Aula_2__-Esttica

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UNIDADE 1 – AULA 2 – 
ESTÁTICA 
ECT2413 - Mecânica Dos Fluidos 
Prof.ª Camila Pacelly Brandão de Araújo 
 
 
 
 
 
 
 
1. ESTÁTICA DOS FLUIDOS – O QUE É? 
 
Bem-vindos ao nosso segundo grande bloco de conteúdos da primeira unidade de Mecânica 
dos Fluidos! Começaremos agora a estudar a condição estática dos fluidos. No início dos 
nossos estudos comentamos que a Mecânica dos Fluidos era responsável pelo estudo do 
movimento e repouso de fluidos, mediante a ação de forças. 
Assim sendo, a fluidostática representa o caso justamente do repouso desses fluidos 
Essa importante seção da Mecânica dos Fluidos é responsável por inúmeros benefícios ao 
desenvolvimento humano, tendo sido estudada desde os primórdios desta ciência. 
A notícia a seguir reporta o fato de uma das maiores barragens do estado do Rio Grande do 
Norte ter atingido seu maior nível desde 2012. 
(http://www.tribunadonorte.com.br/noticia/barragem-armando-ribeiro-gona-alves-
atinge-maior-na-vel-desde-2012/481257). 
Isso é notícia boa para todo lado que se olhe não é mesmo? 
A próxima notícia já não é tão animadora, mas com certeza todos nós a sentimos 
profundamente quando do seu acontecimento. Quem não se lembra do caso do rompimento 
da Barragem do Feijó em Brumadinho? (https://tudo-sobre.estadao.com.br/brumadinho-
mg) 
Será que podemos aplicar nossos conhecimentos de Mecânica dos Fluidos, em especial de 
estática de fluidos, nesse caso? 
Nós desenvolveremos, ao longo dessa aula, ferramentas para permitir tratar de problemas 
como estes, e como tantos outros relacionados à Estática de Fluidos. Alguns exemplos como 
os princípios de funcionamento de prensas hidráulicas, o dimensionamento de reservatórios 
de líquidos, o projeto de comportas e paredes de barragens de armazenamento de fluidos e 
a determinação de esforços sobre corpos submersos em massas fluidas estagnadas 
demonstram a importância de aplicação da estática dos fluidos. 
Vamos trabalhar então? 
 
 
2. CONDIÇÃO ESTÁTICA 
 
Na aula anterior, quando começamos a falar sobre o tipo de forças que atuavam sobre 
massas fluidas dividimos as forças de superfície em duas componentes (normal e cisalhante) 
as quais eram responsáveis por gerar, por sua vez, tensões normal e tangencial. 
Dissemos também que o fluido, quando sujeito a ação de esforços cisalhantes escoa, se 
deformando continuamente. De tal modo que podemos inferir que na ausência de tensões 
cisalhantes, não haverá movimento do fluido e, portanto, ele estará na sua condição estática. 
Os esforços normais são verificados tanto para um fluido que escoa, como para massas 
fluidas estagnadas. Nesta condição, o fluido encontra-se unicamente submetido a uma das 
parcelas da tensão normal que é a pressão e às forças originárias da existência de campos 
magnético ou gravitacional. 
 
 
3. ISOTROPIA DA PRESSÃO 
 
Isotropia da pressão é um nome feio não é? 
Mas não é de se assustar! 
“ISO" se refere a tudo que é igual. Assim, nos fluidos estáticos, a isotropia da pressão diz 
respeito ao fato de que se observa um único valor de pressão em um ponto do fluido e que 
a pressão não depende da direção considerada. 
Para comprovar essa característica isotrópica da pressão podemos tomar um elemento 
triangular e realizar o balanço de forças sobre ele. A Figura 1 apresenta esse elemento 
prismático triangular e as forças atuando sobre ele. Para efeitos de simplificação da figura a 
força gravitacional foi omitida, porém a consideraremos atuante na direção do y negativo. 
Figura 1: Elemento prismático triangular e forças sobre ele atuantes. 
 
Fonte: DUARTE (1997) 
Considerando que o fluido se encontra em repouso, podemos usar a primeira condição de 
equilíbrio, qual seja, a de que o somatório de forças atuantes sobre o elemento é nula, para 
determinar a relação entre as pressões Ps, Px, e Py. 
�⃗� = 0 
Na direção x temos: 
𝑃 𝛿𝑦𝛿𝑧 − 𝑃 𝛿𝑧𝛿𝑠 = 0 
 
Pela geometria do problema podemos inferir que: 
𝑠𝑒𝑛(𝜃) =
𝛿𝑦
𝛿𝑠
 
E que 
𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
𝛿𝑥
𝛿𝑠
 
Assim, 
𝑃 𝛿𝑦𝛿𝑧 − 𝑃 𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝛿𝑧𝛿𝑧 = 0 
𝑃 𝛿𝑦𝛿𝑧 − 𝑃 𝛿𝑦𝛿𝑧 = 0 
𝑃 = 𝑃 
Na direção y temos: 
𝑃 𝛿𝑥𝛿𝑧 − 𝑃 𝛿𝑧𝛿𝑠 −
1
2
𝜌𝑔𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = 0 
Onde o termo 𝜌𝑔𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 corresponde ao produto do peso específico do fluido pelo 
volume do elemento 
𝑉 = 𝐴 . 𝛿𝑧 =
𝛿𝑥𝛿𝑦
2
𝛿𝑧 
Assim, utilizando as identidades trigonométricas: 
𝑃 𝛿𝑥𝛿𝑧 − 𝑃 𝛿𝑧𝛿𝑠𝑐𝑜𝑠(𝜃) −
1
2
𝜌𝑔𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = 0 
𝑃 𝛿𝑥𝛿𝑧 − 𝑃 𝛿𝑧𝛿𝑥 −
1
2
𝜌𝑔𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = 0 
𝑃 − 𝑃 −
1
2
𝜌𝑔𝛿𝑦 = 0 
Tomando o limite em que o elemento se torna um ponto, ou seja, quando y tende a zero, 
temos: 
𝑃 = 𝑃 
Assim, podemos verificar que 
𝑃 = 𝑃 = 𝑃 
O que nos comprova que o valor da pressão em um ponto é único e independe da direção. 
 
 
4. EQUAÇÃO GERAL DA ESTÁTICA 
 
Nosso objetivo principal nesse momento será o de obter uma equação que represente o 
campo de pressão para um fluido que esteja na condição estática. 
Vamos, portanto, deduzir o que já sabemos da experiência do dia a dia: a pressão aumenta 
com a profundidade. Para isso, vamos aplicar a segunda lei de Newton a um elemento de 
fluido diferencial infinitesimal de massa 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑∀ com lados dx, dy e dz, conforme a Figura 
2. 
Figura 2: Elemento fluido infinitesimal em um sistema de coordenadas cartesianas. 
 
Fonte: FOX (2008) 
 
Estando o elemento fluido em repouso em relação ao sistema inercial de coordenadas 
retangulares mostrado, podemos usar a primeira condição de equilíbrio estático para avaliar 
a relação entre a pressão e a profundidade. 
𝐹 = 0 
Sendo a força resultante o resultado da ação da força de campo gravitacional e da força de 
superfície devido a pressão em cada uma das faces do elemento. 
Teríamos, portanto, algo como: 
𝐹⃗ = 𝜌�⃗�𝑑∀ 
e, em relação aos esforços que agem na superfície do elemento, precisaríamos primeiro 
saber o “valor” da pressão em cada uma das faces do elemento. 
A função expansão em Série de Taylor serve com o propósito de fazer justamente isso: 
extrapolar o valor que já se conhece de uma função contínua em um ponto, para as suas 
vizinhanças. 
Considerando que x seja o ponto no qual se deseja determinar o valor da função, e A seja o 
ponto no qual esse valor já se conhece, a expansão em Série de Taylor estabelece que: 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝐴) +
𝑓 (𝐴)(𝑥 − 𝑎)
1!
+
𝑓 ′(𝐴)(𝑥 − 𝑎)
2!
+ ⋯ 
Ou seja, para determinar o valor da função do ponto x basta termos a informação do valor 
da função no ponto A, sua derivada (primeira e segunda, se for o caso), e a distância entre 
os pontos (x-A). 
Se você precisar dar uma revisada nisso, olhe o material disponível em: 
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor para lhe auxiliar ok? 
Considerando que saibamos o valor da pressão no ponto O no centro da nossa partícula 
fluida infinitesimal, podemos aplicar a expansão em série de Taylor para a face direita da 
partícula fluida para obtermos a força nessa face como: 
𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑦 −
𝛿𝑦
2
𝛿𝑥𝛿𝑧 (𝚥̂) 
Onde o produto 𝛿𝑥𝛿𝑧 representa a área na qual a pressão atua. Como consideramos que a 
pressão atua SOBRE o elemento fluido, a força resultante nessa face aponta para a direção 
de -y, ou seja −𝚥,̂ tal que: 
𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑦
2
𝛿𝑥𝛿𝑧 (−𝚥̂) 
O mesmo pode ser feito para a face esquerda, resultando em: 
𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑦
−
𝛿𝑦
2
− 0 𝛿𝑥𝛿𝑧 (𝚥̂) 
𝑝 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑦
2
𝛿𝑥𝛿𝑧 (𝚥̂) 
Para essa direção, portanto, a força líquida devido à pressão pode ser calculada como o 
somatório dessas duas para ser: 
𝐹 ⃗ = 𝑝 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑦
2
𝛿𝑥𝛿𝑧 (𝚥̂) + 𝑝 +
𝜕𝑝
𝑑𝑦
𝛿𝑦
2
𝛿𝑥𝛿𝑧 (− ̂) 
𝐹 ⃗ = −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑦𝛿𝑥𝛿𝑧 (𝚥̂) 
Esse mesmo raciocínio pode ser replicado para as direções x e z, produzindo, a força 
resultante de superfície abaixo: 
𝛿𝐹 = 𝑝 −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝛿𝑥
2
𝛿𝑧𝛿𝑦(𝚤)̂ + 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝛿𝑥
2
𝛿𝑧𝛿𝑦(−𝚤)̂ 
+ 𝑝 −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑦
2
𝛿𝑥𝛿𝑧(𝚥̂) + 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑦
2
𝛿𝑥𝛿𝑧(−𝚥̂) 
+ 𝑝 −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝛿𝑧
2𝛿𝑥𝛿𝑦 𝑘 + 𝑝 +
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝛿𝑧
2
𝛿𝑥𝛿𝑦(−𝑘) 
 
Assim: 
𝛿𝐹 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝛿𝑧𝛿𝑥𝛿𝑦(𝚤)̂ −
𝜕𝑝
𝜕𝑦
𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧(𝚥̂) −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝛿𝑥𝛿𝑧𝛿𝑦(𝑘) 
Sendo o gradiente de uma quantidade escalar dado por: 
∇⃗=
𝜕
𝜕𝑥
𝚤̂ +
𝜕
𝜕𝑦
𝚥̂ +
𝜕
𝜕𝑧
𝑘 
Podemos escrever: 
𝛿𝐹 = −∇⃗𝑃. 𝛿𝑧𝛿𝑥𝛿𝑦 
Dessa forma, a força resultante total reduz-se a: 
𝛿𝐹⃗ + 𝛿𝐹 = 0 
𝜌�⃗�𝑑∀ − ∇⃗𝑃. 𝛿𝑧𝛿𝑥𝛿𝑦 = 0 
−𝛁𝑷 + 𝝆𝒈 = 𝟎 
que representa a Equação Geral da Estática dos Fluidos. 
Note que essa equação é vetorial e pode ser representada de forma escalar, para cada uma 
das componentes nas direções x,y e z, para ser: 
−
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑔 = 0 
−
𝜕𝑃
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑔 = 0 
−
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝜌𝑔 = 0 
Ufa! Ainda bem que acabou! 
Essas três formas representam para nós a Equação Geral da Estática, a qual nos fornece 
justamente essa relação entre o campo de pressão e o campo gravitacional ao qual uma 
massa fluida está sujeita. A depender da forma pela qual o sistema esteja arranjado 
espacialmente uma ou mais dessas componentes podem ser nulas. 
Analisando esse conjunto de equações podemos verificar que: 
 As pressões em um mesmo plano horizontal não variam em um fluido em repouso. 
Essa é uma das maneiras de enunciarmos o Princípio de Pascal, o qual está ilustrado na Figura 
3. 
Figura 3: Princípio de Pascal 
 
Fonte: Vilanova(2003) 
 
Vamos resumir o que fizemos até aqui? 
O quadro abaixo representa as considerações que fizemos e faz as devidas simplificações 
para o caso em que se oriente o eixo Z para cima (no sentido oposto ao da aceleração 
gravitacional), de tal maneira que 𝑔 = 𝑔 = 0 e 𝑔 = −𝑔. 
Para a maioria das aplicações podemos considerar que a aceleração da gravidade local é 
constante com valor de 9,81m/s² porém, para cálculos mais robustos em que se considere 
que haja variação dessa variável, ela deve ser considerada. Isso pode acontecer no caso em 
que se deseje realizar cálculos para veículos aeroespaciais, por exemplo. 
Figura 4: Considerações na obtenção da equação geral da estática. 
 
Fonte: Autoria Própria 
Como se pode verificar na Figura 4 são indicadas duas condições que devemos observar 
quando formos usar essa equação e ambas dizem respeito à mesma propriedade do fluido: 
a massa específica. 
FLUIDOS INCOMPRESSÍVEIS 
Para fluidos incompressíveis, a integração da expressão da Equação Geral da Estática é trivial 
e podemos realizá-la conforme abaixo para determinar a maneira pela qual a pressão varia 
no interior de um fluido. A Figura 4 ilustra dois planos de referência dentro de uma massa 
fluida distantes entre si de uma cota h. 
Figura 5: Variação de pressão no interior de uma massa fluida. 
 
Fonte:Vilanova (2003) 
Separando as variáveis da Equação Geral da Estática e realizando a integração entre os 
limites de 𝑧 → 𝑃 𝐸 𝑧 → 𝑃 temos: 
𝑑𝑃 = − 𝜌𝑔𝑑𝑧 
Assim: 
𝑃 − 𝑃 = −𝜌𝑔(𝑧 − 𝑧 ) 
Chamando de h a diferença entre as cotas z2 e z1 temos: 
𝑃 − 𝑃 = −𝜌𝑔ℎ 
Como sabemos que a pressão aumenta com a profundidade, a quantidade 𝑃 − 𝑃 produz 
um resultado negativo, indicando que no nível mais profundo a pressão é maior. Assim, 
podemos reescrever para obtermos: 
𝑃 − 𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 
Essa expressão vocês provavelmente já tiveram a oportunidade de conhecer em algum 
momento anterior, no Ensino Médio, por exemplo. 
Podemos observar que a pressão cresce linearmente com a profundidade a partir da 
superfície livre a uma taxa determinada pelo peso específico do fluido. A Figura 6 apresenta 
essa relação. 
Figura 6: Relação linear da pressão com a profundidade em uma massa de fluido incompressível. 
 
Fonte: Duarte (1997) 
 
Podemos, convenientemente, aplicar esses conhecimentos a situações onde P0 é conhecida, 
bem como a diferença de cotas h entre os pontos considerados. Em muitas destas situações, 
a massa fluida apresenta uma superfície livre aberta para a atmosfera onde a pressão 
atuante é a pressão atmosférica local. Para estes casos, costuma-se escolher como referência 
esta superfície onde P0 = Patm. 
Nas próximas seções iremos aplicar esses conhecimentos para determinar o valor da pressão 
atmosférica local, no uso de diversos instrumentos de medição, entre outros. 
FLUIDOS COMPRESSÍVEIS 
A variação da pressão estática é diferente em líquidos e gases. Os gases são fluidos 
compressíveis já que apresentam uma variação significativa da massa específica em função 
da pressão e temperatura. 
Contudo, a variação de pressão de uma coluna de ar com centenas de metros pode ser 
considerada desprezível como veremos a seguir. Basta termos em mente que enquanto a 
massa específica da água é de 1000 kg/m³ a massa específica do ar é da ordem de 1,2 kg/m³, 
o que representa uma significativa mudança de ordem de grandeza. 
Nas aplicações de Engenharia as alturas verticais das tubulações que trabalham com líquidos 
representam desníveis energéticos significativos que devem ser vencidos pelas bombas. No 
caso de sistemas que trabalham com gases, como por exemplo, os sistemas de ventilação 
industrial, a variação de pressão devido as alturas verticais dos dutos consideram-se 
desprezível. 
Quando a variação da altura é da ordem de milhares de metros devemos considerar a 
variação da massa específica nos cálculos da variação de pressão. No caso de um gás perfeito 
é válida a equação: 
𝜌 =
𝑃
𝑅∗𝑇
 
Onde p é a pressão absoluta (Pa), a massa específica (kg/m3), R* a constante do gás. Para o 
ar R=287 J/kg.K e T a temperatura absoluta (K). Não confundir R* com a constante universal 
dos gases, pois R* corresponde à relação da constante universal R pela massa molar do gás 
considerado 
Assim, novamente separando as variáveis da Equação Geral da Estática temos: 
𝑑𝑃 = − 𝜌𝑔𝑑𝑧 
 
E: 
𝑑𝑃 = −
𝑃
𝑅∗𝑇
𝑔𝑑𝑧 
Tal que: 
𝑑𝑃
𝑃
= −
𝑔𝑑𝑧
𝑅∗𝑇
 
Admitindo que a temperatura seja constante no intervalo considerado temos: 
ln
𝑃
𝑃
= −
𝑔
𝑅∗𝑇
(𝑧 − 𝑧 ) 
Se, por outro lado, não for possível considerar que haja um valor único de temperatura para 
o intervalo de elevação considerado, há que se inserir uma relação funcional dessa variável 
com respeito à elevação. A Figura 7 mostra o comportamento da temperatura a diferentes 
níveis de elevação na atmosfera terrestre. É possível observar que existem intervalos de 
valor constante de temperatura, bem como intervalos em que o comportamento é linear, 
seja com incremento ou diminuição da temperatura no trecho considerado. 
Figura 7: Variação de temperatura com a altitude na atmosfera-padrão nos Estados Unidos. 
 
Fonte: FOX (2008). 
 
4. APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO GERAL DA ESTÁTICA 
a. NÍVEIS DE PRESSÃO 
 
Ficou clara a importância das pressões no estudo de Mecânica dos Fluidos? 
Por esse motivo, muitas técnicas e instrumentos foram desenvolvidos para a medição dessa 
propriedade em uma massa fluida. A esta ciência convencionou-se chamar manometria. 
Qualquer que seja o valor da pressão observada em um fluido, ele deverá ser expresso em 
relação a um nível de referência. Esta característica relativa da pressão introduz o conceito 
dos níveis de pressão e das pressões absoluta e efetiva. A Figura 7 ilustra essa situação 
indicando os níveis 1, atmosférico e 2, e as respectivas leituras de pressão em escala absoluta 
(verde) e manométrica (vermelha). 
Figura 8:Níveis de pressão 
 
Fonte: Vilanova(2003) 
A propriedade de pressão do fluido pode ser ainda expressa na forma de pressões absolutas 
e pressões manométricas. A pressão absoluta e medida tendo como referência a pressão de 
zero absoluto, enquanto a pressão manométrica e medida tendo como referência a pressão 
atmosférica. 
Perceba que quando a pressão manométrica tem valor nulo (o) a pressão absoluta mede 
aproximadamente 101 KPa. Esse valor corresponde ao valor da pressão atmosférica local. 
Podemos expressar essa relação da seguinte forma: 
𝑃 = 𝑃 é + 𝑃 é 
Quando a pressão é expressa através da diferença entre o seu valor e a pressão atmosférica 
local, ela é associada ao conceitode pressão efetiva. 
Vamos agora usar esses conhecimentos para obter informações importantes sobre fluidos 
estáticos? 
b. MEDIÇÃO DE PRESSÃO 
i. Barômetro 
 
A pressão atmosférica em um determinado local é medida por um instrumento chamado de 
barômetro cuja configuração mais simples constitui-se simplesmente de um tubo de vidro 
cheio de mercúrio 
O extremo aberto é submerso na superfície de um reservatório cheio de mercúrio e se deixa 
até que alcance o equilíbrio como se observa na Figura 8. Na parte superior do tubo se 
produz um vácuo muito próximo do vácuo perfeito contendo vapor de mercúrio a uma 
pressão (Pvapor) de somente 0,17 Pa a 20°C. 
Figura 9: Barômetro. 
 
Fonte: Autor desconhecido 
Escrevendo a equação geral da estática para um fluido incompressível como o mercúrio no 
ponto A se tem: 
𝑃 = 𝜌𝑔ℎ + 𝑃 
Como o termo referente à pressão de vapor do mercúrio é muito pequeno à temperatura 
ambiente, considera-se desprezível e desta forma: 
𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 
Determina-se a pressão atmosférica diretamente em função da coluna de mercúrio. 
Como o peso específico do mercúrio é aproximadamente constante, uma mudança na 
pressão atmosférica ocasionará uma mudança na altura da coluna de mercúrio. Esta altura 
representa a pressão atmosférica. Você já ouviu falar que a pressão atmosférica é de 760mm 
de mercúrio? É exatamente esse o valor da altura da coluna de mercúrio medida por um 
barômetro. No presente material utilizaremos o peso específico do mercúrio igual a 132.8 
kN/m³. 
Vamos testar nossos conhecimentos? 
Qual seria a altura da coluna se o fluido usado fosse água? 
E se fosse gasolina (𝜌 = 740 𝑘𝑔/𝑚³)? 
ii. Tubo piezométrico 
 
O tubo piezométrico é o manômetro mais simples para medição de pressão em um 
reservatório contendo um líquido pressurizado. Consiste em um tubo graduado conectado a 
um reservatório cuja altura de líquido indica o valor da pressão dentro do reservatório. A 
Figura 10 ilustra esse instrumento. 
Figura 10: Tubo piezométrico. 
 
Fonte: Vilanova (2003) 
Note que por sua configuração intrínseca o tubo piezométrico não permitiria a medição de 
pressão de um reservatório de gases (ele escaparia). Além disso, o uso desse dispositivo não 
é conveniente quando se deseja medir níveis elevados de pressão, porque produziria colunas 
de grande altura de fluido. Em adição, esse instrumento não se presta à medição de pressões 
mais baixas que a atmosférica, porque nesse caso o reservatório estaria “puxando” ar 
atmosférico para seu interior. 
Aplicando a equação geral da estática para um fluido incompressível entre a extremidade 
aberta e o nível 1 temos: 
𝑃 = 𝑃 + 𝜌𝑔ℎ 
 
iii. Manômetro em U 
 
Claro está que alguns pontos precisavam ser contornados na configuração dos tubos 
piezométricos para que sua aplicação fosse aumentada. 
Nesse intuito surgiram os manômetros em U, os quais, mediante o uso de um fluido 
manométrico de massa específica diferente da do fluido contido no reservatório podem 
medir valores de pressão mais elevados. 
O problema da medição da pressão em recipientes contendo gases pode ser eliminado 
utilizando-se o manômetro de tubo em U, podendo, neste caso, a pressão no recipiente ser 
negativa ou positiva, porem dentro de parâmetros que permitam alturas razoáveis de 
colunas de líquido para serem construídos. 
Alguns requerimentos são de que o fluido cuja pressão se deseja medir deva ter uma massa 
específica menor que a do fluido manométrico e que os fluidos de medição e manométrico 
não se misturem. 
Figura 11: Tubo em U. 
 
Fonte: Adaptado de Vilanova (2012) 
 
A Figura 11 ilustra um manômetro de tubo em U. Para avaliar a pressão no reservatório A 
devemos “percorrer” o caminho do fluido desde uma das extremidades até o ponto 
desejado. Assim, poderíamos, partindo da superfície livre, descer a coluna de fluido 
manométrico (azul) de profundidade h2 até o ponto 2, o qual se encontra no mesmo nível 
do ponto 1 do mesmo fluido. 
𝑃 = 𝑃 + 𝜌 𝑔ℎ 
Pelo Princípio de Pascal enunciado mais acima nesse mesmo texto, sabemos que as pressões 
em um mesmo plano horizontal não variam em um fluido em repouso. Assim: 
𝑃 = 𝑃 
Estando o ponto A acima do ponto 1, a pressão deverá ser menor naquele do que neste, tal 
que: 
𝑃 = 𝑃 − 𝜌 𝑔ℎ 
Combinando as equações temos, portanto: 
𝑃 = (𝑃 + 𝜌 𝑔ℎ ) − 𝜌 𝑔ℎ 
Alternativamente o manômetro em tubo em U pode ser conectado a um vaso pressurizado 
em dois pontos, ou entre dois reservatórios, ou ser anexado a uma tubulação em que um 
fluido escoa, permitindo a medição da diferença de pressão entre eles. 
Seguindo o mesmo procedimento realizado acima. Se escolhermos partir do ponto B até o 
ponto A da Figura 12 B, teríamos, por exemplo: 
𝑃 = 𝑃 
𝑃 = 𝑃 + 𝜌 gℎ 
𝑃 = 𝑃 + 𝜌 𝑔ℎ 
𝑃 = 𝑃 
𝑃 = 𝑃 = 𝑃 − 𝜌 𝑔ℎ 
As quais combinadas resultam em: 
𝑃 = [(𝑃 + 𝜌 gℎ ) + 𝜌 𝑔ℎ ] − 𝜌 𝑔ℎ 
Ou: 
𝑃 − 𝑃 = 𝜌 𝑔ℎ + 𝜌 𝑔ℎ − 𝜌 𝑔ℎ 
Procedimento similar poderia ser realizado para o arranjo mostrado na Figura 12 B. 
Figura 12: Medição de diferenças de pressão usando um tubo em U. 
 
 
A B 
 
Fonte: Adaptado de Vilanova (2011) 
 
 
 
iv. Manômetro Inclinado 
 Apesar da versatilidade ganhada com o arranjo em U mostrado acima, ainda algumas 
dificuldades surgiam quando do uso desse instrumento para medições de pequenas 
variações de pressão, como no caso de gases. 
Observando-se a última equação podemos ver que se o fluido de medição for um gás, ou 
seja, possuir massa específica bastante inferior à do fluido manométrico a equação se reduz 
a: 
𝑃 − 𝑃 = 𝜌 𝑔ℎ 
Assim, para pequenas variações de pressão, as variações na altura da coluna h também 
seriam pequenas. 
No intuito de contornar esse tipo de situação, foram desenvolvidos os manômetros de tubo 
inclinado, ilustrados na Figura 13. 
Uma perna do manômetro é inclinada formando um ângulo θ com a horizontal e a leitura 
diferencial L2 é medida ao longo do tubo inclinado. 
Mesmo que o diferencial de pressão seja pequeno, a inclinação possibilita realizar uma 
leitura. 
Figura 13: Manômetro de tubo inclinado. 
 
Fonte: Adaptado de Alé(2011) 
 
𝑝 + 𝜌 𝑔ℎ − 𝜌 𝑔𝑙 𝑠𝑒𝑛(𝜃) − 𝜌 𝑔ℎ = 𝑝 
𝑝 − 𝑝 = 𝜌 𝑔𝑙 𝑠𝑒𝑛(𝜃) + 𝜌 𝑔ℎ − 𝜌 𝑔ℎ 
𝑝 − 𝑝 = 𝜌 𝑔𝑙 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
𝑙 =
𝑝 − 𝑝
𝜌 𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃)
 
 
 
Os manômetros apresentados até aqui são amplamente utilizados, mas apresentam muitas 
desvantagens em relação a sua aplicação quando comparados a outros dispositivos 
mecânicos ou elétricos, como o medidor de pressão de Bourdon (Figura 1.10) ou os 
transdutores piezoelétricos. Na prática, esses dispositivos são mais ágeis e mais práticos para 
a realização da medição das pressões do que os primeiros e, por isso, são os mais utilizados 
em plantas industriais. 
Vamos conhecer um pouco sobre eles? 
 
v. Manômetro de Bourdon 
 
O funcionamento deste tipo de manômetros é baseado na alteração da curvatura originada 
num tubo de seção elíptica pela pressão exercida no seu interior. A seção elíptica tende para 
uma seção circular com o aumento da pressão no interior do tubo levando a que o tubo se 
desenrole. Você já deve ter visto o funcionamento do brinquedo de criança “língua de sogra”, 
se não viu ele está indicado na Figura 14, juntamente com um manômetro de Bourdon e com 
o seu mecanismo interno de funcionamento. 
Figura 14: Manômetro de Bourdon. 
 
Fonte: Adaptado de Alé (2011) 
A medida da pressão pelo uso desse instrumento é relativa, uma vez que o exterior do tubo 
está sujeito à pressão atmosférica. 
 
vi. Transdutores de pressão 
 
Já os transdutores de pressão são dispositivos de medição que fornecem uma grandeza de 
saída, a qual tem uma relação especificada com uma grandeza de entrada. Nesses 
dispositivos a pressão, que é um sinal mecânico, é convertida em um sinal analógico elétrico. 
Nesse caso, a pressão aplicada ao transdutor de pressão produz uma deflexão do diafragma, 
que causa deformação aos sensores. Essa deformação, por sua vez, produzirá umaalteração 
de resistência elétrica proporcional à pressão e essa informação é enviada a um sistema de 
controle. A Figura 15 ilustra esse tipo de dispositivo. 
Figura 15: Transdutor de pressão. 
 
Fonte: Autor desconhecido 
 
EXERCÍCIOS 
1. Explique com suas palavras o que é a condição estática dos fluidos, indicando que tipo de 
forças atuam nos fluidos nessa situação. 
2. A Equação Geral da Estática descreve a variação da pressão. Indique de que maneira isso 
ocorre com respeito à orientação vertical e horizontal. 
3. Como varia a pressão com a altura no caso de fluidos compressíveis? 
4. Explique os significados de pressão atmosférica, pressão absoluta, pressão relativa, 
pressão manométrica e pressão barométrica. 
5. Dê exemplos de instrumentos que medem pressão relativa e instrumentos que medem 
pressão absoluta. 
 
c. FORÇAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFÍCIE 
SUBMERSAS 
 
Agora que já sabemos como a pressão varia em uma massa fluida, podemos entender que 
quando uma superfície qualquer está submersa em uma massa fluida, forças oriundas do 
fluido agem sobre esta superfície. 
O estudo dessas forças é particularmente importante no projeto de grandes tanques de 
armazenamento de fluidos, navios e represas. 
Lembra que comentamos no começo desse material a respeito das barragens para 
armazenamento de água no sertão, na construção de hidrelétricas e no armazenamento de 
rejeitos de mineração? 
É nesse tipo de problema que iremos começar a trabalhar agora. 
Para determinar completamente a resultante de força atuando sobre uma superfície 
submersa, devemos especificar: 
1. O módulo da força. 
2. O sentido da força. 
3. A linha de ação da força. 
Consideraremos tanto superfícies submersas planas quanto curvas. 
 
i. Superfícies planas 
 
Vamos começar analisando superfícies planas? 
Nas seções anteriores, vimos que a pressão em uma superfície de referência varia 
linearmente com a profundidade ou com a distância dessa superfície a superfície livre da 
massa fluida. 
1. Horizontais 
 
Em superfícies horizontais como a apresentada na Figura 16, é fácil perceber que teremos 
um determinado nível de pressão igualmente distribuído na totalidade da área da superfície 
conforme mostrado abaixo. 
Assim, a determinação da força resultante é direta e pode ser realizada pela aplicação da 
Equação geral da estática na profundidade da superfície. 
𝐹⃗ = 𝑃. 𝐴 
Sendo 
𝑃 = 𝑃 + 𝜌𝑔ℎ 
No caso que a pressão atmosférica haja em ambos os lados da placa, o termo referente a P0 
pode ser omitido. 
Figura 16: Distribuição da pressão em uma superfície horizontal plana. 
 
Fonte: Vilanova (2003) 
Por se tratar de uma distribuição uniforme da carga de pressão em toda a superfície 
horizontal, podemos considerar que a força resultante atua no centro geométrico da 
superfície e sua direção é perpendicular à própria superfície. 
 
2. Verticais ou Inclinadas 
 
Em se tratando de superfícies verticais ou inclinadas a carga de pressão, conforme vimos 
anteriormente, aumenta linearmente com a profundidade. Assim, em superfícies planas 
verticais ou inclinadas não podemos simplesmente multiplicar a pressão pela área da 
superfície para calcular uma força resultante, já que a pressão a cada novo nível apresenta 
um novo valor. A Figura 17 retrata essa distribuição. 
Figura 17: Distribuição da carga de pressão hidrostática em uma superfície plana vertical. 
 
Fonte: Vilanova (2003) 
 
MÓDULO DA FORÇA RESULTANTE: 
Assim, para determinar o módulo da força resultante se faz necessária a integração da 
expressão para a força atuante em uma área infinitesimal da superfície ao longo de toda a 
superfície a ser considerada. 
𝑑𝐹 = 𝑝𝑑𝐴 
Em um ponto a uma altura qualquer a pressão poderá ser calculada para ser: 
𝑝 = 𝑝 + 𝜌𝑔ℎ 
E a força resultante deverá ser: 
𝐹 = 𝑃𝑑𝐴 = (𝑝 + 𝜌𝑔ℎ )𝑑𝐴 
Analisando a Figura 18 verificamos que, para uma superfície inclinada, haverá a formação de 
um ângulo 𝜃 qualquer entre a superfície submersa e a superfície livre do líquido. Caso a 
superfície seja vertical, esse ângulo assume o valor de 90°. Essa informação é 
particularmente importante se levarmos em consideração que o aumento da carga de 
pressão ocorre através da relação: 
𝑠𝑒𝑛(𝜃) =
ℎ
𝑦
 
Figura 18: Superfície plana inclinada e a composição de força. 
 
Fonte: Çengel (2006) 
Assim, a integração fica: 
𝐹 = 𝑝𝑑𝐴 = [𝑝 + 𝜌𝑔𝑦𝑠𝑒𝑛(𝜃)]𝑑𝐴 
𝐹 = 𝑝 𝑑𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑦𝑑𝐴 
Se você se recordar bem, em outras disciplinas você pode já ter tido contato com a última 
integral apresentada na equação. 
Quando desejamos determinar as coordenadas do centro geométrico de uma superfície 
usamos as relações da Figura 19 para tanto. 
Figura 19: Determinação do centro geométrico de uma superfície. 
 
Fonte: Autoria Própria 
 
Podemos então, reconhecer que o termo: 
𝑦𝑑𝐴 = 𝑦 𝑑𝐴 
De tal maneira que: 
𝐹 = 𝑝 𝑑𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑦 𝑑𝐴 
𝐹 = 𝑝 𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑦 𝐴 
Reconhecendo que o termo 𝑝 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑦 = 𝑃 corresponde à pressão de atua no centro 
geométrico da superfície, podemos reescrever a equação acima para ser: 
𝐹 = 𝑃 𝐴 
Não é uma belezura? 
Podemos calcular o módulo da força resultante atuando sobre uma superfície submersa 
simplesmente tomando o produto da pressão que atua sobre o centro geométrico dela e 
multiplicando pela sua área. 
Excelente, não é? 
Vamos praticar? 
 
EXERCÍCIOS: 
 
5. A porta mostrada na lateral do tanque é articulada ao longo de sua borda inferior. Uma pressão 
de 4790 Pa (manométrica) é aplicada na superfície livre do líquido de peso específico 15.715 
N/m³. Determine o módulo da força resultante atuante sobre a placa articulada. 
 
6. A superfície inclinada mostrada, articulada ao longo de A, tem 7m de largura. Determine o 
módulo da força atuando sobre a superfície inclinada devido à massa de água. 
 
 
LINHA DE AÇÃO DA FORÇA RESULTANTE: 
 
Como dissemos anteriormente, determinar a força resultante completamente não diz 
respeito somente ao cálculo do seu módulo, mas também à indicação da sua linha de ação e 
a sua direção. 
Apesar de podermos dizer que a força resultante pode ser calculada usando-se as 
coordenadas do centro geométrico da superfície, não podemos dizer o mesmo sobre a sua 
linha de ação e a razão de isso ser, é bastante simples: 
Se a pressão aumenta linearmente com a profundidade, obviamente a contribuição para a 
força total das porções mais profundas é maior. Dessa forma a linha de atuação da força 
resultante se encontra deslocada para um ponto mais abaixo que o centro geométrico, 
chamado de centro de pressão. 
Para estabelecer as coordenadas do centro de pressão (y’, x’) trabalharemos com a igualdade 
dos momentos da força resultante e da carga de pressão distribuída. 
𝑦 𝐹 = 𝑦𝑝𝑑𝐴 
𝑦 𝐹 = 𝑦𝑝 𝑑𝐴 + 𝑦𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑦𝑑𝐴 
 
Vimos da dedução anterior que a quantidade 
𝑦𝑑𝐴 = 𝑦 𝑑𝐴 
Assim, temos: 
𝑦 𝐹 = 𝑝 𝑦 𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑦²𝑑𝐴 
O termo da integral refere-se ao momento de inércia da área da superfície em relação ao 
eixo x. Se nos referirmos novamente à Figura 19 veremos que o eixo x corresponde a um eixo 
que sai do plano da página e tem sua localização no ponto em que a superfície livre do líquido 
encontra a linha da superfície inclinada. 
𝐼 = 𝑦²𝑑𝐴 
Contudo, as tabelas de momentos de inercia de diversas figuras geralmente apresentam essa 
informação quando o eixo de rotação considerado é o que passa pelo centro geométrico da 
mesma. 
O Teorema dos Eixos Paralelos permite transladas o momento de inércia da área para um 
eixo que passe pelo seu centro geométrico pela seguinte relação: 
𝐼 = 𝐼 + 𝐴𝑦 ² 
Ao final dessa dedução você vai encontrar uma tabela com os momentos de inércia (ICG) de 
várias figuras geométricas comuns. 
𝑦 𝐹 = 𝑝 𝑦 𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃)(𝐼 + 𝐴𝑦 ) 
Evidenciando os termos repetentes: 
𝑦 𝐹 = 𝑦 𝐴(𝑝 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛(𝜃)𝑦 ) + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼 
𝑦 𝐹 = 𝑦 (𝑝 + 𝜌𝑔ℎ )𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼 
Reconhecendoo termo entre parêntesis como o módulo da força resultante calculada no 
item anterior: 
𝑦 𝐹 = 𝑦 𝐹 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼 
Isolando as coordenadas da linha de ação da força resultante: 
𝑦 = 𝑦 +
𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐼
𝐹
 
 
Essa relação nos apresenta a informação de que a linha de ação da força resultante SEMPRE 
estará em um ponto abaixo do centro geométrico da superfície plana. 
Eu particularmente prefiro utilizar essa expressão, em detrimento da expressão: 
𝑦 = 𝑦 +
𝐼
𝑦 𝐴
 
A qual é obtida quando se considera a ação de uma pressão externa de igual magnitude 
sobre ambos os lados da superfície. 
Vamos praticar um pouco?? 
Abaixo os exercícios 5 e 6 são ligeiramente modificados para permitir o cálculo, agora, da 
linha de ação da força resultante também. 
Figura 20: Coordenadas do centro geométrico e o momento de inércia de algumas figuras. 
 
Fonte: Çengel (2006) 
EXERCICIOS 
 
5.a A porta mostrada na lateral do tanque é articulada ao longo de sua borda inferior. Uma 
pressão de 4790 Pa (manométrica) é aplicada na superfície livre do líquido de peso específico 
15.715 N/m³. Determine o módulo da força Ft que deve ser aplicada para manter o equilíbrio 
estático da comporta. 
 
6.a A superfície inclinada mostrada, articulada ao longo de A, tem 7m de largura. Determine 
completamente a força atuando sobre a superfície inclinada. 
 
 
7. Determinar a força R que deverá ser aplicada ao ponto A da comporta da figura abaixo 
para que a mesma permaneça em equilíbrio sabendo-se que ela é livre para rotacionar em 
torno do ponto O. 
Dados: p01= 100kPa γ1 = 10.000 N.m-3 p02= 50 kPa γ2= 8.000 N.m-3 
Comporta retangular de altura 5m e largura de 2m. 
 
 
i. Superfícies curvas 
 
Para superfícies curvas, deduziremos novamente expressões para a força resultante por 
integração da distribuição de pressões sobre a superfície. Contudo, diferentemente da 
superfície plana, temos um problema mais complicado — a força de pressão é normal à 
superfície em cada ponto, mas agora os elementos infinitesimais de área apontam em 
diversas direções por causa da curvatura da superfície. Isso significa que, em vez de integrar 
sobre um elemento de área dA nós devemos integrar sobre o elemento vetorial 𝑑�⃗�. 
A forma mais simples de se determinar a força hidrostática resultante que age sobre uma 
superfície curva bidimensional é através da determinação dos componentes horizontal e 
vertical FH e FV separadamente. Isso é feito considerando o diagrama de corpo livre do bloco 
de líquido englobado pela superfície curva e pelas duas superfícies placas, uma horizontal e 
outra vertical, passando pelas duas extremidades da superfície curva. Isso fica mais 
claramente explicado através do diagrama apresentado na Figura 21. 
Figura 21: Determinação da força hidrostática em superfícies curvas submersas. 
 
Fonte: Adaptado de Çengel (2006) 
A superfície vertical do bloco de líquido pode ser considerada simplesmente a projeção da 
superfície curva em um plano vertical. 
Já a superfície horizontal é a projeção da superfície curva em um plano horizontal. 
Assim, a força resultante que age sobre a superfície solida curva é igual e oposta à força que 
age sobre a superfície líquida curva, de acordo com a terceira lei de Newton. 
Para a horizontal temos que: 
 A componente horizontal da força (FH) é igual à força FX na parede imaginária vertical. 
𝐹 = 𝐹 
 
Para a vertical podemos dizer que: 
 A componente vertical da força (FV) é igual à força Fy na parede imaginária horizontal 
mais (ou menos) o peso do bloco de fluido. Dizemos mais ou menos o peso do fluido 
pois a configuração espacial da superfície não necessariamente é a apresentada na 
Figura 21, e pode obedecer configurações como a da Figura 22, por exemplo. 
 
𝐹 = 𝐹 + 𝑊 
Onde 
𝑊 = 𝜌𝑔𝑑𝑉 
 
Somando-se as duas componentes vetorialmente temos: 
𝐹⃗ = 𝐹 ⃗ + 𝐹⃗ 
Cujo módulo pode ser calculado para ser: 
|𝐹 |⃗ = 𝐹 ² + 𝐹 ² 
Figura 22: Determinação da força hidrostática em superfície está acima do líquido. 
 
Fonte: Çengel (2006) 
b. EMPUXO 
 
Nosso próximo tema é bastante presente na nossa vida praiana (Saudades da praia, né minha 
filha?) aqui no litoral potiguar. 
A Figura 20 ilustra várias situações em que o empuxo está presente. 
Figura 23: Exemplos de situação em que o empuxo pode ser verificado. 
 
Fonte: Autoria Própria 
Sempre que um objeto está imerso em um líquido, ou flutuando em sua superfície, surge 
uma força líquida vertical agindo sobre ele devido à pressão do líquido. Essa força é 
denominada empuxo. 
Provavelmente você tenha ouvido falar dessa força se relacionando com Arquimedes e a 
história da determinação da quantidade de ouro na coroa do Rei?! 
Vamos entender como essa força surge? 
Considere um objeto totalmente imerso em um líquido estático, conforme mostrado na 
Figura 21. Observa-se um desbalanceamento das forças nas superfícies superior e inferior, 
produzindo uma resultante para cima. 
𝐹 = 𝐹 − 𝐹 
Reconhecendo que a força na face inferior da superfície submersa a pressão se refere à de 
uma coluna de liquido de profundidade (h+s) e que na superfície superior, a coluna é de 
profundidade (h), temos: 
𝐹 = 𝜌 𝑔(𝑠 + ℎ)𝐴 − 𝜌 𝑔𝑠 
𝐹 = 𝜌 𝑔ℎ𝐴 
Assim, podemos obter a expressão para o empuxo para ser: 
𝐹 = 𝜌 𝑔𝑉 
Figura 24: Empuxo sofrido por um elemento submerso. 
 
Fonte: Adaptado de Çengel(2006) 
Esse resultado é bastante interessante pois indica que: 
A força de flutuação que age sobre um corpo é igual ao peso do líquido deslocado por ele, 
e age para cima no centroide do volume deslocado 
Esse é o enunciado do chamado Princípio de Arquimedes. Essa relação foi usada por 
Arquimedes no ano 220 a.C. para determinar o teor de ouro na coroa do Rei Hiero II. Nas 
aplicações técnicas mais correntes, a expressão para o empuxo é empregada no projeto de 
embarcações, peças flutuantes e equipamentos submersíveis. 
Do que se lê da expressão para o empuxo podemos verificar que: 
 Não depende da distância entre o corpo e a superfície livre 
 Não depende da massa específica do corpo sólido. 
 É válida para qualquer corpo independente da sua forma 
Da equação para o empuxo podemos predizer a força líquida vertical decorrente da pressão 
sobre um corpo que está totalmente submerso em um único fluido. Nos casos de imersão 
parcial, um corpo flutuante desloca um volume de líquido com peso igual ao peso do corpo. 
𝐹 = 𝑊 
𝐹 = 𝜌 𝑔𝑉 
𝑊 = 𝜌 𝑔𝑉 
Assim, 
𝜌 𝑔𝑉 = 𝜌 𝑔𝑉 
Tal que, 
𝑉
𝑉
=
𝜌
𝜌
 
Portanto, a fração de volume submersa de um corpo flutuante é igual à razão entre as massas 
específicas do fluido e do corpo. 
Você já ouviu falar que não se consegue afundar no Mar Morto? 
https://www.estudopratico.com.br/mar-morto-fotos-historia-e-mapa/ 
Você conseguiria fornecer uma explicação para isso agora? 
A linha de ação da força de empuxo, que pode ser determinada usando os métodos 
anteriormente descritos, age através do centroide do volume deslocado. Como os corpos 
flutuantes estão em equilíbrio sob a ação de forças de campo e de empuxo, a localização da 
linha de ação da força de empuxo determina a estabilidade. A Figura 22 ilustra a composição 
de forças de empuxo e peso e a formação de conjugados (pares de força) que tendem a 
aprumar a embarcação na esquerda (A), enquanto que na direita a tendência é de rotacionar 
a embarcação. 
 
Figura 25: Estabilidade de embarcações. 
 
Fonte: Fox(2008) 
Vamos colocar em prática alguns desses conceitos? 
 
EXERCICIOS 
 
8. A figura abaixo mostra o esboço de uma boia, com diâmetro e peso iguais a 1,5m e 8,5kN, 
que está presa ao fundo do mar por um cabo. Normalmente, a boia flutua na superfície do 
mar, mas, em certas ocasiões, o nível do mar sobre a boia fica completamente submersa. 
Determine a força que tensiona o cabo na condição mostrada abaixo. 
 
 
 
9. O esquema ao lado representa um tanque cilíndrico flutuante, fechado no topo e aberto na 
parte inferior, projetado para armazenamentode petróleo. O peso total da estrutura é de 
8,0 toneladas. Sabendo-se que a massa específica do petróleo armazenado é de 850kg/m³ e 
que densidade da água do mar em que flutua o tanque é de 1,03, qual a altura emergida h, 
em metros, quando o tanque estiver carregado com a metade de sua capacidade máxima 
teórica? 
 
 
GABARITO 
EXERCICIO 1 
EXERCICIO 2 
EXERCICIO 3 
EXERCICIO 4 
EXERCICIO 5 6405,345 N 
EXERCICIO 6 840 kN 
EXERCICIO 7 292740 N 
EXERCICIO 8 9348,17 N 
EXERCICIO 9 1,65m