança de triângulos (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Relações métricas no triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração
Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações 
experimentais
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a seme-
lhança de triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolven-
do retas paralelas cortadas por secantes.
Polígonos regulares
(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja me-
dida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.
Distância entre pontos no plano cartesiano
(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas des-
ses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros 
e áreas de figuras planas construídas no plano.
Vistas ortogonais de figuras espaciais (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.
Grandezas e medidas
Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas
Unidades de medida utilizadas na informática
(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distân-
cia entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.
Volume de prismas e cilindros
(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de 
expressões de cálculo, em situações cotidianas.
Probabilidade e estatística
Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes
(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua 
ocorrência, nos dois casos.
Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou 
de interpretação
(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamen-
te, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fon-
tes e datas), entre outros.
Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla 
entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos 
pictóricos
(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para 
apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.
Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório
(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de re-
latório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio 
de planilhas eletrônicas.
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Sumário
CAPÍTULO 1
Múltiplos e divisores de um 
número natural .............................................. 6
Múltiplos ............................................................. 8
Divisores .............................................................8
Números primos ................................................. 9
Critérios de divisibilidade................................... 9
Atividades .......................................................... 12
Mínimo múltiplo comum (M.M.C.) ..................... 13
Máximo divisor comum (M.D.C.) ....................... 14
Problemas envolvendo múltiplos e 
divisores de um número natural ......................... 15
Atividades .......................................................... 16
Para analisar ...................................................... 17
Refletindo sobre o texto .................................... 17
Amplie o conhecimento ..................................... 17
Resgatando a história ......................................... 18
Aprimorando conceitos ...................................... 19
Praticando mais .................................................. 20
CAPÍTULO 2
Números negativos ....................................... 26
O surgimento do sinal negativo ......................... 28
Os números negativos indicando 
temperatura ....................................................... 28
Amplie o conhecimento ..................................... 30
Atividades .......................................................... 30
Para analisar ....................................................... 32
Os negativos na reta numérica .......................... 33
Atividades .......................................................... 33
Valor absoluto, ou módulo, de um número 
inteiro ................................................................. 34
Números opostos ............................................... 34
Atividades .......................................................... 35
Comparação de números inteiros ...................... 36
Atividades .......................................................... 36
Adição de números inteiros com mesmo 
sinal .................................................................... 38
Atividades .......................................................... 40
Adição de números inteiros com sinais 
diferentes ........................................................... 41
Atividades .......................................................... 41
Resgatando a história ......................................... 44
Para analisar ....................................................... 44
Refletindo sobre o texto .................................... 45
Subtração de números inteiros .......................... 45
Atividades .......................................................... 45
Multiplicação de números inteiros ..................... 46
Sinais diferentes ................................................. 47
Propriedades da multiplicação ........................... 47
Atividades .......................................................... 48
Divisão de números inteiros ............................... 48
Atividades .......................................................... 49
Aprimorando conceitos ...................................... 51
Praticando mais .................................................. 52
CAPÍTULO 3
Números racionais ......................................... 62
Resgatando a história ......................................... 64
Número racional versus Frações ........................ 64
Como devemos ler as frações ............................ 65
Tipos de fração ................................................... 66
Para analisar ....................................................... 68
Refletindo sobre o texto ................................... 69
Simplificação de frações ..................................... 69
Atividades .......................................................... 69
Comparação de frações ..................................... 71
Frações com denominadores iguais ................... 71
Frações com denominadores diferentes ............ 72
Amplie o conhecimento ..................................... 72
Adição e subtração de frações .......................... 73
Atividades .......................................................... 74
Multiplicação de frações .................................... 75
Atividades .......................................................... 76
Problemas envolvendo torneiras ........................ 76
Atividades .......................................................... 77
Divisão de frações .............................................. 78
Frações especiais ............................................... 78
Porcentagens: uma fração muito 
importante .......................................................... 79
Atividades .......................................................... 80
Porcentagem por acréscimo e decréscimo 
simples ............................................................... 82
Cálculo da porcentagem de um número ........... 82
Atividades .......................................................... 84
Calculando porcentagens com o auxílio 
da calculadora .................................................... 85
Problemas com porcentagens ........................... 85
Atividades .......................................................... 86
Multiplicando números na forma decimal .......... 87
Atividades .......................................................... 87
Dividindo números na forma decimal ................ 88
Divisor maior que o dividendo ........................... 88
Atividades .......................................................... 90
Potência com base na forma fracionária 
ou decimal .......................................................... 91
Atividades .......................................................... 92
Os números racionais e a reta numérica ............ 92
Atividades .......................................................... 93
Resgatando a história ......................................... 93
Aprimorando conceitos ...................................... 94
Praticando mais .................................................. 94
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CAPÍTULO 4
Introdução à álgebra: 
equações e inequações .................................. 104
Resgatando a história ......................................... 106
Álgebra ............................................................... 107
Atividades ......................................................... 110
Sentenças abertas e fechadas ............................ 112
Atividades .......................................................... 112
Comparação entre expressões .......................... 113
Razão e proporção ............................................. 113
Problemas envolvendo proporcionalidade ........ 114
Atividades .......................................................... 116
Equação do 1º grau ............................................ 116
Atividades ......................................................... 118
Princípios de igualdade ...................................... 118
Atividades .......................................................... 122
Amplie o conhecimento ..................................... 123
Para analisar ....................................................... 124
Atividades .......................................................... 125
Inequação ........................................................... 125
Atividades ......................................................... 127
Para analisar ....................................................... 128
Refletindo sobre o texto .................................... 128
Aprimorando conceitos ...................................... 129
Praticando mais .................................................. 130
CAPÍTULO 5
Polígonos ....................................................... 136
Polígonos ............................................................ 138
Revisando conceitos ........................................... 139
Atividades .......................................................... 141
Paralelogramo.................................................... 142
Retângulo ........................................................... 143
Losango .............................................................. 143
Atividades .......................................................... 144
Perímetro ............................................................ 145
Atividades .......................................................... 146
Amplie o conhecimento ..................................... 148
Atividades .......................................................... 150
Soma dos ângulos internos de 
um polígono convexo ........................................ 151
Determinando a quantidade de 
diagonais de um polígono convexo ................... 152
Para analisar ....................................................... 152
Refletindo sobre o texto .................................... 153
Atividades .......................................................... 153
Transformações de polígonos no plano 
cartesiano ........................................................... 154
Simetria dos polígonos ...................................... 155
Simetria no plano cartesiano .............................. 156
Decomposição dos polígonos ............................ 157
Mosaicos e ladrilhamentos ................................. 157
Atividades .......................................................... 158
Para analisar ....................................................... 160
Resgatando a história ......................................... 161
Refletindo sobre o texto .................................... 161
Aprimorando conceitos ...................................... 162
Praticando mais .................................................. 163
CAPÍTULO 6
O estudo da circunferência ............................ 172
Circunferência e círculo ...................................... 174
O estudo do pi (p) ............................................. 175
O comprimento da circunferência ..................... 175
Problemas que envolvem objetos 
equidistantes a uma circunferência .................... 180
Atividades .......................................................... 182
Para analisar ....................................................... 183
Amplie o conhecimento ..................................... 183
Refletindo sobre o texto ................................... 184
Resgatando a história ........................................ 184
Aprimorando conceitos ..................................... 185
Praticando mais .................................................. 186
CAPÍTULO 7
Grandezas e medidas .................................... 196
Unidades de medida .......................................... 198
Amplie o conhecimento ..................................... 199
Atividades .......................................................... 200
Problemas envolvendo unidades de 
medida ............................................................... 200
Atividades .......................................................... 201
Resgatando a história ......................................... 202
Medidas de volume ............................................ 203
Volume x Capacidade ........................................ 204
Amplie o conhecimento ..................................... 205
Atividades .......................................................... 206
Resgatando a história ......................................... 209
Para analisar ....................................................... 210
Refletindo sobre o texto .................................... 210
Aprimorando conceitos ...................................... 211
Praticando mais .................................................. 211
CAPÍTULO 8
Probabilidade e estatística ........................... 224
Probabilidade ..................................................... 226
Experimentos aleatórios .................................... 226
Espaço amostral ................................................. 226
Atividades .......................................................... 228
Introdução ao estudo da estatística ................... 228
Elaboração e análise de tabelas e gráficos ........ 233
Atividades .......................................................... 235
Para analisar ....................................................... 238
Refletindo sobre o texto .................................... 238
Amplie o conhecimento ..................................... 239
Resgatando a história ......................................... 239
Aprimorando conceitos ...................................... 240
Praticando mais .................................................. 240
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•	 Neste capítulo, veremos os conceitos e as 
relações entre múltiplos e divisores de um 
número natural. 
•	 Reconheceremos os números primos e 
vamos decompor um número em fatores 
primos, além de resolver problemas 
aplicando o cálculo do M.M.C. e do M.D.C. 
entre números naturais. 
•	 Conheceremos e faremos aplicações dos 
critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, 9 e 10.
Ruínas de Cirene, antiga cidade grega na 
Líbia, África. Nessa cidade nasceu Era-
tóstenes, que criou um método para en-
contrar números primos, conhecido hoje 
como Crivo de Eratóstenes, e descobriu 
quantos quilômetros tem a circunferência 
da Terra.
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Múltiplos e divisores 
de um número natural
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•	 Neste capítulo, veremos os conceitos e as 
relações entre múltiplos e divisores de um 
número natural. 
•	 Reconheceremos os números primos e 
vamos decompor um número em fatores 
primos, além de resolver problemas 
aplicando o cálculo do M.M.C. e do M.D.C. 
entre números naturais. 
•	 Conheceremos e faremos aplicações dos 
critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, 9 e 10.
Ruínas de Cirene, antiga cidade grega na 
Líbia, África. Nessa cidade nasceu Era-
tóstenes, que criou um método para en-
contrar números primos, conhecido hoje 
como Crivo de Eratóstenes, e descobriu 
quantos quilômetros tem a circunferência 
da Terra.
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Múltiplos e divisores 
de um número natural
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8
Conteúdos 
conceituais
•	Múltiplos	e	divisores	de	um	número	
natural
•	Divisibilidade
•	Números	primos
•	Crivo	de	Eratóstenes
•	Decomposição	 de	 números	 com-
postos	em	fatores	primos
•	Divisores	de	um	número	natural
•	Máximo	Divisor	Comum	(M.D.C.)
•	Algoritmo	de	Euclides
•	Mínimo	Múltiplo	Comum	(M.M.C.)
Objetivos de conhecimento
•	Múltiplos	e	divisores	de	um	número	
natural.
BNCC
Habilidades trabalhadas no 
capítulo
(EF07MA01)	Resolver	e	elaborar	pro-
blemas	com	números	naturais,	envol-
vendo	as	noções	de	divisor	e	de	múl-
tiplo,	podendo	 incluir	máximo	divisor	
comum	 ou	 mínimo	 múltiplo	 comum,	
por	meio	de	estratégias	diversas,	sem	
a	aplicação	de	algoritmos.
Dicas para o professor
•	Compreender	 o	 conceito	 de	múlti-
plo	de	um	número.
•	Calcular	os	múltiplos	de	um	número.
•	Mostre	que	todo	número	possui	infi-
nitos	múltiplos	e	que	o	primeiro	múlti-
plo	de	qualquer	número	é	o	zero.
•	Demonstre	 que	 os	 produtos	 resul-
tantes	das	 tabuadas	de	multiplicação	
são	múltiplos	de	um	número.
Exemplo:
3	.	0	=	0
3	.	1	=	3
3	.	2	=	6
3	.	3	=	9
3	.	4	=	12
Logo:	M(3)	=	{0,	3,	6,	9,	12,...}
Anotações
Observações importantes referentes aos divisores de um número natural
1. O menor divisor natural de um número é sempre 1.
2. O maior divisorde um número é sempre o próprio número.
3. O zero não é divisor de nenhum número.
4. Os divisores de um número formam um conjunto finito.
5. Alguns números naturais possuem apenas dois divisores, o número 1 e o próprio número men-
cionado. Esses números são chamados de números primos.
Números primos
É todo número natural que possui o número 1 e ele mesmo como divisores. Acompanhe o con-
junto dos números primos, expresso abaixo:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97} 
Esse conjunto representa os números primos entre 1 e 100.
É importante observar que o único número primo par é o 2.
Critérios de divisibilidade
Para definir com precisão se um número é divisível por outro, é necessário conhecer algumas re-
gras, classificando-as por critérios de divisibilidade. Esses critérios são de bastante importância para 
minimizar a utilização de cálculos na efetuação de divisões. Vamos conhecê-los.
Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.
Divisibilidade por 2
Todo número par é divisível por 2.
Exemplos: 
 26.374 é divisível por 2, pois é um número par.
 46 é divisível por 2, pois é um número par.
 345 não é divisível por 2, pois é um número ímpar.
Observação
Se você tem dificuldade de identificar quando um número, muito extenso, é par ou ímpar, 
observe apenas o algarismo da unidade. Se este for 0, 2, 4, 6 ou 8, esse número é par e, conse-
quentemente, divisível por 2.
9CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Observações importantes referentes aos múltiplos de um número natural
1. O conjunto dos múltiplos de um número natural diferente de zero é um conjunto infinito.
2. Todo número natural não nulo é múltiplo de si mesmo.
3. O número 0 (zero) é múltiplo de todo e qualquer número natural não nulo.
4. Qualquer número natural é múltiplo de 1.
3 × 1 = 3
3 × 2 = 6
3 × 3 = 9
3 × 4 = 12
3 × 5 = 15
3 × 6 = 18
3 × 7 = 21
3 × 8 = 24
3 × 9 = 27
3 × 10 = 30
Múltiplos
Vamos definir, de modo mais simples, o múltiplo de um número como sendo o resultado de uma 
multiplicação, um produto, entre o número mencionado por outro número natural qualquer. 
Para exemplificar uma tabela de múltiplos de um número natural, lembraremos primeiro a tradi-
cional tabuada. 
Tomando, por exemplo, a tabuada de 3, temos:
E, assim, seguindo 
continuamente.
Concluímos que os múltiplos do 
número natural 3 são: 
M(3) = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 
27, 30, 33, ...
Questão resolvida
1. Identifique dez múltiplos dos números naturais 7 e 12.
Solução:
M(7) = {0, 7,14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63}
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108}
Divisores
Iremos afirmar que um número é divisor de outro, quando o resto da divisão entre eles for zero. 
Temos como exemplo os números abaixo e seus respectivos divisores.
 12 tem os seguintes divisores: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
 40 tem os seguintes divisores: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40.
8 CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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9
Dicas para o professor
•	Ressalte	que	a	quantidade	de	diviso-
res	de	um	número	é	finita.
•	O	 número	 1	 é	 divisor	 de	 qualquer	
número.
•	Mostre	 que	 os	 números	 possuem	
quantidades	de	divisores	diferentes.
•	Compreender	 o	 conceito	 de	múlti-
plo	de	um	número.
•	Calcular	os	múltiplos	de	um	número.
Leitura complementar
A teoria euclidiana, 
ou divisão inteira, 
fundamenta-se na 
divisibilidade dos 
números naturais.
O	 conceito	 de	 divisibilidade,	 que	
é	o	conjunto	de	condições	que	os	nú-
meros	 naturais	 têm	 que	 preencher	
para	 que	 um	 possa	 ser	 dividido	 por	
outro	 de	 forma	 exata,	 é	 derivado	 do	
conceito	 de	múltiplo	 de	 um	 número,	
ou	seja,	um	número	só	é	divisível	por	
outro	quando	for	múltiplo	desse	outro.
Anotações
Observações importantes referentes aos divisores de um número natural
1. O menor divisor natural de um número é sempre 1.
2. O maior divisor de um número é sempre o próprio número.
3. O zero não é divisor de nenhum número.
4. Os divisores de um número formam um conjunto finito.
5. Alguns números naturais possuem apenas dois divisores, o número 1 e o próprio número men-
cionado. Esses números são chamados de números primos.
Números primos
É todo número natural que possui o número 1 e ele mesmo como divisores. Acompanhe o con-
junto dos números primos, expresso abaixo:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97} 
Esse conjunto representa os números primos entre 1 e 100.
É importante observar que o único número primo par é o 2.
Critérios de divisibilidade
Para definir com precisão se um número é divisível por outro, é necessário conhecer algumas re-
gras, classificando-as por critérios de divisibilidade. Esses critérios são de bastante importância para 
minimizar a utilização de cálculos na efetuação de divisões. Vamos conhecê-los.
Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.
Divisibilidade por 2
Todo número par é divisível por 2.
Exemplos: 
 26.374 é divisível por 2, pois é um número par.
 46 é divisível por 2, pois é um número par.
 345 não é divisível por 2, pois é um número ímpar.
Observação
Se você tem dificuldade de identificar quando um número, muito extenso, é par ou ímpar, 
observe apenas o algarismo da unidade. Se este for 0, 2, 4, 6 ou 8, esse número é par e, conse-
quentemente, divisível por 2.
9CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Observações importantes referentes aos múltiplos de um número natural
1. O conjunto dos múltiplos de um número natural diferente de zero é um conjunto infinito.
2. Todo número natural não nulo é múltiplo de si mesmo.
3. O número 0 (zero) é múltiplo de todo e qualquer número natural não nulo.
4. Qualquer número natural é múltiplo de 1.
3 × 1 = 3
3 × 2 = 6
3 × 3 = 9
3 × 4 = 12
3 × 5 = 15
3 × 6 = 18
3 × 7 = 21
3 × 8 = 24
3 × 9 = 27
3 × 10 = 30
Múltiplos
Vamos definir, de modo mais simples, o múltiplo de um número como sendo o resultado de uma 
multiplicação, um produto, entre o número mencionado por outro número natural qualquer. 
Para exemplificar uma tabela de múltiplos de um número natural, lembraremos primeiro a tradi-
cional tabuada. 
Tomando, por exemplo, a tabuada de 3, temos:
E, assim, seguindo 
continuamente.
Concluímos que os múltiplos do 
número natural 3 são: 
M(3) = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 
27, 30, 33, ...
Questão resolvida
1. Identifique dez múltiplos dos números naturais 7 e 12.
Solução:
M(7) = {0, 7,14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63}
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108}
Divisores
Iremos afirmar que um número é divisor de outro, quando o resto da divisão entre eles for zero. 
Temos como exemplo os números abaixo e seus respectivos divisores.
 12 tem os seguintes divisores: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
 40 tem os seguintes divisores: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40.
8 CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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10
Dicas para o professor
•	Apresente	situações	em	que	os	alu-
nos	percebam	que	conhecer	os	princí-
pios	de	divisibilidade	facilita	a	resolu-
ção	de	problemas.
•	Compreender	as	regras	de	divisibili-
dade	por	2	e	por	3.
•	Rever	o	conceito	de	valor	absoluto.
Leitura complementar
As calculadoras na aula 
de Matemática
A	 calculadora,	 uma	 das	 ferramen-
tas	 que	 o	 ser	 humano	 desenvolveu	
para	atender	as	suas	necessidades	de	
fazer	cálculos,	não	foi	o	primeiro	recur-
so	que	ele	utilizou	para	esse	fim.
A	mão	humana	foi	a	primeira	máqui-
na	de	calcular	de	todos	os	tempos.	Fo-
ram	 os	 dedos	 das	mãos	 e	 dos	 pés	 os	
primeiros	 instrumentos	 que	 um	 indiví-
duo	primitivo	utilizoupara	atender	a	suas	
dificuldades.
Da	origem	da	civilização	até	hoje,	o	
desenvolvimento	do	comércio	e	da	in-
dústria	fez	com	que	ser	humano	criasse	
instrumentos	mais	avançados	para	aju-
dar	na	contagem,	como	a	calculadora.
Hoje,	não	há	razão	para	evitar	o	uso	
das	calculadoras	nas	salas	de	aula	de	
Matemática,	pois	sabemos	que	os	alu-
nos	têm	acesso	a	esse	instrumento	há	
muito	 tempo.	 Incentivá-los	 a	 usá-las	
em	 momentos	 estratégicos	 será	 de	
grande	valia	para	o	professor	moder-
no,	que	sabe	utilizar	a	 tecnologia	em	
prol	do	crescimento	dos	alunos.
Anotações
Divisibilidade por 7 
Todo número é divisível por 7 quando multiplicamos o último algarismo por 2 e subtraímos o 
resultado pelos números que restaram. Se o resultado final for um múltiplo de 7, então o número é 
divisível por 7.
Exemplos:
553 é divisível por 7. 
Observe: 2 × 3 = 6 e 55 - 6 = 49. 
Como 49 é múltiplo de 7, logo o número 553 é divisível por 7.
280 é divisível por 7. 
Observe: 2 × 0 = 0 e 28 - 0 = 28. 
Como 28 é múltiplo de 7, logo o número 280 é divisível por 7.
400 não é divisível por 7. 
Observe: 2 × 0 = 0 e 40 – 0 = 40. 
Verifique que 40 não é múltiplo de 7, logo 400 não é divisível por 7.
Divisibilidade por 8
Todo número é divisível por 8 se termina em 000 ou quando os três últimos algarismos resultam 
em um número divisível por 8.
Exemplos:
3.000 é divisível por 8, porque termina em 000 (três zeros).
4.160 é divisível por 8, porque 160 é múltiplo de 8.
3.420 não é divisível por 8, porque 420 não é múltiplo de 8.
Divisibilidade por 9 
Todo número divisível por 9 possui a soma dos seus algarismos resultando num múltiplo de 9.
Exemplos:
2.394 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a (2 + 3 + 9 + 4 =) 18. 
Sendo 18 um múltiplo de 9, 2.394 é múltiplo de 9. 
457.254 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 4 + 5 + 7 + 2 + 5 + 4 = 27. 
Sendo 27 um múltiplo de 9, 457.254 é um número divisível por 9.
1.210 não é divisível por 9, isso ocorre porque a soma de seus algarismos resulta em 1 + 2 + 1 + 
0 = 4 e esse número não é múltiplo de 9. 
Divisibilidade por 10
Todo número divisível por 10 termina em 0.
Exemplos:
200 é divisível por 10.
7.640 é divisível por 10.
11CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Divisibilidade por 3
Todo número divisível por 3 possui a soma dos seus algarismos resultando num múltiplo de 3.
Exemplos:
34.212 é divisível por 3. 
Isso ocorre porque 3 + 4 + 2 + 1 + 2 = 12. E 12 é múltiplo de 3. Logo, 34.212 é divisível por 3.
751.422 é divisível por 3. 
Isso ocorre porque 7 + 5 + 1 + 4 + 2 + 2 = 21. E 21 é múltiplo de 3. Logo, 751.422 é divisível por 3.
346 não é divisível por 3. Veja que 3 + 4 + 6 = 13. 
E 13 não é múltiplo de 3. Logo, 346 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Todo número divisível por 4 termina em 00, ou seus dois últimos algarismos formam um número 
divisível por 4.
Exemplos:
300 é divisível por 4. 
Isso acontece porque o número termina em 00.
2.316 é divisível por 4. 
Isso acontece porque os dois últimos algarismos, 16, formam um número divisível por 4.
150 não é divisível por 4. 
Isso ocorre porque não termina em 00 e os dois últimos algarismos, 50, não formam um número 
divisível por 4. 
Divisibilidade por 5
Todo número divisível por 5 possui o algarismo das unidades igual a 0 ou a 5.
Exemplos: 
2.443.865 é divisível por 5, pois o algarismo das unidades é 5.
854.390 é divisível por 0, pois o algarismo das unidades é 0.
6.548 não é divisível por 5. Isso ocorre porque o algarismo das unidades é 8.
Divisibilidade por 6
Todo número só é divisível por 6 se, e somente se, for simultaneamente divisível por 2 e por 3. 
Exemplos:
36 é divisível por 2 e por 3, logo também é divisível por 6.
810 é divisível por 2 e por 3, logo também é divisível por 6. 
 
1.023 não é divisível por 2, logo também não é divisível por 6.
10 CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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11
Dicas para o professor
•	Mostre	 que	 a	 compreensão	 das	 re-
gras	de	divisibilidade	facilitará	a	resolu-
ção	de	situações	que	envolvam	divisão.
•	A	 regra	 da	 divisibilidade	 por	 7	 po-
de	apresentar	situações	em	que	o	re-
sultado	seja	negativo;	por	 isso,	alerte	
os	alunos	para	considerarem	apenas	o	
valor	absoluto	do	número.
•	Trabalhar	 o	 critério	 da	 divisibilida-
de	pelo	método	da	memorização	pa-
ra	que,	assim,	os	alunos	desenvolvam	
o	seu	próprio	método.
Anotações
Divisibilidade por 7 
Todo número é divisível por 7 quando multiplicamos o último algarismo por 2 e subtraímos o 
resultado pelos números que restaram. Se o resultado final for um múltiplo de 7, então o número é 
divisível por 7.
Exemplos:
553 é divisível por 7. 
Observe: 2 × 3 = 6 e 55 - 6 = 49. 
Como 49 é múltiplo de 7, logo o número 553 é divisível por 7.
280 é divisível por 7. 
Observe: 2 × 0 = 0 e 28 - 0 = 28. 
Como 28 é múltiplo de 7, logo o número 280 é divisível por 7.
400 não é divisível por 7. 
Observe: 2 × 0 = 0 e 40 – 0 = 40. 
Verifique que 40 não é múltiplo de 7, logo 400 não é divisível por 7.
Divisibilidade por 8
Todo número é divisível por 8 se termina em 000 ou quando os três últimos algarismos resultam 
em um número divisível por 8.
Exemplos:
3.000 é divisível por 8, porque termina em 000 (três zeros).
4.160 é divisível por 8, porque 160 é múltiplo de 8.
3.420 não é divisível por 8, porque 420 não é múltiplo de 8.
Divisibilidade por 9 
Todo número divisível por 9 possui a soma dos seus algarismos resultando num múltiplo de 9.
Exemplos:
2.394 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a (2 + 3 + 9 + 4 =) 18. 
Sendo 18 um múltiplo de 9, 2.394 é múltiplo de 9. 
457.254 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 4 + 5 + 7 + 2 + 5 + 4 = 27. 
Sendo 27 um múltiplo de 9, 457.254 é um número divisível por 9.
1.210 não é divisível por 9, isso ocorre porque a soma de seus algarismos resulta em 1 + 2 + 1 + 
0 = 4 e esse número não é múltiplo de 9. 
Divisibilidade por 10
Todo número divisível por 10 termina em 0.
Exemplos:
200 é divisível por 10.
7.640 é divisível por 10.
11CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Divisibilidade por 3
Todo número divisível por 3 possui a soma dos seus algarismos resultando num múltiplo de 3.
Exemplos:
34.212 é divisível por 3. 
Isso ocorre porque 3 + 4 + 2 + 1 + 2 = 12. E 12 é múltiplo de 3. Logo, 34.212 é divisível por 3.
751.422 é divisível por 3. 
Isso ocorre porque 7 + 5 + 1 + 4 + 2 + 2 = 21. E 21 é múltiplo de 3. Logo, 751.422 é divisível por 3.
346 não é divisível por 3. Veja que 3 + 4 + 6 = 13. 
E 13 não é múltiplo de 3. Logo, 346 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Todo número divisível por 4 termina em 00, ou seus dois últimos algarismos formam um número 
divisível por 4.
Exemplos:
300 é divisível por 4. 
Isso acontece porque o número termina em 00.
2.316 é divisível por 4. 
Isso acontece porque os dois últimos algarismos, 16, formam um número divisível por 4.
150 não é divisível por 4. 
Isso ocorre porque não termina em 00 e os dois últimos algarismos, 50, não formam um número 
divisível por 4. 
Divisibilidade por 5
Todo número divisível por 5 possui o algarismo das unidades igual a 0 ou a 5.
Exemplos: 
2.443.865 é divisível por 5, pois o algarismo das unidades é 5.
854.390 é divisível por 0, pois o algarismo das unidades é 0.
6.548 não é divisível por 5. Isso ocorre porque o algarismo das unidades é 8.
Divisibilidade por 6
Todo número só é divisível por 6 se, e somente se, for simultaneamente divisível por 2 e por 3. 
Exemplos:
36 é divisível por 2 e por 3, logo também é divisível por 6.
810 é divisível por 2 e por 3, logo também é divisível por 6. 
 
1.023 não é divisível por 2, logo também não é divisível por 6.
10 CAPÍTULO 1 I Múltiplose divisores de um número natural
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12
Mínimo múltiplo comum (M.M.C.)
Dados dois ou mais números quaisquer, chama-se mínimo múltiplo comum, ou simplesmente 
M.M.C., o menor múltiplo desses dois ou mais números inicialmente dados.
Vamos determinar o M.M.C. de dois modos distintos: um deles é determinando alguns múltiplos 
dos números tomados, verificando o menor comum; o outro é a aplicação de uma regra prática que 
consiste na fatoração dos números tomados simultaneamente.
Como exemplo, vamos determinar o M.M.C. dos números 12 e 8.
1º modo:
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...}
M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, ...}
Observe que o menor número que aparece nas duas sequências de múltiplos é o 24. Nesse caso, 
24 é o M.M.C. dos números 12 e 8.
2º modo:
Agora, utilizando o processo prático de fatoração, temos:
12, 8 2
 6, 4 2
 3, 2 2
 3, 1 3
 1, 1 2 × 2 × 2 × 3 = 24 
Questão resolvida
1. Determine, utilizando os dois modos apresentados, o mínimo múltiplo comum dos números 14 e 12.
Solução:
1º modo:
M(14) = {14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, ...}
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, ...}
Temos 84 como o M.M.C. dos números 14 e 12.
2º modo:
14, 12 2
 7, 6 2
 7, 3 3
 7, 1 7
 1, 1 2 × 2 × 3 × 7 = 84
13CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Atividades
1. Determine quantos e quais são os divisores 
dos números abaixo.
a. 22
D(22) = {1, 2, 11, 22}. Logo, 4 divisores.
b. 35
D(35) = {1, 5, 7, 35}. Logo, 4 divisores.
c. 40
D(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}. Logo, 8 divisores.
d. 18
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Logo, 6 divisores.
2. Na tabela abaixo, marque de vermelho os 
múltiplos de 7 e de azul os múltiplos de 4.
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
65 66 67 68 69 70 71 72
Marcar de vermelho 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70. Marcar 
de azul: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 
68, 72. Observação: os números 28 e 56 devem ser marcados 
nos dois grupos.
3. Informe quais os divisores dos números lis-
tados abaixo, mencionando seus critérios sem 
efetuar as divisões.
a. 4.536 =
É divisível por 2, pois termina com um algarismo par (6). É 
divisível por 3, pois 4.536 é múltiplo de 3. É divisível por 9, 
pois a soma de seus algarismos resulta em um múltiplo de 9.
b. 6.432 =
É divisível por 3, pois a soma de seus algarismos 
resulta em um múltiplo de 9.
c. 65.490 =
É divisível por 2, pois termina em um número 
par. É divisível por 5 e por 10, pois termina em 0.
d. 635.400 = 
É divisível por 2, 4, 5, 10 e 100, pois é par e ter-
mina em 0.
e. 763.000 =
É divisível por 2, 4, 5, 7, 8, 10, 100 e 1.000, pois é 
par e termina em 0.
vermelho azul
12 CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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13
Dicas para o professor
•	Antes	de	iniciar	esse	assunto,	procu-
re	relembrar	o	conceito	de	múltiplo	de	
um	número.
•	Apresente	situações	diferentes	para	
que	os	alunos	possam	entender	bem	
esse	assunto.
•	Discuta	 com	 os	 alunos	 diferentes	
maneiras	de	encontrar	o	M.M.C.	entre	
dois	números.
Leitura complementar
Zero
A	criação	do	 zero	pode	 ser	 consi-
derada	um	fato	tão	importante	para	a	
humanidade	quanto	o	domínio	sobre	
o	fogo	ou	a	invenção	da	roda.
O	 zero	 foi	 o	 último	 número	 natu-
ral	a	ser	criado.	Sua	origem	deveu-se	
não	à	necessidade	de	marcar	a	inexis-
tência	 de	 elementos	 num	 conjunto,	
mas	 a	 uma	 concepção	 posicional	 da	
numeração.
O	zero	e	a	escrita	posicional	resol-
veram	o	problema	da	mecanização	das	
operações	numéricas,	dos	cálculos,	o	
que	permitiu	 a	 criação	das	máquinas	
de	calcular	e	dos	computadores.
Até	 a	 criação	 do	 zero,	 a	 humani-
dade	 encontrava	 uma	 forma	 bastan-
te	 particular	 de	 representar	 e	 contar	
quantidades.
Os	algarismos	romanos	não	foram	
criados	para	desenvolver	cálculos,	mas	
para	registrar	quantidades.
Não	 havia	 representação	 entre	 os	
algarismos	romanos	para	o	zero.
Roberto	Perides	Moisés	e	Luciano	Castro	Lima
Anotações
Mínimo múltiplo comum (M.M.C.)
Dados dois ou mais números quaisquer, chama-se mínimo múltiplo comum, ou simplesmente 
M.M.C., o menor múltiplo desses dois ou mais números inicialmente dados.
Vamos determinar o M.M.C. de dois modos distintos: um deles é determinando alguns múltiplos 
dos números tomados, verificando o menor comum; o outro é a aplicação de uma regra prática que 
consiste na fatoração dos números tomados simultaneamente.
Como exemplo, vamos determinar o M.M.C. dos números 12 e 8.
1º modo:
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...}
M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, ...}
Observe que o menor número que aparece nas duas sequências de múltiplos é o 24. Nesse caso, 
24 é o M.M.C. dos números 12 e 8.
2º modo:
Agora, utilizando o processo prático de fatoração, temos:
12, 8 2
 6, 4 2
 3, 2 2
 3, 1 3
 1, 1 2 × 2 × 2 × 3 = 24 
Questão resolvida
1. Determine, utilizando os dois modos apresentados, o mínimo múltiplo comum dos números 14 e 12.
Solução:
1º modo:
M(14) = {14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, ...}
M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, ...}
Temos 84 como o M.M.C. dos números 14 e 12.
2º modo:
14, 12 2
 7, 6 2
 7, 3 3
 7, 1 7
 1, 1 2 × 2 × 3 × 7 = 84
13CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Atividades
1. Determine quantos e quais são os divisores 
dos números abaixo.
a. 22
D(22) = {1, 2, 11, 22}. Logo, 4 divisores.
b. 35
D(35) = {1, 5, 7, 35}. Logo, 4 divisores.
c. 40
D(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}. Logo, 8 divisores.
d. 18
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Logo, 6 divisores.
2. Na tabela abaixo, marque de vermelho os 
múltiplos de 7 e de azul os múltiplos de 4.
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
65 66 67 68 69 70 71 72
Marcar de vermelho 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70. Marcar 
de azul: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 
68, 72. Observação: os números 28 e 56 devem ser marcados 
nos dois grupos.
3. Informe quais os divisores dos números lis-
tados abaixo, mencionando seus critérios sem 
efetuar as divisões.
a. 4.536 =
É divisível por 2, pois termina com um algarismo par (6). É 
divisível por 3, pois 4.536 é múltiplo de 3. É divisível por 9, 
pois a soma de seus algarismos resulta em um múltiplo de 9.
b. 6.432 =
É divisível por 3, pois a soma de seus algarismos 
resulta em um múltiplo de 9.
c. 65.490 =
É divisível por 2, pois termina em um número 
par. É divisível por 5 e por 10, pois termina em 0.
d. 635.400 = 
É divisível por 2, 4, 5, 10 e 100, pois é par e ter-
mina em 0.
e. 763.000 =
É divisível por 2, 4, 5, 7, 8, 10, 100 e 1.000, pois é 
par e termina em 0.
vermelho azul
12 CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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14
Dicas para o professor
•	No	 exemplo	 da	 decomposição	 em	
números	 primos,	 saliente	 que	 deve-
mos	 identificar	 os	 valores	 comuns	 e	
multiplicar	 apenas	 os	 de	 menor	 ex-
poente.
•	Dê	exemplos	de	M.D.C.	entre	os	nú-
meros	 compostos	 e	 os	 números	 pri-
mos.
Exemplos:
12	=	2	.	2	.	3	=	22	.	3
18	=	2	.	3	.	3	=	2.	32
M.D.C.	(12,	18):	2	.	3	=	6
Anotações
2º modo:
36, 15
12, 15
 6, 15
 3, 15
 1, 5
 1, 1
2
2
2
3
581, 54
81, 27
27, 9
 9, 3
 3, 1
 1, 1
2
3
3
3
3
7, 4
7, 2
7, 1
1, 1
2
2
7
2 × 2 × 7 = 28
Os dois modos 
comprovam que o 
M.D.C. (36, 15) = 3.
Problemas envolvendo múltiplos e divisores de um 
número natural
Uma loja de tecidos deseja dividir 2 pedaços de tecido em partes iguais, de maior tamanho pos-
sível, de modo que não haja sobras. Qual o tamanho de cada parte, se as peças medem 81 metros 
e 54 metros?
Note que o problema fala de divisão. Essa é a dica para calcular o M.D.C. entre 81 e 54. Caso o 
problema fale de repetição, deve-se calcular o M.M.C.
Vamos à solução:
Cada parte deve medir 3 × 3 × 3 = 27 metros, que nesse caso é o valor do M.D.C. de 81 e 54.
A peça que tem 54 metros será dividida em 2 pedaços, e a peça que mede 81 metros será divi-
dida em 3 pedaços, sendo que cada pedaço medirá 27 metros.
Vamos comentar mais um problema.
Dois vigilantes estão de folga do trabalho hoje. Um deles tem folga a cada 7 dias, e o outro a 
cada 4 dias. Daqui a quantos dias a folga dos dois vai coincidir novamente?
Nesse caso, temos a ideia de repetição. Sendo assim, temos que determinar o M.M.C. Vamos 
a ele:
Os vigilantes só terão a 
folga coincidente, outra 
vez, após 28 dias.
15CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Máximo divisor comum (M.D.C.)
Dois ou mais números naturais sempre têm divisores em comum. Entre esses divisores vamos 
aprender a identificar o maior deles. Isto é, calcular o máximo divisor comum, ou simplesmente o 
M.D.C. 
Como exemplo inicial, vamos calcular o M.D.C. dos números 12, 30 e 24.
1º modo:
Vamos apresentar os divisores dos números escolhidos e, assim, verificar quem é o maior comum 
aos três.
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Note que há vários divisores comuns para os três números. Mas só nos servirá o maior deles, ou 
o máximo, que no exemplo é 6.
2º modo:
Chamado de método prático, vamos fatorar os três números escolhidos simultaneamente e, 
depois, efetuar a multiplicação entre os fatores que dividem os três números simultaneamente. 
Observe:
Após a fatoração, conforme comentado antes, vamos calcular o produto dos fatores que dividem 
os três números simultaneamente, no caso 2 × 3 = 6.
Logo, o M.D.C.(12, 30, 24) = 6.
12, 24, 30
 6, 12, 15
 3, 6, 15
 3, 3, 15
 1, 1, 5
 1, 1, 1
2
2
2
3
5
Questão resolvida
1. Determine, utilizando os dois modos apresentados, o máximo divisor comum dos números 36 e 15.
Solução:
1º modo:
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.
D(15) = {1, 3, 5, 15}.
14 CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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15
Leitura complementar
Mas por que o nome 
primo?
A	palavra	“primo”	se	refere	à	ideia	
de	primeiro,	e	sua	origem	está	na	con-
cepção	numérica	da	escola	pitagórica,	
no	século	V	a.C.	Nessa	época,	os	ma-
temáticos	gregos	dividiam	os	números	
inteiros	naturais	em	três	classes:
I.	 a	monad	(unidade,	1);
II.	 os	 protói	 arithmói	 (números	 pri-
mos),	ou	asynthetói	aritmói	(núme-
ros	 não	 compostos):	 aqueles	 que	
não	podem	ser	gerados	pelo	pro-
duto	 de	 outros	 números	 além	 da	
unidade.	Ex.:	2,	3,	5,	7,	11,	etc.;
III.	os	 deuterói	 arithmói	 (números	 se-
cundários):	aqueles	que	podem	ser	
gerados	pelo	produto	de	outros	nú-
meros.	Ex.:	6(=	2×3)	,	6(=	2×3)	8,	10,	
12,	14,	etc.;
A	 definição	 de	 Euclides	 para	 es-
ses	números	reflete	essa	classificação:	
“Número	primo	é	aquele	que	só	pode	
ser	medido	através	da	unidade”.
Anotações
2º modo:
36, 15
12, 15
 6, 15
 3, 15
 1, 5
 1, 1
2
2
2
3
5
81, 54
81, 27
27, 9
 9, 3
 3, 1
 1, 1
2
3
3
3
3
7, 4
7, 2
7, 1
1, 1
2
2
7
2 × 2 × 7 = 28
Os dois modos 
comprovam que o 
M.D.C. (36, 15) = 3.
Problemas envolvendo múltiplos e divisores de um 
número natural
Uma loja de tecidos deseja dividir 2 pedaços de tecido em partes iguais, de maior tamanho pos-
sível, de modo que não haja sobras. Qual o tamanho de cada parte, se as peças medem 81 metros 
e 54 metros?
Note que o problema fala de divisão. Essa é a dica para calcular o M.D.C. entre 81 e 54. Caso o 
problema fale de repetição, deve-se calcular o M.M.C.
Vamos à solução:
Cada parte deve medir 3 × 3 × 3 = 27 metros, que nesse caso é o valor do M.D.C. de 81 e 54.
A peça que tem 54 metros será dividida em 2 pedaços, e a peça que mede 81 metros será divi-
dida em 3 pedaços, sendo que cada pedaço medirá 27 metros.
Vamos comentar mais um problema.
Dois vigilantes estão de folga do trabalho hoje. Um deles tem folga a cada 7 dias, e o outro a 
cada 4 dias. Daqui a quantos dias a folga dos dois vai coincidir novamente?
Nesse caso, temos a ideia de repetição. Sendo assim, temos que determinar o M.M.C. Vamos 
a ele:
Os vigilantes só terão a 
folga coincidente, outra 
vez, após 28 dias.
15CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Máximo divisor comum (M.D.C.)
Dois ou mais números naturais sempre têm divisores em comum. Entre esses divisores vamos 
aprender a identificar o maior deles. Isto é, calcular o máximo divisor comum, ou simplesmente o 
M.D.C. 
Como exemplo inicial, vamos calcular o M.D.C. dos números 12, 30 e 24.
1º modo:
Vamos apresentar os divisores dos números escolhidos e, assim, verificar quem é o maior comum 
aos três.
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Note que há vários divisores comuns para os três números. Mas só nos servirá o maior deles, ou 
o máximo, que no exemplo é 6.
2º modo:
Chamado de método prático, vamos fatorar os três números escolhidos simultaneamente e, 
depois, efetuar a multiplicação entre os fatores que dividem os três números simultaneamente. 
Observe:
Após a fatoração, conforme comentado antes, vamos calcular o produto dos fatores que dividem 
os três números simultaneamente, no caso 2 × 3 = 6.
Logo, o M.D.C.(12, 30, 24) = 6.
12, 24, 30
 6, 12, 15
 3, 6, 15
 3, 3, 15
 1, 1, 5
 1, 1, 1
2
2
2
3
5
Questão resolvida
1. Determine, utilizando os dois modos apresentados, o máximo divisor comum dos números 36 e 15.
Solução:
1º modo:
D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.
D(15) = {1, 3, 5, 15}.
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16
Para analisar:
O número 37 e os nove múltiplos iniciais de 3 não nulos
Vamos relembrar o conjunto dos múltiplos de 3.
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, ...}
O nosso próximo passo é multiplicar os nove múltiplos iniciais, não nulos, do número 
3 pelo número 37 e observar o que acontece. 
Refletindo sobre o texto
1. Que relação existe entre os nove múltiplos iniciais, não nulos, de 3 e o algarismo 37?
2. Se continuarmos essa multiplicação, surgirá alguma outra surpresa numérica?
Coincidentemente, o produto entre eles resulta sempre em um número com três algarismos iguais.
Sim, teremos como produto um número composto por quatro algarismos em que os dois do meio 
(segundo e terceiro) são algarismos iguais.
3 × 37 = 111
6 × 37 = 222
9 × 37 = 333
12 × 37 = 444
15 × 37 = 555
18 × 37 = 666
21 × 37 = 777
24 × 37 = 888
27 × 37 = 999
A Matemática é ou não 
surpreendentemente 
intrigante?
Amplie o conhecimento
Números amigáveis
Você já escutou falar nesse tipo de número? 
Bem, vamos definir números amigáveis como sendo números, tomados aos pares, em que um 
deles é o resultado da soma dos divisores dos outros. Temos como exemplo os números 220 e 284.
Vamos provar, apresentando os divisores de 220.
17CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Você sabia?
Se dois ou mais números são dados e um deles é divisor de todos esses números, este é o M.D.C. 
deles.
Exemplo: 
O M.D.C. (3, 6, 12) = 3. Pois 3 é divisor de 6, de 12 e dele mesmo. 
Se dois números são consecutivos, esses números são primos entre si. Logo, o M.D.C. entre esses é 1. 
Exemplo: 
O M.D.C. (15, 16) = 1.  Pois, o maior número que divide 15 e 16 é 1. 
Atividades
1. Para participar de uma gincana, os 104 alunos 
do 7° ano e os 120 do 6° ano serão organiza-
dos em equipes, todas com o mesmo número 
de alunos. Se as equipes devem ter entre 6 e 
20 membros, sendo todos do mesmo ano, des-
cubra quantos membros cada equipe pode ter.
4 ou 6.
2. Numa linha de produção, certo tipo de ma-
nutenção é feita na máquina A a cada 3 dias; 
na máquina B, a cada 4 dias; e na máquina C, a 
cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita 
a manutenção nas três máquinas, após quan-
tos dias as máquinas receberão manutenção no 
mesmo dia?
Após 12 dias, ou seja, no dia 14 de dezembro.
3. Com relação ao número 32: 
a. Quantos divisores ímpares ele possui? 
1.
b. Quais são esses divisores ímpares?
Apenas o número 1.
4. O número 4.312.5ab é divisível por 9. O valor 
máximo da soma dos algarismos a e b será: 
a. 11. b. X 12. 
c. 13. d. 14. 
e. 15.
5. (UFBA) Tenho menos que 65 livros; contando-
-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, so-
bram sempre três. Calcule quantos livros possuo.
Possuo 63 livros.
6. Dos números a seguir, quais são divisíveis por 3?
a. X 123. b. 331.
c. 509. d. X 681.
e. 712. f. X 888.
7. O número 53.782.309.512 é divisível por 4? E 
por 5?
É divisível por 4 e não é divisível por 5.
Zo
uZ
o
u/
Sh
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te
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to
ck
.c
o
m
16 CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Para analisar:
O número 37 e os nove múltiplos iniciais de 3 não nulos
Vamos relembrar o conjunto dos múltiplos de 3.
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, ...}
O nosso próximo passo é multiplicar os nove múltiplos iniciais, não nulos, do número 
3 pelo número 37 e observar o que acontece. 
Refletindo sobre o texto
1. Que relação existe entre os nove múltiplos iniciais, não nulos, de 3 e o algarismo 37?
2. Se continuarmos essa multiplicação, surgirá alguma outra surpresa numérica?
Coincidentemente, o produto entre eles resulta sempre em um número com três algarismos iguais.
Sim, teremos como produto um número composto por quatro algarismos em que os dois do meio 
(segundo e terceiro) são algarismos iguais.
3 × 37 = 111
6 × 37 = 222
9 × 37 = 333
12 × 37 = 444
15 × 37 = 555
18 × 37 = 666
21 × 37 = 777
24 × 37 = 888
27 × 37 = 999
A Matemática é ou não 
surpreendentemente 
intrigante?
Amplie o conhecimento
Números amigáveis
Você já escutou falar nesse tipo de número? 
Bem, vamos definir números amigáveis como sendo números, tomados aos pares, em que um 
deles é o resultado da soma dos divisores dos outros. Temos como exemplo os números 220 e 284.
Vamos provar, apresentando os divisores de 220.
17CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Você sabia?
Se dois ou mais números são dados e um deles é divisor de todos esses números, este é o M.D.C. 
deles.
Exemplo: 
O M.D.C. (3, 6, 12) = 3. Pois 3 é divisor de 6, de 12 e dele mesmo. 
Se dois números são consecutivos, esses números são primos entre si. Logo, o M.D.C. entre esses é 1. 
Exemplo: 
O M.D.C. (15, 16) = 1.  Pois, o maior número que divide 15 e 16 é 1. 
Atividades
1. Para participar de uma gincana, os 104 alunos 
do 7° ano e os 120 do 6° ano serão organiza-
dos em equipes, todas com o mesmo número 
de alunos. Se as equipes devem ter entre 6 e 
20 membros, sendo todos do mesmo ano, des-
cubra quantos membros cada equipe pode ter.
4 ou 6.
2. Numa linha de produção, certo tipo de ma-
nutenção é feita na máquina A a cada 3 dias; 
na máquina B, a cada 4 dias; e na máquina C, a 
cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita 
a manutenção nas três máquinas, após quan-
tos dias as máquinas receberão manutenção no 
mesmo dia?
Após 12 dias, ou seja, no dia 14 de dezembro.
3. Com relação ao número 32: 
a. Quantos divisores ímpares ele possui? 
1.
b. Quais são esses divisores ímpares?
Apenas o número 1.
4. O número 4.312.5ab é divisível por 9. O valor 
máximo da soma dos algarismos a e b será: 
a. 11. b. X 12. 
c. 13. d. 14. 
e. 15.
5. (UFBA) Tenho menos que 65 livros; contando-
-os de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, so-
bram sempre três. Calcule quantos livros possuo.
Possuo 63 livros.
6. Dos números a seguir, quais são divisíveis por 3?
a. X 123. b. 331.
c. 509. d. X 681.
e. 712. f. X 888.
7. O número 53.782.309.512 é divisível por 4? E 
por 5?
É divisível por 4 e não é divisível por 5.
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18
Dicas para o professor
•		Compreender	a	construção	do	Cri-
vo	de	Eratóstenes.
•		 Compreender	 a	 importância	 das	
descobertas	 matemáticas	 feitas	 por	
antigas	civilizações.
•		 Você	 poderá	 fazer	 uma	 aula	 inter-
disciplinar	comentando	sobre	a	histó-
ria	da	Grécia,	enfatizando	que	ela	foi	o	
berço	 de	muitos	 filósofos	 e	matemá-
ticos.
Leitura complementar
Maior número primo
Podemos	 afirmar	 que	 os	 números	
primos	são	infinitos,	ou	seja,	não	exis-
te	o	maior	número	primo.
O	 que	 é	 possível	 afirmar	 é	 que	 o	
maior	 número	 primo	 encontrado	 até	
hoje	é	277.232.917	−1.
Esse	primo	foi	descoberto	em	de-
zembro	 de	 2017,	 tem	 23.249.425	 dí-
gitos	 e	 foi	 calculado	 com	a	 ajuda	de		
processadores	Intel	i5-6600.
É	o	50º	número	de	Mersenne	(pro-
jeto	que	procura	por	números	primos	
específicos,	do	tipo	2p	–	1).
Anotações
Aprimorando conceitos
I. Qual é a relação entre múltiplos e divisores de um número natural?
III. Qual é a diferença entre o M.D.C. e o M.M.C. de números naturais?
V. Qual é o critério de divisibilidade por 3?
II. O que são critérios de divisibilidade?
IV. O que são números primos? 
VI. Qual é o critério de divisibilidade por 8? 
Múltiplos e divisores são números que resultam da multiplicação por um número natural e 
que dividem um número deixando resto zero, respectivamente. Os múltiplos e divisores de 
um número estão relacionados entre si da seguinte forma: se 15 é divisível por 3, então 3 é 
divisor de 15 e, consequentemente, 15 é múltiplo de 3.
São regras utilizadas para solucionar a divisão de números naturais, obtendo resto igual a 
zero. É importante destacar que, com os critérios de divisibilidade, não há necessidade de 
efetuar a operação de divisão.
O M.D.C. é o maior ou o máximo divisor comum entre os números naturais citados e o 
M.M.C. é o menor ou mínimo múltiplo comum entre os números naturais citados.
É um conjunto de números infinitos que só possuem dois divisores, o número 1 e ele 
mesmo.
Todo número divisível por 3 possui a soma dos seus algarismos resultando num múltiplo de 3.
Todo número é divisível por 8 se terminar em 000 ou quando os três últimos algarismos re-
sultam em um número divisível por 8.
19CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Resgatando a história
O grego Eratóstenes desenvolveu um método prático e simples, utilizando a eliminação de múl-
tiplos dos números naturais, de encontrar número primos. Ele foi matemático, astrônomo, geógra-
fo, historiador e filósofo. 
Era da cidade de Cirene, porém passou a maior parte da sua vida na cidade de Atenas e, poste-
riormente, em Alexandria. 
Em Alexandria, trabalhou na biblioteca da universidade. Seu métodopara determinar números 
divisíveis apenas por um e por si mesmo ficou conhecido como o Crivo de Eratóstenes. Morreu aos 
82 anos na cidade de Alexandria, no Egito, no ano de 194 a.C. 
D(220) = {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110}. 
Verifiquemos, agora, a soma desses divisores.
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.
Vamos analisar agora os divisores de 284.
D(284) = {1, 2, 4, 71, 142}.
Verifiquemos, dessa vez, a soma desses divisores.
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
Assim, provamos que esse par de números, 220 e 284, são números que podem ser classificados 
como números amigáveis.
Referente a esse tipo de número, o matemático francês Pierre Fermat descobriu que os números 
17.296 e 18.416 são igualmente amigáveis e o também matemático francês René Descartes desco-
briu os números amigáveis 9.363.584 e 9.437.056.
Centro da Terra
Alexandria
Luz
do S
ol
Siena
7
O
7
O
7
O
Para medir o meridiano ter-
restre, Eratóstenes se baseou 
na observação da posição do 
Sol em Alexandria e em Sie-
na (hoje Assuã), situadas so-
bre o mesmo meridiano, mas 
em latitudes diferentes.
18 CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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19
Dicas para o professor
Leitura complementar
•	Desenvolva,	 junto	 com	 os	 alunos,	
uma	lista	mostrando	que	todos	os	nú-
meros	compostos	são	formados	pelos	
produtos	dos	números	primos.
•	Após	a	construção	do	Crivo	até	50	em	
sala,	peça	que	os	alunos	determinem	to-
dos	os	números	primos	de	50	até	100.
•	Tome	 cuidado	 para	 que	 os	 alunos	
não	façam	a	decomposição	utilizando	
números	compostos.
A diferença entre número 
composto e número 
primo
Em	ordem	crescente,	os	primeiros	
números	primos	são:	2,	3,	5,	7,	11,	13,	
17,	19,	...
O	número	1	não	é	considerado	um	
número	primo.	Uma	razão	é	o	fato	de	
que	 isso	 nos	 possibilita	 estabelecer	
proposições	sobre	os	números	primos	
sem	introduzir	qualificações.
A	 importância	 dos	 números	 pri-
mos	na	teoria	de	números	representa	
o	teorema	fundamental	da	Aritmética.
Esse	 teorema	 nos	 permite	 afirmar	
que	todo	número	inteiro	natural	maior	
do	 que	 1	 pode	 ser	 escrito	 como	 um	
produto	de	fatores	primos.
Outro	 fato	 relevante	 é	 a	 irregula-
ridade	 dos	 números	 primos	 quando	
consideramos	 o	 intervalo	 entre	 dois	
números	primos	consecutivos.
Anotações
Aprimorando conceitos
I. Qual é a relação entre múltiplos e divisores de um número natural?
III. Qual é a diferença entre o M.D.C. e o M.M.C. de números naturais?
V. Qual é o critério de divisibilidade por 3?
II. O que são critérios de divisibilidade?
IV. O que são números primos? 
VI. Qual é o critério de divisibilidade por 8? 
Múltiplos e divisores são números que resultam da multiplicação por um número natural e 
que dividem um número deixando resto zero, respectivamente. Os múltiplos e divisores de 
um número estão relacionados entre si da seguinte forma: se 15 é divisível por 3, então 3 é 
divisor de 15 e, consequentemente, 15 é múltiplo de 3.
São regras utilizadas para solucionar a divisão de números naturais, obtendo resto igual a 
zero. É importante destacar que, com os critérios de divisibilidade, não há necessidade de 
efetuar a operação de divisão.
O M.D.C. é o maior ou o máximo divisor comum entre os números naturais citados e o 
M.M.C. é o menor ou mínimo múltiplo comum entre os números naturais citados.
É um conjunto de números infinitos que só possuem dois divisores, o número 1 e ele 
mesmo.
Todo número divisível por 3 possui a soma dos seus algarismos resultando num múltiplo de 3.
Todo número é divisível por 8 se terminar em 000 ou quando os três últimos algarismos re-
sultam em um número divisível por 8.
19CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Resgatando a história
O grego Eratóstenes desenvolveu um método prático e simples, utilizando a eliminação de múl-
tiplos dos números naturais, de encontrar número primos. Ele foi matemático, astrônomo, geógra-
fo, historiador e filósofo. 
Era da cidade de Cirene, porém passou a maior parte da sua vida na cidade de Atenas e, poste-
riormente, em Alexandria. 
Em Alexandria, trabalhou na biblioteca da universidade. Seu método para determinar números 
divisíveis apenas por um e por si mesmo ficou conhecido como o Crivo de Eratóstenes. Morreu aos 
82 anos na cidade de Alexandria, no Egito, no ano de 194 a.C. 
D(220) = {1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110}. 
Verifiquemos, agora, a soma desses divisores.
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.
Vamos analisar agora os divisores de 284.
D(284) = {1, 2, 4, 71, 142}.
Verifiquemos, dessa vez, a soma desses divisores.
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.
Assim, provamos que esse par de números, 220 e 284, são números que podem ser classificados 
como números amigáveis.
Referente a esse tipo de número, o matemático francês Pierre Fermat descobriu que os números 
17.296 e 18.416 são igualmente amigáveis e o também matemático francês René Descartes desco-
briu os números amigáveis 9.363.584 e 9.437.056.
Centro da Terra
Alexandria
Luz
do S
ol
Siena
7
O
7
O
7
O
Para medir o meridiano ter-
restre, Eratóstenes se baseou 
na observação da posição do 
Sol em Alexandria e em Sie-
na (hoje Assuã), situadas so-
bre o mesmo meridiano, mas 
em latitudes diferentes.
18 CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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20
Atividades
complementares
1.	Determine	os	números	naturais	cuja	
forma	fatorada	é:	
a)	22	.	32	.	5	=
b)	2	.	52	.	7	=
c)	32	.	11	=
Respostas:
a)	4	.	9	.	5	=	180
b)	2	.	25	.	7	=	350
c)	9	.	11	=	99
2.	Determine	quantos	divisores	têm	os	
números:
a)	22	.	3	.	52	=
b)	22	.	5	=
c)	3	.	73	=
Respostas:
a)	(2	+	1)	.	(1	+	1)	.	(2	+1	)	=	3	.	2	.	3	=	
18	divisores
b)	(2	+	1)	.	(1	+	1)	=	3	.	2	=	6	divisores
c)	(1	+	1)	.	(3	+	1)	=	2	.	4	=	8	divisores
Anotações
7. É divisível por 2, 3 e 5,  simultaneamente, o 
número:
a. 470.
b. 1.040.
c. 460.
d. X 1.020.
e. 1.064.
8. Três peças de tecido que medem 15 m, 45 m e 
105 m devem ser todas cortadas em pedaços de 
mesmo comprimento e de maior tamanho pos-
sível, sem que haja sobras. Quanto medirá cada 
pedaço?
a. 12 m.
b. 13 m.
c. 14 m.
d. X 15 m.
e. 16 m.
9. (Cesgranrio) Em uma caixa há cartões. Em 
cada um dos cartões, está escrito um múltiplo 
de 4 compreendido entre 22 e 82. Não há dois 
cartões com o mesmo número escrito, e a quan-
tidade de cartões é a maior possível. Se forem 
retirados dessa caixa todos os cartões nos quais 
está escrito um múltiplo de 6 menor que 60, 
quantos cartões restarão na caixa?
a. X 12.
b. 11.
c. 3.
d. 5.
e. 10.
10. (Vunesp) Júlia trabalha somente de segunda 
a sexta-feira, independentemente de ser feria-
do ou não, e realiza a tarefa A de 2 em 2 dias, 
a tarefa B de 3 em 3 dias e a tarefa C de 4 em 
4 dias. Na segunda-feira passada, ela realizou 
11. (FCC) Um evento em comemoração ao dia 
do trabalho, com duração de 2 dias, é promovido 
para empresas de uma certa cidade. Para o pri-
meiro dia do evento foram distribuídos 1.200 in-
gressos e, para o segundo dia, 1.800 ingressos. As 
empresas contempladas só poderiam participar 
em um único dia, recebendo, cada uma, a mes-
ma quantidade máxima possível de ingressos. O 
número de empresas participantes do evento é:
a. 12.
b. 18.
c. 9.
d. 6.
e. X 5.
12. O total de divisores naturais do número 360 é:
a. X 24.
b. 18.
c. 16.
d. 28.
13. A estação rodoviária de uma cidade do in-
terior de Pernambuco, é o ponto de partida das 
viagens intermunicipais. De uma plataforma da 
estação, a cada 15 minutos, partem os ônibus 
da Aviação Progresso, com destino a cidade de 
Caruaru. Os ônibus da Viação Sucesso partem 
da plataforma vizinha a cada 18minutos, com 
destino à cidade de Garanhuns. Se às 11 horas, 
os dois ônibus partirem simultaneamente, a que 
horas os dois ônibus partiram juntos:
a. 12 horas.
b. X 12h30min.
c. 13h30min. 
d. 14 horas.
outras datas, além desta, haverá coincidência na 
entrega de todos os itens?
a. X 2.
b. 4.
c. 6.
d. 12.
e. 15.
as três tarefas. Se Júlia realizar as tarefas rigo-
rosamente em dia, então é certo que a próxima 
vez que ela deverá realizar essas três tarefas, no 
mesmo dia, será numa:
a. segunda-feira.
b. terça-feira.
c. X quarta-feira.
d. quinta-feira.
e. sexta-feira.
21CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Praticando mais
1. Num certo país asiático, a eleição para pre-
sidente ocorre a cada 5 anos e para prefeito, a 
cada 4 anos. Se em 2015 houve coincidência das 
eleições para esses cargos, qual o próximo ano 
em que elas voltarão a coincidir?
Em 2035.
2. Um funcionário dos correios tem várias cor-
respondências para entregar numa rua numera-
da de 1 a 30. Para as casas pares, ele entregará 
as contas de água e, para as casas terminadas 
em 0 ou 5, ele entregará as contas de energia.
 
a. Quantas casas receberão a conta de energia?
6 casas.
b. Quantas casas não receberão a conta de 
água?
15 casas.
3. (Vunesp) Dois produtos líquidos A e B estão 
armazenados em galões separados. Em um dos 
galões há 18 litros do produto A e, no outro, 
há 42 litros do produto B. Carlos precisa distri-
buir esses líquidos, sem desperdiçá-los e sem 
misturá-los, em galões menores, de forma que 
cada galão menor tenha a mesma quantidade e 
o maior volume possível de cada produto. Após 
essa distribuição, o número total de galões me-
nores será:
a. 6.
b. 8.
c. X 10.
d. 12.
e. 14.
4. (FCC) O século XX foi do ano 1901 até o ano 
2000. Renato nasceu no mês de outubro em 
um ano do século XX. Seu ano de nascimento 
é múltiplo de 23, com soma dos quatro algaris-
mos igual a 20. De acordo com essas informa-
ções, no dia da aplicação desta prova, Renato 
tem a idade, em anos completos, igual a:
a. 81.
b. X 59.
c. 37.
d. 82.
e. 60.
5. (FCC) Ao consultar o livro de registro de en-
trada e saída de pessoas às dependências de 
uma empresa, um funcionário observou que: 
5
8
  do total das pessoas que lá estiveram ao 
longo de certa semana eram do sexo masculino 
e que, destas, 2
7
 tinham menos de 35 anos de 
idade. Com base nessas informações, pode-se 
concluir corretamente que o total de pessoas 
que visitaram tal empresa naquela semana não 
poderia ser igual a:
a. 56.
b. 112.
c. X 144.
d. 168.
e. 280.
6. (FCC) Durante os próximos 5 anos, a contar 
de 2 de janeiro de 2007, a entrega de material 
para a secretaria da escola está organizada da 
seguinte maneira:
 papel a cada 2 meses;
 lápis a cada 3 meses;
 tinta para impressoras a cada 6 meses;
 pastas de arquivo a cada 5 meses.
Se todos esses itens de material forem entre-
gues no dia 2 de janeiro de 2007, em quantas 
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7. É divisível por 2, 3 e 5,  simultaneamente, o 
número:
a. 470.
b. 1.040.
c. 460.
d. X 1.020.
e. 1.064.
8. Três peças de tecido que medem 15 m, 45 m e 
105 m devem ser todas cortadas em pedaços de 
mesmo comprimento e de maior tamanho pos-
sível, sem que haja sobras. Quanto medirá cada 
pedaço?
a. 12 m.
b. 13 m.
c. 14 m.
d. X 15 m.
e. 16 m.
9. (Cesgranrio) Em uma caixa há cartões. Em 
cada um dos cartões, está escrito um múltiplo 
de 4 compreendido entre 22 e 82. Não há dois 
cartões com o mesmo número escrito, e a quan-
tidade de cartões é a maior possível. Se forem 
retirados dessa caixa todos os cartões nos quais 
está escrito um múltiplo de 6 menor que 60, 
quantos cartões restarão na caixa?
a. X 12.
b. 11.
c. 3.
d. 5.
e. 10.
10. (Vunesp) Júlia trabalha somente de segunda 
a sexta-feira, independentemente de ser feria-
do ou não, e realiza a tarefa A de 2 em 2 dias, 
a tarefa B de 3 em 3 dias e a tarefa C de 4 em 
4 dias. Na segunda-feira passada, ela realizou 
11. (FCC) Um evento em comemoração ao dia 
do trabalho, com duração de 2 dias, é promovido 
para empresas de uma certa cidade. Para o pri-
meiro dia do evento foram distribuídos 1.200 in-
gressos e, para o segundo dia, 1.800 ingressos. As 
empresas contempladas só poderiam participar 
em um único dia, recebendo, cada uma, a mes-
ma quantidade máxima possível de ingressos. O 
número de empresas participantes do evento é:
a. 12.
b. 18.
c. 9.
d. 6.
e. X 5.
12. O total de divisores naturais do número 360 é:
a. X 24.
b. 18.
c. 16.
d. 28.
13. A estação rodoviária de uma cidade do in-
terior de Pernambuco, é o ponto de partida das 
viagens intermunicipais. De uma plataforma da 
estação, a cada 15 minutos, partem os ônibus 
da Aviação Progresso, com destino a cidade de 
Caruaru. Os ônibus da Viação Sucesso partem 
da plataforma vizinha a cada 18 minutos, com 
destino à cidade de Garanhuns. Se às 11 horas, 
os dois ônibus partirem simultaneamente, a que 
horas os dois ônibus partiram juntos:
a. 12 horas.
b. X 12h30min.
c. 13h30min. 
d. 14 horas.
outras datas, além desta, haverá coincidência na 
entrega de todos os itens?
a. X 2.
b. 4.
c. 6.
d. 12.
e. 15.
as três tarefas. Se Júlia realizar as tarefas rigo-
rosamente em dia, então é certo que a próxima 
vez que ela deverá realizar essas três tarefas, no 
mesmo dia, será numa:
a. segunda-feira.
b. terça-feira.
c. X quarta-feira.
d. quinta-feira.
e. sexta-feira.
21CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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Praticando mais
1. Num certo país asiático, a eleição para pre-
sidente ocorre a cada 5 anos e para prefeito, a 
cada 4 anos. Se em 2015 houve coincidência das 
eleições para esses cargos, qual o próximo ano 
em que elas voltarão a coincidir?
Em 2035.
2. Um funcionário dos correios tem várias cor-
respondências para entregar numa rua numera-
da de 1 a 30. Para as casas pares, ele entregará 
as contas de água e, para as casas terminadas 
em 0 ou 5, ele entregará as contas de energia.
 
a. Quantas casas receberão a conta de energia?
6 casas.
b. Quantas casas não receberão a conta de 
água?
15 casas.
3. (Vunesp) Dois produtos líquidos A e B estão 
armazenados em galões separados. Em um dos 
galões há 18 litros do produto A e, no outro, 
há 42 litros do produto B. Carlos precisa distri-
buir esses líquidos, sem desperdiçá-los e sem 
misturá-los, em galões menores, de forma que 
cada galão menor tenha a mesma quantidade e 
o maior volume possível de cada produto. Após 
essa distribuição, o número total de galões me-
nores será:
a. 6.
b. 8.
c. X 10.
d. 12.
e. 14.
4. (FCC) O século XX foi do ano 1901 até o ano 
2000. Renato nasceu no mês de outubro em 
um ano do século XX. Seu ano de nascimento 
é múltiplo de 23, com soma dos quatro algaris-
mos igual a 20. De acordo com essas informa-
ções, no dia da aplicação desta prova, Renato 
tem a idade, em anos completos, igual a:
a. 81.
b. X 59.
c. 37.
d. 82.
e. 60.
5. (FCC) Ao consultar o livro de registro de en-
trada e saída de pessoas às dependências de 
uma empresa, um funcionário observou que: 
5
8
  do total das pessoas que lá estiveram ao 
longo de certa semana eram do sexo masculino 
e que, destas, 2
7
 tinham menos de 35 anos de 
idade. Com base nessas informações, pode-se 
concluir corretamente que o total de pessoas 
que visitaram tal empresa naquela semana não 
poderia ser igual a:
a. 56.
b. 112.
c. X 144.
d. 168.
e. 280.
6. (FCC) Durante os próximos 5 anos, a contar 
de 2 de janeiro de 2007, a entrega de material 
para a secretaria da escola está organizada da 
seguinte maneira:
 papel a cada 2 meses;
 lápisa cada 3 meses;
 tinta para impressoras a cada 6 meses;
 pastas de arquivo a cada 5 meses.
Se todos esses itens de material forem entre-
gues no dia 2 de janeiro de 2007, em quantas 
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22
25. O número de apartamentos de Clarice e 
Fernando corresponde ao maior divisor, ao 
mesmo tempo de 40 e 50. Qual é o número do 
apartamento dos dois?
10.
c. por 10 
5.010, 5.020.
d. por 9
5.013.
e. ao mesmo tempo por 5 e 10 
5.010.
23. Responda usando sim ou não, se 1.000 é 
divisível ao mesmo tempo por:
a. por 6 e por 9 
Não.
b. por 5 e por 7 
Não.
e. por 8 e por 7 
Não.
f. por 8 e por 9 
Não.
c. por 5 e por 8 
Sim.
d. por 2 e por 10 
Sim.
g. por 4 e por 5 
Sim.
24. A idade de Caio corresponde o maior divi-
sor do número 32, sem ser o número 32. Qual é 
a idade de Caio? 
16 anos.
26. Entre os números naturais 45 e 55 há dois 
que são primos. Quais são esses números? 
47 e 53.
27. Entre os números 11 e 21, há quatro núme-
ros primos. Quais são esses números? É correto 
afirmar que sua soma é um múltiplo de 15? 
11, 13, 17, 19. Sim.
28. Numa sala de aula de estudam 16 meninas 
e 11 meninos. O número de alunos que estuda 
nessa sala é um número primo? 
Não.
29. Usando o conhecimento adquirido do Cri-
vo de Erastóstenes sobre como identificar se 
um número natural é primo verifique se os nú-
meros abaixo são primos:
a. 127 
b. 203 
c. 401 
É primo.
É primo.
Não é primo.
30. De acordo com o censo de 2010 de uma fon-
te de pesquisa popular sobre o índice de jovens 
que consegue escolher um curso superior ainda 
estudando no ensino médio. 449 jovens optam 
em seguir os estudos para o curso de Direito. Ve-
rifique se esse número é um número primo. (Use 
o algoritmo de divisão por números primos.)
Sim, é primo.
31. (Vunesp) Uma pessoa comprou um frasco 
do medicamento A, com 93 comprimidos, e um 
frasco do medicamento B, com 87 comprimidos 
e quer separá-los em pacotinhos, todos com 
o mesmo número de comprimidos e na maior 
quantidade possível, de modo que cada pacoti-
nho tenha comprimidos de um só medicamento 
e que não ocorra nenhuma sobra. O número to-
tal de pacotinhos que devem ser feitos é:
a. 52. b. 55.
c. 58. d. X 60.
e. 63.
23CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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19. Usando o critério de divisibilidade, assinale 
os números que são divisíveis por 3.
a. 107.
b. X 207.
c. 328.
d. X 1.101.
e. X 1.026.
f. 913.
g. 506.
h. X 4.005.
14. Usando o critério de divisibilidade para fa-
cilitar nossos cálculos e considerando que po-
demos usar o algoritmo da divisão, verifique:
a. 1.809 é divisível por 3. 
Sim, é divisível.
b. 2.024 é divisível por 4. 
Sim, é divisível.
c. 791 é divisível por 7. 
Sim, é divisível.
d. 1.246 é divisível por 5. 
Não, não é divisível.
e. 3.454 é divisível por 11. 
Sim, é divisível.
f. 2.156 é divisível por 17. 
Não, não é divisível.
22. Considere os números a seguir:
5.010 5.016 5.011 5.017 5.012 5.018 
5.013 5.019 5.014 5.020 5.019
Identifique quais deles são divisíveis por:
a. por 5 
5.010, 5.015, 5.020.
b. por 2 
5.010, 5.012, 5.014, 5.016, 5.018, 5.020.
15. O número natural 1.071 é divisível por 9? 
Qual o próximo número natural maior que 1.071 
que é divisível por 9?
Sim, 1.080.
16. O maior número possível menor que 100 
que é divisível por 7 pode ser calculado por 100 
– n, em que n representa o resto da divisão de 
100 por 7. Determine, então o maior número 
possível menor que 100, que é divisível por 7.
O número procurado é 98.
17. Para participar de um concurso, se inscreve-
ram 23 mulheres e 49 homens. O representante do 
concurso resolveu dividir em grupos mistos de tal 
forma que todos os grupos tenham a mesma quan-
tidade de pessoas. Nessas condições o coordena-
dor poderá formar quantos grupos de 8 pessoas?
Serão formados 9 grupos.
18. Usando os algarismos 2,3 e 5, você pode es-
crever seis números naturais formados por esses 
três números sem repeti-los?
235, 253, 325, 352, 523, 532.
20. Dentre os números da questão anterior, 
responda se houver:
a. quais são os divisíveis por 2?
352, 532.
b. quais são os divisíveis por 3? 
Nenhum.
c. quais são os divisíveis por 5? 
235, 325.
d. quais são divisíveis por 4? 
352, 532.
21. Um ano é bissexto quando o número que 
representa o ano é divisível por 4 ou, no caso 
dos anos terminados em 00, é divisível por 400. 
Sabendo dessa informação quais as primeiras 
décadas do século XXI que (começa no ano 
2001 e termina em 2010) é ano bissexto?
2004 e 2008.
22 CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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25. O número de apartamentos de Clarice e 
Fernando corresponde ao maior divisor, ao 
mesmo tempo de 40 e 50. Qual é o número do 
apartamento dos dois?
10.
c. por 10 
5.010, 5.020.
d. por 9
5.013.
e. ao mesmo tempo por 5 e 10 
5.010.
23. Responda usando sim ou não, se 1.000 é 
divisível ao mesmo tempo por:
a. por 6 e por 9 
Não.
b. por 5 e por 7 
Não.
e. por 8 e por 7 
Não.
f. por 8 e por 9 
Não.
c. por 5 e por 8 
Sim.
d. por 2 e por 10 
Sim.
g. por 4 e por 5 
Sim.
24. A idade de Caio corresponde o maior divi-
sor do número 32, sem ser o número 32. Qual é 
a idade de Caio? 
16 anos.
26. Entre os números naturais 45 e 55 há dois 
que são primos. Quais são esses números? 
47 e 53.
27. Entre os números 11 e 21, há quatro núme-
ros primos. Quais são esses números? É correto 
afirmar que sua soma é um múltiplo de 15? 
11, 13, 17, 19. Sim.
28. Numa sala de aula de estudam 16 meninas 
e 11 meninos. O número de alunos que estuda 
nessa sala é um número primo? 
Não.
29. Usando o conhecimento adquirido do Cri-
vo de Erastóstenes sobre como identificar se 
um número natural é primo verifique se os nú-
meros abaixo são primos:
a. 127 
b. 203 
c. 401 
É primo.
É primo.
Não é primo.
30. De acordo com o censo de 2010 de uma fon-
te de pesquisa popular sobre o índice de jovens 
que consegue escolher um curso superior ainda 
estudando no ensino médio. 449 jovens optam 
em seguir os estudos para o curso de Direito. Ve-
rifique se esse número é um número primo. (Use 
o algoritmo de divisão por números primos.)
Sim, é primo.
31. (Vunesp) Uma pessoa comprou um frasco 
do medicamento A, com 93 comprimidos, e um 
frasco do medicamento B, com 87 comprimidos 
e quer separá-los em pacotinhos, todos com 
o mesmo número de comprimidos e na maior 
quantidade possível, de modo que cada pacoti-
nho tenha comprimidos de um só medicamento 
e que não ocorra nenhuma sobra. O número to-
tal de pacotinhos que devem ser feitos é:
a. 52. b. 55.
c. 58. d. X 60.
e. 63.
23CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
Matematica_Contextualizada_7ºano_01.indd 23 05/04/2018 21:43:20
19. Usando o critério de divisibilidade, assinale 
os números que são divisíveis por 3.
a. 107.
b. X 207.
c. 328.
d. X 1.101.
e. X 1.026.
f. 913.
g. 506.
h. X 4.005.
14. Usando o critério de divisibilidade para fa-
cilitar nossos cálculos e considerando que po-
demos usar o algoritmo da divisão, verifique:
a. 1.809 é divisível por 3. 
Sim, é divisível.
b. 2.024 é divisível por 4. 
Sim, é divisível.
c. 791 é divisível por 7. 
Sim, é divisível.
d. 1.246 é divisível por 5. 
Não, não é divisível.
e. 3.454 é divisível por 11. 
Sim, é divisível.
f. 2.156 é divisível por 17. 
Não, não é divisível.
22. Considere os números a seguir:
5.010 5.016 5.011 5.017 5.012 5.018 
5.013 5.019 5.014 5.020 5.019
Identifique quais deles são divisíveis por:
a. por 5 
5.010, 5.015, 5.020.
b. por 2 
5.010, 5.012, 5.014, 5.016, 5.018, 5.020.15. O número natural 1.071 é divisível por 9? 
Qual o próximo número natural maior que 1.071 
que é divisível por 9?
Sim, 1.080.
16. O maior número possível menor que 100 
que é divisível por 7 pode ser calculado por 100 
– n, em que n representa o resto da divisão de 
100 por 7. Determine, então o maior número 
possível menor que 100, que é divisível por 7.
O número procurado é 98.
17. Para participar de um concurso, se inscreve-
ram 23 mulheres e 49 homens. O representante do 
concurso resolveu dividir em grupos mistos de tal 
forma que todos os grupos tenham a mesma quan-
tidade de pessoas. Nessas condições o coordena-
dor poderá formar quantos grupos de 8 pessoas?
Serão formados 9 grupos.
18. Usando os algarismos 2,3 e 5, você pode es-
crever seis números naturais formados por esses 
três números sem repeti-los?
235, 253, 325, 352, 523, 532.
20. Dentre os números da questão anterior, 
responda se houver:
a. quais são os divisíveis por 2?
352, 532.
b. quais são os divisíveis por 3? 
Nenhum.
c. quais são os divisíveis por 5? 
235, 325.
d. quais são divisíveis por 4? 
352, 532.
21. Um ano é bissexto quando o número que 
representa o ano é divisível por 4 ou, no caso 
dos anos terminados em 00, é divisível por 400. 
Sabendo dessa informação quais as primeiras 
décadas do século XXI que (começa no ano 
2001 e termina em 2010) é ano bissexto?
2004 e 2008.
22 CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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24
42. Determine o valor de 2n, sabendo que n é o 
número de divisores naturais de 3.000.
a. 3. b. 4.
c. X 8. d. 32.
e. 64.
43. Qual é o número de elementos que formam 
o conjunto dos múltiplos estritamente positivos 
do número 3, menores que 31?
a. 9. b. X 10.
c. 11. d. 12.
e. 13.
47. Três torneiras  estão com vazamento. Da 
primeira cai uma gota de 4 em 4 minutos; da 
segunda, uma de 6 em 6 minutos; e da tercei-
ra, uma de 10 em 10 minutos. Exatamente às 2 
horas cai uma gota de cada torneira. A próxima 
vez que pingarão juntas novamente será às:
a. X 3 horas.
b. 4 horas.
c. 2 horas e 30 minutos.
d. 3 horas e 30 minutos.
45. (Cesgranrio) Os números naturais m, n e p 
são pares e consecutivos. Seja S = m + n + p. 
Conclui-se que S será sempre divisível por:
a. X 6.
b. 8.
c. 9.
d. 10.
e. 12.
46. (Vunesp) Para a realização de uma atividade 
cívica, 180 alunos de um colégio foram levados 
ao pátio e colocados em fileiras. Sabendo-se que 
o número de alunos de uma fileira corresponde 
ao número de fileiras mais 3, pode-se concluir 
que o número de alunos de uma fileira é:
a. X 15.
b. 13.
c. 11.
d. 9.
44. Aluízio comprou dois pacotes de balas: um 
contendo 84 balas e outro contendo 74 balas 
e as distribuiu em quantidades iguais para 12 
pessoas. Nessas condições, o total de balas que 
restou a Aluízio foi:
a. 0.
b. 1.
c. X 2.
d. 3.
dade e que todos os grupos tivessem o mesmo 
número de pessoas. O total de grupos assim 
formados é igual a:
a. 5. b. 7.
c. X 35. d. 70.
e. 105.
25CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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32. (FCC) Em uma urna, existem 80 bolas. Em 
cada bola, está marcado um número inteiro di-
ferente. Desses números, 55 são pares e, dentre 
os ímpares, todos são múltiplos de 3. Se em me-
tade das bolas está marcado um número múlti-
plo de 3, a quantidade de bolas que estão mar-
cadas com um número múltiplo de 6 é igual a:
a. X 15.
b. 20.
c. 25.
d. 30.
e. 35.
33. A quantidade de divisores primos que pos-
sui o número 60 é:
a. X 3.
b. 5.
c. 12.
d. 11.
34. (IMA) Qual é o menor número que se deve 
somar a 683.251 para que resulte um número di-
visível por 3?
a. 1.
b. 3.
c. X 2.
d. 4.
35. (EsPCEx) No número 34n27, qual é o alga-
rismo que substitui n para que ele seja divisível 
por 9?
2.
36. Se M.M.C. (360, 300) = a e M.D.C. (360, 300) 
= b, então a · b é igual a:
a. 1.080.000.
b. X 108.000.
c. 10.080.
d. 1.080.
e. 108.
38. (FCC) A soma dos três menores divisores 
positivos de cada um dos números 14, 32 e 45 é 
um divisor do número:
a. 44.
b. 30.
c. 60.
d. X 52.
e. 80.
39. Sabendo-se que o número A = ⋅ ⋅2 3 53 1x 
possui 24 divisores positivos, podemos afirmar 
que o valor de x é:
a. 0.
b. 1.
c. X 2.
d. 3.
e. 4.
40. Duas composições de metro partem simul-
taneamente de um mesmo terminal, fazendo, 
itinerários diferentes. Uma delas torna a partir a 
cada hora e meia. Qual o tempo decorrido já que 
as duas partem simultaneamente nesse terminal?
a. X 12 horas.
b. 11 horas.
c. 10 horas.
d. 9 horas.
37. (Cespe) Uma empresa confeccionou catálo-
gos dos tipos A e B para presentear seus clientes. 
Um catálogo do tipo A pesa 240 g e um do tipo 
B, 350 g. Os catálogos foram organizados em 
41. (Vunesp) Um acampamento de escoteiros 
reuniu 72 representantes de uma cidade, 54 de 
outra e 84 de uma terceira cidade. Para uma 
das atividades, os escoteiros foram divididos no 
maior número de grupos possível, garantindo 
que em cada grupo todos fossem da mesma ci-
pacotes, contendo cada um deles apenas catálo-
gos de um mesmo tipo. Com base nas informa-
ções do texto, é correto afirmar que, se todos os 
pacotes tiverem o mesmo peso e se esse peso 
for inferior a 10 kg, então cada pacote pesará:
a. 8,3 kg.
b. X 8,4 kg.
c. 8,0 kg.
d. 8,1 kg.
e. 8,2 kg.
24 CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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25
•	Identificar	se	o	número	é	ou	não	múl-
tiplo	e	divisor	de	outro	número	em	N.
•	Identificar	o	conjunto	dos	múltiplos	
de	um	número	em	N	e	aplicar	os	crité-
rios	de	divisibilidade.
•	Identificar	quando	um	número	é	primo.
•	Usar	o	Crivo	de	Erátostenes	para	iden-
tificar	se	os	números	são	primos	ou	com-
postos.
•	Analisar	um	número	fatorado.
•	Encontrar	 os	divisores	pela	decom-
posição	em	fatores	primos.
•	Interpretar	 e	 calcular	 o	 M.D.C.	 de	
dois	 ou	 mais	 números	 naturais	 pela	
decomposição	em	fatores	primos	e	de	
forma	simultânea.
•	Interpretar	 e	 calcular	 o	 M.M.C.	 de	
dois	 ou	 mais	 números	 naturais	 pela	
decomposição	em	fatores	primos	e	de	
forma	simultânea.
Objetivos alcançados
Anotações
42. Determine o valor de 2n, sabendo que n é o 
número de divisores naturais de 3.000.
a. 3. b. 4.
c. X 8. d. 32.
e. 64.
43. Qual é o número de elementos que formam 
o conjunto dos múltiplos estritamente positivos 
do número 3, menores que 31?
a. 9. b. X 10.
c. 11. d. 12.
e. 13.
47. Três torneiras  estão com vazamento. Da 
primeira cai uma gota de 4 em 4 minutos; da 
segunda, uma de 6 em 6 minutos; e da tercei-
ra, uma de 10 em 10 minutos. Exatamente às 2 
horas cai uma gota de cada torneira. A próxima 
vez que pingarão juntas novamente será às:
a. X 3 horas.
b. 4 horas.
c. 2 horas e 30 minutos.
d. 3 horas e 30 minutos.
45. (Cesgranrio) Os números naturais m, n e p 
são pares e consecutivos. Seja S = m + n + p. 
Conclui-se que S será sempre divisível por:
a. X 6.
b. 8.
c. 9.
d. 10.
e. 12.
46. (Vunesp) Para a realização de uma atividade 
cívica, 180 alunos de um colégio foram levados 
ao pátio e colocados em fileiras. Sabendo-se que 
o número de alunos de uma fileira corresponde 
ao número de fileiras mais 3, pode-se concluir 
que o número de alunos de uma fileira é:
a. X 15.
b. 13.
c. 11.
d. 9.
44. Aluízio comprou dois pacotes de balas: um 
contendo 84 balas e outro contendo 74 balas 
e as distribuiu em quantidades iguais para 12 
pessoas. Nessas condições, o total de balas que 
restou a Aluízio foi:
a. 0.
b. 1.
c. X 2.
d. 3.
dade e que todos os grupos tivessem o mesmo 
número de pessoas. O total de grupos assim 
formados é igual a:
a. 5. b. 7.
c. X 35. d. 70.
e. 105.25CAPÍTULO 1 I Múltiplos e divisores de um número natural
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32. (FCC) Em uma urna, existem 80 bolas. Em 
cada bola, está marcado um número inteiro di-
ferente. Desses números, 55 são pares e, dentre 
os ímpares, todos são múltiplos de 3. Se em me-
tade das bolas está marcado um número múlti-
plo de 3, a quantidade de bolas que estão mar-
cadas com um número múltiplo de 6 é igual a:
a. X 15.
b. 20.
c. 25.
d. 30.
e. 35.
33. A quantidade de divisores primos que pos-
sui o número 60 é:
a. X 3.
b. 5.
c. 12.
d. 11.
34. (IMA) Qual é o menor número que se deve 
somar a 683.251 para que resulte um número di-
visível por 3?
a. 1.
b. 3.
c. X 2.
d. 4.
35. (EsPCEx) No número 34n27, qual é o alga-
rismo que substitui n para que ele seja divisível 
por 9?
2.
36. Se M.M.C. (360, 300) = a e M.D.C. (360, 300) 
= b, então a · b é igual a:
a. 1.080.000.
b. X 108.000.
c. 10.080.
d. 1.080.
e. 108.
38. (FCC) A soma dos três menores divisores 
positivos de cada um dos números 14, 32 e 45 é 
um divisor do número:
a. 44.
b. 30.
c. 60.
d. X 52.
e. 80.
39. Sabendo-se que o número A = ⋅ ⋅2 3 53 1x 
possui 24 divisores positivos, podemos afirmar 
que o valor de x é:
a. 0.
b. 1.
c. X 2.
d. 3.
e. 4.
40. Duas composições de metro partem simul-
taneamente de um mesmo terminal, fazendo, 
itinerários diferentes. Uma delas torna a partir a 
cada hora e meia. Qual o tempo decorrido já que 
as duas partem simultaneamente nesse terminal?
a. X 12 horas.
b. 11 horas.
c. 10 horas.
d. 9 horas.
37. (Cespe) Uma empresa confeccionou catálo-
gos dos tipos A e B para presentear seus clientes. 
Um catálogo do tipo A pesa 240 g e um do tipo 
B, 350 g. Os catálogos foram organizados em 
41. (Vunesp) Um acampamento de escoteiros 
reuniu 72 representantes de uma cidade, 54 de 
outra e 84 de uma terceira cidade. Para uma 
das atividades, os escoteiros foram divididos no 
maior número de grupos possível, garantindo 
que em cada grupo todos fossem da mesma ci-
pacotes, contendo cada um deles apenas catálo-
gos de um mesmo tipo. Com base nas informa-
ções do texto, é correto afirmar que, se todos os 
pacotes tiverem o mesmo peso e se esse peso 
for inferior a 10 kg, então cada pacote pesará:
a. 8,3 kg.
b. X 8,4 kg.
c. 8,0 kg.
d. 8,1 kg.
e. 8,2 kg.
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Os números negativos eram usados na 
China antiga na forma de contadores: 
eles eram separados em vermelhos, que 
representavam números positivos, e pre-
tos, para números negativos. Esse dado 
foi descoberto em um livro, que datava 
da época da Dinastia Han (202 a.C – 220).
•	 No capítulo que segue, introduziremos o 
conceito de números negativos;
•	 Verificaremos situações-problema que 
envolvam números negativos, utilizando 
diferentes estratégias para resolução;
•	 Identificaremos e compreenderemos a 
utilização dos números negativos em 
situações do nosso dia a dia.
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Números negativos
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Os números negativos eram usados na 
China antiga na forma de contadores: 
eles eram separados em vermelhos, que 
representavam números positivos, e pre-
tos, para números negativos. Esse dado 
foi descoberto em um livro, que datava 
da época da Dinastia Han (202 a.C – 220).
•	 No capítulo que segue, introduziremos o 
conceito de números negativos;
•	 Verificaremos situações-problema que 
envolvam números negativos, utilizando 
diferentes estratégias para resolução;
•	 Identificaremos e compreenderemos a 
utilização dos números negativos em 
situações do nosso dia a dia.
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Números negativos
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28
Conteúdos 
conceituais
•		Números	inteiros	Z
•		Representando	Z	na	reta	real
•		Inteiros	opostos	ou	simétricos
•		Módulo	de	um	inteiro
•		Os	inteiros	no	cotidiano
•		Comparando	inteiros
•		Operações	com	inteiros
Objetos de conhecimento
•	Números	 inteiros:	 usos,	 história,	 or-
denação,	 associação	 com	 pontos	 da	
reta	numérica	e	operações.
BNCC
Habilidades trabalhadas no 
capítulo
(EF07MA03)	Comparar	e	ordenar	núme-
ros	 inteiros	em	diferentes	contextos,	 in-
cluindo	o	histórico,	associá-los	a	pontos	
da	 reta	 numérica	 e	 utilizá-los	 em	 situa-
ções	que	envolvam	adição	e	subtração.
(EF07MA04)	Resolver	e	elaborar	pro-
blemas	que	envolvam	operações	com	
números	inteiros.
Dicas para o professor
Professor,	procure	sondar	se	os	alu-
nos	já	conheciam	os	números	inteiros.	
Comente	sobre	a	importância	e	a	uti-
lidade	desses	números	e	dê	exemplos	
de	sua	aplicação	no	cotidiano.
Anotações
Você sabia?
A temperatura mais fria registrada 
até hoje foi na estação científica de 
Vostok, Antártida, onde, no dia 10 de 
agosto de 2010, a temperatura che-
gou a -89,2 °C, conforme informa-
ções colhidas pelo satélite Landast 8 
da Nasa.
Essa estação foi criada pela então 
União Soviética no ano de 1957 e, 
hoje em dia, é a residência de diver-
sos pesquisadores russos, franceses e 
americanos.
Outras situações em que utilizamos números negativos
 Lucro x prejuízo
Os resultados financeiros de uma empresa, nos dois semestres de determinado ano, foram:
1º semestre → - R$ 60.000,00
2º semestre → + R$ 120.000,00
Para diferenciar as duas situações, indicamos o lucro com o sinal de + e o prejuízo com o sinal 
de –.
Gastei mais do que tinha, 
agora tenho um débito 
de R$ -2.000,00.
 Crédito x débito
Nas contas bancárias, os créditos são representa-
dos por números positivos, e os débitos, por núme-
ros negativos.
Lembre-se de que crédito é a quantia que se tem 
a receber e débito é a quantia que se deve.
Artur: — Vitor, você pode me ajudar a responder 
uma questão da tarefa de Matemática? Não estou 
conseguindo sozinho.
Vitor: — Claro! O que diz a questão?
Artur: — Se um cliente, depois de jantar, der duas 
notas de R$ 100,00 para pagar sua conta de R$ 126,80, 
quanto deverá receber de troco?
Vitor: — Vamos pensar, maninho. Se ele deu duas 
notas de R$ 100,00, logo ele tem 2 × 100 = R$ 200,00 
de saldo positivo. Porém, há um saldo negativo refe-
rente ao seu jantar, que é de R$ -126,80. Logo, o troco 
será o resultado entre 200 - 126,80. Já sabe a resposta?
Artur: Sim, R$ 73,20. Obrigado!
Leia o diálogo abaixo.
Sa
sa
 P
ru
d
ko
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Sh
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29CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 29 05/04/2018 21:42:48
A partir do momento em que o ser humano 
sentiu a necessidade de contar e de registrar a 
quantidade das coisas que estavam ao seu re-
dor, ele começou a criar símbolos para repre-
sentar quantidades. Com o tempo, o homem 
passou a enfrentar situações diferentes, tendo 
que registrar débitos, dívidas, número de ob-
jetos perdidos, saldo bancário negativo, etc. 
Foi assim que surgiu o sinal negativo, que é 
popularmente chamado de sinal de menos e 
representa números menores que zero.
Provavelmente, tais números se referiam ao que faltava para completar cada barril no comércio 
de mercadorias.
Hoje, com o desenvolvimento das Ciências, utilizamos ainda mais esses números, como na loca-
lização do fuso horário, na balança comercial, no saldo de gols de um campeonato de futebol, na 
bolsa de valores e em quase todos os ramos da ciência. Neste capítulo, vamos aprender a operar 
com os números negativos e conhecê-losmelhor.
Os números negativos indicando temperatura
Uma das situações em que mais aparecem os números menores que zero é na indicação da tem-
peratura. No Brasil, país de clima tropical, as temperaturas médias registradas durante o ano ficam 
em torno de 28 °C. Vejamos algumas temperaturas registradas em algumas cidades brasileiras no 
ano de 2015.
O surgimento do sinal 
negativo
1.000 litros –200 –350
Observe que as tempe-
raturas abaixo de zero 
têm valor negativo.
Rio de Janeiro – RJ
42,8 °C
São Joaquim – SC
– 6,3 °C
Curitiba – PR
– 0,8 °C
Palmas – TO
41,7 °C
A
rt
hu
r 
Pu
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ik
im
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ia
.c
o
m
ju
ni
na
tt
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28 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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29
Dicas para o professor
•	Peça	que	os	alunos	pesquisem	sobre	
o	fuso	horário	de	seu	estado	e	o	com-
pare	com	outros	estados	da	Federação	
e	países,	para	começarem	a	ter	noções	
das	operações	com	números	inteiros.
•		Identificar	os	subconjuntos	dos	intei-
ros,	 esclarecendo	que	o	 conjunto	dos	
números	 naturais	 também	 faz	 parte	
dos	inteiros.
•		Perceber	que	todo	número	natural	é	
inteiro	e	que	nem	todo	inteiro	é	natural.
•		Mostre	aos	alunos	que	o	sinal	positi-
vo	(+)	na	frente	dos	números	positivos	
pode	ser	dispensado,	mas	que	o	sinal	
negativo	(–)	é	obrigatório.
Anotações
Você sabia?
A temperatura mais fria registrada 
até hoje foi na estação científica de 
Vostok, Antártida, onde, no dia 10 de 
agosto de 2010, a temperatura che-
gou a -89,2 °C, conforme informa-
ções colhidas pelo satélite Landast 8 
da Nasa.
Essa estação foi criada pela então 
União Soviética no ano de 1957 e, 
hoje em dia, é a residência de diver-
sos pesquisadores russos, franceses e 
americanos.
Outras situações em que utilizamos números negativos
 Lucro x prejuízo
Os resultados financeiros de uma empresa, nos dois semestres de determinado ano, foram:
1º semestre → - R$ 60.000,00
2º semestre → + R$ 120.000,00
Para diferenciar as duas situações, indicamos o lucro com o sinal de + e o prejuízo com o sinal 
de –.
Gastei mais do que tinha, 
agora tenho um débito 
de R$ -2.000,00.
 Crédito x débito
Nas contas bancárias, os créditos são representa-
dos por números positivos, e os débitos, por núme-
ros negativos.
Lembre-se de que crédito é a quantia que se tem 
a receber e débito é a quantia que se deve.
Artur: — Vitor, você pode me ajudar a responder 
uma questão da tarefa de Matemática? Não estou 
conseguindo sozinho.
Vitor: — Claro! O que diz a questão?
Artur: — Se um cliente, depois de jantar, der duas 
notas de R$ 100,00 para pagar sua conta de R$ 126,80, 
quanto deverá receber de troco?
Vitor: — Vamos pensar, maninho. Se ele deu duas 
notas de R$ 100,00, logo ele tem 2 × 100 = R$ 200,00 
de saldo positivo. Porém, há um saldo negativo refe-
rente ao seu jantar, que é de R$ -126,80. Logo, o troco 
será o resultado entre 200 - 126,80. Já sabe a resposta?
Artur: Sim, R$ 73,20. Obrigado!
Leia o diálogo abaixo.
Sa
sa
 P
ru
d
ko
v/
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no
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29CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 29 05/04/2018 21:42:48
A partir do momento em que o ser humano 
sentiu a necessidade de contar e de registrar a 
quantidade das coisas que estavam ao seu re-
dor, ele começou a criar símbolos para repre-
sentar quantidades. Com o tempo, o homem 
passou a enfrentar situações diferentes, tendo 
que registrar débitos, dívidas, número de ob-
jetos perdidos, saldo bancário negativo, etc. 
Foi assim que surgiu o sinal negativo, que é 
popularmente chamado de sinal de menos e 
representa números menores que zero.
Provavelmente, tais números se referiam ao que faltava para completar cada barril no comércio 
de mercadorias.
Hoje, com o desenvolvimento das Ciências, utilizamos ainda mais esses números, como na loca-
lização do fuso horário, na balança comercial, no saldo de gols de um campeonato de futebol, na 
bolsa de valores e em quase todos os ramos da ciência. Neste capítulo, vamos aprender a operar 
com os números negativos e conhecê-los melhor.
Os números negativos indicando temperatura
Uma das situações em que mais aparecem os números menores que zero é na indicação da tem-
peratura. No Brasil, país de clima tropical, as temperaturas médias registradas durante o ano ficam 
em torno de 28 °C. Vejamos algumas temperaturas registradas em algumas cidades brasileiras no 
ano de 2015.
O surgimento do sinal 
negativo
1.000 litros –200 –350
Observe que as tempe-
raturas abaixo de zero 
têm valor negativo.
Rio de Janeiro – RJ
42,8 °C
São Joaquim – SC
– 6,3 °C
Curitiba – PR
– 0,8 °C
Palmas – TO
41,7 °C
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30
Dicas para o professor
Aproveite	 o	 assunto	 Altitude	 para	
estabelecer	 uma	 interdisciplinarida-
de	 com	 os	 professores	 de	Geografia	
e	Ciências.	Eles	darão	visões	diferen-
tes	do	assunto	e	ainda	deixarão	a	aula	
mais	divertida.
Leitura complementar
Balança Comercial
Balança	 Comercial	 é	 o	 indicador	
econômico	 que	 representa	 a	 relação	
entre	o	total	de	exportações	e	impor-
tações	de	bens	e	serviços	de	um	país	
em	 determinado	 período.	 Pode	 ser	
expressa	pela	fórmula:
Saldo	da	Balança	Comercial	=	
Exportações	–	Importações
 
Superávit da Balança 
Comercial
Quando	o	total	de	exportações	de	
bens	e	serviços	for	superior	ao	total	de	
importações,	 registra-se	um	superávit	
no	saldo	da	Balança	Comercial.	O	su-
perávit	da	Balança	Comercial	é	um	fa-
tor	positivo	na	economia	de	um	país,	
já	que	mostra	que	o	mesmo	está	ex-
portando	(vendendo)	mais	bens	e	ser-
viços	 do	 que	 está	 importando	 (com-
prando).  O	 resultado	 positivo	 da	
Balança	Comercial	gera	um	lucro	que	
pode	ser	utilizado	para	investir	no	pró-
prio	sistema	econômico	do	país.
Superávit	da	Balança	Comercial	=	
Exportações	>	Importações
 
Déficit da Balança Comercial
Quando	o	total	de	exportações	de	
bens	e	serviços	for	 inferior	ao	total	de	
importações,	 registra-se	um	déficit	 no	
saldo	da	Balança	Comercial.	O	déficit	
da	Balança	Comercial	é	um	fator	nega-
tivo	para	a	economia	de	um	país,	já	que	
mostra	que	o	mesmo	está	exportando	
(vendendo)	menos	bens	e	serviços	do	
que	 está	 importando	 (comprando).  O	
resultado	negativo	da	Balança	Comer-
cial	gera	um	prejuízo	que	deve	ser	co-
berto	pelas	reservas	financeiras	do	país.
Déficit	da	Balança	Comercial	=	
Importações	>	Exportações
 
Taxa de Cobertura
A	 razão	 entre	 o	 total	 de	 exporta-
ções e	importações	de	um	país	indicam	
a  taxa	 de	 cobertura	 das	 importações	
pelas	exportações,	ou,	simplesmente,	
a	taxa	de	cobertura.	Essa	taxa	nos	in-
dica	em	que	percentagem	as	exporta-
ções	pagam	as	importações.
A	 taxa	 de	 cobertura	 é	 importante,	
pois	proporciona	a	noção	exata	do	grau	
de	(in)dependência	comercial	de	um	país	
em	 relação	 ao	mercado	 externo,	 a	 um	
grupo	de	países	ou	a	um	único	país.
Taxa	de	Cobertura	=	
Exportações	/	Importações
4. Em campeonatos de futebol, o saldo de gols 
de uma equipe é a diferença entre o número de 
gols marcados (gols pro) e o de gols sofridos 
(gols contra).
Os números negativos foram criados para que 
sempre pudéssemos calcular a diferença entre 
dois números, mesmo quando precisássemos 
subtrair o maior do menor. No caso de empate 
na classificação, o saldo é usado para desempa-
te: ganha quem tem saldo maior.
Veja o saldo de gols de três equipes que termi-
naram o campeonato empatadas e determine 
qual equipe ganhou e justifiquesua resposta.
Equipe Saldo de gols
Equipe A -2
Equipe B -5
Equipe C -3
3. Encontre, em matérias de revistas e jornais 
ou na Internet, um artigo que envolva números 
negativos. Resposta pessoal
No entanto, a notícia não é necessariamen-
te ruim. O fato é que 82,58% das importações 
do estado são com combustíveis, como diesel 
e querosene. Assim, o volume de importação 
acaba sendo um bom indicador do aquecimen-
to da atividade econômica nas regiões Norte e 
Nordeste do país, que têm passado por grandes 
transformações econômicas nos últimos anos.
Fonte: http://clippingma.webnode.com.br/.
A Equipe A é a vencedora, pois seu saldo de 
gols é de –2, o menor saldo negativo entre as 
três equipes.
a. Determine um número do texto que repre-
senta uma fração de denominador 100.
39
100
82 58
100
ou
,
b. Determine um número do texto que pode ser 
escrito utilizando o sinal de menos para repre-
sentá-lo e justifique.
-1,9 bilhão, pois representa um déficit.
5. Observe a seguinte reta que representa fatos importantes que aconteceram antes e depois de 
Cristo. 
– 250 a.C.
– 600 a.C. – 287 a.C. – 63 a.C. +1500 d.C.
+10 d.C.
Tales de Mileto, início da 
Matemática Dedutiva.
Primeiras referências do 
relógio de areia.
Nascimento de Heron 
de Alexandria.
Invenção das rodas 
dentadas.
Nascimento do 1º 
imperador romano 
Otávio Augustus.
Descobrimento do 
Brasil.
M
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ão
31CAPÍTULO 2 I Números negativos
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Amplie o conhecimento
Altitude 
Vejamos um pouco sobre um famoso e 
curioso país da Europa, a Holanda. Porém, 
antes de citarmos algumas características 
físicas desse país densamente povoado, 
precisamos falar sobre os Países Baixos. 
Entenda por quê. 
Os Países Baixos tratam-se de 12 pro-
víncias, que são a parte europeia do Rei-
no Unido dos Países Baixos. Dentre essas 
províncias, duas possuem maior destaque: 
a Holanda do Norte e a Holanda do Sul. Isso fez com que os Países Baixos ficassem popularmente 
conhecidos como Holanda, mesmo a Holanda (do Norte e do Sul) sendo apenas uma parte desse 
conjunto de províncias.
Agora que você já sabe por que Holanda designa o conjunto dos Países Baixos, deve estar se 
perguntando: mas por que esse nome? Nessa região, localizada no noroeste da Europa, encontra-
-se a altitude média mais baixa, uma vez que um quarto do território fica abaixo do nível do mar. Por 
isso é que são chamados de Países Baixos.
Lembre-se de que se considera altitude zero a altitude do nível do mar. Altitudes inferiores ao 
nível do mar (nível zero), representamos com números negativos. Por exemplo: -20 m, que indica 20 
metros abaixo do nível do mar.
2.000
1.500
1.000
500
0
�500
�1.000
�1.500
Atividades
1. Nas agências bancárias, os créditos são re-
presentados por números positivos e os débitos 
por números negativos. Represente as seguin-
tes situações com números inteiros: 
a. Crédito de R$ 95,00 – 
b. Débito de R$ 200,00 – 
c. Débito de R$ 198,00 – 
d. Débito de R$ 1.000,00 – 
e. Crédito de R$ 120,00 – 
+ 95,00
-200,00
-198,00
-1.000,00
+120,00
2. Leia o texto a seguir e responda as perguntas 
que se seguem.
Balança comercial negativa
O Maranhão nunca importou tantos produ-
tos como fez este ano. Os 101 produtos fabrica-
dos em outros países que entraram no estado 
até setembro pelo Complexo Portuário de São 
Luís representam um desembolso de US$ 4,2 bi-
lhões, o que foi suficiente para deixar a balança 
comercial negativa.
O déficit é de US$ 1,9 bilhão, resultado que é 
39% maior do que o anotado em 2008, ano em que 
foi registrado o maior déficit da balança comercial 
da história. O Ministério do Desenvolvimento e 
Comércio Exterior (Mdic) passou a acompanhar a 
flutuação do fluxo de mercadorias importadas e 
exportadas no Brasil a partir de 1999.
30 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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31
4. Em campeonatos de futebol, o saldo de gols 
de uma equipe é a diferença entre o número de 
gols marcados (gols pro) e o de gols sofridos 
(gols contra).
Os números negativos foram criados para que 
sempre pudéssemos calcular a diferença entre 
dois números, mesmo quando precisássemos 
subtrair o maior do menor. No caso de empate 
na classificação, o saldo é usado para desempa-
te: ganha quem tem saldo maior.
Veja o saldo de gols de três equipes que termi-
naram o campeonato empatadas e determine 
qual equipe ganhou e justifique sua resposta.
Equipe Saldo de gols
Equipe A -2
Equipe B -5
Equipe C -3
3. Encontre, em matérias de revistas e jornais 
ou na Internet, um artigo que envolva números 
negativos. Resposta pessoal
No entanto, a notícia não é necessariamen-
te ruim. O fato é que 82,58% das importações 
do estado são com combustíveis, como diesel 
e querosene. Assim, o volume de importação 
acaba sendo um bom indicador do aquecimen-
to da atividade econômica nas regiões Norte e 
Nordeste do país, que têm passado por grandes 
transformações econômicas nos últimos anos.
Fonte: http://clippingma.webnode.com.br/.
A Equipe A é a vencedora, pois seu saldo de 
gols é de –2, o menor saldo negativo entre as 
três equipes.
a. Determine um número do texto que repre-
senta uma fração de denominador 100.
39
100
82 58
100
ou
,
b. Determine um número do texto que pode ser 
escrito utilizando o sinal de menos para repre-
sentá-lo e justifique.
-1,9 bilhão, pois representa um déficit.
5. Observe a seguinte reta que representa fatos importantes que aconteceram antes e depois de 
Cristo. 
– 250 a.C.
– 600 a.C. – 287 a.C. – 63 a.C. +1500 d.C.
+10 d.C.
Tales de Mileto, início da 
Matemática Dedutiva.
Primeiras referências do 
relógio de areia.
Nascimento de Heron 
de Alexandria.
Invenção das rodas 
dentadas.
Nascimento do 1º 
imperador romano 
Otávio Augustus.
Descobrimento do 
Brasil.
M
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 C
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31CAPÍTULO 2 I Números negativos
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Amplie o conhecimento
Altitude 
Vejamos um pouco sobre um famoso e 
curioso país da Europa, a Holanda. Porém, 
antes de citarmos algumas características 
físicas desse país densamente povoado, 
precisamos falar sobre os Países Baixos. 
Entenda por quê. 
Os Países Baixos tratam-se de 12 pro-
víncias, que são a parte europeia do Rei-
no Unido dos Países Baixos. Dentre essas 
províncias, duas possuem maior destaque: 
a Holanda do Norte e a Holanda do Sul. Isso fez com que os Países Baixos ficassem popularmente 
conhecidos como Holanda, mesmo a Holanda (do Norte e do Sul) sendo apenas uma parte desse 
conjunto de províncias.
Agora que você já sabe por que Holanda designa o conjunto dos Países Baixos, deve estar se 
perguntando: mas por que esse nome? Nessa região, localizada no noroeste da Europa, encontra-
-se a altitude média mais baixa, uma vez que um quarto do território fica abaixo do nível do mar. Por 
isso é que são chamados de Países Baixos.
Lembre-se de que se considera altitude zero a altitude do nível do mar. Altitudes inferiores ao 
nível do mar (nível zero), representamos com números negativos. Por exemplo: -20 m, que indica 20 
metros abaixo do nível do mar.
2.000
1.500
1.000
500
0
�500
�1.000
�1.500
Atividades
1. Nas agências bancárias, os créditos são re-
presentados por números positivos e os débitos 
por números negativos. Represente as seguin-
tes situações com números inteiros: 
a. Crédito de R$ 95,00 – 
b. Débito de R$ 200,00 – 
c. Débito de R$ 198,00 –d. Débito de R$ 1.000,00 – 
e. Crédito de R$ 120,00 – 
+ 95,00
-200,00
-198,00
-1.000,00
+120,00
2. Leia o texto a seguir e responda as perguntas 
que se seguem.
Balança comercial negativa
O Maranhão nunca importou tantos produ-
tos como fez este ano. Os 101 produtos fabrica-
dos em outros países que entraram no estado 
até setembro pelo Complexo Portuário de São 
Luís representam um desembolso de US$ 4,2 bi-
lhões, o que foi suficiente para deixar a balança 
comercial negativa.
O déficit é de US$ 1,9 bilhão, resultado que é 
39% maior do que o anotado em 2008, ano em que 
foi registrado o maior déficit da balança comercial 
da história. O Ministério do Desenvolvimento e 
Comércio Exterior (Mdic) passou a acompanhar a 
flutuação do fluxo de mercadorias importadas e 
exportadas no Brasil a partir de 1999.
30 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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32
Dicas para o professor
O	 assunto	 Fusos	 horários	 também	
pode	ser	trabalhado	de	forma	interdis-
ciplinar	com	Geografia.	Aproveite	para	
ressaltar	a	divisão	da	Terra	em	meridia-
nos	e	paralelos,	os	fusos	horários	brasi-
leiros	e	a	importância	da	Linha	Interna-
cional	de	Mudança	de	Data.
Atividades
complementares
1.	Num	certo	dia	do	mês	de	agosto,	os	
termômetros	registraram	as	seguintes	
temperaturas	em	algumas	cidades	do	
mundo:
Cidade Temperatura 
Buenos	Aires –10	°C
Porto	Alegre –1	°C
Moscou +18	°C
Barcelona	 +26	°C
Orlando	 +22	°C
Peça	que	os	alunos	 resolvam	as	ativi-
dades	em	dupla,	isso	dará	mais	segu-
rança	 a	 eles	 e	 promoverá	 uma	maior	
interação	entre	os	colegas.
a)	 Como	 você	 interpreta	 os	 dados	
apresentados	nessa	tabela?
Resposta:	Em	duas	cidades,	as	tempe-
raturas	estão	abaixo	de	0	grau.
b)	 O	 que	 estão	 representando	 os	 si-
nais	+	e	–?
Resposta:	Temperaturas	acima	de	zero	
(+)	e	abaixo	de	zero	(–).
Anotações
Os negativos na reta numérica
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, 
dos opostos dos números naturais (negativos) e do zero. Esse conjunto é denotado pela letra Z 
(Zahlen = número, em alemão) e pode ser escrito por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Atenção
O número zero não é positivo nem negativo. 
Os números indicados para representar quantidades negativas, tais como -1, -2, -3, -4, -5..., são 
chamados de números inteiros negativos.
Cada número inteiro é a coordenada de um ponto sobre a reta, chamado de abscissa.
Exemplos:
A abscissa do ponto A é -5.
A abscissa do ponto H é +3.
A abscissa do ponto O é 0.
Na reta acima, temos: 
 O ponto O é chamado de origem. Esse ponto representa o número zero.
 Os números situados à direita do zero são chamados de números inteiros positivos.
 Os números situados à esquerda do zero são chamados de números inteiros negativos.
0
0
–2
D
+4
I
–5
A
+1
F
–1
E
+5
J
–4
B
+2
G
–3
C
+3
H
Atividades
1. Com relação aos números inteiros, qual das 
seguintes afirmações não pode ser verdadeira?
a. A altura de um cachorro pode ser repre-
sentada por um número decimal. 
b X A idade de uma tartaruga pode ser dada 
por um número inteiro negativo. 
c. O peso de uma fruta-pão pode ser repre-
sentado por um número inteiro. 
d. O saldo de uma conta bancária pode 
ser representado por um número inteiro ou 
decimal. 
2. Determine a variação de unidades quando na 
reta numérica saímos de:
a. 17 e chegamos a 2.
b. -2 e chegamos a 8. 
c. -10 e chegamos a -1. 
15 unidades.
10 unidades.
9 unidades.
33CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 33 05/04/2018 21:42:49
b. Quem é maior: -250 ou -287?
-250.
a. O que acontece com os números dessa reta que estão localizados mais para esquerda?
São listados como negativos.
Para analisar:
Fuso horário
As zonas horárias, ou fusos horários, são cada uma das vinte e quatro áreas em que se 
divide a Terra e que seguem a mesma definição de tempo. Anteriormente, usava-se o tem-
po solar aparente, de forma que a hora do dia se diferenciava ligeiramente de uma cidade 
para outra. Os fusos horários corrigiram em parte o problema ao colocar os relógios de cada 
região no mesmo tempo solar médio. O meridiano zero é conhecido como meridiano de 
Greenwich, onde se situa a capital da Inglaterra, Londres.
O cálculo do fuso horário é muito simples: utiliza-se matemática básica. O único item 
necessário para o cálculo dos fusos é um mapa com os eixos do mundo, como evidenciado 
na imagem acima.
Agora, vamos entender os fusos matematicamente, pois aí está o segredo para fazer 
o cálculo: o mundo contêm 24 eixos, cada eixo é representado por 15 graus, e cada grau 
possui 4 minutos, ou seja, a cada 15 graus é passada 1 hora, para mais ou para menos. A 
cada eixo de 15 graus a leste, é adicionada 1 hora (+1); e a cada 15 graus a oeste, subtrai-se 
1 hora (-1). 
O eixo zero é o de Londres (meridiano de Greenwich), o eixo do Brasil é o -3, e os eixos 
da Ásia (e um pouco da Eurásia) são os eixos 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12. 
Pesquise e mostre exemplos de mudança de fusos entre países.
60º
30º
0º
30º
60°
180º 165º 150º 135º 120º 105º 90º 75º 60º 45º 30º 15º 0º 15º 30º 45º 60º 75º 90º 105º 120º 135º 150º 165º 180º
Movimento aparente do Sol
Sentido da rotação da Terra
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +9 +10 +11+12+2 +3 +4 +5 +6 +7 +8
Hora do Fuso
São Petersburgo
Moscou
Teerã
Délhi
Calcutá
Londres
Paris
Roma
Cairo
Lagos
Nairóbi
Cidade
do Cabo
Pequim
Xangai
Seul
Tóquio
Manila
Jacarta
Sydney
Adelaide
Miami
Nova York
Toronto
Chicago
Anchorage
Los Angeles
Cidade do
México
Manaus
Brasília
Rio de Janeiro
São Paulo
Buenos Aires
Santiago
Lima
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de
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d
e
D
a
ta
Oceano
Pacífico
Oceano
Pacífico
Oceano
Atlântico
Oceano
Índico
32 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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33
Dicas para o professor
•		É	 importante	que	os	alunos	perce-
bam	a	utilização	dos	 inteiros	no	coti-
diano	e	enumerem	situações	em	que	
eles	sejam	utilizados.
•		Construa	uma	 reta	 real	 e	enumere	
os	elementos	do	conjunto	dos	núme-
ros	 inteiros,	 facilitando,	assim,	a	com-
preensão	do	assunto.
•		Ressalte	que	o	número	zero	não	é	
positivo	nem	negativo.
•		Comente	com	os	alunos	que,	assim	
como	os	números	naturais,	o	conjunto	
dos	inteiros	também	é	infinito.
•		Mostre	aos	alunos	que	cada	número	
representa	um	ponto	da	reta	e	que	ca-
da	ponto	pode	ser	nomeado	por	sua	
letra	(imagem	geométrica).
•		 Construa	 a	 reta	 na	 lousa	 sem	 co-
locar	todos	os	números	e	coloque	al-
gumas	letras,	depois	peça	aos	alunos	
que	completem	ou	digam	a	abscissa	
de	 cada	 letra	 ou	 a	 imagem	de	 cada	
número.
•	Depois,	pergunte	aos	alunos	o	por-
quê	 de	 representarmos	 os	 simétricos	
dos	 inteiros	 negativos.	 Aproveite	 as	
respostas	para	explicar	que	o	número	
zero	é	maior	que	qualquer	negativo	e	
menor	que	qualquer	positivo.
Anotações
Os negativos na reta numérica
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, 
dos opostos dos números naturais (negativos) e do zero. Esse conjunto é denotado pela letra Z 
(Zahlen = número, em alemão) e pode ser escrito por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Atenção
O número zero não é positivo nem negativo. 
Os números indicados para representar quantidades negativas, tais como -1, -2, -3, -4, -5..., são 
chamados de números inteiros negativos.
Cada número inteiro é a coordenada de um ponto sobre a reta, chamado de abscissa.
Exemplos:
A abscissa do ponto A é -5.
A abscissa do ponto H é +3.
A abscissa do ponto O é 0.
Na reta acima, temos: 
 O ponto O é chamado de origem. Esse ponto representa o número zero.
 Os números situados à direita do zero são chamados de números inteiros positivos.Os números situados à esquerda do zero são chamados de números inteiros negativos.
0
0
–2
D
+4
I
–5
A
+1
F
–1
E
+5
J
–4
B
+2
G
–3
C
+3
H
Atividades
1. Com relação aos números inteiros, qual das 
seguintes afirmações não pode ser verdadeira?
a. A altura de um cachorro pode ser repre-
sentada por um número decimal. 
b X A idade de uma tartaruga pode ser dada 
por um número inteiro negativo. 
c. O peso de uma fruta-pão pode ser repre-
sentado por um número inteiro. 
d. O saldo de uma conta bancária pode 
ser representado por um número inteiro ou 
decimal. 
2. Determine a variação de unidades quando na 
reta numérica saímos de:
a. 17 e chegamos a 2.
b. -2 e chegamos a 8. 
c. -10 e chegamos a -1. 
15 unidades.
10 unidades.
9 unidades.
33CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 33 05/04/2018 21:42:49
b. Quem é maior: -250 ou -287?
-250.
a. O que acontece com os números dessa reta que estão localizados mais para esquerda?
São listados como negativos.
Para analisar:
Fuso horário
As zonas horárias, ou fusos horários, são cada uma das vinte e quatro áreas em que se 
divide a Terra e que seguem a mesma definição de tempo. Anteriormente, usava-se o tem-
po solar aparente, de forma que a hora do dia se diferenciava ligeiramente de uma cidade 
para outra. Os fusos horários corrigiram em parte o problema ao colocar os relógios de cada 
região no mesmo tempo solar médio. O meridiano zero é conhecido como meridiano de 
Greenwich, onde se situa a capital da Inglaterra, Londres.
O cálculo do fuso horário é muito simples: utiliza-se matemática básica. O único item 
necessário para o cálculo dos fusos é um mapa com os eixos do mundo, como evidenciado 
na imagem acima.
Agora, vamos entender os fusos matematicamente, pois aí está o segredo para fazer 
o cálculo: o mundo contêm 24 eixos, cada eixo é representado por 15 graus, e cada grau 
possui 4 minutos, ou seja, a cada 15 graus é passada 1 hora, para mais ou para menos. A 
cada eixo de 15 graus a leste, é adicionada 1 hora (+1); e a cada 15 graus a oeste, subtrai-se 
1 hora (-1). 
O eixo zero é o de Londres (meridiano de Greenwich), o eixo do Brasil é o -3, e os eixos 
da Ásia (e um pouco da Eurásia) são os eixos 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12. 
Pesquise e mostre exemplos de mudança de fusos entre países.
60º
30º
0º
30º
60°
180º 165º 150º 135º 120º 105º 90º 75º 60º 45º 30º 15º 0º 15º 30º 45º 60º 75º 90º 105º 120º 135º 150º 165º 180º
Movimento aparente do Sol
Sentido da rotação da Terra
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +9 +10 +11+12+2 +3 +4 +5 +6 +7 +8
Hora do Fuso
São Petersburgo
Moscou
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Délhi
Calcutá
Londres
Paris
Roma
Cairo
Lagos
Nairóbi
Cidade
do Cabo
Pequim
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Tóquio
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México
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Pacífico
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32 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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34
Dicas para o professor
•		Alguns	autores	afirmam	que	o	mó-
dulo	 é	 a	 distância	 do	 número	 à	 ori-
gem.	Para	fins	de	entendimento,	pre-
ferimos	 oferecer	 uma	 definição	 mais	
simples.	Sugerimos	que	o	professor	fa-
ça	esse	esclarecimento	ao	educando.
•		Compreender	a	 ideia	de	oposto	e	
simétrico.
•		Entender	o	conceito	de	módulo,	ou	
valor	absoluto	de	um	número	inteiro.
•		Identificar	o	sinal	de	módulo	e	apli-
cá-lo	corretamente.
•		Mostre	aos	alunos	que	dois	núme-
ros	 inteiros	 são	 simétricos	quando	 se	
distam	igualmente	da	origem.
•		Apresente	o	módulo	de	um	número	
como	sendo	a	distância	desse	número	
até	a	origem.
Leitura complementar
Numeri Absurdi
Os	números	inteiros	negativos	são	
utilizados	para	representar	a	diferen-
ça,	falta,	mudança	de	orientação,	em	
situações	 de	 perdas	 e	 ganhos	 num	
jogo,	 débitos	 e	 créditos	 bancários,	
temperaturas	acima	e	abaixo	de	zero.
A	análise	da	evolução	histórica	dos	
números	mostra	que	pensar	em	núme-
ros	negativos	representou	um	grande	
desafio	para	a	humanidade.	Conta-se	
que	o	matemático	grego	Diofanto	(sé-
culo	 III)	 limitava-se	a	classificar	o	pro-
blema	 dos	 números	 negativos	 como	
“absurdo”.	O	uso	pioneiro	dos	núme-
ros	negativos	é	atribuído	aos	chineses	
e	aos	hindus,	que	conceberam	símbo-
los	para	as	faltas	e	diferenças	“impos-
síveis”,	as	dívidas.
O	primeiro	 texto	 em	que	 apare-
ceram	 explicitamente	 as	 regras,	 à	
luz	 das	 quais	 a	 aritmética	 com	 nú-
meros	 negativos	 passou	 a	 ser	 ma-
nipulada	 com	 certa	 sistematização,	
foi	 a	 obra	 Brahmasphutasiddhan-
ta (A	 abertura	 do	Universo),	 escrita	
em	628	d.C.	pelo	matemático	hindu	
Brahmagupta	(598–670).	Tal	sistema-
tização	 ocorreu	 como	 resultado	 de	
tentativas	de	formular	um	algoritmo	
para	a	 resolução	de	equações	qua-
dráticas.	Associando	números	posi-
tivos	 a	 créditos	 e	 números	 negati-
vos	a	débitos,	Brahmagupta	fez	uso	
dos	números	negativos	em	seus	cál-
culos.	No	dizer	de	Brahmagupta,	um	
débito	menos	zero	é	um	débito,	um	
débito	subtraído	de	zero	é	um	crédi-
to,	o	produto	de	dois		créditos	é	um	
crédito,	o	produto	de	dois	débitos	é	
um	crédito,	etc.	Dessa	forma,	ele	es-
tabelece	as	regras	de	sinais.
PIRES,	Célia.Numeri Absurdi.	Revista	
Fundamental,	nov,	2008,	p.37.	Adaptado.
Anotações
Atividades
1. Qual é a sentença verdadeira?
a. –5 < –10 
b. 97 < 36
c. 4 < –9
d. X –80 < –12
2. Quais números inteiros possuem módulo me-
nor que 4?
–3; –2; –1; 0 ; +1;+2; +3.
3. Responda ao que se pede com a devida 
atenção:
a. Se |z| = 4, então z pode ser igual a ou 
a 
–4 ou 4.
b. Se |x| = 22, então x pode ser igual a 
ou a 
–22 ou 22.
Alison, olha esta questão que 
caiu na prova de Matemática: 
cada caixa de fósforos produzida por 
determinada fábrica contém 100 palitos. 
Um maço é composto por exatamente 50 
caixas, e um caixote é formado por 100 
maços. Desse modo, o numeral que 
representa a quantidade de palitos 
que há em um caixote é?
É simples! A soma total do 
número de fósforos dentro do 
caixote é de 500.000, porque 100 x 50 
= 500, e 500 x 100 = 500.000. Assim, a 
resposta certa é 5, pois corresponde à 
soma dos valores absolutos de todos 
os algarismos.
Essa é difícil, Cadu, 
não sei!
35CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 35 05/04/2018 21:42:50
-24 °C.
3. (Obmep) Na Sibéria, situa-se o local habitado 
mais frio do mundo: a aldeia de Oymyakon. Um 
dia, no início da manhã, ela estava com a tem-
peratura agradável de 1 °C. No meio da manhã, 
essa temperatura subiu 4 °C. Perto do meio-dia 
subiu 2 °C, no meio da tarde caiu 10 °C, no início 
da noite caiu 12 °C e à meia-noite desceu 9 °C. 
Nesse último momento, qual a temperatura que 
registrava o termômetro?
Floresta congelada em Oymyakon.
Valor absoluto, ou módulo, de um número inteiro
A distância de um ponto à origem é chamada de valor absoluto, ou módulo. Indicamos o valor 
absoluto (ou módulo) de um número colocando esse número entre duas barras. Assim, o módulo 
de -3 é indicado por |-3|.
Numa reta numérica, é possível determinar a distância do ponto da abscissa zero (origem) a um 
outro ponto qualquer da reta.
A distância do ponto 0 ao ponto A é de 4 unidades.
A distância do ponto 0 ao ponto B é de 2 unidades.
A distância do ponto 0 ao ponto C é de 3 unidades.
Então, temos:
|-4| = 4. 
|+2| = 2. 
|-3| = 3.
Números opostos
O oposto, ou simétrico, de um número é indicado colocando-se o sinal de - (menos) à esquerda 
dele. Veja alguns exemplos:
O oposto de +5 é indicado por: -(+5) = -5
O oposto de -6 é indicado por: -(-6) = +6
O oposto de 18 é indicado por: -(+18) = -18
0–2 +4–4 +2–1 +5–3 +3–5 +1
ABC
M
aa
rt
en
 T
ak
en
34 CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd34 05/04/2018 21:42:50
ME_Matemática_Contextualizada_7A_02.indd 34 29/05/2018 11:49:41
35
Atividades
1. Qual é a sentença verdadeira?
a. –5 < –10 
b. 97 < 36
c. 4 < –9
d. X –80 < –12
2. Quais números inteiros possuem módulo me-
nor que 4?
–3; –2; –1; 0 ; +1;+2; +3.
3. Responda ao que se pede com a devida 
atenção:
a. Se |z| = 4, então z pode ser igual a ou 
a 
–4 ou 4.
b. Se |x| = 22, então x pode ser igual a 
ou a 
–22 ou 22.
Alison, olha esta questão que 
caiu na prova de Matemática: 
cada caixa de fósforos produzida por 
determinada fábrica contém 100 palitos. 
Um maço é composto por exatamente 50 
caixas, e um caixote é formado por 100 
maços. Desse modo, o numeral que 
representa a quantidade de palitos 
que há em um caixote é?
É simples! A soma total do 
número de fósforos dentro do 
caixote é de 500.000, porque 100 x 50 
= 500, e 500 x 100 = 500.000. Assim, a 
resposta certa é 5, pois corresponde à 
soma dos valores absolutos de todos 
os algarismos.
Essa é difícil, Cadu, 
não sei!
35CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 35 05/04/2018 21:42:50
-24 °C.
3. (Obmep) Na Sibéria, situa-se o local habitado 
mais frio do mundo: a aldeia de Oymyakon. Um 
dia, no início da manhã, ela estava com a tem-
peratura agradável de 1 °C. No meio da manhã, 
essa temperatura subiu 4 °C. Perto do meio-dia 
subiu 2 °C, no meio da tarde caiu 10 °C, no início 
da noite caiu 12 °C e à meia-noite desceu 9 °C. 
Nesse último momento, qual a temperatura que 
registrava o termômetro?
Floresta congelada em Oymyakon.
Valor absoluto, ou módulo, de um número inteiro
A distância de um ponto à origem é chamada de valor absoluto, ou módulo. Indicamos o valor 
absoluto (ou módulo) de um número colocando esse número entre duas barras. Assim, o módulo 
de -3 é indicado por |-3|.
Numa reta numérica, é possível determinar a distância do ponto da abscissa zero (origem) a um 
outro ponto qualquer da reta.
A distância do ponto 0 ao ponto A é de 4 unidades.
A distância do ponto 0 ao ponto B é de 2 unidades.
A distância do ponto 0 ao ponto C é de 3 unidades.
Então, temos:
|-4| = 4. 
|+2| = 2. 
|-3| = 3.
Números opostos
O oposto, ou simétrico, de um número é indicado colocando-se o sinal de - (menos) à esquerda 
dele. Veja alguns exemplos:
O oposto de +5 é indicado por: -(+5) = -5
O oposto de -6 é indicado por: -(-6) = +6
O oposto de 18 é indicado por: -(+18) = -18
0–2 +4–4 +2–1 +5–3 +3–5 +1
ABC
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 T
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34 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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36
Dicas para o professor
•		 Comparar	 números	 inteiros	 positi-
vos	 e	 negativos;	 estabelecer	 critérios	
de	 comparação	 entre	 dois	 números	
positivos,	 dois	 números	 negativos	 ou	
um	número	positivo	com	um	número	
negativo.
•		Compreender	a	relação	de	igualda-
de	(–)	ou	desigualdade	(>,	<).
•		Comparar	os	inteiros	com	o	núme-
ro	zero.
•		É	 importante	que	os	 alunos	perce-
bam	que	nem	sempre	o	maior	núme-
ro	tem	o	maior	módulo	ou	o	menor	nú-
mero	tem	o	menor	módulo.	Ao	contrá-
rio	dos	 	números	positivos,	os	negati-
vos	têm	essa	relação	de	forma	inversa.
Atividades
complementares
1.	 Observe	 a	 reprodução	 de	 um	 ex-
trato	 de	 conta	 de	 um	 cliente	 de	 um	
banco.
Conta-corrente 031	–	05	–	123456	–	1
Data Histórico	 Valor	 Saldo	
30/03/2018 - - 216,00	C
01/04/2018 Saque 100,00	D 116,00	C
02/04/2018 Salário 1.200,00	C 1.316,00	C
03/04/2018 Saque 500,00	D 816,00	C
05/04/2018 Cheque 800,00	D 16,00	C
07/04/2018 Depósito	 300,00	C 316,00	C
09/04/2018 Cheque	 96,00	D 220,00	C
a)	O	que	é	um	extrato	bancário?	A	que	período	de	tempo	se	refere	o	extrato?
Resposta:	É	um	resumo	da	movimentação	da	conta	bancária.	O	período	é	de	30/03/2018	a	09/04/2018.
b)	O	que	significam	as	letras	C	e	D	nas	colunas	de	valor	e	de	saldo?
Anotações
4. Observe a sequência de temperaturas regis-
tradas em algumas cidades e reescreva-as em 
ordem crescente.
Cidade Temperatura
Nova York 0° 
São Paulo 11° 
Buenos Aires –2° 
La Plata –5° 
Paris 4° 
–5 ºC; –2 ºC; 0 ºC; 4 ºC; 11 ºC.
5. Thiago comprou para sua lanchonete pão de 
alho, espetinhos de camarão e pães de queijo. 
Veja as instruções para cada produto: 
 Pão de alho: conservar entre –5 °C e –10 °C.
 Espetinhos de camarão: conservar entre –12 °C 
e –20 °C.
 Pão de queijo: conservar entre 4 °C e 0 °C.
a. Qual é o produto que deve ser submetido à 
menor temperatura?
Espetinho de camarão.
b. Qual é o produto que resiste à maior tempe-
ratura? 
Pão de queijo.
6. Um termômetro está registrando 12 °C. 
Quanto ele marcará se a temperatura:
a. subir 8 °C? 
b. descer 15 °C? 
c. subir 3 °C e depois descer 15 °C? 
d. descer 30 °C? 
20 °C
–3 °C
0 °C
–18 °C
0 127–5–10 104
A P R E N D O
8. Observe os pontos da reta e responda:
a. Qual dos pontos possui o mesmo módulo?
A e D.
b. Qual dos pontos possui o número menor?
A.
c. Qual dos pontos possui o menor módulo?
R.
d. O menor número tem o menor módulo?
Não, o menor número é o –10 e o seu módulo é 10.
e. Qual é o módulo de –5?
5.
9. Determine o valor de:
a. |-35| – 
b. |-7| – 
c. |+101| – 
35.
7.
101.
7. Classifique em V as sentenças verdadeiras e 
em F as falsas.
a. F O módulo de –5 é menor que o módulo 
de +5. 
b. V O sucessor de –15 é o oposto do ante-
cessor de 15. 
c. V Números opostos possuem o mesmo 
módulo. 
d. V O módulo de +70 é igual ao módulo de 
–70. 
0 127–5–10 104
A P R E N D O
10. Considere os pontos indicados na reta nu-
merada.
37CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 37 05/04/2018 21:42:51
seguinte, houve uma queda de mais 3 °C; no 
terceiro, a queda foi de 4 °C. Porém, no quar-
to dia, houve um aumento repentino de 5 °C. 
Indique qual a variação de temperatura des-
ses dias.
4. Nas fichas seguintes, estão escritos números 
inteiros:
a. Dê o módulo, ou valor absoluto, de cada um 
desses números.
9; 10; 37; 105; 50; 48; 10; 720.
b. Há números opostos, ou simétricos? Quais 
são esses números?
Sim. –10 e +10.
c. Qual é o número que tem maior valor absoluto?
720.
Comparação de números inteiros
Na comparação entre números positivos e negativos, os negativos serão sempre menores que 
os positivos e o zero.
+9
–50
–10
–48
+37
+10
+105
–720
0–2 +4–4 +2–1 +5–3 +3–5 +1
diminui
aumenta
Entre os números inteiros negativos, o maior será sempre o que estiver mais próximo da origem. 
Já entre os positivos, o maior será sempre o que estiver mais distante da origem. 
Atividades
1. Num dia muito frio na Argentina, a tempe-
ratura estava 2 °C. À noite, a temperatura dimi-
nuiu 5 °C. Em que ponto da reta numérica se 
encontra a temperatura atingida? 
0–2 +4–4 +2–1–3 +3+1
A B C D E
No ponto B.
2. Uma estação meteorológica registrou, du-
rante a época da friagem, uma queda de 2 °C 
na temperatura média de uma cidade devido 
à chegada de uma massa de ar polar. No dia 
– 4 °C.
3. Escreva um número para representar cada 
item:
a. O número oposto a –18 – 
b. O oposto de +a – 
c. O oposto do oposto de 15 – 
+18
–a
15
36 CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 36 05/04/2018 21:42:50
ME_Matemática_Contextualizada_7A_02.indd 36 29/05/2018 11:49:43
37
Resposta:	C	significa	crédito,	e	D	sig-
nifica	débito.
c)	O	que	aconteceu	no	dia	30	de	mar-
ço?
Resposta:	Não	houve	movimentação.
d)	O	que	significam	as	expressões	sal-
do	positivo	e	saldo	negativo?
Resposta:	Saldo	positivo	–	que	a	conta	
pode	ter	saldo	credor.	Saldo	negativo	
–	que	a	conta	não	tem	saldo	e	está	de-
vendo	ao	banco.
Anotações
4. Observe a sequência de temperaturas regis-
tradas em algumas cidades e reescreva-as em 
ordem crescente.
Cidade Temperatura
Nova York 0° 
São Paulo 11° 
Buenos Aires –2° 
La Plata –5° 
Paris 4° 
–5 ºC; –2 ºC; 0 ºC;4 ºC; 11 ºC.
5. Thiago comprou para sua lanchonete pão de 
alho, espetinhos de camarão e pães de queijo. 
Veja as instruções para cada produto: 
 Pão de alho: conservar entre –5 °C e –10 °C.
 Espetinhos de camarão: conservar entre –12 °C 
e –20 °C.
 Pão de queijo: conservar entre 4 °C e 0 °C.
a. Qual é o produto que deve ser submetido à 
menor temperatura?
Espetinho de camarão.
b. Qual é o produto que resiste à maior tempe-
ratura? 
Pão de queijo.
6. Um termômetro está registrando 12 °C. 
Quanto ele marcará se a temperatura:
a. subir 8 °C? 
b. descer 15 °C? 
c. subir 3 °C e depois descer 15 °C? 
d. descer 30 °C? 
20 °C
–3 °C
0 °C
–18 °C
0 127–5–10 104
A P R E N D O
8. Observe os pontos da reta e responda:
a. Qual dos pontos possui o mesmo módulo?
A e D.
b. Qual dos pontos possui o número menor?
A.
c. Qual dos pontos possui o menor módulo?
R.
d. O menor número tem o menor módulo?
Não, o menor número é o –10 e o seu módulo é 10.
e. Qual é o módulo de –5?
5.
9. Determine o valor de:
a. |-35| – 
b. |-7| – 
c. |+101| – 
35.
7.
101.
7. Classifique em V as sentenças verdadeiras e 
em F as falsas.
a. F O módulo de –5 é menor que o módulo 
de +5. 
b. V O sucessor de –15 é o oposto do ante-
cessor de 15. 
c. V Números opostos possuem o mesmo 
módulo. 
d. V O módulo de +70 é igual ao módulo de 
–70. 
0 127–5–10 104
A P R E N D O
10. Considere os pontos indicados na reta nu-
merada.
37CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 37 05/04/2018 21:42:51
seguinte, houve uma queda de mais 3 °C; no 
terceiro, a queda foi de 4 °C. Porém, no quar-
to dia, houve um aumento repentino de 5 °C. 
Indique qual a variação de temperatura des-
ses dias.
4. Nas fichas seguintes, estão escritos números 
inteiros:
a. Dê o módulo, ou valor absoluto, de cada um 
desses números.
9; 10; 37; 105; 50; 48; 10; 720.
b. Há números opostos, ou simétricos? Quais 
são esses números?
Sim. –10 e +10.
c. Qual é o número que tem maior valor absoluto?
720.
Comparação de números inteiros
Na comparação entre números positivos e negativos, os negativos serão sempre menores que 
os positivos e o zero.
+9
–50
–10
–48
+37
+10
+105
–720
0–2 +4–4 +2–1 +5–3 +3–5 +1
diminui
aumenta
Entre os números inteiros negativos, o maior será sempre o que estiver mais próximo da origem. 
Já entre os positivos, o maior será sempre o que estiver mais distante da origem. 
Atividades
1. Num dia muito frio na Argentina, a tempe-
ratura estava 2 °C. À noite, a temperatura dimi-
nuiu 5 °C. Em que ponto da reta numérica se 
encontra a temperatura atingida? 
0–2 +4–4 +2–1–3 +3+1
A B C D E
No ponto B.
2. Uma estação meteorológica registrou, du-
rante a época da friagem, uma queda de 2 °C 
na temperatura média de uma cidade devido 
à chegada de uma massa de ar polar. No dia 
– 4 °C.
3. Escreva um número para representar cada 
item:
a. O número oposto a –18 – 
b. O oposto de +a – 
c. O oposto do oposto de 15 – 
+18
–a
15
36 CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 36 05/04/2018 21:42:50
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38
Dicas para o professor
•	Este	 é	 um	 momento	 importante	 na	
construção	da	ideia	de	adição	dos	intei-
ros.	Mostre	a	adição	de	várias	formas,	in-
clusive	por	meio	da	reta	numérica.
A	 abordagem	 do	 deslocamento	 se	
torna	 interessante	 à	 medida	 que	 va-
mos	preparando	o	aluno	para	estudos	
mais	 aprofundados,	 como	 o	 dos	 nú-
meros	decimais	ou	ainda	o	estudo	da	
notação	científica.
•		Compreender	a	adição	de	números	
inteiros	com	sinais	iguais.
•		Perceber	que,	se	os	sinais	são	iguais,	
a	soma	de	dois	inteiros	terá	o	mesmo	
sinal	que	as	parcelas,	sejam	eles	posi-
tivos	ou	negativos.
Atividades
complementares
1.	Complete	corretamente	com	<	ou	>.
a)	5	___	–8	
b)	–3	___	0
c)	–7	___	–1	
d)	–8	___	–10
Resposta:
a)	>	
b)	<	
c)	<	
d)	>	
2.	Complete	com	as	palavras	maior	ou	
menor.
a)	 Todo	 número	 positivo	 é	 ____	 que	
zero.
b)	Todo	número	negativo	é	____	que	
qualquer	número	positivo.
c)	 O	 número	 zero	 é	 _____	 que	 qual-
quer	número	negativo.
Resposta:
a)	maior.
b)	menor.	
c)	maior.
Anotações
Arthur, 
você parece 
triste. O que 
houve?
Achei que era um bom 
vendedor, pois fiz quatro 
vendas, mas agora não sei se, 
ao final de tudo, tive prejuízo 
ou lucro.
Para saber, precisamos verificar o valor 
absoluto primeiro. De acordo com o que 
você falou, temos a seguinte operação: –4 –11 
+ 13 +5 = +3. Dessa forma, podemos concluir 
que você obteve lucro!
Como 
foram suas 
vendas?
Na primeira, deixei 
de ganhar R$ 4,00. Na 
segunda, deixei de ganhar R$ 
11,00. Na terceira, tive um lucro 
de R$ 13,00 e, na última, o 
lucro foi de R$ 5,00.
39CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 39 05/04/2018 21:42:51
b. Dentre esses pontos, qual é o simétrico ao 
ponto A?
D.
c. O valor absoluto de dois pontos simétricos é 
sempre igual?
Sim.
a. Escreva, abaixo, a distância entre o ponto R 
e o ponto:
A – P – 
E – N – 
D – 
10
4
10
5
7
Adição de números inteiros com mesmo sinal
Imagine a seguinte situação de adição entre números inteiros negativos:
Um peixinho, que está 2 metros abaixo do nível do mar, desce mais 3 metros. Agora, então, ele 
está a 5 metros abaixo do nível do mar. Podemos representar matematicamente essa situação com 
a adição de –2 e –3.
( ) ( )− + − = −2 3 5 ou –2 –3 = –5
Como você pode observar, somando duas parcelas negativas, obtemos um resultado negativo, 
assim como somando dois números positivos, teremos um resultado positivo. Dessa forma, pode-
mos generalizar afirmando que, quando somamos números de sinais iguais, conservamos esses 
sinais e somamos os números.
Veja: 
(–8) + (–3) = –11
(+2) + (+7) = +9
–7 –1 = –8
11. Na reta numérica a seguir temos alguns pontos definidos por letras. Escreva os opostos desses 
números em ordem decrescente.
10, 7, –1 e –5.
12. Leia com atenção as afirmações e marque a alternativa correta.
I. Todo número inteiro diferente de zero possui um número oposto.
II. O módulo de um número é sempre um valor positivo.
III. Números opostos e números simétricos são a mesma coisa.
a. Apenas a alternativa I está correta.
b. Apenas a alternativa II está correta.
c. Apenas a alternativa III está correta.
d. X Todas as alternativa estão corretas.
e. Todas as alternativas estão erradas.
0–1–3–5–7–9 –2–4–6–8–10 1 53 7 92 6 84 10
B A C D
38 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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39
Arthur, 
você parece 
triste. O que 
houve?
Achei que era um bom 
vendedor, pois fiz quatro 
vendas, mas agora não sei se, 
ao final de tudo, tive prejuízo 
ou lucro.
Para saber, precisamos verificar o valor 
absoluto primeiro. De acordo com o que 
você falou, temos a seguinte operação: –4 –11 
+ 13 +5 = +3. Dessa forma, podemos concluir 
que você obteve lucro!
Como 
foram suas 
vendas?
Na primeira, deixei 
de ganhar R$ 4,00. Na 
segunda, deixei de ganhar R$ 
11,00. Na terceira, tive um lucro 
de R$ 13,00 e, na última, o 
lucro foi de R$ 5,00.
39CAPÍTULO 2 I Números negativos
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b. Dentre esses pontos, qual é o simétrico ao 
ponto A?
D.
c. O valor absoluto de dois pontos simétricos é 
sempre igual?
Sim.
a. Escreva, abaixo, a distância entre o ponto R 
e o ponto:
A – P – 
E – N – 
D – 
10
4
10
5
7
Adição de números inteiros com mesmo sinal
Imagine a seguinte situação de adição entre números inteiros negativos:
Um peixinho, que está 2 metros abaixo do nível do mar, desce mais 3 metros. Agora, então, ele 
está a 5 metros abaixo do nível do mar. Podemos representar matematicamente essa situação com 
a adição de –2 e –3.
( ) ( )− + − =−2 3 5 ou –2 –3 = –5
Como você pode observar, somando duas parcelas negativas, obtemos um resultado negativo, 
assim como somando dois números positivos, teremos um resultado positivo. Dessa forma, pode-
mos generalizar afirmando que, quando somamos números de sinais iguais, conservamos esses 
sinais e somamos os números.
Veja: 
(–8) + (–3) = –11
(+2) + (+7) = +9
–7 –1 = –8
11. Na reta numérica a seguir temos alguns pontos definidos por letras. Escreva os opostos desses 
números em ordem decrescente.
10, 7, –1 e –5.
12. Leia com atenção as afirmações e marque a alternativa correta.
I. Todo número inteiro diferente de zero possui um número oposto.
II. O módulo de um número é sempre um valor positivo.
III. Números opostos e números simétricos são a mesma coisa.
a. Apenas a alternativa I está correta.
b. Apenas a alternativa II está correta.
c. Apenas a alternativa III está correta.
d. X Todas as alternativa estão corretas.
e. Todas as alternativas estão erradas.
0–1–3–5–7–9 –2–4–6–8–10 1 53 7 92 6 84 10
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40
Atividades
c. Determine dois números do texto que são 
representados por numerais negativos e dois 
positivos.
Agora que você já leu o texto:
a. Escolha três dos peixes apresentados e co-
loque em ordem crescente os numerais que re-
presentam a profundidade em que eles vivem.
b. Some os numerais utilizados por você no 
item a.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Sugestão de resposta: 2 números positivos. Pei-
xe-remador: 16 metros e 46 quilos.
2 números negativos. O peixe-lanterna vive 
a -1.500 metros abaixo do nível do mar, e o 
peixe-ogro vive a -5.300 metros abaixo do ní-
vel do mar. 
Adição de números inteiros com sinais diferentes
O artista Etsy Seller Justin LaDoux criou uma escultura do peixe-pescador toda feita com objetos 
reciclados. Essa escultura está à venda pelo preço de US$ 8.000 e mede 5 metros de altura.
Vamos supor que você queira comprar a escultura, mas que só dispõe de US$ 6.000. Assim, como 
ficaria seu saldo caso você a comprasse?
6.000 – 8.000 = – 2.000
E se você tivesse US$ 12.000, como ficaria seu saldo?
12.000 – 8.000 = 4.000
Veja outros exemplos:
(+8) + (– 20) = –12
(2) + (+7) = +5
– 7 + 1 = – 6
Então, generalizando, podemos afirmar que, quando somamos números de sinais diferentes, 
subtraímos o módulo maior e conservamos seu sinal.
1. Se escrevêssemos o número três à esquerda 
do número 25 e trocássemos de sinal, o novo 
número teria:
a. X 300 unidades a menos que 25.
b. 325 unidades a menos que 25.
c. 350 unidades a menos que 25.
d. 400 unidades a menos que 25.
e. 350 unidades a mais que 25.
2. O prefeito de uma determinada cidade verifi-
cou o crescente aumento da violência urbana e 
do número de roubos, homicídios e sequestros. 
Motivado a reverter esse quadro, ele investiu no 
ano de 2006 em políticas públicas, esperando, 
a longo prazo, alcançar seu objetivo. Anos mais 
tarde, em 2016, foi feito um estudo sobre a vio-
lência nessa cidade, cujos dados estão apresen-
tados no gráfico a seguir:
41CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 41 05/04/2018 21:42:52
1. Leia atentamente o texto abaixo, que mostra 
características de alguns peixes abissais.
1. Serpente lendária
O peixe-remador (Regalecus glesne), ou pei-
xe-fita, pode atingir 16 metros de comprimento 
e pesar cerca de 46 quilos. É possível que ele 
seja um dos grandes responsáveis pelas antigas 
lendas sobre serpentes marinhas relatadas por 
pescadores em séculos passados.
2. Tubarão mergulhador
O tubarão-de-seis-brânquias (Hexanchus gri-
seus) é encontrado em profundidades de até 2 
mil metros e recebeu esse nome porque a maior 
parte dos tubarões tem apenas cinco fendas 
branquiais. Ele cresce até 6 metros e se alimenta 
de uma variedade de animais, incluindo crustá-
ceos, peixes e mamíferos marinhos.
3. Cruel empalador
O peixe-víbora (Chauliodus sloani) é um 
dos mais ferozes predadores do mar. Sua boca 
grande e pontuda tem dentes similares a cani-
nos, usados para empalar suas vítimas. De tão 
grandes, os dentes não cabem dentro da boca, 
curvando-se para trás, bem próximo aos olhos. 
O peixe-víbora atinge até 60 centímetros.
4. Luz própria
O peixe-lanterna (Symbolophorus barnardi) 
recebeu esse nome devido à sua capacidade de 
produzir luz, emitida por órgãos localizados na 
cabeça, na lateral do corpo e no rabo. Ele cres-
ce até 15 centímetros e passa o dia em profun-
didades que chegam a 1.500 metros — embora 
suba mais perto da superfície à noite.
5. Diabo marinho
A aparência do peixe-pescador-de-mar-profun-
do (Melanocetus johnsonii) lhe rendeu um outro 
nome bem apropriado: diabo-negro. Mas, apesar 
dos dentes ameaçadores, ele não tem mais que 
13 centímetros de comprimento. A “lanterninha” 
Atividades
que possui é um prolongamento (bioluminescen-
te) da espinha dorsal e serve de isca para atrair 
presas, daí o nome de peixe-pescador.
6. Dragão de cavanhaque
Chamado também de peixe-dragão-de-mar-
-profundo (Grammatostomias flagellibarba), esse 
é outro bicho estranho que tem muito mais pose 
de mau do que tamanho — chega a cerca de 15 
centímetros. Ligado ao seu queixo há um barbi-
lhão, um longo apêndice carnoso. A ponta desse 
“cavanhaque” em forma de fio também emite 
luz para seduzir presas.
7. Resto é com ele
O peixe-ogro (Anoplogaster cornuta) vive 
em águas profundas extremas, a cerca de 5.300 
metros. Como o alimento nessas profundidades 
é bastante escasso, ele acaba se alimentando 
de tudo o que encontra pela frente, principal-
mente restos de animais mortos que caem de 
profundidades menores.
8. Ermitão sem olhos
O peixe encontrado na maior profundidade 
até hoje só tem nome científico: Abyssobrotula 
galatheae. Exemplares da espécie foram locali-
zados a 8.372 metros de profundidade no mar do 
Caribe. Ele parece não ter olhos, mas que dife-
rença isso faz num lugar onde reina a escuridão?
Fonte: http://mundoestranho.abril.com.br/materia/como-
vivem-os-peixes-de-mar-profundo.
Peixe-ogro (Anoplogaster cornuta).
R
ep
ro
d
uç
ão
40 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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41
Leitura complementar
Buscando	agilizar	os	cálculos	astro-
nômicos,	os	sábios	hindus	se	preocu-
pavam	 em	 idealizar	 formas	 de	 repre-
sentação	numérica	que	simplificassem	
esses	cálculos.	Eles	mostraram	ser	vir-
tuosos	no	cálculo	aritmético	e	algébri-
co	que	permitiram	conceber	um	novo	
tipo	de	símbolo	para	representar	dívi-
das	que,	posteriormente,	o	Ocidente	
chamaria	de	negativo.
Dicas para o professor
Aproveite	a	questão	2	para	apontar	
que	o	aumento	da	violência	em	todos	
os	países,	ou	até	mesmo	em	regiões,	
como	o	bairro	de	uma	determinada	ci-
dade,	é	decorrente	das	desigualdades	
sociais.	Utilize	o	momento	para	apre-
sentar	 os	 dados	 da	 Leitura comple-
mentar	da	página	42 e	concientizá-los	
que	a	mudança	ocorre	todos	os	dias	e	
que	 a	melhor	 solução	para	 esse	pro-
blema	é	a	educação.
A	primeira	vez	que,	explicitamente,	
as	regras	que	regem	a	Aritmética	com	
os	números	negativos	apareceram	em	
uma	obra	foi	na	do	matemático	Brah-
magupta,	que	data	do	ano	628	d.C.
Influenciados	pela	civilização	egíp-
cia	 e	 babilônica,	 os	 matemáticos	 do	
período	alexandrino	 (300	a.C.)	busca-
ram	na	Matemática	resoluções	de	pro-
blemas	práticos	de	seu	cotidiano.
O	resultado	das	 investigações	dos	
alexandrinos	 pode	 ser	 considerado	
uma	“semente”	do	que	pode	ser	cha-
mado	 de	 regra	 de	 sinais:	 “Negativo	
multiplicado	 por	 negativo	 resulta	 em	
um	número	positivo”.	Isso	não	signifi-
ca	que	eles	conhecessem	os	números	
negativos,	pois	essa	regra	se	refere	ao	
produto	de	diferenças	—	sempre	com	
a	>	b,	c	>	d,	e	não	a	produto	de	núme-
ros	 negativos.	 Diofanto	 considerava	
somenteas	raízes	positivas	das	equa-
ções,	 mostrando	 o	 seu	 desconheci-
mento	sobre	os	números	negativos.
Anotações
Atividades
c. Determine dois números do texto que são 
representados por numerais negativos e dois 
positivos.
Agora que você já leu o texto:
a. Escolha três dos peixes apresentados e co-
loque em ordem crescente os numerais que re-
presentam a profundidade em que eles vivem.
b. Some os numerais utilizados por você no 
item a.
Resposta pessoal.
Resposta pessoal.
Sugestão de resposta: 2 números positivos. Pei-
xe-remador: 16 metros e 46 quilos.
2 números negativos. O peixe-lanterna vive 
a -1.500 metros abaixo do nível do mar, e o 
peixe-ogro vive a -5.300 metros abaixo do ní-
vel do mar. 
Adição de números inteiros com sinais diferentes
O artista Etsy Seller Justin LaDoux criou uma escultura do peixe-pescador toda feita com objetos 
reciclados. Essa escultura está à venda pelo preço de US$ 8.000 e mede 5 metros de altura.
Vamos supor que você queira comprar a escultura, mas que só dispõe de US$ 6.000. Assim, como 
ficaria seu saldo caso você a comprasse?
6.000 – 8.000 = – 2.000
E se você tivesse US$ 12.000, como ficaria seu saldo?
12.000 – 8.000 = 4.000
Veja outros exemplos:
(+8) + (– 20) = –12
(2) + (+7) = +5
– 7 + 1 = – 6
Então, generalizando, podemos afirmar que, quando somamos números de sinais diferentes, 
subtraímos o módulo maior e conservamos seu sinal.
1. Se escrevêssemos o número três à esquerda 
do número 25 e trocássemos de sinal, o novo 
número teria:
a. X 300 unidades a menos que 25.
b. 325 unidades a menos que 25.
c. 350 unidades a menos que 25.
d. 400 unidades a menos que 25.
e. 350 unidades a mais que 25.
2. O prefeito de uma determinada cidade verifi-
cou o crescente aumento da violência urbana e 
do número de roubos, homicídios e sequestros. 
Motivado a reverter esse quadro, ele investiu no 
ano de 2006 em políticas públicas, esperando, 
a longo prazo, alcançar seu objetivo. Anos mais 
tarde, em 2016, foi feito um estudo sobre a vio-
lência nessa cidade, cujos dados estão apresen-
tados no gráfico a seguir:
41CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 41 05/04/2018 21:42:52
1. Leia atentamente o texto abaixo, que mostra 
características de alguns peixes abissais.
1. Serpente lendária
O peixe-remador (Regalecus glesne), ou pei-
xe-fita, pode atingir 16 metros de comprimento 
e pesar cerca de 46 quilos. É possível que ele 
seja um dos grandes responsáveis pelas antigas 
lendas sobre serpentes marinhas relatadas por 
pescadores em séculos passados.
2. Tubarão mergulhador
O tubarão-de-seis-brânquias (Hexanchus gri-
seus) é encontrado em profundidades de até 2 
mil metros e recebeu esse nome porque a maior 
parte dos tubarões tem apenas cinco fendas 
branquiais. Ele cresce até 6 metros e se alimenta 
de uma variedade de animais, incluindo crustá-
ceos, peixes e mamíferos marinhos.
3. Cruel empalador
O peixe-víbora (Chauliodus sloani) é um 
dos mais ferozes predadores do mar. Sua boca 
grande e pontuda tem dentes similares a cani-
nos, usados para empalar suas vítimas. De tão 
grandes, os dentes não cabem dentro da boca, 
curvando-se para trás, bem próximo aos olhos. 
O peixe-víbora atinge até 60 centímetros.
4. Luz própria
O peixe-lanterna (Symbolophorus barnardi) 
recebeu esse nome devido à sua capacidade de 
produzir luz, emitida por órgãos localizados na 
cabeça, na lateral do corpo e no rabo. Ele cres-
ce até 15 centímetros e passa o dia em profun-
didades que chegam a 1.500 metros — embora 
suba mais perto da superfície à noite.
5. Diabo marinho
A aparência do peixe-pescador-de-mar-profun-
do (Melanocetus johnsonii) lhe rendeu um outro 
nome bem apropriado: diabo-negro. Mas, apesar 
dos dentes ameaçadores, ele não tem mais que 
13 centímetros de comprimento. A “lanterninha” 
Atividades
que possui é um prolongamento (bioluminescen-
te) da espinha dorsal e serve de isca para atrair 
presas, daí o nome de peixe-pescador.
6. Dragão de cavanhaque
Chamado também de peixe-dragão-de-mar-
-profundo (Grammatostomias flagellibarba), esse 
é outro bicho estranho que tem muito mais pose 
de mau do que tamanho — chega a cerca de 15 
centímetros. Ligado ao seu queixo há um barbi-
lhão, um longo apêndice carnoso. A ponta desse 
“cavanhaque” em forma de fio também emite 
luz para seduzir presas.
7. Resto é com ele
O peixe-ogro (Anoplogaster cornuta) vive 
em águas profundas extremas, a cerca de 5.300 
metros. Como o alimento nessas profundidades 
é bastante escasso, ele acaba se alimentando 
de tudo o que encontra pela frente, principal-
mente restos de animais mortos que caem de 
profundidades menores.
8. Ermitão sem olhos
O peixe encontrado na maior profundidade 
até hoje só tem nome científico: Abyssobrotula 
galatheae. Exemplares da espécie foram locali-
zados a 8.372 metros de profundidade no mar do 
Caribe. Ele parece não ter olhos, mas que dife-
rença isso faz num lugar onde reina a escuridão?
Fonte: http://mundoestranho.abril.com.br/materia/como-
vivem-os-peixes-de-mar-profundo.
Peixe-ogro (Anoplogaster cornuta).
R
ep
ro
d
uç
ão
40 CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 40 05/04/2018 21:42:52
ME_Matemática_Contextualizada_7A_02.indd 41 29/05/2018 11:49:49
42
Leitura complementar
O	Brasil	está	entre	os	10	países	que	
mais	mata	jovens	no	mundo,	e	a	maior	
parte	deles	 são	 negros	 e	 pobres	das	
periferias	 das	 grandes	 cidades.	 Se-
gundo	 o  relatório	Mapa	 da	 Violência	
2016,	lançado	na	Câmara	dos	Deputa-
dos,	em	Brasília, foram	mortos	mais	de	
25	mil	 jovens	 entre	 15	 e	 29	 anos	por	
armas	 de	 fogo	 no	 Brasil	 em	 2014,	 o	
que	representa	um	aumento	de	quase	
700%	em	relação	aos	dados	de	1980,	
quando	o	número	de	vítimas	nessa	fai-
xa	 etária	 foi	 pouco	mais	 de	 3	mil	 no	
período.
Os	 dados	 confirmam	 ainda	 que	 a	
população	negra	brasileira	é	extrema-
mente	 vulnerável:  morrem	 2,6	 vezes	
mais	 negros	 do	 que	 brancos	 no	 Bra-
sil  em	 homicídios	 cometidos	 com	 ar-
mas	de	fogo.	O	Mapa,	inclusive,	mos-
tra	que	entre	2003	e	2014,	o	índice	de	
mortes	 de	 pessoas	 negras	 aumentou	
(de	24,9	mortes	por	100	mil	habitantes	
para	27,4	—	um	aumento	de	9,9%)	en-
quanto	que	o	de	pessoas	brancas	di-
minuiu	(de	14,5	para	10,6	—	uma	que-
da	de	27,1%).
O	 estudo	 analisa	 a	 evolução	 dos	
homicídios	por	armas	de	fogo	no	Bra-
sil	no	período	entre	1980	e	2014,	e	es-
tuda	 a	 incidência	de	 fatores,	 como	o	
sexo,	 a	 raça/cor	 e	 as	 idades	 das	 víti-
mas	 dessa	 mortalidade.	 São	 aponta-
das	as	características	da	evolução	dos	
homicídios	por	armas	de	 fogo	nas	27	
unidades	 da	 Federação,	 nas	 27	 capi-
tais	e	nos	municípios	com	elevados	ní-
veis	 de	 mortalidade	 causada	 por	 ar-
mas	de	fogo.
Caso	tenha	interesse	de	ver	o	mapa	
é	só	acessar	a	página:	http://www.ma-
padaviolencia.org.br/.
Anotações
7. Os termômetros a seguir representam a tem-
peratura em diferentes cidades do mundo. De-
termine a temperatura registrada em cada ter-
mômetro após um aumento de 10 °C em cada 
Observando os resultados acima, qual deles foi 
o grande vencedor da disputa?
Juliana: (+ 10) + (+3) + (–5) = + 8
Daniel: (+ 10) + (– 8) + (–8) = – 6
Natália: (+ 3) + (+3) + (–8) = – 2
A vencedora foi Juliana.
Juliana
Daniel
Natália
+10
+3
–2
–5
–8
+10
+3
–2
–5
–8
+10
+3
–2
–5
–8
Termômetros caso 1 caso 2
1 +5 – 10
2 +15 0
3 – 5 – 20
4 0 – 15
5 +32 +17
1
3
2
4
5
caso. Depois, considerando as mesmas tempe-
raturas iniciais, considere uma queda de 5 °C 
em cada caso.
a. Qual é o número inteiro que representa a 
profundidade escrita no texto?
–1.000.
8. A partir de 1.000 metros de profundidade oceâ-
nica, encontramos serpentes marinhas enormes. 
O peixe-remador, ou peixe-fita, pode atingir 16 
metros de comprimento e pesar cerca de 46 kg.
Utilizando as informações acima, responda:
b. Quais dos números negativos abaixo repre-
sentariam profundidades onde é possível en-
contrar serpentes marinhas?
I. – 897 
II. X – 1.325III. X – 3.211 
IV. – 465
43CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 43 05/04/2018 21:42:52
3. (Obmep) Qual é o algarismo das unidades do 
número: 
( ) . ?1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 2 015× × × × × × × × × − = 
a. X 0. 
b. 1. 
c. 5. 
d. 6. 
e. 8.
Fonte: http://www.atireiopaunografico.com.br/2013/11/o-
grafico-de-barras-e-visualizacao-de.html
Avaliando os dados apresentados no gráfico, 
responda:
a. No período de 2010 a 2016, houve um au-
mento ou uma redução no número de casos de 
roubos e homicídios?
b. Qual foi, aproximadamente, a maior variação 
percentual? Ela foi positiva ou negativa?
5. Qual é a menor temperatura: –10 ou –5?
c. De 2010 até 2016, de quanto foi, aproxima-
damente, a diferença percentual do número de 
roubos e homicídios?
Houve aumento no número de roubos e uma re-
dução no número de homicídios. 
A maior variação percentual para roubos se deu 
entre 2013 e 2014; sendo –17 + 5 = –12, ela é ne-
gativa. E a maior variação percentual para homi-
cídios se deu também entre 2013 e 2014; sendo 
–10 + 13 = 3, ela é positiva. 
Para roubos, temos aproximadamente –4 + 3 = 
–1. Já para os casos de homicídios, temos apro-
ximadamente 11 – 17 = –6. 
6. Numa competição de tiro ao alvo, três pes-
soas participaram da disputa: Juliana, Daniel e 
Natália. Cada um teve direito a atirar 3 flechas, 
e os resultados foram os seguintes:
4. Explique como é possível a situação repre-
sentada pelas imagens.
A temperatura 
aqui está próxima 
de 12°.
A temperatura 
aqui está próxima 
de 12°.
Resposta pessoal.
–10.
Variação entre anos consecutivos 
em Nova York
Roubos15%
0%
10%
–5%
–15%
5%
–10%
–20%
ano
va
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 (%
)
2006 2010 20142008 2012 2016
15%
0%
10%
–5%
–15%
5%
–10%
–20%
ano
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 (%
)
2006 2010 20142008 2012 2016
Homicídios
Se
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42 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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43
Sugestão de abordagem
Linha de números
A	 linha	 de	 números	 é	 uma	 ferra-
menta	 útil	 para	 ensinar	 operações	
de	 adição	 e	 subtração	 de	 números	
inteiros.
Escreva	 uma	 linha	de	 números	 no	
quadro	e	peça	a	cada	aluno	que	escre-
va	a	sua.
Apresente	 um	 problema	 para	 os	
alunos	resolverem,	como	–2	+	3.		Soli-
cite	que	todos	apontem	para	o	primei-
ro	número	na	equação,	nesse	caso	–2.	
Em	seguida,	a	classe	deve	adicionar	3	
movendo	três	pontos	para	a	direita	na	
linha	de	número.
Qualquer	 que	 seja	 o	 número	 que	
os	 estudantes	 estiverem	 apontando	
agora	será	a	resposta	correta.
Você	pode	praticar	com	uma	linha	
de	 números	 e	 pedir	 para	 os	 alunos	
“adicionarem	3”	e,	então,	“subtrair	4”,	
e	assim	por	diante.
Exemplos da vida real
É	 sempre	 importante	 aplicar	 as	 li-
ções	 de	 Matemática	 às	 situações	 da	
vida	 real.	 Pode	 ser	 difícil	 encontrar	
bons	exemplos	de	problemas	que	en-
volvam	números	negativos.	A	 tempe-
ratura	é	um	bom	exemplo	de	conjun-
to	 negativo	 de	 números	 que	 usamos	
diariamente.
Peça	para	os	alunos	adicionarem	3	
a	–20	graus	e	subtraírem	10	de	3	graus.	
Utilize	o	termômetro	como	uma	 linha	
de	 números	 para	 ajudá-los	 a	 respon-
der	a	essas	equações.
Anotações
7. Os termômetros a seguir representam a tem-
peratura em diferentes cidades do mundo. De-
termine a temperatura registrada em cada ter-
mômetro após um aumento de 10 °C em cada 
Observando os resultados acima, qual deles foi 
o grande vencedor da disputa?
Juliana: (+ 10) + (+3) + (–5) = + 8
Daniel: (+ 10) + (– 8) + (–8) = – 6
Natália: (+ 3) + (+3) + (–8) = – 2
A vencedora foi Juliana.
Juliana
Daniel
Natália
+10
+3
–2
–5
–8
+10
+3
–2
–5
–8
+10
+3
–2
–5
–8
Termômetros caso 1 caso 2
1 +5 – 10
2 +15 0
3 – 5 – 20
4 0 – 15
5 +32 +17
1
3
2
4
5
caso. Depois, considerando as mesmas tempe-
raturas iniciais, considere uma queda de 5 °C 
em cada caso.
a. Qual é o número inteiro que representa a 
profundidade escrita no texto?
–1.000.
8. A partir de 1.000 metros de profundidade oceâ-
nica, encontramos serpentes marinhas enormes. 
O peixe-remador, ou peixe-fita, pode atingir 16 
metros de comprimento e pesar cerca de 46 kg.
Utilizando as informações acima, responda:
b. Quais dos números negativos abaixo repre-
sentariam profundidades onde é possível en-
contrar serpentes marinhas?
I. – 897 
II. X – 1.325 
III. X – 3.211 
IV. – 465
43CAPÍTULO 2 I Números negativos
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3. (Obmep) Qual é o algarismo das unidades do 
número: 
( ) . ?1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 2 015× × × × × × × × × − = 
a. X 0. 
b. 1. 
c. 5. 
d. 6. 
e. 8.
Fonte: http://www.atireiopaunografico.com.br/2013/11/o-
grafico-de-barras-e-visualizacao-de.html
Avaliando os dados apresentados no gráfico, 
responda:
a. No período de 2010 a 2016, houve um au-
mento ou uma redução no número de casos de 
roubos e homicídios?
b. Qual foi, aproximadamente, a maior variação 
percentual? Ela foi positiva ou negativa?
5. Qual é a menor temperatura: –10 ou –5?
c. De 2010 até 2016, de quanto foi, aproxima-
damente, a diferença percentual do número de 
roubos e homicídios?
Houve aumento no número de roubos e uma re-
dução no número de homicídios. 
A maior variação percentual para roubos se deu 
entre 2013 e 2014; sendo –17 + 5 = –12, ela é ne-
gativa. E a maior variação percentual para homi-
cídios se deu também entre 2013 e 2014; sendo 
–10 + 13 = 3, ela é positiva. 
Para roubos, temos aproximadamente –4 + 3 = 
–1. Já para os casos de homicídios, temos apro-
ximadamente 11 – 17 = –6. 
6. Numa competição de tiro ao alvo, três pes-
soas participaram da disputa: Juliana, Daniel e 
Natália. Cada um teve direito a atirar 3 flechas, 
e os resultados foram os seguintes:
4. Explique como é possível a situação repre-
sentada pelas imagens.
A temperatura 
aqui está próxima 
de 12°.
A temperatura 
aqui está próxima 
de 12°.
Resposta pessoal.
–10.
Variação entre anos consecutivos 
em Nova York
Roubos15%
0%
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–5%
–15%
5%
–10%
–20%
ano
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)
2006 2010 20142008 2012 2016
15%
0%
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–5%
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)
2006 2010 20142008 2012 2016
Homicídios
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44
Leitura complementar
Para	 um	povo	que	 surgiu	pequeno	
e	que	sofreu	grande	opressão	por	par-
tes	dos	arianos,	a	Índia	tem	1,1	bilhão	de	
habitantes	 e	 cresce	 em	 torno	de	 1,6%	
ao	ano.	Mais	de	17	milhões	de	pessoas	
anualmente	são	incorporadas	ao	país.	
A	Índia	é	um	país	marcado	por	gran-
des	contrastes.	Desde	1991,	o	país	tem	
se	desenvolvido	economicamente,	mas	
apesar	 disso,	 não	 diminuíram	 os	 seus	
problemas	sociais.
Nas	duas	últimas	décadas,	o	gover-
no	 indiano	 realizou	 amplas	 reformas	
econômicas	 e	 abriu	 o	 país	 à	 entrada	
de	 grandes	 investimentos	 diretos	 es-
trangeiros	 associados	 à	 indústria	 na-
cional	e	estatal.	
Anotações
Refletindo sobre o texto
1. O que se pode afirmar referente às propriedades da adição com números naturais em relação 
aos números inteiros?
Podemos afirmar que a aplicação das propriedades serve aos números inteiros como também aos 
números naturais.
2. Quais são essas propriedades?
São elas: comutativa, associativa, fechamento e elemento neutro.
3. Apresente um exemplo referente à propriedade do fechamento.
Quando adicionamos dois ou mais números inteiros, o resultado sempre será um número inteiro.
(–5) + 6 = 1. –5 é um número inteiro; 6 é um número inteiro; 1 é um número inteiro.
Subtraçãode números inteiros
Subtrairmos um número negativo ou positivo de outro número é o mesmo que somarmos com 
o oposto do minuendo:
(+5) – (+3) = (+5) + (–3) = +2
(+5) – (–3) = (+5) + (+3) = +8
Atividades
Observe que agora que estamos operando 
com números inteiros (Z), podemos considerar 
situações como 5 – 8 = –3, ou seja, a subtração 
que nem sempre é possível entre naturais, é 
sempre possível em Z.
Atenção: O sinal de 
menos simboliza o 
oposto do número. 
Veja:
– (+5) = –5
– (–3) = +3
1. A tabela abaixo apresenta o número de gols sofridos pelos times que disputaram os jogos inter-
nos de um colégio em 2016.
Jogos internos 2016
time
gols
marcados sofridos
7° ano A 15 7
7° ano B 23 12
7° ano C 17 23
7° ano D 21 22
45CAPÍTULO 2 I Números negativos
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Para analisar:
Resgatando a história
Civilização hindu: invenção do número negativo
A civilização hindu  é uma das sociedades mais antigas. Esse termo (hindu) tem origem persa e 
significa “o (povo) que vive do outro lado do rio (Indo)”.
Com a centralização comercial no Oriente Médio e em regiões estratégicas da Ásia, o território, 
hoje ocupado pela Índia, ficou distanciado dos demais povos e se manteve economicamente ativo 
pelo comércio interno das especiarias até a Idade Média.
A grande contribuição dos hindus para a Matemática foi a criação de um sistema de numeração 
posicional de base dez, cuja eficácia e simplicidade para o cálculo aritmético se estendera univer-
salmente. Habilidosos no cálculo aritmético e algébrico, os matemáticos hindus conceberam um 
novo tipo de símbolo para representar dívidas que, posteriormente, seria chamado de negativo 
pelo Ocidente.
A primeira vez em que, explicitamente, as regras que regem a aritmética com os números negati-
vos apareceram foi numa obra do matemático Brahmagupta, que data do ano 628 d.C. Brahmagupta 
não só utilizou os negativos em seus cálculos como os considerou entidades separadas e os dotou 
de uma aritmética concordante com a dos inteiros.
As propriedades aplicadas à adição com números naturais são válidas também para nú-
meros inteiros (Z). 
Veja os exemplos:
 Propriedade comutativa – a ordem das parcelas não altera a soma. 
(a + b) = (b + a)
(+8) + (-20) = -16 ou (-20) + (+8) = -16
 Propriedade associativa – podemos associar as parcelas de diferentes maneiras sem 
alterarmos a soma.
[a + (b + c)] = [(a + b) + c]
[(+5) + (-10)] + (+20) = 15 ou (+5) + [(-10) + (+20)] = 15
 Propriedade do elemento neutro – o zero é o elemento neutro da adição, por isso qual-
quer número somado a ele dará sempre o próprio número.
a + 0 = a
(-8) + 0 = -8
Atenção: Observe também que a soma de dois números quaisquer inteiros resulta sem-
pre em um número também inteiro (propriedade do fechamento).
44 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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45
Dicas para o professor
•	Compreender	 que	 a	 subtração	 de	
inteiros	é	como	a	adição	de	números	
com	sinais	diferentes.
•		 Efetuar	 a	 subtração	 de	 inteiros	 de	
maneira	correta.
•		Perceber	que	as	regras	de	sinais	da	
subtração	são	as	mesmas	da	adição.
Anotações
Refletindo sobre o texto
1. O que se pode afirmar referente às propriedades da adição com números naturais em relação 
aos números inteiros?
Podemos afirmar que a aplicação das propriedades serve aos números inteiros como também aos 
números naturais.
2. Quais são essas propriedades?
São elas: comutativa, associativa, fechamento e elemento neutro.
3. Apresente um exemplo referente à propriedade do fechamento.
Quando adicionamos dois ou mais números inteiros, o resultado sempre será um número inteiro.
(–5) + 6 = 1. –5 é um número inteiro; 6 é um número inteiro; 1 é um número inteiro.
Subtração de números inteiros
Subtrairmos um número negativo ou positivo de outro número é o mesmo que somarmos com 
o oposto do minuendo:
(+5) – (+3) = (+5) + (–3) = +2
(+5) – (–3) = (+5) + (+3) = +8
Atividades
Observe que agora que estamos operando 
com números inteiros (Z), podemos considerar 
situações como 5 – 8 = –3, ou seja, a subtração 
que nem sempre é possível entre naturais, é 
sempre possível em Z.
Atenção: O sinal de 
menos simboliza o 
oposto do número. 
Veja:
– (+5) = –5
– (–3) = +3
1. A tabela abaixo apresenta o número de gols sofridos pelos times que disputaram os jogos inter-
nos de um colégio em 2016.
Jogos internos 2016
time
gols
marcados sofridos
7° ano A 15 7
7° ano B 23 12
7° ano C 17 23
7° ano D 21 22
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Para analisar:
Resgatando a história
Civilização hindu: invenção do número negativo
A civilização hindu  é uma das sociedades mais antigas. Esse termo (hindu) tem origem persa e 
significa “o (povo) que vive do outro lado do rio (Indo)”.
Com a centralização comercial no Oriente Médio e em regiões estratégicas da Ásia, o território, 
hoje ocupado pela Índia, ficou distanciado dos demais povos e se manteve economicamente ativo 
pelo comércio interno das especiarias até a Idade Média.
A grande contribuição dos hindus para a Matemática foi a criação de um sistema de numeração 
posicional de base dez, cuja eficácia e simplicidade para o cálculo aritmético se estendera univer-
salmente. Habilidosos no cálculo aritmético e algébrico, os matemáticos hindus conceberam um 
novo tipo de símbolo para representar dívidas que, posteriormente, seria chamado de negativo 
pelo Ocidente.
A primeira vez em que, explicitamente, as regras que regem a aritmética com os números negati-
vos apareceram foi numa obra do matemático Brahmagupta, que data do ano 628 d.C. Brahmagupta 
não só utilizou os negativos em seus cálculos como os considerou entidades separadas e os dotou 
de uma aritmética concordante com a dos inteiros.
As propriedades aplicadas à adição com números naturais são válidas também para nú-
meros inteiros (Z). 
Veja os exemplos:
 Propriedade comutativa – a ordem das parcelas não altera a soma. 
(a + b) = (b + a)
(+8) + (-20) = -16 ou (-20) + (+8) = -16
 Propriedade associativa – podemos associar as parcelas de diferentes maneiras sem 
alterarmos a soma.
[a + (b + c)] = [(a + b) + c]
[(+5) + (-10)] + (+20) = 15 ou (+5) + [(-10) + (+20)] = 15
 Propriedade do elemento neutro – o zero é o elemento neutro da adição, por isso qual-
quer número somado a ele dará sempre o próprio número.
a + 0 = a
(-8) + 0 = -8
Atenção: Observe também que a soma de dois números quaisquer inteiros resulta sem-
pre em um número também inteiro (propriedade do fechamento).
44 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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46
Dicas para o professor
•		Reforce	a	diferença	entre	as	regras	
de	sinais	da	adição	e	da	multiplicação.
•		Certifique-se	de	que	os	alunos	com-
preenderam	 bem	 o	 assunto	 fazendo	
questionamentos	após	a	explicação.
•		Compreender	a	multiplicação	de	in-
teiros	com	sinais	iguais	e	com	sinais	di-
ferentes.
•		Entender	que	as	regras	de	sinais	da	
multiplicação	são	diferentes	das	regras	
de	sinais	da	adição	e	da	subtração.
•		 Observar	 que	 o	 produto	 de	 intei-
ros	com	sinais	 iguais	é	sempre	positi-
vo	e	que	o	produto	de	números	intei-
ros	com	os	sinais	diferentes	é	sempre	
negativo.
•		 Ressalte	que	o	 sinal	 da	multiplica-
ção	não	tem	que	se	apresentar	quan-
do	os	 fatores	 vêm	com	os	 sinais.	 Por	
exemplo:
(+3)	.	(+4)=	(+3)(+4)
(-2)	.	(+9)=	(-2)(+9)
Sugestão de abordagem
Pensando	 em	 depósitos,	 retiradas	
e	saldos	bancários,	a	 ideia	de	subtra-
ção	é	mais	 facilmente	compreendida.	
Recomendamos	o	exercício	do	cálcu-
lo	mental,	com	questões	do	tipo:	“Te-
nho	saldo	negativo	de	30	reais	e	dou	
um	cheque	no	valor	de	R$	20,	qual	o	
meu	saldo	final?”.
Anotações
+ -vezes
- +vezes -
Da mesma forma ocorre quando multiplicamos dois númerosnegativos: o produto ficará positi-
vo. Veja:
Um banco fez um débito de R$ 50,00 na conta de um cliente. Porém, em vez de débito, deveria 
ter ocorrido um crédito no mesmo valor. Reconhecendo o erro, o banco corrigiu da seguinte forma: 
–(–50). Isso quer dizer que ocorreu o oposto de –50, ou seja, +50.
Sinais diferentes
Quando os fatores possuem sinais diferentes, o produto fica negativo, como mostra o esquema:
Exemplo: 
Guilherme está devendo cinco parcelas de R$ 800,00 do financiamento do seu carro. Podemos 
representar matematicamente esse débito como o produto de 5 por –800 [+5 x (–800)], que é igual 
a uma dívida de R$ –4.000,00. 
Propriedades da multiplicação
Na multiplicação de inteiros, temos duas propriedades: a comutativa e a associativa.
 Propriedade comutativa
A ordem dos fatores não altera o produto.
Veja: 
12 × 7 = 84 e 7 × 12 = 84
(–2) × 5 = –10 e 5 × (–2) = –10
 Propriedade associativa 
Na multiplicação de fatores distintos, podemos associar esses fatores como acharmos conve-
niente.
Veja o exemplo:
(–30) · 2 · (–50) = 
(–60) · (–50) = 
= +3.000
Na multiplicação, o número +1 como fator não altera os outros fatores, por isso ele é considera-
do elemento neutro da multiplicação. 
(–30) · 2 · (–50) =
= (–30) · (–100) =
= +3.000 
ou
47CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 47 05/04/2018 21:42:53
3. O gráfico abaixo mostra a despesa e o lucro, 
em milhares, de uma empresa em seus três pri-
meiros meses de fundação. Observe-o e deter-
mine o saldo aproximado de cada mês.
Mês 1 – 
Mês 2 – 
Mês 3 – 
4 – 2 = 2 mil.
2 – 4 = –2 mil.
3,8 – 1,5 = 2,3 mil “aproximadamente”.
De acordo com a tabela, responda:
a. Qual é o saldo de gols de cada time?
b. Qual time obteve o maior saldo de gols? E o 
menor?
7º ano A: 15 – 7 = 8.
7º ano B: 23 – 12 = 11.
7º ano C: 17 – 23 = –6.
7º ano D: 21 – 22 = –1.
Maior: 7º ano B.
Menor: 7º ano C.
2. Uma frente fria alterou a temperatura de três 
cidades do Sul do País, de modo que estas ti-
veram uma redução de temperatura de cerca 
de 8 °C. Sabendo que a temperatura dessas ci-
dades era consecutivamente12 °C, 5 °C e 20 °C, 
determine como ficaram essas temperaturas 
após a frente fria.
a. Cidade 1 – 
b. Cidade 2 – 
c. Cidade 3 – 
12° – 8° = 4° 
5° – 8° = –3°
20° – 8° = 12°
4. Resolva, da maneira que você achar mais fá-
cil, as expressões numéricas abaixo. 
a. (–32) + (+45) – (+28) + (55) = 
b. 672 – 320 + 328 – 180 = 
+40 
+50
Exemplo: 
Suponhamos que, como recompensa por sempre ajudar os pais em casa, um jovem passou a 
receber R$ 120,00 de mesada por mês. Quanto ele terá recebido, no total, ao fim de três meses?
Baseado nas informações acima, temos o produto (+3) × (+120), ou seja, R$ +360,00.
Multiplicação de números inteiros
Sinais iguais
Quando multiplicamos dois números inteiros que possuem o mesmo sinal, o resultado será sem-
pre positivo. 
Esquema:
+ +vezes
- -vezes +
5
4
3
2
1
0
Mês 1
Lucro
Despesa
Mês 2
Mês 3
46 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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47
Dicas para o professor
•	Compreender	 as	 propriedades	 da	
multiplicação	dos	inteiros.
•	Verificar	que	a	multiplicação	de	intei-
ros	possui	a	propriedade	do	elemen-
to	oposto.
•	Utilizar	corretamente	o	algoritmo	da	
multiplicação.
•	Mostre	que	a	multiplicação	de	intei-
ros	possui	a	propriedade	distributiva.
•	Considere	 a	 propriedade	 do	 ele-
mento	oposto	como	propriedade	dis-
tributiva.
•	Observe	que	as	propriedades	só	ga-
nharão	significado	se	forem	aplicadas	
em	 situações	 de	 cálculos	 escritos	 ou	
mentais.
•	É	interessante	notar	que	as	proprie-
dades	 têm	 sua	 utilidade	 necessaria-
mente	ligada	à	prova	da	operação,	ou	
seja,	provar	que	está	correta.
•	Explique	a	multiplicação	como	a	so-
ma	de	parcelas	iguais,	para	que	fique	
mais	clara	a	regra	de	sinais.
•	É	 interessante	citar	ao	aluno	a	utili-
dade	de	algumas	das	propriedades	da	
multiplicação.
Anotações
+ -vezes
- +vezes -
Da mesma forma ocorre quando multiplicamos dois números negativos: o produto ficará positi-
vo. Veja:
Um banco fez um débito de R$ 50,00 na conta de um cliente. Porém, em vez de débito, deveria 
ter ocorrido um crédito no mesmo valor. Reconhecendo o erro, o banco corrigiu da seguinte forma: 
–(–50). Isso quer dizer que ocorreu o oposto de –50, ou seja, +50.
Sinais diferentes
Quando os fatores possuem sinais diferentes, o produto fica negativo, como mostra o esquema:
Exemplo: 
Guilherme está devendo cinco parcelas de R$ 800,00 do financiamento do seu carro. Podemos 
representar matematicamente esse débito como o produto de 5 por –800 [+5 x (–800)], que é igual 
a uma dívida de R$ –4.000,00. 
Propriedades da multiplicação
Na multiplicação de inteiros, temos duas propriedades: a comutativa e a associativa.
 Propriedade comutativa
A ordem dos fatores não altera o produto.
Veja: 
12 × 7 = 84 e 7 × 12 = 84
(–2) × 5 = –10 e 5 × (–2) = –10
 Propriedade associativa 
Na multiplicação de fatores distintos, podemos associar esses fatores como acharmos conve-
niente.
Veja o exemplo:
(–30) · 2 · (–50) = 
(–60) · (–50) = 
= +3.000
Na multiplicação, o número +1 como fator não altera os outros fatores, por isso ele é considera-
do elemento neutro da multiplicação. 
(–30) · 2 · (–50) =
= (–30) · (–100) =
= +3.000 
ou
47CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 47 05/04/2018 21:42:53
3. O gráfico abaixo mostra a despesa e o lucro, 
em milhares, de uma empresa em seus três pri-
meiros meses de fundação. Observe-o e deter-
mine o saldo aproximado de cada mês.
Mês 1 – 
Mês 2 – 
Mês 3 – 
4 – 2 = 2 mil.
2 – 4 = –2 mil.
3,8 – 1,5 = 2,3 mil “aproximadamente”.
De acordo com a tabela, responda:
a. Qual é o saldo de gols de cada time?
b. Qual time obteve o maior saldo de gols? E o 
menor?
7º ano A: 15 – 7 = 8.
7º ano B: 23 – 12 = 11.
7º ano C: 17 – 23 = –6.
7º ano D: 21 – 22 = –1.
Maior: 7º ano B.
Menor: 7º ano C.
2. Uma frente fria alterou a temperatura de três 
cidades do Sul do País, de modo que estas ti-
veram uma redução de temperatura de cerca 
de 8 °C. Sabendo que a temperatura dessas ci-
dades era consecutivamente12 °C, 5 °C e 20 °C, 
determine como ficaram essas temperaturas 
após a frente fria.
a. Cidade 1 – 
b. Cidade 2 – 
c. Cidade 3 – 
12° – 8° = 4° 
5° – 8° = –3°
20° – 8° = 12°
4. Resolva, da maneira que você achar mais fá-
cil, as expressões numéricas abaixo. 
a. (–32) + (+45) – (+28) + (55) = 
b. 672 – 320 + 328 – 180 = 
+40 
+50
Exemplo: 
Suponhamos que, como recompensa por sempre ajudar os pais em casa, um jovem passou a 
receber R$ 120,00 de mesada por mês. Quanto ele terá recebido, no total, ao fim de três meses?
Baseado nas informações acima, temos o produto (+3) × (+120), ou seja, R$ +360,00.
Multiplicação de números inteiros
Sinais iguais
Quando multiplicamos dois números inteiros que possuem o mesmo sinal, o resultado será sem-
pre positivo. 
Esquema:
+ +vezes
- -vezes +
5
4
3
2
1
0
Mês 1
Lucro
Despesa
Mês 2
Mês 3
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48
Dicas para o professor
•	Mostre	aos	alunos	que	não	há	divi-
são	com	divisor	igual	a	zero,	que	a	di-
visão	 de	 inteiros	 com	 o	mesmo	 sinal	
tem	quociente	positivo	e	a	divisão	de	
inteiros	com	sinais	diferentes	tem	quo-
ciente	negativo.
•	Lembre	aos	alunos	que	a	divisão	é	a	
operação	inversa	da	multiplicação.
•	Faça	 com	que	os	 alunos	percebam	
que	as	regras	de	sinais	da	divisão	e	da	
multiplicação	são	iguais.
•	Compreender	a	divisão	de	inteiros.
•	Observar	 que	 a	 divisão	 não	 possui	
as	propriedades	comutativa,	associati-
va	e	distributiva.
•	Reconhecer	que	as	 regras	de	sinais	
da	divisão	de	 inteiros	são	as	mesmas	
regras	da	multiplicaçãode	inteiros.
•	Utilizar	corretamente	o	algoritmo	da	
divisão.
Anotações
Leia atentamente o diálogo a seguir para entender como efetuar a divisão.
+ -por
- +por -
A situação acima pode ser representada matematicamente por −600
3
 , e o resultado será –200. 
Ou seja, Paulo pagará sua dívida em 3 parcelas de R$ 200,00.
Também podemos utilizar a ideia de produto, na qual o resultado dessa divisão é um número 
que, multiplicado por 3, resulte em –600, ou seja, –200.
–600 : 3 = –200, pois –200 x 3 = –600.
Atenção
 Nem toda divisão em Z tem resultado inteiro. Em (–5) : (+2), –5 e +2 pertencem a Z, mas o 
resultado não.
 Zero não é divisor de nenhum número. Por exemplo, 5 : 0 não existe, pois nenhum número 
multiplicado por zero dá 5.
 Zero dividido por qualquer número diferente de zero dá sempre zero. Exemplo: –6 : 0 = 0, pois 
0 · (–6) = 0.
 Jorge, não 
tenho os R$ 
600,00 que estou 
te devendo. Posso 
pagar em três 
vezes?
Claro, 
Paulo.
Atividades
1. Qual das operações abaixo representa o parcelamento de uma dívida de R$ 330,00 em três pres-
tações?
a. 330
2−
 b. 
330
3
 c. X −330
3
 
d. 
−2
330 e. 
3
330
 
m
in
ia
ria
/S
hu
tt
er
st
o
ck
.c
o
m
49CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 49 05/04/2018 21:42:54
Atividades
1. Complete a tabela abaixo corretamente.
x –8 –4 3 9
+5 –40 –20 +15 +45
+3 –24 –12 +9 +27
0 0 0 0 0
–3 +24 +12 –9 –27
–5 +40 +20 –15 –45
2. Determine qual é o sinal do produto nas se-
guintes multiplicações:
a. Entre 3 números negativos?
Negativo.
b. Entre 13 números positivos?
Positivo.
c. Entre 6 números negativos?
Positivo.
3. Resolva os produtos abaixo, atentando ao si-
nal do resultado de cada um deles.
a. (–6) × (–9) = 
b. (–5) × (+9) = 
c. (–12) × (+9) = 
d. (+7) × (+9) = 
( ) ( )− × − =+6 9 54 
( )− × +( ) = −5 9 45 
( )− × +( ) = −12 9 108 
+( ) × +( ) = +7 9 63 
+ +por
- -por +
Divisão de números inteiros
Sinais iguais
Se o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal, o resultado será positivo:
Para efetuarmos a divisão, podemos recorrer ao produto. Veja: 
 −
−
=+ + ⋅ = −
200
4
50 50 4 200, pois
Sinais diferentes
Na divisão com sinais diferentes, temos o mesmo esquema da multiplicação:
48 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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49
Leia atentamente o diálogo a seguir para entender como efetuar a divisão.
+ -por
- +por -
A situação acima pode ser representada matematicamente por −600
3
 , e o resultado será –200. 
Ou seja, Paulo pagará sua dívida em 3 parcelas de R$ 200,00.
Também podemos utilizar a ideia de produto, na qual o resultado dessa divisão é um número 
que, multiplicado por 3, resulte em –600, ou seja, –200.
–600 : 3 = –200, pois –200 x 3 = –600.
Atenção
 Nem toda divisão em Z tem resultado inteiro. Em (–5) : (+2), –5 e +2 pertencem a Z, mas o 
resultado não.
 Zero não é divisor de nenhum número. Por exemplo, 5 : 0 não existe, pois nenhum número 
multiplicado por zero dá 5.
 Zero dividido por qualquer número diferente de zero dá sempre zero. Exemplo: –6 : 0 = 0, pois 
0 · (–6) = 0.
 Jorge, não 
tenho os R$ 
600,00 que estou 
te devendo. Posso 
pagar em três 
vezes?
Claro, 
Paulo.
Atividades
1. Qual das operações abaixo representa o parcelamento de uma dívida de R$ 330,00 em três pres-
tações?
a. 330
2−
 b. 
330
3
 c. X −330
3
 
d. 
−2
330 e. 
3
330
 
m
in
ia
ria
/S
hu
tt
er
st
o
ck
.c
o
m
49CAPÍTULO 2 I Números negativos
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Atividades
1. Complete a tabela abaixo corretamente.
x –8 –4 3 9
+5 –40 –20 +15 +45
+3 –24 –12 +9 +27
0 0 0 0 0
–3 +24 +12 –9 –27
–5 +40 +20 –15 –45
2. Determine qual é o sinal do produto nas se-
guintes multiplicações:
a. Entre 3 números negativos?
Negativo.
b. Entre 13 números positivos?
Positivo.
c. Entre 6 números negativos?
Positivo.
3. Resolva os produtos abaixo, atentando ao si-
nal do resultado de cada um deles.
a. (–6) × (–9) = 
b. (–5) × (+9) = 
c. (–12) × (+9) = 
d. (+7) × (+9) = 
( ) ( )− × − =+6 9 54 
( )− × +( ) = −5 9 45 
( )− × +( ) = −12 9 108 
+( ) × +( ) = +7 9 63 
+ +por
- -por +
Divisão de números inteiros
Sinais iguais
Se o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal, o resultado será positivo:
Para efetuarmos a divisão, podemos recorrer ao produto. Veja: 
 −
−
=+ + ⋅ = −
200
4
50 50 4 200, pois
Sinais diferentes
Na divisão com sinais diferentes, temos o mesmo esquema da multiplicação:
48 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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50
8. Assinale a(s) informação(ões) verdadeira(s).
a. Todo número racional é inteiro.
b. X O conjunto dos números inteiros é um sub-
conjunto do conjunto dos números racionais.
c. X Todo número natural é também um nú-
mero racional.
d. O zero não é um número racional.
e. X O número de pessoas em um evento pode 
ser representado por um número racional.
b. x e y são números inteiros e opostos?
A resposta é –1.
c. x e y são números inteiros iguais, diferentes 
de zero?
A resposta é 1.
7. Observe o anúncio abaixo.
Nosso pacote de férias inclui, além da visita 
ao zoológico, passagem aérea, hotel, tour em 
Buenos Aires e show de tango.
Faça sua reserva!
Apenas R$ 3.816,00, em até 6 prestações 
fixas.
Conheça o zoológico de Luján
Responda às seguintes questões relativas ao 
texto e à divisão de inteiros:
a. Qual o valor de cada prestação, para uma 
pessoa que dividiu o passeio em 6 prestações? 
Seria correto indicar o valor de cada prestação 
com um número inteiro negativo? 
Cada parcela custará R$ 636,00. Não.
b. Quando estamos efetuando uma divisão com 
números inteiros, é possível que o quociente 
seja maior que o dividendo ou que o divisor? 
Não.
c. Se todos os termos de uma divisão forem ne-
gativos, qual será o sinal do quociente? 
Positivo.
d. Se apenas um dos termos da divisão for ne-
gativo, como fica o sinal do quociente? 
Negativo.
Aprimorando conceitos
I. Qual é o número que multiplicado por –5 resulta em –20?
II. Qual é o número que multiplicado por –5 resulta em +20?
III. Qual é o sinal de um produto entre dois números inteiros que possuem sinais iguais?
IV. Qual é o sinal de uma divisão entre dois números inteiros que possuem sinais iguais?
V. Qual é o sinal de uma adição entre dois números inteiros que possuem sinais iguais?
O número é 4.
O número é –4.
O sinal é positivo +.
O sinal é positivo +.
O mesmo sinal dos sinais existentes na operação. Exemplo: (+) + (+) = + e (–) + (–) = –. 
51CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 51 05/04/2018 21:42:54
3. Depois de perder o emprego, Tibério fez um 
acordo com o banco para dividir o seu saldo de 
R$ –32.000,00 em 5 parcelas iguais e sem juros. 
Represente matematicamente essa divisão e o 
seu resultado.
−
= −
32 000
5
6 400
.
.
2. Em uma expressão numérica, as operações seguem esta sequência:
I. Potenciações e radiciações em primeiro lugar.
II. Multiplicações e divisões em segundo lugar, seguindo a preferência de quem aparecer primeiro, 
da esquerda para a direita.
III. Adição e subtração por último.
Se aparecerem parênteses, colchetes e chaves, resolvemos primeiro as operações contidas nos pa-
rênteses, depois as contidas nos colchetes e, por último, as contidas nas chaves. De posse dessas 
informações, verifique se as expressões estão corretas.
a. 170 – (–3) · 10 – 50 : ( –2)
 = 170 + 30 + 25 =
 = 225
b. (150 – 3 · 10) – {[800 – 6 · 50) – (250 – 3 · 50)] : (18 – 2 · 8)} =
 = 120 – {[500 – 100] : 2} =
 = 120 – {400 : 2} =
 = 120 – 200 = –80
c. 200 – (98 + 23) : ( 49. 5 – 11 . 3) + 5 + 25 · 3 =
 = 200 – (98 + 8) : (7 · 5 – 33) + 5 + 32 · 3 =
 = 200 – 116 : 2 + 5 + 96 =
 = 200 – 58 + 101 =
 = 142 + 101 = 
 = 245
Correta.
Correta.Errada. A solução correta é 243.
4. Entre as quatro expressões abaixo, deter-
mine qual possui o resultado de menor valor e 
qual possui o resultado de maior valor.
a. 56 : (–8) + 4 . (–7) = 
b. (–64) : (–8) –18 = 
c. 0 : (–3) +7 . 0 = 
d. {(–49): [(+7) –8] +12 : 3} – 4 = 
Menor valor.
Maior valor.
5. Quais das seguintes sentenças são verdadeiras?
a. F x · y = 0 para qualquer valor inteiro de x e 
de y.
b. V x · 1 = x para qualquer valor de x diferente 
de zero.
c. V O produto entre dois inteiros opostos é 
sempre negativo.
d. F 
x
x
+
=
y
y para x diferente de zero.
e. V 
x
x
⋅y
y= para x diferente de zero.
6. Dividindo x por y, o que acontece quando:
a. x é igual a zero e y é um número inteiro dife-
rente de zero?
O resultado é zero.
50 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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51
Leitura complementar
Os	números	inteiros	têm	como	sím-
bolo	do	seu	conjunto	a	letra	Z maiúscu-
la,	 sendo	 formado	pelos	 números	 ne-
gativos,	números	positivos	e	pelo	zero.
No	 cotidiano,	 com	 frequência	 en-
contramos	os	números	inteiros,	em	notí-
cias	sobre	a	temperatura,	no	saldo	ban-
cário	ou	no	nível	da	água	na	represa.
Como	 todos	 os	 números	 naturais	
também	 são	 números	 inteiros,	 dize-
mos	que	N	é	um	subconjunto	de	Z	ou	
que	N	está	contido	em	Z.
Anotações
Veja	 os	 números	 inteiros	 que,	
quando	 lidos	 de	 frente	 para	 trás	 e	
de	trás	para	frente,	continuam	com	a	
mesma	ordem	de	seus	algarismos,	de-
nominados	de	palíndromos.	Também	
existem	 palavras	 e	 frases	 em	 portu-
guês	que	são	palíndromos.	Exemplos	
no	quadro	a	seguir.
Matemática	 Português	
494 Roma	é	amor
876678 Osso	
47699674 O	lobo	ama	o	bolo
Leitura complementar
8. Assinale a(s) informação(ões) verdadeira(s).
a. Todo número racional é inteiro.
b. X O conjunto dos números inteiros é um sub-
conjunto do conjunto dos números racionais.
c. X Todo número natural é também um nú-
mero racional.
d. O zero não é um número racional.
e. X O número de pessoas em um evento pode 
ser representado por um número racional.
b. x e y são números inteiros e opostos?
A resposta é –1.
c. x e y são números inteiros iguais, diferentes 
de zero?
A resposta é 1.
7. Observe o anúncio abaixo.
Nosso pacote de férias inclui, além da visita 
ao zoológico, passagem aérea, hotel, tour em 
Buenos Aires e show de tango.
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Apenas R$ 3.816,00, em até 6 prestações 
fixas.
Conheça o zoológico de Luján
Responda às seguintes questões relativas ao 
texto e à divisão de inteiros:
a. Qual o valor de cada prestação, para uma 
pessoa que dividiu o passeio em 6 prestações? 
Seria correto indicar o valor de cada prestação 
com um número inteiro negativo? 
Cada parcela custará R$ 636,00. Não.
b. Quando estamos efetuando uma divisão com 
números inteiros, é possível que o quociente 
seja maior que o dividendo ou que o divisor? 
Não.
c. Se todos os termos de uma divisão forem ne-
gativos, qual será o sinal do quociente? 
Positivo.
d. Se apenas um dos termos da divisão for ne-
gativo, como fica o sinal do quociente? 
Negativo.
Aprimorando conceitos
I. Qual é o número que multiplicado por –5 resulta em –20?
II. Qual é o número que multiplicado por –5 resulta em +20?
III. Qual é o sinal de um produto entre dois números inteiros que possuem sinais iguais?
IV. Qual é o sinal de uma divisão entre dois números inteiros que possuem sinais iguais?
V. Qual é o sinal de uma adição entre dois números inteiros que possuem sinais iguais?
O número é 4.
O número é –4.
O sinal é positivo +.
O sinal é positivo +.
O mesmo sinal dos sinais existentes na operação. Exemplo: (+) + (+) = + e (–) + (–) = –. 
51CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 51 05/04/2018 21:42:54
3. Depois de perder o emprego, Tibério fez um 
acordo com o banco para dividir o seu saldo de 
R$ –32.000,00 em 5 parcelas iguais e sem juros. 
Represente matematicamente essa divisão e o 
seu resultado.
−
= −
32 000
5
6 400
.
.
2. Em uma expressão numérica, as operações seguem esta sequência:
I. Potenciações e radiciações em primeiro lugar.
II. Multiplicações e divisões em segundo lugar, seguindo a preferência de quem aparecer primeiro, 
da esquerda para a direita.
III. Adição e subtração por último.
Se aparecerem parênteses, colchetes e chaves, resolvemos primeiro as operações contidas nos pa-
rênteses, depois as contidas nos colchetes e, por último, as contidas nas chaves. De posse dessas 
informações, verifique se as expressões estão corretas.
a. 170 – (–3) · 10 – 50 : ( –2)
 = 170 + 30 + 25 =
 = 225
b. (150 – 3 · 10) – {[800 – 6 · 50) – (250 – 3 · 50)] : (18 – 2 · 8)} =
 = 120 – {[500 – 100] : 2} =
 = 120 – {400 : 2} =
 = 120 – 200 = –80
c. 200 – (98 + 23) : ( 49. 5 – 11 . 3) + 5 + 25 · 3 =
 = 200 – (98 + 8) : (7 · 5 – 33) + 5 + 32 · 3 =
 = 200 – 116 : 2 + 5 + 96 =
 = 200 – 58 + 101 =
 = 142 + 101 = 
 = 245
Correta.
Correta.
Errada. A solução correta é 243.
4. Entre as quatro expressões abaixo, deter-
mine qual possui o resultado de menor valor e 
qual possui o resultado de maior valor.
a. 56 : (–8) + 4 . (–7) = 
b. (–64) : (–8) –18 = 
c. 0 : (–3) +7 . 0 = 
d. {(–49): [(+7) –8] +12 : 3} – 4 = 
Menor valor.
Maior valor.
5. Quais das seguintes sentenças são verdadeiras?
a. F x · y = 0 para qualquer valor inteiro de x e 
de y.
b. V x · 1 = x para qualquer valor de x diferente 
de zero.
c. V O produto entre dois inteiros opostos é 
sempre negativo.
d. F 
x
x
+
=
y
y para x diferente de zero.
e. V 
x
x
⋅y
y= para x diferente de zero.
6. Dividindo x por y, o que acontece quando:
a. x é igual a zero e y é um número inteiro dife-
rente de zero?
O resultado é zero.
50 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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52
7. Observe a marcação nos termômetros A e B e indique qual temperatura cada um deles irá marcar 
nas situações a seguir:
–20 0–15 5–10 10–5 15 20 –20 0–15 5–10 10–5 15 20
A B
a. Se a temperatura diminuir 5 °C.
b. Se a temperatura aumentar 12 °C.
c. Se a temperatura diminuir 3 °C.
d. Se a temperatura aumentar 5 °C.
termômetro 1 termômetro 2
a. − − = −5 5 10 10 5 5− = 
b. − + = +5 12 7 10 12 22+ = +
c. − − = −5 3 8 10 3 7− =
d. − + =5 5 0 10 5 15+ = +
Com base na figura e mantendo-se a variação de temperatura entre as cidades, o ponto correspon-
dente a 0 °C estará localizado:
a. sobre o ponto M. 
b. entre os pontos L e M.
c. X entre os pontos I e J. 
d. sobre o ponto J. 
8. A figura a seguir é uma representação da localização das principais cidades ao longo de uma 
estrada, indicadas por letras, e das temperaturas registradas em °C, indicadas por números.
– 9
E J MC H KD I LB GA
– 7
F
10. Em uma loja de eletrodomésticos, Jai-
ro comprou um computador, no valor de R$ 
2.200,00, uma TV, por R$ 800,00, e três cadeiras, 
que custam R$ 120,00 cada. Os objetos foram 
pagos em 5 parcelas iguais. O valor de cada 
parcela, em reais, foi de:
a. 458. b. X 672. 
c. 600. d. 1.244. 
e. 1.300.
9. (SEE) Dentro de uma câmara frigorífica, a 
temperatura é de –21 °C. Fora dela, a tempera-
tura é de 28 °C. A diferença entre essas tempe-
raturas é de: 
a. X 49 °C.
b. 22 °C.
c. 8 °C.
d. 7 °C.
e. 24 °C.
53CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 53 05/04/2018 21:42:56
Praticando mais
1. Meu saldo bancário é de R$ –700,00 e ama-
nhã tenho que pagar uma conta de energia de 
R$ 200,00 que está vencendo. Quanto ficará o 
meu saldo depois do pagamento?
R$ –900,00.
2. Em um campeonato pernambucano de fute-
bol, o Sport Clube do Recife marcou 37 gols e 
sofreu 15 gols, já o Náutico marcou 23 gols e 
sofreu 31. Represente o saldo final de gols do 
Sport e do Náutico nesse campeonato.
a. Sport Recife – 
b. Náutico 
22
– 8
3. Quantos metrosseparam o pássaro circulado 
do peixe na figura abaixo?
18 metros.
– 3 m
15 m
0 m
Nível 
do mar
4. Responda às questões abaixo e indique a 
operação feita.
a. Um elevador partiu do 2º andar e subiu 12 
andares. Em que andar ele parou?
14º. Operação de Adição.
b. Devo R$ 150,00 para um amigo. Ganhei R$ 120,00 
de mesada. Abatendo o valor da dívida, ainda 
fico devendo? Quanto?
Sim. R$ 30,00. Operação de subtração.
c. Stefanny depositou R$ 300,00 em sua conta e 
seu saldo passou a ser de + R$ 72,00. Qual era o 
saldo de Stefanny antes do depósito?
–R$ 228,00. Operação de subtração.
5. Analise as sentenças abaixo e assinale a que 
não possui solução verdadeira.
a. (–2)3 = –8
b. (–1)100 = 1
c. X (–6)2 = –36 
d. (–2)10 = 1.024
6. Escreva os números inteiros:
a. compreendidos entre 2 e 8.
3; 4; 5; 6 e 7.
b. compreendidos entre –2 e 5.
–1; 0; +1; +2; +3; +4.
c. compreendidos entre –1 e 2.
0; +1.
d. compreendidos entre –6 e –2.
–5; –4; –3.
e. compreendidos entre –5 e 0.
–4; –3; –2; –1.
W
ill
ya
m
 B
ra
d
b
er
ry
/S
hu
tt
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o
ck
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53
Dicas para o professor
Ao	trabalhar	a	questão	9,	destaque	
que	 dentro	 de	 ambientes	 fechados,	
como	na	câmara	 frigorífica,	é	comum	
encontrarmos	um	higrômetro,	analógi-
co	ou	digital.	Esses	aparelhos	são	ex-
celentes,	 sobretudo	porque,	 além	da	
temperatura,	 aferem	 a	 umidade	 rela-
tiva	 do	 ar,	mapeando	 o	 ambiente	 na	
intenção	 de	 informar	 e	 propiciar	 se-
gurança	 e	 saúde	 aos	 que	 trabalham	
nesses	locais.
Anotações
7. Observe a marcação nos termômetros A e B e indique qual temperatura cada um deles irá marcar 
nas situações a seguir:
–20 0–15 5–10 10–5 15 20 –20 0–15 5–10 10–5 15 20
A B
a. Se a temperatura diminuir 5 °C.
b. Se a temperatura aumentar 12 °C.
c. Se a temperatura diminuir 3 °C.
d. Se a temperatura aumentar 5 °C.
termômetro 1 termômetro 2
a. − − = −5 5 10 10 5 5− = 
b. − + = +5 12 7 10 12 22+ = +
c. − − = −5 3 8 10 3 7− =
d. − + =5 5 0 10 5 15+ = +
Com base na figura e mantendo-se a variação de temperatura entre as cidades, o ponto correspon-
dente a 0 °C estará localizado:
a. sobre o ponto M. 
b. entre os pontos L e M.
c. X entre os pontos I e J. 
d. sobre o ponto J. 
8. A figura a seguir é uma representação da localização das principais cidades ao longo de uma 
estrada, indicadas por letras, e das temperaturas registradas em °C, indicadas por números.
– 9
E J MC H KD I LB GA
– 7
F
10. Em uma loja de eletrodomésticos, Jai-
ro comprou um computador, no valor de R$ 
2.200,00, uma TV, por R$ 800,00, e três cadeiras, 
que custam R$ 120,00 cada. Os objetos foram 
pagos em 5 parcelas iguais. O valor de cada 
parcela, em reais, foi de:
a. 458. b. X 672. 
c. 600. d. 1.244. 
e. 1.300.
9. (SEE) Dentro de uma câmara frigorífica, a 
temperatura é de –21 °C. Fora dela, a tempera-
tura é de 28 °C. A diferença entre essas tempe-
raturas é de: 
a. X 49 °C.
b. 22 °C.
c. 8 °C.
d. 7 °C.
e. 24 °C.
53CAPÍTULO 2 I Números negativos
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Praticando mais
1. Meu saldo bancário é de R$ –700,00 e ama-
nhã tenho que pagar uma conta de energia de 
R$ 200,00 que está vencendo. Quanto ficará o 
meu saldo depois do pagamento?
R$ –900,00.
2. Em um campeonato pernambucano de fute-
bol, o Sport Clube do Recife marcou 37 gols e 
sofreu 15 gols, já o Náutico marcou 23 gols e 
sofreu 31. Represente o saldo final de gols do 
Sport e do Náutico nesse campeonato.
a. Sport Recife – 
b. Náutico 
22
– 8
3. Quantos metros separam o pássaro circulado 
do peixe na figura abaixo?
18 metros.
– 3 m
15 m
0 m
Nível 
do mar
4. Responda às questões abaixo e indique a 
operação feita.
a. Um elevador partiu do 2º andar e subiu 12 
andares. Em que andar ele parou?
14º. Operação de Adição.
b. Devo R$ 150,00 para um amigo. Ganhei R$ 120,00 
de mesada. Abatendo o valor da dívida, ainda 
fico devendo? Quanto?
Sim. R$ 30,00. Operação de subtração.
c. Stefanny depositou R$ 300,00 em sua conta e 
seu saldo passou a ser de + R$ 72,00. Qual era o 
saldo de Stefanny antes do depósito?
–R$ 228,00. Operação de subtração.
5. Analise as sentenças abaixo e assinale a que 
não possui solução verdadeira.
a. (–2)3 = –8
b. (–1)100 = 1
c. X (–6)2 = –36 
d. (–2)10 = 1.024
6. Escreva os números inteiros:
a. compreendidos entre 2 e 8.
3; 4; 5; 6 e 7.
b. compreendidos entre –2 e 5.
–1; 0; +1; +2; +3; +4.
c. compreendidos entre –1 e 2.
0; +1.
d. compreendidos entre –6 e –2.
–5; –4; –3.
e. compreendidos entre –5 e 0.
–4; –3; –2; –1.
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54
15. O saldo de gols (SG) de uma equipe é a 
diferença entre gols marcados (GM) e gols so-
fridos (GS), sabendo disso observe a tabela e 
responda:
a. Quais dessas equipes terão como saldo ne-
gativo?
Bola cheia e Pernas de pau.
b. Qual das equipes apresenta saldo zero?
Só bolado.
16. Um grande jogo da Internet marca suas pon-
tuações obtidas por cada jogador, seja ela positiva 
ou negativa. Usando a noção adquirida de núme-
ros inteiros, registre o saldo de alguns jogadores 
em cada situação pedida:
a. ganhou 2.000 pontos e perdeu 50 pontos.
+1.950.
b. ganhou 1.800 pontos e perdeu 2.500 pontos.
–700.
c. perdeu 9.000 pontos e ganhou 9.100 pontos.
+100.
17. Imaginando que a reta numérica que conhe-
cemos seja uma avenida principal de um certo 
município. Nela o ponto O representa a praça 
principal e cada valor representa um quarteirão de 
distância. Represente essa reta numérica quando:
18. Responda as questões a seguir usando os nú-
meros inteiros positivos e negativos:
a. Em um termômetro graduado em graus, quan-
tas graduações há desde 8 graus abaixo de zero 
até 3 graus acima de zero?
11 graduações.
b. Em linha reta, qual a distância desde o km 
130 a oeste até o quilometro 110 a leste de uma 
certa cidade?
240 km.
c. Quantos quilômetros existe em uma linha 
reta, de –45km até +55 km?
100 km.
19. Classifique cada sentença com verdadeira 
(V) ou falsa (F).
a. F O módulo de um número inteiro negativo 
é um número inteiro negativo.
b. V O módulo de um número natural sempre 
é um número inteiro positivo.
c. V O oposto do módulo de um número intei-
ro negativo é um número inteiro negativo.
a. Qual time teve melhor desempenho nesse 
campeonato?
Time B.
20. Dois times de futebol estão empatados na 
classificação de um campeonato estadual. O de-
sempate se dá pelo maior saldo de gols. O time A 
teve um saldo de 10 gols a favor, enquanto o time 
B teve um saldo de 13 gols a favor. Nessas condi-
ções responda as seguintes perguntas:
Barrigudos +5, Bola cheia –3, Pernas de pau –6, 
só bolado 0.
c. Usando números inteiros positivos ou negati-
vos indique o saldo de cada equipe.
Equipe GM GS
Barrigudos 25 20
Bola cheia 15 18
Pernas de pau 20 26
Só bolado 21 21
•	A	posição	de	uma	igreja	(ponto	I)	em	relação	a	
praça seja representada por um número inteiro 
positivo +6.
b. Qual a comparação entre os números inteiros 
representados nesses saldos dos dois times?
+13 > +10.
–7 –3 +1–5 –1 +3 +5–6 –2 +2–4 0 +4 +6
E I
•	A	posição	de	uma	escola	(ponto	E)	em	relação	
a praça é representada pelo número inteiro –7.
55CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 55 05/04/2018 21:42:56
14. Humberto faz o controle mensal de seus ga-
nhos e gastos durante todos os meses do ano. 
Represente com números inteiros o saldo esti-
mado por ele após cada situação, sabendo que 
hoje na sua conta bancária ele possui um valor de 
R$ 2.000,00.
a. Se ele hoje depositar um valor de 500,00 do 
seu salário.
+2.500.
b. Se, depois retirar 1.000,00reais para pagar 
contas de luz, água e parcela do carro?
+1.500.
11. Usando números inteiros positivos ou nega-
tivos, indique simbolicamente:
a. um saldo de 15 gols a favor.
+15
b. uma profundidade de 50 metros.
–50
c. um lucro de R$ 950.000,00.
+950.000
d. um crédito de R$ 6.000,00.
+6.000
e. uma temperatura de 25 °C abaixo de zero.
–25
f. 250 metros acima do nível do mar.
+250
g. um saldo de 15 gols contra.
–15
h. um débito de R$ 450,00.
–450
i. o segundo andar do subsolo de um prédio.
–2
12. Usando números inteiros positivos ou ne-
gativos e considerando o térreo como origem, 
indique o andar onde o elevador se encontra 
quando:
a. sobe 6 andares
+6
b. desce 8 andares.
–8
c. sobe 9 andares e desce 4 andares.
+5
d. desce 7 andares e sobe 5 andares.
–2
e. sobe 4 andares e sobe 3 andares e desce 7 
andares.
0 (térreo)
13. Para se chegar à final de um campeonato 
deve ter uma pontuação de 2.000 pontos positi-
vos. Sabendo que tem duas etapas e na primeira 
etapa do campeonato o atleta obteve um saldo 
negativo de 540 pontos, responda:
a. qual a quantidade de pontos se ele fizer na 
segunda etapa 540 pontos? 
0
b. quantos pontos no mínimo ele terá que fazer 
para chegar à final?
2.540
c. Se, por fim retirar 2.000,00 para comprar um 
notebook.
–500.
d. Ele terá dinheiro para poder comprar o no-
tebook?
Não.
54 CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 54 05/04/2018 21:42:56
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15. O saldo de gols (SG) de uma equipe é a 
diferença entre gols marcados (GM) e gols so-
fridos (GS), sabendo disso observe a tabela e 
responda:
a. Quais dessas equipes terão como saldo ne-
gativo?
Bola cheia e Pernas de pau.
b. Qual das equipes apresenta saldo zero?
Só bolado.
16. Um grande jogo da Internet marca suas pon-
tuações obtidas por cada jogador, seja ela positiva 
ou negativa. Usando a noção adquirida de núme-
ros inteiros, registre o saldo de alguns jogadores 
em cada situação pedida:
a. ganhou 2.000 pontos e perdeu 50 pontos.
+1.950.
b. ganhou 1.800 pontos e perdeu 2.500 pontos.
–700.
c. perdeu 9.000 pontos e ganhou 9.100 pontos.
+100.
17. Imaginando que a reta numérica que conhe-
cemos seja uma avenida principal de um certo 
município. Nela o ponto O representa a praça 
principal e cada valor representa um quarteirão de 
distância. Represente essa reta numérica quando:
18. Responda as questões a seguir usando os nú-
meros inteiros positivos e negativos:
a. Em um termômetro graduado em graus, quan-
tas graduações há desde 8 graus abaixo de zero 
até 3 graus acima de zero?
11 graduações.
b. Em linha reta, qual a distância desde o km 
130 a oeste até o quilometro 110 a leste de uma 
certa cidade?
240 km.
c. Quantos quilômetros existe em uma linha 
reta, de –45km até +55 km?
100 km.
19. Classifique cada sentença com verdadeira 
(V) ou falsa (F).
a. F O módulo de um número inteiro negativo 
é um número inteiro negativo.
b. V O módulo de um número natural sempre 
é um número inteiro positivo.
c. V O oposto do módulo de um número intei-
ro negativo é um número inteiro negativo.
a. Qual time teve melhor desempenho nesse 
campeonato?
Time B.
20. Dois times de futebol estão empatados na 
classificação de um campeonato estadual. O de-
sempate se dá pelo maior saldo de gols. O time A 
teve um saldo de 10 gols a favor, enquanto o time 
B teve um saldo de 13 gols a favor. Nessas condi-
ções responda as seguintes perguntas:
Barrigudos +5, Bola cheia –3, Pernas de pau –6, 
só bolado 0.
c. Usando números inteiros positivos ou negati-
vos indique o saldo de cada equipe.
Equipe GM GS
Barrigudos 25 20
Bola cheia 15 18
Pernas de pau 20 26
Só bolado 21 21
•	A	posição	de	uma	igreja	(ponto	I)	em	relação	a	
praça seja representada por um número inteiro 
positivo +6.
b. Qual a comparação entre os números inteiros 
representados nesses saldos dos dois times?
+13 > +10.
–7 –3 +1–5 –1 +3 +5–6 –2 +2–4 0 +4 +6
E I
•	A	posição	de	uma	escola	(ponto	E)	em	relação	
a praça é representada pelo número inteiro –7.
55CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 55 05/04/2018 21:42:56
14. Humberto faz o controle mensal de seus ga-
nhos e gastos durante todos os meses do ano. 
Represente com números inteiros o saldo esti-
mado por ele após cada situação, sabendo que 
hoje na sua conta bancária ele possui um valor de 
R$ 2.000,00.
a. Se ele hoje depositar um valor de 500,00 do 
seu salário.
+2.500.
b. Se, depois retirar 1.000,00 reais para pagar 
contas de luz, água e parcela do carro?
+1.500.
11. Usando números inteiros positivos ou nega-
tivos, indique simbolicamente:
a. um saldo de 15 gols a favor.
+15
b. uma profundidade de 50 metros.
–50
c. um lucro de R$ 950.000,00.
+950.000
d. um crédito de R$ 6.000,00.
+6.000
e. uma temperatura de 25 °C abaixo de zero.
–25
f. 250 metros acima do nível do mar.
+250
g. um saldo de 15 gols contra.
–15
h. um débito de R$ 450,00.
–450
i. o segundo andar do subsolo de um prédio.
–2
12. Usando números inteiros positivos ou ne-
gativos e considerando o térreo como origem, 
indique o andar onde o elevador se encontra 
quando:
a. sobe 6 andares
+6
b. desce 8 andares.
–8
c. sobe 9 andares e desce 4 andares.
+5
d. desce 7 andares e sobe 5 andares.
–2
e. sobe 4 andares e sobe 3 andares e desce 7 
andares.
0 (térreo)
13. Para se chegar à final de um campeonato 
deve ter uma pontuação de 2.000 pontos positi-
vos. Sabendo que tem duas etapas e na primeira 
etapa do campeonato o atleta obteve um saldo 
negativo de 540 pontos, responda:
a. qual a quantidade de pontos se ele fizer na 
segunda etapa 540 pontos? 
0
b. quantos pontos no mínimo ele terá que fazer 
para chegar à final?
2.540
c. Se, por fim retirar 2.000,00 para comprar um 
notebook.
–500.
d. Ele terá dinheiro para poder comprar o no-
tebook?
Não.
54 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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56
32. Complete com positivo, negativo ou zero, tor-
nando cada sentença verdadeira.
27. Mostre que [(+200) : (10)] ≠ (+200) : [(–10) : (–5)]. 
(+4 ≠ +100)
28. Calcule os valores das seguintes potências 
de números inteiros dados.
a. (+8)2 
b. (+4)4 
c. –42 
d. (–8)2 
e. (–6)3 
+64
+256
–16
+64
–216
29. Determine o valor numérico das seguintes 
expressões.
a. (–5)3 + 34 = 
b. (–3)3 – (–3)2 – (–3) = 
c. 2 . (–5)2 – (–7)2 = 
d. 50 + 8 : (–2)3 – 6 . (–1)5 = 
e. (–4)2 – 52 = 
–44
–33
+1
+6
–9
30. Calcule:
a. O dobro da quinta parte da soma de –5 com 
o módulo de –2.
–486.
b. O cubo da diferença dos quadrados de 3 e 
–2, somado à diferença entre os cubos de 1 e 
–4, menos a raiz quadrada do módulo de –9.
187.
31. Igor comprou uma Smart TV que custa 
R$ 1.030,00 à vista e fez um financiamento para 
a. O quadrado de um número inteiro negativo é 
sempre um número inteiro...
 Positivo.
c. A quarta potência de um número natural é 
um número...
Positivo.
b. O cubo de um número inteiro negativo é um 
número...
 Negativo.
e. A nona potência do oposto do módulo de 
um número inteiro negativo é um número...
Negativo.
d. A quinta potência de zero é...
Zero.
33. Indique, se existir, um número inteiro que 
represente a raiz quadrada dos números abaixo 
e calcule a raiz. Observação: a raiz quadrada de 
um número x, ( x ) é um número que, quando 
multiplicado por si próprio, se iguala a x.
a. 81 
b. –36 
c. –121 
Existe, 9.
Não existe.
Não existe.
c. (–4) . (–4) . (+2) . (–10) = 
d. (–3) . (–3) . (–3) = 
e. (–2) . (–2) . (25) = 
f. [(+8) . (–7) + (–6) . (–11)] . (+5) = 
–320 
–27
+100 
+50 R$ 150,00. 
pagá-la em 8 prestações iguais. A financeira co-
bra ao todo um aumento de R$ 170,00 no preço 
à vista. Calcule o valor de cada prestação, mon-
tando uma expressão numérica com números 
inteiros positivos. 
34. A temperaturaem Buenos Aires, na Argenti-
na, num certo dia de inverno, era de –3 °C pela 
manhã. À tarde, essa temperatura subiu 12 °C. 
Qual a temperatura em Buenos Aires, à tarde, 
nesse dia? 
9 °C. 
57CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 57 05/04/2018 21:42:56
21. Calcule as seguintes adições de números 
inteiros.
a. (+10) + (–6) = 
b. (–11) + (+20) = 
c. (–8) + (–6) = 
d. (–72) + (–38) = 
e. (–65) + (+100) = 
f. (+200) + (–251) = 
g. (–40) + (+40) = 
h. (+111) + (–96) = 
i. (+72) + (+330) = 
j. (–9) + (+11) + (+6) = 
k. (+3) + (–7) + (–2) + (+10) = 
l. (–3) + (+6) + (+2) + (–11) + (+4) = 
m. (+6) + (+4) + (–9) + (–1) + (–2) = 
+4
+9
–14
–110
+35
–51
0
+15
+402
+8
+4
–2
+8
22. Lembrando do conceito de diferença de um 
número inteiro, faça as seguintes diferenças:
a. +8 e +12 = 
b. +31 e –7 = 
c. –26 e –40 = 
d. –37 e +28 = 
e. +90 e –74 = 
f. –60 e –60 = 
g. –81 e +81 = 
h. –209 e +111 = 
–4
+38
+14
–65
+164
0
–162
–320
23. Praticando um pouco mais sobre as opera-
ções de:adição e subtração de números inteiros 
resolva as seguintes alternativas.
a. 52 + (–47 + 60 – 58) = +7
24. Determine as somas algébricas, eliminando 
os parênteses, colchetes e chaves das seguintes 
alternativas dadas.
a. (–4) + [23 – (43 – 32) + (–12 + 7)] + (–5) =
–2.
b. [–11 + (–23 –10) –8] – {25 – [–17 + (23 – 7) – 
( –12)] – (17 + 13)} =
–36.
c. 6 – {2+ (–14) – [–8 – (–36)– (–20) +7] – (–24–18+4)} = 
35.
a. (–43) . (–51) =
Positivo.
b. (–18) . 23 = 
Negativo.
25. Usando da regra de multiplicação de núme-
ro inteiros, faça as multiplicações necessárias e 
diga se o resultado é um número inteiro positivo 
ou negativo.
c. 38 . 24 = 
Positivo.
d. (+54) . (–13) = 
Negativo.
26. Determine o valor dos seguintes produtos 
de números inteiros.
a. (–3) . (–2) . (+8) = 
b. (+9) . (–2) . ( +3) = 
+48
–54
b. 120 – (47 + 158 – 31) = 
c. 53 + (–20 + 8) – (–40 + 51) = 
d. –91 – (43 –55 + 76) = 
e. 108 – (90 + 60) – (–110 + 20) = 
f. 95 – (28 – 17 – 33) + (–110 + 6) = 
–54
+30
–69
+48
+13
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Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 56 05/04/2018 21:42:56
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57
32. Complete com positivo, negativo ou zero, tor-
nando cada sentença verdadeira.
27. Mostre que [(+200) : (10)] ≠ (+200) : [(–10) : (–5)]. 
(+4 ≠ +100)
28. Calcule os valores das seguintes potências 
de números inteiros dados.
a. (+8)2 
b. (+4)4 
c. –42 
d. (–8)2 
e. (–6)3 
+64
+256
–16
+64
–216
29. Determine o valor numérico das seguintes 
expressões.
a. (–5)3 + 34 = 
b. (–3)3 – (–3)2 – (–3) = 
c. 2 . (–5)2 – (–7)2 = 
d. 50 + 8 : (–2)3 – 6 . (–1)5 = 
e. (–4)2 – 52 = 
–44
–33
+1
+6
–9
30. Calcule:
a. O dobro da quinta parte da soma de –5 com 
o módulo de –2.
–486.
b. O cubo da diferença dos quadrados de 3 e 
–2, somado à diferença entre os cubos de 1 e 
–4, menos a raiz quadrada do módulo de –9.
187.
31. Igor comprou uma Smart TV que custa 
R$ 1.030,00 à vista e fez um financiamento para 
a. O quadrado de um número inteiro negativo é 
sempre um número inteiro...
 Positivo.
c. A quarta potência de um número natural é 
um número...
Positivo.
b. O cubo de um número inteiro negativo é um 
número...
 Negativo.
e. A nona potência do oposto do módulo de 
um número inteiro negativo é um número...
Negativo.
d. A quinta potência de zero é...
Zero.
33. Indique, se existir, um número inteiro que 
represente a raiz quadrada dos números abaixo 
e calcule a raiz. Observação: a raiz quadrada de 
um número x, ( x ) é um número que, quando 
multiplicado por si próprio, se iguala a x.
a. 81 
b. –36 
c. –121 
Existe, 9.
Não existe.
Não existe.
c. (–4) . (–4) . (+2) . (–10) = 
d. (–3) . (–3) . (–3) = 
e. (–2) . (–2) . (25) = 
f. [(+8) . (–7) + (–6) . (–11)] . (+5) = 
–320 
–27
+100 
+50 R$ 150,00. 
pagá-la em 8 prestações iguais. A financeira co-
bra ao todo um aumento de R$ 170,00 no preço 
à vista. Calcule o valor de cada prestação, mon-
tando uma expressão numérica com números 
inteiros positivos. 
34. A temperatura em Buenos Aires, na Argenti-
na, num certo dia de inverno, era de –3 °C pela 
manhã. À tarde, essa temperatura subiu 12 °C. 
Qual a temperatura em Buenos Aires, à tarde, 
nesse dia? 
9 °C. 
57CAPÍTULO 2 I Números negativos
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21. Calcule as seguintes adições de números 
inteiros.
a. (+10) + (–6) = 
b. (–11) + (+20) = 
c. (–8) + (–6) = 
d. (–72) + (–38) = 
e. (–65) + (+100) = 
f. (+200) + (–251) = 
g. (–40) + (+40) = 
h. (+111) + (–96) = 
i. (+72) + (+330) = 
j. (–9) + (+11) + (+6) = 
k. (+3) + (–7) + (–2) + (+10) = 
l. (–3) + (+6) + (+2) + (–11) + (+4) = 
m. (+6) + (+4) + (–9) + (–1) + (–2) = 
+4
+9
–14
–110
+35
–51
0
+15
+402
+8
+4
–2
+8
22. Lembrando do conceito de diferença de um 
número inteiro, faça as seguintes diferenças:
a. +8 e +12 = 
b. +31 e –7 = 
c. –26 e –40 = 
d. –37 e +28 = 
e. +90 e –74 = 
f. –60 e –60 = 
g. –81 e +81 = 
h. –209 e +111 = 
–4
+38
+14
–65
+164
0
–162
–320
23. Praticando um pouco mais sobre as opera-
ções de:adição e subtração de números inteiros 
resolva as seguintes alternativas.
a. 52 + (–47 + 60 – 58) = +7
24. Determine as somas algébricas, eliminando 
os parênteses, colchetes e chaves das seguintes 
alternativas dadas.
a. (–4) + [23 – (43 – 32) + (–12 + 7)] + (–5) =
–2.
b. [–11 + (–23 –10) –8] – {25 – [–17 + (23 – 7) – 
( –12)] – (17 + 13)} =
–36.
c. 6 – {2+ (–14) – [–8 – (–36)– (–20) +7] – (–24–18+4)} = 
35.
a. (–43) . (–51) =
Positivo.
b. (–18) . 23 = 
Negativo.
25. Usando da regra de multiplicação de núme-
ro inteiros, faça as multiplicações necessárias e 
diga se o resultado é um número inteiro positivo 
ou negativo.
c. 38 . 24 = 
Positivo.
d. (+54) . (–13) = 
Negativo.
26. Determine o valor dos seguintes produtos 
de números inteiros.
a. (–3) . (–2) . (+8) = 
b. (+9) . (–2) . ( +3) = 
+48
–54
b. 120 – (47 + 158 – 31) = 
c. 53 + (–20 + 8) – (–40 + 51) = 
d. –91 – (43 –55 + 76) = 
e. 108 – (90 + 60) – (–110 + 20) = 
f. 95 – (28 – 17 – 33) + (–110 + 6) = 
–54
+30
–69
+48
+13
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58
Sugestão de abordagem
Solicite	aos	seus	estudantes	que	pes-
quisem	e	estabeleçam	comparações	dos	
graus	entre	as	escalas	Celsius	e	Fahrenheit.
Fahrenheit
O	Fahrenheit	é	uma	escala	de	tem-
peratura	termodinâmica,	onde	o	ponto	
de	congelamento	da	água	é	de	32	graus	
Fahrenheit	 (°F)	 e	o	ponto	de	ebulição,	
de	212	°F	(com	uma	pressão	atmosférica	
normal).	Isso	coloca	os	pontos	de	ebu-
lição	e	de	congelamento	da	água	exa-
tamente	a	180	graus	de	separação.	Por	
conseguinte,	um	grau	na	escala	Fahre-
nheit	é	de	 1
180
	de	intervalo	entre	o	pon-
to	de	congelamento	e	o	ponto	de	ebuli-
ção	da	água.	O	zero	absoluto	é	definido	
como	igual	a	–459,67	°F.
Celsius
Embora	inicialmente	definido	como	
ponto	de	congelamento	da	água	(e	de-
Leitura complementar
pois	 como	 ponto	 de	 fusão	 do	 gelo),	
a	 escala	 Celsius	 é	 agora	 oficialmente	
uma	escala	derivada,	definida	em	rela-
ção	à	escala	de	temperatura	Kelvin.
O	zero	na	escala	Celsius	(0	°C)	é	ago-
ra	definido	como	equivalente	a	273,15	K,	
com	uma	diferença	de	temperatura	de	1	
°C	equivalente	a	uma	diferença	de	1	K,	
ou	seja,	o	tamanho	da	unidade	em	cada	
escala	é	a	mesma.	Isto	significa	que	100	
°C,	previamente	definido	como	o	ponto	
de	ebulição	da	água,	é	agora	definido	
como	equivalente	a	373,15	K.
A	 escala	 Celsius	 é	 um	 sistema	 de	
intervalo,	mas	não	um	sistema	de	 re-
lação,	ou	seja,	segue	uma	escala	rela-
tiva,	mas	não	uma	escala	absoluta.	Isto	
pode	ser	observado	porque	o	interva-
lo	de	temperatura	entre20	°C	e	30	°C	
é	o	mesmo	que	entre	30	 °C	e	40	 °C,	
mas	40	°C	não	tem	o	dobro	da	energia	
térmica	de	um	ar	de	20	°C.
Fonte:	http://www.metric-conversions.org/pt-
br/temperatura/fahrenheit-em-celsius.htm.	
Acesso	em:	06/08/2016.
Anotações
e. Escreva o nome dos meses obedecendo à or-
dem decrescente de resultados financeiros.
Maio, janeiro, fevereiro, junho, março, abril.
43. (Obmep) A sequência −6, 12, −18, 24, −30, 
36... é obtida a partir dos múltiplos positivos 
de 6, multiplicando-se os termos nas posições 
ímpares por −1. Observe na figura que a soma 
dos dois primeiros termos da sequência é igual 
a 6, e a soma dos três primeiros termos é igual 
a −12. Quantos termos consecutivos dessa se-
quência devemos somar, a partir do primeiro, 
para obter 180 como resultado? 
a. 30. 
b. X 60.
c. 90. 
d. 120. 
e. 180. 
44. (Prova Brasil) Em uma cidade do Alasca, o 
termômetro marcou −15 °C pela manhã. Se a 
temperatura descer mais 13 °C, o termômetro 
vai marcar:
a. X –28 °C.
b. −2 °C.
c. 2 °C.
d. 28 °C.
45. (OBM) Todo número primo é um número in-
teiro que tem exatamente dois divisores positi-
vos: o número 1 e o próprio número. Por exem-
plo, 2 e 5 são primos, mas 1 e 4 não, pois o 1 tem 
somente o 1 como divisor positivo, já o número 
4 tem como divisores 1, 2 e 4. Pensando nisso, 
qual das afirmações a seguir é verdadeira?
a. A soma de quaisquer dois números pri-
mos é um número primo.
b. A soma dos quadrados de quaisquer 
dois números primos é um número primo.
c. X O produto de dois números naturais con-
secutivos pode ser um número primo.
d. A soma de três primos quaisquer nunca é 
um número primo.
e. O produto de dois primos quaisquer pode 
ser um número primo.
46. (Obmep) Num dado comum, a soma dos 
pontos de duas faces opostas é sempre 7. É 
possível construir um dado comum dobrando 
e colando uma das peças de papelão a seguir. 
Qual delas?
47. (FCC) Pensei em um número e dele subtraí 3 
unidades, multipliquei o resultado por 5, somei 
9 unidades, obtive 24 como resultado. É correto 
afirmar que o quadrado desse número é:
a. 1. b. 4. c. 16. 
d. 25. e. X 36.
–6 + 12 = 6
–6 . 12 – 18 = –12
–6 + 12 – 18 +24 = 12
...
a. 
b. 
d. 
c. X 
e. 
59CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 59 05/04/2018 21:42:57
36. Determine o número inteiro que responde 
corretamente a cada item:
a. Qual o sucessor de +27? 
b. Qual o sucessor de –36? 
c. Qual é o sucessor de 0? 
d. Qual é o antecessor de +15? 
e. Qual é o antecessor de –16? 
+28
–35
+1
+14
–17
37. Determine o valor das expressões abaixo:
a. [(–8) – (+12)] + [(+8) – (+5)] = 
b. [(+39) – (–16) + (+2)] + (–22) = 
c. [(–15) · (–3) : (-5) + (+6)] · (–100) = 
d. {[(–135) : (–3) – (–10)] : (+5)} · (+10) = 
–17
32
–500 
110
38. Escreva os números a seguir em ordem 
crescente:
–7 –5 +13 –12 0 +4 –3 +9 +35
– 12, –7, –5, –3, 0, +4, +9, +13, +35.
39. Em uma cidade do Canadá, o termômetro 
marcou –12° F  pela manhã.  Se a temperatura 
descer mais 11° F,  o termômetro vai marcar:
a. –1°. b. X –23°. c. 1°.
d. 23°. e. 25°.
40. Imagine que uma pessoa tem R$ 1.530,00 de-
positados em um banco e faça sucessivos saques:
1º saque: R$ 220,00
2º saque: R$ 550,00
3º saque: R$ 800,00
Qual o saldo dessa pessoa após esses saques? 
– R$ 40,00.
41. Uma pessoa tem R$ 50.000,00 na sua con-
ta bancária e faz, sucessivamente, as seguintes 
operações bancárias:
•	Retira	R$	5.250,00.
•	Deposita	R$	1.900,00.
•	Retira	R$	25.600,00.
•	Retira	R$	15.400,00.
Após todas essas operações, o saldo final des-
sa pessoa fica positivo ou negativo? Em quan-
tos reais?
Positivo. Em R$ 5.650,00.
42. O gráfico de colunas mostra o saldo do cai-
xa (positivo ou negativo) de uma loja de móveis 
em cada mês do primeiro semestre de certo ano. 
Analise o gráfico e responda às questões a seguir.
a. Em quais meses a loja teve saldo positivo?
Janeiro, fevereiro, maio, junho.
b. Em quais meses a loja teve saldo negativo?
Março e abril.
35. Pitágoras, grande filósofo e matemático gre-
go, nasceu no ano –570 (570 a.C.) e morreu no ano 
–496 (496 a.C.). Quantos anos Pitágoras viveu? 
74 anos.
–400
–200
0
200
400
600
milhares 
de reais
mêsJan. Fev. Maio
Mar.
Jun.
Abr.
c. Em que mês a loja apresentou o pior resultado?
Abril.
d. Qual é a diferença entre o melhor saldo e o 
pior saldo?
R$ 1.000,00.
58 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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59
Leitura complementar
Os	números	inteiros	(ou	inteiros	re-
lativos)	 são	 constituídos	por	 números	
naturais	 {0,	 1,	 2,	 ...}	 e	por	 seus	opos-
tos	 {0,	 −1,	 −2,	 ...}.	 Dois	 números	 são	
opostos	 se,	 e	 somente	 se,	 sua	 soma	
for	zero.	O	conjunto	de	todos	os	intei-
ros	é	representado	por	Z,	que	vem	do	
alemão	 zahlen	 (saldar,	 pagar).	Núme-
ro,	em	alemão,	é	zahl.
Os	 resultados	 das	 operações	 de	
soma,	subtração	e	multiplicação	entre	
dois	inteiros	são	inteiros.	A	ordem	de	
Z	é	dada	por:	...	<	–2	<	–1	<	0	<	1	<	2	<	
...	e	faz	de	Z	uma	sequência	sem	limite	
superior	ou	inferior.	Chamam-se	de	in-
teiros	positivos	os	inteiros	maiores	que	
zero;	o	próprio	zero	não	é	considerado	
um	positivo.
A	ordem	é	compatível	com	as	ope-
rações	algébricas	no	seguinte	sentido:
•	Se	a	<	b	e	c	<	d,	então	a	+	c <	b	+ d
•	Se	a	<	b	e	0	<	c,	então	ac	<	bc
Como	os	 números	 naturais,	 os	 in-
teiros	 formam	 um	 conjunto	 infini-
to	enumerável.	Podemos	dizer	que	Z	
é	um	domínio	euclidiano	e	que	 todo	
número	inteiro	pode	ser	escrito	como	
produto	de	números	primos	de	forma	
única	 (desde	que	o	1	não	 seja	 consi-
derado	primo).	Esse	é	o	Teorema	Fun-
damental	 da	 Aritmética.	 O	 ramo	 da	
Matemática	 que	 estuda	 os	 inteiros	 é	
chamado	de	teoria dos números.
Anotações
e. Escreva o nome dos meses obedecendo à or-
dem decrescente de resultados financeiros.
Maio, janeiro, fevereiro, junho, março, abril.
43. (Obmep) A sequência −6, 12, −18, 24, −30, 
36... é obtida a partir dos múltiplos positivos 
de 6, multiplicando-se os termos nas posições 
ímpares por −1. Observe na figura que a soma 
dos dois primeiros termos da sequência é igual 
a 6, e a soma dos três primeiros termos é igual 
a −12. Quantos termos consecutivos dessa se-
quência devemos somar, a partir do primeiro, 
para obter 180 como resultado? 
a. 30. 
b. X 60.
c. 90. 
d. 120. 
e. 180. 
44. (Prova Brasil) Em uma cidade do Alasca, o 
termômetro marcou −15 °C pela manhã. Se a 
temperatura descer mais 13 °C, o termômetro 
vai marcar:
a. X –28 °C.
b. −2 °C.
c. 2 °C.
d. 28 °C.
45. (OBM) Todo número primo é um número in-
teiro que tem exatamente dois divisores positi-
vos: o número 1 e o próprio número. Por exem-
plo, 2 e 5 são primos, mas 1 e 4 não, pois o 1 tem 
somente o 1 como divisor positivo, já o número 
4 tem como divisores 1, 2 e 4. Pensando nisso, 
qual das afirmações a seguir é verdadeira?
a. A soma de quaisquer dois números pri-
mos é um número primo.
b. A soma dos quadrados de quaisquer 
dois números primos é um número primo.
c. X O produto de dois números naturais con-
secutivos pode ser um número primo.
d. A soma de três primos quaisquer nunca é 
um número primo.
e. O produto de dois primos quaisquer pode 
ser um número primo.
46. (Obmep) Num dado comum, a soma dos 
pontos de duas faces opostas é sempre 7. É 
possível construir um dado comum dobrando 
e colando uma das peças de papelão a seguir. 
Qual delas?
47. (FCC) Pensei em um número e dele subtraí 3 
unidades, multipliquei o resultado por 5, somei 
9 unidades, obtive 24 como resultado. É correto 
afirmar que o quadrado desse número é:
a. 1. b. 4. c. 16. 
d. 25. e. X 36.
–6 + 12 = 6
–6 . 12 – 18 = –12
–6 + 12 – 18 +24 = 12
...
a. 
b. 
d. 
c. X 
e. 
59CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 59 05/04/2018 21:42:57
36. Determine o número inteiro que respondecorretamente a cada item:
a. Qual o sucessor de +27? 
b. Qual o sucessor de –36? 
c. Qual é o sucessor de 0? 
d. Qual é o antecessor de +15? 
e. Qual é o antecessor de –16? 
+28
–35
+1
+14
–17
37. Determine o valor das expressões abaixo:
a. [(–8) – (+12)] + [(+8) – (+5)] = 
b. [(+39) – (–16) + (+2)] + (–22) = 
c. [(–15) · (–3) : (-5) + (+6)] · (–100) = 
d. {[(–135) : (–3) – (–10)] : (+5)} · (+10) = 
–17
32
–500 
110
38. Escreva os números a seguir em ordem 
crescente:
–7 –5 +13 –12 0 +4 –3 +9 +35
– 12, –7, –5, –3, 0, +4, +9, +13, +35.
39. Em uma cidade do Canadá, o termômetro 
marcou –12° F  pela manhã.  Se a temperatura 
descer mais 11° F,  o termômetro vai marcar:
a. –1°. b. X –23°. c. 1°.
d. 23°. e. 25°.
40. Imagine que uma pessoa tem R$ 1.530,00 de-
positados em um banco e faça sucessivos saques:
1º saque: R$ 220,00
2º saque: R$ 550,00
3º saque: R$ 800,00
Qual o saldo dessa pessoa após esses saques? 
– R$ 40,00.
41. Uma pessoa tem R$ 50.000,00 na sua con-
ta bancária e faz, sucessivamente, as seguintes 
operações bancárias:
•	Retira	R$	5.250,00.
•	Deposita	R$	1.900,00.
•	Retira	R$	25.600,00.
•	Retira	R$	15.400,00.
Após todas essas operações, o saldo final des-
sa pessoa fica positivo ou negativo? Em quan-
tos reais?
Positivo. Em R$ 5.650,00.
42. O gráfico de colunas mostra o saldo do cai-
xa (positivo ou negativo) de uma loja de móveis 
em cada mês do primeiro semestre de certo ano. 
Analise o gráfico e responda às questões a seguir.
a. Em quais meses a loja teve saldo positivo?
Janeiro, fevereiro, maio, junho.
b. Em quais meses a loja teve saldo negativo?
Março e abril.
35. Pitágoras, grande filósofo e matemático gre-
go, nasceu no ano –570 (570 a.C.) e morreu no ano 
–496 (496 a.C.). Quantos anos Pitágoras viveu? 
74 anos.
–400
–200
0
200
400
600
milhares 
de reais
mêsJan. Fev. Maio
Mar.
Jun.
Abr.
c. Em que mês a loja apresentou o pior resultado?
Abril.
d. Qual é a diferença entre o melhor saldo e o 
pior saldo?
R$ 1.000,00.
58 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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ME_Matemática_Contextualizada_7A_02.indd 59 29/05/2018 11:50:09
60
Leitura complementar
O censo demográfico no Brasil con-
siste	em	uma operação	que	contabiliza	
a	população	brasileira	e	extrai	informa-
ções	sobre	as características	desses	ha-
bitantes,	realizada	desde	1872.
As	 três	 operações	 censitárias	 exe-
cutadas	 no	 Brasil	 durante	 o  século	
XIX  preocuparam-se	 basicamente	 em	
contar	a	população.	A	partir	do século	
XX,	outras	 informações	passaram	a	ser	
coletadas	e	hoje	o	questionário	do	cen-
so	 responde	 a	 questões	 fundamentais	
que	servem	de	base	para	a	definição	de	
políticas	públicas	e	planejamento	de	en-
tidades	públicas	e	privadas	do	Brasil.
O  Instituto	 Brasileiro	 de	 Geogra-
fia	e	Estatística  (IBGE)	 é	o	órgão	 res-
ponsável	 por	 realizar	 o	 censo	 demo-
gráfico	brasileiro	desde	o	ano	de	1940,	
tendo	sido	o	último	realizado	no	ano	
de  2010  e	 o	 próximo	 previsto	 para	
acontecer	em 2020.
Anotações
64. Comprei um certo objeto pelo valor de R$ 
2.450,00. Após 6 meses vendi o objeto e tive um 
prejuízo de R$ 840,00. Qual foi o preço de venda 
desse objeto?
a. X R$ 1.610,00.
b. R$ 2.110,00.
c. R$ 2.320,00.
d. R$ 2.420,00.
e. R$ 2.430,00.
57. Sabendo que x = 2 + (-5) × (-3) e que y = 5 
- (-3) × 4 a subtração entre o sucessor de x e o 
antecessor de y vale:
a. 1.
b. X 2.
c. 3.
d. 4.
e. 5.
58. Numa divisão exata o divisor vale 3, o quo-
ciente vale –416. Quanto vale o dividendo?
a. X –1.248.
b. 1.365.
c. 1.248.
d. –1.365.
59. (SAEB) Cíntia conduzia um carrinho de brin-
quedo por controle remoto em linha reta. Ela 
anotou em uma tabela os metros que o carrinho 
andava cada vez que ela acionava o controle. 
Escreveu valores positivos para as idas e negati-
vos para as vindas.
Vez Metros
Primeira +17
Segunda –8
Terceira +13
Quarta +4
Quinta –22
Sexta +7
Após Cíntia acionar o controle pela sexta vez, a 
distância entre ela e o carrinho era de:
a. –11 m.
b. X 11 m.
c. –27 m.
d. 27 m.
60. (Prova Brasil) Ao resolver corretamente a ex-
pressão -1 -(-5) 
. (-3) + (-4)3÷ (-4), o resultado é:
a. –13. 
b. –2. 
c. X 0.
d. 30.
61. (Prova Brasil) O preço de uma TV LCD 40” à 
vista é R$ 1.699,00 e à prazo, o mesmo aparelho 
custa R$ 1.985,50. O juros que se paga na com-
pra do aparelho à prazo é:
a. R$ 314,50.
b. X R$ 286,50.
c. R$ 316,50.
d. R$ 276,00.
62. (SAEB) Ana é secretária de um médico. Ela 
registrou na agenda dele alguns atendimentos 
do dia, na parte da manhã. Veja o que ela fez.
HORÁRIO PACIENTE
7:00 Rogério Moreira
7:45 Cibele Resende
8:30 José Aguiar
9:15 Geraldo Veloso
10:00 Rosana Mendonça
Quanto tempo dura uma consulta desse médico?
a. X 45 minutos.
b. 60 minutos.
c. 30 minutos.
d. 15 minutos.
63. (Prova Brasil) O funcionário de um super-
mercado ficou gripado. Ele explicou que estava 
fazendo muito calor (33,5 ºC) e que, quando en-
trou na câmara frigorífica, a temperatura desceu 
40 ºC. A temperatura dentro da câmara frigorí-
fica é:
a. –40 ºC.
b. –7,5 ºC.
c. X –6,5 ºC.
d. 7,5 ºC. 
61CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 61 05/04/2018 21:42:57
53. (OBM) Numa padaria, uma lata de 200 g de 
achocolatado em pó CHOCOBM custa R$ 3,00, 
uma lata de 400 g custa R$ 5,00 e a de 800 g cus-
ta R$ 9,00. Lara precisa de 1,2 kg de CHOCOBM 
para fazer um enorme bolo. Qual das opções a 
seguir é a maneira mais econômica de comprar 
1,2 kg de CHOCOBM nessa padaria?
a. 6 latas de 200 g.
b. X 1 lata de 400 g e 1 lata de 800 g. 
c. 4 latas de 200 g e 1 lata de 400 g.
d. 2 latas de 200 g e 1 lata de 800 g.
e. 2 latas de 200 g e 2 latas de 400 g. 
48. (Saresp) Em um jogo, o valor de cada ponto 
perdido é –4, e o valor de cada ponto ganho é 
+3. Ana perdeu 13 pontos e ganhou 15 pontos. 
Fazendo os cálculos, pode-se verificar que o to-
tal de pontos de Ana é:
a. –10. 
b. X –7. 
c. 3.
d. 11.
e. 12.
A B
C
A
A
A
B
49. (Obmep) Na subtração abaixo, cada letra 
representa um algarismo diferente. Qual é o al-
garismo que C representa? 
a. 2. 
b. 4. 
c. 5. 
d. 7. 
e. X 9.
50. (FCC) Em um planeta fictício X, um ano pos-
sui 133 dias de 24 horas cada, dividido em 7 
meses de mesma duração. No mesmo período 
em que um ano terrestre não bissexto é com-
pletado, terão sido transcorridos no planeta X, 
exatamente:
a. 1 ano, 6 meses e 4 dias.
b. 2 anos e 4 dias.
c. 2 anos e 14 dias.
d. 2 anos, 5 meses e 14 dias.
e. X 2 anos, 5 meses e 4 dias.
51. (Cesgranrio) O primeiro censo brasileiro foi 
realizado em 1872. Na época, o Brasil era uma 
monarquia e ainda existia escravidão. Foram 
contadas 9.930.480 pessoas, das quais 1.510.806 
foram declaradas escravas. Em 1872, quantas 
pessoas foram declaradas não escravas no Brasil?
a. X 8.419.674.
b. 8.420.486.
c. 8.422.514.
d. 8.502.176.
52. (OBM) Em maio, o valor total da conta de 
telefone celular de Esmeralda foi R$ 119,76, sem 
os impostos. Esse valor corresponde aos itens: 
chamadas, acesso à Internet, envio de mensa-
gens. Se ela gastou R$ 29,90 com acesso à Inter-
net e R$ 15,50 com o serviço de envio de mensa-
gens, quanto foi que ela gastou com chamadas?
a. X R$ 74,36. 
b. R$ 74,46. 
c. R$ 84,36. 
d. R$ 89,86. 
e. R$ 104,26.
54. Dadas as expressões K = 2 + (-3), W = 5 + 
(-2) × 1 e Y = 3 -(-4)×3. 
O valor de K + W - Y será:
a. 10.
b. 11.
c. 13.
d. X -13.
e. -11.
55. Solucionando a expressão (-2 -7) + 5 × 2, 
iremos obter como resposta correta.
a. X Um número positivo menor que 5.
b. Um número negativo maior que -1.
c. O número zero.
d. Um número positivo maior de 5.
e. Um número negativo menor que -1.
56. Se a soma e a diferença entre dois números 
inteiros são, respectivamente, iguais a 100 e 60, 
o produto desses números é:
a. 4.000. b. 2.600.
c. X 1.600. d. 6.020.
e. 16.900.
60 CAPÍTULO 2I Números negativos
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61
•	Reconhecer	os	números	inteiros	em	
diferentes	 situações-problema	 nas	
quais	 os	 alunos	 possam	 identificar	 a	
existência	de	números	 inteiros	positi-
vos	e	negativos.
•		Identificar	o	conjunto	Z.
•		Representar	a	ordenação	de	núme-
ros	 inteiros	 e	 sua	 localização	 na	 reta	
numérica.
•		Associar	 o	módulo	de	um	número	
inteiro.
•		Determinar	os	números	opostos	ou	
simétricos.
•		Usar,	na	reta	numérica,	os	números	
inteiros	 em	 ordem	 crescente	 ou	 de-
crescente.
•		Utilizar	os	sinais	>	,	<	ou	=	na	com-
paração	de	dois	números	inteiros.
•		Calcular	a	soma	de	dois	números	in-
teiros	de	mesmo	sinal	ou	de	sinais	di-
ferentes.
•		Usar	a	regra	prática	para	o	cálculo	da	
diferença	entre	dois	números	inteiros.
•		Calcular	o	produto	de	quaisquer	nú-
meros	inteiros.
•		Compreender	e	calcular	as	proprie-
dades	da	potenciação.
•		Resolver	expressões	numéricas.
Objetivos alcançados
Anotações
64. Comprei um certo objeto pelo valor de R$ 
2.450,00. Após 6 meses vendi o objeto e tive um 
prejuízo de R$ 840,00. Qual foi o preço de venda 
desse objeto?
a. X R$ 1.610,00.
b. R$ 2.110,00.
c. R$ 2.320,00.
d. R$ 2.420,00.
e. R$ 2.430,00.
57. Sabendo que x = 2 + (-5) × (-3) e que y = 5 
- (-3) × 4 a subtração entre o sucessor de x e o 
antecessor de y vale:
a. 1.
b. X 2.
c. 3.
d. 4.
e. 5.
58. Numa divisão exata o divisor vale 3, o quo-
ciente vale –416. Quanto vale o dividendo?
a. X –1.248.
b. 1.365.
c. 1.248.
d. –1.365.
59. (SAEB) Cíntia conduzia um carrinho de brin-
quedo por controle remoto em linha reta. Ela 
anotou em uma tabela os metros que o carrinho 
andava cada vez que ela acionava o controle. 
Escreveu valores positivos para as idas e negati-
vos para as vindas.
Vez Metros
Primeira +17
Segunda –8
Terceira +13
Quarta +4
Quinta –22
Sexta +7
Após Cíntia acionar o controle pela sexta vez, a 
distância entre ela e o carrinho era de:
a. –11 m.
b. X 11 m.
c. –27 m.
d. 27 m.
60. (Prova Brasil) Ao resolver corretamente a ex-
pressão -1 -(-5) 
. (-3) + (-4)3÷ (-4), o resultado é:
a. –13. 
b. –2. 
c. X 0.
d. 30.
61. (Prova Brasil) O preço de uma TV LCD 40” à 
vista é R$ 1.699,00 e à prazo, o mesmo aparelho 
custa R$ 1.985,50. O juros que se paga na com-
pra do aparelho à prazo é:
a. R$ 314,50.
b. X R$ 286,50.
c. R$ 316,50.
d. R$ 276,00.
62. (SAEB) Ana é secretária de um médico. Ela 
registrou na agenda dele alguns atendimentos 
do dia, na parte da manhã. Veja o que ela fez.
HORÁRIO PACIENTE
7:00 Rogério Moreira
7:45 Cibele Resende
8:30 José Aguiar
9:15 Geraldo Veloso
10:00 Rosana Mendonça
Quanto tempo dura uma consulta desse médico?
a. X 45 minutos.
b. 60 minutos.
c. 30 minutos.
d. 15 minutos.
63. (Prova Brasil) O funcionário de um super-
mercado ficou gripado. Ele explicou que estava 
fazendo muito calor (33,5 ºC) e que, quando en-
trou na câmara frigorífica, a temperatura desceu 
40 ºC. A temperatura dentro da câmara frigorí-
fica é:
a. –40 ºC.
b. –7,5 ºC.
c. X –6,5 ºC.
d. 7,5 ºC. 
61CAPÍTULO 2 I Números negativos
Matematica_Contextualizada_7ºano_02.indd 61 05/04/2018 21:42:57
53. (OBM) Numa padaria, uma lata de 200 g de 
achocolatado em pó CHOCOBM custa R$ 3,00, 
uma lata de 400 g custa R$ 5,00 e a de 800 g cus-
ta R$ 9,00. Lara precisa de 1,2 kg de CHOCOBM 
para fazer um enorme bolo. Qual das opções a 
seguir é a maneira mais econômica de comprar 
1,2 kg de CHOCOBM nessa padaria?
a. 6 latas de 200 g.
b. X 1 lata de 400 g e 1 lata de 800 g. 
c. 4 latas de 200 g e 1 lata de 400 g.
d. 2 latas de 200 g e 1 lata de 800 g.
e. 2 latas de 200 g e 2 latas de 400 g. 
48. (Saresp) Em um jogo, o valor de cada ponto 
perdido é –4, e o valor de cada ponto ganho é 
+3. Ana perdeu 13 pontos e ganhou 15 pontos. 
Fazendo os cálculos, pode-se verificar que o to-
tal de pontos de Ana é:
a. –10. 
b. X –7. 
c. 3.
d. 11.
e. 12.
A B
C
A
A
A
B
49. (Obmep) Na subtração abaixo, cada letra 
representa um algarismo diferente. Qual é o al-
garismo que C representa? 
a. 2. 
b. 4. 
c. 5. 
d. 7. 
e. X 9.
50. (FCC) Em um planeta fictício X, um ano pos-
sui 133 dias de 24 horas cada, dividido em 7 
meses de mesma duração. No mesmo período 
em que um ano terrestre não bissexto é com-
pletado, terão sido transcorridos no planeta X, 
exatamente:
a. 1 ano, 6 meses e 4 dias.
b. 2 anos e 4 dias.
c. 2 anos e 14 dias.
d. 2 anos, 5 meses e 14 dias.
e. X 2 anos, 5 meses e 4 dias.
51. (Cesgranrio) O primeiro censo brasileiro foi 
realizado em 1872. Na época, o Brasil era uma 
monarquia e ainda existia escravidão. Foram 
contadas 9.930.480 pessoas, das quais 1.510.806 
foram declaradas escravas. Em 1872, quantas 
pessoas foram declaradas não escravas no Brasil?
a. X 8.419.674.
b. 8.420.486.
c. 8.422.514.
d. 8.502.176.
52. (OBM) Em maio, o valor total da conta de 
telefone celular de Esmeralda foi R$ 119,76, sem 
os impostos. Esse valor corresponde aos itens: 
chamadas, acesso à Internet, envio de mensa-
gens. Se ela gastou R$ 29,90 com acesso à Inter-
net e R$ 15,50 com o serviço de envio de mensa-
gens, quanto foi que ela gastou com chamadas?
a. X R$ 74,36. 
b. R$ 74,46. 
c. R$ 84,36. 
d. R$ 89,86. 
e. R$ 104,26.
54. Dadas as expressões K = 2 + (-3), W = 5 + 
(-2) × 1 e Y = 3 -(-4)×3. 
O valor de K + W - Y será:
a. 10.
b. 11.
c. 13.
d. X -13.
e. -11.
55. Solucionando a expressão (-2 -7) + 5 × 2, 
iremos obter como resposta correta.
a. X Um número positivo menor que 5.
b. Um número negativo maior que -1.
c. O número zero.
d. Um número positivo maior de 5.
e. Um número negativo menor que -1.
56. Se a soma e a diferença entre dois números 
inteiros são, respectivamente, iguais a 100 e 60, 
o produto desses números é:
a. 4.000. b. 2.600.
c. X 1.600. d. 6.020.
e. 16.900.
60 CAPÍTULO 2 I Números negativos
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•	 Neste	capítulo,	vamos	rever	conceitos	
importantes,	como	os	que	envolvem	
frações,	e	a	utilização	desses	conceitos	
em	situações	do	dia	a	dia.	Encontramos	
as	frações	na	televisão,	na	Internet,	em	
jornais	e	nas	revistas,	nos	cálculos	de	
porcentagens,	de	probabilidades,	nas	
compras	à	prestação,	nos	descontos	em	
compras	feitas	à	vista,	na	alta	do	dólar,	
nas	receitas	culinárias,	etc.	Em	todas	
essas	situações,	observamos	a	utilização	
de	números racionais (Q)	—	que	vimos	
no	sexto	ano	—,	conjunto	que	envolve	as	
frações,	conteúdo	que	abordaremos	neste	
capítulo.		
Fonte de Peterhof, São Petersburgo, Rús-
sia. Nessa cidade nasceu o Matemático 
Georg Cantor, que em um de seus estu-
dos descobriu que o conjunto de núme-
ros racionais é equivalente à mesma me-
dida do conjunto de números naturais.
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 63 05/04/2018 21:41:52
Números racionais
C
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 3
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64
/S
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ME_Matemática_Contextualizada_7A_03.indd 62 29/05/2018 11:51:05
•	 Neste	capítulo,	vamos	rever	conceitos	
importantes,	como	os	que	envolvem	
frações,	e	a	utilização	desses	conceitos	
em	situações	do	dia	a	dia.	Encontramos	
as	frações	na	televisão,	na	Internet,	em	
jornais	e	nas	revistas,	nos	cálculos	de	
porcentagens,	de	probabilidades,	nas	
compras	à	prestação,	nos	descontos	em	
compras	feitas	à	vista,	na	alta	do	dólar,	
nas	receitas	culinárias,	etc.	Em	todas	
essas	situações,	observamos	a	utilização	
de	números racionais (Q)	—	que	vimos	
no	sexto	ano	—,	conjunto	que	envolve	as	
frações,	conteúdo	que	abordaremos	neste	
capítulo.		
Fonte de Peterhof, São Petersburgo, Rús-
sia. Nessa cidade nasceu o Matemático 
Georg Cantor, que em um de seus estu-
dos descobriu que o conjunto de núme-
ros racionaisé equivalente à mesma me-
dida do conjunto de números naturais.
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Números racionais
C
A
P
ÍT
U
LO
 3
vi
g
64
/S
hu
tt
er
st
o
ck
.c
o
m
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 62 05/04/2018 21:41:51
ME_Matemática_Contextualizada_7A_03.indd 63 29/05/2018 11:51:05
64
Conteúdos 
conceituais
•	Noções	e	conceito	de	número	racio-
nal	e	fração
•	Leitura	e	intepretação	de	frações
•	Resolver	questões	envolvendo	frações	
que	representam	parte	de	um	inteiro
•	Apresentação	 de	 métodos	 de	 sim-
plificações	de	frações
•	Apresentação	de	métodos	de	com-
parações	entre	frações
•	Noções	 básicas	 de	 operações	 com	
frações	(soma	e	subtração)
•	Noções	 básicas	 de	 operações	 com	
frações	(multiplicação	e	divisão)
•	Noções	básicas	de	frações	decimais
•	Noções	básicas	de	frações	em	por-
centagem
•	Apresentação	 das	 porcentagens	 co-
mo	sendo	uma	fração	muito	importante
•	Atividades	com	cálculos	de	porcen-
tagens	de	um	número	inteiro
•	Noções	 básicas	 de	 operações	 com	
decimais	(soma	e	subtração)
•	Noções	 básicas	 de	 operações	 com	
decimais	(multiplicação	e	divisão)
•	Cálculo	de	porcentagens	e	de	acrés-
cimos	e	decréscimos	simples.
•	Fração	 e	 seus	 significados:	 como	
parte	de	inteiros,	resultado	da	divisão,	
razão	e	operador.
•	Números	racionais	na	representação	
fracionária	e	na	decimal:	usos,	ordena-
ção	e	associação	com	pontos	da	reta	
numérica	e	operações.
BNCC
Habilidades trabalhadas no 
capítulo
(EF07MA02)	Resolver	e	elaborar	pro-
blemas	 que	 envolvam	 porcentagens,	
como	os	que	lidam	com	acréscimos	e	
decréscimos	simples,	utilizando	estra-
tégias	pessoais,	 cálculo	mental	 e	 cal-
culadora,	no	contexto	de	educação	fi-
nanceira,	entre	outros.
(EF07MA05)	Resolver	um	mesmo	pro-
blema	utilizando	diferentes	algoritmos.
(EF07MA06)	 Reconhecer	 que	 as	 re-
soluções	 de	 um	 grupo	 de	 proble-
mas	 que	 têm	 a	mesma	 estrutura	 po-
dem	ser	obtidas	utilizando	os	mesmos	
procedimentos.
(EF07MA07)	 Representar	 por	 meio	
de	um	fluxograma	os	passos	utilizados	
para	resolver	um	grupo	de	problemas.
(EF07MA08)	Comparar	e	ordenar	frações	
associadas	às	ideias	de	partes	de	inteiros,	
resultado	da	divisão,	razão	e	operador.
(EF07MA09)	Utilizar,	na	 resolução	de	
problemas,	 a	 associação	 entre	 razão	
e	 fração,	 como	 a	 fração	 2
3
	 para	 ex-
pressar	a	razão	de	duas	partes	de	uma	
grandeza	 para	 três	 partes	 da	mesma	
ou	três	partes	de	outra	grandeza.
(EF07MA10)	Comparar	e	ordenar	nú-
meros	 racionais	 em	 diferentes	 con-
textos	 e	 associá-los	 a	 pontos	 da	 reta	
numérica.
(EF07MA11)	Compreender	e	utilizar	a	
multiplicação	e	a	divisão	de	números	
Objetivos de conhecimento
Oito	chocolates	divididos	para	duas	pessoas	podem	ser	representados	por:
Três	chocolates	divididos	para	duas	pessoas	podem	ser	representados	por:
Um	chocolate	dividido	para	duas	pessoas	pode	ser	representado	por:	
Dois	chocolates	divididos	para	cinco	pessoas	podem	ser	representados	por:
2
5
,	ou	seja,	2	:	5	=	0,4.	Nesse	caso,	dividimos	cada	uma	das	duas	
barras	em	cinco	partes	e	separamos	duas	partes	para	cada	pessoa.
Observe	que,	se	o	divisor,	nesse	caso	5,	for	maior,	o	resultado	será	sempre	menor	que	uma	uni-
dade.	Sabemos	que	0,4	representa	 4
10
	(quatro	décimos),	o	equivalente	a	 40
100
	ou	40%	(quarenta	por	
cento)	do	chocolate.
8
2
,	ou	seja,	8	:	2	=	4	chocolates	para	cada	pessoa.
3
2
	,	ou	seja,	3	:	2 =	1,5	chocolate	para	cada	pessoa.
1
2
	,	ou	seja,	1	:	2	=	0,5,	metade	de	um	chocolate	para	cada	pessoa.			
Numa	fração,	como	
a
b
,	sendo	a	e	b
	
dois	números	inteiros	e	b diferente	de	zero,	chamamos	a	de	
numerador	e	b	de	denominador.	Vejamos	um	exemplo	atribuindo	valores	à	fração:
Como devemos ler as frações?
65CAPÍTULO 3 I Números racionais
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Resgatando a história
As	primeiras	frações	egípcias	foram	
criadas	a	partir	da	necessidade	de	 re-
partir	 colheitas,	 medir	 terras,	 etc.	 Os	
profissionais	 que	 faziam	esse	 trabalho	
eram	 chamados	 de	 esticadores de 
cordas.	As	 frações,	 inicialmente,	eram	
consideradas	 frações	 unitárias,	 pois	 o	
numerador	tinha	sempre	o	valor	unitá-
rio	 1.	 Normalmente	 eram	 representa-
das	na	notação	hieroglífica	e	utilizavam	
um	 sinal	 elíptico	 seguido	 do	 número	
inteiro	correspondente,	conforme	ima-
gem	seguinte.
A	partir	das	frações	egípcias	e	babilônicas,	surgiram	muitas	outras	notações	de	várias	civilizações,	
por	exemplo,	a	romana,	que	utilizava	a	base	12	para	a	representação.	Já	a	chinesa	utilizava	uma	
barra	horizontal	para	representar	a	unidade	e	traços	verticais	para	o	número.
A	partir	do	século	XVI,	surgiram	as	frações	com	numeradores	maiores	que	o	numeral	1.	Essa	no-
tação	moderna,	devemos	aos	hindus	e	aos	árabes.	Aos	hindus,	pelo	sistema	decimal	adotado,	e	aos	
árabes,	pela	barra	horizontal	separando	o	numerador	do	denominador.
Fonte:	BOYER,	C.	B.	História da Matemática.	São	Paulo:	Ed.	Edgard,	2001.	
ichi ni san
shi
yon
go roku
shichi
nana
hachi
kyu
ku
ju
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
escrita egípcia nossa escrita
1
3
1
12
1
21
1
3
1
12
1
21
1
3
1
12
1
21
Número racional x 
Frações
Número racional	é	todo	número	que	
pode	 ser	 representado	 por	 uma	 razão	
(ou	fração)	entre	dois	números.	
Mas	o	que	vem	a	ser	uma	fração?
Uma	 fração	 pode	 representar	 uma	
porcentagem,	o	quociente	de	uma	divi-
são,	um	todo,	parte	de	um	todo	ou	um	
todo	e	uma	parte	do	mesmo.	Ou	ainda	
uma	razão	especial,	como	escala,	densi-
dade	e	velocidade	média.	
Por	exemplo:
64 CAPÍTULO 3 I Números racionais
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ME_Matemática_Contextualizada_7A_03.indd 64 29/05/2018 11:51:07
65
racionais,	 a	 relação	 entre	 elas	 e	 suas	
propriedades	operatórias.
(EF07MA12)	Resolver	e	elaborar	pro-
blemas	 que	 envolvam	 as	 operações	
com	números	racionais.	
Dicas para o professor
•	Trabalhar	 partindo	 de	 atividades	
concretas,	como	reconhecer	números	
racionais	no	contexto	do	dia	a	dia,	re-
tomando	os	conceitos	prévios.
•	Explorar	as	atividades	existentes	no	
livro.
•	Resolver	exercícios	em	grupo,	verifi-
cando	o	quanto	os	alunos	assimilaram	
do	conteúdo.
•	Valorizar	a	capacidade	de	criar	estra-
tégias	para	a	resolução	de	problemas.
•	Valorizar	a	troca	de	experiências	en-
tre	os	colegas.
•	Mostre	 aos	 alunos	que	os	 números	
racionais	 contêm	 o	 conjunto	 dos	 nú-
meros	 inteiros	e	dos	naturais;	portan-
to,	todo	natural	é	inteiro,	e	todos	os	in-
teiros	são	também	racionais.
•	Comente	com	os	alunos	que	a	huma-
nidade	criou	novos	conjuntos	numéricos	
de	acordo	com	as	suas	necessidades.
•		Cite	a	importância	de	se	conhecer	a	
simbologia	matemática	em	função	da	
linguagem	própria	da	disciplina.
•		Comente	com	os	alunos	que	pode-
mos	afirmar	que	N	está	contido	em	Z,	
que	N	está	contido	em	Q	e	que	Z	está	
contido	em	Q.
Anotações
Oito	chocolates	divididos	para	duas	pessoas	podem	ser	representados	por:
Três	chocolates	divididos	para	duas	pessoas	podem	ser	representados	por:
Um	chocolate	dividido	para	duas	pessoas	pode	ser	representado	por:	
Dois	chocolates	divididos	para	cinco	pessoas	podem	ser	representados	por:
2
5
,	ou	seja,	2	:	5	=	0,4.	Nesse	caso,	dividimos	cada	uma	das	duas	
barras	em	cinco	partes	e	separamos	duas	partes	para	cada	pessoa.
Observe	que,	se	o	divisor,	nesse	caso	5,	for	maior,	o	resultado	será	sempre	menor	que	uma	uni-
dade.	Sabemos	que	0,4	representa	 4
10
	(quatro	décimos),	o	equivalente	a	 40
100
	ou	40%	(quarenta	por	
cento)	do	chocolate.
8
2
,	ou	seja,	8	:	2	=	4	chocolates	para	cada	pessoa.
3
2
	,	ou	seja,	3	:	2 =	1,5	chocolate	para	cada	pessoa.
1
2
	,	ou	seja,	1	:	2	=	0,5,	metade	de	um	chocolate	para	cada	pessoa.			
Numa	fração,	como	
a
b
,	sendo	a	e	b
	
dois	números	inteiros	e	b diferente	de	zero,	chamamos	a	de	
numerador	e	b	de	denominador.	Vejamos	um	exemplo	atribuindo	valores	à	fração:
Como devemos ler as frações?
65CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd65 05/04/2018 21:41:53
Resgatando a história
As	primeiras	frações	egípcias	foram	
criadas	a	partir	da	necessidade	de	 re-
partir	 colheitas,	 medir	 terras,	 etc.	 Os	
profissionais	 que	 faziam	esse	 trabalho	
eram	 chamados	 de	 esticadores de 
cordas.	As	 frações,	 inicialmente,	eram	
consideradas	 frações	 unitárias,	 pois	 o	
numerador	tinha	sempre	o	valor	unitá-
rio	 1.	 Normalmente	 eram	 representa-
das	na	notação	hieroglífica	e	utilizavam	
um	 sinal	 elíptico	 seguido	 do	 número	
inteiro	correspondente,	conforme	ima-
gem	seguinte.
A	partir	das	frações	egípcias	e	babilônicas,	surgiram	muitas	outras	notações	de	várias	civilizações,	
por	exemplo,	a	romana,	que	utilizava	a	base	12	para	a	representação.	Já	a	chinesa	utilizava	uma	
barra	horizontal	para	representar	a	unidade	e	traços	verticais	para	o	número.
A	partir	do	século	XVI,	surgiram	as	frações	com	numeradores	maiores	que	o	numeral	1.	Essa	no-
tação	moderna,	devemos	aos	hindus	e	aos	árabes.	Aos	hindus,	pelo	sistema	decimal	adotado,	e	aos	
árabes,	pela	barra	horizontal	separando	o	numerador	do	denominador.
Fonte:	BOYER,	C.	B.	História da Matemática.	São	Paulo:	Ed.	Edgard,	2001.	
ichi ni san
shi
yon
go roku
shichi
nana
hachi
kyu
ku
ju
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
escrita egípcia nossa escrita
1
3
1
12
1
21
1
3
1
12
1
21
1
3
1
12
1
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Número racional x 
Frações
Número racional	é	todo	número	que	
pode	 ser	 representado	 por	 uma	 razão	
(ou	fração)	entre	dois	números.	
Mas	o	que	vem	a	ser	uma	fração?
Uma	 fração	 pode	 representar	 uma	
porcentagem,	o	quociente	de	uma	divi-
são,	um	todo,	parte	de	um	todo	ou	um	
todo	e	uma	parte	do	mesmo.	Ou	ainda	
uma	razão	especial,	como	escala,	densi-
dade	e	velocidade	média.	
Por	exemplo:
64 CAPÍTULO 3 I Números racionais
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ME_Matemática_Contextualizada_7A_03.indd 65 29/05/2018 11:51:08
66
Leitura complementar
Número	 racional	 é	 todo	 número	
que	 pode	 ser	 representado	 por	 uma	
fração	 entre	 dois	 números	 inteiros,	
sendo	indicado	pelo	símbolo	Q.
A	 divisão	 de	 dois	 números	 intei-
ros	resulta	nos	números	racionais.	Por	
meio	de	uma	fração,	podemos	repre-
sentar	um	número	racional,	sendo	es-
crito	na	forma	 p
q
,	onde	p	e	q	são	nú-
meros	 inteiros	e	q	deve	 ser	diferente	
de	zero,	podendo	também	ser	 repre-
sentado	na	forma	decimal.	Todo	racio-
nal	 é	o	quociente	da	divisão	de	dois	
números	inteiros.
Q	=	 {	x|x	=	 p
q
,	 sendo	p	 e q	 intei-
ros,	q	≠	0}.
Anotações
Fração imprópria
São	frações	que	representam	números	inteiros	ou	números	maiores	que	1.	Veja.
3
2
	Cada	inteiro	foi	dividido	em	2	partes.	
8
3
	Cada	inteiro	foi	dividido	em	3	partes.	
Fração mista
As	frações mistas	são	representações	diferentes	das	frações	impróprias.	Veja:
8
3
,	por	exemplo,	pode	ser	representado	por	2
2
3
.
8
4
	Cada	inteiro	foi	dividido	em	4	partes.
Fração aparente
	Frações	diferentes	também	podem	representar	números	iguais.	Observe.
Quando	a	divisão	do	numerador	pelo	denominador	é	um	número	natural,	chamamos	a	fração	de	
aparente,	caso	especial	da	fração	imprópria.	Podemos	ver	um	exemplo	disso	acima,	no	qual	 8
4
2= .
8
4
6
3
2= =
8
4
6
3
2= =
8
4
6
3
2= =
67CAPÍTULO 3 I Números racionais
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5
2 denominador
numerador
Primeiro	lemos	o	numerador	e,	depois,	o	denominador,	que	é	quem	vai	atribuir	nomes	às	fra-
ções.	No	caso	do	exemplo	acima,	lemos	cinco meios.
Quando	o	denominador	é	menor	que	10,	lemos:
1
2
2
3
3
5
3
7
um	meio
1
2
2
3
3
5
3
7
três	quintos
1
2
2
3
3
5
3
7
dois	terços
1
2
2
3
3
5
3
7
três	sétimos
Para	o	denominador	que	é	uma	potência	de	10,	lemos:
sete	décimos
7
10
3
10
4
100
5
1 000.
três	décimos
7
10
3
10
4
100
5
1 000.
quatro	
centésimos
7
10
3
10
4
100
5
1 000.
cinco	
milésimos
7
10
3
10
4
100
5
1 000.
Para	denominadores	maiores	que	10,	sem	ser	potência	de	base	10,	lemos:
quatro	doze	
avos
4
12
12
35
5
300
doze	trinta	e	
cinco	avos
4
12
12
35
5
300
cinco	
trezentos	avos
4
12
12
35
5
300
Tipos de fração
Fração própria
São	frações	que	representam	partes	de	um	inteiro,	ou	seja, quantidades	maiores	que	0	e	meno-
res	que	1.	Veja.
1
5
1
4
40
100
; ; 	
Nelas,	o	numerador	é	sempre	menor	que	o	denominador.
66 CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 66 05/04/2018 21:41:54
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67
Sugestão de abordagem
Decifre	o	enigma	escrevendo	em	seu	
caderno	a	resposta	à	pergunta:
“Onde	dorme	um	cachorrão	bravo	de	
90	quilogramas?”	Dicas:
•	Os	primeiros	 2
6
	da	palavra	embora.
•	Os	primeiros	 4
9
	da	palavra	qualida-
de,	 mais	 os	 primeiros	 4
5
	 da	 palavra	
quero.
•	Os	primeiros	 5
8
	da	palavra	lugarejo.
•	Os	últimos	 3
5
	da	palavra	leque.
•	Os	primeiros	 3
8
	da	palavra	elegante.
•	Os	 primeiros	 3
5
	 da	 palavra	 quibe,	
mais	a	primeira	 1
2
	da	palavra	sertão.
Resposta:	Em	qualquer	 lugar	que	ele	
quiser.
Anotações
Fração imprópria
São	frações	que	representam	números	inteiros	ou	números	maiores	que	1.	Veja.
3
2
	Cada	inteiro	foi	dividido	em	2	partes.	
8
3
	Cada	inteiro	foi	dividido	em	3	partes.	
Fração mista
As	frações mistas	são	representações	diferentes	das	frações	impróprias.	Veja:
8
3
,	por	exemplo,	pode	ser	representado	por	2
2
3
.
8
4
	Cada	inteiro	foi	dividido	em	4	partes.
Fração aparente
	Frações	diferentes	também	podem	representar	números	iguais.	Observe.
Quando	a	divisão	do	numerador	pelo	denominador	é	um	número	natural,	chamamos	a	fração	de	
aparente,	caso	especial	da	fração	imprópria.	Podemos	ver	um	exemplo	disso	acima,	no	qual	 8
4
2= .
8
4
6
3
2= =
8
4
6
3
2= =
8
4
6
3
2= =
67CAPÍTULO 3 I Números racionais
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5
2 denominador
numerador
Primeiro	lemos	o	numerador	e,	depois,	o	denominador,	que	é	quem	vai	atribuir	nomes	às	fra-
ções.	No	caso	do	exemplo	acima,	lemos	cinco meios.
Quando	o	denominador	é	menor	que	10,	lemos:
1
2
2
3
3
5
3
7
um	meio
1
2
2
3
3
5
3
7
três	quintos
1
2
2
3
3
5
3
7
dois	terços
1
2
2
3
3
5
3
7
três	sétimos
Para	o	denominador	que	é	uma	potência	de	10,	lemos:
sete	décimos
7
10
3
10
4
100
5
1 000.
três	décimos
7
10
3
10
4
100
5
1 000.
quatro	
centésimos
7
10
3
10
4
100
5
1 000.
cinco	
milésimos
7
10
3
10
4
100
5
1 000.
Para	denominadores	maiores	que	10,	sem	ser	potência	de	base	10,	lemos:
quatro	doze	
avos
4
12
12
35
5
300
doze	trinta	e	
cinco	avos
4
12
12
35
5
300
cinco	
trezentos	avos
4
12
12
35
5
300
Tipos de fração
Fração própria
São	frações	que	representam	partes	de	um	inteiro,	ou	seja, quantidades	maiores	que	0	e	meno-
res	que	1.	Veja.
1
5
1
4
40
100
; ; 	
Nelas,	o	numerador	é	sempre	menor	que	o	denominador.
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68
Leitura complementar
Quem	 representou,	 pela	 primeira	
vez,	um	meio	pela	forma	como	conhe-
cemos	 hoje	 foi	 Leonardo	 Fibonacci,	
também	 conhecido	 por	 Leonardo	 de	
Pisa	(1170–240),	por	ser	esta	a	sua	ter-
ra	natal.	Viajou	bastante	pelo	Oriente	
e,	no	ano	de	1200,	voltou	a	Pisa,	ten-
do	publicado	um	livro	em	que	apare-
cia,	pela	primeira	vez,	um	meio	repre-
sentado	sob	a	forma	de	fração.
Na	Matemática,	os	números	de	Fi-
bonacci	são	uma	sequência.	Você		co-
meça	com	0	e	1	e,	então,	produz	o	pró-
ximo	 número	 de	 Fibonacci	 somando	
os	dois	anteriores	para	 formar	o	pró-
ximo.	Os	primeiros	números	de	Fibo-
nacci	para	n	=	0,1,	...	são	1,	1,	2,	3,	5,	
8,	13,	21,	34,	55,	89,	144,	233,	377,	610,	
987,	 1.597…	 Um	 uso	 interessante	 da	
sequência	 de	 Fibonacci	 é	 na	 conver-
são	 de	 milhas	 para	 quilômetros.	 Por	
exemplo,	para	saber	aproximadamen-
te	a	quantos	quilômetros	5	milhas	cor-
respondem,	pega-se	o	número	de	Fi-
bonacci	 correspondendo	 ao	 número	
de	milhas(5)	 e	olha-se	para	o	núme-
ro	seguinte	(8).
Anotações
Refletindo sobre o texto
Imagine	que	você	foi	a	uma	luta	de	judô,	entre	um	japonês	e	um	coreano,	na	qual	os	lutadores	ti-
veram	o	seguinte	desempenho:	
	Japonês:	um	koka,	um	yuko,	um	wazari	e	três	shidô.	
	Coreano:	um	wazari,	dois	koka,	um	chui,	um	shidô	e	um	yuko.
Baseado	nessas	informações	e	nas	encontradas	no	texto,	descubra	quem	venceu	a	luta.
O	coreano.
Simplificação de frações
	 A	 simplificação	das	 frações	 nos	 auxilia	 principalmente	quando	precisamos	multiplicar	 ou	
dividir	frações	com	numeradores	e	denominadores	grandes,	como	no	caso	abaixo.	
480
320
48
32
6
4
3
2
10
10
8
8
2
2
÷
÷
÷
÷
÷
÷= = = 	
Dessa	forma,	 3
2
	é	a	forma	mais	simples	de	escrever	 480
320
.	
Como	nenhum	número	natural	diferente	de	1	divide	ao	mesmo	tempo	3	e	2,	esta	é	a	forma	mais	
simplificada,	chamada	de	fração irredutível.	
Atividades
1. Entre	vinte	e	cinco	peixinhos	de	um	aquário,	
cinco	 são	 dourados.	 Assim,	 podemos	 afirmar	
que	a	fração	que	representa	os	peixinhos	dou-
rados	é:
a. 	 	 5
100
	
b. 	X 	 1
5
	
c. 	 	 5
20
	
d. 	 	 25
20
	
e. 	 	 25
5
Alternativa	 “b”,	 pois	 a	 questão	
sugere	a	fração	 5
25
,	que	simplifi-
cada	fica	 5
25
1
5
5
5
÷
÷ = 	.
2. Observe	a	imagem	e	marque	a	única	alterna-
tiva	incorreta:
ky
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yn
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m
69CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 69 05/04/2018 21:41:56
Para analisar:
Judô
O	 judô	é	uma	arte	marcial	 fundada	pelo	 japonês	Jigoro	Kano,	em	1882.	Ele	 idealizou	
regras	para	um	confronto	esportivo	que	poderia	oferecer	aos	praticantes	uma	extraordiná-
ria	oportunidade	no	sentido	de	serem	superadas	as	próprias	limitações	do	ser	humano.	O	
maior	lema	da	modalidade	é	usar	a	força	do	adversário	a	seu	favor.	
Todos	os	lutadores	devem	usar	um	judogi,	nas	lutas	oficiais,	composto	de	kimono,	calça	e	
faixa.	As	lutas	de	judô,	tanto	no	masculino	quanto	no	feminino,	são	disputadas	em	um	único	
round	de	cinco	minutos.	Em	caso	de	empate,	a	disputa	vai	para	o	golden score	de	três	minu-
tos,	no	qual	o	primeiro	atleta	que	pontuar	ganha	a	luta.	Se	o	empate	persistir,	os	três	juízes	
decidem	o	vencedor	ao	levantar	uma	bandeira	da	cor	do	kimono	do	vencedor.
O	objetivo	do	judô	é	conquistar	o	ippon	(ponto	completo).	O	ippon	é	conquistado	quan-
do	um	judoca	consegue	derrubar	o	adversário,	imobilizando-o	com	as	costas	ou	ombros	no	
chão	durante	meio	minuto.	Quando	o	ippon	é	concretizado,	o	combate	se	encerra. 
Outra	forma	de	conquistar	o	ippon	é	através	da	obtenção	de	dois	wazari,	que	valem	meio	
ponto	(vantagem).	Pode-se	também	conquistar	pontos	com	o	yuko,	que	vale	um	terço	de	
ponto,	e	com	a	koka,	que	vale	um	quarto	de	ponto.	
Veja	uma	tabela	de	pontuação	do	judô	de	1988.	
Golpe Pontuação
Ippon 1	ponto
Wazari 
1
2
	ponto
Yuko 
1
4
	ponto
Koka 
1
8
	ponto
Hansokumake 1	ponto
keikoku
1
2
	ponto
Chui 
1
4
	ponto
Shidô 
1
8
	ponto
Fonte:	http://rederecord.r7.com/londres-2012/esportes/judo/.	Acessado	em	26/02/2015.	Adaptado.
68 CAPÍTULO 3 I Números racionais
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69
Leitura complementar
Fração
O	termo	fração	tem	sido	comumen-
te	 usado	 tanto	 para	 designar	 certas	
partes	de	um	todo,	ou	de	uma	unida-
de,	quanto	para	designar	uma	 repre-
sentação	 numérica	 dessa	 parte.	 O	
próprio	contexto	dirá	quando	a	fração	
está	designando	uma	parte	da	unida-
de	—	aqui	temos	um	quarto	de	queijo,	
ali	está	meio	melão	—	ou	quando	ex-
pressa	numericamente	essa	parte	—	o	
pedaço	correspondente	a	 1
4
	de	quei-
jo,	a	parte	correspondente	a	 1
2
	melão.
Número fracionário
É	o	número	associado	à	classe	de	
equivalência	de	uma	determinada	fra-
ção.	 Podemos	 imaginar	 as	 frações	
1
2
2
4
3
6
180
360
, , ,..., ,... 	 como	 diferentes,	
num	certo	sentido,	mas	equivalentes.	
Mas,	ao	conjunto	delas,	está	associada	
a	 ideia	de	um	só	número	 fracionário.	
Não	temos	um	símbolo	diferente	para	
distinguir	 o	 número	 fracionário	 asso-
ciado	 a	 essa	 classe.	 Ele	 se	 confunde	
com	o	símbolo	de	qualquer	fração	da	
classe,	embora	muitas	vezes	seja	usa-
da	a	fração	que	tem	o	menor	numera-
dor	e	o	menor	denominador	(no	caso,	
1
2
).	A	fração,	usada	como	registro	nu-
mérico	de	certa	parte	da	unidade,	con-
funde-se	com	o	registro	do	número	fra-
cionário	que	representa	essa	parte.Anotações
Refletindo sobre o texto
Imagine	que	você	foi	a	uma	luta	de	judô,	entre	um	japonês	e	um	coreano,	na	qual	os	lutadores	ti-
veram	o	seguinte	desempenho:	
	Japonês:	um	koka,	um	yuko,	um	wazari	e	três	shidô.	
	Coreano:	um	wazari,	dois	koka,	um	chui,	um	shidô	e	um	yuko.
Baseado	nessas	informações	e	nas	encontradas	no	texto,	descubra	quem	venceu	a	luta.
O	coreano.
Simplificação de frações
	 A	 simplificação	das	 frações	 nos	 auxilia	 principalmente	quando	precisamos	multiplicar	 ou	
dividir	frações	com	numeradores	e	denominadores	grandes,	como	no	caso	abaixo.	
480
320
48
32
6
4
3
2
10
10
8
8
2
2
÷
÷
÷
÷
÷
÷= = = 	
Dessa	forma,	 3
2
	é	a	forma	mais	simples	de	escrever	 480
320
.	
Como	nenhum	número	natural	diferente	de	1	divide	ao	mesmo	tempo	3	e	2,	esta	é	a	forma	mais	
simplificada,	chamada	de	fração irredutível.	
Atividades
1. Entre	vinte	e	cinco	peixinhos	de	um	aquário,	
cinco	 são	 dourados.	 Assim,	 podemos	 afirmar	
que	a	fração	que	representa	os	peixinhos	dou-
rados	é:
a. 	 	 5
100
	
b. 	X 	 1
5
	
c. 	 	 5
20
	
d. 	 	 25
20
	
e. 	 	 25
5
Alternativa	 “b”,	 pois	 a	 questão	
sugere	a	fração	 5
25
,	que	simplifi-
cada	fica	 5
25
1
5
5
5
÷
÷ = 	.
2. Observe	a	imagem	e	marque	a	única	alterna-
tiva	incorreta:
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69CAPÍTULO 3 I Números racionais
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Para analisar:
Judô
O	 judô	é	uma	arte	marcial	 fundada	pelo	 japonês	Jigoro	Kano,	em	1882.	Ele	 idealizou	
regras	para	um	confronto	esportivo	que	poderia	oferecer	aos	praticantes	uma	extraordiná-
ria	oportunidade	no	sentido	de	serem	superadas	as	próprias	limitações	do	ser	humano.	O	
maior	lema	da	modalidade	é	usar	a	força	do	adversário	a	seu	favor.	
Todos	os	lutadores	devem	usar	um	judogi,	nas	lutas	oficiais,	composto	de	kimono,	calça	e	
faixa.	As	lutas	de	judô,	tanto	no	masculino	quanto	no	feminino,	são	disputadas	em	um	único	
round	de	cinco	minutos.	Em	caso	de	empate,	a	disputa	vai	para	o	golden score	de	três	minu-
tos,	no	qual	o	primeiro	atleta	que	pontuar	ganha	a	luta.	Se	o	empate	persistir,	os	três	juízes	
decidem	o	vencedor	ao	levantar	uma	bandeira	da	cor	do	kimono	do	vencedor.
O	objetivo	do	judô	é	conquistar	o	ippon	(ponto	completo).	O	ippon	é	conquistado	quan-
do	um	judoca	consegue	derrubar	o	adversário,	imobilizando-o	com	as	costas	ou	ombros	no	
chão	durante	meio	minuto.	Quando	o	ippon	é	concretizado,	o	combate	se	encerra. 
Outra	forma	de	conquistar	o	ippon	é	através	da	obtenção	de	dois	wazari,	que	valem	meio	
ponto	(vantagem).	Pode-se	também	conquistar	pontos	com	o	yuko,	que	vale	um	terço	de	
ponto,	e	com	a	koka,	que	vale	um	quarto	de	ponto.	
Veja	uma	tabela	de	pontuação	do	judô	de	1988.	
Golpe Pontuação
Ippon 1	ponto
Wazari 
1
2
	ponto
Yuko 
1
4
	ponto
Koka 
1
8
	ponto
Hansokumake 1	ponto
keikoku
1
2
	ponto
Chui 
1
4
	ponto
Shidô 
1
8
	ponto
Fonte:	http://rederecord.r7.com/londres-2012/esportes/judo/.	Acessado	em	26/02/2015.	Adaptado.
68 CAPÍTULO 3 I Números racionais
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ME_Matemática_Contextualizada_7A_03.indd 69 29/05/2018 11:51:15
70
a. A	barra	de	chocolate	pode	 ser	dividida	em	
quantos	tabletes?	
Pode	ser	dividida	em	18	tabletes.
b. Seis	desses	tabletes	representam	que	parte	
ou	fração	desse	chocolate?
A	 fração	 que	 representa	 6	 desses	 tabletes	 é	
6
18
1
3
6
6
:
: = 	.
5. Dadas	as	frações:
I. 5
4
	 II.	 7
3
	 III.	 7
5
		 IV.		 11
5
a. Faça,	em	seu	caderno,	umdesenho	para	re-
presentar	cada	uma	dessas	frações.
b. Alguma	 dessas	 frações	 representa	 menos	
que	uma	unidade?	
Resposta	pessoal.
Nenhuma	dessas	frações	representa	menos	de	
uma	unidade.
c. Como	são	chamadas	as	frações	cujo	numera-
dor	é	sempre	maior	que	o	denominador?
Frações	impróprias.
6
2
=	3,	assim	como	 12
4
	também	o	é.	Como	estas,	infinitas	outras	frações	serão	iguais,	por	exem-
plo,	 18
6
24
8
300
100
, , ...
A	esse	tipo	de	fração,	damos	o	nome	de	frações equivalentes.	Outros	exemplos:
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
6
12
= = = = = = ...
Comparação de frações
Frações	iguais	não	são	obrigatoriamente	idênticas.	Por	exemplo:
Frações com denominadores iguais 
Quando	o	denominador	de	duas	frações	for	igual,	o	maior	numerador	define	o	maior	número.	
Observe:
	
4
3
	é	maior	que	
2
3
,	pois,	por	exemplo,	4	milhões	de	reais	divididos	para	3	pessoas	representa	
maior	quantia	que	2	milhões	divididos	para	3	pessoas.
4
3
2
3
4
3
2
3
>
71CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 71 05/04/2018 21:41:57
Essas	 frações	 são	 próprias	 ou	 impróprias?	 Por	
quê?
a. 	 	A	fração	que	representa	o	número	de	ca-
valos	brancos	é	 1
4
.
b. 	 	A	fração	que	representa	o	número	de	ca-
valos	marrons	é	 1
2
.
c. 	 X 	É	correto	afirmar	que	a	fração	que	repre-
senta	o	número	de	cavalos	pretos	é	uma	
fração	imprópria.
d. 	 	É	correto	afirmar	que	a	fração	que	repre-
senta	 o	 número	 de	 cavalos	 marrons	 é	
uma	fração	própria.
3. Determine	a	fração	que	cada	elemento	dife-
rente	do	grupo	representa	em	relação	ao	total	e
escreva	como	se	lê	cada	fração	que	você	deter-
minou.	
a
d
b
c
Todas	as	frações	são	próprias,	pois	têm	o	nume-
rador	menor	que	o	denominador.
a. 	Um	oitavo.1
8
b. 	Um	sétimo.1
7
c. 	 Um	quinto.1
5
d. 	Um	quinze	avos.
1
15
4. Observe	a	imagem.
M
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silvergull/Shutterstock.com
70 CAPÍTULO 3 I Números racionais
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71
Dicas para o professor
•		Fazer	a	comparação	entre	números	
racionais	na	forma	de	fração	e	na	for-
ma	de	números	decimais.
•		 Mostre	 aos	 alunos	 que,	 antes	 de	
comparar,	 eles	 poderão	 localizar	 os	
números	na	reta	real.
•		 É	 necessário	 que	 eles	 visualizem	 a	
comparação	na	reta	real	para	que	pos-
sam	construir	o	conceito,	e	assim	evitar	a	
memorização	de	regras	de	comparação.
Anotações
a. A	barra	de	chocolate	pode	 ser	dividida	em	
quantos	tabletes?	
Pode	ser	dividida	em	18	tabletes.
b. Seis	desses	tabletes	representam	que	parte	
ou	fração	desse	chocolate?
A	 fração	 que	 representa	 6	 desses	 tabletes	 é	
6
18
1
3
6
6
:
: = 	.
5. Dadas	as	frações:
I. 5
4
	 II.	 7
3
	 III.	 7
5
		 IV.		 11
5
a. Faça,	em	seu	caderno,	um	desenho	para	re-
presentar	cada	uma	dessas	frações.
b. Alguma	 dessas	 frações	 representa	 menos	
que	uma	unidade?	
Resposta	pessoal.
Nenhuma	dessas	frações	representa	menos	de	
uma	unidade.
c. Como	são	chamadas	as	frações	cujo	numera-
dor	é	sempre	maior	que	o	denominador?
Frações	impróprias.
6
2
=	3,	assim	como	 12
4
	também	o	é.	Como	estas,	infinitas	outras	frações	serão	iguais,	por	exem-
plo,	 18
6
24
8
300
100
, , ...
A	esse	tipo	de	fração,	damos	o	nome	de	frações equivalentes.	Outros	exemplos:
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
6
12
= = = = = = ...
Comparação de frações
Frações	iguais	não	são	obrigatoriamente	idênticas.	Por	exemplo:
Frações com denominadores iguais 
Quando	o	denominador	de	duas	frações	for	igual,	o	maior	numerador	define	o	maior	número.	
Observe:
	
4
3
	é	maior	que	
2
3
,	pois,	por	exemplo,	4	milhões	de	reais	divididos	para	3	pessoas	representa	
maior	quantia	que	2	milhões	divididos	para	3	pessoas.
4
3
2
3
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71CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 71 05/04/2018 21:41:57
Essas	 frações	 são	 próprias	 ou	 impróprias?	 Por	
quê?
a. 	 	A	fração	que	representa	o	número	de	ca-
valos	brancos	é	 1
4
.
b. 	 	A	fração	que	representa	o	número	de	ca-
valos	marrons	é	 1
2
.
c. 	 X 	É	correto	afirmar	que	a	fração	que	repre-
senta	o	número	de	cavalos	pretos	é	uma	
fração	imprópria.
d. 	 	É	correto	afirmar	que	a	fração	que	repre-
senta	 o	 número	 de	 cavalos	 marrons	 é	
uma	fração	própria.
3. Determine	a	fração	que	cada	elemento	dife-
rente	do	grupo	representa	em	relação	ao	total	e
escreva	como	se	lê	cada	fração	que	você	deter-
minou.	
a
d
b
c
Todas	as	frações	são	próprias,	pois	têm	o	nume-
rador	menor	que	o	denominador.
a. 	Um	oitavo.1
8
b. 	Um	sétimo.1
7
c. 	 Um	quinto.1
5
d. 	Um	quinze	avos.
1
15
4. Observe	a	imagem.
M
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72
Adição e subtração de frações
Frações de mesmo denominador
Veja	a	seguinte	situação:
A	fração	que	representa	essa	figura	é	 1
5
.
Agora,	observe	a	figura	abaixo,	que,	por	sua	vez,	representa	a	fração	 2
5
.
Veja	o	que	acontece	quando	somamos	essas	duas	frações:
+
A	fração	que	representa	essa	soma	é	 3
5
.	Observe	que,	na	adição	de	frações,	não	somamos	os	
denominadores,	mas	apenas	os	numeradores.	
1
5
2
5
3
5
+ =
Nesse	caso,	quanto	devemos	somar	a	 1
5
	para	obtermos	um	inteiro?	(O	inteiro	no	exemplo	seria	 5
5
.)
Respondemos	com	uma	subtração:	
5
5
1
5
4
5
− =
Para	adição	ou	subtração	de	frações	com	o	mesmo	denominador,	somamos	ou	subtraímos	ape-
nas	os	numeradores,	mantendo	os	denominadores	sem	alteração.
Frações de denominadores diferentes
Na	comparação	de	frações,	aprendemos	a	igualar	os	denominadores.	Agora,	vamos	utilizar	essa	
mesma	 técnica	 para	 somar	 ou	 subtrair	 frações	 com	denominadores	 diferentes,	 pois	 do	mesmo	
modo	não	podemos	somá-las	ou	subtraí-las	diretamente.	
Exemplo:		 4
3
3
2
+
73CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 73 05/04/2018 21:41:58
Frações com denominadores diferentes
Não	conseguimos	comparar,	frequentemente,	frações	com	denominadores	diferentes.	Por	isso,	
temos	que	recorrer	à	equivalência,	ou	seja,	substituir	essas	frações	por	outras	equivalentes.	Para	
encontrar	frações	equivalentes,	devemos	calcular	o	M.M.C.	dos	denominadores.	Veja:
Comparando	 3
4
1
3
e ,
	 			
Temos:	 3
4
1
3
e
	12	:	4	·	3	=	9								12	:	3	·	1=	4										
9
12
4
12
,




 		
Assim,	calculando	o	M.M.C.	dos	denominadores,	que	nesse	caso	é	12,	encontramos	frações	equi-
valentes	às	primeiras	
9
12
4
12
,




 ,	com	denominadores	iguais;	logo,	possíveis	de	ser	comparadas.
Amplie o conhecimento
A	China	é	o	país	de	maior	população	do	
mundo	há	muito	tempo.	Quando	realizou	
seu	primeiro	Censo,	em	1953,	a	contagem	
revelou	 582	 milhões	 de	 habitantes;	 hoje	
possui	cerca	de	1,3	bilhão	de	habitantes.
Já	 a	 população	 do	 planeta	 Terra	 atin-
giu	7,2	bilhões	de	pessoas	em	2013,	como	
informa	 a	 Organização	 das	 Nações	 Uni-
das	 (ONU)	 no	 estudo	 Perspectivas de 
População Mundial.	E,	de	acordo	com	as	
projeções	 de	 crescimento	 demográfico	
apresentadas	pela	entidade,	a	população	
mundial	deve	chegar	a	8,1	bilhões	de	pes-
soas	em	2025	e	9,6	bilhões,	em	2050.
De	acordo	com	o	texto,	podemos	afirmar	que	a	população	chinesa	representa	aproximadamente	
18
100
	da	população	mundial?	
Sim,	pois	a	população	da	China	representa	aproximadamente	0,18,	ou	
18
100
	da	população	mundial.
Leia	o	texto	e,	em	seguida,	responda	ao	que	se	pede.
12 12
e
te
st
in
g
/S
hu
tt
er
st
o
ck
.c
o
m
72 CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd72 05/04/2018 21:41:58
ME_Matemática_Contextualizada_7A_03.indd 72 29/05/2018 11:51:19
73
Dicas para o professor
•		 Efetuar	 adições	 e	 subtrações	 com	
números	racionais	corretamente.
•		Relembre	as	operações	 com	 frações	
com	sinais	positivos	para	depois	ampliar	
esse	conceito	efetuando	operações	com	
números	racionais	com	sinais	diferentes.
•		 É	 preciso	 que	 os	 alunos	 encarem	
esse	 assunto	 como	 uma	 continuida-
de	dos	conceitos	que	já	construíram,	e	
não	como	um	novo	conceito.
•		Mostre	aos	alunos	que	algumas	re-
gras	não	são	válidas	para	os	números	
racionais.
•		Discuta	diferentes	formas	de	resolu-
ção	e	peça	aos	alunos	que	participem	
dando	sugestões.
Anotações
Adição e subtração de frações
Frações de mesmo denominador
Veja	a	seguinte	situação:
A	fração	que	representa	essa	figura	é	 1
5
.
Agora,	observe	a	figura	abaixo,	que,	por	sua	vez,	representa	a	fração	 2
5
.
Veja	o	que	acontece	quando	somamos	essas	duas	frações:
+
A	fração	que	representa	essa	soma	é	 3
5
.	Observe	que,	na	adição	de	frações,	não	somamos	os	
denominadores,	mas	apenas	os	numeradores.	
1
5
2
5
3
5
+ =
Nesse	caso,	quanto	devemos	somar	a	 1
5
	para	obtermos	um	inteiro?	(O	inteiro	no	exemplo	seria	 5
5
.)
Respondemos	com	uma	subtração:	
5
5
1
5
4
5
− =
Para	adição	ou	subtração	de	frações	com	o	mesmo	denominador,	somamos	ou	subtraímos	ape-
nas	os	numeradores,	mantendo	os	denominadores	sem	alteração.
Frações de denominadores diferentes
Na	comparação	de	frações,	aprendemos	a	igualar	os	denominadores.	Agora,	vamos	utilizar	essa	
mesma	 técnica	 para	 somar	 ou	 subtrair	 frações	 com	denominadores	 diferentes,	 pois	 do	mesmo	
modo	não	podemos	somá-las	ou	subtraí-las	diretamente.	
Exemplo:		 4
3
3
2
+
73CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 73 05/04/2018 21:41:58
Frações com denominadores diferentes
Não	conseguimos	comparar,	frequentemente,	frações	com	denominadores	diferentes.	Por	isso,	
temos	que	recorrer	à	equivalência,	ou	seja,	substituir	essas	frações	por	outras	equivalentes.	Para	
encontrar	frações	equivalentes,	devemos	calcular	o	M.M.C.	dos	denominadores.	Veja:
Comparando	 3
4
1
3
e ,
	 			
Temos:	 3
4
1
3
e
	12	:	4	·	3	=	9								12	:	3	·	1=	4										
9
12
4
12
,




 		
Assim,	calculando	o	M.M.C.	dos	denominadores,	que	nesse	caso	é	12,	encontramos	frações	equi-
valentes	às	primeiras	
9
12
4
12
,




 ,	com	denominadores	iguais;	logo,	possíveis	de	ser	comparadas.
Amplie o conhecimento
A	China	é	o	país	de	maior	população	do	
mundo	há	muito	tempo.	Quando	realizou	
seu	primeiro	Censo,	em	1953,	a	contagem	
revelou	 582	 milhões	 de	 habitantes;	 hoje	
possui	cerca	de	1,3	bilhão	de	habitantes.
Já	 a	 população	 do	 planeta	 Terra	 atin-
giu	7,2	bilhões	de	pessoas	em	2013,	como	
informa	 a	 Organização	 das	 Nações	 Uni-
das	 (ONU)	 no	 estudo	 Perspectivas de 
População Mundial.	E,	de	acordo	com	as	
projeções	 de	 crescimento	 demográfico	
apresentadas	pela	entidade,	a	população	
mundial	deve	chegar	a	8,1	bilhões	de	pes-
soas	em	2025	e	9,6	bilhões,	em	2050.
De	acordo	com	o	texto,	podemos	afirmar	que	a	população	chinesa	representa	aproximadamente	
18
100
	da	população	mundial?	
Sim,	pois	a	população	da	China	representa	aproximadamente	0,18,	ou	
18
100
	da	população	mundial.
Leia	o	texto	e,	em	seguida,	responda	ao	que	se	pede.
12 12
e
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g
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72 CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 72 05/04/2018 21:41:58
ME_Matemática_Contextualizada_7A_03.indd 73 29/05/2018 11:51:20
74
Leitura complementar
Há	mais	de	1.000	anos,	os	chineses	
usavam	um	método	diferente	para	so-
mar	 frações.	Esse	método	não	exigia	
que	 os	 denominadores	 das	 parcelas	
fossem	iguais.	Ele	aparece	em	um	dos	
primeiros	livros	chineses	de	Matemáti-
ca,	chamado	Nove capítulos.	Veja	um	
exemplo	de	como	eles	faziam:
2
3
4
5
2 5 10
3 4 12
10 12 22
+ =
⋅ =
⋅ =
+ =
?
	
(numerador	da	soma)
2
3
4
5
3 5 15
+
⋅ =
	
(denominador	da	soma)
Assim:	 2
3
4
5
22
15
+ = 	
Essa	 resposta	 está	 correta?	 Verifi-
que	e	faça	outras	adições	pelo	méto-
do	dos	antigos	chineses.
Anotações
4. Carina	 passou	 1
3 	
de	 sua	 vida	morando	 na	
praia,	 1
5
	morando	na	cidade,		 2
5
	nas	montanhas	
e	o	resto	na	fazenda,	onde	ela	mais	gostava	de	
morar.	Sabendo	disso,	não	é	correto	afirmar:
a. 	 	A	maior	parte	de	 sua	 vida,	Carina	 viveu	
nas	montanhas.
b. 	 	Na	fazenda,	que	era	onde	ela	mais	gosta-
va	de	estar,	foi	onde	menos	viveu.
c. 	 	Podemos	afirmar	que,	durante	 8
15
	de	sua	
vida,	ela	morou	entre	a	praia	e	a	cidade.
d. 	X 	Ela	viveu	na	fazenda	por	 9
13
	de	sua	vida.
5. Meus	dois	primos	me	visitaram	neste	final	de	
semana.	Distribuí	entre	eles	 4
5
	dos	chocolates	
que	eu	possuía	em	casa,	de	modo	que	um	ga-
nhou	10,	o	outro	ganhou	 7
12
e	eu	comi	o	restan-
te.	Assim	sendo,	quantos	chocolates	eu	comi?
6. Luíza	comeu	 3
8
	de	um	tablete	de	chocolate,	
e	Ana	 1
4
	desse	mesmo	tablete.	Qual	a	fração	do	
tablete	de	chocolate	que	sobrou	para	a	Cecília	
comer?
6.
3
8
.
Nessa	operação,	multiplicamos	os	numeradores	e	os	denominadores	entre	si,	o	que	quer	dizer	
que	5	vezes	 2
3
	significa	 2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
+ + + + .	Como	você	já	sabe,	nesse	caso	somamos	os	numeradores	
e	repetimos	o	denominador:	 2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
+ + + + =	
10
3
.	
Multiplicação de frações 
Frações de mesmo denominador
Frações de denominadores diferentes
Multiplicar	frações	com	denominadores	diferentes	é	mais	fácil	do	que	somá-las,	pois	para	somar	
temos	que	igualar	os	denominadores,	achando	frações	equivalentes.	Para	multiplicar,	basta	multi-
plicarmos	numeradores	e	denominadores	entre	si.	Veja:
	
2
5
3
4
2 3
5 4
6
20
⋅ =
⋅
⋅
=
A	fração	resultante	do	produto	acima	poderia	ser	simplificada,	conforme	já	estudamos:	
6
20
3
10
2
2
:
: = .	
Saber	simplificar	frações	é	muito	importante,	pois	necessitaremos	desse	conhecimento	em	futu-
ros	conteúdos,	como	relações	entre	triângulos,	proporções,	porcentagens	e	muitos	outros.	Por	isso,	
vamos	agora	aprender	uma	técnica	utilizada	para	simplificar	uma	fração	antes	de	efetuar	o	produto,	
conhecida	como	técnica do cancelamento.
Veja	alguns	exemplos:
75CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 75 05/04/2018 21:42:00
3. Explique,	com	um	pequeno	texto,	os	proce-
dimentos	que	utilizamos	para	efetuar	o	cálculo	
3
5
1
2
+ .
Utilizando	o	conhecimento	em	frações	equivalentes	para	obter	frações	de	mesmo	denominador,	
teremos	 8
6
9
6
+ .	Depois,	sim,	podemos	somar:	
8
6
9
6
17
6
+ =
Atividades
1. A	parte	 colorida	dos	gráficos	 abaixo	 repre-
senta	a	parte	ocupada	do	HD	de	quatro	note-
books	de	mesma	capacidade.
e. Para	representarmos	a	soma	do	espaço	ocu-
pado	no	notebook	 II	com	o	do	notebook	 IV,	o	
que	teríamos	que	fazer?	
a. Represente	com	uma	fração	a	parte	ocupada	
de	cada	notebook.
5
8
2
8
3
4
2
4
; ; ;
b. Some	as	frações	que	representam	o	espaço	
ocupado	dos	notebooks	I	e	II,	depois	some	tam-
bém	o	espaço	ocupado	dos	notebooks	III	e	IV.	
Qual	das	frações	resultantes	é	imprópria?	O	que	
significa	ser	fração	imprópria?
5
8
2
8
7
8
3
4
2
4
5
4
+ =
+ =
A	fração	da	soma	entre	os	note-
books	III	e	IV	é	imprópria,	pois	o	
numerador	foi	maior	que	o	de-
nominador.
c. O	espaço	vazio	do	notebook	I	suporta	todo	o	
conteúdo	do	notebook	II?	
Sim.
d. O	espaço	vazio	do	notebook	III	suporta	todo	
o	conteúdo	do	notebook	IV?
Não.
Pode	ser	feita	a	simplificação	da	fração	do	note-
book	II	para,	então,	fazer	a	soma.	Observe:	note-
book II	
2
8
1
4
2
2
:
: = ,	assim	a	soma	ficaria:	
1
4
2
4
3
4
+ = .
2. Qual	é	a	soma	que	representa	o	maior	número?
a. 	
2
6
3
6
+ 																	
b. 
2
6
1
2
+
c. 
1
3
3
6
+ 																
d. 
1
3
1
2
+
2
6
3
6
5
6
+ =
2
6
1
2
2
6
3
6
5
6
+ = + =
1
3
3
6
2
6
3
6
5
6
+ = + =
1
3
1
2
2
6
3
6
5
6
+ = + =
To
d
as
	a
s	
ad
iç
õ
es
	re
p
re
se
nt
am
	a
	m
esm
a	
fr
aç
ão
.
Devemos	igualar	o	denominador,	calculando	o	
M.M.C.,	de	5	e	2.	De	posse	do	novo	denomina-
dor	 10,	 multiplicaremos	 pelos	 denominadores	
antigos	 5	 e	 2	 e	 multiplicaremos	 pelos	 nume-
radores	3	e	1.	Daí,	 somamos	apenas	os	novos	
numeradores	e	obtemos	o	resultado	da	adição	
dessas	frações.
I.
III.
II.
IV.
74 CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 74 05/04/2018 21:42:00
ME_Matemática_Contextualizada_7A_03.indd 74 29/05/2018 11:51:22
75
Dicas para o professor
•		 Resolver	 situações-problema	 com	
números	racionais	e	inteiros	e	efetuar	
a	multiplicação	de	números	racionais.
•		 É	 importante	 que	 os	 alunos	 resol-
vam	problemas	em	que	estejam	inseri-
das	situações	de	seu	cotidiano.
•		Mostre	aos	alunos	que	a	resolução	
de	situações-problema	frequentemen-
te	 exige	 que	 se	 efetue	mais	 de	 uma	
operação.
Anotações
4. Carina	 passou	 1
3 	
de	 sua	 vida	morando	 na	
praia,	 1
5
	morando	na	cidade,		 2
5
	nas	montanhas	
e	o	resto	na	fazenda,	onde	ela	mais	gostava	de	
morar.	Sabendo	disso,	não	é	correto	afirmar:
a. 	 	A	maior	parte	de	 sua	 vida,	Carina	 viveu	
nas	montanhas.
b. 	 	Na	fazenda,	que	era	onde	ela	mais	gosta-
va	de	estar,	foi	onde	menos	viveu.
c. 	 	Podemos	afirmar	que,	durante	 8
15
	de	sua	
vida,	ela	morou	entre	a	praia	e	a	cidade.
d. 	X 	Ela	viveu	na	fazenda	por	 9
13
	de	sua	vida.
5. Meus	dois	primos	me	visitaram	neste	final	de	
semana.	Distribuí	entre	eles	 4
5
	dos	chocolates	
que	eu	possuía	em	casa,	de	modo	que	um	ga-
nhou	10,	o	outro	ganhou	 7
12
e	eu	comi	o	restan-
te.	Assim	sendo,	quantos	chocolates	eu	comi?
6. Luíza	comeu	 3
8
	de	um	tablete	de	chocolate,	
e	Ana	 1
4
	desse	mesmo	tablete.	Qual	a	fração	do	
tablete	de	chocolate	que	sobrou	para	a	Cecília	
comer?
6.
3
8
.
Nessa	operação,	multiplicamos	os	numeradores	e	os	denominadores	entre	si,	o	que	quer	dizer	
que	5	vezes	 2
3
	significa	 2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
+ + + + .	Como	você	já	sabe,	nesse	caso	somamos	os	numeradores	
e	repetimos	o	denominador:	 2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
+ + + + =	
10
3
.	
Multiplicação de frações 
Frações de mesmo denominador
Frações de denominadores diferentes
Multiplicar	frações	com	denominadores	diferentes	é	mais	fácil	do	que	somá-las,	pois	para	somar	
temos	que	igualar	os	denominadores,	achando	frações	equivalentes.	Para	multiplicar,	basta	multi-
plicarmos	numeradores	e	denominadores	entre	si.	Veja:
	
2
5
3
4
2 3
5 4
6
20
⋅ =
⋅
⋅
=
A	fração	resultante	do	produto	acima	poderia	ser	simplificada,	conforme	já	estudamos:	
6
20
3
10
2
2
:
: = .	
Saber	simplificar	frações	é	muito	importante,	pois	necessitaremos	desse	conhecimento	em	futu-
ros	conteúdos,	como	relações	entre	triângulos,	proporções,	porcentagens	e	muitos	outros.	Por	isso,	
vamos	agora	aprender	uma	técnica	utilizada	para	simplificar	uma	fração	antes	de	efetuar	o	produto,	
conhecida	como	técnica do cancelamento.
Veja	alguns	exemplos:
75CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 75 05/04/2018 21:42:00
3. Explique,	com	um	pequeno	texto,	os	proce-
dimentos	que	utilizamos	para	efetuar	o	cálculo	
3
5
1
2
+ .
Utilizando	o	conhecimento	em	frações	equivalentes	para	obter	frações	de	mesmo	denominador,	
teremos	 8
6
9
6
+ .	Depois,	sim,	podemos	somar:	
8
6
9
6
17
6
+ =
Atividades
1. A	parte	 colorida	dos	gráficos	 abaixo	 repre-
senta	a	parte	ocupada	do	HD	de	quatro	note-
books	de	mesma	capacidade.
e. Para	representarmos	a	soma	do	espaço	ocu-
pado	no	notebook	 II	com	o	do	notebook	 IV,	o	
que	teríamos	que	fazer?	
a. Represente	com	uma	fração	a	parte	ocupada	
de	cada	notebook.
5
8
2
8
3
4
2
4
; ; ;
b. Some	as	frações	que	representam	o	espaço	
ocupado	dos	notebooks	I	e	II,	depois	some	tam-
bém	o	espaço	ocupado	dos	notebooks	III	e	IV.	
Qual	das	frações	resultantes	é	imprópria?	O	que	
significa	ser	fração	imprópria?
5
8
2
8
7
8
3
4
2
4
5
4
+ =
+ =
A	fração	da	soma	entre	os	note-
books	III	e	IV	é	imprópria,	pois	o	
numerador	foi	maior	que	o	de-
nominador.
c. O	espaço	vazio	do	notebook	I	suporta	todo	o	
conteúdo	do	notebook	II?	
Sim.
d. O	espaço	vazio	do	notebook	III	suporta	todo	
o	conteúdo	do	notebook	IV?
Não.
Pode	ser	feita	a	simplificação	da	fração	do	note-
book	II	para,	então,	fazer	a	soma.	Observe:	note-
book II	
2
8
1
4
2
2
:
: = ,	assim	a	soma	ficaria:	
1
4
2
4
3
4
+ = .
2. Qual	é	a	soma	que	representa	o	maior	número?
a. 	
2
6
3
6
+ 																	
b. 
2
6
1
2
+
c. 
1
3
3
6
+ 																
d. 
1
3
1
2
+
2
6
3
6
5
6
+ =
2
6
1
2
2
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3
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5
6
+ = + =
1
3
3
6
2
6
3
6
5
6
+ = + =
1
3
1
2
2
6
3
6
5
6
+ = + =
To
d
as
	a
s	
ad
iç
õ
es
	re
p
re
se
nt
am
	a
	m
es
m
a	
fr
aç
ão
.
Devemos	igualar	o	denominador,	calculando	o	
M.M.C.,	de	5	e	2.	De	posse	do	novo	denomina-
dor	 10,	 multiplicaremos	 pelos	 denominadores	
antigos	 5	 e	 2	 e	 multiplicaremos	 pelos	 nume-
radores	3	e	1.	Daí,	 somamos	apenas	os	novos	
numeradores	e	obtemos	o	resultado	da	adição	
dessas	frações.
I.
III.
II.
IV.
74 CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 74 05/04/2018 21:42:00
ME_Matemática_Contextualizada_7A_03.indd 75 29/05/2018 11:51:23
76
Dicas para o professor
•	Mostre	aos	alunos	a	diferença	de	se	
trabalhar	problemas	com	duas	tornei-
ras	e	com	mais	de	duas.
•	Mostre	aos	alunos	que	as	regras	da	
multiplicação	de	inteiros	permanecem	
para	os	racionais.
•	Lembre	que	a	multiplicação	e	a	divi-
são	seguem	a	mesma	regra	e	que	to-
da	 divisão	 de	 fração	 é	 transformada	
em	multiplicação.
•	Ressalte	 que,	 na	 multiplicação	 de	
frações,	pode	 ser	usada	a	 técnica	do	
cancelamento.
•	Embora	o	cancelamento	seja	de	mui-
to	uso,	é	interessante	mostrar	ao	edu-
cando	o	verdadeiro	motivo	pelo	qual	
podemos	cancelar,	ou	seja,	que	a	pro-
priedade	é	consequência	do	elemen-
to	neutro	(quando	numerador	e	deno-
minador	forem	iguais)	e	da	simplifica-
ção	de	fração.
Anotações
Exemplo:
Uma	torneira	enche	um	tanque	em	4	horas,	outra	torneira	consegue	completar	o	mesmo	tanque 
em	6	horas.	Sendo	ambas	abertas	ao	mesmo	tempo,	em	quanto	tempo	conseguirão	encher,	juntas,	
esse	tanque?	
Vamos	chamar	as	torneiras	de	torneira	X	e	torneira	Y.	Resumindo:	
torneira X torneira Y
volume V V
tempo 4	horas 6	horas
Se	as	torneiras	irão	trabalhar	juntas,	temos:	
V V
4 6
+ 	
A	fração	resultante	mostra	que,	nessas	condições,	encheríamos	5	tanques	iguais	em	12	horas.	
Então,	dividimos	numerador	e	denominador	por	5,	para	descobrir	quantas	horas	serão	suficientes	
para	encher	apenas	um	tanque.
V V V V V
4 6
3 2
12
5
12
12
5
+ =
+
= = 	
Pelo	quociente,	temos	que	ambas	as	torneiras	preenchem	o	volume	V	em	12/5	horas	(2,4	horas 
= 2h24min).
Atenção:	Cuidado	na	conversão	de	horas	indicadas	em	deci-
mais	para	tempo	em	formato	estendido.	Por	exemplo,	1,5	hora	
é	1h30min,	e	não	1h50min!	Basta	multiplicarmos	cada	décimo	
de	hora	por	6	minutos.
Um	décimo	(0,1)	de	hora	é	igual	a	6	min.,	então	0,4	corres-
ponde	a	4	×	6	=	24	min.
Atividades
1. Se	 um	 jacaré	 adulto	 entrar	 em	 uma	 lagoa,	
próxima	ao	mangue	que	habita,	ele	dizimará	a	
população	de	peixes	em	8	horas.	Mas,	se	for	um	
filhote,	isso	só	ocorrerá	em	12	horas.	Em	quan-
tas	horas	os	dois	jacarés	juntos	dizimariam	toda	
a	população	de	peixes	dessa	lagoa?
2. Uma	torneira	enche	um	tanque	em	6	horas.	
Outra	torneira	o	enche	em	3	horas.	Abrindo-se	
as	duas	torneiras	simultaneamente,	em	quanto	
tempo	o	tanque	ficará	cheio?
4,8	horas	=	4	horas	e	48	minutos.
2	horas.
77CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 77 05/04/2018 21:42:01
a)
	
12
5
15
6
180
30
6⋅ = =
Observe	que	podemos	resolver	de	outra	forma:
12
5
15
6
2
1
3
1
2 3 6
6
5
5
6
÷
÷
÷
÷⋅ = ⋅ = ⋅ =
Podemos	simplificar	12	e	6	dividindo	ambos	por	6,	que	dará	2.	Depois,	15	e	5	por	5,	que	dará	3.	
Assim,	ficamos	com	um	simples	produto	de	2	por	3.
b)
	
32
5
65
16
2 080
80
26⋅ = =
.
	 Podemos	simplificar	32	e	16	dividindo	ambos	por	16,que	dará	2.	Depois,	65	e	5	por	5,	que	
dará	13.	Ficamos,	assim,	com	um	simples	produto	de	2	por	13,	como	podemos	ver	abaixo.
32
5
65
16
2
1
13
1
26
16
5
5
16
÷
÷
÷
÷⋅ = ⋅ =
A	técnica	do	cancelamento	também	é	de	grande	ajuda	quando	o	valor	do	produto	é	muito	alto.	
Veja:
	1 024
75
150
512
70
280
2
1
2
1
1
4
1
512
75
75
512
70
70
.
÷
÷
÷
÷
÷
÷⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = .	
1. Resolva	utilizando	a	técnica	do	cancelamento:
a.	 608
21
150
304
7
75
⋅ ⋅ =
b.	
480
21
210
48
7
720
36
14
⋅ ⋅ ⋅ =
4
3
5
2
Atividades
Problemas envolvendo torneiras
O	problema	das	torneiras	envolvendo	o	tempo	de	enchimento	de	um	reservatório	implica	em	
conhecimentos	aritméticos	ou	algébricos.	O	matemático	Hariki	afirma	que	problemas	de	torneiras	
são	antiquíssimos.	Encontramos	uma	versão	desse	tipo	de	problema	na	Antologia	grega	organizada	
por	Metrodoro,	um	matemático	grego	que	vivia	por	volta	do	ano	500	d.C.	Veja:
Eu	sou	um	leão	de	bronze;	de	meus	olhos,	boca	e	pé	direito	jorram	água.	Meu	olho	direito	enche	
uma	jarra	em	dois	dias,	meu	olho	esquerdo	em	três	dias,	e	meu	pé	direito	em	quatro	dias.	Minha	
boca	 é	 capaz	de	 enchê-la	 em	 seis	 horas,	 diga-me	quanto	 tempo	os	quatro	 juntos	 levarão	para	
enchê-la.
76 CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 76 05/04/2018 21:42:01
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77
Exemplo:
Uma	torneira	enche	um	tanque	em	4	horas,	outra	torneira	consegue	completar	o	mesmo	tanque 
em	6	horas.	Sendo	ambas	abertas	ao	mesmo	tempo,	em	quanto	tempo	conseguirão	encher,	juntas,	
esse	tanque?	
Vamos	chamar	as	torneiras	de	torneira	X	e	torneira	Y.	Resumindo:	
torneira X torneira Y
volume V V
tempo 4	horas 6	horas
Se	as	torneiras	irão	trabalhar	juntas,	temos:	
V V
4 6
+ 	
A	fração	resultante	mostra	que,	nessas	condições,	encheríamos	5	tanques	iguais	em	12	horas.	
Então,	dividimos	numerador	e	denominador	por	5,	para	descobrir	quantas	horas	serão	suficientes	
para	encher	apenas	um	tanque.
V V V V V
4 6
3 2
12
5
12
12
5
+ =
+
= = 	
Pelo	quociente,	temos	que	ambas	as	torneiras	preenchem	o	volume	V	em	12/5	horas	(2,4	horas 
= 2h24min).
Atenção:	Cuidado	na	conversão	de	horas	indicadas	em	deci-
mais	para	tempo	em	formato	estendido.	Por	exemplo,	1,5	hora	
é	1h30min,	e	não	1h50min!	Basta	multiplicarmos	cada	décimo	
de	hora	por	6	minutos.
Um	décimo	(0,1)	de	hora	é	igual	a	6	min.,	então	0,4	corres-
ponde	a	4	×	6	=	24	min.
Atividades
1. Se	 um	 jacaré	 adulto	 entrar	 em	 uma	 lagoa,	
próxima	ao	mangue	que	habita,	ele	dizimará	a	
população	de	peixes	em	8	horas.	Mas,	se	for	um	
filhote,	isso	só	ocorrerá	em	12	horas.	Em	quan-
tas	horas	os	dois	jacarés	juntos	dizimariam	toda	
a	população	de	peixes	dessa	lagoa?
2. Uma	torneira	enche	um	tanque	em	6	horas.	
Outra	torneira	o	enche	em	3	horas.	Abrindo-se	
as	duas	torneiras	simultaneamente,	em	quanto	
tempo	o	tanque	ficará	cheio?
4,8	horas	=	4	horas	e	48	minutos.
2	horas.
77CAPÍTULO 3 I Números racionais
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a)
	
12
5
15
6
180
30
6⋅ = =
Observe	que	podemos	resolver	de	outra	forma:
12
5
15
6
2
1
3
1
2 3 6
6
5
5
6
÷
÷
÷
÷⋅ = ⋅ = ⋅ =
Podemos	simplificar	12	e	6	dividindo	ambos	por	6,	que	dará	2.	Depois,	15	e	5	por	5,	que	dará	3.	
Assim,	ficamos	com	um	simples	produto	de	2	por	3.
b)
	
32
5
65
16
2 080
80
26⋅ = =
.
	 Podemos	simplificar	32	e	16	dividindo	ambos	por	16,	que	dará	2.	Depois,	65	e	5	por	5,	que	
dará	13.	Ficamos,	assim,	com	um	simples	produto	de	2	por	13,	como	podemos	ver	abaixo.
32
5
65
16
2
1
13
1
26
16
5
5
16
÷
÷
÷
÷⋅ = ⋅ =
A	técnica	do	cancelamento	também	é	de	grande	ajuda	quando	o	valor	do	produto	é	muito	alto.	
Veja:
	1 024
75
150
512
70
280
2
1
2
1
1
4
1
512
75
75
512
70
70
.
÷
÷
÷
÷
÷
÷⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = .	
1. Resolva	utilizando	a	técnica	do	cancelamento:
a.	 608
21
150
304
7
75
⋅ ⋅ =
b.	
480
21
210
48
7
720
36
14
⋅ ⋅ ⋅ =
4
3
5
2
Atividades
Problemas envolvendo torneiras
O	problema	das	torneiras	envolvendo	o	tempo	de	enchimento	de	um	reservatório	implica	em	
conhecimentos	aritméticos	ou	algébricos.	O	matemático	Hariki	afirma	que	problemas	de	torneiras	
são	antiquíssimos.	Encontramos	uma	versão	desse	tipo	de	problema	na	Antologia	grega	organizada	
por	Metrodoro,	um	matemático	grego	que	vivia	por	volta	do	ano	500	d.C.	Veja:
Eu	sou	um	leão	de	bronze;	de	meus	olhos,	boca	e	pé	direito	jorram	água.	Meu	olho	direito	enche	
uma	jarra	em	dois	dias,	meu	olho	esquerdo	em	três	dias,	e	meu	pé	direito	em	quatro	dias.	Minha	
boca	 é	 capaz	de	 enchê-la	 em	 seis	 horas,	 diga-me	quanto	 tempo	os	quatro	 juntos	 levarão	para	
enchê-la.
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78
Dicas para o professor
•	Efetuar	 divisões	 entre	 os	 números	
racionais.
•	Resolver	situações-problema	que	en-
volvam	divisões	de	números	racionais.
•	É	 interessante	notar	que	a	multipli-
cação	em	forma	de	X	é	consequência	
do	 princípio	 do	 algoritmo	 da	 divisão	
de	racionais	e	é	estabelecida	em	fun-
ção	dessa	inversão	da	segunda	fração.
2
5
3
8
2
5
8
3
16
15





 ÷





 → ⋅ = 	
•	Se	 preferir,	 peça	 aos	 alunos	 que	
criem	e	verifiquem	essa	característica.
•	Peça	aos	alunos	que	sugiram	exem-
plos	 e	 elabore,	 na	 lousa,	 problemas	
com	os	exemplos	sugeridos.
Anotações
(I)	
1
3
0 333= , ... 	ou	
1
3
0 333= ,
(II)	
5
6
0 8333= , ... 	ou	
5
6
0 833= ,
Observe	que	as	reticências	no	fim	das	frações	periódicas	servem	para	indicar	que	há	continui-
dade	dos	numerais.	Aos	numerais	decimais	em	que	há	repetição	periódica	e	infinita	de	um	ou	mais	
algarismos,	 dá-se	 o	 nome	de	numerais decimais periódicos,	 ou	dízimas periódicas.	Nelas,	 os	
algarismos	que	se	repetem	infinitamente	constituem	o	período	dessa	dízima,	ou	fração	geratriz.	O	
período	pode	ser	classificado	como	simples,	quando	há	apenas	a	repetição	de	um	algarismo,	ou	
composto,	quando	há	repetição	de	mais	de	um	algarismo.
Exemplo:
(I)	
5
9
0 555= , ... (período	igual	a	5)
(II)	
7
3
2 333= , (período	igual	a	3)
(III)	
4
33
0 1212= , (período	igual	a	12)
Porcentagens: uma fração muito importante 
Também	chamadas	de	taxa percentual	e	representadas	por	%,	(lê-se	por cento),	as	porcenta-
gens	são	frações	que	possuem	denominador	100.	Elas	estão	por	toda	parte:
A	porcentagem	é	uma	forma	de	se	expressar	um	número	como	uma	fração	de	um	todo.	Assim,	
para	calcular	a	porcentagem,	nos	baseamos	em	um	número	total,	que	é	o	100%.	Por	exemplo,	se	
você	tem	8	livros,	estes	representam	100%	dos	seus	livros.	Se	você,	por	algum	motivo,	perdeu	dois	
Pague à vista e ganhe
15%
 de d
esconto
!
Dos 36 alunos, 
só passaram 
40%.
E
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79CAPÍTULO 3 I Números racionais
Matematica_Contextualizada_7ºano_03.indd 79 05/04/2018 21:42:03
4. (Obmep)	Uma	torneira	enche	um	tanque	em	
8	horas,	e	outra	torneira	enche	o	mesmo	tanque	
em	4	horas.	Ao	meio-dia,	a	primeira	torneira	foi	
aberta	com	o	tanque	vazio	e,	duas	horas	depois,	
a	 segunda	 torneira	 também	 foi	 aberta.	 A	 que	
horas	o	tanque	ficou	cheio?	
a. 	 	14h.
b. 	 	14h30min.
c. 	 	15h.
d. 	 	15h30min.
e. 	 X 	16h.
3. Um	pintor	aplica	uma	 textura	em	uma	casa	
em	 5	 horas,	 e	 seu	 colega	 consegue	 aplicar	 o	
mesmo	tipo	de	textura	em	4	horas.	Trabalhando	
juntos,	 em	 quanto	 tempo	 conseguirão	 aplicar	
essa	textura?
Em	cerca	de	2,22	horas	=	2	horas	e	13	minutos	
aproximadamente.
Divisão de frações
	 Para	dividir	frações,	vamos	recorrer	a	um	conceito	básico	que	diz:	dividir é o mesmo que 
multiplicar pelo inverso multiplicativo.	Por	exemplo:	
	Dividir	4	por	
1
2
	tem	o	mesmo	resultado	que	multiplicar	4	por	2	(temos	solução	igual	a	8	nos	
dois	casos).
	Multiplicar	30	por	
1
2
	tem	o	mesmo	resultado	que	dividir	30	por	2	(temos	solução	igual	a	15	nos	
dois	casos).
Então:	
a
b
c
d
a
b
d
c
: