EP 2014 1 Gabarito-Aula 06 Métodos Estatísticos

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio De Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio De Janeiro 
 
 
Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca 
TECNOLOGIA EM GESTÃO DE TURISMO 
 
 
Disciplina: Métodos Estatísticos Coord. de Curso: Claudia Fragelli 
 Coord. de Disciplina: Rafael Ferrara 
Ano Letivo: 2014/1 Tutor a Distância: Marcel Quintela 
 
 
Aula 6 - Medidas de Tendência Central 
Atividades para Aula 6 
GABARITO 
 
Foi feito um levantamento para saber quanto tempo cada processo demorava para ser encerrado 
em um determinado setor da empresa. Os resultados foram organizados na tabela abaixo: 
 
 
 
 
Determine o que se pede da amostra 
em questão: 
 
- Média Aritmética 
 
- Mediana 
 
- Moda 
 
- 1º, 2º, 3º e 4º Quartil 
 
 
RESPOSTA: 
 
Rol 
1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 
3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 
5 7 7 8 8 9 9 9 10 10 
 
Média: 
�̅� = ∑
𝑥𝑖
𝑛
𝑛
𝑖=1
 
�̅� =
1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ + 9 + 9 + 10 + 10
30
=
138
30
= 4,6 
 
Mediana: 
𝑀𝑑 =
𝑛 + 1
2
 
𝑀𝑑 =
30 + 1
2
→ 𝑀𝑑 = 15,5 (𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜) 
𝑀𝑑 =
4 + 4
2
= 4 (𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟) 
Moda: 
Valor de maior frequência: 4 (quatro) 
 
1º Quartil: 
𝑄1 =
𝑛 + 1
4
 
𝑄1 =
30 + 1
4
→ 𝑄1 = 7,75(𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜) 
𝑄1 = 3 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟) 
 
2º Quartil: 
Segundo quartil é a Mediana. 
𝑄2 = 4 
 
3º Quartil: 
𝑄3 = 3 ×
𝑛 + 1
4
 
𝑄3 = 3 ×
30 + 1
4
→ 𝑄3 = 23,25(𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜) 
𝑄3 = 7 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟) 
 
4º Quartil: 
Numericamente igual ao valor máximo da distribuição. 
𝑄4 = 10 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟) 
 
 
Observem que este conjunto de dados tem poucos elementos, 30 (trinta) ao total. Agora imaginem 
se tiverem em mãos uma quantidade muito maior de dados, obviamente que a medida que o 
volume de dados cresce a forma de cálculo para esses dados fica mais trabalhosa e com grande 
risco falha em algum dos cálculos. Devido a essa chance de falha recomenda-se que para grandes 
volumes de dados use-os de forma agrupada. Para isso, a Tabela de Frequência é a ferramenta 
mais indicada para representa-los. 
Mas como calcular as medidas estatísticas solicitadas no exercício acima com essa forma de 
representação tabular? Veremos... 
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RESPOSTA 2: 
 
Criando a tabela de frequência: 
 
Para criarmos a tabela de frequência precisaremos das seguintes medidas: 
1- Número de observações 𝑛; 
2- Valor Mínimo (min) e o Valor Máximo (max); 
3- Amplitude total: 𝐴 = 𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑖𝑛; 
4- Número de Classes 𝑘; e 
5- Amplitude Intercalasses: ℎ =
𝐴
𝑘
. 
 
Calculando: 
𝑛 = 30 
𝑚𝑖𝑛 = 1 
𝑚𝑎𝑥 = 10 
𝐴 = 10 − 1 = 9 
𝑘 = 1 + 3,3 log 𝑛 → 𝑘 ≅ 5,8745 
ℎ =
9
5,8745
→ ℎ ≅ 1,53 
 
Agora podemos construir a tabela de Frequência: 
 
i X fi Fi fr Fr 
1 1,00|―2,530 7 7 23,33 23,33 
2 2,53|―4,060 11 18 36,66 59,99 
3 4,06|―5,590 3 21 10 69,99 
4 5,59|―7,120 2 23 6,67 76,66 
5 7,12|―8,650 2 25 6,67 83,33 
6 8,65|―10,18 5 30 16,67 100,00 
 Total 30 - 100,00% - 
 
Para calcularmos as estatísticas solicitadas, faremos uma adaptação na tabela de frequência acima, 
a fim de facilitar os cálculos. Incluiremos as seguintes colunas: 
 
i X fi Fi fr Fr 𝒙𝒊 𝒙𝒊 × 𝒇𝒊 
1 1,00|―2,530 7 7 23,33 23,33 1,77 12,36 
2 2,53|―4,060 11 18 36,66 59,99 3,30 36,25 
3 4,06|―5,590 3 21 10,00 69,99 4,83 14,48 
4 5,59|―7,120 2 23 6,67 76,66 6,36 12,71 
5 7,12|―8,650 2 25 6,67 83,33 7,89 15,77 
6 8,65|―10,18 5 30 16,67 100,00 9,42 47,08 
 Total 30 - 100,00% - 138,63 
 
Onde 𝑥𝑖 é o ponto médio do intervalo de classe: 
𝑥𝑖 =
𝐿sup 𝑖 − 𝐿inf 𝑖
2
 
Ex.: 
𝑥1 =
2,53 + 1
2
= 1,77 
 
Média: 
Para cálculo da média de dados agrupados temos: 
�̅� = ∑
𝑥𝑖 × 𝑓𝑖
𝑓𝑖
𝑛
𝑖−1
→ �̅� =
∑ 𝑥𝑖 × 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
∑ 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
 
�̅� =
138,63
30
= 4,62 
 
Moda: 
Para calcularmos a moda primeiramente devemos localizar a classe modal na tabela de frequência. 
Esta é a de maior frequência logo a classe modal é a classe 2. 
 
A formula para cálculo é dada: 
 
𝑀𝑜 = 𝐿𝑖𝑛𝑓 + (
∆1
∆2 − ∆1
) 𝐿𝑠𝑢𝑝 − 𝐿𝑖𝑛𝑓 
Onde: 
𝐿𝑖𝑛𝑓 → 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 
𝐿𝑠𝑢𝑝 → 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 
∆1= 𝑓𝑚𝑜 − 𝑓𝑚𝑜𝐴 
(𝐹𝑟𝑒𝑞. 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎í𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝐹𝑟𝑒𝑞. 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙) 
∆2= 𝑓𝑚𝑜 − 𝑓𝑚𝑜𝑃 
(𝐹𝑟𝑒𝑞. 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎í𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝐹𝑟𝑒𝑞. 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑑𝑎𝑙) 
 
 
𝑀𝑜 = 2,53 + [
11 − 7
(11 − 3) + (11 − 7)
] × (4,06 − 2,53) 
 
𝑀𝑜 ≅ 3,04 
 
Medidas de Posição: 
Para o cálculo das medidas de posição identifiquemos preliminarmente a classe mediana. Mara 
isso dividimos o total de elementos por 2 o resultado indica a posição onde será dividida a série 
ao meio. Neste caso, observamos a Frequência Acumulada (Fi), e verificamos qual seria a classe 
que está a posição. 
Como são 30 dados a posição que divide ao meio seria a 15, pela tabela esta posição está na classe 
2. 
 
𝑄𝑗 = 𝐿𝑖𝑛𝑓 + (
𝑗 × ∑𝑓𝑖
4 − 𝐹𝑖𝐴
𝑓𝑚𝑑
) 𝐿𝑠𝑢𝑝 − 𝐿𝑖𝑛𝑓 
Onde: 
𝐿𝑖𝑛𝑓 → 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 
𝐿𝑠𝑢𝑝 → 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 
∑𝑓𝑖 → 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 
𝐹𝑖𝐴 → 𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 
𝑓𝑚𝑑 → 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 
 
 
5 
Assim temos: 
𝑄1 = 2,53 + (
1 × 30
4
− 7
11
) × (4,06 − 2,53) ≅ 2,60 
 
𝑄2 = 𝑀𝑑 = 2,53 + (
2 × 30
4
− 7
11
) × (4,06 − 2,53) ≅ 3,64 
 
𝑄3 = 2,53 + (
3 × 30
4 − 7
11
) × (4,06 − 2,53) ≅ 4,69 
 
 
Notem que os valores das medidas calculadas através dos dados agrupados diferem um pouco das 
calculadas pelos dados não agrupados. Isso se deve ao fato das estimativas encontradas pelos 
dados agrupamento serem feitas com base no valor médio de cada classe não capitando a 
variabilidade presente em cada uma delas. 
Contudo estes são estimadores válidos para este tipo de apresentação de dados.